Resoluções de Exercícios

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1 esluções de ecícis TÁT apítul 0 cnheciments emétics caacteísticas das iguas eméticas lanas, Ânguls, cnguências, andezas, Unidades de medida e escalas; cmpiments e áeas 0 = 0 = 0. = T = T = 7 pis = 0.. T = = 7. = = 0 + = = 0 =. 7 0 T = 7 + = 0 cm LOO O = 70 O =0 O = 70 7 = O = 0 70 = 0 Sejam e as medidas ds ânguls. esse md: + = 80º e = º. ssim: = º e = 68º. 0 ( + 0) + (+ 0 ) = 80 = 0 = 6 0 = 0 e = 88 ) + 0 = 80 = 0 ) taçand uma eta t, paalela a, pel vétice d ângul de medida, tems s ânguls a e. 0 a = 0 ( ânguls cespndentes) = 8 ( ânguls cespndentes ) = a + = 88 LOO 0 0 N tiângul : + + = 80 9 = 80 = 0 Tems: = 80 = 80 (0) = 0 s 8 LOO 0 0 N quadiláte da figua acima, tems: β + 90 = 60 0 β = 0 + β = 0 0. als, pis esta é uma ppiedade de tds s paalelgams.. Vedadei. 0 Send pnt médi de e cm =, tems que s tiânguls,,, e sã cnguentes. Lg, = = =. O quadiláte é um lsang.. als, a inteceçã das diagnais pdeia se fa ds pnts médis β é isósceles Ê = Â. Se Ê = + 0 = 80 = 7 β atemática e suas Tecnlgias matemática iii matemática Vlume 0 9

2 LOO 0 0 J O S ) O tcent é pnt de encnt das altuas d tiângul; ptant vétice petence à eta O, pependicula à eta JS. (tesu) ) Tançand as etas JO e S de md que S seja pependicula a JO, vétice seá encntad n pnt de intesecçã das etas S e O. = 8 m â c = 8 m 0 8$ 8$ sen Áea = 8 < = = 6 = 8 m espsta: 8 m 0 O lcal d pç ficaá n cent da cicunfeência que passa pels pnts, J e. tant, paa deteminá-l, devems taça as mediatizes d tiângul J. 0 7 ) = + = ( ase mdia é ) ) = + = 8 7 ) J= + = 8 Âc = 0 tiânguls nã cnguentes * 60 = (Ângul ental) Sma = = 6 J 0 ega de Tês simples: a pate Lagua altua 00 cm 0 cm = 60 cm = 00 cm =,60 cm 7 quadilátes nã cnguentes * a pate,6 = +,6,m m 60 LOO 0 pentágn 0 ) Octógn egula (n = 8 lads) ê = 60 = 8 ) Si = (8 ) 80 = 6 80 = 080 e i = 080 = 8 heágn ) Sê = 60 ) (8 ) = diagnais 8$ ( 8 ) ) d = = 0 diagnais n 8 ) = = (s.: n é pa) ) Áea = 8 (Áea d tiângul O) atemática e suas Tecnlgias 0 matemática Vlume 0 TÁT

3 0 6$ ( 6- ) Núme de diagnais: d = = 9. edida das diagnais maies: + = cm. edida das diagnais menes:. Na figua: + = = sã nve, de dis cmpiments difeentes, e as menes medem cm. 0 8 Áea das pessas m alanque a ate: _ 8 + i. 6 Áea (pessas) = 0 8 m = 0 90 = 0 m a ate: ega de tês simples. m 0m pessas LOO = ( 0+ 0 ) $ 80 0 $ - = = 6.8 m ntã, a cmissã seá de: $ $ 6. 8= 009. eais aí, = " =. pessas. 0 0 álcul da medida d lad l d heágn egula a a l a a a a, = c m + c m = $ c m ", = $, $ 6 a Áea d heágn 6 a = $ = $ $ $ = $ $ LOO 07 0, Saems que: = 8 &, = 6. Seja ai d cícul cicunscit a cada um ds heágns. m = = = =,, segue que lad d tiângul é l. (,) 9 6 tant, [ ] = = $ = u. a. 0, m J m timizaçã d us d teen ce quand plantams as mudas numa ede de tiânguls equilátes, cm msta a figua acima. altua de cada tiângul equiláte é igual a, #, 7 h= =,,, me assim pdems planta n máim 9 mudas. 0 igua w N a ate: Os tiânguls e têm áeas iguais, pis apesentam ases iguais, = =, e mesma altua elativa a estas ases. nalgamente, pdems afima que s tiânguls e têm a mesma áea, em cm s tiânguls N e N tamém sã equivalentes. nsidee S, S e S as áeas ds tiânguls, e N, espectivamente. w atemática e suas Tecnlgias TÁT TÁT Vlume 0

4 LOO 0 igua S S w S S S S N w 0 a ate: ela fómula de en Áea = a ate: Na figua, s tiânguls e sã equivalentes, pis, tmand = = cm ase, eles têm a mesma altua. ntã: S + S +S = S + S + S. S =. S S = S mesm md, cncluíms que s tiânguls e têm a mesma áea, entã: S + S = S + S S = S cnseguinte, s 6 tiânguls em que fi dividida a áea d tiângul sã equivalentes. Se a áea d tiângul é 0 cm, pdems afima que a áea d tiângul é igual a 0 m. Q álculs auiliaes = = 70 = = 70 Áea = 70$ 90$ 70$ $ 0 $ 0$ 0 = = = 00 0, ,0 = = 6.0 a pate: Áea pela cuaçã ) eímet d quadiláte = ) Áea = d n = (90) = 800 ntã, a difeença ente as áeas seá: ifeença =.780. N LOO 0 Seja "S" a medida de áea d etângul NQ. diagnal divide a áea a mei. ntã; ) Áea N = S ) = = = LOO 0 S S $ = 8 0 Se =, entã = = ( 00, ) tant, = +(0,0) = (,0). Áeas das egiõescm a ) Áea Ttal LOO 0 0 ) als. pis + = 8. ) als, pis > + 8. ) als ) als ) Vedadei, pis 8 < < 8 +. $ $ 8 = = % 0 a) = (90 ) + 70 = = = = = 80 ) = (80 ) = 80 + = 80 = = = + = 90 c) ) = = 0 Usand métd da adiçã + = 90 ) - = 0 = 0 0 = = 0 (sustituind val encntad de na ª equaçã). + = = 90 = 90 0 = 0 atemática e suas Tecnlgias matemática Vlume 0 TÁT

5 0 900 Y 0 N de vltas = 60 = =, vltas = vltas e meia. Y 0 c β a ) + 90 = 80 = a ) β = 60 β = a ) + β = 80 + = 80 = 0 lcand a peça após giá-la 90 n sentid anti-hái. 0 70,0 60,8 60,6 60, 60, 60,0 0,0 0, 0, 0,6 0,8,0, 800 m 700 m 600 m 00 m 00 m 00 m 00 m N 00 m O L S Saind d pnt (0, 60) e seguind pecus descit na questã, helicópte pusu n pnt d mapa acima, lcal nde a altitude é de 00 m. 08 Seja a medida d ângul. (90 ) = (80 ) 80 9 = 80 8 = 60 7 = " = ad Seja a medida d ângul. (90 ) = (80 ) 80 = 6 " - = " 9 $ " = " = 80 Lg, (80 ) = = = 80 = 7 06 anaus a Vista acapá elém Sã Luis 6 Teesina 7 taleza 8 Natal 9 Salvad apa d asil e algumas capitais i de Janei Sã aul uitia el iznte iânia uiaá 6 amp ande 7 t Velh 8 i anc SQU, S. asil egiões. ispnível em: < p.> cess em: 8 jul. 009 (daptad). als fez uma cneã em el iznte e, em seguida, emacu paa Salvad ta d viã (hegada a Salvad) 8 0 ta d aviã (chegu em el iznte) LOO 0 0 ) 0 N, = 80 = e N, + 60 = 90 = 0 = 0 e = ) 0 Z 0 ) = 80 Quand pntei gande pece 60 min pntei das has desceve 0 entã quand pntei gande pece 0min pntei das has desceveá um ângul de 0. tant ângul inten a = 0 0 = 0. sta medida em adian seá igual a π/9. = 0 ) Z = 0 e = 80 = atemática e suas Tecnlgias TÁT TÁT Vlume 0

6 ) = 80 = = 80 = Se cnsideams que tiângul é teen, taçand a mediana, teems dis tiânguls cm a mesma ase e a mesma altua. ntã s tiânguls e teã a mesma áea // = lngue a eta, fmand tiângul da figua acima. Nele, t = 80, pis sã cespndentes. s ntã = 80, e ptant = ) lngue seguiment e fme tiângul da figua. Nele, Ê = 8 e Ê = 9. ) = 9 + (Ângul eten d tiângul ). 8 9 lngand a eta, ela inteceptaá as etas e, espectivamente ns pnts e. N tiângul, tems que Ê = 0. Se Ê = t = 0, pis sã aqueles altens intens, entã = = lngand, tems s tiânguls e, cm msta a figua a lad. ntã, Ê = = 80 e = = = 0 = = 6 cm 8 cm 0 6 O 8 6 T 8 0 cm O tiângul é isósceles, lg pdems afima que : t = t = c t = 80c- 7c = 0c t = 80c-c- 7c = 60c = 90c- 60c = 0c 09 Supnha que as medidas da mesa sejam unidades e unidades e que a la sai d cant pela sua issetiz. O tiângul é isósceles, ist é, = = cm e = pis =. nalgamente, tiângul é isóceles, entã, send =, tems que =. aí, cm tiângul tamém é isósceles, pdems afima que a la caiá n uac d mei, lcalizad n pnt, pis = = =. nclusã: caiá após tca nas taelas eatamente vezes. L atemática e suas Tecnlgias matemática Vlume 0 TÁT

7 0 nsidee cada palit a nssa unidade. Os lads de nsss tiânguls medem, e 6. el teema de desigualdade tiangula: < 6 < +. Se = 7, entã + =. aí: < 6 < m e sã númes inteis psitivs, pis epesetam s númes de palits, tems as seguintes hipóteses: a ) = = 0 0 = 9. Tnand falsa a desigualdade < 6 <. a ) = = 9 9 = 7. Nã cnvém a ) = = 8 8 =. Satisfaz a desigualdade < 6 <. a ) = = 7 7 =. Satisfaz a ) = = 6 6 =. Satisfaz tant, núme de tiânguls nã cnguentes dis a dis seá igual a mai cicunfeência seá a cicunscita a quadad da figua acima. Send d seu diâmet, tems que: d = + d= W,7 9,,7 d Z LOO 0,7 km Y 0 60 = Na figua acima, Y// W. ^ () Y = (Ângul pst de um paalelgam) () W =,7km " Z = 9,,7 =,7km ^ () ZÊY = = Y (altens intens) () O tiângul ZY é isósceles. tant, ZY = 7, i diagnal é a issetiz. Lg, tiângul é equiláte e = 60. aí, cs 60 = " = 0 distância pecida é dada pela sma das dimensões da paça de alimentaçã, u seja, 6 + = 8 m = 60 = 07 Sejam a,, c e d as medidas ds ânguls intens d quadiláte. Tems que a c d k = = = =, send k a cnstante de ppcinalidade lém diss, saend que a sma ds ânguls intens de um quadiláte cnve é 60, vem: k k k k a+ + c+ d = = k+ k+ k+ k = 0 $ 60 0 $ 60 + k = = tant, a = 60, = 00, c = 80 e d = Sejam c e h, espectivamente, núme de azulejs utilizads numa fileia hizntal e numa fileia vetical. enunciad, tems que c = h. lém diss, núme de azulejs usads n cntn eten é tal que $ _ c+ hi = 68. Lg, tems sistema: * c = h + c = h + c =. $ _ c+ hi = 68 ) c+ h = 6 ) h = tant, núme de azulejs mais clas usads n intei da paede fi de (c ) (h ) = ( ) ( ) = Send ai de cada cicunfeência da figua, tems que peímet d lsang é = 8. Na figua, tems cicunfeências cm ai e utas cm ai, assim peímet d lsang é ( + ) =. 8 Lg, aument é de = 0, = 0% 8 a a a e a = + = 80 a 80 " = = = " + " = e a= atemática e suas Tecnlgias TÁT TÁT Vlume 0

8 0 a a a a a a eímet Q = = 9. eímet N Lg, = = eímet Q a $ - a= - " " - a= a- " a " = a" = 0 LOO 0 0 el teema de itt, tems: + = = 0 ent da cicunfeência cicunscita a tiângul. nt de encnt das mediatizes d tiângul. 0 acand tês pnts na cicunfeência, deteminams s vétices de um tiângul inscit nesta. O cent da meda é cicuncent d tiângul tid. 06 a ncmenda: val V V = 8 ([0, m 0,0 m] 0 + [0, + 0,0] ) V = 8 (, +,) V = 8 () = 00 eais a ncmenda: val V V = 8 ([0,0 ] 0 + [0,0 + ] ) V = 8 (0 + ) V = 8 () = ,60 m,60 N,0,0,0 0, 0,,0 O pnt O é aicent d tiângul. tant, O = O = =. 0,7 0,7 0,7 0,7 plicand teema de pitágas, n tiângul O, tems que: O = + 6- =! =,80 ) N é ase média d tiângul, ist é; 0 N= = = 0, m. nalgamente, = 0, m N ) N é a mediana elativa à hiptenusa d tiângul. ntã,, N 60 = = =,0 m. nalgamente, 60, = = =,0 m. ) plicand teema de itágas n tiângul N tems: ^0, h = + ^0, h " = 0,7. Os tiânguls e N sã isósceles. Saend que = = e N= N=, tems que: eímet N = = Lg, = # ^07, h=,8 m. tant, paa faze uma tesua, pecisaems de: (,60) +,80 + (,0) + (,0) + =,60 m atemática e suas Tecnlgias 6 matemática Vlume 0 TÁT

9 08 ) scala = = " = 0, m= 0cm m ) está na inteseçã da mediatiz d segment e a cicunfeência de cent e ai 0 cm. LOO 0 0 e icunfeência de ai. 60 ) ê= = 7 ) + 7 = 80 = 08 ) é isósceles = 80 O 60 T = 7 = 6 q + + q = = 08 = 6 () O pnt O é cent da cicunfeência de ai e aicent d tiângul equiláte. () N tiângul T, etângul em T. T sen60 = " T = =. () ela ppiedade d aicent, tems que: = O+ = $ + O = $ T = e, ptant, _ + i = $ 0 Na figua aai,, e sã s pnts em que s cículs de cents, e tangenciam a eta ) = 0 ) é lad de um plígn egula cuj ângul cental mede 60. ntã, este plígn é heágn egula e a medida de seá igual a O Seja O cent d cícul cicunscit a tiângul Âc= = " n= lads n ) Ângul inten: i = 80 ê = 6 É fácil ve que + = $ =, cm send pnt médi d lad. Lg, pela ppiedade da mediana, tems: O = $ = $, u seja, ai d cícul mai é igual a d ai ds cículs menes. ) Ângul eten: ê = 60 = Âc = n ) atind de um só vétice, tems: (n ) = = diagnais $ ( - ) ) Ttal de diagnais: d= = 90 diagnais. atemática e suas Tecnlgias TÁT TÁT Vlume 0 7

10 0 nsidee e β as medidas ds ânguls agud e tus, espectivamente, d lsang. 08 β 08 β + 08 = 60 e + 08 = 60 β = 60 6 = 60 β = = 6 09 s cminações que inteessam sã aquelas cujs ânguls smam 60, a sae: cas: Usand ctógns e quadad = = e 0 e = e = = e 06 N quadiláte fmad pelas uas, tems: = 60 = = 60 a e = = e 60 m O tajet d ô seá um plígn egula de lad m e ângul eten 60. m a medida d angul eten é igual a 60 /n, tems: 60/n = 60, de nde cnclui-se que que plígn pssui 6 lads ) ê= = 60 6 ) Os tiânguls da figua acima,,, e sã equilátes. ntã: = = e = = = cnseguinte, = + + é igual a lad. tant, a + + = a + = 8 07 n = n. _ n i ; n n = n = O peímet d heágn é igual a: a + = = 99 dm = 9,9 m. 08 Seja cent d plígn fmad p heágns egulaes. Se ada ângul inten d heágn mede 0, pis eten é igual 60 a = 60, entã plign é invaiante p tações de 0 em 6 tn de. N J S LOO 06 0 penas s teens e pssuem 80 m de cmpiment. alculand a áea de cada um deles, tems: = 60 0 = 800 m = 70 0 = 00 m Lg, teen cm mai áea que pssui 80 m de peímet é teens de n Q 0 $ Áea (Ladilhada) = [ ] + [6 ] + < = = 80m atemática e suas Tecnlgias 8 matemática Vlume 0 TÁT

11 0 0 m 60 m m Seja a distância pedida. els dads d plema, a áea d etângul é igual à metade da áea d teen em fma de tapézi. ntã. ( ) $ $ = " = = m 6 06 igua 07 Na figua, se = e =, entã + =. Nte que tiângul isósceles e paalelgam de lad iã cmp a figua de tal ste que a metade da diagnal d quadad é igual a +. ntã, = l = = l = áea da casinha (fig. ) é igual à áea d quadad (fig. ), lg: ig = ) = 8 cm Áea da figua = da água. 00 = v 6, v = 6,8 m/s _ 0 + 0i$, = 6, m e seja v a velcidade _ 9 + i$ Áea da figua = = 90 m Nva vazã = 90 6,8 =. m /s 0 0 m K ) Os quat tiânguls sã etânguls isósceles cujs catets medem. Veja a figua a segui. Se a áea d quadad é Q, nte que dis tiânguls etânguls isósceles de catets junts têm áea igual à d quadad. ntã, a áea d decágn seá igual a: ecág. = Q + T + Q = T + Q 60 m L m J 0 m 0 S 7, 0 7, Q 0 N 7, 0 0 O 7, T T T T T T T ^60 + 0h$ 0 ) Áea = = 900m ) Áea KL = 0 = 0 m ) Áea NQ = 0 7, = 7 m ^ ) Áea J = 0 # 0 h = 00m ) Áea S = 0 0 = 00 m 0 e acd cm as infmações, as dimensões da áea de impessã sã ( )cm e (8 )cm. ssim, cm a mai áea de impessã em cada panflet é 87 cm, vem ( ) (8 ) = = 0 60! 6 + = 8 & = 0, cm. 09 (0 + ) (6 + ) 6 0 = = 6 = 9 (Nã cnvém) = 0 = 0 (0 + ) 6 (6 + ) atemática e suas Tecnlgias TÁT TÁT Vlume 0 9

12 0 ntã; ) Se a áea de Q é, a áea d tiângul é igual a e a áea d quadad mai é 8. Áea dquadadai 6 $ T ) a áea de T = = = $ T Áea de T ) Áea de T = Áea dquadad ai ) Áea de T = " Áea dquadad ai " Áea de T= 8 ) Áea de = Áea de T = Áea de Q 0 ^ ) Áea tapézi = + h$ = Lg, = = ) ltua d tiângul equiláte d é igual a:, = = = ) ltua d etângul é igual a: + + = + = ( + ) Lg, a áea d etângul seá igual a: = ( ( + )) =. ( + ) = ( + ) = + 8 K L J. (egiã ) = quadad L tiângul KL =.. (egiã ) = paalelgam L tiângul KL =. () =. LOO 07 0 = N = 0 = 60 m 60 = 0 m ntã (egiã ) = (egiã ) nclusã: Se paa pinta a egiã iguel gastu da tinta, paa pinta a 7 egiã, gastaia tamém da tinta e ainda saia de tinta N = Q = 0 = m = 7, m Q N 0 T O T T Q ) Taçand a diagnal d paalelgam, tems um tiângul cuja áea é igual a de T e igual a metade da áea de. ) Os tiânguls T, T,,, e sã cnguentes e a sma das áeas de dis tiânguls destas é igual à áea d quadad Q. T T álculs uiliaes ) = + " " = " ) = + = $ $ Lsang = = = scua = 6 = 8 laa = 8 = 8 = 96 8 Lg, scua = = 96 laa atemática e suas Tecnlgias 0 matemática Vlume 0 TÁT

13 0 m a peça tem a mesma espessua, a pate de cada um vai depende da áea de ase de cada pedaç. a ate: Seja val da áea d tiângul. atind de, dividims tiângul em tiânguls equivalentes. ntã: Áea = _ 8 + i. escua = + = = = = m 08 a ate: álcul da áea de cada ctógn. cm 0,0 W 0.00 W = 0.00 = cm 00 = 0 m. ntã a áea de ctógn seá: 0 = 6 m 9 a ate: Nte que cada ctógn é cmpst p 7 quadads, entã 7 quad. = 6 quad. = 8 m a ate: Áea pcuada = = 68 0 = m L 09 a ate: atind de em dieçã as pnts que estã se lad, tiângul seá dividid em 6 tiânguls equivalentes. Lg: Áea K = $ d n $ = $ e Áea K = $. = K tant: ndé ficu cm 0% da peça, pis ônica e aul ficaam cm: + = = 0% madeia = (0 + ) ( + ) 0 87,7m = ,7 = = 0 = = = =, m u 0 9 = < 0 ( Nãnvé m) 0 lanificaçã d telhad 0 0 ) Se é mediana d, entã a áea d é igual a: S = ) Taçand a mediana d tiângul, tems dis tiânguls equivalentes, ist é: Áea = Áea. aí áea = = = Á ea. álcul uilia ) Ntand que é mediana d tiângul, pdems afima que: Á ea = =. inalmente, a áea d tapézi 8 = + = $ S = = 0 Ttal = 00 cm =.00 cm =, m. atemática e suas Tecnlgias TÁT TÁT Vlume 0

14 07 0 Sul 70 Leste () : S70 0 = = 0 60 = = e = =. 08 L ) eten = = ctógn 8 e = + " = " = $ $ ) = = ; = = e = = ) escua = = = 0 igua β h = h = 0 igua 9 + h h β 9 + h h (9 + h) = 9 (9 + h) = h = 6 0 # 6 ntã, a áea da egiã a= = 0 09 L O ac de cicunfeência está centad n pnt da figua acima. ntã seu ai = L. ) ( ) = + + = + = = - - $ c m $ Lg, scua = = aa detemina cent da cicunfeência inscita, devems taça as issetizes intenas d tiângul. 0 0 km 0 aa detemina cent da cicunfeência que passa p pnts distints, e, devems taça as mediatizes d tiângul. O pnt de encnt delas seá cent da cicunfeência pedida = = 8 m (ase média d tapézi J) J = + NO (ase média d tapézi ) 8 + NO 0 = NO = teen 0 km ( 0 0) $ 0 0 $ = + + = 0+ = 7 atemática e suas Tecnlgias matemática Vlume 0 TÁT