LEI DE GAUSS. Figura 102-Lei de Gauss Na figura acima, o fluxo de linhas de força através de A 1

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1 Capítul 9-Lei de Gauss LI D GUSS Quand se clca fubá (u simila) na supefície de um óle viscs nde existem cagas eléticas apaecem linhas. Faaday pecebeu que a dieçã da linha em cada pnt d espaç ea a dieçã da fça elética que atuaia em uma caga elética pntual clcada naquele pnt. P iss denminu essas linhas de linhas de fça. Faaday cnvenciu que sentid de uma linha em um pnt qualque d espaç ea sentid da fça elética que atuaia em uma caga pntual psitiva clcada n pnt. Cm essa cnvençã as linhas de fças saem das cagas eléticas psitivas e entam nas cagas eléticas negativas. Faaday cnsideava que as linhas de fças tinham existência eal e que eam elas que execiam fças sbe as cagas eléticas. s linhas de fças de um dipl elétic estã epesentadas na figua abaix. Figua 0- Fntes e sumidus. tavés da análise das linhas de fças pduzidas p divess sistemas de cagas eléticas Faaday enunciu a pimeia vesã da lei que denminams hje em dia de lei de Gauss. Se cnsideams cm psitiv núme de linhas de fças que saem de uma supefície fechada e de negativ núme de linhas de fças que entam na mesma supefície, núme ttal de linhas de fças (flux de linhas) que atavessam uma supefície fechada é ppcinal à caga elética cntida n intei desta supefície. Figua 0-Lei de Gauss Na figua acima, flux de linhas de fça atavés de é psitiv, flux atavés de é nul e flux atavés de 3 é negativ. Hje em dia nã se utiliza mais cnceit de linhas de fças paa desceve a inteaçã elética. inteaçã elética é descita pel camp elétic. m analgia cm a hiddinâmica define-se flux d camp elétic da seguinte fma: 08

2 Capítul 9-Lei de Gauss Φ v nd $ FLUXO DO CMPO LÉTICO Figua 03- Flux d camp elétic. O cálcul d flux d camp elétic de uma caga elética pntual eque cnceit de ângul sólid. O ângul sólid cm vétice n cent de uma calta esféica de áea e ai e que cntem a calta esféica é p definiçã Ω. O ângul sólid independe d ai da calta esféica pque a áea da calta esféica é ppcinal quadad d seu ai. unidade de ângul sólid é esfeadian. Figua 04- Ângul sólid de uma calta esféica. ÂNGULO SÓLIDO Figua 05- ângul sólid de uma supefície qualque. O cnceit de ângul sólid pde se genealizad paa cas de uma supefície qualque. Divide-se a supefície utilizand-se N supefícies cônicas cm vétice em O. O ângul 09

3 Capítul 9-Lei de Gauss sólid cm vétice em O e que cntem a áea é Ω ', nde ' é a áea da calta esféica e seu ai. pjeçã da áea sbe plan pependicula a vet unitái $ é cs( θ ) $ n$. Quand Ω é pequen tems que ' Ω $ n$. definiçã que genealiza cnceit de ângul sólid é N $ $ $ $ i ni i n d Ω lim N. i definiçã antei pde se aplicada à uma supefície fechada. O ângul sólid que cntem uma supefície esféica cm vétice n seu cent é i ÂNGULO SÓLIDO Ω $ nd $ $ $ d d d 4π 4π esfd figua a lad msta que ângul sólid que cntem uma supefície fechada qualque cm vétice n intei da supefície é 4π esfd pque $ n$ d $ n$" d" Ω 4π. Figua 06- Ângul sólid de uma supefície esféica. O ângul sólid que cntem uma supefície fechada qualque cm vétice n extei da supefície é nul pque a cntibuiçã a ângul sólid de duas áeas diametalmente pstas se cancelam. ) ) ) ) nd + n d ) ) nd nd $ + $ ) ) nd nd $ + $ ( dω dω ) + 0. Figua 07- Ângul sólid de uma supefície fechadapnt inten. Figua 08- ângul sólid e uma supefície fechadapnt exten. 0

4 Capítul 9-Lei de Gauss O flux d camp elétic ciad p uma caga elética pntual lcalizada n intei de uma supefície fechada é v q ) Φ nd $ $ nd 4πε q $ ) n d q dω 4πε 4πε q n$ d. ε Figua 4-Lei de Gauss paa caga pntual intena. O flux ciad p uma caga elética pntual lcalizada n extei de uma supefície fechada é nul pque v q Φ nd $ $ ) nd 4πε q $ ) n d q dω 0. 4πε 4πε Figua 5-Lei de Gauss paa caga pntual extena. Os esultads anteies pdem se genealizads facilmente paa camps elétics ciads p uma distibuiçã de cagas eléticas qualque, uma vez que vale pincípi da supepsiçã paa camps elétics. O flux d camp elétic pduzid p váias cagas pntuais é dad p: N N N qiint enas nd $ nd $. ε i i Ptant, só cntibuem paa flux d camp elétic atavés de uma supefície fechada as cagas eléticas lcalizadas n intei da supefície. O enunciad mden da Lei de Gass afima que flux d camp elétic atavés de uma supefície fechada é ppcinal às cagas eléticas lcalizadas n intei da supefície, ist é, nd $ i i q i int eies ε É imptante essalta que a independência d flux d camp elétic cm tamanh da supefície fechada é devida unicamente a dependência d camp elétic da caga elética pntual cm inves d quadad da distância. O flux de um camp depende em geal d tamanh da supefície. Uma aplicaçã inteessante da Lei de Gauss é cálcul d flux d camp elétic atavés de uma casca esféica cm distibuiçã unifme de cagas. Mstaems inicialmente que a dieçã d camp elétic da casca é adial. Cm esta finalidade LI D GUSS

5 Capítul 9-Lei de Gauss dividiems a casca esféica em anéis. figua abaix msta que camp elétic pduzid p um anel só tem cmpnente adial. Cm camp elétic da casca é a sma ds camps elétics ds anéis pdems cnclui que a dieçã d camp elétic de uma casca esféica unifmemente caegada é adial. d + d 0. Figua 6- Dieçã e sentid d camp elétic de uma casca esféica cm distibuiçã e cagas unifme. aplicaçã da Lei de Gauss à uma supefíce esféica que passa pel pnt P pemite calcula camp elétic em P. Figua 9- Flux de uma camp elétic cm simetia esféica. O flux de um camp elétic atavés de uma supefície de ai P é dad p: ) nd ˆ ˆ d d 4π. Quand pnt está n extei da casca esféica cm na figua acima, a caga elética cntida na supefície é igual à caga elética ttal Q. Ptant, pela Lei de Gauss tems que: P

6 Capítul 9-Lei de Gauss Q Q 4π P. ε 4πε P Quand pnt P está n intei da supefície esféica (ve figua abaix), a caga elética cntida em é nula e ptant camp elétic é nul. 4π P 0 0 Cnseqüentemente, n extei de uma casca esféica unifmemente caegada tud funcina cm se a caga elética estivesse cncentada n cent da casca e n seu intei camp elétic é nul. eletstática d vácu tem duas fmulações equivalentes. pimeia delas utiliza cm elements básics camp elétic da caga pntual q $ 4, pincípi da supepsiçã paa s πε camps elétics e a expessã da fça elética que atua em uma caga elética pntual F q.. segunda utiliza cm elemnts básics as expessões da ciculaçã d camp elétic, flux d camp elétic e a expessã da fça elética em uma caga elética pntual, ist é, d 0 int eies i nd $ ε F q. expessã da ciculaçã e d flux d camp elétic sã denminadas de equações de Maxwell da eletstática. q i 3

7 Capítul 9-Lei de Gauss Cm as equações da eletstática é pssivel demsta que paa detemina ptencial elétic em uma egiã d espaç delimitada p uma supefície fechada é necessái e suficiente fnece a distibuiçã de cagas eléticas n intei da supefície e ptencial elétic da supefície (cndições de cntn de Diichlet ) u a distibuiçã de cagas eléticas n intei da supefície e a cmpnente d camp elétic nmal à supefície (cndições de cntn de Neumann). cada cnjunt de cndições de cntn está assciad apenas uma sluçã( a mens de cnstante). stes esultads ns pemitem encnta sluções de pblemas mais cmplicads cmpnd sluções de pblema mais simples. Utilizaems estas idéias na discussã de cndutes em equilíbi eletstátic. Camp elétics em cndutes CONDIÇÕS D CONTONO D LTOSTÁTIC Quand existe um camp elétic atuand nas cagas eléticas lives de um cndut elas sã deslcadas pelas fças eléticas. Dizems que um cndut está em equilíbi eletstátic quand nã existe mviment de cagas elética n seu intei e na sua supefície.ptant, as cndições necessáias e suficientes paa que um cndut fique em equilíbi eletstátic sã que :. camp elétic que atua nas cagas eléticas lcalizadas n intei d cndut se anule ;. camp elétic que atua nas cagas eléticas da supefície d cndut seja pependicula à supefície d mesm. CONDUTO M QUILÍBIO LTOSTÁTICO CONDUTO M QUILÍBIO LTOSTÁTICO. 4

8 Capítul 9-Lei de Gauss Figua 8- Cndut em equilíbi eletstátic. aplicaçã da Lei de Gauss à uma supefície gaussiana ttalmente cntida n intei de um cndut em equilíbi eletstátic fnece: q d 0 ε. P ist, nã existem cagas eléticas acumuladas n intei de um cndut em equilíbi eletstátic. Tdas a cagas eléticas d cndut se encntam nas suas supefícies. situaçã descita na figua (b) nã ce em cndutes que estã em equilíbi eletstátic. Figua 9- Camp elétic nas pximidades de um cndut em equilíbi eletstátic. aplicaçã da Lei de Gauss à uma pequena supefície gaussiana cilíndica imesa pacialmente na supefíce de uma cndut em equilíbi eletstátic(ve figua acima) msta que a densidade supeficial de caga elética é ppcinal a camp elétic. ) σ σ n d d + dl cs( 90 ) S ε ε. L densidade supeficial de cagas eléticas pde se deteminada quand se cnhece camp elétic sbe a supefície d cndut. σ S ε O ptencial elétic em cndut em equilíbi eletstátic é cnstante pque camp elétic n seu intei é nul. 0 V V d 0. supefície de um cndut em equilíbi eletstátic é uma equipntencial. 5

9 Capítul 9-Lei de Gauss O ptencial elétic sbe a supefície de um cndut maciç em equilíbi eletstátic cm caga elética ttal Q é dad p: ' σ ' ds' Q σds' ; V 4πε ' S nde σ é a densidade supeficial de caga elética. Quand a caga elética ttal é Q ptencial elétic sbe S é difeente e é ds V σ ' ' 4πε ' S S Tvavia, existe uma elaçã ente as cagas e s ptenciais que pde se btida da seguinte fma: v σ ( '') ds'' QV ( ( ') ds' ) V ( V( ') ( ') ds' ) ( ds 4 S S S S ' '' ) ( σ σ σ πε ') ' σ( '') ds'' σ( ') ds' σ( ') ds' ( ( 4πε ' '' ) σ ( '') ds'' ) ( ( '') ( '') '' ) 4πε '' ' V σ ds V Q S S S Q QV V tan. Q cns te V expessã antei msta que ptencial elétic na sua supefície de um cndut maciç em equilíbi eletstátic é ttalmente deteminad pel val ttal da sua caga elética.ptant, cnheciment da caga elética de um cndut maciç fnece as cndições de cntn de Diichlet paa a egiã limitada pela supefície cnduta e uma supefície infinita. O ptencial elétic é univcamente deteminad nesta egiã ( ptencial d infinit fi cnsidead nul). Cnseqüentemente, a densidade de cagas eléticas d cndut também é univcamente deteminada. Vims anteimente que um cndut em equilíbi eletstátic só pde te cagas eléticas nas suas supefícies.vams analisa aga a distibuiçã de cagas eléticas em um cndut que cntem uma cavidade. S S 6

10 Capítul 9-Lei de Gauss BLINDGM LTOSTÁTIC Figua 0 Blindagem eletstática. caga elética ttal d cndut é Q e nã existem cagas eléticas n intei da cavidade. Neste cas a aplicaçã da Lei de Gauss à uma supefície cmpletamente cntida n intei d cndut e que envlve a cavidade msta que a caga elética ttal sbe a supefície da cavidade tem que se nula pque nd $ 0 q S 0. C xistem duas cnfiguações pssíveis cm caga elética ttal Q e caga elética nula na supefície Sc :. a caga elética Q está tda na supefície extena S e existe densidade de cagas eléticas na supefície intena cuj val ttal da caga é nul;. a caga elética Q está tda na supefície extena S e nã existe caga elética na supefície da cavidade. situaçã () é a que ce. Pdems utiliza dis aguments difeentes paa msta que ist é vedade. O pimei deles é qualitativ e mistua cnceit de camp elétic e linhas de fças. O segund é igs e basea-se unicidade da sluçã( a mens de uma cnstante) paa pblema d ptencial em uma egiã fechada d espaç nde as cndições de cntn de Diichlet u de Neumann sã fnecidas.. N cas da situaçã (), as linhas de camp elétic nã atavessam cndut e têm que fica cnfinadas na sua cavidade. linha de fça que liga s pnts e tem que esta ttalmente cntida na cavidade. Ptant, a difeença de ptencial ente s pnts e da supefície intena nã é nula. Cnsequentemente a cnfiguaçã () é pibida.. O ptencial elétic intei é univcamente deteminad. sluçã Vcnstante satisfaz a cndiçã de cntn. Ptant camp elétic na cavidade é nul e a densidade supeficial de S cagas também é nula (σ 0) ε O esultad btid anteimente é a justificativa teóica paa a blindagem eletstática. q+ q' d 0 ε 7

11 Capítul 9-Lei de Gauss Figua - teament aplicaçã da lei de Gauss à uma supefície lcalizada n intei de um cndut infinit cm caga elética ttal -q e cuja cavidade tem uma caga elética q msta que tda a caga elética d cndut está na sua supefície intena. Paa que camp elétic n extei da cavidade seja nul é necessái e suficiente que camp elétic das cagas eléticas induzidas na supefície intena d cndut anule cmpletamente camp elétic da caga elética q. Lei de Gauss aplicada à uma supefície lcalizada n intei de um cndut cm cavidade msta que é bigatói a existência de cagas eléticas na supefície da sua cavidade quand ela cntem cagas eléticas. caga elética induzida é q -q. d 0 Quand a caga elética ttal d cndut é -q tda a caga elética está sbe a supefíce da cavidade. É pssível pva que camp elétic n extei da cavidade é nul utilizand-se duas agumentações difeentes.. pimeia delas é qualitativa e usa cnceit de linhas de fças. s linhas de fças saem das cagas eléticas pstivas e chegam nas cagas eléticas negativas. s únicas cagas eléticas que existem n sistema estã na supefície da cavidade. Cm as linhas de fças de um cndut em equilíbi eletstátic nã pdem atavessa cndut elas nã existem na egiã extena. Ptant camp elétic n extei d cndut é nul.. segunda é igsa e usa as cndições de cntn e a unicidade da sluçã.cm nã existem cagas eléticas na supefície extena d cndut nã existe descntinuidade n camp elétic quand atavessams a supefície extena d cndut. P iss, camp elétic sbe a supefície extena d cndut é nul. O camp elétic sbe uma supefície infinita também é nul. Ptant, a egiã limitada pela supefície extena d cndut e a supefície infinita tem cm cndições de cntn n 0. sluçã paa ptencial elétic n intei desta egiã é Vcnstante. N cas em que cnsideams V 0 a sluçã paa ptencial elétic desta egiã é V0. Cnseqüentemente, camp elétic fa da cavidade é nul. unicidade da sluçã gaante que a distuiçã de cagas eléticas na supefície da cavidade é idêntica à distibuiçã que apaece em um cndut infinit que cntem uma cavidade idêntica cm a mesma caga elética n intei da cavidade. q+ q' ε 8

12 Capítul 9-Lei de Gauss figua acima msta um cndut cm cavidade que cntem n seu intei uma caga elética q. caga elética ttal d cndut é Q q. caga elética na supefície extena d cndut é Q+q. sluçã deste pblema é única e tem as seguintes caacteísticas:. a densidade de cagas eléticas induzidas na supefície da cavidade é idêntica à densidade induzida em um cndut infinit cm a mesma cavidade, a caga elética ttal -q e uma caga elética q n intei da cavidade. a densidade de cagas eléticas na supefície extena d cndut é igual a densidade de cagas que apaece em um cndut maciç cm a mesma supefície extena ( em equilíbi eletstátic) cm caga elética ttal Q-q. O ptencial elétic n extei de uma esfea cnduta em equilíbi eletstátic é igual a ptencial de uma caga elética pntual clcada n seu cent, uma vez que p simetia a caga elética se distibui unifmemente sbe a sua supefície. Vams analisa qualitativamente a elaçã ente as cagas eléticas de duas esfeas cndutas em equilíbi eletstátic. Cm estams inteessads apenas em uma análise qualitativa vams sup que as esfeas estã muit afastadas de tal fma que pdems cnsidea a distibuiçã de cagas sbe cada uma delas unifme. Figua - Pde das pntas q q q 4 πε 4 πε q expessã antei msta que caga elética da esfea mai (cuvatua men) é mai d que a caga elética da esfea men(cuvatua mai). P iss, quand ligams um cndut gande cm um cndut pequen a mai pate da caga elética passa paa cndut gande. 9

13 Capítul 9-Lei de Gauss Tdavia, camp elétic é mai na supefície da esfea cm a cuvatua mai pque 4 4 q q q q πε πε. P este agument, pdems entende de maneia qualitativa pque s camps elétics nas pntas ds cndutes sã maies d que s camps das egiões cm men cuvatua. 0