Resoluções de Exercícios

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1 esluções de ecícis TTI III apítul 0 neciments Gemétics aacteísticas das iguas Geméticas lanas, sições de etas n lan; imetias de iguas lanas; nguência e emelança de Tiânguls; Teema de Tales; elações éticas n Tiângul etângul e n ícul L 0 0 upnd que t / t 0, é fácil ve que s tiânguls e sã semelantes p. esse md, tems: +, +, m L 0 0 edesenand as tansvesais e as paalelas, tems que 0 eja l a medida d lad d quadad G. s tiânguls e sã semelantes p. tant,,, ,, 0 +, cm, 0 s t u 0 ntã: 0 " e 0 " 0 0 que é um múltipl de. t s 0 m H m m G m m semelança de tiânguls, tems: + & + + &. + tant, a distância de até vale. 0 0 Taçand //, tems que s tiânguls H e G sã semelantes p. e H, vem:, m. 0 ssim, a altua d supte em é: + +,, m. a+ b+ 0 0 & a+ b 0 plicand Teema da bissetiz intena, tems: c b b+ c c b & & c e b + tant, a medida d mai lad d tiângul é de cm. ateática Vlume 0 n m nsidee k, m ) ~ e ~ m k 7 n k ) mand memb a memb as ppções acima btems: m n k 7+ k k 7 ateática iii

2 mm m 000, 000, L 0 0 V~ : 70 & m, V + 70, 0 e s lads e medem 0 e 00 mets, entã lad mede 0 mets (Teema de itágas). abe-se também que s segments e sã iguais e medem 0 mets (pis é mediatiz da iptenusa). m tiângul é semelante a tiângul, pde-se esceve: 00 0 " m " m 0 7 " m " m lte I lte I " 0 m lte II lte II tant, a azã ente s peímets ds ltes I e II seá: lte I 0 0 lte II ) ) 7 m a ) 7,7 ) m m, n,0 m ) 0 ) m m,,0 e n, L 0 n b 0 ) ) 0 ) G) ) H) ) 7 I) ) n 0 nsidee a figua. É fácil ve que s tiânguls e G sã semelantes p. tant, se l é a medida d lad d quadad, tems, +, &,, L 0 0 desen tems meias-vltas. e vcê desena a espial, veificaá que a cada meia vlta ai da semicicunfeência aumenta em m. ssim, tems: mpiment de cicunfeência p a ) vlta cmpiment p m. a ) vlta cmpiment p m. a ) vlta cmpiment p m. L 0 0 ) ) 0 m m 7, 0 e n, ) 0, ) 0 n m b ) 0, ) 0 n n, e m, m 0 n a ) vlta cmpiment p m. mpiment da espial m. mpiment d tijl 0 cm 0, m. 0 Lg, sã necessáis tijls, u seja, 00 tijls. 0, 0 cmpiment da ceia seá calculad pela sma ds segments!! cm s cmpiments ds acs e, etens, cujs ânguls centais sã, espectivamente, 0 e 0. 0 cm 0 0 cm cm cm 0 cm atemática iii TÁTI Vlume 0

3 ! c $ () $ f p 0! c $ ( ) $ f p ( 0) -( 0) Lg, cmpiment seá: + + $ ( 0 ) f + 0 pcm. 0 cmpiment da aia é men, lg atleta peceia a men distância na aia. te que ai da semicicunfeência da aia é men que das utas aias. 0 () ( + ) ( + ) ( + ) tiângul etângul assinalad, tems:. + c m, Lg, a áea pedida seá: $ $ $ $ 0 T ~ " l T L 0 0 T é a egiã da umba, ptant, nesta egiã se vê eclipse sla ttal. 0 L 0 L Uma taçã de 0. L 0 0 ) 7 min min, é a difeença áia ente as as e as 7 as e minuts. esse inteval de temp navi X deslcu-se, milas e navi Y,, 7 milas. W (este) 7 milas X 0 X Y 0 TÁTI Vlume 0 X 7 Y (Leste) Às 7 as e minuts, em elaçã à psiçã de Y às as, X está a 7 milas a te e Y a 7 milas a Leste. stas psições definem um tiângul etângul de catets milas e 7 milas. Lg, send a distância pedida, tems que: ²+7² 0 milas a quadad (u milas quadadas). Lg, 0 milas $ 0 " " 0 a pate: ~ 0, 0, 0 m,0 m 0,0 a pate: se a smba d pste diminuiu 0, m, entã:, " 0, m 0, TÁTI iii

4 0 Tea Lua 00. l 7 km ~ 0 7 " 0 # 7 0 km 0 T ~ - " - T dmitind. 0 + Utilizand Teema da bissetiz intena, tems: & 0 - Lg,. L c m ~ - 0 Áea que seá pintada. 0 π 0 00 cm 00 úme de ptes nsideand a altua d pédi, tems: ~ Utilizand Teema de Tales, tems: a b c a+ b+ c + + a b c 00 7 tant, a, b e c. 0 egund enunciad: n mast dessa pnte, a pati d pnt em sentid a pnt, as etemidades ds estais estã fiadas e distibuídas a iguais distâncias ente si; e, 7 m e m. ntã tems que dividi a distância pela distância : 7, enunciad pede núme máim de estais, lg devems apima, paa. z I II alculand a áea de cada figua, tems: z$ I II $ $ III III z + tant, a áea da figua I é igual à áea da figua II. 0 a pate: ~ a pate: altua seá igual a: w I III & & z ~ atemática iii TÁTI Vlume 0

5 0 0,0 I 0,0,0 II s tiânguls I e II sã semelantes. aí: 0, 0, $, 0 " 0, 0, 0 00, ", m 0 0 Y 00$ " Y 0, L~ L & & ( 0,...) m, u seja, apimadamente 7 cm. 0 nsidee a figua. 07 m as tês pimeias distâncias sã, e e a velcidade da fnte de luz é cnstante, entã: --( - ) -( -) ncluíms entã que a pimeia mediçã indicaá 0 m, a segunda mediçã indicaá m, a teceia mediçã indicaá m e a a mediçã indicaá 0 m. Lg, a figua que epesenta a smba da fnte luminsa até a a mediçã está epesentada abai, nde fi calculad cmpiment da smba p semelança de tiângul. tajet tem cmpiment mínim quand, e H sã clineaes. m efeit, se é um pnt da eta K e é pé da pependicula baiada de sbe a eta HK ', entã, pela esigualdade Tiangula, ' + H ' ' + ' + H H. tant, cm s tiânguls K e H sã semelantes p, segue-se que K K K + H - K, + K km L 0 0 s etas, s e t sã s eis de simetia da figua s 0 m e, segue que. lém diss, cm  Ê, tems que,. ut lad, cm t e t sã cmplementaes, vem que s tiânguls e sã semelantes. aí, tant, cm, vem $, bsevaçã: s ânguls  e Ê sã cnguentes, ist é, têm a mesma medida. Lembems que ângul é a egiã d plan limitada p duas semietas de mesma igem. É óbvi que as egiões limitadas pels ânguls  e Ê nã sã iguais. TÁTI Vlume 0 0 ) epesenta um ei de simetia; a figua é simética. ) epesenta um ei de simetia; a figua é simética. ) epesenta um ei de simetia; a figua é simética. ) ã epesenta um ei de simetia; a figua é assimética. 0 item, pis quad nã pssue nenum ei de simetia. 0 efleã 0 Tanslaçã t TÁTI iii

6 0 eja G ei de simetia da bandeiina. Lg, a bandeiina pnta está epesentada na figua da altenativa []. ) Áea d galpã 0 0 (0 ) !. () men peímet seá btid quand e e seá igual a. 07 egulaidade da mvimentaçã das blas las n vétice las n vétice III las n vétice 0 simetia aial é a simetia de efleã. 0 IV las n vétice azã de semelança é k. aí, Áeamai c m Áeadafiguamen " Áea da figua mai Áea (men) Áea (figua mai) Áea (figua men) 0 fig. fig. f p e f p. " fig fig. " fig. f $ fig. p efig. $ fig. $ Lg, " $ $ $ " $ L 0 fig. fig. fig. fig. fig. tck.cng 0 ~ " tiângul L da figua a lad, seja a distância mínima e. ) L ~ L itágas: L + L km ) distância mínima é a altua d tiângul L em elaçã à iptenusa. ntã: L 0, 0 km Y Z 0 km X k d -0 0 m 0 L m i eteminand val de k n tiângul XZ: k k 00 km XZ XY d0+ d0km 00 d 0 e vcê desena a figua de lad fica mais fácil. Tems tiângul gande que tem pel catet vetical a difeença de altua d pédi paa s ls d bsevad, (,,) e cm catet izntal a distância,. e cmpletams a lina da iptenusa até paa-ai, veems que tiângul fmad lá em cima é semelante a de bai (tem s mesms ânguls e ppções), lg dá paa p numa ega de tês:,,, $, m 0 ) 0 $ H ase d galpã 0 m 00 H 0 m 0 É fácil ve que s tiânguls e sã semelantes. Lg, lém diss, cm s tiânguls e também sã semelantes, vem: + + ) ~ 0 - (0 ) m,. ateática iii ateática Vlume 0 7

7 07 psiçã da câmea psiçã da tuista c a b psiçã da esfinge a figua, ~ lg, b d. m d d a c d d L 0 0 ) ) ) ) c 0 c c c 0 ) b c a b 0 Y 0 Y b 0 c 0 b b d tems a c l + l l l 0 0, m l l, m 0 H 0 m ", 0, H H H 0, m ) ) Teema de itt + + ) + 0 a pate: nsidee as cicunfeências de cents e e d 0 a distância ente s cents. tems: 00 + m m ~ + + m ntã, a men distância seá de m. ( ) d 0 a pate: 0 d 0 i ( + ) ~ " passs Lg, a lagua d i é: 0 70 cm 7, m pimadamente 7 m. + tem-se que: 00 ( + ) + ( + ) Z ] ] + Y [ - Y ] " 7e ] \ TÁTI Vlume 0 TÁTI iii

8 0 é pnt nde está lcalizad bô. mviment d(, ) mviment d(, ) mviment d(, ) 0 mviment d(, ) 0 0 bseve a figua a segui: L d 0 ejam pnt nde se encntava inicialmente a bicicleta e pnt a mets a nte de. amand de pnt nde se encnta idante, segue que a distância pedida cespnde à iptenusa d tiângul etângul, et em. tant, pel Teema de itágas, vem & 00 & 0 m 0 nsidee a figua. H eja H pnt de inteseçã ds segments e. m e sã tiânguls isósceles cnguentes, segue que é lsang. Lg, H e H. tant, aplicand Teema de itágas n tiângul H, btems H + H + f p + f p + - & - dm 0 b 0 b 0 c 0 c peímet d tiângul é: m L 0 0 m m 0 m é ecêntic etei, segue que:!! -. as!!! 0 -( + ). tant, c- 0c+ 00c+ c c c 0! eja um pnt d men ac.!!!! m a, segue-se que 0 - a. tant, cm  é ecêntic etei, tems!! ( ) t - a 0c a + 0c c a - 0c a + 0c 0 b c m n 0 07, a ) π,, a ) itágas: Lg, diâmet da cicunfeência mai seá igual a: + + aí seá: + tant, t é isó sceles debase, lg t t - é isó sceles debase, lg t t - tiâ ngul : a (â ngul eten) a a a - a - a tant, t -f p atemática iii TÁTI Vlume 0

9 0 θ a i a i a ê 7 é um pentágn egula. ) a ê 0 7 ) a i 0 ) a i km T !! m G e! t -G t, entã m( t ) << m( t ). aí, cnecend a medida d ângul inscit G t (ângul de peig izntal) quand m( t ) < m( t ), pnt é etei a cícul, estand navi fa de peig. 0 les estã n pnt da figua abai, pnt de inteseçã de dis acs capazes. L 07 0 ) m m ) 7m 7 07 pnt deve esta em G, pis ângul de visã. e pnt estive sbe a eta J num pnt difeente de G, ângul! de visã seá men que, pis ele seá igual - i ; q é men ac subtendid. Veja a figua abai: G L θ! Ô! - i <! L i 0 e, tems tiângul equiláte. Lg, q 0.! ) c $ $ m! c $ $ m 0 peímet d teen é: m , +, m. espsta: eais. 0 0 π 7,0 000 π (7,0) estádis 0 aa qualque pnt, ângul t situad na semicicunfeência (mstada na figua) seá et. 0! ) mpiment d ac 0, cy $ m $, 0 Y te que 0º l 0º 0 0 t 0 Lg, til deveá se epesentad na figua da altenativa. TÁTI Vlume 0!!!, ), l 0º l 0º 0º l 0º ) mpiment da ceia + πl + l l (π + ). TÁTI iii

10 0 ac pecid pel autmóvel cespnde a um ângul cental cuja medida é 0' - 0' 0 $ ad 0 0 Giânia ( 0 ) ad tant, sabend que ai da Tea mede 70 km vem 70 km. $ 0 ca mpiment da a ui ba ( ) ca $ $ cataca ca cataca. Ist implica dize que quand a ca dá vlta ( pedalada) a cataca pequena dá. pneu tasei dá mesm núme de vltas da cataca pequena, entã: istância pecida π 0 0π 70 cm 7,0 m a c' - 0' c ' c,7c 0c 0000km 7, c eslvend a ppçã, tems: 7, km. 0 uand ai dá uma vlta sbe sl, blc deslca-se sbe ai numa distância igual à pecida pel ai. ntã: eslcament blc (π) π 0 nsidee a figua, em que d é a distância pedida. 07 a pate: Um tec cuvilíne d atleta da aia : ai,70 m 0 ecus ns tecs cuvilínes π,7 0,7 a pate: ecus ns tecs cuvilínes d atleta da aia : π. (,70 + ) 0,7 a pate: atleta da aia mais etena deve pati (0,7 0,7) 0, m à fente d atleta da aia mais intena. 0 m s tiânguls X e X sã semelantes, tems que d 0 + d d d d + d,, 7mm + d,, 7m H G m s tiânguls e sã semelantes, vem $ ( 00- ) 00 $ &, m eímet (0 cm) + π (0) 0 (π + ) 0, ) cs q " i 0 ) 0 0 $ $ m 0 J 0 θ, 0 ~ " - ² ² ² ² 0 ( ) c m -c m - 0. azend k, tems que + k² k 0 k, pis k > 0. + ssim,. atemática iii TÁTI Vlume 0

11 0 T 0 0 H 0 ) Áea T $ 00 0 $ 00 0 ) T ~ T " 0 0 ) ltua d tapézi H eja. m lad d quadad mede cm, -. plicand Teema de itágas n tiângul, vem (- ) + &. s tiânguls e sã semelantes p. Lg, & $ cm - 0 ejam l i e c i, espectivamente, as medidas d mai lad e d men lad d papel i, cm i 0,,,..., 0. abems que l c 0 e c l0. lém diss, cm as flas de papel 0 e sã etânguls semelantes, segue que: m, 0,, 0 c 0, 0, f p & c0 c c 0, 0 c0 c0 ut lad, as flas de papel 0 e também sã etânguls semelantes. esse md,,, 0 c c 0. 0 abend que a sma ds ânguls intens de um quadiláte cnve é igual a 0 e que s ânguls e t t sã ets, tems que quadiláte é inscitível. lém diss, cm, segue que e, ptant, 0 ) T~ : & 0 m ) c00m + c00m 00 0 end t temp paa teleféic i de até, tems: 00 0, $ t & t $ $ + $ & $ $ + $ + cm 0 esse md, cm $ e $, vem que $ 0. ut lad, cm $ e $, btems $ 0. tant, cm s tiânguls e sã cnguentes, bem cm s tiânguls e, vem β β $ 0+ $ 0 0cm ) ai da cicunfeência é ! 70 70! 70!! e T ) dmita ~, lg: Lg, TÁTI Vlume 0 TÁTI iii