Energia Potencial Elétrica

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1 Enegia Ptencial Elética Q - Cm encnta tabalh ealizad p uma fça F sbe um bjet que se deslca ente dis pnts P e P? P P - W P F.d P Q - O que se pde dize sbe tabalh ealizad p esta fça F em difeentes tajetóias ente s dis pnts P e P? - ecdand...

2 Enegia Ptencial Elética SE fça cnsevativa:,p, P F.d F.d 0 P P Entã W O F d 0 \ Quand fça cnsevativa Define-se : \,P F.d P A difeença de enegia ptencial ente s pnts P (em ) e em P (em ) é igual a tabalh ealizad pela fça ente s pnts P e P P,P P F.d vaiaçã de uma funçã de (x,y,z) - F.d,P F.d P F.d independe d caminh P ( N limite de pequens deslcaments ( ) ( ) F. d P) ( P ) W P P d F. d W P P

3 Enegia Ptencial Elética Fça elética gavitacinal ˆ CONSEVATIVAS ( ) ( ) F. d d F. d Vale paa fças eléticas que também sã cnsevativas

4 Enegia Ptencial Elética Caga q em egiã cm camp elétic ciad p uma caga psitiva q P W Felet.? W P P qq 4π ε W? F. d C 3 d C A tajetóia C equivale à tajetóia C na qual tem-se d deslcaments adiais deslcaments angulaes P q Tabalh nul neste pecus C q - C' { { d // a F W 0 d F W 0 \ apenas deslcaments adiais cntibuem paa a integal. P Td tabalh é ealizad aqui Fmalmente. d ½ d(. ) ½ d() d q \ q d' qq W P P ' P q só depende das psições inicial e final das patículas! q Qualque tajetóia leva a um mesm esultad!

5 Enegia Ptencial Elética Fi vista a definiçã: a difeença de enegia ptencial ente s pnts P e P tabalh da fça elética quand a patícula se deslca de P paa P. ( P) ( P ) W N cas de cagas pntuais, P P W P W P P P qq 4 d qq πε Tmand-se cm efeência (val nul) a enegia ptencial quand a sepaaçã ente elas é infinita tem-se \ ( ) 0 qq ( ) () ( ) q q > ze (cagas de mesm sinal), inteaçã epulsiva q q < ze (cagas de sinal cntái), inteaçã atativa Q - O que significa sinal de? > ze < ze -... a enegia extena paa leva à situaçã de d(q q )!

6 Enegia Ptencial Elética Se cnfiguaçã qq de váias patículas caegadas... Cm calcula? Pincípi da Supepsiçã (inteaçã ente duas cagas independe da existência das utas) ) clca a patícula em seu lcal definid, enquant as utas patículas estã n infinit; tazems a patícula paa seu lcal : ) Taz-se aga a patícula 3: 3) Paa N patículas qq πε 4 qq 3 qq 3 qq N N i j πε i j i i j 3 3 Q P que fat ½? paa uma caga q i sma-se em tdas as utas q j ; muda-se a caga q i e... epete-se pcediment paa tdas as N cagas ( i? j fi i? j : evita aut-enegias infinitas das cagas)

7 Enegia Ptencial Elética Exempl: 3 patículas caegadas cm q a, q b e q c ac q c q a 4 qq N N i j πε i j i i j ab bc 4 πε q a b q q a c q b a q q q b c q c a q q ab a c ba ab ac bc bc q ca b q q { } q a b q q a c q ab a c q q { } b c bc c b c b

8 Enegia Ptencial Elética,0 nc 30 cm 3,0 nc Exemp. 3. Calcula a enegia ptencial eletstática d sistema de patículas mstad na Figua. 30 cm 9,0 0 C 0,30m 0,30m 0,30m 9 Nm,0nC,0nC,0nC 3,0nC,0nC 3,0nC,0 nc P Nm,0 0 C 3,0 0 C 6,0 0 C 9,0 0 C 0,30m 0,30m,4 0,30m 9 7 9,0 0 Nm(6,6704.),8 0 J

9 Enegia Ptencial Elética Enegia ptencial de cagas cm distibuiçã cntinua A sma em 4 N N qq i j via integal πε i j i i j dq dq Em um cas geal, existe uma distibuiçã de cagas cm densidade ρ () \ dq ρ( ) dv dq ρ( ) dv ρ( ) ρ( ) dvdv (em geal é um cálcul cmplicad!)

10 Enegia d camp elétic Enegia Ptencial Elética Onde fica amazenada a enegia ptencial? Evidência expeimental: a enegia ptencial elética está amazenada n camp elétic! (cas geal: ns camps elétic e magnétic) Ex. óbvis: a adiaçã eletmagnética. a enegia da luz sla; enegia em um fn de micndas; enegia nas telecmunicações. Msta-se que a densidade de enegia u (enegia p unidade de vlume) é: u u( E E) u( E e que, em qualque cas, seá ) u ε E a densidade de enegia u() é ppcinal a quadad d val d camp E() (paa cada pnt em )

11 Ptencial elétic Fi vist que: Enegia Ptencial Elética Pde-se defini (enegia ptencial) / (unidade de caga) ptencial elétic V() V( ) 0 se distibuiçã de cagas qualque, paa se taze caga q d tabalh enegia ptencial (q,) ( q, ) V ( ) q n SI de unidades: Obs. paa camp elétic: [ ] jule vlt culmb N J E C m C Em uma situaçã geal: caga de teste q sb efeit de um camp elétic E q (, ) F ( ) d qe ( ) d q E ( ) d nde é pnt de efeência d ptencial, u seja, (q, ) 0. vlt met Entã, V() E ( ) d ptencial elétic

12 Ptencial elétic Enegia Ptencial Elética Ilustand: ptencial elétic em um pnt qq gead p caga pntual Q em 0 Tem-se E( ) Q ˆ 0 Se Q em (fa da igem das cdenadas) V() e E ( ) d Q d Q d Q \ V () ˆ V() Q 4 πε ' Se cnfiguaçã qualque de patículas caegadas... cm calcula V? (cagas discetas q i situadas ns pnts i ) qi Pincípi da Supepsiçã V ( ) Paa uma distibuiçã cntínua: dq ρ ( ') dv' ρ( ') V( ) dv ' 4 πε ' i i

13 Enegia Ptencial Elética Ptencial elétic Calcula a enegia ptencial eletstática d sistema de patículas mstad na Figua e (B) ptencial n pnt P. 30 cm,0 nc 30 cm 3,0 nc 9,0 0 C 0,30m 0,30m 0,30m 9 Nm,0nC,0nC,0nC 3,0nC,0nC 3,0nC,0 nc P Nm,0 0 C 3,0 0 C 6,0 0 C 9,0 0 C 0,30m 0,30m,4 0,30m 9 7 9,0 0 Nm(6,6704.),8 0 J (B) V P V ( ) i qi i V 9 Nm,0nC 3,0nC,0nC 9,0 Nm,0 P 9,0 0 3,0,0 C 0,30m 0,30m 0,30m 0,30 C V 7V P

14 Enegia Ptencial Elética Fi vist: fça elética (cnsevativa) fi F.d independe d caminh define-se Enegia ptencial elética: funçã apenas da CONFIGAÇÃO ( ) ( ) F. d \ W O F d define-se Enegia ptencial p unidade de caga POTENCIAL ELÉTICO q (, ) F ( ) d qe ( ) d q E ( ) d ( q, ) q ( q, ) V ( ) q V() E ( ) d Paa uma distibuiçã geal de cagas: ρ( ') V( ) dv ' 4 πε ' 0

15 Enegia Ptencial Elética Ptencial elétic EXEMPLO: Ptencial em um pnt n eix um anel de ai, tend um caga Q unifmemente distibuída dq dq dq kdq dq x dv ( ) kdq V é mesm (cnstante) paa qq element dq ( k V ) dq kq V kq x

16 Ptencial elétic Enegia Ptencial Elética Execíci-exempl 3.5 Calcula ptencial elétic n intei e n extei de uma esfea nã cnduta de ai que tem uma caga Q distibuída unifmemente. { Q E <, 3 Sl. Vims que camp elétic gead p uma esfea unifmemente caegada é: Q E. Tem-se V() E ( ) d Paa pnts extens à esfea, tem-se Tma-se efeência n infinit fi V( ) 0 Q Q d Q V() d (é mesm de uma caga pntual Q n cent da esfea) \ na supefície da esfea ( ) seá V( ) Q πε 4

17 Ptencial elétic Enegia Ptencial Elética Execíci-exempl 3.5 Calcula ptencial elétic n intei e n extei de uma esfea nã cnduta de ai que tem uma caga Q distibuída unifmemente. na supefície da esfea ( ), N intei da esfea V() V( ) Ed Q V() V( ) d 3 Q Q V V( ) ( ) ( ) 3 3Q Q V() 3 8πε 8πε Q πε 4 ( )

18 Enegia Ptencial Elética Aut-enegia eletstática m bjet de fma qualque cntend uma caga ttal q: há uma enegia assciada (cm fi pssível cia esta situaçã?) aut-enegia eletstática Ex. Casca esféica de ai, cm caga Q q dq Q - Cm é a distibuiçã de cagas? - unifmemente distibuída na supefície. Q - Qual a fça que a casca faz sbe dq? - cm a de caga pntual n cent. Q - Qual é a quantidade de enegia d necessáia paa se adicina dq? q d dq a aut-enegia da casca após caega até Q Q Q qdq 8πε 0

19 Enegia Ptencial Elética Cálcul d camp elétic a pati d ptencial pis Fi vist: cnhece E() cnhece V() também... cnhece V() cnhece E()!!! V() E ( ) d dv E d-edx-edy-edz () x y z V V V dv dx dy dz V, V Ex Ey, Ez V x y z x y z ecdand... gadiente de uma funçã escala f () f (x, y, z) é Mas Lg, f f f f i j k x y z V V V E Exi Eyj Ezk i j k x y z \ E - V camp elétic num dad pnt é mens gadiente d ptencial elétic naquele pnt

20 Enegia Ptencial Elética Supefícies equiptenciais Fi vist: n intei de um cndut em equilíbi E() 0 V() cnstante supefície de um cndut é uma supefície equiptencial. V nã vaia em uma supefície equiptencial fi dv 0 Mas dv E.d E() ze u E ^ d uma supefície equiptencial é tgnal, em cada pnt, a camp elétic Equiptenciais Equiptenciais q E Q - O que se pde dize sbe tabalh ealizad pela fça elética paa se deslca uma caga em uma mesma supefície equiptencial? - Tem-se E ^ d em uma supefície equiptencial, lg...

21 Dipl elétic Enegia Ptencial Elética Caga elética pntual mnpl elétic. dipl elétic um pa de cagas eléticas de mesm val q e sinais psts, sepaadas p uma dada distância d. O ptencial n pnt é dad p N V 0 n q n 0 q - q θ -q q O d q V - Ł ł sand-se (d/ ). (d/ ) e (d/ ). (d/ ) (ve liv) e cnsideand-se d << apximaçã de dipl V ( ) dcsθ (ignam-se tems de dem ) Define-se vet dipl elétic p q d q πε 4 cm d apntand de q paa q Assim, pde-se esceve V ( ) πε 4 p ˆ

22 Dipl elétic Enegia Ptencial Elética ptencial d dipl elétic decai cm ptencial de uma caga (mnpl elétic) decai cm. Paa E dipl, é cnveniente esclhe-se eix z // dipl p fi z csθ q dcsθ \ V ( ) Vxy (,, ) qd z p z 3 ( x y z ) 3 O ptencial elétic e camp elétic de um dipl sã simétics em tn d eix z. θ -q q O d

23 Enegia Ptencial Elética Dipl elétic p em camp elétic unifme E E O d θ q E. d ( ) qe ( ) qe qe ( ) p. E p E cs θ é mínima quand p // E dipls elétics tendem a fica alinhads cm camp (esultad inteessante: cmptament de mateiais nã cndutes sb efeit de camps elétics). 0 Exempls: pe pe

24 Enegia Ptencial Elética Dipl elétic p em camp elétic unifme E F Mas... tque!! ( t x F) θ F Q- F dipl se E é unifme?? - Nã! (F q F q ) sand z ^ a papel, psitiv paa fa, tem-se d τ z -qe senθ - pesenθ u seja, t p E Q- Qual a dieçã e sentid d tque na pesente situaçã? - ^ a papel e

25 Enegia Ptencial Elética Distibuiçã de cagas eléticas em cndutes Fi vist: cndut em equilíbi fi cagas na supefície (tendência a um distanciament máxim ente as cagas) Se f um cndut esféic fi distibuiçã unifme. Se fma qualque...???

26 Q q kq kq V Enegia Ptencial Elética Distibuiçã de cagas eléticas em cndutes Ptencial na supefície Ptencial nas supefícies σ kq kq σ Geal: as densidades de cagas sã invesamente ppcinais as ais de cuvatua q kq Densidade supeficial de cagas e camp elétic sã maies nas pntas Se E > igidez dielética d mei inizaçã. Paa a E max 3kV/mm. σ σ V

27 Enegia Ptencial Elética Q EE3.6 Dad ptencial V ( ) calcula camp elétic. V V V Sl. Sabe-se que E() V() fi E Exi Eyj Ezk i j k x y z Pde-se esceve: x y z x x \ as deivadas paciais: ( ) 3 3 x x y z y z Analgamente paa y e z:, 3 3 y z e, entã, Lg, xi yj zk E - Q Q V - Łł 3 3 Q- paece cm...? ˆ ˆ