Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física Centro de Ciências Exatas Universidade Federal do Espírito Santo

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1 POBLMAS SOLVIDOS D FÍSICA Pof. Andeson Cose Gaudio Depatamento de Física Cento de Ciências xatas Univesidade Fedeal do spíito Santo andeson@npd.ufes.b Última atualização: 8/11/6 1:6 H 18 - Lei de Gauss Fundamentos de Física Halliday, esnick, Walke ª dição, LTC, 1996 Física esnick, Halliday, Kane ª dição, LTC, 1996 Física esnick, Halliday, Kane 5ª dição, LTC, Cap. 5 - Lei de Gauss Cap. 9 - Lei de Gauss Cap. 7 - Lei de Gauss Pof. Andeson (Itacaé, BA - Fev/6)

2 HALLIDAY, SNICK, WALK, FÍSICA,.D., LTC, IO D JANIO, FUNDAMNTOS D FÍSICA CAPÍTULO 5 - LI D GAUSS XCÍCIOS POBLMAS Halliday, esnick, Walke - Física - a d. - LTC Cap. 5 Lei de Gauss

3 SNICK, HALLIDAY, KAN, FÍSICA,.D., LTC, IO D JANIO, FÍSICA CAPÍTULO 9 - LI D GAUSS POBLMAS Uma caga puntifome de 1,8 μc está no cento de uma supefície gaussiana cúbica com 55 cm de aesta. Calcule atavés da supefície. (Pág. 9) Considee o seguinte esuema: l De acodo com a lei de Gauss, o fluxo do campo elético ( ) atavés de uma supefície fechada ue encea uma caga é dado po: Logo: 5, Nm /C 5,8 1 Nm /C As dimensões da supefície gaussiana não intefeem no esultado, uma vez ue todo o fluxo do campo elético da caga iá atavessá-la, sendo a supefície peuena o gande. esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss

4 7. Uma caga puntifome está à distância d/ dietamente acima do cento de uma supefície uadada de lado d, confome mosta a Fig.. Calcule o fluxo elético atavés do uadado. (Sugestão: aciocine como se o uadado fosse a face de um cubo de aesta d.) (Pág. 9) Se a caga estivesse localizada no cento de um cubo de aesta d, o fluxo total do campo elético ( ) atavés dos seis lados do cubo, ue constituem uma supefície gaussiana fechada, seia: Veja o seguinte esuema: d/ d Consideando-se a áea do uadado como sendo 1/6 da áea do cubo, o fluxo atavés do uadado ( Q ) seá: Q 6 Q 6 1. Uma caga puntifome está colocada no vétice de um cubo de aesta a. Qual o fluxo atavés de cada uma das faces do cubo? (Sugestão: Utilize a lei de Gauss e agumentos de simetia.) (Pág. 5) Considee o seguinte esuema da situação: esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss

5 f a b a c e d O fluxo do campo elético () da caga atavés dos lados ue fomam o vétice onde a caga está localizada (a, b e e) vale zeo. Isso se deve ao fato de as linhas do campo elético seem otogonais aos vetoes da nesses lados. a b e d A Nos lados c, d e f, as linhas de campo não são otogonais a da, logo o fluxo de campo atavés desses lados não seá nulo. Paa calcula esse fluxo, considee o seguinte esuema no ual a caga está localizada no cento de um gande cubo de aesta a, ue apaece dividido em oito cubos menoes, cada um com aesta a. f a c d O peueno cubo supeio dieito fontal coesponde ao cubo do poblema. O fluxo do campo elético atavés do cubo a é: a O fluxo atavés da cada lado desse cubo é 1/6 do fluxo total. a, lado 6 O fluxo atavés de ¼ de cada um desses lados (uadados c, d e f, no esuema inicial) é: 1 1 c d f a, lado 6 esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 5

6 c d f 15. Veículos espaciais ue passam pelos cintuões de adiação da Tea colidem com elétons confinados ali. Como no espaço não há potencial elético de tea, o acúmulo de cagas é significativo e pode danifica os componentes eletônicos, povocando petubações de cicuitos de contole e disfunções opeacionais. Um satélite esféico de metal, com 1, m de diâmeto, acumula, μc de caga ao completa uma evolução em óbita. (a) Calcule a densidade supeficial de caga. (b) Calcule o campo elético esultante imediatamente foa da supefície do satélite. (Pág. 5) (a) A densidade supeficial de caga σ é a azão ente a caga total dispesa na supefície do satélite Q e a áea dessa supefície A. Q Q 7 σ,5 1 C/m A π σ,5 μc/m (b) O campo elético imediatamente foa da supefície do satélite pode se calculado pela lei de Gauss. Paa isso, vamos constui uma supefície gaussiana esféica de aio, ou seja, com o mesmo aio do satélite, e ue possui cento coincidente com o cento do satélite. Considee o seguinte esuema: da Q Q d A Q da..cos θ da..cos da..(1) da. Como o campo elético é constante ao longo de toda a supefície gaussiana, pode se etiado da integal. Q da π Q Q 1 Q 1 σ π π A 5,1 1 N/C 5,177 1 N/C esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 6

7 18. Um conduto isolado de foma indefinida está caegado com uma caga de 1 μc. Dento do conduto há uma cavidade ue contém uma caga puntifome, μc. Qual é a caga (a) nas paedes da cavidade e (b) na supefície extena do conduto? (Pág. 5) (a) Na ausência de caga elética no inteio da cavidade do conduto, toda a caga Q se dispesa po sobe a sua supefície (veja o esuema abaixo). Q Conduto caegado Cavidade Ao intoduzi uma caga no inteio da cavidade, o euilíbio eletostático anteio é ompido e cagas negativas (num total de ) devem se deslocadas paa a supefície da cavidade. Q a Supefície gaussiana Como não pode have fluxo de campo elético atavés de uma supefície gaussiana localizada no inteio de um conduto ue esteja em euilíbio eletostático, a caga líuida no inteio dessa supefície deve se nula. Potanto, se há uma caga positiva no inteio da cavidade, então deveá também existi uma caga negativa, de igual módulo e de sinal contáio a, na supefície da cavidade. Logo: ' 6, 1 C (b) Seja Q a caga positiva inicial no conduto. Como foi deslocada uma caga negativa paa a supefície da cavidade, a caga ue estaá na supefície extena do conduto (Q ) seá: ' ' Q Q 1 μc, μc ' Q 1 μc ( ) ( ) esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 7

8 . Uma linha de cagas infinita poduz um campo de,5 1 N/C à distância de 1,96 m. Calcule a densidade linea de cagas. (Pág. 5) Considee o seguinte esuema, onde uma supefície gaussiana cilíndica de compimento l e aio foi constuída em tono da linha de cagas. l 1 da1 da 1 da Aplicando-se a lei de Gauss: d A 1 λl da da da As integais 1 e são nulas, pois o ângulo ente os vetoes e da é 9 o. λl dacos l da λ λl.π l λ 6 π,96 1 C/m ( )( )( ) λ 1 6 π 8,85 1 N.m /C 1,96 m,5 1 N/C,96 1 C/m λ,9 μc/m. Duas gandes lâminas não condutoas ue contém cagas positivas estão face a face, como na Fig. 7. Detemine nos pontos (a) à esueda das lâminas, (b) ente elas e (c) à dieita das lâminas. Admita ue as densidades supeficiais de caga σ das duas lâminas sejam iguais. Considee apenas pontos afastados das bodas e a peuenas distâncias das lâminas em elação ao peueno tamanho delas. (Sugestão: Veja xemplo 6.) esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 8

9 (Pág. 5) m egiões póximas às lâminas e compaativamente distante de suas bodas, a intensidade do campo elético é independente da distância à supefície das lâminas. Como as lâminas A e B são não-condutoas, sugem campos eléticos homogêneos pependiculaes à lâmina, de intensidade σ/, em ambos os lados de sua supefície, inclusive em egiões ue vão além da lâmina vizinha. Considee o esuema abaixo, em ue Ae é o campo elético poduzido pela lâmina A, na egião à esueda de ambas as lâminas. Os índices c e d coespondem às egiões cental e à dieita. A B Ae Ac Ad Be Bc Bd y σ σ x Sabendo-se ue a densidade de cagas σ é a mesma paa as lâminas A e B, temos: σ Ac Ad Bd i σ Ae Be Bc i (a) O campo esultante à esueda da lâmina A ( e ) vale: σ e Ae Be i (b) O campo esultante ente as lâminas A e B ( c ) vale: σ σ c Ac Bc i i c esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 9

10 (a) O campo esultante à dieita da lâmina B ( d ) vale: σ d Ad Bd i 5. Uma esfea peuena com massa m 1,1 mg e caga 19,7 nc, está no campo gavitacional da Tea, penduada po um fio de seda ue faz o ângulo θ 7, o com uma gande placa isolante unifomemente caegada, confome a Fig. 9. Calcule a densidade unifome de cagas da placa. (Pág. 51) Considee o seguinte diagama de copo live da massa m, onde T é a tensão ue o fio de seda exece sobe m, P é o seu peso e F é a foça elética geada pela placa: y T θ F x P A foça elética geada sobe m pela gande placa caegada com uma densidade de cagas σ vale F σ i As outas foças valem: Pmgj T Tsenθi Tcosθ j Foças em x: σ Fx Fx Tx Px Tsenθ T σ senθ (1) esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 1

11 Foças em y: F F T P Tcosθ mg y y y y mg T () cosθ Igualando-se (1) e (): σ mg senθ cosθ mg tanθ σ 1 6 ( )( )( )( ) 9 ( 19, 7 1 C) 8,85 1 Nm /C 1,1 1 kg 9,81 m/s tan 7, σ 5,117 1 C/m σ 5,1 nc/m 9 7. Um fio eto, muito compido e fino, está caegado com,6 nc/m de caga negativa fixa. O fio é envolvido coaxialmente po um cilindo unifome de caga positiva, com 1,5 cm de aio. A densidade volumética de cagas ρ do cilindo é escolhida de foma ue o campo elético esultante é nulo foa do cilindo. Detemine a densidade de cagas positivas ρ necessáia. (Pág. 51) O esuema a segui mosta uma supefície gaussiana cilíndica, de aio e compimento l, constuída coaxialmente em tono do fio. l 1 da1 da 1 da O fluxo do campo elético atavés da supefície gaussiana é dado po: d A da d d 1 A A A esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 11

12 A Paa ue o campo na áea lateal do cilindo gaussiano ( ) seja nulo, a caga líuida no inteio dessa supefície deve se nula. Logo: ρv λl ρπ l λl ρ π π 9 ( ) λ, 6 1 C/m 5,99 1 C/m ρ 5, 9 μc/m (,15 m) 6. Uma gande supefície plana, não-condutoa, tem densidade unifome de caga σ. No meio dessa supefície foi feito um peueno fuo cicula de aio, confome ilusta a Fig.. Despezando o encuvamento das linhas de campo em todas as bodas, calcule o campo elético no ponto P, à distância z do cento do fuo e ao longo de seu eixo. (Sugestão: Veja a. 7 do Cap. 8 e utilize o pincípio da supeposição.) O campo elético a uma distância z de uma chapa isolante com densidade de caga σ vale: σ Chapa (Pág. 5) O campo elético a uma distância z de um disco de aio, sobe o eixo otogonal do disco, ue passa pelo seu cento, vale: Disco σ 1 z z Como o campo elético obedece ao pincípio da supeposição, é legítimo afima ue o campo poduzido pela chapa ue possui um oifício na foma de disco coesponde ao campo poduzido po uma chapa não fuada menos o campo poduzido po um disco caegado ue peenche o oifício da chapa. esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 1

13 Chapa fuada Chapa fuada σ σ 1 σ z z z z. Na Fig. vemos o cote tansvesal de um longo tubo metálico de peuena espessua e com aio, cuja supefície possui uma caga de densidade λ po unidade de compimento. Deduza as expessões de a divesas distâncias, a pati do eixo do tubo, consideando as egiões (a) > e (b) <. Tace um gáfico desses esultados ente e 5, cm, fazendo λ, 1-8 C/m e, cm. (Sugestão: Use supefícies gaussianas cilíndicas, coaxiais com o tubo de metal.) (Pág. 5) (a) >. Considee o esuema a segui, ue mosta uma supefície gaussiana cilíndica, de aio >, posicionada de foma coaxial ao tubo metálico. As egiões e 5, ue são euivalentes às egiões e 1, espectivamente, fomam a outa base do cilindo gaussiano e não foam mostadas. da1 1 da da 1 Aplicando-se a lei de Gauss:. d A. da. da. da. da. da 1 5 esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 1

14 . d A A.π L λl λ π (b) <. Neste caso, considee o esuema abaixo: Como as cagas estão localizadas foa da supefície gaussiana, é nulo o fluxo do campo elético atavés desta. Potanto, o campo elético no inteio do cilindo conduto é nulo. (c) λ/π 6. Uma chapa plana de espessua d tem uma densidade volumética de cagas ρ unifome. Detemine o módulo do campo elético em todos os pontos do espaço (a) dento e (b) foa da chapa, em função de x, a distância a pati do plano mediano da chapa. (Pág. 5) (a) Considee o esuema a segui, em ue foi constuída uma supefície gaussiana cilíndica intena à chapa, sendo ue a base do cilindo está alinhada com o plano mediano da chapa: esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 1

15 d x 1 da1 1 da da x m x (cento da chapa), o campo elético é nulo devido à simetia da distibuição da caga em tono dessa egião. Potanto, o fluxo de campo atavés da base do cilindo gaussiano é nulo. Ao longo da áea lateal do cilindo o fluxo também é nulo, pois nessa egião o campo elético é otogonal ao veto da. Potanto, somente há fluxo de campo atavés do topo do cilindo.. d A 1 ρv. da. da. da Ax A ρ x ρ No inteio de uma chapa homogeneamente caegada, o campo cesce lineamente com a distância a pati do seu plano mediano. (a) Considee o esuema a segui: d 1 da1 1 da da De maneia semelhante: x esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 15

16 . d A 1 ρv. da. da. da d ρ A A d ρ No exteio de uma chapa homogeneamente caegada, o campo é constante. 7. Uma esfea sólida não condutoa, de aio possui uma distibuição de cagas não unifome, a densidade de cagas sendo dada po ρ ρ e /, onde ρ e é constante e é a distância ao cento da esfea. Moste ue (a) a caga total na esfea é Q πρ e e (b) o campo elético dento da esfea é deteminado po 1 Q π (a) Considee o esuema abaixo: Q da (Pág. 5) Caga total na esfea: d ρ ρ dv πρ d ρ.π d d (1) πρ πρ Q d d Q πρ (b) Caga no inteio da esfea de aio, patindo-se de (1): πρ πρ d esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 16

17 πρ πρ Q Aplicação da lei de Gauss à supefície esféica de aio :. d A () Substituindo-se () em ():. Q π 1 Q π () 9. nest uthefod disse, num atigo científico, em 1911: "A fim de te uma idéia das foças necessáias paa povoca gandes desvios numa patícula alfa, suponhamos ue uma caga puntifome positiva Ze esteja no cento do átomo, cicundada po uma distibuição de eleticidade negativa Ze, unifomemente distibuída numa esfea de aio. O campo elético... em um ponto dento do átomo, à distância do seu cento, [é] Ze 1 π Veifiue essa euação (Pág. 5) Considee o seguinte esuema, ue mosta a seção tansvesal de um átomo esféico de aio, ue possui caga positiva Ze concentada no cento e densidade ρ de caga negativa homogeneamente distibuída no volume da esfea. Foi constuída uma supefície gaussiana esféica de aio centada no átomo. da Aplicando-se a lei de Gauss: Ze ρv. d A (1) Na. (1), a caga líuida no inteio da casca esféica gaussiana,, coesponde à caga do núcleo, Ze, mais a caga eletônica contida nessa egião, ρv, em ue V é o volume da casca esféica gaussiana. esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 17

18 A Ze Ze π π.π 1 Ze Ze Ze Ze 1 π 5. A Fig. 8 mosta o modelo de Thomson paa o átomo de hélio (Z ). Dois elétons em epouso estão enteados dento de uma esfea unifome de caga positiva e. Detemine a distância dente os elétons paa ue a configuação fiue em euilíbio. (a) Considee o esuema abaixo: (Pág. 5) F F d/ da Paa ue haja euilíbio eletostático nesse sistema, a esultante das foças sobe cada eléton deve se nula. Cada eléton está sujeito a duas foças: epulsão devido ao outo eléton e atação devido à camada esféica de cagas positivas de aio d/. As cagas positivas da camada esféica com aio maio do ue d/ não execem foça sobe os elétons. F F (1) epulsão eléton-eléton: F 1 e π d () Atação esfea-eléton: esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 18

19 F e () Caga positiva na esfea de aio d/: e ρ V d π π ed () Campo poduzido pela esfea de aio d/ em sua supefície (lei de Gauss):. d A d.π.πd Substituindo-se () em (5): ed 1. πd 1 ed. π m temos vetoiais: 1 ed. (6) π Substituindo-se (6) em (): F 1 ed. π (7) Substituindo-se () e (7) em (1): 1 ed 1 e. π π d d (5) esnick, Halliday, Kane - Física - a d. - LTC Cap. 9 Lei de Gauss 19

20 SNICK, HALLIDAY, KAN, FÍSICA, 5.D., LTC, IO D JANIO,. FÍSICA CAPÍTULO 7 - LI D GAUSS XCÍCIOS POBLMAS esnick, Halliday, Kane - Física - 5 a d. - LTC -. Cap. 7 Lei de Gauss