Prova Escrita de Matemática A

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1 EXAME NAINAL D ENSIN SEUNDÁRI Decreto-Lei.º 74/2004, de 26 de Março Prova Escrita de Matemática A 12.º ao de Escolaridade Prova 635/Época Especial 11 Págias Dração da Prova: 150 mitos. Tolerâcia: 30 mitos 2008 Prova 635 Págia 1/ 11

2 Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, desehos o otras represetações, qe podem ser primeiramete elaboradas a lápis, sedo, a segir, passadas a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica sempre qe ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva de forma legível a meração dos grpos e/o dos ites, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 635 Págia 2/ 11

3 Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas, o úmero do item; a letra idetificativa da alterativa correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. Nos ites de resposta aberta com cotação igal o sperior a 15 potos e qe impliqem a prodção de m teto, o domíio da comicação escrita em líga portgesa represeta cerca de 10% da cotação. As cotações dos ites ecotram-se a págia 11. A prova icli m Formlário a págia 4. Prova 635 Págia 3/ 11

4 Formlário omprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r 2 (r raio) Volmes Pirâmide: oe: Esfera: 4 π r 3 3 (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = ompleos (ρcis θ) = ρ cis (θ) 1 3 Diagoal maior Diagoal meor 2 Base maior + Base meor α r 2 2 tg a + tg b 1 tg a. tg b θ+2kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., 1} Probabilidades µ = p + + p 1 lim 1 + = e se lim = 1 0 l( + 1) lim = 1 0 l lim = 0 + lim e 1 lim = 1 0 e p σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 6827 P( µ 2σ < X < µ + 2 σ) 0, 9545 P( µ 3σ < X < µ + 3 σ) 0, 9973 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = 2 v v 1 ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = 2 cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} 1 ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} 1 ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 635 Págia 4/ 11

5 GRUP I s oito ites deste grpo são de escolha múltipla. Em cada m deles, são idicadas qatro alterativas de resposta, das qais só ma está correcta. Se apresetar mais do qe ma alterativa, a resposta será classificada com zero potos, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível. 1. Qatos úmeros ímpares, de qatro algarismos diferetes, se pode formar com os algarismos 1, 3, 5 e 8? (A) 4 (B) 6 () 18 (D) º elemeto de ma liha do Triâglo de Pascal é igal ao 15.º elemeto dessa mesma liha. Qatos elemetos tem essa liha? (A) 14 (B) 15 () 28 (D) Em cada semaa, a chave do Totoloto é formada por seis úmeros iteiros distitos, escolhidos aleatoriamete etre 1 e 49. Qal é a probabilidade de, a próima semaa, a chave do totoloto iclir os úmeros 1, 2 e 3? (A) 3 (B) 3 () 6 (D) Para todo o R, qal das segites epressões é eqivalete a.l e e? (A) e (B) e () e e (D) + e ( ) Prova 635 Págia 5/ 11

6 5. Na figra 1, está represetada parte do gráfico de ma fção f e a recta r de eqação y =. y f r Fig. 1 Qal das figras segites pode ser parte do gráfico da fção f 1, fção iversa de f? (A) (B) y y () (D) y y Prova 635 Págia 6/ 11

7 π π 6. Seja a fção f, de domíio,, defiida por f ( ) = cos ( ). 2 3 Qal é o cotradomíio de f? 1 (A) [ 1, 0] (B) [0, 1] () 0, (D) 2 0, Qal das segites codições, a variável complea z, defie, o plao compleo, ma circferêcia? (A) z + 4 = 5 (B) z = z + 2i () 0 arg(z ) π (D) Re(z ) + Im(z )= 2 8. Na figra 2 está represetado, o plao compleo, o polígoo [EFGHI ], iscrito ma circferêcia de cetro a origem do referecial e raio igal a 2. s vértices desse polígoo são as images geométricas das raízes de ídice 5 de m certo úmero compleo; m dos vértices pertece ao eio real. Im(z) F E G Re(z) I H Fig. 2 3π Qal é o vértice do polígoo [EFGHI ] qe é a imagem geométrica de 2 cis? 5 (A) E (B) F () H (D) I Prova 635 Págia 7/ 11

8 GRUP II Na resposta a ites deste grpo, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto. 1. Em, cojto dos úmeros compleos, sejam os úmeros z i cis π 1 = 1 1+ e 2 z π cis( ) (i desiga a idade imagiária). 2 =8 4 z Determie, sem recorrer à calcladora, o úmero compleo w =. z2 Apresete o resltado a forma trigoométrica. ( ) ( ) 1.2. osidere o úmero compleo z = z 2. No plao compleo, sejam A e B as images geométricas de z e de z 2, respectivamete. Determie a área do triâglo [AB], em qe é a origem do referecial. 2. Três rapazes, o João, o Ri e o Palo, e três raparigas, a Aa, a Maria e a Fracisca, decidem passar a tarde jtos De qatas maeiras se podem setar os seis amigos, s ao lado dos otros, m baco corrido com seis lgares, ficado m rapaz em cada ma das etremidades? 2.2. Depois de ovirem algmas músicas, os seis joves resolveram daçar aos pares. Admita qe, ma daça: cada rapaz daça com ma rapariga; todos os joves daçam; todos os pares são escolhidos ao acaso. 2 A probabilidade de, essa daça, a Aa daçar com o João é igal a. 3! Epliqe, ma peqea composição, o raciocíio qe codzi a esta epressão. Nota: Deve orgaizar a sa composição de acordo com os segites tópicos: referêcia à Regra de Laplace; eplicação do úmero de casos possíveis; eplicação do úmero de casos favoráveis. Prova 635 Págia 8/ 11

9 3. Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória e sejam A e B dois acotecimetos possíveis (A Ωe B Ω). Mostre qe: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 P A B + P A B P B = P A + P B (P desiga probabilidade, A represeta o acotecimeto cotrário de A e P (A B) é a probabilidade de A dado B.) e 4. osidere a fção f, de domíio R \{} 0, defiida por f () = Determie, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, a eqação redzida da recta tagete ao gráfico da fção f o poto de abcissa No itervalo ]0, 5], a recta de eqação y = 6 itersecta o gráfico da fção f os potos A e B. Determie a distâcia de A a B, com aproimação às décimas, recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora. Apresete o gráfico, o os gráficos, em qe se baseo para dar a sa resposta, assialado os potos A e B e idicado as sas coordeadas com aproimação às décimas. 5. osidere a fção f, de domíio R, defiida por f ( )= l ( 2 +1) (l desiga logaritmo de base e ). Estde, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, a fção f qato à mootoia e à eistêcia de etremos relativos, idicado os itervalos de mootoia e os valores dos etremos relativos, caso eistam. 6. Seja a fção f, de domíio [0, π ], defiida por f ( ) = 2 se() cos() + 2. gráfico da fção f itersecta a recta y = 1 m só poto. Determie, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, as coordeadas desse poto. Prova 635 Págia 9/ 11

10 7. Aqece-se ága m recipiete, drate m determiado tempo, m local ode a temperatra ambiete é costate e igal a 25º elsis. Iterrompe-se o processo de aqecimeto, e esse istate, a ága começo a arrefecer. arrefecimeto da ága sege a Lei do arrefecimeto de Newto, de acordo com o modelo matemático: 0, 05 t Tt () =25+48e, em qe T (t) represeta a temperatra da ága em gras elsis, t mitos após o iício do arrefecimeto. Resolva, recorredo eclsivamete a métodos aalíticos, os dois ites segites Determie T(0) e lim T( t). t + Iterprete os valores obtidos, o coteto do problema Determie ao fim de qato tempo, após o iício do arrefecimeto, a temperatra da ága atige os 36º elsis. Apresete o resltado em mitos e segdos, com estes arredodados às idades. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos méricos; sempre qe proceder a arredodametos, se qatro casas decimais. FIM Prova 635 Págia 10/ 11

11 TAÇÕES GRUP I... (8 5 potos) potos GRUP II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos TTAL potos Prova 635 Págia 11/ 11