Correção da energia de átomos hidrogenóides levando em conta o volume do núcleo

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1 Coeção da enegia de átomos hidogenóides levando em conta o volume do núcleo Jhonas Olivati de Sao 6 de dezembo de 214 Resumo Neste pojeto, um tatamento simplificado seá dado ao efeito do volume do núcleo em átomos hidogenóides. Com esta finalidade, uma coeção de pimeia odem paa as enegias do estado fundamental desses átomos seá obtida atavés da teoia de petubação. 1 Intodução No decoe do cuso de gaduação, nas disciplinas de Mecânica Quântica, os níveis de enegia e os estados estacionáios do átomo de hidogênio foam estudados com a consideação de que o póton é uma caga pontual esponsável po gea um potencial eletostático do tipo 1/. Como apoximação, uma vez que as dimensões do póton são da odem de 1femi, esta consideação pode se azoável. Mas é sabido de longa data que os núcleos atômicos não são pontuais, e mais que isso, que quase toda a massa do átomo está localizada neles. Isso pode gea uma ceto desconfoto, ao se estuda o átomo de hidogênio, aceca da magnitude da influência volumética nuclea nesse átomo. Po não se pontual, quando o eléton estive póximo do cento deste núcleo ele sofeá a ação de um potencial, que não seá mais do tipo 1/, mas que dependeá da distibuição espacial da caga associada aos pótons. De maneia geal, isto acontece na egião nuclea de todos os átomos, onde o potencial eletostático depende da distibuição das cagas. Assim, espea-se que os níveis de enegia, que são deteminados pelo potencial em todos os pontos do espaço, sejam influenciados po esta distibuição; esta influência é conhecida como efeito do volume (volume effect ou field effect). Este pojeto, que visa complementa a fomação na disciplina Mecânica Quântica II, tem como objetivo fonece um tatamento simplificado do efeito geado pelo voume de átomos hidogenóides (hydogen-like atoms), ou seja, átomos que possuem apenas um eléton. 2 Coeção de pimeia odem 2.1 O potencial Buscando um tatamento simplificado do efeito do volume em átomos hidogenóides, o modelo utilizado consistiá em um núcleo esféico de aio ρ e caga Zq distibuída unifomemente pelo seu volume. 1

2 Assim, quando a distância, com oigem no cento do núcleo, fo maio que ρ, o potencial eletostático seá do tipo Coulombiano: v 1 () = Ze2 paa > ρ, (1) onde e 2 = q 2 /4πε. Paa < ρ, a foça elética pode se calculada atavés do teoema de Gauss do Eletomagnetismo: A ( F /q) ds = Q()/ε. Assim, consideando uma supefície esféica de aio, tem-se em módulo que: F q 4π2 = 3 Zq ρ 3 ε F = e2 Z ρ 3. (2) O potencial paa esta egião é obtido ao se ealiza a integal da foça obtida na equação (2): v 2 () = 1 Ze 2 2 ρ Ze 2 paa < ρ, (3) 2 ρ onde a constante de integação foi obtida atavés da condição de contono v 1 (ρ ) = v 2 (ρ ). Po fim, o potencial ciado pelo núcleo em todo o espaço seá difeente paa cada egião: Ze2 paa ρ V () = (4) Ze 2 2ρ [( ρ ) 2 3] paa ρ A solução exata da equação de Schödinge paa um eléton sujeito à ação do potencial acima não é tivial, mas uma apoximação paa as enegias seá obtida com base na teoia de petubação. Seá consideado como potencial não petubado, V, o limite em que ρ, ou seja, o núcleo seá pontual, o que acaeta na existência apenas do potencial (1). Assim: V () = Ze2, (5) cujos níveis de enegia e os estados estacionáios coespondentes já são bem conhecidos. E po definição, a petubação é W = V V, isto é, W () = Ze 2 2ρ Cálculo da coeção [( ρ ) 2 + 2ρ 3] paa ρ paa ρ (6) Definindo o ket φ n,l,m > como sendo os estados estacionáios não petubados do átomo hidogenóide, a coeção de pimeia odem nas enegias, como 2

3 apendido, é feita atavés do cálculo dos seguintes elementos de matiz: < φ n,l,m W φ n,l,m >= dω Yl m (Ω)Yl m (Ω) 2 d Rn,l()W ()R n,l (), (7) onde se utilizou que os φ( ) n,l,m = R n,l ()Yl m (Ω) são soluções dos estados estácionáios de uma patícula sujeita a um potencial cental. Na expessão acima, nota-se de imediato que a integal angula esulta em δ ll δ mm. Paa simplifica o cálculo da integal adial, seá assumido que ρ a, (8) onde a = h 2 /me 2 é o aio de Boh; ou seja, a extensão da egião ρ é muito meno que a extensão espacial das funções R n,l (). Sendo assim, R n,l R n,l (). (9) Com estas consideações, a integal adial seá simplificada: I Ze2 ρ R n,l () 2 2ρ e então, a equação (7) esultaá em: 2 d [( ρ ) 2 + 2ρ Ze2 3] = 1 ρ2 R n,l () 2, (1) Ze2 < φ n,l,m W φ n,l,m >= 1 ρ2 R n,l () 2 δ ll δ mm. (11) Devido à existência do temo δ ll δ mm, é fácil nota que a matiz W, fomada pelos elementos acima, é diagonal. As coeções de pimeia odem associadas a cada estado φ n,l,m > podem se escitas como: E n,l = Ze2 1 ρ2 R n,l () 2. (12) Paa l, R n,l () =, pois todos os temos de R n,l possuem potências em ; assim, apenas os estados l = possuião as coeções acima. Po fim, fazendo a substituição R n, () 2 = φ n,, () 2 / Y () 2, e como Y () 2 = 1/4π, a coeção nas enegias seá: E n, = 2πZe2 ρ 2 5 φ n,, () 2. (13) 2.3 Aplicando à átomos hidogenóides Paa o estado fundamental de átomos hidogenóides, tem-se a seguinte solução adial: 2 R 1, () = (a /Z) 3/2 e (a /Z), (14) que pode se levada até a equação (12), com l =, paa se obte: E 1, = 2 5 e 2 Z 4 ρ 2 a 3. (15) 3

4 Sabe-se que: e = q 4πε statc (16) e que paa um átomo composto po um póton (Z = 1), o aio do núcleo é da odem de ρ 1F = 1 13 cm. Substituindo esses valoes em (15) tem-se como esultado final: E 1, = ( ) 1 a 3, (17) onde o sistema CGS de unidades foi utilizado Átomo de hidogênio Paa o átomo de hidogênio comum, o aio de Boh é dado po: a = Substituindo este valo em (17), conclui-se 1 que: h2 me cm. (18) E 1, eg = ev. (19) Átomo de hidogênio muônico Como a massa do µ é ceca de 27 vezes meno que a do eléton, o aio de Boh paa este átomo deve se coigido: a (µ, p + ) a /27 = (2) Substituindo em (17), a coeção esulta 2 em: E 1, eg = ev, (21) que é ceca de 1 7 vezes maio do que a coeção paa o hidogênio Átomo de chumbo muônico O aio de Boh paa este átomo é da odem de: a (µ, P b) 3F = cm, sendo ρ (µ, P b) = cm o aio do seu núcleo. Sua coeção, atavés desta teoia, seia da odem de: E 1, eg = ev, (22) que é extemamente alta compaada com (19) e com (21). 1 O valo obtido difee do apesentado no livo de Mecânica Quântica do Cohen T annoudji Complement B XI 2.a. O valo de , encontado na equação (22) deste capítulo, povavelmente está eado, uma vez que (4/5) (ρ /a ) 2 = Este valo também difee do apesentado no livo de Mecânica Quântica do Cohen T annoudji Complement B XI 2.b. O eo paece se o mesmo, o valo de , encontado na equação (28) deste capítulo livo, povavelmente está eado, uma vez que (4/5) (27ρ /a ) 2 =

5 3 Discussão A coeção de pimeia odem, equação (12), não depende do númeo quântico m, e isto já podeia te sido espeado. Como a petubação é um escala, ela é invaiante à otação, pois comuta com as tês componentes do momento angula total ([W, J] = ); sendo assim, a independência está no fato de m esta associado à dieção do momento angula. A fómula da coeção E n,, equação (13), pode se eescita da seguinte foma: E n, = 3 w, (23) 1 onde: w = Ze2 ρ (24) é o valo absoluto da enegia potencial do eléton a uma distância ρ do cento do núcleo, e: = 4 3 πρ2 φ n,, () 2 (25) é a pobabilidade de enconta o eléton dento do núcleo. Ambos, e w, fazem pate da equação (23) pois a petubação W () afeta apenas a pate intena do núcleo. Paa este método se consistente, a coeção E n, deve se muito meno que as difeenças de enegia dos níveis não petubados. Uma vez que w é muito gande (um eléton e um póton se ataem fotemente quando estão muito póximos), deve então se extemamente pequeno. Paa pequenos valoes de n, as funções de onda φ n,, ( ) estão paticamente localizadas numa egião cujo volume se apoxima paa a 3 ; o mesmo paa o núcleo, seu volume é da odem de ρ 3. Então: ( ) 3 ρ. (26) Substituindo na equação (23), tem-se: a E n, Ze2 a ( ρ a ) 2. (27) Agoa, Ze 2 /a possui odem de magnitude da enegia de ionização, E I, do átomo não petubado. Pode-se então eesceve a equação acima da seguinte foma: ( ) 2 E n, ρ, (28) E I a que fonece o valo elativo da coeção. Como a condição (3) de que ρ a foi imposta, as coeções devem se muito pequenas segundo a elação acima. No caso do átomo de hidogênio tatado em 2.3.1, a azão acima é muito pequena: E n, /E I Pode-se então afima que a coeção é válida, uma vez que satisfaz as condições impostas no método utilizado. Paa átomo de hidogênio muônico em 2.3.2, E n, /E I Apesa do efeito do volume gea uma coeção maio que a do átomo de hidogênio comum, o valo da coeção ainda é pequeno e, potanto, o método aplicado é petinente. 5

6 Se tatando do átomo muônico de chumbo, 2.3.3, o valo E n, /E I nem pecisa se calculado. O múon µ está muito póximo ao núcleo do chumbo; é paticamente inete à epulsão causada pelos elétons do chumbo. Isto pode leva a acedita que este método, desenvolvido apenas paa sistemas hidogenóides, podeia se pefeitamente aplicado a este caso. É óbvio que isto não é vedade, pois seu aio de Boh possui a mesma odem de gandeza que ρ. O esultado (22) tona isso evidente; o valo da coeção da enegia, atavés desse método, é extemamente gande. Como complemento, ρ depende do númeo atômico (pótons e neutons) nuclea. Atavés da popiedade de satuação da densidade nuclea, pode-se dize que ρ Z 1/3. Assim, o valo elativo de coeção, obtido em (28), seguiá a seguinte popocionalidade: E n, E I Z 8/3. (29) Então, E n, vaia apidamente com Z de maneia a obedece a uma popoção: quando Z aumenta, a diminui e ρ aumenta. Assim, o efeito do volume é significativamente maio paa íons hidogenóides pesados do que paa o hidogênio comum. 4 Conclusão O estudo expeimental e teóico deste efeito é de gande impotância, pois pode fonece infomações sobe a estutua intena do núcleo. O efeito geado pelo volume do núcleo também existe paa todos os outos átomos; é esponsável po um desvio (shift) isotópico nas linhas de emissão espectal dos átomos. A equação (15), da coeção da enegia do estado fundamental de átomos hidogenóides, foi fundamentada na condição de que o aio do núcleo deve se muito meno do que o aio de Boh do átomo. Paa o átomo de hidogênio, esta coeção foi de ev ; um valo pequeno, poém de muita impotância quando se considea a pecisão de esolução da espectoscopia atual. Ao se analisa o hidogênio muônico, a coeção foi ceca de 1 5 vezes maio, poém ainda pequena e, potanto, válida paa este método. O mesmo não se pocedeu paa o chumbo muônico: o múon está mais dento do núcleo do que foa, ou seja, de acodo com (3), na egião onde o potencial é paabólico. Como solução, podeia te consideado que este potencial paabólico estivesse pesente em todo o espaço e então tata a petubação paa ρ como sendo a difeença existente ente o potencial eal e o paabólico. Contudo, a extensão da função de onda coespondente a um potencial deste tipo não é suficientemente meno que ρ paa esulta em valoes elativamente pecisos. Neste caso, o único método válido paa se calcula os níveis de enegia seia conhece exatamente o potencial V () e esolve a equação de Schödinge coespondente. 5 Bibliogafia C. Cohen-Tannoudji Quantum Mechanics vols.i & II; I. I. Sobel man Intoduction to the theoy of atomic specta; H. G. Kuhn Atomic specta; 6