19 - Potencial Elétrico

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1 PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Pof. Andeson Cose Gaudio Depatamento de Física Cento de Ciências Exatas Univesidade Fedeal do Espíito Santo Última atualização: 8/11/6 14:49 H 19 - Potencial Elético Fundamentos de Física Halliday, Resnick, Walke 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 6 - Potencial Elético Física Resnick, Halliday, Kane 4ª Edição, LTC, 1996 Cap. 3 - Potencial Elético Física Resnick, Halliday, Kane 5ª Edição, LTC, 3 Cap. 8 - Enegia Potencial Elética e Potencial Elético Pof. Andeson (Itacaé, BA - Fev/6)

2 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3 CAPÍTULO 6 - POTENCIAL ELÉTRICO EXERCÍCIOS E PROBLEMAS Halliday, Resnick, Walke - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 6 Potencial Elético

3 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, FÍSICA 3 CAPÍTULO 3 - POTENCIAL ELÉTRICO PROBLEMAS As cagas mostadas na Fig. 6 estão fixas no espaço. Enconte o valo da distância x tal que a enegia potencial elética do sistema seja nula. Considee o esquema abaixo: q1 q q3 d x Enegia potencial elética nula: Raízes de (1): 1 qq i j U = = i< j ij 1 qq qq qq = qq qq qq d x d x = ( ) (Pág. 7) qq x qq qq qq x qqd= (1) x 1 =, 783 cm x =, 514 cm Como x é uma distância, deve se maio do que zeo. Logo: Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 3

4 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES x,5 cm 8. A difeença de potencial elético ente os pontos extemos de uma descaga elética duante uma tempestade é 1, 1 9 V. De quanto vaia a enegia potencial elética de um eléton que se move ente esses pontos? Dê a sua esposta ente (a) joules e (b) eléton-volts. (Pág. 7) A vaiação da enegia potencial elética sofida po um eléton paa i do ponto 1 ao ponto, ΔU 1, é dada pela Eq. (1), em que W 1 é o tabalho ealizado pela foça elética que age sobe o eléton no pecuso 1. Δ U = W 1 1 A difeença de potencial elético ente os pontos 1 e é dada po (), em que q é a caga tanspotada no pecuso 1. W1 Δ V1 = () q Combinando-se (1) e () e substituindo-se q pela caga do eléton, e, teemos: Δ U1 = qδ V1 = eδv1 ( )( ) Δ = = U 1 1,6 1 C 1, 3 1 V 1,968 1 J Δ 1 U 1 1,97 1 J 1 1 ev 9 Δ U1 = ( 1,968 1 J) = 1, 84 1 ev 19 1, 6 1 J 9 ΔU 1 1, 3 1 ev (1) 13. Uma patícula de caga (positiva) Q está em uma posição fixa P. Uma segunda patícula, de massa m e caga (negativa) q se move com velocidade constante em um cículo de aio 1, com cento em P. Deduza uma expessão paa o tabalho W que pecisa se ealizado po um agente exteno sobe a segunda patícula paa aumenta o aio do cículo, centado em P paa. (Pág. 7) Considee o esquema a segui: Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 4

5 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES v1 F1 Q 1 q v F U1 U Quando a caga q é tansfeida da óbita 1 paa, há vaiação (positiva) de enegia potencial elética e (negativa) de enegia cinética, ou seja, ocoe vaiação da enegia mecânica do sistema. Como este é consevativo, a vaiação da enegia mecânica é causada pelo tabalho (W) de uma foça extena esultante, que desejamos detemina. ( ) ( ) W =Δ E = E E = K U K U ( ) ( ) 1 kq q 1 kq q W = mv mv1 1 1 kqq 1 kqq W = mv mv1 (1) 1 O movimento da caga q na óbita cicula de aio é govenado pela foça de atação em elação à caga Q. Essa foça elética (F) age como foça centípeta (F c ). Logo: F = F c kqq mv = kqq mv = () Substituindo-se () em (1): kqq kqq kqq kqq kqq kqq W = = kqq 1 1 W = 1 Qq 1 1 W = 8πε 1 Como > 1, teemos W >. Ou seja, um agente exteno deveá ealiza tabalho positivo sobe o sistema paa levá-lo do estado 1 paa o estado. 16. Uma placa infinita caegada tem densidade de caga σ =,1 μc/m. A que distância estão as supefícies equipotenciais cujos potenciais difeem de 48 V? (Pág. 73) Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 5

6 Considee o seguinte esquema da situação: A F B ds q Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES d E O módulo do campo elético geado po uma placa infinita, que possui densidade de caga homogênea σ, é dado po: σ E = ε Ou seja, o campo elético geado po essa placa é constante. A difeença de potencial ente duas supefícies equipotenciais A e B localizadas nas poximidades da placa, sendo que B está mais póxima da placa, vale: Δ W 1 B AB V = AB V B V = A. d q = A q F s 1 Δ V B. B. B. cos B AB = q d d Eds E ds( ) q E s= = π = A E s A A 1 A Logo: B Δ V = E ds= Ed d AB ΔV E A ΔV σ ε 1 ( )( ) AB AB V AB 3 = = = = = 7, 8 1 m d 7,1 mm ε Δ σ 8,85 1 C/N.m 48 V 6 (,1 1 C/m ) 18. Na expeiência da gota de óleo de Millikan (veja Seção 8-6), um campo elético de 1,9 1 5 N/C é mantido ente duas placas sepaadas po 1,5 cm. Enconte a difeença de potencial ente as placas. (Pág. 73) Considee o seguinte esquema da situação, em que a caga de pova q seá tanspotada da placa negativa (A) paa a placa positiva (B): Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 6

7 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES B E ds q d F A A difeença de potencial ente as placas coesponde ao negativo do tabalho ealizado pelo campo elético sobe uma caga de pova em seu movimento de uma placa à outa, dividido pela caga de pova. Δ W 1 B AB V = AB V B V = A. d q = q F s A 1 Δ V B. B. B. cos B AB = q d d Eds E ds q E s= = π = A E s A A 1 A B 5 ( )( ) Δ V = E ds= Ed = 1,9 1 N/C, 15 m =.88 V AB ΔV AB A,9 kv ( ). O campo elético dento de uma esfea não-condutoa de aio R, cuja densidade de caga é unifome, tem dieção adial e seu módulo é q E( ) =, 3 R sendo q a caga total na esfea e a distância ao cento desta. (a) Detemine o potencial V() dento da esfea, consideando V = em =. (b) Qual a difeença de potencial elético ente um ponto da supefície e outo cento da esfea? Se q fo positiva, que ponto possui maio potencial? (c) Moste que o potencial à distância do cento, sendo < R, é dado po q( 3R ) V = 3 8πε R onde o zeo do potencial foi abitado em =. Po que este esultado difee do que foi apesentado no item (a)? (Pág. 73) (a) Considee o esquema abaixo, em que os pontos C, S e P estão localizados no cento, na supefície e no inteio da esfea, a uma distância do cento, espectivamente: Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 7

8 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES C R E P ds = d S A difeença de potencial ente os pontos P e C vale: Δ V = V V = E. d s CP P C P C Consideando o potencial nulo no cento da esfea, teemos: V V = V = E. ds = Eds..cos= Eds. P C ( ) Neste caso, como o valo de efeência do potencial é no cento da esfea ( e não no infinito), os vetoes ds (deslocamento a pati do ponto de efeência do potencial) e d (deslocamento adial a pati de = ) são idênticos (ds = d) = q q q ( ) 3 3 R = R = 3 R V d d V = q ( ) 3 8πε R (b) A difeença de potencial ente S e C vale: Δ qr V = V V = V V = CS S C ( R) () 3 8πε R q Δ VCS = 8πε R Como ΔV CS é negativo, isto significa que indo do cento paa a supefície da esfea o potencial elético diminui se a caga da esfea fo positiva. Logo, o cento da esfea apesenta maio potencial (c) Com V = no infinito, o cálculo de V () é feito da seguinte foma: S V V = E. d s E. d s P ext V = E. ds E. ds S P int O cálculo deve se feito em duas etapas, pois o compotamento do campo elético no inteio da esfea é difeente do compotamento no exteio. S P V = E. ds.cos18 E. ds.cos18 ( ) ext S int S ( ) ext S int P Neste caso, como o valo de efeência do potencial é no infinito, os vetoes ds (deslocamento a pati do ponto de efeência do potencial) e d (deslocamento adial a pati de = ) possuem sentido contáio (ds = d). R 1 q q V( ) =. ( d). 3 ( ) d R R Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 8

9 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES q Rd q ( ) = 3 R R V V V d q 1 1 q R = ( ) 3 R R q 1 q R = ( ) R 8πε R R Após o desenvolvimento da equação acima, a esposta seá obtida. V ( 3 ) q R = ( ) 3 8πε R O valo de V () obtido no item (a) difee do valo acima devido à mudança obsevada na posição de efeência onde V =. 8. Suponha que a caga negativa de uma moeda de cobe tenha sido emovida paa uma gande distância da Tea - talvez uma galáxia distante - e que a caga positiva foi distibuída unifomemente na supefície do nosso planeta. De quanto mudaia o potencial elético na supefície da Tea? (Veja o Exemplo no Cap. 7) (Pág. 74) O planeta Tea apesenta um campo elético E de módulo igual a 15 N/C, que aponta dietamente paa baixo, otogonalmente à sua supefície. Como a Tea pode se consideada uma esfea condutoa, esse campo é geado po uma distibuição de cagas negativas distibuídas homogeneamente sobe sua supefície. Póximo à supefície do planeta, consideada plana, o campo elético vale: Logo: E = σ ε ( )( ) σ = εe = 8,85 1 C /N m 15 N/C = 1,375 1 C/m A caga total sobe a supefície vale: Q T 1 9 ( ) ( ) = σ π = π = Q 6,77 kc T RT 1,375 1 C/m 4 6,37 1 m ,4 C O potencial elético na supefície e no exteio da Tea é o mesmo que seia poduzido se a caga Q T fosse puntifome e localizada no cento do planeta, ou seja: 1 q V( ) = ( R T ) Na supefície, o potencial vale: 1 QT V( RT ) = R T Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 9

10 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES Potanto, mudanças na caga total da supefície do planeta acaetam vaiações no potencial elético em sua supefície. A moeda de cobe citada no enunciado do poblema, de massa igual a 3,11 g, possui númeo de átomos de cobe igual a: N Nm M 3 ( 6, 1 átomos/mol)( 3,11 g) ( 63,5 g/mol) A = = =, átomos Na expessão acima, N A é o númeo de Avogado, m é a massa da moeda de cobe, fonecida no Exemplo citado no enunciado, e M é a massa mola do cobe. A caga positiva pesente na moeda Q M é igual ao poduto de N, do númeo de pótons po átomo Z e da caga do póton e: QM ( )( )( ) = NZe= = = 19 5, , 6 1 C 1,368 1 C 136,8 kc Ao distibui a caga Q M sobe a supefície da Tea, o novo potencial seá devido à caga Q = Q T Q M. Potanto, a vaiação no potencial elético seá igual a: 1 QT Q M 1 Q T 1 Δ V = VQ VQ = ( ) T = QT QM QT RT RT RT 5 ( 1,368 1 C) QM Δ V = = = RT 1 C 6 4π 8,85 1 ( 6,37 1 m) Nm ΔV 193 MV 8 1,931 1 V 35. Paa a configuação de cagas da Fig. 35, moste que V() paa pontos no eixo vetical, consideando >> d, é dado po 1 q d V = 1 (Sugestão: A configuação de cagas pode se vista como a soma de uma caga isolada e um dipolo.) (Pág. 74) A foma mais dieta de cálculo do potencial no ponto P devido às tês cagas é po meio da soma dos potenciais geados po cada uma dessas cagas. Consideando-se no esquema acima como 1, e 3 as cagas supeio, do meio e infeio, teemos: Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 1

11 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES V = V V V q 1 q 1 q V = ( d) ( d) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) q q d d d d V = = ( d) ( d) d d q d d V = ( d)( d) (1) A Eq. (1) coesponde ao valo exato do potencial no ponto P geado pelas tês cagas. Paa obtemos a expessão do potencial paa pontos onde >> d, é peciso apoxima o denominado do temo ente colchetes paa 3, o que significa faze d e d, e tunca em algum ponto a soma que apaece no numeado do mesmo temo. Se o tuncamento esulta em, o esultado seá: q 1 q V 3 = () A Eq. () coesponde ao potencial de apenas uma caga pontual q a uma distância dessa caga. Neste caso, pecebemos que o tuncamento foi exageado, pois não existem taços da pesença do dipolo na expessão esultante. Apoximando-se o numeado do temo ente colchetes de (1) paa d, teemos: q d V 3 q d V 1 Podemos também acata a sugestão dada no enunciado do poblema e considea o potencial elético no ponto P como sendo o esultado da sobeposição do potencial elético poduzido pelo dipolo (cagas das extemidades do aanjo) e potencial da caga cental (q). V = V V dip q Na Seção 3.6 do livo, é feito o cálculo do potencial geado po um dipolo, sendo que paa >> d, o esultado é: 1 qd cosθ V (4) Na Eq. (4), θ é o ângulo ente a linha que une as cagas do dipolo e a linha que une o cento do dipolo ao ponto P. No pesente caso, θ =. Substituindo-se (4) em (3), teemos: 1 qd 1 q V 1 q d V 1 (3) 38. Uma quantidade total de caga positiva Q é espalhada sobe um anel cicula plano de aio inteno a e aio exteno b. A caga é distibuída de modo que a densidade de caga (caga po Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 11

12 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES unidade de áea) é dada po σ = k/ 3, onde é a distância desde o cento do anel a qualque ponto deste. Moste que o potencial no cento do anel é dado po Q a b V = 8πε ab (Pág. 75) Considee o esquema abaixo: dθ d Q dq dθ a q b Elemento de caga no anel: dq k σ = = 3 da dq k 3 ddθ = kddθ dq = (1) Caga total no anel: Q = d q Substituindo-se (1) em (): b π dθ d Q= dq= k a 1 1 Q= π k a b Potencial elético no cento do anel: 1 dq dv = 1 V = dv = dq (3) Substituindo-se (1) em (3): k b π dθ d V = 3 a k 1 1 V = 4ε a b () Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 1

13 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES k π V = 4ε a b a b π V = π k a b 8πε a b O temo ente colchetes é a caga total Q: Q 1 1 V = 8πε a b 4. O campo elético ealiza tabalho de 3, J sobe um eléton no campo ilustado na Fig. 37, paa move o eléton desde A até B, ao longo de uma linha de campo. Quais as difeenças de potencial elético (a) V B V A, (b) V C V A e (c) V C V B? (a) 19 ( 3,94 1 J) 19 ( 1, 6 1 C) WAB WAB Δ VAB = VB VA = = = =,465 V q e ΔV AB, 46 V (Pág. 75) (b) Neste caso, o eléton é tanspotado ente as mesmas supefícies equipotenciais do item (a). Logo: Δ V =ΔV,46 V AC AB (c) Como o eléton pemanece na mesma supefície equipotencial, não há vaiação de potencial elético. Δ = V BC 51. Em um bastão fino de compimento L, que está sobe o eixo x, com uma extemidade na oigem (x = ), como na Fig. 4, está distibuída uma caga po unidade de compimento dada po λ = kx, sendo k uma constante. (a) Consideando nulo o potencial eletostático no infinito, detemine V no ponto P do eixo y. (b) Detemine a componente vetical E y do campo elético em P, utilizando o esultado de (a) e também po cálculo dieto. (c) Po que a componente hoizontal Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 13

14 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES E x do campo elético em P não pode se encontada usando o esultado de (a)? A que distância do bastão, ao longo do eixo y, o potencial é igual à metade do seu valo na extemidade esqueda do bastão? Considee o esquema abaixo: y de θ P θ y dq (Pág. 76) x dx x (a) Elemento de potencial (dv) geado pelo elemento de caga (dq): 1 dq 1 dq dv = = y x Elemento de caga (dq): dq λ = = kx dx dq = kxdx Substituindo-se () em (1): k xdx dv = y x (b) k V = dv = ( ) 1/ k V = y x L ( ) 1/ k V = y L ( ) 1/ xdx ( y x ) 1/ L ( ) 1/ y (1) () Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 14

15 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES E y V k ( y ) 1/ = = L y y y k 1 ( ) 1/ Ey = y L. 1 y E y k = 1 y ( y L ) 1/ Cálculo dieto de V de= desenθi decosθ j (3) Módulo do elemento de campo elético: 1 dq de = (4) Substituindo-se () em (4): k xdx de = y x Senos e cossenos de θ: x senθ = y x cosθ = ( ) 1/ y ( y x ) 1/ Substituindo-se (5), (6) e (7) em (3): k x dx ky xdx de= i j 4 ( y x ) πε ( y x ) 3/ 3/ k L x dx ky L xdx d ( y x ) ( y x ) E= E= i j ( ) 3/ 3/ 1/ L L y k L ky ln y E= i 1 y y L 4 y L Nesta expessão, pode-se ve que : E y k = 1 ( ) πε ( ) 1/ 1/ y ( y L ) 1/ (c) Não há dependência de V em elação a x na esposta do item (a). (d) Potencial na extemidade esqueda do bastão, usando a esposta do item (a), com y = : k ( ) 1/ kl V() = L = Valo de y paa o qual V (y) = V () /: j (5) (7) (8) Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 15

16 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES V V kl 8πε () ( y) = = k ( ) 1/ k y L y L = 8πε ( ) 1/ y L y= y = 3L 4 L 55. Uma caga de 15 nc pode se poduzida po simples atito. Que vaiação de potencial essa caga causaá em uma esfea condutoa isolada de 16 cm de aio? (Pág. 76) A vaiação de potencial elético que a esfea de aio sofeá vale: Δ V = V V, onde V é o potencial da esfea na ausência de cagas eléticas em sua supefície (V = ) e V é o potencial na supefície da esfea caegada homogeneamente com caga q. O potencial V é o mesmo que se veifica a uma distância de uma caga puntifome. 8 ( 1, 5 1 C) 1 q 1 Δ V = = = 84,58 V 1 C (,16 cm) 4π 8,85 1 N.m Apesentando-se a esposta com dois algaismos significativos: ΔV 84 V 56. Enconte (a) a caga e (b) a densidade de caga na supefície de uma esfea condutoa de 15, cm de aio, cujo potencial é de 15 V. (Pág. 76) (a) O potencial elético no exteio de uma esfea condutoa de aio R e caga q é dado po: 1 q V = ( ) ( R) Conhecendo-se V (R), pode-se calcula q: 1 q V( R) = R 1 C 9 q= RV( R ) = 4π 8,85 1 (,15 m)( 15 V) = 3, C Nm Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 16

17 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES q 3,63 nc (b) A densidade supeficial de caga σ vale: 9 ( ) q q 3, C σ = = = = 1,518 1 C/m A π σ 1,5 nc/m ( ) 4 R 4π,15 m 8 Resnick, Halliday, Kane - Física 3-4 a Ed. - LTC Cap. 3 Potencial Elético 17

18 Pof. Andeson Cose Gaudio Depto. Física UFES RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 3. FÍSICA 3 CAPÍTULO 8 - ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA E POTENCIAL ELÉTRICO EXERCÍCIOS PROBLEMAS Resnick, Halliday, Kane - Física 3-5 a Ed. - LTC - 3. Cap. 8 Enegia Potencial Elética e Potencial Elético 18