Módulo 17 Geometria espacial métrica Pirâmides

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1 9 Matemática 6 9 Módulo 7 Geometia espacial mética Piâmides. efinição onsideemos um plano α, uma eião polional convea S e um ponto foa de α. Piâmide é a eunião de todos os sementos com uma etemidade em e a outa na eião polional S. Piâmide quadanula: a base é um quadiláteo. Piâmide quadanula Piâmide heaonal: a base é um heáono. S α Elementos aesta lateal face lateal (vétice) S E base aesta da base h (altua) eião polional S é chamada base da piâmide. vétice da piâmide é. altua da piâmide é a distância de ao plano da base. s aestas da base são os lados do políono da base. s aestas lateais são os sementos com etemidades em e nos vétices do políono da base. s faces lateais são os tiânulos deteminados pelo vétice e cada uma das aestas da base.. Nomenclatua Uma piâmide é nomeada de acodo com a quantidade de aestas na base. Piâmide tianula: a base é um tiâulo. Piâmide heaonal. lassificação izemos que a piâmide é oblíqua se a pojeção otoonal do vétice não fo sobe o cento da base. Piâmide heaonal oblíqua Piâmide eta é a que possui a pojeção otoonal do vétice sobe o cento da base. E E Piâmide heaonal eta Piâmide tiânula (tetaedo) No caso em que uma piâmide é eta, suas aestas lateais são todas conuentes. PN-0-5

2 0 0 Piâmide eula Uma piâmide eta que possui um políono eula na base é chamada de piâmide eula. pótema da base de uma piâmide eula hama-se apótema da base de uma piâmide eula o apótema do políono eula da base, o qual é a distância do cento do políono a cada um dos lados. d d d Piâmide tianula eula Em uma piâmide eula, suas faces lateais são tiânulos isósceles conuentes. pótema de uma piâmide eula hama-se apótema de uma piâmide eula a altua (elativa ao lado da base) de uma face lateal. m m: apótema da piâmide a a: apótema da base Áea lateal e áea total áea lateal de uma piâmide é a soma das áeas das faces lateais. áea total de uma piâmide é a soma da áea lateal com a áea da base. t = d + b olume volume de uma piâmide é iual a um teço do poduto da áea da base pela altua. = b h Eecícios esolvidos. (PU-MG) piâmide de Quéops, em Gizé, no Eito, tem apoimadamente 90 metos de altua, possui uma base quadada e suas faces lateais são tiânulos equiláteos. Nessas condições, pode-se afima que cada uma de suas aestas mede, em metos: a) 90 b) 0 c) 60 d) 80 Sendo a a medida de cada uma das aestas da piâmide, temos: a Em que m = m = a. Então: m = a +( 90 ) a a 90 ( ) = + a = a + 90 a = 90 a = 90 a = 90 \ ada umadesuasaestas mede 90 = 80 m m 0 a a

3 Matemática 6. ( UFPE ) s sementos, e são dois a dois pependiculaes no espaço, como ilustado a seui. Se = 5, = 6, = 7, qual seá o volume da piâmide tianula? Sendo a base e a altua, temos: = b h = = 5 Eecícios de plicação. ( UFP ) Na fiua abaio, está epesentada uma piâmide de base quadada que tem todas as aestas com mesmo compimento. ltua da piâmide: h a) Sabendo que o peímeto do tiânulo é iual a 6+, qual é a altua da piâmide? b) Quais são o volume e a áea total da piâmide? = + h h = = h = a) h 6+ = + b) Áea total da piâmide: t = b + t = + t = + = 9+ 8 t olume da piâmide : = = 9 PN-0-5 ( + ) = ( + ) =

4 . (Ibmec-J) pati de um cubo EFGH, constói-se uma piâmide oblíqua FGH, confome ilusta a fiua. Se o volume do cubo vale, então o volume dessa piâmide vale:. Na fiua abaio, temos epesentada uma piâmide de base quadada e altua E. E E F H G a) c) 6 e) Sabendo que a aesta da base mede cm e a altua mede 5 cm, detemine o volume dessa piâmide. b) 8 d) = b h = = cm 5 80 cubo = = b h pi b h h b = pi = pi = 6 6 Eecícios Popostos. (Unifo-E) Uma piâmide eula de altua cm tem como base um quadado de lado 0 cm. Sua áea lateal, em centímetos quadados, é: a) 60 c) 80 e) 65 b) 60 d) (UEG-G) onsidee uma piâmide de base quadada e faces lateais tiânulos equiláteos. volume da piâmide pode se calculado pela teça pate do poduto da áea da base pela altua da piâmide. a) esenhe a piâmide. b) alcule o volume da piâmide, consideando a medida do lado do quadado da base iual a 0 cm. 6. (Unimontes-MG) Seja uma piâmide cujo vétice é o cento de uma face de um cubo de aesta a e cuja base é a face oposta desse cubo. alcule a áea lateal dessa piâmide (em função de a). 7. (Fuvest-SP) Um telhado tem a foma da supefície lateal de uma piâmide eula de base quadada. lado da base mede 8 m e a altua da piâmide, m. s telhas paa cobi esse telhado são vendidas em lotes que cobem m. Supondo que possa have 0 lotes de telhas despediçadas (quebas e emendas), o númeo mínimo de lotes de telhas a se compado é: a) 90 b) 00 c) 0 d) 0 e) 0 8. (Unifo-E) altua de uma face de um tetaedo eula é 5 cm. áea total desse tetaedo, em centímetos quadados, é: a) 0 b) 5 c) 00 d) 0 e) 5 (UFJ 9. F-MG) pofessoa de Paulo solicitou que ele constuísse uma piâmide quadanula eula, cujo volume fosse maio do que ou iual a cm. fim de faze tal constução, Paulo cotou o molde a seui, tendo 0 cm, como peímeto da base, e tiânulos equiláteos conuentes, como faces lateais.

5 Matemática 6 a) Faça um esboço da piâmide, após se montada com o molde. b) etemine as medidas dos lados dos tiânulos, epesentados no molde anteio. c) etemine a áea da base da piâmide a se montada com o molde. d) etemine a altua da piâmide a se montada com o molde. e) Sabendo-se que o volume de uma piâmide é dado po SH =, em que S é a áea de sua base e H a sua altua, detemine o volume da piâmide a se montada com o molde. f) piâmide montada po Paulo atende às especificações solicitadas po sua pofessoa? Justifique sua esposta. 0. alcule a áea lateal, a áea total e o volume de uma piâmide eula heaonal cujo apótema mede cm e a aesta da base mede cm.. (efet-p) P é um ponto do plano catesiano tal que os valoes de sua abscissa e de sua odenada são, espectivamente, os valoes da áea total e do volume da piâmide heaonal eula, cuja aesta da base mede 6 cm e a altua, 9 cm. Sendo assim, as coodenadas do ponto P são: ( ) ( ) ( ) ( ) a) 6, 86 b) 6, 6 c) 86, 6 d) 86, 08 e) (08, 6). Uma constução tem a foma de uma piâmide de base quadada de lado 6 m e o ânulo fomado pela aesta lateal com o plano de base iual a 60º. Qual é a medida de cada uma das aestas lateais dessa constução? a) 6 m b) m c) 6 m d) m PN-0-5

6 Módulo 8 Geometia espacial mética ones. efinição onsidee um cículo de cento e aio contido em um plano α. Seja um ponto não petencente a esse plano. Eio α one eto ou cone de evolução Em um cone eto, a pojeção otoonal do vétice no plano da base é o cento da base. hamamos cone cicula ou apenas cone ao sólido eomético fomado pela eunião de todos os sementos de eta com uma etemidade no ponto e a outa em um ponto do cículo.. Elementos ase é o cículo de cento e aio. étice é o ponto. Eio é a eta que passa pelo vétice e pelo cento da base. Geatiz é todo semento que possui uma etemidade em e a outa em alum ponto da cicunfeência da base. ltua é a distância do vétice ao plano da base.. Secção meidiana secção meidiana de um cone é a intesecção do cone com um plano que passa pelo vétice e pelo cento da base. α eio No cone eto, todas as eatizes são conuentes, então a secção mediana é um tiânulo isósceles. 5. Áea lateal e áea total pati da planificação do cone, temos: eatiz () base altua (h). one cicula eto one cicula eto é aquele que apesenta o eio pependicula ao plano de base. Ele também é chamado de cone de evolução, pois é eado pela otação de uma supefície tianula deteminada po um tiânulo etânulo em tono de uma eta que contém um de seus catetos. q h p áea da base é dada pela áea de um cículo de aio : b = p

7 5 Matemática 6 5 áea lateal é calculada de foma semelhante à áea do seto: p = = p áea total é dada pela soma da áea da base com a áea lateal. t = b + d 6. olume volume de um cone é iual a um teço do poduto da áea da base do cone pela sua altua. = b h = ( p ) h = p h Eecícios esolvidos. Num cone eto de aio de base 6 cm e eatiz 0 cm, calcula. a) a altua (h); b) a áea lateal (d ); c) a áea total (t ) d) o volume (); e) o ânulo q em adianos, da supefície lateal planificada.. supefície lateal de um cone de evolução é a quata pate de um cículo de aio cm. alcule o volume desse cone. h cm h = 0 cm 6 cm a) h + = h + 6 = 0 h = 6 \ h = 8 cm b) d = p = p 6 0 d = 60 p cm c) d = p + p d = p 6 + p 6 0 d = 96p cm p h p 6 8 d) = = = 96pcm p = cmeq= ad p p p q = = = cm = h + = h + h = 5 h = p h = p 5 = cm 5 cm p = 5 e) q p p p q p p p p p p 6 q = = =, p ad 0 PN-0-5

8 6 6 Eecícios de plicação. (Uca-S) onsidee um cone cicula eto cujo aio da base mede cm. Sabendo-se que a áea lateal é iual ao dobo da áea da base, calcule a altua desse cone. a) cm b) cm c) cm d) 5 cm E d = b = h + p = p = h + = 6 9 = h = = 6 cm h = cm e) cm. (efet-sp) Um cientista, ao pesquisa novas fontes de eneia, em um de seus epeimentos encheu po completo, com uma substância líquida, um tudo de ensaio cônico que tinha 5 cm de altua e cm de aio. Em seuida, toda essa substância foi tansfeida paa um ecipiente em foma de um pisma eto, de maneia a cobi apenas metade do volume deste. Se esse pisma tem uma base etanula de cm po cm, então sua altua é de: a) 0 p cm b) 0 p cm d) p cm e) p cm c) 5 p cm. (Fuvest-SP) Um cone cicula eto está inscito em um paalelepípedo eto-etânulo, de base quadada, como mosta a fiua. azão b ente as dimensões do paalelepípedo é, e o volume do cone é p. a Então, o compimento da eatiz do cone é: = b h = p 5 5 = 0p cm b a) 5 b) 7 a c) d) 6 a e) 0 h = h h 0p = h = 0p h = b 0 p cm E a a p = p a = 8 a = e b = cone = p a = b + = + = 0 = 0

9 7 Matemática 6 7 Eecícios Popostos. (UFM) Um tanque cônico tem m de pofundidade e seu topo cicula tem 6 m de diâmeto. Então, o volume máimo, em litos, que esse tanque pode conte de líquido é: (use p =,) a).000 c) e) b).000 d) (Mackenzie-SP) No sólido da fiua, é um quadado de lado e E = E = 0. volume desse sólido é: 5. (Unima-SP) Um tiânulo etânulo de lados, e 5 ia em tono do seu meno cateto, eando um cone de evolução. volume desse cone é: a) 0p b) p c) 5p d) 6p e) 8p E 6. (Unifo-E) telhado da toe mostada na fiua a seui tem a foma de um cone cicula eto. a) 5 p b) p c) p d) 5p e) p 8 m 6 m áea da supefície etena desse telhado é, em metos quadados, iual a: a) 6p b) p c) 8 p d) 8p e) p 7. (UFP) Qual é o volume de um cone cicula eto de diâmeto da base iual a 6 cm e de eatiz 5 cm? a) p cm d) 8p cm b) p cm e) 96p cm c) 6p cm. (Unimontes-MG) altua e o aio da base de um cone cicula eto medem cm e 5 cm, espectivamente. umenta-se a altua e diminui-se o aio da base desse cone, de uma mesma medida, > 0, paa se obte outo cone cicula eto, de mesmo volume que o oiinal. etemine o valo de em centímetos.. (unesp) Um paciente ecebe po via intavenosa um medicamento à taa constante de,5 ml/min. fasco do medicamento é fomado po uma pate cilíndica e uma pate cônica, cujas medidas são dadas na fiua, e estava cheio quando se iniciou a medicação. cm 9 cm PN (UFS) eatiz de um cone equiláteo mede cm. alcule a áea da seção meidiana do cone, em cm, multiplique o esultado po e assinale o valo obtido no catão-esposta. 9. (UFMG) Um cone é constuído de foma que: sua base é um cículo inscito em uma face de um cubo de lado a; e seu vétice coincide com um dos vétices do cubo localizado na face oposta àquela em que se enconta a sua base. essa maneia, o volume do cone é de: a) pa 6 b) pa c) pa 9 d) pa cm (fiua foa de escala) pós hoas de administação contínua, a medicação foi inteompida. ado que cm = ml, e usando a apoimação π =, o volume, em ml, do medicamento estante no fasco, após a inteupção da medicação, é, apoimadamente: a) 0 b) 50 c) 60 d) 0 e) 60

10 8 8 Módulo 9 Geometia espacial mética - Esfeas. efinição onsidee um ponto e a medida do aio, >. hamamos esfea ao conjunto de todos os pontos do espaço que estão a uma distância de meno ou iual a.. Secção da esfea intesecção de uma esfea com um plano secante a ela é uma secção plana da esfea. Toda secção plana de uma esfea é um cículo. esfea é um sólido de evolução eado pela otação de um semicículo em tono de um eio que contém o diâmeto. Eio Quando o plano secante passa pelo cento da esfea, dizemos que a secção plana é um cículo máimo. Toda secção plana de uma esfea feita de uma distância d do cento poduz um cículo de aio. d P = d +. Supefície esféica hamamos de supefície esféica de cento e aio o conjunto de todos os pontos P do espaço, cuja distância P é iual a. supefície esféica também é a supefície eada pela otação de uma semicicunfeência em tono de seu diâmeto. Eio Eio. Áea da supefície esféica áea da supefície de uma esfea de aio é: s = p 5. olume volume de uma esfea de aio é: = p P

11 9 Matemática 6 9 Eecícios esolvidos. etemine o volume de uma esfea, sabendo que a áea de sua supefície vale 00p cm. s = p 00p = p = 5 = 5 cm ssim: = p 500 = p 5 = pcm. Em um cilindo equiláteo com supefície lateal de p cm foi inscita uma esfea. etemine o volume da esfea. = p h = p (cilindo equiláteo h = ) = p = p p = p = 8 = 9 = p = p 9 = p 79 = 97p cm. Uma esfea de aio 0 cm é cotada po um plano distante 8 cm do cento da esfea, deteminado, assim, um cículo, como mosta a fiua. etemine o aio desse cículo.. 0 = = = 6 = 6 cm 8 cm P 0 cm (Unicamp-SP) volume de uma bola de aio é dado pela fómula = p. a) alcule o volume de uma bola de aio = cm. Paa facilita os cálculos, você deve substitui p pelo númeo 7. b) Se uma bola de aio = cm é feita com um mateial cuja densidade volumética (quociente da massa pelo volume) é de 5,6 /cm, qual seá a sua massa? a) = p = 7 = = cm 56 m b) = e = 56, / cm 99 = 56 m = m = 56, = 56 0 m = 99, PN-0-5

12 0 0 Eecícios de plicação. (Unifa-S) Uma supefície esféica de aio é cotada po um plano que está a uma altua h = cm dessa supefície, confome a fiua. volume dessa esfea mede 500 pcm. áea do cículo obtida pelo cote desse plano mede, em cm :. (FFFMP-S) Uma esfea metálica de aio cm é colocada dento de um ecipiente cilíndico que contém áua, cujo aio da base é de 6 cm. Supondo que não haja tansbodamento de áua, pode-se afima que o nível da áua sobe: a) cm c) cm e) cm b),5 cm d),5 cm E h a) p b) 9 p c) 7 p = p 500 p = p = 5 cm d) 8 p e) p 6 áua deslocada = esfea p 6 = p 6 = 6 = cm cm 5 cm 5 = + = cm Áea do cículo = p = 9p cm. (UFJF-MG) uas velas são deetidas paa foma uma outa em fomato de esfea. ente as velas deetidas, uma tem fomato de cilindo cicula eto com aio 6 cm e altua 7 cm e a outa tem fomato de esfea com aio cm. aio da nova vela esféica, em centímetos, seá: a) meno que c) 5 e) 6,5 b),5 d) p 6 7+ p = p = 88 = = 6 = 6cm

13 Matemática 6 Eecícios Popostos. (Unifei-MG) Uma lata tem a foma de um cilindo eto cuja base é um cículo de aio dm. lata contém áua até um ceto nível e obseva-se que, ao meulha totalmente uma esfea de chumbo na áua, o nível dessa sobe 0,5 dm na lata. Então o aio da esfea, medido em decímetos, vale: 8. (Unifo-E) s esfeas E e E são tais que o diâmeto de E é iual ao aio de E. azão ente os volumes de E e E, nessa odem, é: a) c) e) 8 a) b) c) d) b) d) 6 5. (UE-M) Uma esfea de aio cm é seccionada po um plano. secção é um cículo de aio cm. Qual é a distância ente os centos do cículo e da esfea? 9. (UF) cilindo da fiua está cicunscito em uma esfea de aio cm. volume do cilindo, em cm, é iual a: a) cm c) cm e) cm b) cm d) cm 6. (unesp) Um toféu paa um campeonato de futebol tem a foma de uma esfea de aio = 0 cm cotada po um plano situado a uma distância de 5 cm do cento da esfea, deteminando uma cicunfeência de aio cm, e sobeposta a um cilindo cicula eto de 0 cm de altua e aio cm, como na fiua (não em escala). a) 9p b) 7p c) 6p d) 5p e) 60p 5 cm = 0 cm cm 0. (Fameca-SP) Júlia estava numa soveteia e pediu uma casquinha com uma única bola de sovete. omo ela estava entetida na convesa com lice, não pecebeu que o sovete escoeu paa dento da casquinha, peenchendo-a completamente. Suponha que a bola de sovete seja uma esfea pefeita, com aio cm e que a casquinha seja um cone oco com aio da base iual a cm. altua dessa casquinha de sovete é: a) cm c) 8 cm e) cm b) 6 cm d) 0 cm 0 cm. (Unifo-E) uas esfeas de aios cm e cm são concênticas. Um plano tanente à supefície da meno detemina na maio uma secção plana cuja áea é π cm. Então, é iual a: volume do cilindo, em cm, é: a) 00p c) 50p b) 00p d) 500p e) 750p a) b) c) d) e) PN (UMG) Numa esfea de 6 cm de diâmeto, faz-se um cote po um plano que dista 5 cm do cento. aio da secção feita mede, em cm: a) 8 b) 9 c) 0 d) e). (UFGS-S) onsidee uma esfea inscita num cubo. ente as altenativas abaio, a melho apoimação paa a azão ente o volume da esfea e o volume do cubo é: a) 5 b) c) 5 d) e)

14 Módulo 0 Geometia analítica. Intodução onsideemos em um plano dois eios, e, pependiculaes ente si e com oiem comum. ssim, dizemos que e fomam um sistema catesiano otoonal, e o plano dotado com tal sistema seá chamado de plano catesiano. Eemplo Indicamos a seui as coodenadas dos pontos epesentados no plano catesiano. E F G H Paa localiza um ponto P num plano dotado de um sistema catesiano otoonal, taçamos po P duas etas paalelas aos eios e que encontam os mesmos em P e P, espectivamente. om as abscissas desses pontos deteminamos a posição de P no plano. (, 0) (, ) G(0, ) (, ) E(, 0) H(, ) (0, ) F(, ) (0, 0) s eios e dividem o plano catesiano em quato eiões que chamamos quadantes (Q), que são numeados confome a fiua abaio: P P bscissa neativa denada positiva bscissa positiva denada positiva P' bscissa neativa denada neativa bscissa positiva denada neativa abscissa de P = P abscissa de P" =+ Indicamos a abscissa de P po p e a abscissa de P po p, e o ponto P é localizado no plano pelo pa odenado ( p, p ). Paa facilidade de linuaem, usamos as seuintes denominações: o ) abscissa de P, a pimeia abscissa de P, seá simplesmente a abscissa de P. o ) abscissa de P, a seunda abscissa de P, seá a abscissa odenada de P, ou simplesmente odenada de P. o ) pa odenado ( p, p ) seá denominado coodenadas de P. o ) s eios e seão, espectivamente, o eio das abscissas e o eio das odenadas.. Popiedades dos pontos do plano catesiano P ) Se um ponto tem abscissa positiva, ele petence ao o ou ao o quadante do plano catesiano ou ao eio. P (, ) P (, )

15 Matemática 6 P ) Se um ponto tem abscissa neativa, ele petence ao o ou ao o quadante do plano catesiano ou ao eio. P (, ) P 6 ) Se um ponto tem odenada nula, ele petence ao eio. (, 0) (, 0) (6, 0) P (, ) P ) Se um ponto tem odenada positiva, ele petence ao o ou ao o quadante do plano catesiano ou ao eio. P (, ) P (, ) P 7 ) Se um ponto tem abscissa a, ele petence à eta paalela ao eio, taçada pela abscissa a. Q(a, 5) P(a, ) a P ) Se um ponto tem odenada neativa, ele petence ao o ou ao o quadante do plano catesiano ou ao eio. (a, ) P 8 ) Se um ponto tem odenada a, ele petence à eta paalela ao eio, taçada pela odenada a. (, a) a P(, a) Q(6, a) P (, ) P (, ) P 5 ) Se um ponto tem abscissa nula, ele petence ao eio. (0, 5) (0, ) P 9 ) Se um ponto tem coodenadas iuais, ele petence à bissetiz dos quadantes ímpaes. (0, ) (, ) (5, 5) (, ) PN-0-5

16 P 0 ) Se um ponto tem coodenadas opostas, ele petence à bissetiz dos quadantes paes. P ) ois pontos siméticos em elação ao eio têm a mesma odenada e abscissas opostas. ( 5, 5) (, ) '(, ) (, ) (, ) '(, ) (, ) P ) ois pontos siméticos em elação ao eio têm a mesma abscissa e odenadas opostas. P ) ois pontos siméticos em elação à oiem têm abscissas opostas e odenadas opostas. (5, ) (, ) (, ) (, ) '(, ) '(5, ) '(, ) '(, ) Eecícios esolvidos. etemine as coodenadas dos pontos,, e da fiua abaio.. etemine a qual quadante petencem os pontos abaio: (, 5), (, ) (, 5) e (, ) < 0 < 0 º Q º Q < 0 > 0 > 0 > 0 º Q º Q > 0 > 0 (0, ), ( 5, 0), (5, ) e (, ). ponto (, p + 5) petence à bissetiz dos quadantes ímpaes. qual quadante petence o ponto (p, p + )? bissetiz dos quadantes ímpaes a = a p + 5 = p =. ssim, (, ) < 0 ºQ > 0

17 5 Matemática 6 5. a) b) ado o ponto (p, q + ) detemine: q, paa que o ponto petença ao eio. p, paa que o ponto petença ao eio. a) eio = 0 q + = 0 q = b) eio = 0 p = 0 p = Eecícios de plicação. No plano catesiano abaio, maque os pontos (, ), (, 0), (0, ) e (5, 0) e calcule a áea do quadiláteo.. etemine a qual quadante petencem os pontos (, 6), 5,, (, ) e (5, 9). 6 ( o quad.) ( o quad.) ( o quad.). bte m paa que o ponto (m + 5, m ) petença à bissetiz dos quadantes ímpaes. (,0) (,) (5,0) bissetiz dos quadantes ímpaes = m + 5 = m m m = 5 m = 8 (0, ) 8 = = 8 8 = = 6 PN-0-5 = + \ = u.a.

18 6 6 Eecícios Popostos. etemine as coodenadas dos pontos da fiua. F E G 5. etemine a qual quadante petencem os pontos a seui elacionados: ( ), p, 7,, ( 6, 75),, H ( ) 6. Nas duas fiuas, é um quadado com lados de unidades, M é o ponto médio do lado e N é o ponto médio do lado. btenha as coodenadas dos pontos,,,, M e N. a) N M 8. (Fuvest-SP) No plano catesiano, os pontos (, 0) e (, 0) são vétices de um quadado cujo cento é a oiem. Qual a áea do quadado? a) b) c) d) e) 5 9. etemine as coodenadas dos pontos siméticos do ponto (, ) em elação: a) ao eio das abscissas; b) ao eio das odenadas; c) à oiem. 0. (Fuvest-SP) Sejam = (, ) e = (, ) dois pontos do plano catesiano. Nesse plano, o semento é obtido do semento po uma otação de 60, no sentido anti- -hoáio, em tono do ponto. s coodenadas do ponto são: a) (, + ) d) (, ) b) ( +, 5 ) c) (, + ) e) ( +, + ). qual quadante petence o ponto ( a, b) se (a, b) petence ao o quadante?. (UFP) Na fiua abaio, está epesentado o quadado MNP que se enconta subdividido em 6 quadadinhos, todos de lado,5 cm. P N = F b) M N 7. (Fuvest-SP) Se (m + n, m ) e ( m, n) epesentam o mesmo ponto do plano catesiano, então m n é iual a: a) c) e) b) 0 d) E M Uma fomiuinha sai do ponto E =,, andando paalelamente aos eios e passando pelo cento de cada quadadinho, até o seu fomiueio localizado em F = 9 5,, confome mostado na fiua. Sabendo-se que passa apenas uma vez em cada ponto do pecuso, essa fomiuinha pecoeu: a),0 cm b),5 cm c),0 cm d),5 cm e),0 cm