VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase. Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos.

Transcrição

1 EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO DecretoLei n.º 7/00, de 6 de março Prova Escrita de Matemática A.º Ano de Escolaridade Prova 65/.ª Fase 8 Páginas Dração da Prova: 50 mintos. Tolerância: 0 mintos. 0 VERSÃO Na folha de respostas, indiqe de forma legível a versão da prova (Versão o Versão ). A asência dessa indicação implica a classificação com zero pontos das respostas aos itens do Grpo I. Utilize apenas caneta o esferográfica de tinta indelével, azl o preta, eceto nas respostas qe impliqem a elaboração de constrções, de desenhos o de otras representações, qe podem ser, primeiramente, elaborados a lápis, sendo, a segir, passados a tinta. Utilize a réga, o compasso, o esqadro, o transferidor e a calcladora gráfica sempre qe for necessário. Não é permitido o so de corretor. Em caso de engano, deve riscar de forma ineqívoca aqilo qe pretende qe não seja classificado. Escreva de forma legível a nmeração dos grpos e dos itens, bem como as respetivas respostas. As respostas ilegíveis o qe não possam ser claramente identificadas são classificadas com zero pontos. Para cada item, apresente apenas ma resposta. Se escrever mais do qe ma resposta a m mesmo item, apenas é classificada a resposta apresentada em primeiro lgar. Para responder aos itens de escolha múltipla, escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra qe identifica a única opção escolhida. Não apresente cálclos, nem jstificações. A prova incli, na página, m Formlário. As cotações dos itens encontramse no final do ennciado da prova. Prova 65.V/.ª F. Página / 8

2 Formlário Geometria Comprimento de m arco de circnferência: ar^aamplitde, em radianos, do ângloaocentro; rraioh Áreas de figras planas Losango: Trapézio: Diagonal maior # Diagonal menor Base maior+ Basemenor # Altra Polígono reglar: Semiperímetro # Apótema Sector circlar: ar ^a amplitde, em radianos, do ângloaocentro; rraioh Áreas de sperfícies Área lateral de m cone: r rg^r raioda base; ggeratrizh Área de ma sperfície esférica: rr ] r raiog Volmes Pirâmide: # Áreada base # Altra Cone: # Áreada base # Altra Esfera: rr ] r raiog Trigonometria sen] a+ bg= sena cosb+ senb cosa cos] a+ bg= cosa cosb sena senb tga+ tgb tg ] a+ bg= tga tgb Compleos n ^tcisih = t n cis ^nih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, n + e n! Ng n n n f Probabilidades n = p + f + p n n v = p ] ng + f + p ^ nh ^ e hl = l e ^ a hl = l a ln a ^a! R ^ln hl l = log a l l ^ h = ln a n n Se X é N] nv, g, então: P] n v X n+ vg. 0, 687 P] n v X n+ vg. 0955, P] n v X n+ vg. 0997, Regras de derivação ^+ vhl = l + vl ^vhl = v l + vl l v l = vl ` v j v ^ n n hl n = l ^n! Rh ^senhl = l cos ^cos hl =l sen ^tg hl = l cos Limites notáveis limb + l = e n lim sen = " 0 lim " 0 lim ln ^ + h = " 0 lim " + lim " + e = ln = 0 e p n =+ + ^a! R + ^n! Nh ^p! Rh ", h ", h Prova 65.V/.ª F. Página / 8

3 GRUPO I Na resposta a cada m dos itens deste grpo, selecione a única opção correta. Escreva, na folha de respostas: o número do item; a letra qe identifica a única opção escolhida. Não apresente cálclos, nem jstificações.. Seja W o espaço de resltados associado a ma certa eperiência aleatória, e sejam A e B dois acontecimentos (A Ì W e B Ì W). Sabese qe: A e B são acontecimentos independentes; PA ] g= 7 0 PA ], Bg= Qal é o valor de PB ] g? (A) 5 (B) 9 (C) 0 9 (D) 0. Para assistirem a m espetáclo, o João, a Margarida e cinco amigos sentamse, ao acaso, nma fila com sete lgares. Qal é a probabilidade de o João e a Margarida não ficarem sentados m ao lado do otro? (A) 5! 7! (B) 5! 7! (C) 7 (D) 7 5. Nma caia com compartimentos, pretendese arrmar 0 copos, com tamanho e forma igais: sete brancos, m verde, m azl e m roo. Em cada compartimento pode ser arrmado apenas m copo. De qantas maneiras diferentes se podem arrmar os 0 copos nessa caia? (A) A 7! (B) A 5 7 C (C) C 5 7 A (D) C A 7. Seja f ma fnção de domínio R, definida por f^h = e Em qal dos intervalos segintes o teorema de Bolzano permite afirmar qe a eqação f^h = tem, pelo menos, ma solção? (A) D 0, : (B) D, : (C) D, : (D), 5 5 D : Prova 65.V/.ª F. Página / 8

4 5. Na Figra, está representada, nm referencial o.n. Oy, parte do gráfico de ma fnção g, de domínio 6a, + 6, com a y g Para esse valor de a, a fnção f, contína em R, é definida Z log ` se a j ] por f ^ h = [ ] g ^ h se $ a \ a O Figra Qal é o valor de a? (A) 8 (B) 5 (C) 9 (D) 8 6. Na Figra, está representada, nm referencial o.n. Oy, parte do gráfico de ma fnção f, de domínio R y 5 O f Figra Sejam fle fll, de domínio R, a primeira derivada e a segnda derivada de f, respetivamente. Qal dos valores segintes pode ser positivo? (A) f l] g (B) f l] g (C) f ll] g (D) f ll] g Prova 65.V/.ª F. Página / 8

5 7. Na Figra, estão representadas, no plano compleo, as imagens geométricas de cinco números compleos: w, z, z, z e z w Im(z) z Qal é o número compleo qe pode ser igal a w i? (A) z z z (B) z O Re(z) (C) z z (D) z Figra 8. Na Figra, está representada, a sombreado, no plano compleo, parte de ma coroa circlar. Im(z) Sabese qe: O é a origem do referencial; R o ponto Q é a imagem geométrica do compleo + i P Q a reta PQ é paralela ao eio real; O Re(z) as circnferências têm centro na origem; os raios das circnferências são igais a e a 6 Considere como arg () z a determinação qe pertence ao intervalo 7r, r7 Figra Qal das condições segintes pode definir, em C, conjnto dos números compleos, a região a sombreado, inclindo a fronteira? (A) #; z ;# 6 / r # arg] z + ig# r (B) 9 #; z ;# 6 / r # arg] z+ ig# r (C) #; z ;# 6 / r # arg] z+ ig# r (D) 9 #; z ;# 6 / r # arg] z + ig# r Prova 65.V/.ª F. Página 5/ 8

6 GRUPO II Na resposta a cada m dos itens deste grpo, apresente todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações necessárias. Atenção: qando, para m resltado, não é pedida a aproimação, apresente sempre o valor eato.. Em, conjnto dos números compleos, considere z i z 8i = ^ + h e = + + i.. Resolva a eqação z + z = z, sem recorrer à calcladora. Apresente as solções da eqação na forma trigonométrica... Seja w m número compleo não nlo. Mostre qe, se w e são raízes de índice n de m mesmo número compleo z, então w z = o z =. Nma escola, realizose m estdo sobre os hábitos alimentares dos alnos. No âmbito desse estdo, analisose o peso de todos os alnos. Sabese qe: 55% dos alnos são raparigas; 0% das raparigas têm ecesso de peso; 0% dos rapazes não têm ecesso de peso... Escolhese, ao acaso, m alno dessa escola. Determine a probabilidade de o alno escolhido ser rapaz, sabendo qe tem ecesso de peso. Apresente o resltado na forma de fração irredtível... Considere agora qe a escola onde o estdo foi realizado tem 00 alnos. Pretendese escolher, ao acaso, três alnos para representarem a escola nm concrso. Determine a probabilidade de serem escolhidos das raparigas e m rapaz. Apresente o resltado com arredondamento às centésimas.. Nm saco estão cinco bolas, indistingíveis ao tato, cada ma delas nmerada com m número diferente:,, 0, e Etraemse, ao acaso e em simltâneo, qatro bolas do saco. Seja X a variável aleatória «prodto dos números inscritos nas bolas etraídas». A tabela de distribição de probabilidades da variável X é a seginte. Elabore ma composição na qal: epliqe os valores da variável X jstifiqe cada ma das probabilidades. i 0 PX ^ = i h 5 5 Prova 65.V/.ª F. Página 6/ 8

7 . Considere a fnção f, de domínio R, e a fnção g, de 0, + 6, definidas por f e e = ^ h + e g ^ h= ln^h + e.. Mostre qe ln^+ h é o único zero da fnção f, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos... Considere, nm referencial o. n. Oy, os gráficos das fnções f e g e o triânglo [OAB] Sabese qe: O é a origem do referencial; A e B são pontos do gráfico de f a abcissa do ponto A é o zero da fnção f o ponto B é o ponto de intersecção do gráfico da fnção f com o gráfico da fnção g Determine a área do triânglo [OAB], recorrendo à calcladora gráfica. Na sa resposta, deve: reprodzir os gráficos das fnções f e g, devidamente identificados, inclindo o referencial; assinalar os pontos A e B indicar a abcissa do ponto A e as coordenadas do ponto B com arredondamento às centésimas; apresentar o valor da área pedida com arredondamento às décimas. 5. Considere a fnção f, de domínio R, definida por f ^ h = * ln^+ h ln^h + se 0 e se # 0 Resolva os itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos. 5.. Estde a fnção f qanto à eistência de assíntotas não verticais do se gráfico. 5.. Determine a eqação redzida da reta tangente ao gráfico da fnção f no ponto de abcissa = Prova 65.V/.ª F. Página 7/ 8

8 6. Na Figra 5, está representado m trapézio retânglo [ABCD] D C Sabese qe: BC = CD = a é a amplitde, em radianos, do ânglo ADC a! E r, r ; A Figra 5 B Resolva os itens segintes, recorrendo a métodos eclsivamente analíticos. 6.. Mostre qe o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em fnção de a, por P^ah= + cos a sen a 6.. Para m certo número real i, temse qe tgi = 8, com r i r Determine o valor eato de Pl^ih Comece por mostrar qe Pl^ah= cos a sena FIM COTAÇÕES GRUPO I. a 8... (8 5 pontos)... 0 pontos 0 pontos GRUPO II pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos pontos 60 pontos TOTAL pontos Prova 65.V/.ª F. Página 8/ 8