Resoluções de Exercícios

Transcrição

1 Resluções de Eecícis MTEMÁTI IV nheciments lgébics aítul 0 Funções Tignméticas 0 sen m LOO 0 0 E 0 Taçand a altua D d tiangul equiláte, btems D 0 e D cm, is esta altua é também bissetiz e mediana. licand Teema de Pitágas n tiangul D, calcula-se a medida H da altua D. 0 H + H 0 0 H 0 Daí: sen0 0 H cs D sen h 9, +,8 7 m 0.,7 9, m tg0 H LOO 0 0 nsidee a vista lateal de uma das tes Pueta de Eua. 0.( -a)( -b).( - c), nde a+ b+ c Pela Lei ds Sens, segue que: R+ R + R $ m. sen 0c 0 E nsidee a figua a lad. D tiângul, btems + tg t tg &, $ 0,, 9, m. + Sabend que ET 0 km, ST 0 km, cs a 0,9 e que 8.. 9, 00, ela Lei ds ssens, vem ES ET + ST - $ ET $ ST $ cs a & ES $ 0 $ 0$ 0,9 & ES $ $ $ $ 9,+ 8 ES $ $ 9,& ES & ES 900 ES 0 Km. + Ptant, cm a base é um quadad, segue-se que sua áea é aimadamente igual a (9,), 878, m. Ptant, cm min h, tems que a velcidade média edida 0 0 é dada 00 km/h. 0 Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTI IV MTEMÁTI Vlume 0

2 LOO 0 0 ) ad 80 ) 80 ad ) 7 80 D) E) 0 F) Rega de tês: ad ad $ $, ( 7, ) 0 ) 0 0. ad. ). ad. ) 00 π ad. 9 Rega de Tês $ $ ad 80 0 y ad y # D) ad E) 0 π ad 0 ) + K, K 80 0 ) 0 80 ) 80 ) ( ) 0 $ $ 80 D) ( ) ( $ $ ) 0 Quand ntei ds minuts ecem minut, ntei das has descevem (0,). Ptant, em 0 minuts s nteis das has descevem 0 (0,). Em h e 0 minuts as sições ds nteis ds minuts e das has estã eesentadas na figua abai, esectivamente elas semi-etas O e M. Entã, men ângul fmad mediá 0 +. LOO M 0 O 0 P mín 0,8. ( ) +,7,7 0,8,90 P má 0,8. () +,7,0 ) + K, K 0 Dmíni de validade: t ; t a ate:,0 0,8. sen >.( t 0) H +,7 0 ) k, K sen >.( t 0) H 80. (t 0) + k, k u a ate:. (t 0) + k D) ( ) k + K, K k 0 k 7 k 8 k E) + K, K F) K, K t 0 t 0 + k u + k t k t k t + 0k t + 0k Daí: k 0 t dias k 0 t dias k t 9 dias (nã cnvém) LOO 0 0 D 0 O núme assume seu mai val quand f máim, cs - u seja, quand cs. P cnseguinte, esultad edid é cs ff- - senf + csf- - sen + cs -sen -. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTI Vlume 0 MTEMÁTI iv

3 0 m a funçã y 0 cs (t) é da fma y a cs(m t), segue que seu eíd é dad. imagem da funçã é inteval 0 [,] [ 0, 0]. Ptant, a amlitude d mviment é 0 cm. LOO 0 0 cs (0 ) cs 0 / sen(70 ) tg ( ) tg ( ) Entã, cs + sen + tg / + ( ) + /. 0 ) k, k Î e dmíni { R/ k, k } funçã nã é definida se X + / / + k, k, ist é, k, k. Entã dmíni seá { R/ k, k } ) P / ) 0 Substituind as elações tignméticas aa simlificaçã, tems: ] tg + sec ] [ sec & cs ] ccs m$ ctg+ m ] & ccs m$ ctg+ m ccs m$ csec m ccs m $ f cs 0 D Escevend a eessã em tems de sens e cssens, tems: E csec-cs m$ ccssec - senm$ ctg+ ct gm sen cs f -cs $ f - sen$ f + cs sen cs sen cs sen sen cs E f - $ f - $ f + cs sen sen. cs sen cs f $ f $ f cs sen sen. cs E csen. cs m $ f sen. cs LOO 0 D) Res: 00 N Fy 7 0 tgf + tgf tg(00 ) - 00 E) " F -00N y - + k, k! tgf+ " + + k, k!. " - + k, k! LOO 07 0 ) ƒ(). sen ( π) tem eíd. ) ƒ() +. cs f + tem eíd 0π. ) ƒ() sec (π + π) tem eíd. " 0 ) Tensã d ic vlts ) Peíd 0, seg seg. ) Fequência Hz 0 E y sen (k t) ) Peíd k 8 k ) Se sen (k t), teems a amlitude (tensã) máima y Entã: Lg, y sen(8 t) LOO 0 0 D) ƒ() 0. cssec ( + ) tem eíd. E) O eíd de ƒ() tg ( + ) é. F) O eíd de ƒ(). ctg (π + ) é 0,. 0 D Sluçã. O ac está n quadante. Os vales de sen e cs sã sitivs. licand as elações tignméticas, tems: ] + tg sec ] [ sec ] cs ] tg " + () sec & sec ( sitiva) & cs sec. cs f. t+. ) Peíd 0, ) ) Pulsaçã D) ϕ 0 ad. ad segund 0 y ƒ(t) a. sen (b. t) ) O eíd da funçã é, has, entã: Matemática e suas Tecnlgias Matemática iv MTEMÁTI Vlume 0

4 , b b ± b,, b ± b ± 0 ) De acd cm gáfic, dividind eíd, tems val de. 0 ) é isóceles:,7 H ) sen 0 7, H,7.,7.,7 0,,h Entã, ƒ(,), a. sen (,. b),. Daí: Se b a. sen (,. ), a. sen f, a. senf, a, 0 - e se b a,. Em ambs s cass, teems: ƒ(t),. sen (. t), tant, b de se igual a. LOO 0 0 D a ate: N tiângul 0T sen a 0 0 sen a e tg a T T tg a ctg a a ate: Áea d tiângul T T. T.. sen a. ctg. ( 0 ). sen a. ctg a. f sen a -. sen a. ctg a. ( sen a) 0 ) a² + 9 a sen α h ) Sen α h,. sen α, h (,). ( ), ) Se é a altua de um degau, tems que:., 0, m cs 0 H 0 H 0. H m 0 R sen α R + h R sen α + h. sen α R h sen α R R sen α R. ( sen α) h. sen α h. sen a R ( - sen a ) H, H, km LOO 0 0 nsidee a figua, em que é é da eendicula baiada de sbe a eta. 0 H ) tg ,77, 00 ) h, +, h,9 7 m m t, segue que t H 80 t e, tant, tiângul H é etângul isósceles. Lg, H H. D tiângul H, btems tg t H H + tg0 H + H + 0 H + H H - + H 0( + ) & H, 7 m. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTI Vlume 0 MTEMÁTI iv

5 07 D nsideand a altua da escada, tems: $ cs0 + $ cs + $ f + ( + ) 0m Tem-se que d 0 d 0 cs 0 - & 0,98, & d, 00 m. Daí, h tg7 & h, 0,$ 00 d & h, m. Ptant, cm > segue-se que a altua da nte é suficiente aa que navi asse sb ela. 09 Sund que, e etencem a um mesm lan hizntal, tems 8$ 0 0 cm, $ 0 80cm e D (8 + ) $ 0 80 cm. licand Teema de Pitágas n tiângul etângul, encntams & 00 cm. Ptant, d tiângul etângul D, vem 80 tgd t D E Paa semáf de cluna simles, tems H + -,,- 0, tg0 & D +,, D +, 0, & D,,97 -, & D,, m. P ut lad, cnsideand semáf jetad sbe a via, vem H+ -, H- 0, tg0 & 0,, D +,,+, & H - 0,,, & H,, m. LOO 0 0 D 00 0 sen sen 0 $ 00 $ m sen ( 0 ) sen D 0' 0' 87 0' cs (87 0 ),07 milhas Ressta: imadamente,07 milhas. 0 D ) é isósceles: 0 Seja F a altua d tiângul, F é mediana e cs θ d d d. sec i cs i ) D H tg θ H. tg θ d H d. sec θ. tg θ. sec θ. tg θ cm + -$ cm$ cm $ cs " $ 07 D N tiângul assinalad, utilizand a lei ds sens, tems que: sen 0 sen0 " " 0 E, 0 sen 0+ sen ( ) 0 (, ) 0 (,) 8 m 08 d 0 d 0 " " d 0 sen sen0 Matemática e suas Tecnlgias Matemática iv MTEMÁTI Vlume 0 7

6 09 licand a lei ds cssens. ² 0² + 8² (0)(8) cs (0)(8)(0,) ² 00 0 cm Lg, Peímet e igual a: cm π R R 0 0 O 8 8 LOO $ 8$ 8$ cs 0 $ cm 8$ 0 R R " R 00m 0 0 Medida d ac em ad: ad. ad 0. 0 D Sentid anti-hái: ( ) $ adu00. da fi dividida em 8 acs cnguentes, cujas medidas sã iguais a 0. Lg, atind de, teems que ece acs de 0. Ptant a cadeia cuada una neste mment seá a de leta P. 0 D * h h h 7 * 7 Se em asília sã :00h, entã em Luzaka a ha macada seá igual a :00h + h 7h. 0 Dads: v 0 m/ s * t min 0s a Pate: Rega de tês s 0 m 0s a Pate: Medida d c 00 m 0 00 θ O R 00 q 00 m " 0 m 00 m 0 0 i i 0,, 0 O ac ecid el autmóvel cesnde a um ângul cental cuja medida é c0' - c0' 0c $ ad 80 c ad. 9 Ptant, sabend que ai da Tea mede.70 km, vem D.70 km. 9 $ 0 De 9 a eistem númes. Ecluind 9 e estaã númes. ssim teems cabines de um lad, d ut mais a 9 a e a ª, num ttal de 0 cabines. Daí, 0 : 0 que em adians cesnde a * km 99 * km km.000 km 0 09 Vams admiti que ac MP mede aimadamente 0. Entã, se é 0 a distância em km, ente as duas cidades, tems: km 0.,..70 km.00 km 9 O a Pate: álcul de P. Has Desceve. 0 min 0 min 0 0 " 7,! a Pate: Medida d c! 0 7,, LOO 0 0 Reslvems eliminaçã das altenativas, esclhend alguns vales de t. t 0 (t),, sen (0), ( e E sã falss) t (),, sen (), (D é fals) t (),, sen f 0, ( é fals) Matemática e suas Tecnlgias 8 MTEMÁTI Vlume 0 MTEMÁTI iv

7 0 D m cada ângul da base mede a, segue que ângul d vétice é igual a (80 a). Ptant, a áea d tiângul de se btida mei da eessã $ $ sen(80 - a) $ sen a. 0 E 0 áea atinge seu val máim quand sena, ist é, aa a 90, u seja, a. Lg, 0 a <0. ƒ() sen (θ); θ sen θ ƒ() ƒ() ƒ() ƒ().700 Entã, h(t), + 0. sen [.. (t )] h(t), + 0. sen <.t- F - ) h(0), + 0. sen < F, 0. sen < F, 0. sen ( + π), 0. sen, 0.,, 0 y, + 0. sen <.t- F Send. t θ, tems que: y -, y, + 0. sen θ sen θ 0 y -, 0 y, 0, y, 0 Lg, a altua mínima é, m e a máima é, m. 0 ( t+ ) sen; E ( t+ ) 00. sen; E 0 sen ( t + ) < F ( t + ) + k u ( t + ) + k, k (t + ) + k u (t + ) + k t k u t k + ; k Entã: k 0 t 0 k t (nã cnvém, is últim mês ceá quand t ). Daí, smente em janei teems uma ulaçã mínima. 08 D ) 0,0 km 0,0 km 0, km ) tg0 d d 0, km d,7 0, d 0,99 km d 9,9 m 09 temeatua média máima ce quand ( t - 0) ( t - 0) senf + senf sen ( t - 0) + + k + t k + t 9+ k, k!. ssim, tmand k 0, cncluíms que a temeatua média máima ce dias aós iníci d an, u seja, n mês de julh. 0 O eíd da funçã é dad h. t temeatua máima ce quand csf + atinge seu val t máim, u seja, quand csf +. Lg, tem-se que esultad é T má + 7. Queems calcula men val sitiv de t aa qual se tem t csf +. ssim, t t csf + & csf + cs 0 t & + 0+ k & t k-, k!. Tmand k, segue-se que t 0 h. LOO 0 0 ) k 0 t, is t nã cnvém k t 0, is t nã cnvém k t e t que nã cnvém Obs.: 0 t ; t Res.: Os meses sã nvemb e maç. 07 ( t+ ) P sen; E assume seu val mínim quand sen ( t + ) ; E. Ist é: ( t+ ). + k, k ( t + ) + k t + + k t k, k 7 csf +. cs f -cs(7 ). 7 csf- cs f. cs( 8) ( ) 7. cs f + 0.( ) Matemática e suas Tecnlgias Matemática iv MTEMÁTI Vlume 0 9

8 ) cs f. f-. sen ( + 0 ) + cs(0 ) sen cs ( 0 f ). sen( ) + f- sen f + cs ( 0 ) K [, 9 ] Sunha que eista R tal que: cs K - 7 K -7 - K 7 k 9 K 9. k [, 9 ] 0 sen e cs Dads: quadante sen > 0. cs +. sen ] sen * ~ cs - [ sen + cs ] sen + cs Substituind: -.sen sen + f. 8. sen + sen sen - + sen +. sen + 8. sen. sen. sen 0 7. sen. sen 0 Fazend sen y, tems: 7y y y! 0 Daí: sen y y - -. cs 0 Peigeu: (s a ) _ ] 7980 b h [ +> H` 0 ] 0.00 km b a geu: (s a ) _ ] 7980 b h [ +> H` 0 ] km b a 0 E * + 00 ( 00+ cs a) (nã cnvém) 7980,80 + ( 00+ cs a) csa 00 79, 80 csa 0 csa 0 a 90 u a 70 0 D T(t) +. cs f.t+ ) (Falsa). Pis T(0) +.csf +. f- T(0), ) (Falsa). Peíd h ) (Falsa). T má +. D) (Vedadeia). temeatua máima é atingida quand: csf t+. Ist é: t + k, k t + k t k, k e t, 0 t 9. Daí, k t h d imei dia. E) (Falsa) 07 ) Se t 0 V(0) 0 Lg, s itens e E estã eliminads, is cs f. 0 cs(0). ) Nte que eíd d fenômen é s e ente as funções ds itens, e D smente a d item D tem eíd s. m efeit: V(t) 0,. sen f. t Peíd s. 08 Se a maé alta ceu à meia-nite e a óima ceá a mei- -dia, entã eíd d fenômen seá de h. Daí item E está descatad. Quand t 0h a altua y da maé seá m. Entã, y, +,8. csf t, is, aa t 0, cs f. 0 e y, +,8 m. 09 Dente as funções aesentadas nas altenativas, It () 0+ 0 csf t é a única cuj cnjunt imagem é inteval [0, 0]. De fat, Im 0+ 0 $ [-,] [0-0,0+ 0] [0, 0]. 0 Sabend-se que ânguls sulementaes têm cssens simétics, cncluíms que: f() + f() + f() + f (7) $ 80- $ fcs0+ cs + cs + cs 70. LOO 0 0 0/ mets Sena 0, /0 / (sena) + (csa) (/) + (csa) (csa) / csa / is a é ângul agud. Tga sena/csa tga /. Entã, / 0/ 0/. Matemática e suas Tecnlgias 0 MTEMÁTI Vlume 0 MTEMÁTI iv

9 0 D N tecei quadante sens e cssens sã negativs. Utilizand a elaçã fundamental, tems: sen () + cs () 0 0 sen () +- f & sen ( ) - & sen()! & 9 9 & sen()!. m ac tem etemidade n tecei quadante, tems: sen(). alculad a tangente de. sen() - tg() cs() -. tg a Lg, a nte tem cmiment 8 m. 08 (sena) + (csa) (/) + (csa) (csa) / csa / is a é ângul agud. Tga sena/csa tga /. Entã, / / a) f() v.sen (aa agud) y V 0 ad. π/ Paa nã ce chque teems: 0 sen 0 sen. Lg,, is é agud. LOO 07 0 D N P y 0 Newtn álcul auilia: sa P P y 0 D tg a 7 70 m sen 0 8, P y P. cs a N P y P y 0 0 P ) Sen a P P.sen a P mg.sen a P ) F + P Fa F + mg.sen a m. N F + mg.sen a m. P. cs a F + mg.sen a m. m. g. cs a F sen a m + mg cs a cs a F m. sec a+tg a mg 0 E Peíd i? S(t) 0,0. sen( +t) 07 tg a tg a 0 Daí: R 8 m R (0) + (8) 0 + () m Peíd: P Imagem: y 0,0. sen(q) sen(q) y 00, y Daí: 0,0 y 0,0 00, 0 cs a + cs a ( ) e y. > +H y. [sen a + ] cssec a y sen a + sen a ( y ) sen a + cs a ( y ) ( ) + ( ) + (y ) Matemática e suas Tecnlgias Matemática iv MTEMÁTI Vlume 0

10 0 tiângul & tiângul base # altua sena# cs a & tiângul & sena# cs a 07 sen cs f () + sen + cs, aa! 0 k$ +, k. sen cs Ptant a única altenativa ceta é a leta Lemband que cs, vem sec 0 E Finalmente, alicand a Lei ds Sens n tiângul QRS, vem PR QR RS $ ST + sena seni seni + seni. 7 a a sen + cs + a f f a + + a + a+ a + a+ + a. Ptant, cm é um ac d imei quadante e sen, segue que 0. [0] et. É cla que cs 0 sen0. [0] Incet. De fat, is ctg 0 cs $ 0 $. [0] et. Tem-se que tg 0. [08] Incet. Lemband que cssec, tems cssec 0 sen. [] et. m efeit, is sen f() + csf, + csf -, csf csf - + k$ u + k$ aa k intei Paa k 0, tems u 8. Paa k, tems (nã cnvém) u 0 h (nã cnvém). Ressta: h e 8h. 0 nsidee a figua, em que P e Q sã, esectivamente, s simétics de P e Q em elaçã a RT, cm T etencente a L. m Q e Q sã s nts médis de PR e P R, segue-se que S é baicent d tiângul PRP. Lg, RS $ ST e, tant, RT $ ST. D tiângul PRT vem PT tg0 + PT $ ST RT e PT $ ST sen0 + PR PR + PR $ ST. Q θ R α α S T D tiângul PST, btems PT $ ST tga + tga ST ST + tga. Sabend que cssec a + ctg a e que a é agud, encntams 7 cssec + f & sen 8 Q P P ) tg 0.. (0,8) ) Áea d Jã,. Áea d Jã, km ) Á eatj ã,. Ttal, 9% 0 Seja K a distância ecida n ei el nt Q. N tiângul P EO, tems: - K s q. cs q K 0 0 K ( cs q), nde q d ad. Lg, d K. ( cs ( )) Seja n núme de degaus da escada e l cmiment d degau. tg 0 0, 80 n 0. l 0 cm + sen. Matemática e suas Tecnlgias MTEMÁTI Vlume 0 MTEMÁTI iv

11 a ) sen 0 O cm O ) 8 + O cm 0 sec + tg 7 + tg 0 tg. sen + sen ; [0, π] sen +. sen ; [0, π] sen sen + 0 Fazend sen y, tems: y. y y! ] y ( nãcnvé m, is- # sen# ) [ y ] Entã: sen u 07 y- y. cssec + cssec Paa eisti D(ƒ), devems te: y- y- cssec u cssec u y u y y u y 9 08 D E - cs -sen -(-cs)-(-cs ) - cs ( - cs ).( -cs)-(- cs ).( + cs ) E ; cs (- cs ) E cs ( cs ) 09 D S (a. cs b. sen ) + (a. sen + b. cs ) S a. cs. a. b. sen.cs + b. sen + a. sen + 0. a. b. sen.cs + b. cs S a. ( cs + sen ) + b. ( cs + sen ) S a + b cs ( ) 0 + kπ 7 7 k + + kπ + kπ +, k. 0 0 Matemática e suas Tecnlgias Matemática iv MTEMÁTI Vlume 0