ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Departamento de Engenharia Mecânica

Transcrição

1 M MÂNI Substitutia de uho de 9 Duação da oa: minutos não é pemitido uso de cacuadoas QUSÃ, pontos. diagama abaio mosta um sistema em equiíbio. peso do boco K é e o peso da poia é /. Despee outos pesos. s poias e D possuem aio e a poia possui aio /. Não há atito ente o pano incinado e o boco K. s cabos são ideais; não há atitos de quaque espécie nas poias e em seus mancais. onsidee Ө5º. Nestas condições, pedem-se: a s diagamas de copo ie de todas as poias, do boco K e das baas e ; b as eações nos mancais e D; D,5 K c as eações nas aticuações e Soução Diagamas de copo ie das baas, poias e do boco K / N D D D D aa o boco somente, temos: cos Nsen sen N cos esoendo as equações tem-se:

2 sen N cos Do equiíbio da poia de cento obtemos sen Do equiíbio da poia de cento, cos sen c Do equiíbio da poia de cento D, sen D D inamente, consideando somente as baas e, baa 5 M 5 D D

3 baa 6 7 M 8 s equações a 8 são esoidas paa se obte,, e da seguinte maneia: de, em 6, 9 de, em 7, de em 8 em 5 fonece 5 7 esoendo-se 9 e obtém-se: em fonece 6 e, finamente, em fonece 5

4 QUSÃ, pontos. baa, de compimento L5, está conectada po meio de untas esféicas ao cuso e ao disco otatio de aio e cento a,, com 5 a. Sabendo-se que este disco gia no sentido anti-hoáio com eocidade angua constante e que a baa não pode gia em tono de seu pópio eio, ou sea, pede-se, paa a configuação indicada na figua: a eocidade do cuso. b eocidade angua da baa. c eio heicoida instantâneo da baa. SLUÇÃ Da geometia do pobema temos: 5 om isso, temos as coodenadas de todos os pontos de inteesse: 5;; 5;; ; ; Da equação fundamenta da cinemática apicada ao disco de cento temos: i k mesma equação apicada à baa fonece: 5 k i k i i Sabemos poém que pois desoca-se sobe a guia etica. ssim, a eq. fica: k i k i i eq. fonece equações escaaes:

5 i : : 5 k : emos, potanto incógnitas. equação adiciona em da condição de copo ígido paa a baa :. 5i k i esposta a 5 5 5i k aa a obtenção do eto otação da baa temos que esoe o sistema fomado po, 5 e 6. No entanto, este sistema é composto po equações ineamente dependentes, como se pode eifica peo cácuo do deteminante da mati do sistema: 5 5 ssim, fa-se necessáio utiia uma equação eta indendente, qua sea, a condição de não-otação da baa em tono de seu pópio eio: i k 5i k 5 de 6, 5 5 de, de 9 e em 8, 5 5 em em 5

6 75 ssim, 75 5i k esposta b s pontos do eio heicoida instantâneo de um sóido situam-se sobe uma eta paaea ao seu eto de otação instantânea, cua equação é dada po: λ q.6 omando o ponto como póo, temos: 5 5i k 75 λ i k λ esposta c 8 i, &, & QUSÃ :, pontos. Um disco de massa m e aio aticuado peo seu cento a uma baa de massa M e compimento oa sem escoega sobe uma supefície de aio, confome indicado na figua. dmitindo-se que o sistema se enconte iniciamente em epouso quando o ânguo ente a baa e a etica fo < < π, pede-se: a s diagamas de copo ie da baa e do disco em uma posição genéica como a mostada na figua. b tabaho que cada uma das foças atuantes no sistema eaia ustifica, paa os casos em que o tabaho é nuo. c eocidade e a aceeação anguaes do disco e da baa paa. d s eações hoiontais nas aticuações e paa. SLUÇÃ Dados: J Disco m e J aa M omo o disco oa sem escoega, o ponto de contacto coesponde ao I. Logo, podemos cacua a eocidade de apicando-se a equação fundamenta da inemática ente os pontos e do disco: k q. i omo também petence à baa, podemos cacua a sua eocidade apicando-se a equação fundamenta da inemática ente os pontos e da baa, ou sea:

7 k i q. Iguaando-se e deteminamos a eação ente as eocidades anguaes da baa e do disco: q. omo a base i,, k é soidáia à baa e os etoes de otação e têm dieção constante, podemos deia a epessão acima paa obte a eação ente as aceeações anguaes da baa e do disco: & & q. De posse das eações anteioes, podemos epessa as aceeações do ponto e do baicento G da baa em função da eocidade angua do disco: a a a G & k i k k i & i & i & i & i & i & i q.5 aa obtemos a aiação das eocidades e aceeações anguaes em função do ânguo, apicaemos o eoema da negia inética ente os estados e t. ntes, poém, é necessáio constuimos os diagamas de copo ie do disco e da baa, com o popósito de identificamos as foças que eaiam tabaho duante a mudança de configuação do sistema. s citados diagamas, paa uma posição abitáia, são apesentados nas figuas abaio: esposta a mg G Mg naisando-se o tabaho eaiado peas foças atuantes no sistema, notamos que: s componentes, da eação, em, não eaiam tabaho, pois tem eocidade nua; ogo, W & τ... s componentes, da eação em não eaiam tabaho, pois é um ponto fio. s eações de contacto no ponto ente a baa e o disco constituem um pa de foças intenas ao sistema, com mesmo móduo, mesma dieção e sentidos opostos; ogo, o tabaho eaiado po essas foças é nuo. e t é dado po: tabaho eaiado peas foças peso Mg e mg ente as posições τ m M, Mg cos cos mg cos cos gm M cos g g cos q.6

8 esposta b omo o sistema discobaa pate do epouso, a sua enegia cinética inicia é nua. Mas na posição t seu ao é:, o Disco aa Disco aa J J q.7 aa o disco, tem-se: J Disco Disco J m m m m q.8 Substituindo-se as equações e 8 em 6, obtém-se a enegia cinética do sistema paa uma posição abitáia: M q.9 6 m M m M picando-se o eoema da negia inética ente as posições e, esuta: m M g M 6 cos cos q. Deiando-se a equação acima em eação ao tempo, obtém-se: m M g M. & sin & q. Notando, na equação acima, que &, chega-se a: m M g m M g & q. M M. sin & sin aticuaiando-se epessão paa a configuação e utiiando-se a eação, obtêm-se as a eocidades anguaes do disco e da baa, dadas po 6 cos m M g M m M g M 6 cos q. e também as suas espectias aceeações anguaes : & & q.

9 esposta c onsideaemos agoa os diagamas de copo ie paa a paticua posição : mg, & i Mg G, & omando-se po efeência os diagamas de copo ie acima, apicaemos o M segundo a dieção i e o M à baa e ao disco. aa o pimeio, adotaemos como póo o ponto fio e paa o segundo o baicento. ém disso, utiiaemos as epessões das aceeações dos baicentos G e da baa, á paticuaiadas paa a posição. otanto, paa a baa, tem-se: MaG M & q.5 aa J & q.6, paa o disco, tem-se: ma m & q.7 Disco J & m. q.8 esoendo-se o sistema de equações acima, chega-se a: esposta d