4.3. DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS EXATOS

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1 ELEMENTOS DE GEOMETRIA Detemine gaficamente a medida apximada em gaus de um ac de cm de cmpiment em uma cicunfeência de,5cm de ai. 06. Numa cicunfeência de ai qualque, define-se um adian (1ad) cm send ac cuj cmpiment é igual a ai. Detemine gaficamente a medida apximada, em gaus, de um ac de 1ad. Sugestã: use = 4cm DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS EXATOS Dividi a cicunfeência em pates iguais é mesm que cnstui plígns egulaes. Iss pque s pnts que dividem uma cicunfeência num núme n (n >) qualque de pates iguais sã sempe vétices de um plígn egula inscit na mesma. Se dividims uma cicunfeência em n pates iguais, teems também a divisã da mesma em n pates, bastand paa iss taça bissetizes. Estudaems pcess exats e apximads paa a divisã da cicunfeência. 1 O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n =, 4, 8, 16,... =. m PARTES; m N Paa dividi a cicunfeência em duas pates iguais, basta taça um diâmet. Paa bte a divisã em 4, 8, 16,..., taçams bissetizes. O lad de um plígn egula de n lads é dentad p ln. Medida de l4: cnsideand tiângul etângul isósceles de catet, tems que a hiptenusa é l4, lg sua medida é. 180 acs capazes de Quadad 8 45 Octógn 16,5 Hexadecágn 3 11,5 Tiacntadígn

2 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 106 Dividind a cicunfeência em n pates iguais, estams dividind ângul cental de 360 em n pates também iguais. Lg, ângul cêntic (vétice n cent e lads passand p vétices cnsecutivs d plígn) cespndente à divisã da cicunfeência em n pates iguais 360 mediá n. O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 3, 6, 1,... = 3. m PARTES; m N Medida de l6: cnsidee AB um ac que seja a sexta pate da cicunfeência, lg este mediá 60. Assim, deduzims que tiângul OAB é equiláte, ist é, cmpiment da cda AB é igual a ai da cicunfeência. Ptant l6 =. Lg, cm ai igual a da cicunfeência, descevems sucessivamente s acs: cent em um pnt A qualque da cicunfeência btend B; cent em B btend C e assim p diante. Unind s pnts A, C e E teems um tiângul equiláte inscit na cicunfeência. Basta nta que ângul cental cespndente a cda AC vale 10 = 360 /3. Medida de l3: Os pnts A, O e D estã alinhads, pis AÔD = 180. Lg, pnt C petence a ac capaz de 90 de AD. Ptant, tiângul ACD é etângul em C, send AC = l3, CD = l6 = e AD =. Aplicand teema de Pitágas vem que: AD = AC + CD AC = AD CD l3 = () l3 = 4 l3 = 3 l3 = Tiângul equiláte 6 60 Hexágn 1 30 Ddecágn 4 15 Icsitetágn 48 7,5 Tetacntctógn

3 ELEMENTOS DE GEOMETRIA O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 5, 10, 0,... = 5. m PARTES; m N TEOREMA: O lad d decágn egula inscit em uma cicunfeência é segment áue d ai. O ângul cental cespndente de um 360 decágn egula é 36 = 10. Cnsidee um ac AB, cuj ângul cental seja de 36. Lg, a cda AB tem a medida l10. Devems msta que l10 = ( l10). O tiângul AOB é isósceles (seus lads sã ais da cicunfeência), lg s ânguls da base sã iguais A ˆ = B ˆ, e cm Ô = 36, entã  + ˆB + Ô = u  =. Ptant,  = 7. Taça a bissetiz de ˆB btend P sbe OA. Cm ˆ PBA = 36 e PÂB = 7, entã = 7. Lg, tiângul PBA é isósceles de base PA, e cm ist BP = BA = l10. ˆ BPA N tiângul OPB, s ânguls da base sã iguais. Lg, ele é isósceles de base OB e seus lads sã cnguentes, u seja, OP = BP = l10 e, ptant, PA = l10. Cm OBA ~ BPA (pis tem dis ânguls cnguentes), entã s seus lads cespndentes sã ppcinais, u l10 seja, = u l10 =.( l10) u seja, l10 é áue de. l l EXERCÍCIO: Esta ppçã pde se btida também pel teema das bissetizes. Medida de l10: Cm l10 é segment áue d ai, entã l =. Assim, paa dividi uma cicunfeência em 10 pates iguais, a cnstuçã seguinte se justifica. Pcediment e Justificativa: - taça dis diâmets pependiculaes ente si, AB e CD ; - bte pnt M médi de OA ; - unind C e M tems que 5 CM =, pis CM é

4 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 108 hiptenusa de um tiângul etângul de catets e ; - cm l10 = 5, entã devems desceve um ac de cent M e ai MC, btend um pnt E sbe a eta AO; - lg, EO = l10 é áue de, pis EO = EM OM = 5. Obsevaçã: Paa dividi uma cicunfeência em 5 pates iguais, basta dividí-la em 10 pates iguais e uni s vétices de em. Pém, cnvém estudams uma ppiedade que elacina l5, l6 e l10, pemitind dividi dietamente em 5 pates, sem te que dividi em 10 pates pimei. TEOREMA: Paa uma mesma cicunfeência, l5 é hiptenusa de um tiângul etângul cujs catets sã l6 e l10. Obsevaçã: P esta ppiedade, a cnstuçã antei ns fnece l5, basta nta que tiângul etângul EOC tem s catets medind l6 = e l10. Pva: Cnsidee uma cicunfeência de cent O e ai, cm a cda AB = l10. Lg AÔB = 36, e cm tiângul AOB é isósceles de base AB, entã OÂB = OBA ˆ = 7. Seja C um pnt da semi-eta AB tal que AC =. Lg CB = l10 (1). Cnsideand a cicunfeência de cent A e ai, cm ângul cental OÂC tem medida igual a 7, entã OC = l5 (basta 360 nta que 7 = e que ai desta última 5 cicunfeência é ). Cnduzind p C, a tangente CD à cicunfeência de cent O e ai, tems um tiângul ODC, etângul em D, nde catet OD = l6 = e a hiptenusa OC = l5, assim, devems msta que catet DC é l10, u seja, que DC é áue de l6 =. tems De acd cm a ptência d pnt C em elaçã à cicunfeência de cent O e ai, CD CD = l10. = CB.CA. P (1) tems: Medida de l5: Cm l5 = l10 + l6 CD = ( l10).. Lg, pel teema antei, tems que

5 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 109 l5 = 5 + l5 = l5 = l5 = ( 5 5 ) l5 = Pentágn Decágn 0 18 Icságn 40 9 Tetacntágn 4 O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 15, 30,... = 15. m PARTES; m N Cnsidee uma cicunfeência de cent O e ai. Obtenha as cdas AB = (lad d hexágn egula inscit) e AC = l10 (lad d decágn egula inscit). Tems entã AÔB = 60 e AÔC = 36, lg BÔC = = 4 que é ângul cêntic de um plígn egula de 15 lads inscit na cicunfeência. Lg BC = l Pentadecágn 30 1 Tiacntágn 60 6 Hexacntágn Obsevaçã: Teicamente pblema é muit simples, mas gaficamente, devid a gande núme de peações que ele exige, cstuma-se bte esultads uins. P esta azã, estudaems mais adiante um pcess apximad paa l15 que fnece esultads gáfics melhes.

6 ELEMENTOS DE GEOMETRIA O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 17, 34,... = 17. m PARTES; m N Gauss (1796) demnstu que é pssível encnta ângul 17 π : ( ) π 1 s en = A cnstuçã paa encnta lad d heptadecágn é devida a Jhannes Echinge: - Tace diâmet AB e ai OC AB ; - Detemine em OC pnt D tal que OD = ; 4 ADO ˆ - Encnte pnt F em AB tal que EDF ˆ = α = ; Encnte pnt G em AB tal que FDG ˆ = = 45 ; 4 - Detemine pnt H médi de AG ; - O pnt I é a inteseçã de OC cm a cicunfeência de cent em H e ai HG ; - O pnt J é a inteseçã de AB cm a cicunfeência de cent em E e ai EI ; - Tace as pependiculaes a AB que passam p H e J; - HL e KJ deteminam na cicunfeência um ac cm db d tamanh cespndente da cda de l17; - Fazend a mediatiz de KL btems M na cicunfeência, tal que LM = KM = l ,18 Heptadecágn 34 10,59 Tiacntatetágn 68 5,9 Hexacntctógn

7 ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM ARCOS IGUAIS: PROCESSOS APROXIMADOS Fam vists pcesss paa a divisã da cicunfeência em n pates iguais, p exempl, paa n igual a, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 1, 15,... É pssível dividi uma cicunfeência em 7, 9, 11, 13,... pates iguais, cmpletand a pimeia sequência, pém estas divisões sã apximadas. Paa detemina e teóic que se cmete nas cnstuções das cdas l7, l9, l11, l13 e l15, vams inicialmente detemina lad de um plígn egula de n lads em funçã d ângul cental cespndente. Cnsideems uma cicunfeência dividida em n pates iguais, e a cda AB = ln um ds lads d plígn egula inscit na cicunfeência. Seja α ângul cental cespn- dente a lad ln = AB. Paa cada ln, tems um ângul cental cespndente a 360 n. Cnstuind a bissetiz d ângul cental AÔB = α, btems pnt M médi de AB (pis tiângul AOB é isósceles de base AB e a bissetiz elativa a base é também mediatiz), ln lg AM =. Cm a mediatiz é pependicula a lad d tiângul, entã AB OM, u seja, 360 tiângul AOM é etângul em M. Além diss, AÔB = n seá divid em AÔM = 180 n. N tiângul etângul AOM tems que: l n 180 sen = n u l n 180 =.sen n 1 O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 7, 14,... = 7. m PARTES; m N Pcediment: - Maca sbe a cicunfeência um pnt D. Cent em D maca MA = MB =, send que A e B petencem à cicunfeência; - uni A e B, tems entã que AB = l3 = 3; - uni O e D, deteminand pnt C sbe AB. Este pnt divide AB a mei, pis petence à mediatiz deste segment, lg OC também é bissetiz e altua d tiângul AOB, isósceles de

8 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 11 base AB ; l3 - l 7 = AC =. Medida de l 7 e l7: 180 Da fómula geal tems: l7 =. sen 7 0,8660. Desta fma, e teóic é dad p Et = l 7 l7 = 0, ,86776 e cm l 7 = l3/ = 3 Ou seja, e é p falta e da dem de dis milésims, pis 0,0017 0, ,4 Heptágn 14 5,7 Tetadecágn 8 1,9 Icsictógn O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 9, 18,... = 9. m PARTES; m N Pcediment: - Taça dis diâmets AB e CD pependiculaes ente si. Plnga AB ; - Taça a cicunfeência cm cent em C e ai CO =, btend pnt E na cicunfeência de cent O; - Taça a cicunfeência de cent em D e ai DE, deteminand na semi-eta BA pnt F; - Taça a cicunfeência de cent em F e ai FD = DE, btend sbe a semi-eta BA pnt G; - l 9 = BG. Medida de l 9 e l9: O tiângul CED é etângul em E (pis este está n ac capaz de 90 de CD ), entã pel teema de Pitágas tems que CE =, lg DE = 3. CD = CE + DE u DE = CD CE, nde CD = e

9 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 113 Cm DE = DF = FG, entã DF = FG = 3. O tiângul ODF é etângul em O, entã aplicand teema de Pitágas vem que DF = DO + OF p: = ( ) OF DF DO OF 3 = Cm GF = GO + OF u GO = GF OF, entã GO = 3. Assim, l 9 = BG = GO = ( 3 ) 0, Da fómula geal tems: l9 =. sen 9 Et = l 9 l9 = 0, OF = 3 OF =. 0, Desta fma, e teóic é dad Cm 0,0018 0,00, pdems cnclui que e é p falta e da dem de dis milésims Eneágn 18 0 Octadecágn Tiacntahexágn 3 O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 11,,... = 11. m PARTES; m N Pcediment: - Taça dis diâmets AB e CD pependiculaes ente si; - Obte pnt M médi de um ds ais, p exempl OA. Lg, OM = ; - Uni M cm C. Obte pnt N médi de MC ; - l 11 = CN = NM. Medida de l11= e l11: Cálcul d val de l 11: O tiângul OMC é etângul em O. Lg, tems CM = CO + OM u 5 CM =. Entã l 11 = CN = CM = 5 4 0, Da fómula geal tems: l 11 =. sen 11 0, Tems entã que e teóic

10 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 114 é dad p Et = l 11 l11 = 0,00445 Ou seja, e é p falta e da dem de quat milésims. n ÂNGULO POLÍGONO REGULAR 11 3,7 Undecágn 16,3 Icsidígn 44 8, Tetacntatetágn 4 O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 13, 6,... = 13. m PARTES; m N Pcediment: - Taça dis diâmets AB e CD pependiculaes ente si; - Dividi um ai, p exempl OA, em quat pates iguais, btend um segment OE = ; 4 - uni E e C, btend um pnt F sbe a cicunfeência; - l 13 = DF. Medida de l 13 e l13: Cnsidee s tiânguls etânguls DFC (pis F está n ac capaz de 90 de DC ) e EOC. Cm ângul Ĉ é cmum e DFC ˆ = EÔC = 90, entã DFC ~ EOC pel citéi AAA. Desta semelhança tems que: mas AE = + 4 DF CD OE = EC u l 13 4 = EC 17, u seja, AE =. Substituind na expessã acima tems que: 4 l = u l 13 = = 0, Da fómula geal tems: l 13 =. sen 13 Et = l 13 l13 = 0, , Assim, e teóic é dad p

11 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 115 Ist é, e é p excess e da dem de seis milésims. 13 7,69 Tidecágn 6 13,84 Icsihexágn 5 6,9 Pentacntadígn 5 O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 15, 30,... = 15. m PARTES; m N Quand fi apesentada a cnstuçã d pentadecágn egula p um pcess exat, fi feita uma bsevaçã de que pcess implica em muits es gáfics, e que existe uma cnstuçã apximada deste plígn que ns dá esultads melhes, que seá apesentada a segui. Pcediment: - Taça dis diâmets AB e CD pependiculaes ente si; - Cm cent em C e ai CA, bte um pnt E sbe CD ; - l 15 = OE. Medida de l 15 e l15: Cm AC =, entã l 15 = CE CO = CA CO = 0, Da fómula geal tems: l15 =. sen 15 0,4158. Assim, e teóic é dad p Et = l 15 l15 = 0,00161 Ist é, e é p falta e da dem de apximadamente dis milésims. Obsevaçã: Pdems dividi a cicunfeência em n pates iguais etificand-a, btend seu peímet e dividind- e n pates iguais (aplicand teema de Tales), e depis desetificand uma das n pates sbe a cicunfeência. Nte que este pcess é apximad.

12 ELEMENTOS DE GEOMETRIA O DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA EM n = 19, 38,... = 19. m PARTES; m N Pcediment: - Taça dis diâmets AB e CD pependiculaes ente si; - Dividi um ai, p exempl OA, em quat pates iguais, btend um segment OE = ; 4 - Cnstui a mediatiz d ai OC, e bte pnt G, que é a inteseçã da paalela a CD, que passa pel pnt E, cm esta mediatiz; - uni D e G, btend um pnt H sbe a cicunfeência; - l 19 = CH. Medida de l 19 e l19: Cnsidee s tiânguls etânguls DHC (pis H está n ac capaz de 90 de DC ) e DFG. Cm ângul ˆD é cmum e DFG ˆ = DHC ˆ = 90, entã DHC ~ DFG pel citéi AAA. Desta semelhança tems que: mas HC DC FG = DG u l 19 4 = DG 3 DG = + 4, u seja, 37 DG =. Substituind na expessã acima tems que: 4 l = u l 19 = = 0, Da fómula geal tems: l 19 =. sen 19 Et = l 19 l19 = 0,00039 Ist é, e é p falta e da dem de 4 milésims. 0,3919. Assim, e teóic é dad p 19 18,94 Eneadecágn 38 9,47 Tiacntactógn 76 4,74 Heptacntahexágn

13 ELEMENTOS DE GEOMETRIA POLÍGONOS ESTRELADOS DEFINIÇÃO: Um plígn é estelad quand pssui ânguls altenadamente salientes e eentantes, e s lads petencem a uma linha plignal fechada que é pecida sempe n mesm sentid. TEOREMA: Pde-se bte tants plígns estelads de n vétices quants númes p há, excet a unidade, menes que a metade de n e pims cm n. De fat, basta cnsidea s númes p menes que n, pque uni s pnts de p em p equivale a uni-ls de (n p) em (n p); devems exclui a unidade, pque unind s pnts cnsecutivs, btém-se plígn cnvex; send p e n pims ente si, sã necessáis n lads paa vlta a pnt de patida, e assim devem se encntads cada pnt de divisã. DEFINIÇÃO: Plígn egula estelad é aquele que se fma de cdas iguais e nde s lads sã iguais e s ânguls também sã iguais. Lg, plígn estelad egula é fmad p uma linha plignal cntínua e se btém quand, patind de um pnt de divisã qualque da cicunfeência, vlta-se a mesm pnt de patida após as uniões p a p, ist é, puland p divisões. Pcess Geal de Cnstuçã: Paa bte um plígn egula estelad de n vétices, devems dividi a cicunfeência em n pates iguais, e uni s pnts de divisã de p em p, send que: p < n, p 1 e p e n pims ente si. Exempls: a) Paa n = 7: 3, e 1 sã menes d que 7 = 3,5 p = 3 u p =. b) Paa n = 8: 3, e 1 sã menes d que 8 = 4 p = 3. c) Paa n = 15: 7, 6, 5, 4, 3, e 1 sã menes d que 15 = 7,5 p = 7 u p = 4 u p =.

14 ELEMENTOS DE GEOMETRIA 118 EXERCÍCIOS 01. Dada uma cicunfeência de cent O e ai = 5cm, cnstui s seguintes plígns egulaes estelads: a) Pentágn (n = 5, p = ); b) Octógn (n = 8, p = 3); c) Decágn (n = 10, p = 3). d) Eneágn (n = 9, p = ). e) Eneágn (n = 9, p = 4). 0. Cnstui um heptágn egula estelad inscit num cicunfeência de cent O e ai = 6cm. 03. Quants plígns egulaes estelads distints pdem se taçads quand uma cicunfeência está dividida em 0, 4, 30 e 36 pates iguais? 04. Dad um segment AB, lad de um decágn egula, cnstui decágn egula estelad. 05. Cnsidee pentágn egula ABCDE. Pve que lad AB é paalel à diagnal EC. 06. Pve que as diagnais de um pentágn egula sã cnguentes. 07. Pve que lad de um pentágn egula é segment áue da diagnal d pentágn. 08. Cnstui um pentágn egula dad lad l5 = 4cm.