VERSÃO 1. Prova Escrita de Matemática A. 12.º Ano de Escolaridade. Prova 635/1.ª Fase. Entrelinha 1,5, sem figuras

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1 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Escrita de Matemática A.º Ao de Escolaridade Decreto-Lei.º 9/0, de 5 de jlho Prova 65/.ª Fase Págias Etreliha,5, sem figras Dração da Prova: 50 mitos. Tolerâcia: 0 mitos. 06 VERSÃO Nos termos da lei em vigor, as provas de avaliação etera são obras protegidas pelo Código do Direito de Ator e dos Direitos Coeos. A sa divlgação ão sprime os direitos previstos a lei. Assim, é proibida a tilização destas provas, além do determiado a lei o do permitido pelo IAVE, I.P., sedo epressamete vedada a sa eploração comercial. Prova 65.V/.ª F. Págia /

2 Idiqe de forma legível a versão da prova. Utilize apeas caeta o esferográfica de tita azl o preta. É permitido o so de réga, compasso, esqadro, trasferidor e calcladora gráfica. Não é permitido o so de corretor. Risqe aqilo qe pretede qe ão seja classificado. Para cada resposta, idetifiqe o grpo e o item. Apresete as sas respostas de forma legível. Apresete apeas ma resposta para cada item. A prova icli m formlário. As cotações dos ites ecotram-se o fial do eciado da prova. Prova 65.V/.ª F. Págia /

3 Formlário Geometria Comprimeto de m arco de circferêcia: ar^a-amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r -raioh Área de m polígoo reglar: Semiperímetro # Apótema Área de m sector circlar: ar ^a -amplitde, emradiaos, doâglo ao cetro; r -raioh Área lateral de m coe: r rg^r- raio da base; g- geratrizh Área de ma sperfície esférica: 4rr ^r - raioh Volme de ma pirâmide: # Áreadabase # Altra Volme de m coe: # Áreadabase # Altra Volme de ma esfera: 4 rr ^r- raioh Progressões Soma dos primeiros termos de ma progressão _ i: Progressão aritmética: + # Progressão geométrica: r # - - r Trigoometria se] a+ bg= sea cosb+ seb cosa cos] a+ bg= cosa cosb- sea seb tga+ tgb tg ] a+ bg= - tga tgb Prova 65.V/.ª F. Págia /

4 Compleos Limites otáveis ^tcisih = t cis ^ih tcisi = t cisb i+ kr l ] k!! 0,, - + e! Ng f limb + l = e lim se = " 0 ^! Nh Probabilidades = p+ f + p lim " 0 e - = lim l ^ + h = " 0 v = p ] - g + f + p ^ - h lim " + l = 0 Se X é N] v, g, etão: lim " + e p = + ^p! Rh P] - v X + vg. 0687, P] - v X + vg , P] - v X + vg. 0, 997 Regras de derivação ^+ vhl = l + vl ^vhl = v l + vl l v l = - vl ` v j v ^ hl - = l ^! Rh ^sehl = l cos ^coshl =-l se ^tg hl = l cos ^ e hl = l e ^ a hl = l a l a ^a! R + ", h ^l hl = l log a l l ^ h = l a ^a! R + ", h Prova 65.V/.ª F. Págia 4/

5 GRUPO I Na resposta aos ites deste grpo, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra qe idetifica a opção escolhida.. Seja W, cojto fiito, o espaço de resltados associado a ma certa eperiêcia aleatória. Sejam A e B dois acotecimetos (A Ì W e B Ì W). Sabe-se qe: P^Ah= PB ^ h= 5 0 P`A Bj= 6 Qal é o valor de P`A, Bj? (A) 5 4 (B) 0 7 (C) 0 (D) 9 0. Seja X ma variável aleatória com distribição ormal de valor médio 0 Sabe-se qe P^7 X 0h= 0, Qal é o valor de P^X h? (A) 0, (B) 0, (C) 0, (D) 0,4 Prova 65.V/.ª F. Págia 5/

6 . Seja a m úmero real diferete de 0 a Qal é o valor de lim ae a " a a? (A) 4 (B) (C) (D) 4. Seja f ma fção de domíio R Sabe-se qe: lim " f^h+ e = o gráfico de f tem ma assítota oblíqa. Qal é o declive dessa assítota? (A) (B) (C) (D) Prova 65.V/.ª F. Págia 6/

7 5. Cosidere, m referecial o.. Oy, a circferêcia de cetro O e raio (círclo trigoométrico). Cosidere aida o trapézio retâglo o poto N tem coordeadas ^0, h o poto O é a origem do referecial; 6 NOPQ@ em qe: o poto P pertece ao qarto qadrate e à circferêcia; o poto Q é o poto do primeiro qadrate tal qe o segmeto de reta e o segmeto de reta 6 PQ@ é paralelo ao eio Oy 6 NQ@ é paralelo ao eio O Seja a a amplitde de m âglo orietado cjo lado origem é o semieio positivo O e cjo lado etremidade é a semirreta OP o Qal das epressões segites dá a área do trapézio 6 NOPQ@, em fção de a? (A) (B) cosa cosa + seacosa seacosa (C) cosa + (D) cosa seacosa seacosa 6. Seja i m úmero real pertecete ao itervalo, Dr r : Cosidere o úmero compleo z = cisi A qe qadrate pertece a imagem geométrica do compleo z? (A) Primeiro (B) Segdo (C) Terceiro (D) Qarto Prova 65.V/.ª F. Págia 7/

8 7. Cosidere m triâglo isósceles 6 ABC@ em qe: AB = AC = ABC t = 75 o Qal é o valor do prodto escalar AB. AC? (A) (B) (C) (D) 8. Cosidere as scessões _ i e ^v h de termos gerais = k+ (k é m úmero real) e v l = ; b + l E Sabe-se qe lim ^ h= lim ^v h Qal é o valor de k? (A) (B) (C) e (D) e Prova 65.V/.ª F. Págia 8/

9 GRUPO II Na resposta aos ites deste grpo, apresete todos os cálclos qe tiver de efetar e todas as jstificações ecessárias. Qado, para m resltado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato.. Em C, cojto dos úmeros compleos, cosidere z = 8cisi e z = cis_ ii + i Determie o valor de i pertecete ao 0, r 6, de modo qe z # z seja m úmero real.. Cosidere ove bolas, qatro meradas com o úmero, qatro com o úmero e ma com o úmero 4... Colocam-se as ove bolas, qe são idistigíveis ao tato, m saco vazio. Em segida, retiram-se, simltaeamete e ao acaso, das bolas desse saco. Seja X a variável aleatória: «prodto dos úmeros das das bolas retiradas». Costra a tabela de distribição de probabilidades da variável X Apresete as probabilidades a forma de fração irredtível... Cosidere agora qe se colocam as ove bolas lado a lado, de modo a formar m úmero com ove algarismos. Qatos úmeros ímpares diferetes se podem obter? Prova 65.V/.ª F. Págia 9/

10 . Cosidere, m referecial o.. Oyz, ma pirâmide qadraglar reglar 6 ABCDV@ Sabe-se qe: a base 6 ABCD@ da pirâmide é paralela ao plao Oy o poto A tem coordeadas ^,, h o poto C tem coordeadas ^,, h o segmeto de reta 6 AC@ é ma diagoal da base da pirâmide; o poto V, vértice da pirâmide, tem cota sperior a o plao BCV é defiido pela eqação y+ z 0= 0.. Escreva ma codição qe defia a sperfície esférica de cetro o poto A e qe é tagete ao plao Oy.. Determie as coordeadas do poto V.. Seja a o plao perpediclar à reta AC e qe passa o poto P^,, h A itersecção dos plaos a e BCV é ma reta. Escreva ma eqação vetorial dessa reta. Prova 65.V/.ª F. Págia 0/

11 4. Nm dia de veto, são observadas oscilações o tableiro de ma pote sspesa, costrída sobre m vale. Medi-se a oscilação do tableiro da pote drate m mito. Admita qe, drate esse mito, a distâcia de m poto P do tableiro a m poto fio do vale é dada, em metros, por h^th= 0 + cos^rth+ tse^rth (t é medido em mitos e pertece a 0, r Resolva os ites 4.. e 4.. recorredo a métodos aalíticos e tilizado a calcladora apeas para efetar cálclos méricos. 4.. Sejam M e m, respetivamete, o máimo e o míimo absoltos da fção h o itervalo A amplitde A da oscilação do tableiro da pote, este itervalo, é dada por A= M m Determie o valor de A Apresete o resltado em metros. 4.. Determie o valor de h c da sitação descrita. m, arredodado às cetésimas, e iterprete o resltado obtido o coteto Prova 65.V/.ª F. Págia /

12 5. Seja f ma fção, de domíio R, cja derivada, f', de domíio R, é dada por f e '^ h = ` + + j Resolva os ites 5.. e 5.. recorredo a métodos aalíticos, sem tilizar a calcladora. 5.. Sejam p e q dois úmeros reais tais qe p = lim " f ^h f ^ h + e q = p Determie o valor de q e iterprete geometricamete esse valor. 5.. Estde a fção f qato ao setido das cocavidades do se gráfico e qato à eistêcia de potos de ifleão. Na sa resposta, apresete: o(s) itervalo(s) em qe o gráfico de f tem cocavidade voltada para baio; o(s) itervalo(s) em qe o gráfico de f tem cocavidade voltada para cima; a(s) abcissa(s) do(s) poto(s) de ifleão do gráfico de f 6. Cosidere a fção f, de + 6, defiida por f l ^ h = d + Resolva os ites 6.. e 6.. recorredo a métodos aalíticos, sem tilizar a calcladora. 6.. Estde a fção f qato à eistêcia de assítotas verticais do se gráfico. 6.. Seja a m úmero real maior do qe Mostre qe a reta secate ao gráfico de f os potos de abcissas a e referecial. a passa a origem do FIM Prova 65.V/.ª F. Págia /

13 COTAÇÕES GRUPO I. a 8... (8 5 potos) potos 40 potos GRUPO II potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos potos 60 potos TOTAL potos Prova 65.V/.ª F. Págia /