Escola Politécnica da USP, Caixa Postal 61548, São Paulo, SP, CEP

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1 CONTROLE ANTI-BALANÇO DE TEMPO MÍNIMO USANDO PROGRAMAÇÃO LINEAR APLICADO A UM DESCARREGADOR DE NAVIOS JOSÉ JAIME DA CRUZ, FABRIZIO LEONARDI, CÍCERO COUTO DE MORAES Escola Poliécica da USP, Caixa Posal 61548, São Palo, SP, CEP Cero Uiversiário da FEI, Av. H. A. C. Braco, 397, São Berardo do Campo, SP, CEP s: jaime@lac.sp.br, abrizio@ei.ed.br, cicero@pea.sp.br Absrac The se o Liear Programmig o solve he miimm-ime ai-swig corol o a ship loader crae is proposed i his paper. The corol variable cosidered is he rolley acceleraio. The ship loader dyamic model is discreized assmig ha he corol variable is piecewise cosa. Physical bods associaed o he elecromechaical drivig sysem are iclded i he problem i he orm o cosrais o boh he rolley speed ad acceleraio. The grab cable legh as a cio o ime is assmed give. Boh he ormlaio ad solio o he problem are qie simple, which is i coras wih he radiioal Two-Poi Bodary Vale Problem ha resls rom he applicaio o he Poryagi s Maximm Priciple o i. Keywords Opimal Corol, Liear Programmig, Miimm-Time Corol, Ai-Swig Corol, Crae Corol. Resmo Ese rabalho descreve o so da Programação Liear a solção do problema de corole ai-balaço de empo míimo de m descarregador de avios. A aceleração do carro o pórico é a variável de corole. A diâmica do descarregador é discreizada admiido qe a variável de corole seja cosae por rechos. Cosideram-se as resrições associadas às limiações do acioameo elero-mecâico ao a velocidade como a aceleração do carro. O comprimeo do cabo qe ssea a caçamba é cosiderado cohecido em odos os isaes. A simplicidade, ao da ormlação como da solção do problema, corasa com o radicioal Two-Poi Bodary Vale Problem qe resla da aplicação do Pricípio do Máximo de Poryagi ao problema. Palavras-chave Corole Óimo, Programação Liear, Corole de Tempo Míimo, Corole Ai-Balaço, Corole de Gidase. 1 Irodção O problema de corole ai-balaço de descarregadores de avios em sido amplamee ivesigado (Al-Gari, 1995), (Aerig, 1987), (Golashai, 1995), (Lee, 005), (Liag, 1997), (Mia, 1979), (Saawa, 198), (Scarda, 003). Uma variedade de abordages êm sido proposas para raar do problema de empo míimo, depededo do modelo maemáico adoado, das codições de cooro a serem saiseias e do ídice de desempeho a ser miimizado. Nas operações de descarga de avios, m problema imporae é a oimização do movimeo ere o avio e a moega, saisazedo ao as resrições do eqipameo como as codições de cooro especíicas. O descarregador ilsrado a Fig. (1) é basicamee m sisema carro-pêdlo, ode o comprimeo do pêdlo pode ser ameado/dimiido, idepedeemee do movimeo do carro. Uma caçamba localizada a exremidade do cabo de içameo é sada para recolher e rasporar o maerial a ser descarregado. O ciclo de descarga aomáico iicia-se e ermia m poo localizado acima do covés do avio. A caçamba é descarregada m oro poo dado, localizado acima da moega, ode o carro deve parar. A rajeória ai-balaço especiicada aqi, cosidera qe a caçamba eseja em reposo ao o iício como o ial do ciclo, bem como ao aigir o poo de descarga. Um operador hmao corola a colea de maerial com a caçamba e se movimeo verical dero do avio drae o iervalo de empo ere o ial de m ciclo aomáico de descarga e o iício de oro. Nma implemeação real, m cojo de solções do problema pode ser previamee calclado e armazeado ma abela. Ese cojo pode ser paramerizado pelo valor do comprimeo do cabo o isae do iício do ciclo. Drae a operação, m procedimeo ipo loop able pode ser sado para selecioar a solção mais apropriada para cada siação pariclar. Aspecos práicos imporaes como a elevação do avio em relação ao ível do mar drae a operação de descarga e a ilêcia das marés, porao, podem ser raadas com a presee proposa. Várias abordages para lidar com o corole de gidases com içameo de cargas podem ser ecoradas a lierara. Na reerêcia (Saawa, 198), os aores cosideram a miimização do balaço da carga a raserêcia de m coaier sjeio a m cojo especíico de codições de cooro. Um

2 algorimo para o cálclo do corole óimo é proposo por meio da solção de m Two-Poi Bodary Vale Problem (TPBVP). Figra 1. Esqema do descarregador de avios. A reerêcia (Aerig, 1987) coém ma abordagem para resolver o problema de raserêcia de ma carga em içameo em empo-míimo sado o Pricípio do Máximo de Poryagi. Os movimeos do carro e do içameo são obidos sjeios à codição de qe a carga eseja em reposo ao o iício como o ial do movimeo. Os sbsisemas mecâico e elérico são modelados em dealhes. O cálclo das rajeórias de empo óimo para gidases do ipo orre é cosiderado a reerêcia (Golashai, 1995). Um modelo maemáico de empo discreo é obido e o cálclo de camihos sb-óimos é realizado com resrições o esado por meio de m méodo de Programação Qadráica Seqüecial. A abordagem reqer ma boa esimaiva iicial para a dração míima do empo de percrso. No arigo (Scarda, 003), descreve-se o so de Apredizado por Reorço (AR) para o cálclo do corole óimo ai-balaço. O ciclo de descarga oi sbdividido em seis sb-areas e m problema de oimização oi deiido para cada ma delas. Um algorimo AR jo com ma rede eral do ipo percepro mlicamada oram ilizados a oimização. No presee arigo apresea-se ma orma aleraiva e simples para se resolver o problema com o so da Programação Liear (PL). A aceleração do carro oi escolhida como a variável de corole. O comprimeo do cabo da caçamba é cosiderado dado como ção do empo. Esa hipóese é essecial para se ober m modelo diâmico liear, embora variae o empo. A diâmica do descarregador de avios é iicialmee modelada como m sisema de eqações diereciais. Ela eão é discreizada admiido qe a variável de corole é cosae por rechos. Resrições ao a velocidade como a aceleração do carro oram cosideradas para se represear as limiações do acioameo elero-mecâico. O objeivo dese arigo é ober a lei de corole de empo míimo para m ciclo de descarga. É m ao bem cohecido qe a bsca por solções de problemas de corole óimo com resrições é, em geral, ma area diícil evolvedo o so o Pricípio do Máximo de Poryagi (Kamie, 1981), (Seiersed, 1977). A idéia pricipal por rás da solção proposa aqi é imizar o valor médio da velocidade do carro drae o movimeo do gidase. Ese é o poo-chave qe os permie ormlar o problema por meio da PL. As pricipais vaages desa abordagem são: ( algorimos de PL são, ipicamee, ão ieraivos; (i eles são sempre coclsivos em relação à exisêcia de ma solção, iso é, se a solção exise, eles a ecoram e, se ão exisem, eles deecam ese ao. Esas caracerísicas esão em corase com a maioria dos algorimos TPBVP, os qais, salmee reqerem ma boa esimaiva iicial em algma vizihaça da solção. Dados de m descarregador de avio operado o Poro de Sepeiba - RJ oram sados para ilsrar o méodo. O resae do arigo é orgaizado da segie orma. A seção descreve o modelo maemáico adoado do descarregador de avios. A seção 3 apresea a abordagem proposa para resolver o problema de empo míimo por meio de ma seqüêcia de problemas de alcace máximos. A seção 4 coém a discreização desses problemas e sa ormlação via PL. Os reslados obidos são apreseados a seção 5. Fialmee, a seção 6 resme os pricipais poos do arigo. Ao logo do exo m aceo circlexo sobre ma variável idica qe ela esá expressa em idades de egeharia, exceção eia a θˆ, qe é medida em radiaos. A asêcia do circlexo idica qe a variável é adimesioal. As derivadas em relação ao empo adimesioal são deoadas por poos sobre as variáveis. O Modelo Maemáico O modelo de empo coío apreseado esa seção é o mesmo apreseado a reerêcia (Aerig, 1987). Cosidera-se qe o acioameo elérico do carro seja al qe ma dada aceleração ˆ possa ser imposa a ele. Em oras palavras, û pode ser escolhida como variável de corole. Como coseqüêcia, a diâmica do sisema resla idepedee da massa da caçamba. Além disso são eias as segies hipóeses: a esrra do gidase é cosiderada iiiamee rígida, os eeios dissipaivos são desprezados (embora esa hipóese ão seja essecial, podedo ser removida sem qalqer diicldade adicioal), a carga é m poo maerial, o cabo ão possi massa, a vari-

3 ação o comprimeo do cabo devido ao balaço da carga é desprezível e a ilêcia da aceleração de içameo o balaço da carga é desprezível. Vale dizer qe ais hipóeses são sais ese coexo e oram eias por iúmeros aores (Al-Gari, 1995), (Aerig, 1987), (Behidjeb, 1995), (Golashai, 1995), (Liag, 1997), (Saawa, 198), (Srip, 1989). Deie-se o segie cojo de variáveis adimesioais: embora variae o empo. Ese ao é essecial para a abordagem por PL descria a segir. ˆ = (1) ˆ em qe, = gˆ ˆ λ ˆ () σ θ ˆ σ gˆ λ mi = (3) ˆ ˆmi gˆ ˆ ˆ θ = (4) ˆ λ λ = (5) ˆ λ v vˆ mi gˆ ˆ λ mi = (6) ˆ ˆ ˆ(ˆ) û ˆ ˆ é o empo, = d σ d é a aceleração do carro, é a aceleração máxima do carro, ĝ é o módlo da aceleração da gravidade local, λˆ é ˆλ mi o comprimeo aal do cabo da caçamba, é o comprimeo míimo do cabo drae m ciclo de descarga, σˆ é a posição do carro, θˆ é âglo do cabo da caçamba em relação à verical e vˆ = ˆ σ é a velocidade do carro. O descarregador de avios pode ser modelado como m sisema do ipo carro-pêdlo, coorme esboçado a Fig. (). Em codições sais de rabalho e a asêcia de balaço da carga os limies do ciclo, o âglo da caçamba em relação à verical é peqeo. Como coseqüêcia, as eqações do sisema diâmico podem ser liearizadas e escrias como (Aerig, 1987): σ = (7) λ θ + λθ + θ =, (8) em qe λ é cosiderado aqi ma ção dada do empo. Ese sisema de eqações é claramee liear, Figra. Esqema do sisema carro-pêdlo. 3 O Problema de Tempo Míimo Nesa seção, cosidera-se somee meade do ciclo de descarga, correspodee, por exemplo, ao recho avio-moega - a ora meade é aáloga e pode ser resolvida exaamee da mesma orma. Cosidera-se qe ao o carro como a caçamba, esejam em reposo em = 0. Sem perda de geeralidade, adoa-se o segie cojo de codições iiciais: σ ( 0) = 0 (9) σ ( 0) = 0 (10) θ ( 0) = 0 (11) θ( 0) = 0 (1) Cosiderado-se qe o isae ial = a posição σ do carro é dada e qe ao o carro como a caçamba esejam em reposo, eão pode-se escrever σ ) = σ (, (13) σ ( ) = 0 (14) θ ( ) = 0 (15) θ ( ) = 0 (16) As limiações do eqipameo exigem qe, para odo 0, ], [ ( 1 (17)

4 em qe σ σ ( ) σ, (18) é a velocidade máxima do carro. No problema de empo míimo, o objeivo é miimizar em relação a, o seja, mi. (19) A imização da velocidade média v 0, ) [ 0, ] ( o iervalo é eqivalee à miimização do empo de percrso. Assim, a solção do problema de empo míimo, dado pelas Eqs. (7)-(19), pode ser idireamee obida resolvedo-se ma seqüêcia de problemas de alcace máximo. Spodo-se qe seja dado, imizar a velocidade média é aálogo a resolver o problema σ ( ), (0) sjeio às resrições dadas pelas Eqs. (7)-(1) e (14)- (18), cjo valor óimo será deoado aqi * por σ ( ). Como ão é cohecido a priori, se valor pode ser deermiado ieraivamee o iervalo cjo limie ierior é σ v e cjo limie sperior pode, por exemplo, ser obido dobrado-se o valor do limie ierior aé qe o valor obido de seja al * qe σ ( ) > σ. Um algorimo de bsca biária é ma boa escolha para deermiar ovos iervalos de * bsca aé qe σ ( ) σ < ε, em qe ε > 0 é a olerâcia dada. 4 Solção dos Problemas de Alcace Máximo Nesa seção o problema de imização da Eq. (0) é discreizado e escrio a orma de m problema de PL. Admie-se qe seja cosae por rechos. Do poo de visa práico, esa hipóese é razoável se m úmero de passos sicieemee grade é escolhido e o passo de empo é omado como [ i 1 i Δ = = i i 1 ( 1 i ), (1) em qe 0 e =. Absado-se da oação, é sado para represear o valor de para odo o i-ésimo iervalo de empo, ). Levado em cosideração as Eqs. (9)-(10), a solção da Eq. (7) pode ser escria de imediao como σ ( ) = Δ () ( Δ σ ( ) = [ ( + 1], (3) para 0 em qe σ () e σ () deoam, respecivamee, os valores de σ ( e σ ( o isae = Δ. A Eq. (0) leva eão à ção objeivo ( Δ σ ( ) = [ ( + 1]. (4) Em visa da Eq. (), as codições das Eqs. (14) e (18) podem ser reescrias, respecivamee, como e σ para 1. Δ = 0 (5) ( σ (6) O próximo passo é ober a orma discrea das codições dadas pelas Eqs. (15)-(16). Seja o veor de esados x ( θ θ )] T = [ ( (. (7) x ) ) ( Deoado por x( e, como x ( 0) = 0, ( Eqs. (11)-(1) ), a solção da Eq. (8) pode ser escria como (Frali, 1990): em qe x( ) = Γ (, (8) i i 1 Γ ( = Φ(, b( d, (9) 0 b( = 1 λ( e Φ(.,.) é a mariz rasição de esados associada a (30)

5 0 A( = 1 λ( 1 λ( / λ(. (31) Em visa das Eqs. (7)-(8), as codições dadas pelas Eqs. (15)-(16) podem ser rescrias como Γ ( ) = 0 i (3) Fialmee, a codição da Eq. (17) resla 1 ( ) 1 ( 1 ). (3) Como a ção objeivo da Eq. (4), bem como as codições das Eqs. (5)-(6) e Eqs. (3)-(33), são odas lieares em () para ( 1 ), a Eq. (0) resla a orma de m problema de PL. Figra 4. Velocidade do carro [m/s] x Tempo [s]. 5 Reslados O procedimeo proposo oi sado para projear o corolador qe opera o Poro de Sepeiba, RJ. Os parâmeros sados ese caso oram ˆ σ =,4m s, ˆmi λ = 16m, ˆ λ = 30 m, ˆ = 1, 0m s e ma velocidade cosae de içameo de m s. Uma velocidade cosae de levaameo/abaixameo é ma hipóese razoável ese caso, ma vez qe o empo ecessário para acelerar a caçamba desde 0 aé m s é desprezível. A disâcia horizoal ere o avio e a moega é ˆ σ = 50m. As Figs. (3)-(6) mosram o reslado obido. O meor valor do empo de rajeo oi de 4,3s. Figra 5. Âglo do cabo [gras] x Tempo [s]. Figra 3. Aceleração do carro [m/s ] x Tempo [s]. Figra 6. Velocidade aglar do cabo [gras/s] x Tempo [s].

6 6 Coclsões Ese arigo mosro como deermiar a solção de empo míimo de m descarregador de avios por meio da PL. Propôs-se ma meodologia simples e eiciee. Ela é vaajosa qado comparada com écicas radicioais de corole óimo, pois os algorimos de PL são, ipicamee, ão-ieraivos e sempre coclsivos em relação à exisêcia o ão de ma solção. Essas caracerísicas corasam com a maioria dos algorimos de bsca do corole óimo. O problema de corole óimo cosiderado aqi é de malha abera. Porao, ese caso, cosiderações de robsez ão são periees. Na práica, icerezas do modelo devem ser levadas em cosideração ma segda ase, ode m corolador de malha echada deve ser projeado para acompahar de orma robsa o sial de reerêcia óimo O procedimeo proposo oi sado para projear o corolador qe opera o Poro de Sepeiba, RJ. Uma redção de cerca de 10% o empo de ciclo oi obida essa plaa real. É imporae mecioar qe, desde qe as eqações diâmicas dos modelos do moor e do carro sejam lieares, a mesma abordagem pode ser sada para resolver m problema iclido ais diâmicas o modelo. Com relação ao comprimeo do cabo da caçamba, ma exesão aral dese rabalho seria cosiderá-lo ão como ma ção emporal dada, mas como ma ção a ser deermiada. Agradecimeo J. J. Da Crz é grao ao CNPq pelo apoio iaceiro parcial a esa pesqisa (Proc. No /006-3). Golashai, A. R.; Aplevich, J. D. (1995). Compaio o Time-Opimal Trajecories or Tower Craes. I: Proc. IEEE Co. o Corol Applicaios, Albay, NY. pp Kamie, M. I.; Schwarz, N. L. (1981). Dyamic Opimizaio. Elsevier Norh Hollad. Amserdam. Lee, H. H. (005). Moio Plaig or Three Dimesioal Overhead Craes wih Highspeed Load Hoisig. Ieraioal Joral o Corol, Vol. 78 (1), pp Liag, Y. C.; Koh, K. K. (1997). Cocise Ai-swig Approach or Fzzy Crae Corol. Elecroics Leers, Vol. 33 (), pp Mia, T.; Kaai, T. (1979). Opimal Corol o The Crae Sysem Usig he Maximm Speed o he Trolley (i japaese wih eglish absrac. Tras. Soc. Isrm. Cor. Eg. Vol. 15, pp Saawa, Y.; Shido, Y. (198). Opimal Corol o Coaier Craes. Aomaica. Vol. 18 (3), pp Scarda, L. A.; Da Crz, J. J.; Cosa, A. H. R. (003). Opimal Corol o Ship Uloaders Usig Reiorceme Learig. Ariicial Ielligece i Egieerig. Vol. 16 (3), pp Seiersed, A.; Sydsaeer, K. (1977). Sicie Codiios i Opimal Corol Theory. Ieraioal Ecoomic Review. Vol. 18 (), pp Srip, D. R. (1989). Swig-ree Traspor o Sspeded Objecs: A Geeral Treame. IEEE Tras. o Roboics ad Aomaio. Vol. 5 (), Reerêcias Bibliográicas Al-Gari, A. Z.; Mosaa, K. A. F.; Javeed Nizami, S. S. A. K. (1995). Opimal Corol o Overhead Craes. Corol Eg. Pracice. Vol. 3 (4), pp Alsop, C. F.; Forser, G. A.; Holmes, F. R. (1965). Ore Uloader Aomaio - a Feasibiliy Sdy. I: Proc IFAC Symposim. Toyo, Japa. pp Aerig, J. W.; Troger, H. (1987). Time opimal Corol o Overhead Craes wih Hoisig o he Load. Aomaica. Vol. 3 (4), pp Behidjeb, A.; Gissiger G. I. (1995). Fzzy Corol o a Overhead Crae Perormace Compariso wih Classic Corol. Corol Eg. Pracice. Vol. 3 (1), Frali, G. F.; Powell, J. D.; Worma, M. L. (1990). Digial Corol o Dyamic Sysems. Addiso-Wesley. Readig, MA.