ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Transcrição

1 PME 3100 MECÂNIC I Teceia Pova 6 de uho de 015 Duação da Pova: 110 miutos (ão é pemitido uso de calculadoas) 1ª Questão (4,0 potos) fiua mosta um disco de ceto, massa m e aio, que pate do epouso e ola sem escoea em elação ao plao icliado, sob ação da avidade. disco está coectado a uma paede po meio de uma mola de iidez k. No istate iicial, 0 e a mola ão esta defomada. Cosideado istates t > t 0, em que > 0 e a mola aida ão atiiu a sua defleão máima: (a) Esboça o diaama de copo live do disco; (b) detemia a eeia ciética do disco em fução da velocidade & ; (c) detemia o tabalho ealizado pelos esfoços aplicados ao disco em fução de ; (d) detemia a aceleação aula & ω do disco, em fução de. k α ª Questão (4,0 potos) No sistema mostado a fiua, a baa, de massa m e compimeto L, está aticulada o poto ao disco de massa m e aio. sistema pate do epouso, com a baa vetical e com a eta que passa po e icliada de um âulo em elação à hoizotal. Em um dado istate iicial, o disco passa a te uma & aceleação aula cohecida Ω Ω& k. Paa este istate iicial, pede-se: (a) o diaama de copo live do disco e o diaama de copo live da baa; (b) a aceleação do poto ; (c) o veto aceleação aula & ω da baa; (d) a aceleação do baiceto da baa; (e) a foça que o disco aplica a baa pela aticulação do poto. Dado: Paa o disco z, paa a baa ml z 1 Ω & i 3ª Questão (,0 potos) Um pequeo ael de massa m é viculado a um aame cicula cos descito pela cuva y si dmitido-se que ão eista atito ete o aame e o ael e que este sea abadoado em epouso a posição P,, sueito à ação da avidade, pede-se, paa o istate em que atii o poto (,0) : (a) detemia os vesoes do tiedo de Feet; (b) detemia a maitude da velocidade do ael; (c) detemia a compoete omal da aceleação do ael; (d) esboça o diaama de copo live do ael; (e) detemia a compoete taecial da aceleação do ael. y i τ

2 1ª Questão (4,0 potos) fiua mosta um disco de ceto, massa m e aio, que pate do epouso e ola sem escoea em elação ao plao icliado, sob ação da avidade. disco está coectado a uma paede po meio de uma mola de iidez k. No istate iicial 0 e a mola ão esta defomada. Cosideado istates t > t 0, em que > 0 e a mola aida ão atiiu a sua defleão máima: (a) Esboça o diaama de copo live do disco; (b) detemia a eeia ciética do disco em fução da velocidade & ; (c) detemia o tabalho ealizado pelos esfoços aplicados ao disco em fução de ; (d) detemia a aceleação aula ω & do disco, em fução de. & Como o disco ola sem escoea, ω. 1 T m& + 1 & ( ) se τ m α 0 1 k 3 T m & 4 m F at k N plicado o Teoema da Eeia Ciética (TEC): τ T, sedo T 0 0, pois o sistema pate do epouso: 1 3 m ( 0 ) seα k m& 4 Deivado a epessão acima em elação ao tempo: 3 m se & α k& m &&& k, esultado em & seα 3 m & Sedo ω ωk k, a aceleação aula seá: & && ω & ωk k, assim: & ω seα 3 k m k

3 ª Questão (4,0 potos) No sistema mostado a fiua, a baa, de massa m e compimeto L, está aticulada o poto ao disco de massa m e aio. sistema pate do epouso, com a baa vetical e com a eta que passa po e icliada de um âulo em elação à hoizotal. Em um dado istate iicial, o disco passa a te uma & aceleação aula cohecida Ω Ω& k. Paa este istate iicial, pede-se: (f) o diaama de copo live do disco e o diaama de copo live da baa; () a aceleação do poto ; (h) o veto aceleação aula & ω da baa; (i) a aceleação do baiceto da baa; () a foça que o disco aplica a baa pela aticulação do poto. Dado: Paa o disco z, paa a baa ml z 1 Ω & i Sedo poto fio e cosideado que o istate iicial o sistema pate do epouso, têm-se: & a a + Ω ( ) + Ω k [ k ( ) ] a 0 + Ω& k ( cos i se ) + 0 Ω& sei + cos a ( ) X Y m M X Y Paa a aceleação do baiceto da baa podemos esceve: a a + & ω k ( ) + ω k [ k ( ) ] Cosideado que o istate iicial o sistema pate do epouso: L L a & ( se i ) & k a & Ω + cos + ω + 0 Ωse + & ω i + Ω& cos Y X & TM o disco, pólo em : H M & L ml L 6X H zω k H & zωk e M X k, assim: & ω k X k & ω (1) 1 ml TM o disco: L ma X i ( Y m) m & + Ωse + & ω i + mω& cos X i + ( Y m) L X mω& se + m & ω () Y m mω& cos (3) m esolvedo (1) e (): X mω& se 4 e 3Ω& se & ω De (3): Y mω& cos + m L

4 3ª Questão (,0 potos). Um pequeo ael de massa m é cos viculado a um aame cicula descito pela cuva y si dmitido-se que ão eista atito ete o aame e o ael e que este sea abadoado em epouso a posição P,, sueito à ação da avidade, pede-se, paa o istate em que atii o poto (,0) : (a) detemia os vesoes do tiedo de Feet; (b) detemia a maitude da velocidade do ael; (c) detemia a compoete omal da aceleação do ael; (d) esboça o diaama de copo live do ael; (e) detemia a compoete taecial da aceleação do ael; y i τ Em coodeadas catesiaas, o aio veto ( P ) é dado po: cos i + si veso taete à cuva vicula é: τ d d d si i + cos si i + cos d Potato, o istate em que, ou sea, em que 0, tem-se: τ ( t) si 0i + cos 0 Sedo s o compimeto do aco medido sobe a taetóia cicula e ρ o aio de cuvatua picipal em quaisque de seus potos, a pimeia fómula de Feet foece o veso omal, ou sea: dτ, ds ρ dτ dτ cosi si d d Potato, o istate em que o ael atie o poto tem-se: ( t) cos 0i si 0 i plicado-se o Teoema da Eeia ciética ete os potos e, esulta:

5 1 ( y y ) [ si( 45) si ] T mv m 1 v si v si Potato, a velocidade do ael o istate de coicidêcia com seá: v ( t) si 0 ( t) τ e a compoete omal da aceleação do ael, esse istate, seá: v v a ρ Tomado-se como efeêcia o diaama de copo live do ael, esboçado abaio, e aplicado-se a equação fudametal da Diâmica, tem-se: m N m( atτ + a) v m cos τ + m si N m a τ + a m cos mat m si N ma ( ) Das equações acima coclui-se que: m cos mat at cos m si N ma N m si ma t Potato, o istate em que o ael se localiza o poto, a aceleação taecial é: τ N m a t cos 0 Combiado-se as compoetes taecial e omal da aceleação, obtém-se, paa o istate em que o ael coicide com : a ( t) i