Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos. Na folha de respostas, indique de forma legível a versão da prova.

Transcrição

1 EXAME NACINAL D ENSIN SECUNDÁRI Decreto-Lei.º 74/004, de 6 de Março Prova Escrita de Matemática A.º ao de Escolaridade Prova 65/.ª Fase Págias Dração da Prova: 50 mitos. Tolerâcia: 0 mitos 008 VERSÃ Na folha de respostas, idiqe de forma legível a versão da prova. A asêcia dessa idicação implica a classificação com zero potos das respostas aos ites do Grpo I. Prova 65.V Págia /

2 Utilize apeas caeta o esferográfica de tita idelével azl o preta, ecepto as respostas qe impliqem a elaboração de costrções, desehos o otras represetações, qe podem ser primeiramete elaboradas a lápis, sedo, a segir, passadas a tita. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o trasferidor e a calcladora gráfica sempre qe ecessário. Não é permitido o so de corrector. Em caso de egao, deve riscar, de forma ieqívoca, aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Escreva de forma legível a meração dos grpos e/o dos ites, bem como as respectivas respostas. Para cada item, apresete apeas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apeas é classificada a resposta apresetada em primeiro lgar. Prova 65.V Págia /

3 Para respoder aos ites de escolha múltipla, escreva, a folha de respostas, o úmero do item; a letra idetificativa da alterativa correcta. Não apresete cálclos, em jstificações. Nos ites de resposta aberta com cotação igal o sperior a 5 potos e qe impliqem a prodção de m teto, o domíio da comicação escrita em líga portgesa represeta cerca de 0% da cotação. As cotações dos ites ecotram-se a págia. A prova icli m Formlário a págia 4. Prova 65.V Págia /

4 Formlário Comprimeto de m arco de circferêcia α r (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Áreas de figras plaas Losago: Trapézio: Altra Polígoo reglar: Semiperímetro Apótema Sector circlar: Áreas de sperfícies Área lateral de m coe: π r g (r raio da base; g geratriz) (α amplitde, em radiaos, do âglo ao cetro; r raio) Área de ma sperfície esférica: 4 π r (r raio) Volmes Pirâmide: Coe: Esfera: 4 π r (r raio) Trigoometria Área da base Altra Área da base Altra se (a + b) = se a. cos b + se b. cos a cos (a + b) = cos a. cos b se a. se b tg (a + b) = Compleos (ρcis θ) = ρ cis (θ) Diagoal maior Diagoal meor Base maior + Base meor α r tg a + tg b tg a. tg b θ+kπ ρ cis θ= ρ cis, k { 0,..., } Probabilidades µ = p + + p lim + = e se lim = 0 l( + ) lim = 0 l lim = 0 + lim + e lim = 0 e p σ = ( µ ) p + + ( µ ) p Se X é N( µσ, ), etão: P( µ σ < X < µ + σ) 0, 687 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 9545 P( µ σ < X < µ + σ) 0, 997 Regras de derivação ( + v) = + v ( v) = v+ v v v = v v ( ) = ( R) (se ) = cos (cos ) = se (tg ) = cos ( e ) = e + ( a ) = a l a ( a R \{} ) (l ) = + (log a ) = ( a R \ {} ) la Limites otáveis =+ ( p R) Prova 65.V Págia 4/

5 GRUP I s oito ites deste grpo são de escolha múltipla. Em cada m deles, são idicadas qatro alterativas de resposta, das qais só ma está correcta. Se apresetar mais do qe ma alterativa, a resposta será classificada com zero potos, o mesmo acotecedo se a letra trascrita for ilegível.. João e a Maria covidaram três amigos para irem, com eles, ao ciema. Compraram cico bilhetes com meração segida, ma determiada fila, e distribíram-os ao acaso. Qal é a probabilidade de o João e a Maria ficarem setados m ao lado do otro? (A) (B) (C) (D) Seja Ω o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória, e sejam A e B dois acotecimetos ( A Ω e B Ω). Sabe-se qe: PA ( B) = 80% PB ( ) = 60% PA ( B) = 0% Qal é o valor de P(A)? (P desiga probabilidade). (A) 0% (B) 0% (C) 0% (D) 40% Prova 65.V Págia 5/

6 . Admita qe a variável peso, epressa em gramas, das maçãs de m pomar é bem modelada por ma distribição ormal N (60; 5), em qe 60 é o valor médio e 5 é o valor do desvio-padrão da distribição. Retira-se, ao acaso, ma dessas maçãs. Cosidere os acotecimetos: A : «o peso da maçã retirada é sperior a 66 gramas» B : «o peso da maçã retirada é iferior a 48 gramas» Qal das segites afirmações é verdadeira? (A) P(A) = P(B) (B) P(A) < P(B) (C) P(B) < P(A) (D) P(A) + P(B) = 4. Seja a m úmero real maior do qe. Qal dos segites valores é igal a log a a? (A) (B) (C) (D) 5. Na figra, está represetada parte do gráfico de ma fção f de domíio,. y f ] [ t Fig. A recta t, de eqação y =, é assimptota do gráfico de f qado tede para. ( ) Qal é o valor do lim f( ) + +? (A) (B) 0 (C) (D) + Prova 65.V Págia 6/

7 6. A figra represeta parte do gráfico de ma fção f de domíio R. y f Em qal das figras segites pode estar parte da represetação gráfica de f, derivada de f? Fig. (A) (B) y y (C) (D) y y 7. Seja z = i m úmero compleo. Qal dos segites valores é m argmeto de z? (A) 0 (B) π (C) π (D) π Prova 65.V Págia 7/

8 8. Cosidere, em C, a codição z + z =. Em qal das figras segites pode estar represetado, o plao compleo, o cojto de potos defiidos por esta codição? (A) (B) Im(z) Im(z) Re(z) Re(z) (C) (D) Im(z) Im(z) - Re(z) - Re(z) - Prova 65.V Págia 8/

9 GRUP II Na resposta a ites deste grpo, apresete o se raciocíio de forma clara, idicado todos os cálclos qe tiver de efectar e todas as jstificações ecessárias. Ateção: qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eacto.. Em C, cojto dos úmeros compleos, cosidere z i e (i desiga a idade imagiária). z = 8 cis 0.. Mostre, sem recorrer à calcladora, qe ( z ) é ma raiz cúbica de z... No plao compleo, sejam A e B as images geométricas de e de z = z. i 46, respectivamete. Determie o comprimeto do segmeto [AB ]. z. Uma trma do.º ao de ma Escola Secdária está a orgaizar ma viagem de fialistas... s alos da trma decidiram veder rifas, para agariarem fdos para a viagem. A meração das rifas é ma seqêcia de três algarismos (como, por eemplo, 099), iiciado-se em 000. De etre as rifas, qe foram todas vedidas, será sorteada ma, para atribir m prémio. Qal é a probabilidade de a rifa premiada ter m úico algarismo cico? Apresete o resltado a forma de dízima, com aproimação às cetésimas... A trma é costitída por doze raparigas e dez rapazes, qe pretedem formar ma comissão orgaizadora da viagem. Sabe-se qe a comissão terá obrigatoriamete três raparigas e dois rapazes. A Aa e o Migel, alos da trma, ão qerem fazer parte da comissão em simltâeo. Epliqe, ma composição, qe o úmero de comissões diferetes qe se pode formar é dado por: 0 C C C 9 Prova 65.V Págia 9/

10 . Em das caias, A e B, itrodziram-se bolas idistigíveis ao tacto: a caia A: algmas bolas verdes e algmas bolas azis; a caia B: três bolas verdes e qatro azis. Retira-se, ao acaso, ma bola da caia A e coloca-se a caia B. De segida, retira-se, também ao acaso, ma bola da caia B. Sabedo qe a probabilidade de a bola retirada da caia B ser azl é igal a, mostre qe a bola qe foi retirada da caia A e colocada a caia B tiha cor verde. 4. Seja f a fção de domíio π, +, defiida por: 4 + e se 0 f ( ) = se( ) se π < 0 Estde a fção f qato à eistêcia de assimptotas do se gráfico, paralelas aos eios coordeados, escrevedo as sas eqações, caso eistam. 5. Cosidere, m referecial ortoormado y, os gráficos das fções f e g, de domíio [0, ], defiidas por f ( )= l ( +) e g ( )= e e (l desiga logaritmo de base e ). Determie a área de m triâglo [AB ], com aproimação às décimas, recorredo às capacidades gráficas da sa calcladora. Para costrir o triâglo [AB ], percorra os segites passos: visalize as crvas represetativas dos gráficos das das fções, o domíio idicado; reprodza, a sa folha de respostas, o referecial e as crvas visalizadas a calcladora; assiale, aida: a origem do referecial; o poto A de itersecção do gráfico das das fções, idicado as sas coordeadas, com aproimação às décimas; o poto B de itersecção do gráfico da fção g com o eio. Prova 65.V Págia 0/

11 6. Seja h a fção de domíio, +, defiida por (l desiga logaritmo de base e ). ] [ h ( )= 4 + l( +) Resolva, sado métodos aalíticos, os dois ites segites. Nota: A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos itermédios; sempre qe proceder a arredodametos, se, pelo meos, das casas decimais. 6.. Estde a fção h, qato à mootoia, o se domíio. Idiqe os itervalos de mootoia e, se eistir algm etremo relativo, determie-o. 6.. Jstifiqe, aplicado o Teorema de Bolzao, qe a fção h tem, pelo meos, m zero o itervalo ] 5, 6[. 7. Nm determiado dia, m grpo de amigos decidi formar ma associação desportiva. Admita qe, t dias após a costitição da associação, o úmero de sócios é dado, aproimadamete, por: Resolva, sado métodos aalíticos, os dois ites segites. Nota: 000 Nt ()= 0, 0 t, t 0 +99e A calcladora pode ser tilizada em evetais cálclos itermédios; sempre qe proceder a arredodametos, se aproimações às milésimas. 7.. Determie N(0) e lim N( t). t + Iterprete os valores obtidos, o coteto do problema. 7.. Ao fim de qatos dias se comemoro a iscrição do sócio úmero 000? FIM Prova 65.V Págia /

12 CTAÇÕES GRUP I... (8 5 potos) potos GRUP II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos TTAL potos Prova 65.V Págia /