Dinâmica do Movimento dos Corpos GRAVITAÇÃO. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Transcrição

1 15 GRAVITAÇÃO Gil da Costa Maques Dinâmica do Movimento dos Copos 15.1 A Inteação Gavitacional 15. Newton, a Lua e a Teoia da Gavitação Univesal 15.4 Massa e Gavitação 15.5 Massas geam dois tipos de campos 15.6 Massas geam também um campo gavitacional 15.7 Deteminação do campo gavitacional e do potencial gavitacional 15.8 Campo gavitacional geado po uma distibuição esféica de massas 15.9 A aceleação da gavidade Licenciatua em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo A Inteação Gavitacional Do ponto de vista do Univeso como nos é apesentado hoje, a inteação gavitacional é a mais impotante ente todas. Ela é a foça aglutinadoa do Univeso e a única, ente as quato inteações conhecidas, que atinge cada ponto do Univeso. Como tal, ela desempenha tês papéis fundamentais. O pimeio é o de pocua atai toda a matéia do Univeso. No que depende dessa foça, o Univeso se desaceleaia continuamente. Se o Univeso fosse estático, como pensava Einstein, teíamos de enconta uma foça que contabalançasse a foça gavitacional, ataindo as váias pates do Univeso. A solução encontada po Einstein, de adiciona uma constante cosmológica, leva a uma foça epulsiva ente as pates do Univeso, foça essa que tudo leva a ce paece existi, pois o Univeso no seu conjunto - enconta-se aceleado. O segundo papel é o de junta a matéia concentando-a em aglomeados dos mais divesos tamanhos. Foma objetos compactos (típicas de objetos sólidos). Se dependêssemos apenas dessa foça, ela concentaia toda a matéia num só ponto do espaço. No entanto, o pocesso de aglomeação acaeta a ação das demais foças. Essas foças atuam popiciando a estabilização do pocesso de encolhimento. Daí esulta que a matéia, ao longo do pocesso de aglutinação, passa po divesas fases, confome a massa do objeto. Se a massa do objeto fomado fo muito gande, o pocesso de encolhimento apaentemente não chega a um fim. Muitas vezes, ela não consegue concenta toda a matéia numa pequena egião do espaço. Pode, no entanto, mante a matéia obitando em tono de um cento comum, como no caso do sistema sola, de aglomeados de estelas dos mais vaiados tamanhos e de galáxias. Nesse caso, dizemos que a foça gavitacional dá oigem a sistemas de objetos compactos ligados ente si po meio da foça gavitacional. Tais sistemas podem se planetáios, ou podem conte alguns sistemas planetáios, podem conte poucas estelas (estelas bináias, po exemplo), milhões de estelas (como nos aglomeados globulaes) ou bilhões de estelas (como ocoe com as galáxias). Esse é o teceio papel da inteação gavitacional: foma sistemas ligados ente si gavitacionalmente. Assim, a foça gavitacional aglutina a matéia, fomando objetos densos, pocua aglutina o pópio Univeso e esponde pela dinâmica dos objetos que ela aglomea. Figua 15.1: Sistema Sola: matéia obitando em tono do sol. Dinâmica do Movimento dos Copos

3 360 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Como esultado da inteação gavitacional, os objetos existentes no Univeso possuem massas cujos valoes apesentam uma enome dispaidade. Isso acontece poque não há limite paa se agegaem mais átomos a um dado copo sólido ou líquido. Assim, a foça gavitacional não é apenas esponsável pela queda de uma maçã, pois, ao agi sobe todos os objetos que têm massa, ela tem a capacidade de agi sobe todas as pates do Univeso. Essa é a foça esponsável pela foma aedondada dos copos celestes. Ela é também esponsável pelo movimento dos copos celestes, pela evolução do Univeso e pela cuvatua do espaço. A foça gavitacional atua de uma foma constante, débil, mas que atinge os objetos independentemente de sua localização no espaço. Não há como blindá-la. A foça gavitacional é atativa. Como esultado, ela pocua sempe junta as coisas existentes no Univeso. Essa atação ente as pates poduz o colapso gavitacional de gandes aglomeados de matéia, acaetando os maioes espetáculos piotécnicos no Univeso. Com isso, as estelas se tansfomam em fábicas de elementos químicos mais pesados a pati da fusão dos elementos mais leves. A gavitação é uma inteação que alcança os objetos onde que que estejam. Dizemos, em linguagem científica, que o alcance dessa foça é infinito. Assim, no que dependesse apenas dessa foça, o Univeso seia becado continuamente em sua expansão. Se fo suficientemente intensa (se o Univeso tive muita massa), ela é capaz de junta toda a massa do Univeso num só ponto. A igo ela alcança objetos localizados a gandes distâncias, ainda que, nesse caso, com uma intensidade bastante eduzida. Em vitude do seu alcance e de sua capacidade única de agi sobe todos os objetos no Univeso, essa foça é a mais impotante paa o entendimento da fomação e do destino dos váios objetos existentes no Univeso. A foça gavitacional é a mais débil ente todas. No entanto, essa debilidade é elativa. Quando uma gande massa se acumula numa egião muito pequena do espaço, nenhuma outa foça é capaz de se contapo a ela. A esposta à compessão contínua da matéia pode se uma gande explosão. Em ceta medida, é a inteação menos compeendida de todas. Po não sabemos constui uma teoia quântica da gavitação, dizemos que as fomulações da teoia da gavitação existentes não são completas. E isso é de ceta foma bastante supeendente, pois ela foi a pimeia a se entendida, dento de um amplo domínio de validade, gaças ao gênio de Newton. 15 Gavitação

4 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Newton, a Lua e a Teoia da Gavitação Univesal As obsevações e as análises de Isaac Newton ( ) sobe o movimento da Lua levaam-no à Teoia da Gavitação Univesal. Sua pimeia intuição, que se evelaia coeta, dizia que tal movimento podeia ocoe devido à mesma foça que povoca a queda de uma maçã. Entendeu, potanto, que o movimento da Lua não é difeente do movimento dos pojéteis. De fato, num dos seus escitos se enconta uma ilustação paecida com aquela da Figua 15., epesentando o canhão obital de Newton. Nela Newton desenvolve o aciocínio de que, se atiamos um objeto impimindo a ele uma velocidade cada vez maio, ele atingiá distâncias cada Figua 15.: Canhão obital de Newton. vez maioes. Podemos, assim, impimi uma velocidade suficientemente gande paa que ele não caia sobe a Tea. Assim, atingiíamos uma velocidade tal que sua óbita seia cicula. Paa velocidades maioes do que essa, sua óbita seia elíptica. A mesma foça que impulsiona os objetos em dieção ao cento da Tea pode mante a Lua obitando em tono da Tea. Imaginemos agoa o caso do Sol. Sendo sua massa maio do que a da Tea, ele pode atai os planetas. Essa atação faia com que eles obitassem em tono do Sol, descevendo óbitas elípticas ou ciculaes. Newton entendeu, assim, que há a necessidade de uma foça paa mante os planetas em movimento cicula, e que ela é a mesma foça gavitacional que atai os objetos em dieção ao solo. O passo decisivo foi o de pocua entende as caacteísticas do compotamento da foça gavitacional quando vaiamos a distância do objeto até o cento da Tea. Paa isso, compaou a foça execida pela Tea sobe um objeto na supefície teeste e a foça sobe a Lua. Consideemos a Lua descevendo um movimento cicula de aio R lua, e que esta esteja, num ceto instante de tempo, numa posição designada po P (vide Figua 15.3). Figua 15.3 Movimento cicula de aio R lua da Lua. Dinâmica do Movimento dos Copos

5 36 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Sem a existência de uma foça, a Lua saiia pela tangente, atingindo um ponto P depois de um intevalo de tempo Δt, intevalo esse admitido como pequeno. No entanto, como o movimento é cicula, ela se desvia em dieção à Tea, atingindo um ponto P sobe a cicunfeência. A Lua estaia aceleada na dieção adial. Conclui-se que a aceleação (a aceleação centípeta) se elaciona com o peíodo do movimento cicula (T) de acodo com a expessão: a lua v = = R = R R π ω T lua lua 15.1 A pati da distância da Lua (R lua ) e do peíodo T = 7,3 dias, conclui-se que as aceleações dos objetos na supefície teeste e a aceleação da Lua são invesamente popocionais às distâncias até o cento da Tea, ou seja: a a lua tea alua R = = g Rlua Dessa expessão, pode-se infei que a foça gavitacional decesce com o quadado da distância ao cento da Tea. Sua Lei da Gavitação Univesal estabelece que o módulo F da foça gavitacional é invesamente popocional à distância e dietamente popocional às massas dos objetos que inteagem ente si, ou seja, sua componente adial é dada po: 15. F = mmg 15.3 onde G é a constante da gavitação univesal. Tal constante foi deteminada expeimentalmente po Cavendish, e seu valo é: G = 6, mkgs Po meio de métodos matemáticos desenvolvidos po Newton (o cálculo difeencial e integal, o qual foi poposto simultaneamente po Leibnitz), ele foi capaz de pova que as óbitas dos planetas são elípticas. A 3ª Lei de Keple pode se infeida a pati de 15.1 e da sua segunda lei. De fato, igualando a foça dada po 15.3 com o poduto da massa pela aceleação, obtemos de 15.1 que: mluamteag = m R lua lua π R T lua Gavitação

6 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Após simplificações e um eaanjo das vaiáveis e constantes, a equação 15.4 pode se escita como: GM π Tea 4 RLua = ( ) T ( ) Lua 3 = constante 15.5 em confomidade com a 3ª Lei de Keple que, nesse caso, estabelece uma elação linea ente o cubo do aio (R) da cicunfeência e o quadado do peíodo de evolução (T ) do movimento cicula unifome: R 3 R = ( constante ) T ou = constante T Ao estabelece a lei da Gavitação Univesal, Newton estabeleceu as caacteísticas da foça gavitacional ente dois copos. Exemplos Exemplo 1: Um satélite atificial de massa m = 500 kg enconta-se em óbita cicula a uma altitude h = 600 km. Dados: (GM T ) = N.m²/kg; e o aio da Tea = R T = km. Consideando-se o satélite, detemina: a. Sua aceleação escala. b. Sua velocidade escala. c. O peíodo (T) do movimento obital do satélite. Resolução Sobe o satélite atificial de massa m atua uma única foça, que é a foça de atação gavitacional execida pela Tea (de massa M T, confome ilusta a Figua Figua 15.4: Componentes da foça e da velocidade de um satélite em óbita cicula. Os vetoes e ρ e e ϕ são vesoes nas dieções adial e tangencial à tajetóia cicula. Dinâmica do Movimento dos Copos

7 364 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A foça gavitacional é descita pela Lei da Gavitação Univesal, a equação Dela podemos infei que sua intensidade, ou módulo, é dada (paa patículas ou copos esféicos com distibuição de massa simética) pela expessão: F GM m T = 15.7 onde a distância do satélite até o cento da Tea seá escita em temos do aio da Tea e da altua até a supefície como = R T + h. A sua dieção é adial, ou seja, coincidente com aquela que une o cento da Tea ao satélite e o sentido é sempe diigido paa o cento da Tea. Todos esses dados estão contidos na expessão vetoial: GM m T F = e ( RT + h) ρ onde e ρ = veso na dieção adial. Em vitude do caáte cicula do movimento, a foça gavitacional F, confome ilusta a Figua 15.4, é pependicula à velocidade v = ve. ϕ, onde e ϕ = veso na dieção tangencial à tajetóia. a. A aceleação do satélite. Nessas cicunstâncias, a ª Lei de Newton F = ma. se esceve: GM T m e = ma ρ ( RT + h) Donde a aceleação do satélite é dada po: GM T a = RT + h ( ) e ρ GM T m Dessa expessão infeimos que o módulo da aceleação é a =. Ademais, a sua dieção é ( RT + h) adial (dieção do veso e ρ ), mas no sentido oposto a ele, ou seja, apontando paa o cento da Tea. Po esta sempe diigida paa o cento da cicunfeência (tajetóia do satélite), essa aceleação é denominada aceleação centípeta (a cent ). Substituindo os valoes fonecidos, temos: 13 N.m kg a = acent = 3 3 ( m m) N = ( ) = kg N/kg 816, m/s 15 Gavitação

8 Vetoialmente, escevemos: a = a = ( ) e Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 cent 816, ρ b. Velocidade escala do satélite. Confome estudado em Movimento Cicula, a aceleação centípeta é a cent = v /. Aplicado ao movimento do satélite, temos: a cent = v R + h ( ) T 15.1 Potanto, a velocidade escala do satélite é: v² = [a cent ][R T + h]. Donde: [ ] v= [ a ] R + h cent T No caso especifico, encontamos: v= 816, ms m = 57, m s 75610, x m s= 7, 56kms c. O peíodo do movimento obital do satélite. O peíodo T é o intevalo de tempo necessáio paa que o satélite complete, em movimento cicula unifome, uma volta ao edo da Tea. Isto significa que o aco descito no tempo T é Δs = π. Sendo v = constante, podemos esceve: donde s v = = π. ; T T T = π. v Substituindo-se os valoes dados, concluímos que: ( ) T = 6 314, 7 10 m 3 816, 10 ms 3 54, 10 s 89, 8 minutos Dinâmica do Movimento dos Copos

9 366 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Massa e Gavitação A inteação gavitacional se oigina de um atibuto dos constituintes da matéia denominado massa, ou seja, todos os objetos dotados de massa têm a capacidade de inteagi ente si po meio de uma foça, a qual é chamada foça gavitacional. Gavitação é um efeito que se oigina dessa popiedade da matéia. Não sabemos a oigem das massas das patículas em geal e - o que é mais impotante - das patículas elementaes (das quais todas as coisas são constituídas). O fato é que massa é um conceito fundamental e pode se medida. Na física clássica intoduzimos duas fomas de medi massas. Podemos dize que estamos definindo duas modalidades de massa. A segunda lei de Newton estabelece uma elação linea ente a foça aplicada a um copo e a aceleação impessa a esse copo: F = ma A constante de popocionalidade, m, é a massa do copo que se move. Tendo em vista que, nesse caso, a massa se tona uma medida da inécia dos objetos (pois quanto maio sua massa, mais difícil se tona altea seu estado de movimento), essa elação intoduz o conceito de massa inecial. O pópio Newton, em sua Teoia da Gavitação Univesal, intoduziu uma expessão paa a foça ente dois objetos que se tansfoma numa outa definição de massa. De acodo com ele, se um copo tive massa m 1 e outo copo, situado a uma distância d do pimeio, tive uma massa m, eles se ataião. O módulo da foça expeimentada po esses objetos é dado pela Lei da Gavitação Univesal: F Gm m d = onde G é a constante da Gavitação Univesal. A elação intoduz outa maneia de defini massa. A massa definida atavés de é denominada massa gavitacional. As duas expessões clássicas acima não se constituem, a igo, as definições do que seja massa. São expessões que nos possibilitam medi a massa de um copo. Tendo em vista que não temos evidências paa o estabelecimento de difeenças ente massas ineciais e gavitacionais, adotamos qualque uma das expessões anteioes como definições 15 Gavitação

10 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo equivalentes de massa. Assim, uma vez que massa equivale a uma medida da quantidade de matéia e esta inteage gavitacionalmente, passamos a adota uma definição mais pecisa a espeito do que denominamos matéia. De acodo com a definição mais abangente do temo, a gavitação é uma das quato foças da natueza tidas como fundamentais. Além dela, temos tês outas inteações igualmente fundamentais: as inteações eletomagnética, faca e fote. Estas últimas competem, em sistemas que contêm uma gande quantidade de matéia, com a inteação gavitacional. Esta última, ainda que muito mais débil do que as demais, jamais pede tais competições. Se a matéia existi em quantidades pequenas (como a existente no nosso mundo), admite-se o empate. Se a matéia existi em gande quantidade, ganha a gavitação. Podemos estuda os efeitos de uma distibuição de massa (os efeitos gavitacionais povocados po ela) a pati da análise do campo gavitacional e do potencial gavitacional. As duas fomas são equivalentes Massas geam dois tipos de campos A igo, não há necessidade de os copos estaem em contato ente si paa que eles inteajam. Em paticula, todas as inteações fundamentais, inclusive as inteações gavitacionais, são inteações à distância. Paa desceve as inteações à distância, fazemos uso do conceito de campo. Com isso queemos dize que, nas fomulações mais geais e abangentes dos fenômenos físicos, lançamos mão desse conceito. Esse é o caso, po exemplo, da teoia da gavitação fomulada po Einstein e da teoia eletomagnética fomulada po Maxwell. A ideia de desceve as inteações utilizando campos pate do pessuposto de que um objeto (uma patícula, um átomo, uma maçã etc.) altea, com a sua mea pesença, as popiedades do espaço. A descição dessa alteação nas popiedades do espaço se dá atavés do campo, que ocupa todo o espaço. O campo abiga o conteúdo de infomações, do ponto de vista das inteações, que se pode extai a espeito de objetos existentes numa deteminada egião do espaço. Isso se tona vedadeio na medida em que os objetos inteagem ente si atavés dos campos geados po eles. Nesse sentido, a inteação com o campo é equivalente à inteação com aquilo que o poduziu. Dinâmica do Movimento dos Copos

11 368 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 É impotante essalta que o campo existe independentemente da existência de outos objetos que inteajam com ele. Um objeto póximo à supefície teeste, como uma maçã ou uma bússola, inteage com a Tea atavés de um ou mais campos. O esultado da inteação de um objeto com o campo gavitacional teeste é o movimento dos pojéteis. A queda de uma maçã é um exemplo simples. O movimento dos satélites já não é tão simples assim. A inteação de uma agulha imantada com o campo magnético da Tea esulta na sua oientação ao longo de dieções pefeenciais. Ela sempe se oienta na dieção dos polos. A matéia concentada numa deteminada egião do espaço gea uma alteação nas popiedades desse espaço. Chamamos essa alteação de potencial gavitacional. Essa gandeza física foi discutida em Enegia Mecânica. No entanto, como veemos a segui, pode-se dize que um objeto dotado de massa gea também um campo gavitacional. Esses dois campos não são, no entanto, independentes e isso poque o campo gavitacional é a taxa de vaiação pontual do potencial gavitacional, ou seja, o campo gavitacional é um conceito deivado do pimeio. Toda distibuição de matéia, independentemente da sua constituição, gea um campo e um potencial gavitacional. Ambos dependem da posição consideada no espaço Massas geam também um campo gavitacional Outa consequência da alteação nas popiedades do espaço, quando existe uma distibuição de massas (ou de matéia), é a de que uma patícula de massa m, localizada num ponto dado pelo veto de posição expeimenta uma foça dada po 15.17, F mg ( )= ( ) onde g ( ) é o campo gavitacional poduzido pelas patículas que compõem a matéia. O campo gavitacional é um campo vetoial. 15 Gavitação

12 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Assim, temos um método bastante simples paa detemina o campo gavitacional, ou seja, uma vez conhecida a foça, basta dividi-la pela massa da patícula paa deteminamos o campo gavitacional. Assim, po definição, temos: F g( ) ( ) m Tata-se de uma definição que nos leva à deteminação empíica do campo gavitacional mais simples de se implementada, do ponto de vista fenomenológico, do que sua análoga dada pela expessão 1.8. É po isso que, na maioia dos casos, pefeimos intoduzi pimeio o campo gavitacional e, depois, o potencial gavitacional. Eles são inteligados, pois g ( )= V V ( )= x i V y j V z k Exemplo : Considee um asto esféico de aio R e massa M unifomemente distibuída. Moste que o campo gavitacional geado num ponto P à distância > R do cento do asto é GM g( )= e, onde e = veso na dieção adial, divegente do cento do asto. Resolução A pati da equação 15.17, o campo gavitacional no ponto P à distância do cento de M é dado po onde F ( ) é a foça de atação gavitacional que M exece sobe m posicionado no ponto P. Confome a Lei da Gavitação Univesal de Newton GM m F( )= e ; potanto: GM m F( ) 15.0 g GM ( )= = e = e m m Conclusão: o campo gavitacional geado em pontos ao edo de um copo esféico de M é uma gandeza vetoial: Módulo: g () = GM/², onde R, o aio da esfea Figua 15.5: Esquema epesentativo do Exemplo. Dinâmica do Movimento dos Copos

13 370 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Unidade de medida: N/kg = m/s² (SI) Dieção: adial (dieção da eta que passa pelo ponto e o cento da esfea) Sentido: apontando paa o cento da esfea. O módulo do campo gavitacional g() vaia de foma a se invesamente popocional ao quadado da distância ao cento da distibuição. Na supefície do objeto esféico o campo gavitacional é g 0 = g( = R) = GM/R e, confome nos afastamos dele, o campo se tona mais e mais faco, ou seja, no limite em que o campo gavitacional tende a zeo (g 0). Exemplo 3: Um satélite atificial teeste tem óbita cicula à altitude h = km. A sua massa é m =.500 kg e sua velocidade obital é v = km/s. Dados: GM Tea = Nm²/kg ; R Tea = km. Detemina: a. O campo gavitacional ao longo da óbita do satélite. b. A sua enegia potencial gavitacional. c. A enegia cinética do satélite d. A enegia mecânica do satélite. e. O potencial gavitacional ciado pela Tea ao longo da óbita do satélite. Figua 15.6: Vaiação da intensidade do campo gavitacional g em ponto do espaço em função da distância do ponto ao cento de um planeta. Resolução a. O campo gavitacional ao longo da óbita. Fazendo uso do esultado do exemplo, concluímos que o campo gavitacional nos pontos petencentes à obita do satélite, ou seja, nos pontos localizados à distância = km km = km do cento da Tea, tem as seguintes caacteísticas: 13 GM Tea Módulo: g = = = 016, Nkg ou 0,16 m/s² 6 ( ) Dieção: adial Sentido: dos pontos da tajetóia paa o cento da Tea. Vetoialmente ele pode se assim epesentado: g = ( 016) e, ρ onde e ρ = veso na dieção adial divegente do cento em cada ponto da tajetóia Gavitação

14 b. Enegia potencial gavitacional. Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Po meio da equação 13.16, podemos calcula a enegia potencial gavitacional U() do satélite. Obtemos a pati dos dados: Obseve na Figua 15.7 como a enegia potencial vaia em função da distância. GM Tea U( )= msatélite = Confome nos movimentamos paa pontos longínquos ( ), a enegia potencial se tona mais e mais faca, ou seja, U 0. Ela assume, poém, sempe valoes cada vez menos negativos. O sinal negativo da expessão do potencial indica que se tata de uma enegia de ligação. Ela detemina quão ligado à Tea enegeticamente falando o satélite se enconta. c. A enegia cinética do satélite. A velocidade escala do satélite é v = km/s =.10 3 m/s e a sua massa é m =.500 kg. Potanto, a sua enegia cinética é: E c ( ) = J = ( 1) mv = ( 1)(. 500) 10 3 = J Figua 15.7: Compotamento da enegia potencial como função da distância até o cento da Tea. 371 d. Enegia mecânica do satélite. Confome definido em 13.48, a enegia mecânica do satélite é: E = Ec + U = J+ ( 0 10 J)= J A enegia mecânica negativa significa que o satélite se enconta ligado à Tea. Paa desligá-lo é peciso impimi ao satélite uma enegia cinética maio do que J. e. O potencial gavitacional ciado pela Tea. A equação que define a elação ente a enegia potencial U() de uma massa m e o potencial gavi- U tacional V() do ponto onde a massa se enconta é: V ( )= m GM Tea V ( )= ( ). Como U() = [ GMTea.m]/: 15. Dinâmica do Movimento dos Copos

15 37 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Como GM = constante, o potencial gavitacional depende apenas de. Assim, como os pontos da óbita do satélite têm a mesma distância em elação ao cento da Tea, esses pontos têm o mesmo potencial gavitacional. O seu valo é: V óbita satélite = 6 N m kg 6 = 8 10 Jkg m 15.7 Deteminação do campo gavitacional e do potencial gavitacional A segui, explicaemos como se pode detemina o campo gavitacional e o potencial gavitacional, uma vez conhecida a distibuição de matéia. Vamos dividi o tema em dois tipos de distibuição: distibuição disceta de matéia e distibuição contínua de matéia. Uma patícula de massa M e localizada na oigem poduz, de acodo com a lei de Newton da gavitação univesal, um campo gavitacional dado pela expessão: O campo gavitacional devido a uma distibuição de N massas é dado como uma soma envolvendo as difeenças dos aios vetoes de posição de cada uma das patículas: O potencial gavitacional, po outo lado, é dado pela expessão No caso de uma distibuição volumética, caacteizamos a distibuição po uma função de distibuição, a qual é conhecida como densidade de massa. Repesentamos uma densidade volumética pela leta ρ e escevemos: g( )= MG = MG 3 3 N g G m i ( )= i 3 i= 1 i i ρ dm ( )= dv Gavitação

16 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Ela pemite detemina o quanto de massa está contido numa deteminada unidade de volume, localizada num ponto cujo aio veto de posição é : dm = ρ( ) dv 15.6 Obseve que, de acodo com a expessão 15.6, a densidade pode vaia de ponto paa ponto no espaço. Po isso, indicamos que a distibuição depende do ponto cuja posição é indicada pelo veto. Paa uma distibuição volumética de massa, o campo e o potencial gavitacionais são dados pelas expessões: g( )= G dm( )= G ρ( ) d i 3 3 massas Volume Figua 15.8: No caso de uma distibuição contínua de massas devemos efetua uma soma sobe infinitas contibuições. V( )= G massas 1 dm G ( )= d 1 ρ 3 Volume ( ) 15.8i onde a soma agoa envolve um númeo infinito de pontos. A essa soma damos o nome de integal. Exemplo 4: Mate, o 4º planeta do Sistema Sola a pati do Sol, tem densidade média ρ médio = 3,9 g/cm³ e aio equatoial médio R médio = km. Patindo do pessuposto de que tal planeta seja pefeitamente esféico e de densidade igual à densidade média, detemine a intensidade do campo gavitacional geado po Mate em sua supefície. Resolução O módulo (ou intensidade) do campo gavitacional geado pelo planeta Mate no espaço ao seu edo é deteminado pela expessão: g = GM/². Paa se detemina o campo gavitacional, na sua supefície devemos considea, como enunciado, que o seu aio seja o aio equatoial médio, ou seja, = R médio = 3, m. Dinâmica do Movimento dos Copos

17 374 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 A massa, de acodo com a hipótese da homogeneidade do planeta, deve se deteminada em função da densidade média e do aio R médio de Mate. Quando usamos a densidade média estamos consideando Mate como uma esfea homogênea e, dessa foma, a equação 15.6 pode se assim escita: ρ média = M/V, onde V = (4/3)π(R médio ) 3. A massa pode, paa um planeta esféico e homogêneo, se expessa em função do aio adotado como o aio médio como: M ρ V ρ 43π R = [ ]= ( ) ( ) médio médio médio Potanto, g R GM = ( ) = 0 médio G ρ médio 3 ( 43) π( R ) médio = R ( ) médio 4π 3 G ρ médio R médio Substituindo-se os valoes das gandezas envolvidas nessa equação: G = 6, N.m²/kg²; ρ médio = 3,9 g/cm³ = 3, kg/m³ e π = 3,14, tem-se: 4 314, = , Nm kg, kg m, m 37, N kg = 37, m s g Campo gavitacional geado po uma distibuição esféica de massas Consideemos agoa o caso de uma distibuição esféica de matéia. Isso significa que a densidade vaia apenas com a distância das patículas até a oigem. Esse é o caso da maioia dos copos celestes. Assim, escevemos: ρ ρ ρ ( )= ( )= ( ) Em vista da popiedade 15.30, paa os pontos extenos ou na supefície da distibuição de matéia, valem as seguintes expessões paa o campo gavitacional e potencial: g( )= g( ) Gavitação

18 V( )= V( ) Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo onde agoa M T é a massa total da distibuição esféica de matéia e = é a distância até o cento da distibuição. Figua 15.9: Uma distibuição de massa esfeicamente simética. Consideamos pimeiamente uma esfea imagináia de aio passando pelo ponto que dista do cento da distibuição de massa (Figua 15.10). Podemos esceve paa o campo devido à distibuição esféica de massa: GM () g( )= 15.33i Figua 15.10: Pode-se detemina o campo gavitacional num ponto a uma distância R levando-se em conta tão somente a massa no inteio de uma esféica imagináia de aio R. onde M() é a massa no inteio da esfea imagináia mencionada. Temos assim que, paa os pontos exteioes à distibuição de massa, a massa M() é a massa total da distibuição: Isto vale paa qualque valo de paa o qual > R, onde R é o aio da distibuição de massa. E, potanto, paa os pontos extenos à distibuição, valem as expessões: g( )= M G Total 3 1 V( )= M Total G Figua 15.11: Campo gavitacional paa pontos extenos e intenos de distibuição esfeicamente simética. onde M é a massa total da distibuição esféica. Concluímos que, paa pontos exteioes à distibuição, tanto o campo gavitacional quanto o potencial são equivalentes à distibuição de uma massa puntifome quando consideamos a massa total concentada na oigem. M( )= M total Dinâmica do Movimento dos Copos

19 376 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Exemplo 5: Como vaia o campo gavitacional geado pela Tea? a. Em pontos de altitude h cada vez maioes? b. Em pontos situados num túnel hipotético da supefície até o cento da Tea? Resolução a. Campo gavitacional geado pela Tea Paa pontos foa do planeta (condição que escevemos como R Tea ), a componente adial do campo gavitacional é dada po: g( )= GM = = Tea Esta equação válida paa R (aio da Tea) pemite calcula o campo gavitacional em pontos na supefície da Tea; basta substitui = aio da Tea. Assim, a intensidade (ou módulo) do campo na supefície da Tea é dada po: ( ) ( )= = 13 6 g 0 = N.m kg / 6, m 9, 83Nkg 9, 83m s Paa pontos > R, a intensidade do campo gavitacional é g < g 0 = 9,83 N/kg. Po exemplo, a intensidade do campo gavitacional geado pela Tea na óbita da Lua (distância da óbita ao cento da Tea é = km = m) é: ( ) ( ) 13 6 g( )= / , 0007 Nkg Concluímos potanto que, paa pontos localizados a km da Tea, o campo gavitacional é pequeno quando compaado com o campo de pontos localizados sobe a supefície da Tea, mas, ainda assim, ele se faz pesente. O movimento da Lua é uma pova disso. Obseve na Figua 15.1 a vaiação do campo confome a distância aumenta. A intensidade do campo gavitacional é invesamente popocional a ². Figua 15.1 b. Campo gavitacional em pontos situados num túnel hipotético da supefície até o cento da Tea. A equação g() = (GM)/ não se aplica a pontos no inteio do planeta. Ela é válida paa pontos na supefície ( = R) ou paa pontos extenos à supefície ( > R). 15 Gavitação

20 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Paa pontos no inteio da esfea, não se pode considea a massa M concentada no cento, pois, confome nos movemos em dieção ao cento da Tea, uma casca cada vez mais espessa vai sendo deixada paa tás. Com isso, a massa que gea o campo gavitacional tona-se, paa esses pontos no inteio da Tea, cada vez meno. Paa detemina a expessão do campo num ponto a uma distância do cento e no inteio da Tea, deve se considea apenas a massa abaixo de uma casca de aio. Paa tanto, utilizamos o atifício descito a segui. Consideando-se que a massa M no inteio da esfea hipotética de aio se distibua unifomemente e que a densidade é constante, temos assim: 4 ρ= MV= M / π donde concluímos que a massa de uma esfea hipotética de aio, no inteio da Tea, depende do aio da seguinte foma: M = 4 3 ρ π Substituindo-se esse valo da massa M na expessão de g em 13.4, temos: g< R= G G 4 3 = 4 πρ πρ Em paticula, no cento da Tea, o campo gavitacional se anula (g = 0). Assim, paa < R (no inteio da Tea), a intensidade do campo tem vaiação dietamente popocional à distância até o cento enquanto, paa pontos foa do planeta ( R), o campo vaia na azão invesa do quadado da distância, confome a Figua A pati do cento da Tea, o campo cesce paa cada vez mais até atingi o valo máximo que ocoe paa pontos na supefície (g = 9,83 N/kg). Figua Dinâmica do Movimento dos Copos

21 378 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo A aceleação da gavidade Consideemos um objeto esféico como, po exemplo, a Tea, o Sol ou os planetas. Nessas cicunstâncias, sabemos que a foça que esse objeto esféico de massa M exece sobe um objeto de massa m a uma distância do cento do copo esféico (e cuja posição é dada pelo veto ) seá dada, utilizando a expessão 13.3, po: F = mg( )= mgm T 3 Tendo em vista a lei de Newton, podemos conclui que a aceleação impessa pela foça da gavidade seá: a GM g = T 3 Assim, concluímos que, devido à natueza atativa da foça gavitacional, a aceleação está sempe diigida paa o inteio do copo esféico. Na supefície desse copo esféico, e admitindo que o seu aio seja R, a aceleação da gavidade (agoa denominada g) seá dada, em módulo, pelo valo: g GM T = R 15.4 Como consequência, póximo de um objeto esféico como a Tea, todos os objetos caem com a mesma aceleação (independentemente de suas massas). Essa aceleação é conhecida como aceleação da gavidade g e ela só depende do aio do objeto esféico e da sua massa total. O valo da aceleação da gavidade na supefície teeste é conhecido desde os tempos de Galileu. Seu valo é de apoximadamente: Figua 15.14: O campo gavitacional da luga exece uma foça e isso leva a queda dos objetos. g 98, m/s Gavitação

22 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Uma vez conhecida a aceleação da gavidade, e a pati do valo da constante gavitacional, podemos infei a massa de um objeto. No caso da Tea, po exemplo, sua massa seá dada po: M T = kg Ao detemina G, e a pati do valo já bastante conhecido de g, Cavendish pesou a Tea. A distibuição de matéia na Tea não é unifome. Ela depende da camada a que nos efeimos. No núcleo, a densidade é muito maio do que a média. O valo médio da densidade da Tea é: ρ 55, g/cm Exemplo 6: David Scott, astonauta da Apollo 15, quando andava na Lua, deixou cai, simultaneamente, um matelo e uma pena de falcão de uma mesma altua. Sem a esistência do a, ambos chegaam juntos ao solo. O matelo e a pena caíam com aceleação de queda a = 1,6 m/s². Calcula a massa da Lua. Dado: G = 6, N.m²/kg e aio da Lua = R Lua km. Resolução Na Lua, onde existe uma atmosfea despezível, os objetos, paticamente, caem livemente. Assim, o matelo caiu veticalmente em dieção ao cento da Lua com aceleação de módulo a matelo. Confome a ª Lei de Newton: Mas, sendo assim: F matelo F matelo = ma. matelo GM = F = GM Gav Lua matelo. m Lua matelo = ma. Lua. m matelo matelo Cancelando a massa do matelo, que apaece em ambos os membos da igualdade, esulta na seguinte aceleação do matelo: a GM matelo = Lua Dinâmica do Movimento dos Copos

23 380 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 O mesmo ocoe com a pena, epetindo-se o desenvolvimento anteio agoa aplicado à pena do falcão, obtém-se: a GM pena = Lua Veifica-se que, como obsevado po Scott, a matelo = a pena = (GM Lua )/, ou seja, na ausência de foças que se opõem ao movimento, os objetos caem com a mesma aceleação, ou seja, abandonados de uma mesma altua, a pena e o matelo atingem o solo no mesmo instante: a GM = Lua Assim, medindo-se a aceleação de queda, a massa da Lua pode se deteminada. Obtém-se: M Lua ( ) a. 16, 1, G 667, 10 6 = = ( ) = 735, 10 Exemplo 7: Antes de posseguiem viagem em dieção à Lua, as naves espaciais Apollo davam algumas voltas em tono da Tea. Uma delas, com massa total m = kg, ealizou 4 voltas em uma óbita teeste localizada a 00 km de altitude e com velocidade obital v 7,8 km/s. Detemina, a pati dos dados GM Tea = N.m²/kg; e R Tea = km, as seguintes gandezas: a. O campo gavitacional e a foça de atação que a Tea exece sobe a nave mencionada quando nesta altitude. b. O potencial gavitacional geado pela Tea nos pontos cujas altitudes sejam h = 00 km. c. A enegia potencial da nave quando na supefície e à altua h = 00 km. d. A enegia mecânica desta nave na sua óbita teeste. e. A vaiação da enegia potencial gavitacional da nave quando ela se movimenta da sua óbita teeste e atinge a óbita da Lua ( = km). kg Resolução a. O campo gavitacional e a foça de atação que a Tea exece sobe a nave nesta altitude. À altitude h = 00 km, a distância ao cento da Tea é: = RTea + h = km + 00 km = km= 6, m 15 Gavitação

24 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Assim, a intensidade do campo gavitacional é: ( ) = 13 6 g = N.m kg / 6, m 9, 4Nkg 9, 4 m s Nesta altitude, a Tea atai a nave com uma foça cujo módulo é: F = mg =( kg) /( 94, N kg )= N 381 b. Potencial gavitacional geado pela Tea em pontos cujas altitudes sejam h = 00 km. O potencial gavitacional geado po um copo esféico de aio R e massa M, em ponto distante R de seu cento, é dado pela elação: V ( )= GM 15.5 Paa o nosso planeta, e consideando o valo (GM Tea ) = N.m²/kg, o potencial gavitacional V num ponto distante do cento da Tea é: V ( )= Esta elação indica que V() é invesamente popocional a (enquanto o campo gavitacional g é invesamente popocional a ²). Paa a altitude h = 00 km, a distância ao cento da Tea é: = = km = 6, m; e, potanto, o potencial gavitacional é: V = , = J kg c. Qual a enegia potencial da nave quando na supefície e à altua h = 00 km? Conhecido o potencial gavitacional V() de um ponto do espaço à distância do cento da Tea, a enegia potencial gavitacional (U) de um copo de massa m, neste ponto, é deteminada po: V() (J/kg) U = m.v() [J] Na supefície (h = 0) ( )( ) À altitude h = 00 km ( )( ) d. A enegia mecânica desta nave na sua óbita teeste. Lembando que E = enegia cinética + enegia pot. gavitacional ou E = ½ mv² + m V(), e que, no caso da nave à altitude h = 00 km, os dados são: m = kg, v = 7, m/s, = R + h = 6, m; obtemos: U = mv. ( ) V ( = R+ h)= Jkg Dinâmica do Movimento dos Copos

25 38 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Logo: Potanto, Obsevação: ( )( ) ( ) Ec = kg, ms J joule U = ( kg) ( 61, 10 7 Jkg) J E = Ec + U = ( J) + ( J) = J Enegia mecânica negativa significa que a nave está ligada ao campo gavitacional teeste. Paa libetá-la da atação gavitacional é peciso fonece enegia igual ou maio do que 7, J. e. A vaiação da enegia potencial gavitacional da nave quando ela se movimenta da sua óbita teeste e atinge a óbita da Lua ( = km). Dados: Na óbita teeste, 1 = R + h km (altitude da nave h = 00 km); Na óbita da Lua, = km); Massa da nave: m = kg. (m) U = mv() = m[gm]/ (J) Óbita teeste 6, ( )( )[1/(6, ) = 1.56, Óbita da Lua ( )( )[1/( )= A vaiação de enegia potencial da nave é: U = U U U = ( 1. 56, 5 10 ) ( 6 10 )= , 5 10 J J 1 ( ) () A vaiação da enegia potencial gavitacional da nave quando ela se movimenta da óbita teeste (h = 00 km) até a óbita da Lua ( km) é ΔU J. Exemplo 8: Moste que a vaiação de enegia potencial gavitacional de um copo de massa m quando ele fo eguido de uma altua h em pontos póximos da supefície da Tea (pequenas altitudes) é: U = m. gh onde g = [GM]/R² é a intensidade do campo gavitacional na supefície. 15 Gavitação

26 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo Resolução = R + h V() U = mv() Supefície (h = 0) 1 = R V 1 = -[GM/R] U (1) = m[gm/r] Altitude (h > 0) = (R + h) V = [GM/(R+h)] U (1) = m[gm/(r+h)] A vaiação da enegia potencial é: ΔU = U () U (1). Donde obtemos: Eliminando os colchetes, temos: U = { m. [ GM ] ( R+ h) } { m. [ GM] ( R) } U = m. [ GM ] ( R+ h)+ m. [ GM] ( R)= mgm [ R] m GM ( R+ h) Colocando em evidência o temo comum, m[gm], encontamos: U = mgm 1 1 R R + h Finalmente, colocando-se R na expessão acima em evidência no denominado: ( + ) U = m. GM 1 R 1 ( R+ h) = m. [ GM ] R h R R( R+ h) U = m GM h. R + h 1 R Mas, GM/R² = g 0 - campo gavitacional na supefície da Tea. Logo: U = m g. 0 h + h 1 R = mgm [ ] h R( R+ h) Paa pequenas altitudes, po exemplo, pontos tais que h 0,01R, podemos despeza o temo contendo (h/r), uma vez que (h/r) < 0,01. Nessas condições, despezando-se o temo (h/r) obtemos (depois de despezá-lo) uma difeença meno do que % no cálculo da enegia potencial. Assim, sempe que não fo exigida uma pecisão infeio a %, a expessão da enegia potencial toma a seguinte foma: U = m. gh. U U = mg h 0 ( ) () Dinâmica do Movimento dos Copos

27 384 Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo 1 Adotando-se U (1) = 0 na supefície da Tea, escevemos: U = mgh Como o índice () se efee a uma altua h genéica, a enegia potencial U de um copo de massa m, no campo gavitacional g 0 póximo à supefície da Tea à altitude h é detemina pela elação: U mgh = Cuiosidade A enegia potencial de um avião voando a m de altua e com massa m = kg é U = m. gh. =( kg)( 983, N kg )( m)= J Exemplo 9: Velocidade de escape v e de um planeta é a velocidade que se deve impimi a um copo paa que ele escape do espectivo campo gavitacional. Detemine a velocidade de escape da Tea. Resolução Um copo de massa m lançado a pati da supefície da Tea umo ao espaço, dotado de enegia cinética Ec = ½ m.v², tem enegia potencial gavitacional dada po U = m(gm)/r, onde M e R são, espectivamente, a massa e o aio da Tea. Potanto, no ato do lançamento, a enegia mecânica do copo é: E 1 mv. m GM R = ( ) Confome o copo se distancia da Tea, a sua enegia cinética (½.mv²) tansfoma-se em enegia potencial; a enegia cinética diminui e a enegia potencial (E p = mgm/) aumenta, ou seja, tona-se cada vez menos negativa. A distância (ou altua máxima) é atingida quando a enegia cinética se tansfoma totalmente em enegia potencial gavitacional (supondo que a enegia mecânica seja consevada). Se a distância máxima fo, po exemplo, alcançada à altitude de 10 km, o copo etona paa a Tea sob a ação da foça gavitacional. Paa que o copo atinja um ponto suficientemente longínquo, de foma que escape do campo gavitacional da Tea, sua enegia deve se, no mínimo, nula. 15 Gavitação

28 Assim, fundamentado na Lei da Consevação de Enegia: Licenciatua em Ciências USP/Univesp Módulo E inicial = E final Escevemos, paa que o copo escape: 1 mv. mgm R 0 ( ) = Nessas condições, a velocidade de lançamento v = v e = velocidade de escape. Potanto, ½ mv e ² m(gm)/r = 0 ½ mv e ² = m(gm)/r ½ v e ² = (GM)/R; donde v = e GM R Paa o caso da Tea: GM = N.m²/kg e R = 6, m ( ) v e = , = 11, 10 3 ms = 11, kms Obseve que a velocidade de escape não depende da massa do copo lançado paa o espaço. Agoa é sua vez... Acesse o Ambiente Vitual de Apendizagem e ealize a(s) atividade(s) poposta(s). Dinâmica do Movimento dos Copos