Acesso de Maiores de 23 anos Prova escrita de Matemática 7 de Junho de 2010 Duração da prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.
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- Airton Prado
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1 Versão A Acesso de Maiores de 3 aos Prova escrita de Matemática 7 de Jho de 010 Dração da prova: 150 mitos. Tolerâcia: 30 mitos. Primeira Parte As oito qestões desta primeira parte são de escolha múltipla. Para cada ma delas são idicadas qatro alterativas, das qais só ma está correcta. Escreva a folha de resposta a letra correspodete à alterativa qe seleccioar para respoder a cada qestão. Se apresetar mais do qe ma resposta, a qestão será alada, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. Não apresete cálclos. 1. Um dado perfeito tem três faces verdes, das azis e ma preta. O dado vai ser atirado das vezes ao ar. Qal é a probabilidade de sair das vezes a face preta? A) 6 B) 36 C) 1 36 D) 1 6. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma determiada eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ω e B Ω). Sabe-se qe - P (A B) = P (B) = P (A B) = 0.4 (P desiga probabilidade) Qal é a probabilidade de ão se realizar A? A) 0.4 B) 0.76 C) 0.04 D) Cosidere a fção real de variável real defiida por f() = e +. A epressão de f () é igal a A) e + B) ( + 1) e + C) ( + 1) e +1 D) e +1
2 4. O valor de cos(se(π)) é igal a A) 1 B) 1 C) 0 D) 1 ( π ) 5. Seja z o úmero compleo z = cis. O compleo z 4 é represetado a forma algébrica por 4 A) 16 i B) 16 C) 16 D) 8 i 6. Sedo z 1 = 1 + i e z = cis(θ), o compleo z 1 z será m úmero real positivo se: A) θ = 1 4 π B) θ = 0 C) θ = 5 4 π D) θ = 1 4 π 7. O gráfico da figra represeta, m certo itervalo, a derivada da fção f. Qal das segites afirmações é verdadeira? A) f tem máimo local em a. B) f tem míimo local em c. C) f tem máimo local em b. D) f tem máimo local em d. 8. Sejam f e g das fções reais, de variável real, tais qe f() = 3, f () =, g (3) = 5 e g () = 4. O valor de (g f) () é igal a: A) 15 B) 8 C) 1 D) 10
3 Segda Parte Nas qestões desta segda parte, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. 9. Cosidere o úmero compleo w = 1 + i. a) Escreva w a forma trigoométrica. b) Resolva, em relação à icógita z, a eqação z 3 = w 1. { c) Represete graficamete o cojto A = z C : 1 z w 0 arg(z) π }. 10. De m grpo de 8 homes e 6 mlheres pretede-se formar ma comissão costitída por 3 homes e 3 mlheres. a) Qatas comissões diferetes é possível costitir? b) Qatas comissões diferetes é possível costitir se dois dos homes se recsam a trabalhar em cojto? 11. a) Com os elemetos do cojto {0,, 3, 5, 9} qatos úmeros de qatro algarismos diferetes se podem formar? De etre esses úmeros, qatos são múltiplos de 5? b) Mostre qe! + ( + 1)! = ( + )! qalqer qe seja o úmero atral. 1. Cosidere a fção real de variável real defiida por a) Determie o domíio de f. f() = b) Escreva, caso eistam, as eqações das assímptotas horizotais ao gráfico de f. 13. Cosidere a fção real de variável real defiida por f() = l() e. a) Recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, mostre qe f tem pelo meos m zero o itervalo ]1, e[. b) Recorredo a métodos eclsivamete aalíticos, mostre qe f é estritamete crescete em [1, + [. c) Mostre qe a fção f tem apeas m zero o itervalo [1, + [.
4 14. O rectâglo da figra tem m dos vértices o poto (0, 0), otro o poto (, 0) e otro o poto (, y) pertecete ao segmeto de recta qe e os potos (1, 0) e (0, ). a) Mostre qe a área do rectâglo é epressa, em fção de, por A() = (1 ). b) Para qe valor de se obtém o rectâglo de área máima? 15. Uma sbstâcia radioactiva desitegra-se segdo ma lei epoecial do tipo m(t) = a kt em qe m represeta a massa (em gramas) ao fim de t aos. a) Qal o sigificado da costate a? b) Determie k, sabedo qe a massa iicial dá lgar a metade dessa massa ao fim de 10 aos. c) Cosiderado o valor de k obtido a alíea b), determie a epressão de m(t), sabedo qe ao fim de 0 aos a massa da sbstâcia é de 5 gramas (se ão resolve a alíea b), spoha k = 1/5).
5 Cotações Primeira parte Cada resposta certa Cada resposta errada Cada qestão ão respodida o alada Segda parte a) b) c) a) b) a) b) a) b) a) b) c) a) b) a) b) c) Total
6 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρ cis θ ) = ρ cis (θ ) 1 3 Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor 1 3 α r tg a + tg b 1 tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim e 1 lim = 1 0 e p 1 1 σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ 3σ < X < µ + 3 σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 635.V1 Págia 4/ 11
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