Campo Gravítico da Terra

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1 5. Campo Gavítico ómalo elação ete o potecial gavítico e o potecial omal é dada po: W ( x, y, z = U( x, y,z + ( x, y,z O campo gavítico aómalo ou petubado é etão defiido pela difeeça do campo gavítico teeste com o campo gavítico omal do elipsóide de efeêcia; Esta apoximação costitui a chamada lieaização do poblema de foteia da geodesia física; O facto da difeeça de poteciais se uma quatidade pequea, pemite apoximações lieaes da fução potecial (,θ,λ. 5.1 otecial petubado O potecial petubado desceve as iegulaidades egioais e locais do potecial gavítico W; Devido à defiição do campo gavítico omal, o potecial petubado satisfaz a equação de Laplace o exteio da ea; ( = V( + F ( - F [ V ( + ( ] = V( -V ( Como é um opeado é liea, despezado a atmosfea, o potecial petubado é uma fução hamóica em todo o espaço exteio à ea : D( =

2 5.1 otecial petubado Baseado-os o desevolvimeto em hamóicas esféicas dos poteciais gavitacioal teeste e omal, obtemos a epesetação em hamóicas esféicas da fução potecial : ( GM, q, l = Ł a ł = m= ( DC cosml + DS siml m m m (cosq Muitas vezes epesetada po: (, q, l = = (, q, l 5.1 otecial petubado tededo a que os temos de odem e 1 coespodem, espectivamete, à difeeça de massas e difeeça das coodeadas dos cetos de massa GM GM E G GM = - = dm 1 = D x1 ( t + ( Dy cosl + Dz sil 11 ( t [ ] Cosideado-se o elipsóide com massa M E =M e com seu ceto coicidete ao ceto de massa da ea, os temos e 1 são ulos, esultado: (, q, l = = 2 (, q, l

3 5.2 Vecto petubado da gavidade al como acotece com os poteciais gavítico e omal, ao potecial petubado também está associada uma aceleação de gavidade; Como g = gadw g = gadu o vecto petubado da gavidade esulta po d v g = gad (W - U = gad,, Ł x y z ł O vecto petubado é etão, em cada poto, defiido pela difeeça dg( = g( - g ( = gadw - gadu 5.3 omalia da gavidade Compaemos a supefície do geóide defiida po com a supefície do elipsóide defiida po ssumido o mesmo valo de potecial W =U, um poto sobe o geóide é pojectado o poto sobe o elips óide atavés da sua omal; Cosideado, espectivamete, o vecto gavidade g sobe e o vecto gavidade omal γ sobe, o vecto aomalia da gavidade é defiido pela sua difeeça: Dg = - g g W ( x, y, z = U ( x, y,z = W U

4 5.3 omalia da gavidade Este vecto tem uma magitude, desigada po aomalia da gavidade Dg = - g E uma diecção dada pelo desvio da vetical, cujas compoetes são dadas po h = g x = F -j aomalia da gavidade esulta de obsevações gaviméticas e do cálculo de γ pela F.I.G., equato que, os desvios da vetical esultam de obsevações astoómicas e geodésicas ( L - l cosj 5.4 Fómula Bus Desevolvedo em séie de aylo a fução de potecial omal em too do poto sobe o elipsóide, tem-se U U = U + d+ L Ł ł Substituido a expessão do potecial gavítico em a pate liea destes desevolvimeto, e tomado d=n, tem-se W = U + = U - gn + Impodo-se a codição obtém-se - g N + = W = U = W

5 5.4 Fómula Bus esultado etão a chamada Fómula de Bus: N = g Esta fómula elacioa diectamete a odulação do geóide com o valo do potecial petubado, ode γ, a gavidade omal sobe o elipsóide, é uma mea costate. Esta fómula costitui um esultado impotate paa a esolução do poblema da detemiação do geóide (poblema de foteia; o esolve o poblema de foteia detemia-se o potecial petubado, e com esta fómula sai diectamete a odulação do geóide. 5.5 Equação fudametal da geodesia física Desevolvedo em séie de aylo a fução de gavidade omal em too do poto sobe o elipsóide, tem-se g g = g + N + L Ł ł omado a sua pate liea e tomado a sua difeeça com o valo da gavidade g o poto g g = g g g + N = h

6 5.5 Equação fudametal da geodesia física Substituido a expessão da aomalia da gavidade - = Dg h g - N Obtém-se assim, usado a fómula de Bus, a Equação Fudametal da Geodesia Física 1 g - + Dg h g h Esta é a equação que defie a codição de foteia a detemiação do potecial gavítico da ea o espaço exteio, e cosequetemete, a detemiação do geóide = 5.6 3º oblema de Foteia O 3º poblema de foteia é o poblema geodésico de foteia, que a sua essêcia, é o poblema da detemiação da supefície do geóide datum altimético; Detemia a fução potecial que seja hamóica o espaço exteio à ea e que veifique, sobe o geóide, a equação fudametal da geodesia D = + + = x y z 1 g - + Dg = h g h solução, que atavés da F. de Bus os dá a odulação do geóide, é uma solução da equação de Laplace que veifica a codição de foteia dada pela E.F.G.F.

7 5.7 Expasão em hamóicas esféicas equação fudametal pode se escita em apoximação esféica; KM g 2G Seja, g = etão tomado-se γ=g e =; h = 2 Como d/dh=d/d, vem a equação defiida em apoximação esféica Dg = omemos a expessão do potecial petubado em hamóicas esféicas sobe o geóide (, q, l = = ( q, l 5.7 Expasão em hamóicas esféicas Deivado esta expessão em odem a, tem-se; dg = - = 1 = ( + 1 ( q, l Substituido agoa os dois desevolvimetos a expessão modificada da equação fudametal Dg = Obtém-se o desevolvimeto da aomalia da gavidade sobe o geóide em hamóicas esféicas Dg = 1 = ( - 1 ( q, l

8 5.8 Fómula de Stokes Stokes fomulou em 1849, pela pimeia vez de foma igoosa, o poblema da detemiação da odulação do geóide; esolvedo a equação difeecial de foteia defiida sobe o geóide = Dg obteve a solução = 4 p s DgS( y ds Ode S(ψ é a chamada fução de Stokes e é defiida po 1 y y S( y = -6 si + 1-5cos( y -3cos( y l si + si y 2 Ł 2 si Ł 2 ł 2 y 2 ł 5.8 Fómula de Stokes plicado o teoema de Bus =N/G, ode G é o valo da gavidade sobe o elipsóide (γ, obtém-se a chamada fómula ou itegal de Stokes N = DgS( y ds 4pG Esta é a fómula mais impotate da geodesia física, pois pemite detemia diectamete a odulação do geóide a pati das aomalias da gavidade defiidas sobe o geóide; Esta fómula ão é de fácil aplicação, já que a supefície teeste ão coicide com o geóide, e as aomalias da gavidade obsevadas ão são defiidos sobe o geóide; Isto implica que os valoes de gavidade obsevados supefície teham de se eduzidos ao ível geóide. s à