q(x) = x 4 6x x² - 18x + 10 * z+ z + w + w = 6 ** z z + zw + z w + z w + w w = 15

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1 MATEMÁTICA Sejam a i, a + si e a + ( s) + ( + s) i ( > ) temos de uma seqüêcia. Detemie, em fução de, os valoes de e s que toam esta seqüêcia uma pogessão aitmética, sabedo que e s são úmeos eais e i -. a i a + si a + ( s) + ( + s) i Uma codição ecessáia paa que esta seqüêcia seja uma P.A. é que a aão de tal P. A. seja q a + a - s + i, desta feita, a a + ( ) q + s i i + ( ) (- s + i) + s i ( s + s) + (- + ) i - s + s s s Note que 0 g û. Cosidee o poliômio p () Sabedo que o poduto de duas de suas aíes compleas é igual a i e que as pates eais e imagiáias de todas as suas aíes compleas são iteias e ão-ulas, calcule todas as aíes do poliômio. P() X O poduto de duas aíes compleas é i Note que: I) eiste uma ai eal II) Eiste aíes compleas ão eais,, w, w (cojugadas, pois os coeficietes de p são eais). Sem peda de geealidade,.w i. w + i w w ( i) ( + i) 0 Pelas elações do Giad,, w,, w, - 0 Logo - Abaio o gau de p() obtemos p() (+). q() q() 6 + 5² aíes, w,, w das elações de Giad temos: * + + w + w 6 ** + w + w + w + w w 5 Como + Re() temos * Re() + Re (w) 6 ** w + + w + w w 9 Re() + Re(w) (+w) ( + w ) 9 +w Faedo + w α + βi Temos e α + β 9 β 0 Z + w Temos agoa +w w - i Z w w² - w + i 0 ±(+i) w w + i i Potato as aíes do Poliômio são -, + i, i, i, + i. Resolução w i + i P() X Raíes, w,, w, Po Giad - Zw i. w 0 Como as pates eal e imagiáia das aíes são ifeio, e w também o são e potato, temos apeas dois casos (a meos de pemutação das aíes) Caso e a + bi w 0 w c + di a² + b² a± b0 a0 b± SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA

2 Caso e w 5 a + bi w c + di a² + b² c² + d² 5 a, b e Ï c, d e Ï a ± c ± ou c ± b ± d ± d ± Po ispeção vemos que as aíes são: -, + i, i, i, + i. Um tapéio ABCD, de base meo AB e base maio CD, possui base média MN. Os potos M' e N' dividem a base média em tês segmetos iguais, a odem MM'N'N. Ao se taça as etas AM' e BN', veificou-se que as mesmas se ecotaam sobe o lado CD o poto P. Calcule a áea do tapéio M'N'CD em fução da áea de ABCD. A M M N D P C A Áea do tapéio ABCD A Áea do tapéio DM N C (M'N' + CD) h h Temos que A ode h, com h a altua do tapéio ABCD. Como MN é base média, temos que B N AB+ CD MN, MAS AB+ CD AB+ CD MN M'N' o M'N' M'N'. 6 Os tiâgulos ABP e M'N'P são semelhates e a aão ete suas altuas é. Temos que M'N' é base média do AB ABP o M'N'. Como AB + CD CD h (M'N' CD) h (AB + 7CD)h A AB AB + CD M'N' e M'N' 6 AB AB + CD AB + CD AB AB AB + CD 6 CD AB (AB+ CD)h AB h mas A (AB + 7CD)h (AB + AB)h 5 AB h e A 5 AB h 5 AB h 5 A A A A Seja D det (A), ode A Detemie D em fução de ( g û, U ) D Po laplace a ª colua temos ( ) ( ) D ( ) ( ) D D - - o, temos: D D -+ D- 0 D D Relação de Recoêcia ª Relação de Recoêcia Pocuado soluções epoeciais escevemos D λ ( λ 0) substituido a equação ecotamos λ λ + 0 (equação caacteística) Rai Multiplicidade Solução Geal SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA

3 D (a + b) D a + b D a + b a b D (+ ) ª Solução de Recoêcia Faça S D D S D D D D D D S S S costate S D D ; D D D D + D D +... D D + D ( ) + D + 5 Detemie os valoes de,, e que satisfaem o sistema C + + C + + p ode C m epeseta a combiação de m elemetos tomados p a p e c B epeseta o aitmo de B a base c. C + + C ( ) /. +. Como C C ( ) (/) Potato: ( ). ± ou - ou - ou ou - Como C + C ou C (ão válido) + + * C + + Assim ou ou ou 8 ou 6 6 Os âgulos de um tiâgulo estão em pogessão aitmética e um deles é solução da equação tigoomética (se + cos ) (se se cos + cos ). Detemie os valoes destes âgulos (em adiaos). Seja o tiâgulo ABC, com âgulos iteos. α, β, γ, como (α, β, γ ) estão em P.A, temos que α t, β t, γ t +, ode é a aão da P.A. Mas α + β + γ àad. π Logo (t ) + t + (t + ) à ad t- àad t ad. Potato,um âgulo iteo do tiâgulo é de medida igual a π ad. Como um outo âgulo iteo é solução da equação tigoomética (se + cos ) (se secos + cos ) Iemos esolve a equação tigoomética, paa ecotamos tal âgulo iteo. (se + cos) (se secos + cos ) se + cos mas se cos pois é âgulo iteo do tiâgulo ABC) Logo ( cos ) + cos ( cos ) / cos ( cos ) ( cos ) cos + cos cos 6 cos + cos 6 cos 6 cos cos + cos 0 cos (cos cos cos + ) 0 cos 0 ou cos cos cos + 0. SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA

4 Resolvedo a equação: * cos cos cos + 0 cos (cos ) (cos ) 0 cos (cos ) (cos + cos + ) (cos ) ( cos + ) 0 (cos ) [cos (cos + cos + ) (cos + )] 0 cos 0 (absudo) ou cos + cos + cos cos 0 Resolvedo a equação cos + cos + cos cos 0 (cos + cos + ) (cos ) 0 cos + cos + 0 ou cos 0 (Absudo) < 0 (ñ possui aíes eais) π Potato cos 0 cos 0 ad, pois é âgulo iteo do tiâgulo ABC. Assim os âgulos iteos são π ad, π ad, 6 π ad. Isto é, o tiâgulo é etâgulo. º Solução Outa solução: (se + cos) (se secos + cos ) Etão: (Se + cos) ( secos) (se + secos + cos ) ( secos + se co ) ( + se cos) ( se cos + se cos ). secos + se cos + secos se cos + se cos -se cos + se cos 0. se cos (secos ) 0 Se cos 0 ou secos 0 se 0 ou se cos. se 0 ou se (Absudo). Etão se 0 K π, k g Z. Mas é âgulo Iteo do tiâgulo, o 0 e k ; Potato π d. Como os âgulos iteos do tiâgulo está em P.A, temos que um deles é π d, vimos a pimeia solução. π π π Potato, temos d, d, d. São os âgulos iteos 6 do tiâgulo. 7 Cosidee os potos A (, 0) e B (, 0) e seja C uma cicufeêcia de aio R tagete ao eio das abscissas a oigem. A eta é tagete a C e cotém o poto A e a eta também é tagete a C e cotém o poto B. Sabedo que a oigem ão petece às etas e, detemie a equação do luga geomético descito pelo poto de iteseção de e ao se vaia R o itevalo (0, ). PÂO ½ ; QÂO α e R B O β; P B O β/ ^ tgα / Logo tg (α/) R e tg(β/) R/. Mas tgα tg ( α / ) tg( β / ) e tgβ. tg ( β / ) R R Potato tg α e tgβ R R R R Tgα, tgβ -R -R Se as etas e ão são paalelas aos eios das odeadas, temos que o coeficiete agula de é dado po ± tgα e ± tgβ. Equação da eta (+) Equação de eta Z ( ) Poto de iteseção de e é dado po: (+) (-) ( - ) com - e +, Assim s, - - ^ SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA

5 Caso tgα e -tgβ. Etão R -R e -R R -R R - R.R R(R - ) + 8R(- R ) + + (- R )(R - ) Como -R R - - R R - R(-R )-R(R - ) R - -R (R - )(- R ) R -8R+ 8R-8R -6R -6R -R R - R - R + 8R R - 6R 6R ( - R ) R( - R ) Note que os potos de tagêcia da esfea as aestas do tetaedo são os potos médios das aestas e que tais potos detemiam um octaedo egula iscito a esfea e que a aesta do octaedo mede a R X R - Como R R.. -R (R - ) -R - R(- R ) - R(R - ) R - (R - )(- R ) R R Etão S,. R R Tomado a seguite substituição tigomética R sec Assim R sec θ sec θ R sec θ tg θ cossec c θ R cos tgθ.cos secθ. R cossec θ cotg θ. cossec θ Logo ( ). ( ) (Equação de uma hipébole) / De maeia aáa paa Z -tgα e Z tgβ, obtemos o mesmo esultado. 8 Cosidee um tetaedo egula de aestas de compimeto a e uma esfea de aio R tagete a todas as aestas do tetaedo. Em fução de a, calcule: a) o volume total da esfea; b) o volume da pate da esfea situada o iteio do tetaedo. Selecioado a esfea hoiotalmete obtemos a R a R Potato o volume total da esfea é a π V e π R (b) Pa ecota o volume da pate ifeio da esfea vamos fae VI VE VH Ode VH é o volume de uma calota esféica. Note que a distâcia do ceto da esfea até o plao de seção (\ face do tectaedo) é d h ode h é a altua do a 6 a 6 octaedo, o d pois h. Paa ecota o volume da calota esféica cuja distâcia ao ceto da esfea é d vamos usa o picípio de Cavaliei e compaa tal volume com o volume de uma secção da aticlépsida SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA 5

6 Temos assim: VH Vc VT ode Vc é o volume do cilido e VT o volume do toco do coe. av a a 6 πa πa 6 VC π 96 VT VP VP + q ± k ± ± k ± k k ± V V P P 9 6 a a Cotiuação do º Caso: Se < 0 e < 0 + < 0 absudo k ( ± k) Se < 0 e < 0 > absudo ou < 0 e > 0 VT VP.. π a Logo, VH a π 7 88 ( ) Potato, VI VE VH a a π Potato > 0 e > 0 Note que ou Caso cotáio < e < + < absudo V a π ( ) 7 Potato, temos ou 9 Detemie o cojuto solução S {(, ) œ g ü} da equação ( + ) k sabedo que k é um úmeo pimo. Potado {, } temos e Neste caso k e k. Soluções iteas de ( + ). k ode b e Z é pimo Claamete 0 é soluço. Note que: k / k / ou k / Sem peda de qualidade vamos supo k / Note que o poblema é simético. k substituido a equação obtemos: ( k + ) k k k + * k ( - ) K / ( - ) k / ou k / - º Caso k º Caso - kq Substituido em * temos: Substituido em * temos: Potato as soluções do poblema são 0 ; 0 k ; k k( + k) ; k + k( k) ; k Po simetia k + ; k( + k) k ; k( k) 0 Sejam as somas So e S defiidas po [ /]... S C + C + C + C + + C 7 0 [( )/]... S C + C + C + C + + C + Calcule os valoes de S0 e S em fução de, sabedo que [] epeseta o maio iteio meo ou igual ao úmeo. Sugestão: utilie o desevolvimeto em biômio de Newto de cis π +. k k ( - ) - ( q ( k) ( + kq) k kq SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA 6

7 π Vamos deota w cis e S C C C C C... C Temos elações impotates com w ( i ) w ( ii ) + w + w 0 ( iii ) w q ; w q + w; w q + w Vamos agoa desevolve o biômio: o (i + w) C w C w C w C + w C + w C w C C + w C + w C + C + w C + w C C + w C + w C - 0 C C... C w 5 C + C C + w C + C C 0 (+ w) S + w S + w S - - aaamete desevolvedo ( + w ) obtemos ( + w ) S0 + w S + w S e desevolvedo ( + ) temos S0 + S + S Note que + w -w e + w - w Vamos agoa calcula S0 e S a pati das equações ecotadas (a) S0 S0 + w S+ w S ( w ) S0 + w S + w S ( w) S0 + S+ S Somado as equações obtemos: 0 0 S + (+ w + w ) S + (+ w + w ) S ( w ) + ( w) + S 0 0 ( w ) + ( w) ( ) + ( ) + S 0 S º Caso + ( ) + ( ) + S 0 S Cometáio: A Baca eamiadoa de Matemática IME voltou a tadição de povas etemamete difíceis paa o aluo do esio médio. Houve muitas questões de um gau de dificuldade elevado, ode o cadidato pecisava te uma ceta matuidade em cohecimeto matemático em ível de olimpíada, citado às questões 7º, 8º, 9º e 0º. (b) S Multiplicado a ª elação po w e a ª po w temos w S0 + S+ w S w ( w ) w S0 + S+ w S w (-w) S0 + S + S Somado as equações obtemos: 0 0 (+ w + w ) S + S + (+ w + w ) S w ( w ) + ( w) + 0 w ( w ) + w( w) + S Note que uma fómula mais claa paa S0 e paa S depede do esto de a divisão po º Caso N q + ( ) + ( ) + S 0 S º Caso N q + SOLUÇÃO COMENTADA IME 005/006 MATEMÁTICA 7