UMA EXTENSÃO DO MODELO WEIBULL BIVARIADO DE RYU: UMA APLICAÇÃO BAYESIANA EM RISCOS COMPETITIVOS

Transcrição

1 UMA EXTENSÃO DO MODELO WEIBULL BIVARIADO DE RYU: UMA APLICAÇÃO BAYESIANA EM RISCOS COMPETITIVOS Edardo Yoshio NAKANO Josmar RODRIGUES RESUMO: Como a sposição d idpdêcia m riscos compiivos pod sr qsioávl m algs casos a formlação d modlos bivariados é fdamal para xplicar ma possívl dpdêcia r os mpos d vida. Modlos bivariados basados m procssos d choqs gralm são acios a lirara. Er ls podmos ciar o modlo xpocial bivariado d Marshall Olki 967 o modlo Wibll bivariado d R 993. Ns sdo o modlo Wibll bivariado d R foi sdido d forma prmiir q os choqs s alrm ao logo do mpo. Um modlo d riscos compiivos foi formlado a parir ds modlo ilizado dados simlados ss parâmros foram simados por mio d procdimos basiaos via MCMC com variávis las. PALAVRAS-CHAVE: Não-idificabilidad risco crd risco variávis las. Irodção Mios sdos m aális d sobrvivêcia são crados m apas ma casa d mor falha. Erao casas q compm r si para q o vo d irss ocorra são ambém coms. Os sdos q cosidram várias casas d mor são cohcidos a lirara como aális d dados d riscos compiivos. Ns ipo d sdo obsrva-s apas o par Y c i od Y mit...t k é o míimo mpo d sobrvivêcia r os mpos d sobrvivêcia rlacioados à c i casa d mor i i... k. No caso d m cário d riscos compiivos a adqação do modlo pod sr obida diram. Uma possibilidad simpls é assmir q os riscos afam o idivído idpdm sdo s caso a fção d risco global é dada pla soma dos riscos rlacioados a cada casa d mor. Mas como a práica a sposição d idpdêcia r os mpos d vida é às vzs qsioávl ora-s impora o sdo d modlos bivariados plo fao d podr cosidrar ma possívl dpdêcia r os mpos d vida. Marshall Olki 967 formlaram m modlo xpocial bivariado basado m procssos d choqs q cosidram mpos dpds. No ao s modlo ão é absolam coío iso é P[T T ]>0. Em riscos compiivos xis a sposição d m idivído ão podr morrr dvido a das casas simlaam o sa Dparamo d Esaísica Uivrsidad d Brasília - UB CEP: Brasília DF Brasil akao@b.br Dparamo d Esaísica Uivrsidad Fdral d São Carlos - UFSCar Caixa Posal 676 CEP: São Carlos SP Brasil vosmar@powr.fscar.br Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

2 P[T T ]0. Porao para saisfazr ssa sposição é dsávl formlar m modlo bivariado q sa absolam coío. R 993 aprso m modlo xpocial bivariado absolam coío como ma xsão do modlo xpocial bivariado d Marshall Olki mas ss modlo ão é idificávl para riscos compiivos. O modlo d R ambém é basado m procssos d choqs l cosidra q o impaco dos choqs m cada compo é cosa o mpo o sa o impaco ão s alra com a falha d m dos compos. São pocos os rabalhos a lirara q raam o problma d riscos compiivos ilizado modlos bivariados. Er ls é possívl ciar os sgis rabalhos: Moschbrgr 974 obém m modlo Wibll para riscos compiivos a parir da disribição Wibll bivariada d Marshall Olki; Bhaachara 997 aprsa m modlo xpocial d riscos compiivos a parir d ma disribição xpocial bivariada obida por Rafr 984; Tarmoo 00 a parir do modlo d R formlo m modlo Wibll bivariado absolam coío cas margiais são idificávis. Obém-s s rabalho a parir d modificaçõs as sposiçõs do modlo xpocial bivariado d R m modlo Wibll bivariado basado m procssos d choqs q assm dpdêcia r os mpos d vida possi a propridad d sr absolam coío ambém prmi ma possívl mdaça os impacos dos choqs a mdida q m dos compos falh. A parir dss modlo foi formlado m modlo d riscos compiivos q v ss parâmros simados sgdo ma abordagm basiaa. É faizado s rabalho o problma d ão idificabilidad das margiais m riscos compiivos mosrado qais são as cosqüêcias d s ilizar m modlo cas margiais são ão idificávis. Sgdo Gail 975 o problma d ão idificabilidad pod sr rsolvido rsrigido a class d modlos àqls q possm a propridad d idificabilidad das margiais. Ora forma d coorar o problma d idificabilidad é irodzir variávis rgrssoras o modlo d riscos compiivos Hckma Hooré 989. Cocios básicos m riscos compiivos O problma d riscos compiivos é formlado m rmos da fção d sobrvivêcia coa dfiida por S... k. Doa-s como S Y S i i...k as fçõs d sobrvivêcia oal margial rspcivam. As fçõs d riscos rlacioadas a ssas fçõs são dfiidas por: hd P[morrr d algma casa m dsobrviv d odos c i aé ] h i d P[morrr dvido a casa c i m d c i é o úico risco aado m dsobrviv d c i aé ] g i d P[morrr dvido a casa c i m d odos os riscos são aado m dsobrviv d odos c i aé ] A fção h i é doada como fção d risco ambém chamada d fção d risco spcífico a fção g i é dfiida como fção d risco crd. Qado as drivadas parciais xism mos q 00 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

3 S... k i... g k i S... d hi log Si. d Tm-s ambém q k d h log SY gi d i o q implica Y k S G 3 i od Gi xp gi d rprsa ma disribição associada com a casa c i 0 spodo q a fção risco dsa disribição sa g i Elad-Johso Johso 980. Qado g i h i sg q G i S i porao i Y k S S. A codição g i h i é mais fraca q a sposição dos T i s srm socasicam idpds. Qado os T i s são idpds m-s q g i h i mas g i h i ão implica idpdêcia dos T i s i...k.. Idificabilidad m riscos compiivos No coxo d riscos compiivos mpos d falhas las o problma d idificabilidad qsioa a possibilidad d idificação da disribição coa S... k d sas margiais S i dado S Y disribição d Y mít T...T k. Brma 963 mosro q s as casas d mor aam d forma idpd m cada idivído a disribição d Y drmia d forma úica a disribição dos T i s porao a disribição coa d T T...T k. Para obr iformaçõs a rspio da disribição dos mpos d mor las qado ss são dpds é sal spor q a fção d sobrvivêcia coa prc a ma class spcífica d disribiçõs paraméricas. Assim ma forma d s rsolvr o problma d idificabilidad m riscos compiivos é cosidrar modlos od as fçõs risco crd são igais sdo q s caso as disribiçõs margiais S i i... k são oalm idificávis Flmig Harrigo Uma xsão do modlo Wibll bivariado d R O modlo Wibll bivariado d R 993 é m modlo basa flxívl pois prmi o as d ma grad varidad d ipos d dados. Es modlo é mio irssa m rmos d aplicação mérica dvido a sa formlação procssos d choqs ambém por sr absolam coío. Em sa formlação o modlo d R i i Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

4 cosidra q o impaco dos choqs m cada compo é cosa o mpo o sa o impaco d cada choq é o msmo idpdm dos dois compos sarm oprado o ão. Ns coxo propomos aqi ma xsão do modlo Wibll bivariado d R q lva m cosidração o fao dos dois compos sarm oprado o m dls r falhado. Para a formlação do modlo cosidr m sisma d dois compos rês procssos d Poisso idpds {N 0} {N 0} {N 0} com axas d isidads rspcivam. Evos do procsso N são os choqs os is spcíficos do Compo vos do procsso N são os choqs os is spcíficos do Compo N são os choqs os is coms aos dois compos. O modlo spõ q a axa d falha o mpo do i-ésimo compo dada a ralização do procsso socásico é di Ni ψ i N i com γ i s < ψ i γ i s od d i md o impaco do choq sobr o compo spcífico i γ i rprsa o amaho do impaco comm o compo i qado os dois compos são oprado γ i rprsa o amaho do impaco comm o compo i qado m dos compos á falho mi. Cosidra-s aqi q d d o sa q os choqs sobr os is dos compos spcíficos N i sam faais qao m choq sobr m im comm aos dois compos N casaria m dao pocial o sisma q podria lvar m amo do risco d falha do compo i com amaho d impaco ψ i i. Ns modlo o impaco dos choqs os is coms pod s alrar com a falha d m dos compos. No q s γ i γ i γ i o sa s os impacos form cosas ao logo do mpo o modlo s rdzirá ao modlo Wibll bivariado d R. Sam X i i variávis alaórias idicado o mpo aé o primiro salo do procsso N i Z i a variávl alaória dração q possi axa d falha codicioal o mpo d ψ i N dada a ralização d N. Dfi-s T i como o mpo d falha do i-ésimo compo i. Dsa forma m-s q T i míx i Z i. Para a formlação do modlo cosidra-s q X i m ma disribição Wibll com axa d falha i ii x o sa P X i > ] xp{ i } i [. Assim a fção d sobrvivêcia coa d T T é dada por Nakao 00: { xp γ γ γ γ γ γ } γ γ S 4 { xp γ γ γ γ γ γ } > γ γ 0 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

5 Qado o modlo 4 s rdz ao modlo Wibll bivariado d R. Além disso s o modlo s rdz ao modlo xpocial bivariado d R. Tm-s ambém q qado o modlo s rdz ao modlo xpocial bivariado d Marshall & Olki. Qado 0 m-s m modlo com mpos idpds od T ~ Wibll. S 0 ms m modlo com mpos idpds od T ~ Wibll. Qado 0 o modlo s rdz a m prodo d das disribiçõs Wibll idpds. 3. Formlação do modlo d riscos compiivo basado a xsão do modlo Wibll bivariado d R O modlo Wibll bivariado proposo é formlado para o coxo d riscos compiivos sgido a abordagm d mpos d falhas las od T T rprsam os mpos aé a falha dvido as casas rspcivam. Cosidr YmíT T o mpo d falha obsrvado. Dsa forma a fção d sobrvivêcia oal é dada por S S xp γ γ { } Y γ γ a fção d risco oal h γ γ. As fçõs d risco crd dfiidas por para o modlo 4 são dadas por o od g g g g S S Y γ γγ γ γ γ γ S S γ Y γ γ γ γ S S γ Y γ γ γ γ S S Y S s S S é dado por 4. S s > γγγ γ γ γ γ No q γ γ podm assmir valors. Dsa forma a razão γ γ γ γ γ pod sr idrmiada. Assim cosidra-s d iício q γ < γ < o sa q o impaco d cada choq o procsso N ão sam faais garaido ambém a propridad d coiidad do modlo P[T T ] 0. Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

6 Obsrv q s modlo aprsa das fçõs d risco crd para T T od h g g. Dsa forma m-s ambém q od G i xp gi d. 0 S G Y i i No coxo d riscos compiivos s modlo aprsa m problma. Dada a fção d sobrvivêcia do míimo S Y xism difrs g g q saisfazm cosqüm 3. O sa dado S Y xism das falsas fçõs d sobrvivêcia margiais para T T. Uma forma d coorar ss problma d idificabilidad das G i é adicioar algmas rsriçõs os parâmros do modlo d al forma q s ha m úico par d G i i. Assim γ γ γ γ srão rsrios a valors q saisfaçam gi gi i. Iso é γ γ γ γ 5 Sob a rsrição dada por 5 m-s q g g g g g g. Assim a fção d vrossimilhaça do modlo proposo pod sr dada por L γ γ γ γ γ Y γ γ γ γ γ 6 γ γ xp{ γ γ } γ γ od Y... é o vor d valors obsrvados com s rspcivo vor d idicadors d csras i i... i i. Aqi i idica q o idivído morr dvido a casa i caso corário i 0. S 0 ão a obsrvação foi csrada. O vor d parâmros é dado por Θ od são parâmros posiivos q dvm saisfazr a codição dada por 5. As fçõs d risco do modlo proposo são dadas por: i i hi i i γ i. No s modlo q m gral g i h i i. Dsa forma mos q s modlo ão possi as margiais idificávis a mos q 0 0 o 0 T T idpds. 04 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

7 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p Abordagm Basiaa Foi ralizada ma aális Basiaa d dados d riscos compiivos via MCMC com variávis las. A ifrêcia foi ralizada a parir do modlo 4 proposo s rabalho. Para simplificaçõs compacioais foi cosidrada a sgi rparamrização: 7 No q 7 saisfaz a rsrição dada por 5. Aida s o modlo s rdz ao modlo Wibll bivariado d R com. D 6 7 a fção d vrossimilhaça para Θ é dada por: { } L xp Y Para simplificar mais adia a obção das disribiçõs a posriori cosidr a irodção d variávis las U U... as qais rasformam o modlo m compos idpds Tar Wog 987. As variávis U i são idpds dado Y Θ sgm ma disribição Brollip i i... od p p. Assim a fção d vrossimilhaça para os dados amados é dada por: { } L L L L xp U U Y U U Y 8 Spodo a idpdêcia dos parâmros lvado m coa o fao d odos ls srm ão gaivos cosidramos a priori q cada parâmro sg ma disribição Gama o sa ~ Gamaa b ; ~ Gamaa b ; ~ Gamaa 3 b 3 ; ~ Gamaa 4 b 4 ; ~ Gamaa 5 b 5 ; ~ Gamaa 6 b 6 ; ~ Gamaa 7 b 7 od a k b k k... 7 são hipr-parâmros cohcidos.

8 06 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p As disribiçõs codicioais complas a posriori dos parâmros são dadas por: b a π Y ; b a π Y ; ; 3 3 b a π Y 4 4 b a π Y ; 5 5 b a π Y ; 6 6 b a Ψ π Y Y ; 7 7 b a Ψ π Y Y od. Ψ Y

9 No q podm sr grados sado o algorimo Gibbs Samplig Gma Gma 984; Glfad Smih 990 dvm sr grados sado o algorimo Mropolis-Hasigs Mropolis al. 953; Hasigs Rslados discssão O modlo d riscos compiivos é ilsrado m ma aplicação mérica cosidrado dados simlados. Foi grada ma amosra d amaho 00 da dsidad coa do modlo 4 sio a 7 com os sgis valors fixados para os parâmros: 0; 5; 3. Nakao 00 mosra como grar os dados bivariados plo Méodo da Rição. Admais m mcaismo alaório foi irodzido para icorporar csras os dados. Os dados grados são aprsados a abla abaixo: Tabla - Tmpos d sobrvivêcia grados. Aqi é o idicador d csra od i idica falha dvido a casa i i 0 sigifica q o mpo foi csrado Para ssa amosra grada foram cosidradas as simaivas basiaas para o rspcivo modlo d riscos compiivos. Foram adoadas para odos os parâmros prioris ão iformaivas Gama A ifrêcia dos parâmros foi ralizada via MCMC com variávis las. O diagósico d covrgêcia ralizado as dsidads margiais simadas dos parâmros s coram o Apêdic. Os dados com as médias a posriori os rspcivos irvalos d crdibilidad das simaivas dos parâmros são aprsados a Tabla. Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

10 Tabla - Esimaivas basiaas dos parâmros do modlo 4 sio à 7 para os dados da Tabla Parâmro Valor fixado para Esimaiva I.C. 95% grar os dados média a posriori ; ; ; ; ; ; ; 5696 A Figra mosra os gráficos das fçõs d sobrvivêcia simadas plo simador d Kapla-Mir Kapla Mir 958 plo modlo proposo. Figra - Esimaivas das fçõs d sobrvivêcia oal para os dados da Tabla. A fção scada é a simaiva mpírica obida plo simador d Kapla-Mir a fção racada é a fção d sobrvivêcia simada plo modlo proposo obida plas simaivas dos parâmros aprsados a Tabla. Os mpos csrados são rprsados por. Como pôd sr viso a Figra fção d sobrvivêcia oal simada plo modlo proposo sá próxima da fção d sobrvivêcia simada plo simador d Kapla-Mir. Porao s o irss for simar a fção d sobrvivêcia oal s modlo aprsa rslados saisfaórios. No ao s o irss do psqisador é simar as fçõs d sobrvivêcia margiais ão s modlo assim como o modlo d R ão é adqado pois l ão idifica as sas margiais a parir da disribição do míimo pois m-s m gral g i h i i. Porao as margiais do modlo proposo s rabalho som podrão sr simadas sob sposição d idpdêcia r os mpos d vida. 08 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

11 Coclsõs Formlado à parir d modificaçõs as sposiçõs do modlo Wibll bivariado d R o modlo proposo s rabalho prmi q os impacos dos choqs s alrm após a falha d m dos compos. Es modlo acomoda o modlo Wibll xpocial bivariado d R o modlo xpocial bivariado d Marshall Olki como casos pariclars. Assim como o modlo d R s modlo ão é idificávl para riscos compiivos. Erao l é úil para simar a fção d sobrvivêcia oal. A ilização d modlos ão idificávis ão prdica a aális fial s o irss sivr m simar a fção d sobrvivêcia risco oal. No ao as disribiçõs das margiais som podrão sr simadas sob a sposição d idpdêcia /o o modlo sr idificávl g i h i. A ifrêcia Basiaa via MCMC mosro-s ficaz m simar os parâmros do modlo proposo. Além disso a ilização da écica d dados ampliados so d variávis las facilio cosidravlm o méodo o sido d simplificar a fção d vrossimilhaça. Agradcimos O primiro aor agradc o Coslho Nacioal d Dsvolvimo Ciífico Tcológico CNPq plo apoio fiaciro cocdido para o dsvolvimo ds rabalho. Procsso º. 388/00-. Os aors agradcm aos rvisors plos comários sgsõs. NAKANO E. Y.; RODRIGUES J. A xsio of R s bivaria wibll disribio: a basia applicaio i compig risks. Rv. Ma. Es. São Palo v.4.4 p ABSTRACT: Th formlaio of bivaria modls is fdamal o xplai a possibl dpdc bw lif ims sic h spposiio of idpdc i compig risks ca b qsioabl. Som bivaria modls basd o h shock procsss ar accpd i h lirar. Amog hm w ca mio h Marshall ad Olki s bivaria xpoial modl Marshall ad Olki 967 ad h R s bivaria Wibll modl R 993. I h prs sd h R s bivaria modl was xdd o allow h shocks o chag wih im b modifig is spposiios. A compig risks modl was formlad from his modl ad sig simlad daa ad MCMC algorihm wih la variabls is paramrs wr simad via Basia procdrs. KEYWORDS: No idifiabili; crd risk; risk; la variabls. Rfrêcias BERMAN S. M. No o xrm vals compig risks ad smi-markov procsss. A. Mah. Sa. A Arbor v.34 p BHATTACHARYA A. Modlig xpoial srvival daa wih dpd csorig. Sakhá: Idia J. Sa. Calca v.59 A p Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

12 ELANDT-JOHNSON R. C.; JOHNSON N. L. Srvival modls ad daa aalsis. Nw York: Joh Wil p. FLEMING T. R.; HARRINGTON D. P. Coig procsss ad srvival aalsis Nw York: Joh Wil p. GAIL M. A rviw ad criiq of som modls sd i compig risks aalsis. Biomrics Washigo v.3 p GELFAND A. E.; SMITH A. F. M. Samplig-basd approachs o calclaig margial dsiis. J. Am. Sa. Assoc. Nw York v.85 p GELMAN A.; RUBIN D. B. Ifrc from iraiv simlaio sig mlipl sqcs. Sa. Sci. HaWard v.7 p GEMAN S.; GEMAN. D. Sochasic rlaxaio Gibbs disribios ad h Basia rsoraio of imags. IEEE Tras. Par Aal. Machi Illig. Nw York v.6 p HASTINGS W. K. Mo Carlo samplig mhods sig Markov chais ad hir applicaios. Biomrika Lodo v.57 p HECKMAN J. J.; HONORÉ B. E. Th idifiabili of h compig risks modl. Biomrika Lodo v.76 p KAPLAN E. L.; MEIER P. Noparamric simaio from icompl obsrvaios. J. Am. Sa. Assoc. Nw York v.53 p MARSHALL A. W.; OLKIN I. A mlivaria xpoial disribio. J. Am. Sa. Assoc. Nw York v.6 p METROPOLIS N. al. Eqaios of sa calclaios b fas compig machis. J. Chm. Phs. Woodbr v. p MOESHBERGER M. L. Lif ss dr dpd compig cass of failr. Tchomrics Washigo v.6. p NAKANO E. Y. Uma xsão do modlo Wibll bivariado d R: ma aplicação basiaa para riscos compiivos f. Dissração Msrado m Esaísica Cro d Ciêcias Exaas d Tcologia Uivrsidad Fdral d São Carlos São Carlos 00. RAFTERY A. E. A coios mlivaria xpoial disribio. Comm. Sa. Par A - Thor Mhods Nw York v.3 p RYU K. A xsio of Marshall ad Olki's bivaria xpoial disribio. J. Am. Sa. Assoc. Nw York v p TANNER M. A.; WONG W. H. Th calclaio of posrior disribios b daa agmaio. J. Am. Sa. Assoc. Nw York v.8 p TARUMOTO M. H. Um modlo Wibll bivariado para riscos compiivos f. Ts Doorado m Esaísica Isio d Mamáica Esaísica Compação Ciífica Uivrsidad d Campias Campias 00. Rcbido m Aprovado após rvisão m Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

13 Apêdic Diagósico d Covrgêcia Foi grada ma cadia d amaho m da posriori coa. Essa cadia foi dividida m das cadias d amaho para a ralização do diagósico d Glma Rbi 99. Plo diagósico d Glma Rbi foi vrificada a covrgêcia da cadia á a iração b Após a covrgêcia da cadia os valors foram omados cosidrado salos hi d amaho k 0 rslado assim ma amosra d amaho.40. O diagósico d covrgêcia ralizado os gráficos d aocorrlaçõs para vrificar a dpdêcia r os valors obsrvados os plos das dsidads margiais simadas dos parâmros são aprsados a sgir. Tabla 3 - Diagósico d Glma Rbi Parâmro Mdiaa Qail 975% Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

14 Figra - Gráficos da mdida d Glma Rbi para os parâmros do modlo. Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

15 Figra 3 - Corrlograma dos valors obidos a amosra. Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

16 4 Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p

17 Figra 4 - Traço dsidads dos parâmros do modlo. Rv. Ma. Esa. São Palo v.4.4 p