Notas de Aulas de Cálculo Diferencial e Integral II Engenharia de Materiais Prof.: Adriana Borssoi 5

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1 Prof: Adriaa Borssoi 5 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS Ercícios Rcomdados: ANTON, H, BIVENS, I DAVIS, S Cálculo vol Tradução: Claus I Dorig 8 d Porto Algr: Bookma, 007 Págias, d 93 à 936 Págias, d Vamos ampliar o cocito d fução d uma variávl ral, para domíios d dimsão igual ou maior qu dois Tais fuçõs ocorrm com frquêcia m situaçõs práticas, como vmos: i) o studo d um gás idal, od o volum ocupado por um gás cofiado é dirtamt proporcioal à sua tmpratura ivrsamt proporcioal à sua prssão; ii) a avaliação do crscimto populacioal d crtos fugos, pod-s cosidrar qu o úmro d idivíduos dpd sscialmt da quatidad d utrits, da dispoibilidad d água, da tmpratura da prsça d uma crta protía Para ampliar o cocito para várias variávis, dvmos tdr a rprstação d um poto o spaço -dimsioal Um poto m R é rprstado por um úmro ral ; Um poto m R é rprstado por um par ordado d úmros rais (, y ) ; 3 Um poto m R é rprstado por uma tripla ordada d úmros rais (, y, z ) ; Podmos gralizar o cocito para o spaço - dimsioal domíio da fução, quato qu o cojuto d todos os valors possívis d w é chamado d imagm da fução A última dfiição pod sr scrita também da sguit forma: Dfiição: Uma fução f dfiida o subcojuto A com valors m R é uma rgra qu associa a cada u A um úico úmro ral w f ( u) Nst caso, u ( 1,, 3,, ) é chamada variávl idpdt da fução cuja otação é: f : A R R Cosidrado as dfiiçõs dadas, rspoda: Ercícios: E 01 : Sja a fução d duas variávis 3 y 1 Dtrmi: a) f (1,4) b) f (0,9) c) f ( t, t ) d) o domíio atural d f E 0 : Esboc o domíio atural da fução l( y) E 03 : Sja a fução d três variávis f (, y, z) 1 y z Dtrmi: a) f (0, 1, 1 ) b) o domíio atural d f Gráfico d uma Fução d duas Variávis Dfiição: O cojuto d todas as -uplas d úmros rais é chamado d spaço umérico - dimsioal, sdo dotado por R Cada - uplas ( 1,, 3,, ) é chamada d poto o spaço umérico -dimsioal Agora, stamos m codiçõs d dfiir uma fução d várias variávis rais Como sgu: Dfiição: Uma fução d variávis é um cojuto d pars ordados ( P, w ), od dois pars distitos ão podm tr os primiros lmtos iguais P é um poto o spaço - dimsioal w é um úmro ral O cojuto d todos os valors possívis d P é domiado Figura 31: Rprstação da variação da probabilidad d rprodução m fução da idad da ára foliar

2 Prof: Adriaa Borssoi 6 Fot: COLIN, R t al Fudamtos m Ecologia a dição Ed Artmd Porto Algr: 006 Dfiição: S f for uma fução d duas variávis, tão o gráfico d f srá o cojuto d todos os 3 potos (, y, z ) R para os quais (, y ) um poto o domíio d f z Podmos afirmar qu o gráfico d uma fução f d duas variávis uma suprfíci qu rprsta o cojuto d todos os potos o spaço tridimsioal, cujas coordadas cartsiaas são dadas plas triplas ordadas d úmros rais (, y, z ) quação k é chamada d curva d ívl ou curva d cotoro da fução f m k Cada poto da curva d ívl corrspod a um úico poto a suprfíci qu stá k uidads acima, s k for positivo, ou k uidads abaio, s k for gativo A Figura 33 ilustra as curvas d ívl sobr a suprfíci O cojuto as várias curvas d ívl, projtadas o plao y compõ um mapa d cotoro ou d ívl Emplos 1 ( ) y a) y + b) + y + 3 c) + d) y y Figura 33: As codiçõs ambitais ifluciam as taas itríscas d crscimto As taas d crscimto gométrico dos bsouros Caladra oriza Rhizoprtha domiica, qu vivm o trigo, variam com a tmpratura a umidad As taas d crscimto stão dadas plas lihas d cotoro qu dscrvm as codiçõs com valors idêticos d λ Sgudo L C Birch Ecology, 34: (1953) Fot: RICKLEFS, R A Ecoomia da Naturza, 5 a dição Ed Guaabara/ Kooga Na Figura 34 tmos a rprstação d um mapa d cotoro Figura 3: Gráficos grados plo WiPlot Ercícios E 04 : (ANTON, v, 007, p 97) Em cada part, dscrva o gráfico da fucao um sistma d coordadas yz 1 a) 1 y b) c) 1 y + y Curvas d Nívl Uma forma d rprstar uma fução d duas variávis gomtricamt é similar à rprstação d uma paisagm tridimsioal por um mapa topológico bidimsioal Supoha qu uma suprfíci z sja itrcptada por um plao z k qu a curva d itrscção sja projtada o plao y A curva projtada tm por Figura 34: Na Amrica do Nort, a divrsidad d spécis d mamífros aumta m dirção ao Equador as rgiõs d alta htrogidad d habitat As lihas d cotoro o mapa idicam o umro d spécis d mamífros ocorrdo m células d 150 mi (~40km) d lado D G G Simpsom, Syst Zool 13:57-73 (1964)

3 Prof: Adriaa Borssoi 7 Fot: RICKLEFS, R A Ecoomia da Naturza, 5 a dição Ed Guaabara/ Kooga Emplos i) (ANTON, v, 007, p 98) O gráfico da fução y o spaço yz é o parabolóid hiprbólico, cohcido por suprfíci d sla, mostrado a Figura 35 a As curvas d ívl têm quaçõs da forma y k Para k > 0, ssas curvas são hipérbols abrido ao logo d rtas parallas ao io y; para k < 0, las são hipérbols abrido ao logo d rtas parallas ao io ; para k 0, a curva d ívl cosist as rtas qu s itrsctam y y, coform Figura 35 b a) b) E 06 : (ANTON, v, 007, p 99) Esboc o mapa d cotoro d 4 + y usado as curvas d ívl d altura k 0,1,,3,4,5 E 07 : Dfia o qu é uma suprfíci d ívl mplifiqu 3 LIMITES E CONTINUIDADE Ercícios Rcomdados: ANTON, H, BIVENS, I DAVIS, S Cálculo vol Tradução: Claus I Dorig 8 d Porto Algr: Bookma, 007 Págias, d Quado studamos limits d fuçõs d uma variávl ral, tmos a opção d studar os limits à dirita à squrda do poto m qustão No studo d fuçõs d duas ou mais variávis stá oção dv sr ampliada, d modo qu ão tmos mais apas duas dirçõs para obsrvar, mas sim ifiitas Figura 35: Fução sla su mapa d cotoro, grados plo Wiplot ii) S z T (, y) é a tmpratura m cada poto d uma rgião do plao, as curvas d ívl corrspodm a potos d igual tmpratura Nst caso, as curvas são chamadas isotrmas Cosidr ( + y + 1) T (, y) cujo mapa d 3 + y + 4y + 1 cotoro stá ilustrado a Figura 36 a) b) Figura 36: Gráficos grados plo softwar Mapl 1 Ercícios E 05 : (ANTON, v, 007, p 99) Esboc o mapa d cotoro d y usado as curvas d ívl d altura k 6, 4,, 0,, 4, 6 Figura 41: Difrts camihos passado plo poto (, y ) Vamos cosidrar, iicialmt, uma fução quado (, y ) td a ( 0, y0 ) ao logo d uma curva C S C for uma curva paramétrica lisa o spaço, rprstada plas quaçõs: ( t), y y( t) s 0 ( t y y( t ), tão podmos dfiir qu lim lim f ( ( t), y( t)) Nsta (, y) (, y ) t t ao logo d C 0 formulação, o limit da fução d t dv sr tratado como um limit latral s ( 0, y0 ) for um poto trmo d C Emplo: Avali o limit da fução y ao logo dos sguits + y camihos qu passam plo poto ( 0, y (0, coclua sobr a istêcia do limit o poto m qustão: a) do io b) do io y

4 Prof: Adriaa Borssoi 8 c) da rta y d) da rta y ) da parábola y A Figura 41 ilustra o gráfico da fução dst mplo Dfiição: S D um cojuto dos potos do spaço bidimsioal, tão dizmos qu um poto ( 0, y um poto itrior d D s istir algum disco abrto ctrado m (, y ) qu cotha uicamt potos d D; dizmos qu ( 0, y um poto d frotira d D s qualqur disco abrto ctrado m ( 0, y0 ) cotivr potos tato d D quato ão d D Figura 41: Gráficos grados plo softwar Mapl 1 Vjamos algus cocitos d topologia, ats d dfiirmos limits para fuçõs d várias variávis Cojutos Abrtos Fchados Algumas dfiiçõs: Disco Abrto: é o cojuto d todos os potos globados por um círculo C o spaço bidimsioal, ctrado m ( 0, y 0 ) d raio positivo δ, dscosidrado os potos qu stjam sobr a circufrêcia Disco Fchado: é o cojuto d todos os potos globados por um círculo C o spaço bidimsioal, ctrado m ( 0, y 0 ) d raio positivo δ, icluido os potos sobr a circufrêcia Figura 43: Poto itrior poto d frotira d D Vjamos a dfiição d limits para fuçõs d duas variávis Dfiição: Sja f uma fução d duas variávis supoha qu f stja dfiida m todos os potos d algum disco abrto ctrado m ( 0, y, cto, possivlmt, m ( 0, y Escrvmos lim L, s, dado (, y) ( 0, y0 ) qualqur úmro ε > 0, pudrmos cotrar um úmro δ > 0 tal qu f (, y ) satisfaça L < ε smpr qu a distâcia tr (, y) ( 0, y0 ) satisfizr 0 < ( ) + ( y y ) < δ Faça a itrprtação gométrica dsta dfiição a) b) Figura 4: a) disco abrto; b) disco fchado Aalogamt, para o spaço tridimsioal, tmos os cocitos d bola abrta bola fchada As oçõs d abrto fchado podm sr stdidas a cojutos mais grais dos spaços bi tridimsioais Emplo: Obsrvado o comportamto das si( + y ) fuçõs + y g(, y) y + y m toro do poto ( 0, y (0,, por mio da tabla d valors, podmos supor qu: si( + y ) lim 1 (, y) (0, + y lim (, y) (0, y + y ão ist

5 Prof: Adriaa Borssoi 9 Vja Tabla 41 Tabla 41: Valors da fução f (, y ) y -1,0-0,5-0, 0,, 0,5 1,0-1,,455 0,759 0,89 0,841 0,89 0,759 0,455-0,5 0,759 0,959 0,986 0,99,986 0,959 0,759-0, 0,89 0,986 0,999 1,00,999 0,986 0,89 0,,841 0,990 1,000 1,00,99,841 0, 0,896 1,500,971 4,967,971 1,50,896 0,5 0,759 0,959 0,986 0,99,986 0,959 0,759 1,,455 0,759 0,89 0,841 0,89 0,759 0,455 Tabla 4: Valors da fução g(, y ) y -1,0-0,5-0, 0,, 0,5 1,0-1,,00,60,93 1,00,93 0,60,000-0,5-0,60,00,74 1,00,74 0,000-0,600-0, -0,93-0,74 0,000 1,00,000-0,74-0,93 0,0-1,000-1,000-1,000-1,000-1,000-1,000 0, -0,769-0,17,000 5,000,000-0,17-0,769 0,5-0,60,00,74 1,00,74 0,000-0,600 1,,00,60,93 1,00,93 0,60,000 As Tablas 41 4 mostram valors para ambas as fuçõs m algus potos m toro da origm, sdo qu ambas ão stão dfiidas a origm Porém, d fato, ão podmos tirar coclusõs apas basadas m vidêcias uméricas Com a dfiição acima podmos provar a vracidad das afirmaçõs ou tão podmos fazr uso d propridads algébricas para garatir os rsultados mcioados A Figura 41 rprsta os gráficos das fuçõs f g, rspctivamt, m uma rgião m toro da origm b) S o limit d f (, y ) diar d istir quado (, y) ( 0, y0 ) ao logo d alguma curva lisa, ou s tivr limits difrts quado (, y) ( 0, y0 ) ao logo d duas curvas lisas difrts o domíio d f, tão o limit d ão ist quado (, y) (, y ) y Emplo: Mostr qu lim são (, y) (0, + y difrts quado (, y) (0, ao logo do io y ao logo da rta y Emplo: Dtrmi, s istir, o 3 y lim usado mudaça d (, y) (0, + y coordadas d cartsiaas para polars Cotiuidad Dfiição: Dizmos qu uma fução f (, y ) é cotíua m ( 0, y0 ) s: i) f ( 0, y0 ) stivr dfiido ii) lim f (, y ) (, y) ( 0, y0 ) Além disso, s f for cotíua m cada poto d um cojuto abrto D, tão dizmos qu f é cotíua m D; s f for cotíua m todo poto do plao y, tão dizmos qu f é cotiua m toda part Agora uciamos algumas propridads sobr cotiuidad d fuçõs cotíuas combiadas Figura 41: Gráficos grados plo wmaima 075 Rlação tr Limits Grais Limits ao logo d Curvas Lisas Torma: Sja f (, y ) uma fução d duas variávis a) S L quado (, y) ( 0, y0 ), tão L quado (, y) ( 0, y0 ) ao logo d qualqur curva lisa Torma: a) S g( ) for cotíua m 0 h( y) for cotíua m y 0, tão g( ) h( y) é cotíua m ( 0, y b) S h(, y) for cotíua m ( 0, y g( u) for cotíua m u h( 0, y0 ), tão a composição g( h(, y)) é cotíua m ( 0, y c) S for cotíua m ( 0, y ( t ) y( t) form cotíuas m t 0, com ( t 0 y( t ) y tão a composição f ( ( t), y( t)) é cotíua m t 0 Podmos afirmar qu:

6 Prof: Adriaa Borssoi 10 a) a composição d fuçõs cotíuas é cotíua; b) a soma, difrça ou produto d fuçõs cotíuas é cotíua; c) o quocit d fuçõs cotíuas é cotíua, cto od o domiador for zro Emplo: Vrifiqu s as fuçõs sguits são cotiuas: y /3 a) + y uv 1 + u + v b) k( u, v) c) z(, y) l( y) Limits m Dscotiuidads 1 A fução + y prmit cocluir, 1 facilmt, qu lim (, y ) (0, y Assim, a + fução ão é limitada aprsta dscotiuidad m (0, Os rsultados obtidos para fuçõs d duas variávis podm sr stdidos para fuçõs d várias variávis, com as dvidas adaptaçõs Assim, tmos a sguit dfiição: Sja f : A R R uma fução 0 A A (A uido com a frotira d A) Ituitivamt 0 A A sigifica qu s 0 A dv star arbitrariamt próimo d A Dfiição: O limit d f quado aproima-s d 0 é L quado para todo ε > 0, ist δ > 0 tal qu B( 0, δ ) A implica f ( ) L < ε Notação: lim f ( ) L 0 Figura 4: Gráfico grado plo WiPlot A avaliação da fução g(, y) ( + y )l( + y ) já ão é tão óbvia, tdo m vista qu (, y) (0, coduz a uma idtrmiação Nst caso, podmos laçar mão da mudaça para coordadas polars aplicação da rgra d L Hôpital Vrifiqu qu stá fução só ão é cotíua a origm Figura 43: Gráficos grados plo wmaima 075