Integral Indefinido - Continuação

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1 - Continação Técnicas de Integração (Primitivação) OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a fnção F() conhecida como primitiva tal qe F () f() o: f() d F() As principais técnicas de primitivação de FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são: INTEGRAÇÃO POR PARTES INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES RACIONAIS INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS

2 Passo Dada a fnção f(g()), faz-se g() Passo Calcla-se dg`()d Passo Faz-se as segintes sbstitições no integral inicial: g() e dg`()d Passo 4 Calcla-se o integral em ordem a Passo 5 Sbstiti-se por g() para obter a solção do integral inicial EXEMPLO 0 Calclar ( ) 50 d Solção Seja Logo: d d d d Assim, o integral é escrito como: () 50 d () 50 5 ( ) d C C

3 EXEMPLO 0 Calclar sen( 9) d Solção Seja 9 Logo: d d d d Assim, o integral é escrito como: sen() d sen() d cos() C cos( 9) C EXEMPLO 0 Calclar sen () cos() d Solção Seja sen() Logo: cos() d d d cos() d Assim, o integral é escrito como: d sen () d C C

4 EXEMPLO 04 e Calclar d Solção Seja Então Logo: d d d d d d Antes da sbstitição, a fnção dada tem de ser escrita de otra forma. e e e d d d Assim, o integral é escrito como: e d e d otra maneira de chegar aqi sem maniplar a fnção dada é fazendo: d d d d e d e d e C e C O seja: e d e C 4

5 EXEMPLO 05 Calclar d Solção Seja Logo: d d Se Então () Assim, o integral é escrito como: ( ) d o: ( ) Portanto: 5 d d 5 d 5 d C 5 5

6 Finalmente: d 7 5 Escrevendo em termos de : C 7 4 d ( ) ( ) ( ) C Algmas Técnicas de Integração por Sbstitição A chave do método da sbstitição é dividir a fnção em partes e depois encontrar ma parte da fnção cja derivada também faça parte dela. Eemplo Podemos dividir a eqação acima em das partes: sen.de cos. sen d cos Repareqeaderivadadocosé-sen,portanto, aderivadadocosseno fazpartedafnção. 6

7 Passos: Procre na fnção ma parte cja derivada esteja na fnção. Se tiver em dúvidas, tente sar a qe está no denominador o algma epressão qe esteja elevada a ma potência; Designe-a por e tome sa derivada com relação ao diferencial (d, dy, dt, etc.). Acrescentando esse diferencial; Use as epressões e d para sbstitir as partes do integral original; O se novo integral será mais fácil de ser calclado, mas não esqeça de, no final, desfazer a sbstitição. Eemplo 06: Use o método de sbstitição para encontrar o integral: Solção sen d cos Devemos escolher parte da fnção cja derivada esteja na fnção, como a derivada de sen cos e a derivada do cos -sen, e, ambas estão na fnção, na dúvida... selecionamos a parte qe está no denominador, isto é, cos. Chamamoscos; Agoraderivamoscomrelaçãoa,portanto:d-sen.d; Como na fnção original a fnção seno é positiva, basta mltiplicar ambos os ladospor paraqeelafiqepositiva; d sen. d 7

8 Solção Basta re-escrever o integral original com as epressões e d ; Integral original: Novo integral: sen. d cos d Qe também pode ser re-escrito como: d Solção d ln Basta calclar: ; C O passo final é desfazer a sbstitição de pelo o valor original: d ln cos C 8

9 Eemplo 07 Use o método de sbstitição para encontrar o integral: Solção Chamamos ; Agora derivamos com relação a, portanto: d.d; Basta re-escrever o integral original com as epressões e d ; Note qe.d não está na eqação original, apenas d. Para ficar apenas com d, fazemos: d d cos(). d Solção Basta re-escrever o integral original com as epressões e d ; Integral original: Novo integral: Qe também pode ser re-escrito: cos(). d d cos. cos. d 9

10 Solção Calclando, temos: cos. d cos. d. sen C Sbstitindo pelo se valor original, teremos: cos. d.sen C EXEMPLO 08 INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X) Sejam as identidades trigonométricas: cos cos sen cos Assim, cos sen d d d cos d 0 sen 0 sen sen C 4 cos d d d d d cos d cos d sen C 0

11 Da mesma forma, tilizando a otra identidade trigonométrica: sen cos C 4 O integral pode ser resolvido fazendo: sen cos d sen cos d ( cos )d 4 cos cos d ( cos) ( cos) d ( cos )d 4 d 4 4 cos d cos d cos d d d sen sen sen 4 cos d sen4 8 sen4 C 8

12 EXEMPLO 09 Determinar ( ) sen( 4 6) d Solção Seja 4 6 Então: d 4 d d ( 4) d ( ) d Mas: Logo, seja: ( ) sen( 4 6) d d ( ) d Assim, d ( ) sen( 4 6) d sen() sen() d Sabe-se qe: sen() d cos() C TABELA

13 Então: ( ) sen( 4 6) d ( cos() C) Portanto: ( ) sen( 4 6) d cos( 4 6) C EXEMPLO 0 Determinar d Solção Seja Então: d d ( ) d d Na integral original, fazer: d d d

14 4 Mas: d d d d d C d d d O segndo integral a ser resolvido é: TABELA C a ln d a d a d d onde: a d d

15 5 Portanto: C 4 ln d Então, finalmente: C 4 ln d FIM Bibliografia: