Controlo Em Espaço de Estados. Segundo Teste

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1 Mesrado Inegrado em Engenharia Elecroécnica e de Compadores Conrolo Em Espaço de Esados 4/5 Segndo ese 8 de Maio de 5 6h3 horas salas C3 C e C Dração horas Não é permiida consla nem so de calcladoras programáveis Qoação: Pabcd P Aabde= c= Ba bp3a4bp4a b c P. Considere o sisema sem enrada descrio pelas eqações não lineares de esado d d = + d d = + 3 a Escreva m conjno de eqações algébricas não lineares veriicadas por odos os ponos de eqilíbrio do sisema. b Resolva o sisema de eqações algébricas qe escreve na alínea a para ober odos os ponos de eqilíbrio do sisema. Para simplicidade de reerência a eses ponos nas alíneas segines designe-os pelas leras maiúsclas A B... c Obenha as eqações do sisema linearizado em orno de cada m dos ponos de eqilíbrio. d Com base nos reslados da alínea c o qe pode dizer sobre a esabilidade de cada m dos ponos de eqilíbrio do sisema não linear? P. Nese problema em das alernaivas designadas A o B. A alernaiva A é mais complicada mas em m valor mais elevado 6 valores. A alernaiva B vale apenas 4 valores. Deverá indicar de modo ineqívoco qal a alernaiva

2 qe escolhe. Se responder a ambas apenas será considerada a resposa a A não sendo a ora resposa classiicada. A Nese problema preende-se desenvolver m conrolador adapaivo baseado no º Méodo de yapnov para a velocidade de m sbmarino aónomo do ipo orpedo qe se mosra na igra P-. Fig. P-. Sbmarino considerado no problema P- A. Foograia do MI. Na asência de correnes marinhas o modelo qe relaciona a velocidade linear do sbmarino v com a velocidade de roação da hélice variável maniplada é dv d = εαv + β. Nesa eqação α e β são consanes conhecidas com precisão e ε é ma consane desconhecida qe dever ser esimada pelo conrolador adapaivo. Designe por ε a esimaiva de ε e por ε o erro da esimaiva sendo por consegine ε = ε ε. A a Deermine ma mdança na variável maniplada al qe se o erro na esimaiva de ε osse nlo o sisema seria m inegrador. Designe por w a nova variável maniplada viral e escreva as epressões qe permiem calclar w como nção da velocidade da hélice e vice-versa como nção de w. A b Seja r a velocidade desejada e deina o erro de segimeno e como a dierença enre a valocidade desejada e a velocidade real o seja e = r v. Deermine ma lei de conrolo linear qe permia calclar w como nção do erro de segimeno por orma a garanir qe o erro de segimeno e ende para

3 zero qando o empo amena e admiindo m conhecimeno pereio do parâmero ε. A c Com base na candidaa a nção de yapnov Ve ε = e + ε γ obenha ma lei de ajse da esimaiva do parâmero ε qe garana qe o sisema conrolado é esável pelo menos. A d Com base no eorema do Conjno Invariane mosre qe o erro de segimeno e ende para zero qando o empo amena. A e Desenhe m diagrama de blocos do sisema global mosrando o sbmarino a ransormação da variável maniplada da alínea a a lei de conrolo da alínea b e a lei de adapação da alínea c. B Considere o sisema deinido pelas eqações de esado não lineares d d = + d d = + Para ese sisema a origem = = é m pono de eqilíbrio. Relaivamene a ese pono de eqilíbrio responda às segines pergnas: B a O qe pode dizer sobre a esabilidade do pono de eqilíbrio para o sisema não linear com base na linearização? Mosre odos os cálclos. B b ome como candidaa a nção de yapnov V = +. O qe pode dizer sobre a esabilidade do pono de eqilíbrio para o sisema não linear? Mosre odos os cálclos. P3. O modelo qe relaciona a velocidade v com a aa de consmo de combsível nm veíclo é dado pela eqação dierencial escalar dv d = v + 3

4 a Preende-se parindo do reposo iso é v = escolher a nção no inervalo de empo enre = e = qe maimiza o ncional de cso J = v 6 d. Ese ncional de cso radz m compromisso enre aingir a máima velocidade no inal do inervalo de opimização e consmir poco combsível. b Esboce o gráico aproimado de v no inervalo de empo enre = e =. P4. Considere de novo o sisema do problema P. a Recorrendo à inormação sobre a linearização em orno dos ponos de eqilíbrio aos sinais da derivada em ponos qe considere imporanes e ao eorema de nicidade de solção race m esboço do rerao de ase iso é das rajecórias de esado parindo de várias condições iniciais do sisema. Jsiiqe odos os raciocínios qe izer. b Diga qal a relação enre as rajecórias no plano de esado de m sisema descrio pelo modelo de esado d d = d e de oro descrio por = d em qe é igal nos dois casos. Sgesão: Relacione os dois modelos por ma mdança de variável. c Combine a inormação das das alíneas aneriores para deerminar aproimadamene a bacia de aracção do pono de eqilíbrio assimpoicamene esável do sisema do problema P. Represene a bacia de aracção pinando-a com m lápis de cor sobre o diagrama qe obeve na alínea a A bacia de aracção de m pono de eqilíbrio é o conjno dos esados ais qe parindo deles qando o empo amena dão origem a rajecórias qe endem para esse pono de eqilíbrio. 4

5 5 Ajdas úeis = = [ ] e = 37 ' ' ' H d d d J d d Sic ransi Gloria mndi radção livre do aim: As inormações de rânsio da SIC são as melhores do mndo Qe ningém diga qe os alnos do IS não são eposos à Clra Clássica!