Uma dedução heurística da métrica de Schwarzschild. Rodrigo Rodrigues Machado & Alexandre Carlos Tort

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Instituto de Física Pogama de Pós-Gaduação em Ensino de Física Mestado Pofissional em Ensino de Física Uma dedução heuística da mética de Schwazschild Rodigo Rodigues Machado & Alexande Calos Tot Mateial instucional associado à dissetação de mestado de Rodigo Rodigues Machado, apesentada ao Pogama de Pós-Gaduação em Ensino de Física da Univesidade Fedeal do Rio de Janeio. Rio de Janeio feveeio de 2016

2 Uma dedução heuística da mética de Schwazschild Rodigo Rodigues Machado Alexande Calos Tot 1 Uma dedução heuística da mética de Schwazschild Neste Apêndice, obteemos a mética de Schwazschild po meio de uma abodagem heuística, entetanto, convém te sempe em mente que o método heuístico nos dá uma abodagem pática e objetiva, poém necessaiamente limitada, de um esultado teóico ou expeimental. Na gavitação newtoniana, a inteação ente duas massas é dada pela Lei da Gavitação Univesal. Suponhamos a existência de duas massas M e m isoladas. Suponhamos também, po simplicidade, que M m. A inteação gavitacional ente elas é descita po F () = GMm 2. A foça é instantânea e o sinal negativo indica que M exece uma foça atativa sobe m. Podemos considea, po exemplo, M como a massa do Sol e m como a massa de um planeta. Combinando as leis do movimento de Newton com a Lei da Gavitação Univesal obteemos as óbitas elípticas dos planetas do Sistema Sola. Coeções que levam em conta petubações devidas a váios fatoes, po exemplo: a oblaticidade do Sol, podem posteiomente se adicionadas. Com a excecão de uma pequena coeção adicional à pecessão de Mecúio, a gavitação newtoniana explica pefeitamente a mecânica do Sistema Sola. 2

3 A gavitação newtoniana, poém, po questões envolvendo a instantaneidade, a simultaneidade e outas questões, é incompatível com a Teoia de Relatividade Restita (TRR) e as tentativas de fomula uma teoia da gavitação que satisfizesse seus postulados não pospeaam, ve [1]. Na Teoia da Relatividade Geal (TRG), as massas não inteagem po meio de uma foça, em outas palavas: não há foça gavitacional. O que acontece é que m desceve uma tajetóia extemante (um máximo ou um mínimo) ente dois eventos do espaço tempo cuja geometia (cuvatua) é deteminada po M, no caso em que M m. Esta tajetóia extema é chamada geodésica. Assim do ponto de vista da Teoia da Gavitação Relativística ou Teoia Geal da Relatividade, a massa m segue uma geodésica na geometia deteminada po M. A Figua 1 ilusta a difeença fundamental ente as duas teoias. Uma das gandezas mais impotantes na TRR e na TRG é o intevalo infinitesimal elevado ao quadado ou simplesmente intevalo, ds 2, que desceve a sepaação ente dois eventos no espaço tempo quadidimensional. Lembemos que um evento é o equivalente de um ponto no espaço odináio. O intevalo ds 2 é um invaiante de Loentz na TRR, isto é: tem o mesmo valo paa dois obsevadoes ineciais conectados po um tansfomação de Loentz. Na TGR, o intevalo é um invaiante não impota qual o estado de movimento do obsevado. O espaço tempo da TRR o espaço de Minkowski é plano e o intevalo ao quadado infinitesimal invaiante ente dois eventos é dado po ds 2 = c 2 dt 2 + dx 2 + dy 2 + dz 2 = c 2 dt 2 + d dθ sen 2 θ dφ 2, onde na segunda linha escevemos a pate espacial em coodenadas polaes esféicas. Note que o uso de coodenadas cuvilíneas não implica necessaiamente em espaço tempo cuvo. Po outo lado, o intevalo infinitesimal ao quadado do espaço tempo associado uma massa puntifome isolada, isto é: a mética de Schwazschild, é dado po [1]: 3

4 Figua 1: Na gavitação newtoniana m desceve uma óbita em tono de M m deteminada pela Lei da Gavitação Univesal e pelas condições iniciais. Na gavitação einsteniana, m segue uma geodésica na geometia do espaço tempo deteminada po M. (Ilustação em coes Wikipedia). Apud [2]. onde ( ds 2 = 1 2GM ) ( c 2 dt GM ) dω 2, c 2 2 c 2 2 dω 2 = dθ 2 + sen 2 θ dφ 2 A obtenção deste esultado eque que esolvamos as equações de Einstein o que está foa do escopo deste tabalho. Entetanto, um agumento heuístico simples que se deve a Blinde [2] pemite obte este esultado do seguinte modo: considee 4

5 uma massa de pova m em queda live a pati do infinito no campo gavitacional de uma massa M m que apesenta simetia esféica. Em elação ao obsevado distante, o obsevado suficientemente afastado paa que os efeitos gavitacionais sobe ele sejam despezíveis, a velocidade adial instantânea da massa de pova é v. Considee um efeencial de Loentz co-móvel com m. Nesse efeencial, a massa m está instantaneamente em epouso. e um obsevado co-móvel com m, isto é, também em queda live, esceveá a mética localmente plana ds 2 = c 2 dt 2 + d 2. Este é o Pincípio da Equivalência. Paa o obsevado distante, as distâncias infinitesimais d medidas pelo obsevado co-móvel com éguas instantaneamente em epouso sofem contação de Loentz, isto é: d = d γ = 1 v2 c 2 d, e os elógios do obsevado co móvel que macam intevalos de tempo infinitesimais dt sofem dilatação tempoal: dt = γ dt = dt. 1 v2 c 2 Potanto, o obsevado distante desceve a mética local na foma: ) ) 1 ds 2 = (1 v2 c 2 dt 2 + (1 v2 d 2. c 2 Suponha agoa que a massa de pova em queda live desde o infinito tenha uma enegia mecânica E nula. A uma distância adial de M, paa o obsevado distante sua enegia se esceve: c 2 segue que mv 2 2 GMm = 0, v 2 = 2GM. 5

6 Definindo o aio de Schwazschild po: R S = GM c 2, e substituindo esta definição na mética do obsevado distante temos: ( ds 2 = 1 R ) ( S c 2 dt R ) 1 S d dω 2, que é a mética de Schwazschild nas coodendadas do obsevado distante. Obseve que no final acescentamos a pate espacial angula. Obseve também que no limite ecupeamos a mética de Minkowski. Natualmente, a abodagem heuística não substitui a abodagem via TGR, mas seu uso aqui justifica-se pela simplicidade, pelo esultado final, o qual está em concodância com o obtido de modo igooso po Schwazchild em 1916 [3], e pelo público alvo paa o qual este tabalho está voltado. Refeências [1] C. W. Misne, K. S. Thone e J. A. Wheele: Gavitation (Feeman; San Fancisco) Ve Capiítulo 7 pp [2] S. M. Blinde: Centennial of Geneal elativity ( ): The Schwzschild Solution and Black Holes. aaxiv: v1 [physics pop ph] 3 Dec [3] K. Schwazschild: On the Gavitational Field of a Mass Point accoding to Einstein s Theoy. axiv:physics/ [physics] 12 May (Tadução paa o inglês do oiginal em alemão.). 6