Sonia Elena Palomino Castro Bean Daniel Noberto Kozakevich. Álgebra Linear I

Transcrição

1 Soia Elea Palomio Castro Bea Daiel Noberto Kozakevich Álgebra Liear I Floriaópolis, 008

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3 Uiversidade Federal de Sata Cataria Cosórcio ReDiSul Campus Uiversitário ridade Caixa Postal 476 CEP Floriaópolis SC Reitor: Alvaro oubes Prata Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva Secretário de Educação a Distâcia: Cícero Barbosa Pró-Reitoria de Esio de Graduação: Yara Maria Rauh Muller Departameto de Educação à Distâcia: Araci Hack Catapa Pró-Reitoria de Pesquisa e Extesão: Débora Peres Meezes Pró-Reitoria de Pós-Graduação: José Roberto O Shea Pró-Reitor de Desevolvimeto Humao e Social: Luiz Herique Vieira Silva Pró-Reitor de Ifra-Estrutura: João Batista Furtuoso Pró-Reitor de Assutos Estudatis: Cláudio José Amate Cetro de Ciêcias da Educação: Carlos Alberto Marques Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas: Méricles hadeu Moretti Cetro de Filosofia e Ciêcias Humaas: Maria Juracy Filgueiras oeli Cursos de Liceciaturas a Modalidade à Distâcia Coordeação Acadêmica Matemática: Neri ereziha Both Carvalho Coordeação de Ambietes Virtuais: Nereu Estaislau Buri Coordeação de Ifra-Estrutura e Pólos: Vladimir Arthur Fey Comissão Editorial Atôio Carlos Gardel Leitão Albertia Zatelli Elisa Zuko oma Igor Mozolevski Luiz Augusto Saeger Roberto Corrêa da Silva Ruy Coimbra Charão

4 Coordeação Pedagógica das Liceciaturas à Distâcia UFSC/CED/CFM Coordeação: Roseli Ze Cery Núcleo de Formação Resposável: Nilza Godoy Gomes Núcleo de Criação e Desevolvimeto de Material Resposável: Isabella Befica Barbosa Desig Gráfico e Editorial: Carlos A Ramirez Righi, Diogo Herique Ropelato, Mariaa da Silva Adaptação Desig Gráfico: Diogo Herique Ropelato, Marta Cristia Goulart Braga, Natal Aacleto Chicca Juior Produção Gráfica e Hipermídia: hiago Rocha Oliveira Desig Istrucioal: Gislaie eixeira Borges Guérios Revisão Ortográfica: Christiae Maria Nues de Souza, Gustavo Adrade Nues Freire Preparação de Gráficos: Gabriela Dal oé Fortua Editoração Eletrôica: Laura Martis Rodrigues, Flaviza Righeto Núcleo de Pesquisa e Avaliação Resposável: Claudia Regia Flores Copyright 008, Uiversidade Federal de Sata Cataria / Cosórcio RediSul Nehuma parte deste material poderá ser reproduzida, trasmitida e gravada, por qualquer meio eletrôico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Coordeação Acadêmica do Curso de Liceciatura em Matemática a Modalidade à Distâcia Ficha Catalográfica K88a Kozakevich, Daiel Álgebra Liear I / Daiel Norberto Kozakevich, Soia Elea Palomio Castro Bea - Floriaópolis : UFSC/EAD/CED/CFM, p ISBN Álgebra liear I Bea, Soia Elea P Castro II ítulo CDU 564 Elaborada pela Bibliotecária Eleoora M F Vieira CRB 4/786

5 Sumário Matrizes 9 Matriz ipos de Matrizes 6 Operações com Matrizes 4 4 Determiates 40 5 Matriz Adjuta: Adj (A) 50 6 Iversa de uma Matriz 5 Exercícios Propostos 68 Resumo 70 Bibliografia Cometada 7 Sistemas Lieares 7 Prelimiares 75 Sistemas Lieares 8 Decomposição LU 08 Exercícios Propostos Resumo4 Bibliografia Cometada4 Espaços Vetoriais 7 Itrodução 9 Espaços Vetoriais 4 Subespaços Vetoriais 4 Espaços Gerados 40 5 Idepedêcia Liear 47 6 Bases e Dimesão 60 7 Subespaços Associados a Matrizes e Computação de Bases 8 8 Espaços Liha/Colua e os Sistemas Lieares 85 9 Mais Exemplos sobre Computação de Bases 86 Exercícios Propostos 88 Resumo 00 Bibliografia Cometada 0 4 rasformações Lieares 05 4 Itrodução 07 4 Operações com rasformações Lieares 8

6 4 A Imagem e o Núcleo de uma rasformação Liear 8 44 rasformações Ijetoras, Sobrejetoras e Isomorfismos 45 Represetação Matricial de rasformações Lieares 9 46 Semelhaça Matrizes e rasformações Lieares, Equivalêcias e Propriedades 5 Exercícios Propostos 5 Resumo 6 Bibliografia Cometada 64

7 Apresetação A Álgebra Liear é o estudo dos espaços vetoriais e das trasformações lieares defiidas etre eles Quado os espaços têm dimesões fiitas, as trasformações lieares podem ser represetadas por matrizes ambém com matrizes podem ser represetadas as formas bilieares e, mais particularmete, as formas quadráticas Assim a Álgebra Liear, além de vetores e trasformações lieares, lida também com matrizes e formas quadráticas São umerosas e bastate variadas as situações, em Matemática e em suas aplicações, ode esses objetos se apresetam Daí a importâcia cetral da Álgebra Liear o esio da Matemática Neste livro se itroduzem os coceitos da Álgebra Liear, desde os mais simples, que são as matrizes, até os mais abstratos, quado se trata do estudo de espaços vetoriais odos esses coceitos são apresetados, detro do possível, de uma forma acessível, ajudado a compreesão com muitos exemplos, exercícios resolvidos e propostos ambém, com o objetivo de facilitar a compreesão do coteúdo, colocamos algus tópicos com detalhes e justificações que usualmete ão são expostos os livros tradicioais Este texto pretede forecer coceitos suficietes para que os estudates cosigam ter acesso ao ível dos livros avaçados Isto ão sigifica deixar para trás as possibilidades que oferece a utilização de um software matemático ou igorar as aplicações, o favor de uma exclusiva e úica compreesão da Matemática Sigifica que se pretede, pricipalmete, que o leitor obteha uma compreesão global dos coceitos (como por exemplo, que a multiplicação de uma matriz por um vetor pode ser etedida como a aplicação de uma trasformação liear) e também cosiga acompahar as provas e demostrações O primeiro capítulo trata de Matrizes e Aplicações No segudo capítulo, se estudam os Sistemas Lieares, começado com uma breve revisão dos coceitos da Geometria Aalítica, para poder eteder em uma forma geométrica como é que tais sistemas podem ser caracterizados No terceiro capítulo defie-se Espaço Vetorial, um coceito básico da Álgebra Liear que proporcioa uidade e precisão aos assutos esseciais da Matemática E fialmete, o quarto capítulo itroduz a oção de rasformação Liear e as relações que existem etre trasformações lieares e matrizes

8 Embora a apresetação esteja focalizada sobre os pricipais tópicos da Álgebra Liear, ão pressupõe que os estudates possuam desde o iício uma prática em trabalhar com coceitos que demadem certos íveis de abstração, aida que desejável Em lugar disso, esta atividade é estimulada através dos muitos exemplos e exercícios que diferem das verificações rotieiras ou uso de técicas de resolução O objetivo está colocado pricipalmete em desevolver, sedo o material usual de um curso de graduação, o ível de maturidade matemática de um estudate da Liceciatura de Matemática Soia Elea Palomio Castro Bea Daiel Noberto Kozakevich

9 Matrizes

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11 Matrizes Neste capítulo será forecida uma série de coceitos, algus deles cohecidos por você, que permitirão tato a formulação e processo de prova de propriedades e teoremas quato à prática através de muitos exemplos para o estudo das matrizes Além desses coceitos, icluiremos ode eles podem ser aplicados, o que será a base do desevolvimeto dos próximos capítulos Matriz As matrizes são estruturas matemáticas que podem ser ecotradas em muitos problemas do osso dia-a-dia Por isso, este capítulo, iiciaremos o estudo das matrizes com um problema vido do osso cotidiao Problema Já pesou que a temperatura que temos em cada estação do ao pode ser registrada dia-a-dia e hora a hora (e até miuto a miuto!), com ajuda de dispositivos especiais? Isso é feito pelo Istituto de Metrologia de cada uma das regiões Pesemos esse problema colhedo parte das iformações que possamos ecotrar um dos arquivos de dados aos quais temos acesso (e que seja do osso iteresse, claro!!) Esse problema será relatado a seguir: As temperaturas de cico cidades brasileiras as primeiras horas da mahã de um determiado dia (e durate o ivero) foram registradas da forma seguite: Cidade : São Joaquim (SC) às horas da mahã apreseta graus cetígrados; Cidade : Rio de Jaeiro (RJ) às 5 horas da mahã apreseta 4 graus cetígrados; Cidade : urvo (SC) às 7 horas da mahã apreseta 5 graus cetígrados;

12 Cidade 4: Floriaópolis (SC) às 9 horas da mahã apreseta 6 graus cetígrados; Cidade 5: São Luis (MA) às horas da maha apreseta 0 graus cetígrados Essas iformações podem ser arrajadas uma tabela de várias formas, como as apresetamos a seguir: Cidade emperatura Cidade Hora Hora emperatura Hora Cidade Observe que dessa forma as iformações estão dispostas em forma vertical, mais também podemos colocar as mesmas iformações em forma horizotal Perguta De que forma podem ser arrajados os dados acima de modo a estarem dispostos horizotalmete? Por exemplo, a terceira tabela pode ser disposta da seguite maeira: H Deixamos de atividade pra você, completar essa disposição horizotal o caso das outras tabelas

13 Cotiuado com o Problema, supohamos que por algum motivo é do osso iteresse os dados do arrajo dado por esta última tabela usada Assim, podemos formular o seguite: Em cico cidades brasileiras, em determiadas horas, foram registradas as seguites temperaturas: H Observação A mesma iformação poderia ter sido colocada da seguite forma: H Os úmeros dados os dois jeitos de arrajar ossos dados estão os forecedo o que deomiaremos como Matriz Defiição de matriz É de osso iteresse trabalhar apeas com úmeros reais este livro, assim sedo tudo o que será defiido mais adiate, o caso das matrizes ou vetores, será com elemetos reais (mais adiate você terá a possibilidade de trabalhar com úmeros complexos também!) Uma matriz é um arrajo de úmeros, símbolos, letras, etc, dispostos em lihas e coluas Ordem de uma matriz As matrizes geralmete são deotadas por letras maiúsculas e seus elemetos, dado cada úmero do arrajo, por miúsculas Se uma matriz possui m lihas e coluas diremos que a matriz tem ordem m Exemplo Deomiemos por A e B as duas matrizes defiidas o Problema e a Perguta, respectivamete Assim:

14 5 4 A = e B = A matriz A tem 5 lihas e coluas, ou seja, é de ordem 5 ; já a matriz B tem lihas e 5 coluas e é de ordem 5 O elemeto da ª liha e ª colua da matriz A é igual a 4, ou seja: a = 4 O elemeto da ª liha e 4ª colua da matriz B é igual 9, isto é: b 4 = 9 Quado uma matriz é obtida por algum problema específico (como o explicitado o Problema ) é possível forecer alguma iterpretação aos seus elemetos Por exemplo, as matrizes A e B do Exemplo com elemetos a = e b 4 = 9 podem ser iterpretados da seguite forma: 4 No segudo horário (5 horas da mahã) o segudo valor da temperatura (o Rio de Jaeiro) é 4 graus São 9 horas da mahã quado a temperatura em Floriaópolis é 6 graus E claro, após forecermos todas as iterpretações podemos fazer algumas coclusões: Eu gosto do frio, portato irei para São Joaquim o ivero Não, ão gosto de tato frio, por isso o ivero ficarei o Rio de Jaeiro Bom, você deve estar se pergutado: ode está a matemática esse papo todo? Se estiver fazedo esse tipo de questioameto está ido por um bom camiho, pois a matemática por icrível que pareça está presete em muitas situações! E é isso que esperamos mostrar ao logo deste material! 4

15 Observação A partir de agora serão dados vários exercícios que pediremos à você resolver logo após os coteúdos forecidos Agora verifique se você está acompahado as discussões que fizemos resolvedo os seguites exercícios Exercício Coloque mais alguma codição o Problema para costruir uma matriz de ordem x 5 Dica: Imagie que os dados são colhidos durate dias Exercício Será que você pode imagiar e criar um problema do seu cotidiao diferete do dado acima para chegar uma matriz? Para cada posição i : liha, j : colua (posição (i, j ) ), do arrajo de uma matriz A podemos colocar um elemeto, em geral, como a ij Assim uma matriz com m elemetos pode ser escrita a seguite forma estedida: a a a j a a a a j a A = ai ai aij ai am am amj am ambém, podemos colocá-la a forma abreviada A = aij m Assim, a matriz A de ordem m, possui m elemetos da forma a ij com i =,, me j =,, Em algus livros pode, também, ser ecotrada outra forma ao deotarmos uma matriz, A= ( a ij ) m 5

16 Muitas vezes é forecida uma lei de formação para obtermos os elemetos de uma matriz Por exemplo, se A= a ij com aij = i+ j com m = e =, estaremos costruido a seguite matriz A : A = = Exemplo Vamos obter a matriz B= ( b ij ) 4, de ordem 4 cujos elemetos são da forma b ij j i, i =, = 0, i = Solução Observe que ão há ehuma codição para os ídices j, isto é j está variado coforme o úmero de coluas que a matriz tem Já a ª liha ( i = ) todos os elemetos serão ulos Assim sedo, a matriz B é dada por: B = = ipos de Matrizes Matriz Retagular São deomiadas assim aquelas matrizes cujo úmero de lihas é diferete ao úmero de coluas Por exemplo: A = B = e C 0 0 = 9 são matrizes de ordem, 4 5 e, respectivamete Matriz Liha É a matriz que tem apeas uma liha Por exemplo: 6 L = [ 4] M = ( 0 0 8)

17 Observação É comum colocarmos vetores o plao e o espaço como matrizes liha Matriz Colua É a matriz que tem apeas uma colua Por exemplo: B = 0 D = 4 Observação Sabia que um vetor o plao (ou o espaço) pode ser cosiderado como uma matriz colua? Mais adiate (capítulo de Sistemas Lieares) usaremos essa forma ao represetar a solução de um sistema de equações Assim se tivermos duas ou três icógitas elas podem ser alocadas uma forma vetorial o plao ou o espaço, respectivamete, você otará isso o livro do Prof Regialdo citado o fial deste capítulo 4 Matriz Nula É a matriz cujos elemetos são todos ulos Por exemplo: 0 0 O = O = Estes tipos de matrizes geralmete são deotadas pela letra maiúscula O e depededo do problema deverá discerir a ordem da matriz o exercício ou problema em questão Algus autores deotam esta matriz da forma: O = 0 ij m 5 Matriz Quadrada São aquelas matrizes ode o úmero de lihas é igual ao úmero de coluas Nas seguites matrizes, A é uma matriz de ordem e B uma matriz de ordem : A= a ij B = 7 0 7

18 A diagoal pricipal de uma matriz quadrada está dada pelos elemetos a posição i = j Por exemplo, os valores, e 0 são os elemetos da diagoal pricipal da matriz B É deomiada como diagoal secudária os elemetos da matriz cujos ídices cotabilizam o valor i+ j = +, assim, a mesma matriz B dada acima os elemetos, e são aqueles cujos ídices sempre somam i+ j = + = 4, esses elemetos são b, b e b A partir de agora falaremos um pouco mais sobre matrizes quadradas 6 Matriz Diagoal É uma matriz quadrada cujos elemetos fora da diagoal pricipal são todos ão ulos, isto é, a ij = 0 se i j Por exemplo: 0 0 D = E 0 0 = 0 Pelo fato das matrizes diagoais possuírem elemetos, quase sempre ão ulos Apeas a posição ( i, i ) é que elas podem ser deotadas como diag{ d, d,, d m } ou aida a forma diag{ d, d,, d } ode d, d,, d idicam os elemetos diagoais Por exemplo, a matriz D dada ateriormete pode ser escrita como D = diag {,, 6 } 7 Matriz Idetidade é uma matriz diagoal ode todos os elemetos são iguais a um É geralmete deotada com a letra I e com um ídice que deota a ordem, como ilustrado a seguir: 0 = 0 I I =

19 8 Matriz riagular Superior É uma matriz quadrada de ordem cujos elemetos a ij = 0 se i > j Isto é: a a a 0 a a A = 0 0 a 9 Matriz riagular Iferior É uma matriz quadrada de ordem cujos elemetos a ij = 0 se i< j, ou seja: A 0 Matriz Simétrica a 0 0 a a 0 a a a = Quado falamos de elemetos assumido qualquer valor real podemos deotá-lo com a Nesse caso, o símbolo é lido como pertece a e deota os úmeros reais Uma matriz quadrada S, de ordem, é simétrica se aij = a para ji, quaisquer valores dos ídices i, j São exemplos de matrizes simétricas: S 0 = 0 S = a Observe que o elemeto a a posição (4,4) da matriz S 4 ão tem valor umérico, isto é, assume qualquer valor real Exemplo No seguite exemplo, pede-se para ecotrar os valores de t, w, s, z, a, b para obtermos S simétrica: a 0 t x b w 0 S = z z

20 Solução Pela defiição de matriz simétrica, todos os elemetos s ij da matriz S devem ser tais que sij = sji Como a matriz é de ordem = 4 e cosiderado que i, j variam etre e 4, (ou seja, i, j =,, 4 ) ecotramos que: ambém: s = x= = s s = z = 0 = s e de forma similar: Assim, ambém, s = = t = s, 4 4 t = s = z = w= s, como z = 0 e o oposto de zero é ele próprio, etão: w = 0 Por último s = a e s = b, mas ão há ehuma codição para esses valores Portato, a e b são valores reais quaisquer, isto é, a, b Matriz Ati-simétrica = a São exem- Uma matriz quadrada A é ati-simétrica se aij plos de matrizes ati-simétricas as matrizes: ji 0 A = B = Exemplo 4 Dada a matriz S forecida o Exemplo, ecotre os valores de t, w, s, z, a, b para S ser uma matriz ati-simétrica 0

21 Solução Usado um raciocíio similar ao usado o Exemplo e cosiderado que para cada valor de i e j deve se satisfazer aij = aji, ecotra-se x =, z = 0, t =, w = 0, a = 0 e b = 0 Assim: S = Você percebeu que os elemetos da diagoal pricipal das matrizes ati-simétricas forecidas são todos ulos? Isto seria apeas uma coicidêcia? No exemplo seguite, provaremos que este resultado vale para qualquer matriz ati-simétrica Exemplo 5 Prove que os valores da diagoal pricipal de uma matriz ati-simétrica qualquer são todos ulos Solução Se A= a ij é uma matriz ati-simétrica de ordem, os seus elemetos satisfazem a relação aij = aji para quaisquer valores i, j Os elemetos a diagoal pricipal ecotram-se a posição i = j, etão aii = aii Daí, a ii = 0 para qualquer valor de i Em coseqüêcia, a ii = 0 para qualquer i Um exemplo umérico que ilustra o que acabamos de provar foi dado o Exemplo 4 Nele você ecotrou que os valores diagoais são todos ulos! Matriz Elemetar Uma matriz é deomiada elemetar se for obtida por meio de uma mudaça a matriz idetidade Essa mudaça pode ser de um dos seguites tipos:

22 ) a troca de uma liha (ou colua) por outra liha (ou colua) ) a multiplicação de uma liha (ou colua) por um valor ) a soma de uma liha (ou colua) multiplicada pelo valor com outra liha (ou colua) Exemplos: a) A matriz elemetar de ordem obtida ao trocarmos a liha pela liha da matriz idetidade de ordem é dada por: 0 E = 0 A matriz elemetar de ordem 4 obtida ao multiplicar a li- ha da matriz idetidade (de ordem 4) por é dada por: b) E = c) A matriz elemetar de ordem obtida ao multiplicar a liha por e somar com a liha da matriz idetidade (de ordem ) é dada por: E 0 0 = ambém são matrizes elemetares as matrizes: A 0 = B = Agora é com você! Exercício Como foram obtidas as matrizes elemetares A e B ateriores?

23 Igualdade de Matrizes Duas matrizes A e B, de ordem m, são ditas serem iguais se todos os seus elemetos são iguais Isto pode se expressar com a seguite relação de igualdade: O símbolo matemático é lido para todo Na relação dada, i, j é lido para todo elemeto i e para todo elemeto j A expressão a = b, i, j, também pode ser colocada como: ij ij a = b, i {,, m}, j {,, } ij ij Exemplo 6 Foreça codições para estabelecer a igualdade das matrizes A e S dadas abaixo t A = t 0 0 s 0 y t S = t 0 0 Solução Como as matrizes são de ordem 4, teremos i, j {,, 4 } Se A= S, etão, aij = sij i, j {,, 4 }, assim: daí resulta: ambém, com isso: a = 0 = s a = 0 = s = y y = 0 a4 = t = s4 = t t Mais, a4 = t = s4 = t t = 0

24 que implica, t = 0 Por último, t e t = 0, implica t = 0 As matrizes A = e B = possuem os mesmos elemetos, mas ão são iguais, você pode justificar o porquê? Operações com Matrizes A seguir, serão defiidas as operações de adição, produto por um escalar e produto de matrizes Adição de Matrizes Dadas as matrizes A =, a adição das matrizes A e B é a matriz Notação C = A+ B = aij e B b m ij C m = cij, ode c m ij aij bij = +, i, j A+ B= aij + b ij m t Exemplo 7 Se A = e t 0 0 s 0 y t S =, cal t 0 0 cule C = A+ S para t, ye s quaisquer úmeros reais Solução Ao aplicarmos a defiição de soma de matrizes as matrizes A e S, teremos: s y 0 t C =

25 Produto de uma Matriz por um Escalar Na maioria dos casos, um escalar é um úmero real É possível também tomarmos os escalares como úmeros complexos, Os escalares podem ser tomados de qualquer sistema umérico o qual podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir de acordo com as leis habituais da aritmética Dado o escalar, o produto da matriz A pelo escalar é uma matriz da mesma ordem cujos elemetos foram multiplicados pelo valor Em outras palavras, se A= a ij e, o produto de m A pelo escalar é uma matriz C de elemetos cij com cij = aij para todos os valores i, j defiidos a matriz A Isto é: Notação C = A C = cij, tal que c m ij a ij =, i, j Exemplo 8 Multiplique a matriz I 4 pelo escalar = Solução C = I4 = = Nota A= A Produto de Matrizes Dadas as matrizes A = akj e B b t kj =, o produto das matrizes A e B é uma matriz C = c ij cujos elemetos c ij são da forma: c m t = a b ij ik kj k = Isto é, ao defiirmos as matrizes: t A a a a t a a a a a a t = m m mt m t, B b b b b b b e bt bt b t t = C c c c c c c c c c = m m m m 5

26 Os elemetos da matriz produto adotam a forma: c = a b + a b + + a b ij i j i j it tj c t = a b ij ik kj k = Exemplo 9 Seja a matriz A de ordem dada abaixo e a matriz B, de ordem 4, forecida o Exemplo Obter a matriz produto C = AB Solução Desde que o úmero de coluas de A seja igual ao úmero de lihas de B ( t = ), o produto pedido é possível As matrizes explicitadas são dadas respectivamete por: 4 A = , B = Para obtermos a matriz produto c = a b, i =,,, j =,, 4 ij ik kj k = C = AB = c ij com elemetos Percorredo cada valor de i e j dado temos os elemetos da: primeira liha, 4 c = ()() + ()() + (4)(), c = ()() + ()(4) + (4)(9), c = ()() + ()(8) + (4)(7), c 4 = ()() + ()(6) + (4)(8), seguda liha, c = ()() + (4)() + (5)(), c = ()() + (4)(4) + (5)(9), c = ()() + (4)(8) + (5)(7), c 4 = ()() + (4)(6) + (5)(8), e por último os da terceira liha, c = (6)() + (7)() + (8)(), c = (6)() + (7)(4) + (8)(9), c = (6)() + (7)(8) + (8)(7), c 4 = (6)() + (7)(6) + (8)(8) 6

27 Sedo assim, tem-se a seguite matriz: c c c c C c c c c 4 = 4 c c c c 4 ; C = Ao multiplicarmos matrizes devemos tomar cuidado com a ordem das lihas e coluas, ou seja, poderemos fazer o produto de matrizes quado o úmero de coluas da primeira matriz seja igual ao úmero de lihas da seguda Assim, a matriz produto C terá um úmero de lihas igual ao úmero de lihas da matriz A e um úmero de coluas igual ao úmero de coluas de B 4 Propriedades das Operações com Matrizes ) Propriedades da Adição A ) Comutatividade: A+ B= B+ A A ) Associatividade: ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) A ) Elemeto Neutro da Soma: A+ O= A, O = [0] m A 4 ) Elemeto Simétrico: A+ ( A) = O ( A A= O) Observação A= ( ) A= ( aij ) = a ij Prova das Propriedades A ) Comutatividade: A+ B= B+ A m m Seja A = = aij e B b m ij m A+ B= a + b ij m ij m = aij + b ij m = ( aij + bij ) m 7

28 Usado a Propriedade comutativa dos úmeros reais: ( x+ y) = ( y+ x), com x, y temos, Logo, = ( bij + aij ) = bij + a ij = B+ A m m A+ B= B+ A A ) Associatividade: ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) Cosideremos A = aij, B b m ij = e C = c ij m m Da defiição de soma de matrizes, A+ B= aij + b ij e m ( A+ B) + C = ( aij + bij ) + c ij m Usado a propriedade associativa dos úmeros reais: ( x+ y) + z = x+ ( y+ z) com x, y, z emos etão, = aij + ( bij + cij ) m E usado a defiição de soma de matrizes: Logo, = a + b + c ij m ij ij m = A+ ( B+ C) ( A+ B) + C = A+ ( B+ C) 8

29 A ) Elemeto Neutro da Soma: A+ O= A, O = [0] m Seja A = aij e O = 0 m ij m A+ O= aij + 0 = ( aij + 0) m m Pela propriedade dos úmeros reais: x+ 0 = x com x Etão, Com isso, a + 0 = a, i, j ij aij + 0 = a ij ij m m = A Logo, A+ O= A A 4 ) Elemeto Simétrico: A+ ( A) = O Seja A = aij e A= a m ij m A+ ( A) = aij + ( aij ) m Pela propriedade dos úmeros reais: x+ ( x) = 0 com x Etão, Assim, Logo, a + ( a ) = 0, i, j ij ij a ij + ( a ij ) = [0] O m = m A+ ( A) = O 9

30 ) Propriedades do Produto por um Escalar Sejam A e B duas matrizes da mesma ordem e, dois escalares, etão: M ) ( A) = ( ) A M ) ( A+ B) = A+ B M ) ( + )A= A+ A M 4 ) A= A Observação Quado trabalhamos com matrizes, pode acotecer a ecessidade de multiplicar pelo escalar zero dado como resultado a matriz ula Isto é, 0A = O Vejamos: se A = aij, O 0 m ij m = e o escalar ulo (0): = 0 A O aij m Você observou as difereças etre o zero escalar e a matriz zero, deotada pela letra O? = 0 a ij m = [0] m = O Prova das Propriedades 0 M ) ( + )A= A+ A Sejam, dois escalares e a matriz ( + ) A= ( + ) a ij A= a, etão: ij m = ( + ) a ij m m Usado a propriedade distributiva dos úmeros reais ( x + y) z = xz + yz para cada elemeto da matriz, temos: = ( aij ) + ( aij ) m = a + a ij m ij m

31 Pela defiição de produto por um escalar, = a + a ij m ij m = A+ A Logo, ( + )A= A+ A M 4 ) A= A Seja A= a e o escalar ij m A= a ij = m a ij m = ( aij ) m Usado a propriedade do elemeto eutro da multiplicação dos úmeros reais, emos, x= x, x Logo, a = a = A ij m ij m A= A Agora é com você! Ao euciar as propriedades do produto de matrizes represeta-se a ordem das mesmas, por exemplo, em P, (AB)C = A(BC) supõe os produtos AB e BC, isto é, o úmero de coluas de A é igual ao úmero de lihas de B e o úmero de coluas de B é igual ao úmero de lihas de C Exercício 4 Prove as outras propriedades do produto de uma matriz por um escalar ) Propriedades do Produto de Matrizes P ) Associativa: ( AB) C = A( BC) P ) Distributiva: A( B + C) = AB + AC P ) ( A + B) C = AC + BC P 4 ) ( AB) = ( A) B = A( B)

32 Prova das Propriedades P ) ( A + B) C = AC + BC Sejam as matrizes A= [ a ik ] m p, B= [ b ik ] m p, C = [ c kj ] p, etão: ( A+ B) C = [( aik + bik )] m p c kj Usado a defiição do produto de matrizes para A+ B e C, temos: p = ( a + b ) c ik ik kj k = m p Usado a propriedade distributiva dos úmeros reais: p = a c + b c ik kj ik kj k = m Pela propriedade dos somatórios e da defiição de adição de matrizes, A lista de propriedades se ecotra o fial desta seção p p p p aikckj + bik ckj = aikckj + bik ckj k= k= m k= m k= m Pela defiição do produto de matrizes: logo, = AC + BC ( A + B) C = AC + BC P 4 ) ( AB) = ( A) B = A( B) Seja, A= [ a ik ] m t e B= [ b kj ] t t ( AB) = [ a ] [ b ] = ( a b ) ik m t kj t ik kj k = m Usado a propriedade do somatório: i = i, c : costate, i= i= c x cx

33 temos, = ( a b ) ik kj k = m t Da propriedade associativa dos úmeros reais: ( x y) z = x( y z) com x, y, z emos, = ( a ) b ik kj k = m t E pela defiição de produto de matrizes e produto de uma matriz por um escalar, Logo, = ( A) B ( AB) = ( A) B Observação É importate observar que em geral AB BA, isso será ilustrado com o seguite exemplo Exemplo 0 Dadas as matrizes A 0 = 0 e B = 0, a ma- triz produto AB = 0, etretato BA = 0, verificado que AB BA No ambiete virtual você ecotrará algumas atividades as quais você poderá praticar tato a multiplicação de matrizes uméricas, usado problemas do cotidiao, quato a aplicação das propriedades Agora é com você! Exercício 5 Prove as outras propriedades do produto de uma matriz

34 5 rasposta de uma Matriz Seja A= a, a matriz trasposta de A, deotada por A' é ij m aquela matriz obtida trocado as lihas pelas coluas de A Isto é: Por exemplo, se A = 4 5 6, a matriz trasposta é uma matriz de ordem dada por: A' = a ji m Na literatura é também usual ecotrar a trasposta de uma matriz deotada como A ou A t, mas usaremos tal otação pelo fato de ser a forma como trabalharemos computacioalmete com algus softwares como MALAB ou SCILAB, durate as ossas aulas ou o ambiete virtual 4 A' = 5 6 Observe que a matriz trasposta cada elemeto a liha i e colua j aparece como sedo um elemeto da liha j e colua i da matriz A Exemplo Seja A uma matriz de ordem, ecotre o valor de x de modo que A' = A Solução Como A' x A = 0 A' = x 0 = A é uma codição do exercício, etão: x x 0 = 0 Isto será válido apeas se x = Observação Outra forma de defiir a matriz simétrica é usado a matriz trasposta Assim, diremos que uma matriz é simétrica se ela coicide com a sua trasposta, isto é, A' = A 4

35 6 Propriedades da Matriz rasposta ) ) ) 4) ( A') ' = A ( A+ B)' = A' + B' ( AB)' = B ' A' ( A) ' = A', Prova da Propriedade Sejam A= [ a ik ] m p, B= [ b kj ] ( AB)' = B ' A' p p AB = a b = [ ] ik kj k = m c ij m Com, c p = a b ij ik kj k = Pela defiição de trasposta de uma matriz, Pode-se verificar que: Por outro lado: ( AB)' = [ c ji ] p p k = m = a b () jk ki jk ki jk ki k= k= p b a = a b () B' = [ b jk ] p, A' = [ a ki ] p m, Observe que k {,, p}, e p B' A' = b a jk ki k = m 5

36 (deixamos ao leitor a tarefa de pesquisar a propriedade do somatório usado), substituido () e (): Logo, p ( AB)' = b a jk ki k = m ( AB)' = B ' A' Agora é com você! Exercício 6 Prove as demais propriedades, justificado todos os passos do seu procedimeto Exercício 7 Prove que se A' = A, etão A é ati-simétrica Exercício 8 Dado uma escalar ão ulo, prove que, se A é uma matriz simétrica e B é uma matriz ati-simétrica, etão, A / é simétrica e B / é ati-simétrica Exemplo Prove que toda matriz quadrada pode ser colocada como a soma de uma matriz simétrica com outra ati-simétrica Solução Seja A= a ij Em primeiro lugar vejamos que A+ A' é uma matriz simétrica De fato: A+ A' = A'' + A' (pela propriedade de trasposta) e usado comutatividade: = ( A' + A)' (usado a defiição de trasposta) A+ A' = ( A+ A')' Isto é, A+ A' é uma matriz simétrica ambém A' A é ati-simétrica, e este caso, a prova, usaremos as propriedades dadas acima ( A' A) = = A'' A' = A A' = ( A' A) 6

37 Isto é, A' A é uma matriz ati-simétrica Agora, observe que: A+ A' A A' A = +, pois já foi visto que se uma matriz é simétrica, vezes a matriz também é simétrica Isto é, A é a soma de uma matriz simétrica com outra ati-simétrica 7 Potêcia de uma Matriz: A p Seja A uma matriz quadrada e p um iteiro positivo, a potêcia p p da matriz A, deotada por A está defiida por: p A = A A p vezes Exemplo Se A= [ i j], calcular A, para =,, 4 Solução Pela lei de formação forecida obtemos facilmete o valor de A: Se =, Assim, 0 A = A = AA = 0 = A = AAA = A A = = De forma similar, resolva quado = e = 4 Para tato, seguem algumas iformações que serão úteis ao logo do exercício: ) p p Calcular A equivale a calcular A A Assim se quiser ecotrar A, teria primeiro que ter calculado A e multipli car o resultado por A (para o que previamete teria calculado o valor de A e assim por 48 diate) ) Por defiição se p = 0 e A O etão 0 A = I 7

38 8 raço de uma Matriz Dada A a ij r A, é o úmero dado pela soma dos elemetos diagoais Isto é: =, o traço de A, deotado por ( ) r ( A) = a i= Por exemplo, se A = r ( A) = = ii 9 Propriedades do raço ) ) ) 4) r ( A+ B) = r ( A) + r ( B) r ( A) = r ( A) r ( A') = r ( A) r ( AB) = r ( BA) Prova da Propriedade Sejam A = aij e B b ij Pela defiição do traço, r ( A+ B) = r ( A) + r ( B) e pela propriedade do somatório: = duas matrizes quadradas r ( A+ B) = ( aii + bii ), i= = a + ii i= i= b = r ( A) + r ( B) ii Agora é com você! Exercício 9 Prove as outras propriedades 8

39 Exercícios Resolvidos ) Dada a matriz Solução 7 A = A' = 5 7, ecotre a sua trasposta ) Ecotre o traço de matriz idetidade Solução Seja I a matriz idetidade de ordem r ( I) = = i= ) Ecotre o traço de uma matriz diagoal e de uma matriz triagular de qualquer ordem Solução Usado a otação simplificada, temos a matriz diagoal D = diag{ d, d,, d} Assim: r ( D) = d Deixamos para você o cálculo do traço o caso de se ter uma matriz triagular i= i 0 Propriedades de Somatórios Os seguites ites forecem algumas propriedades de somatórios úteis para a prova das propriedades listadas ateriormete a) b) c) b = i i= i= b j ( a + b) = a + b i i i i i= i= i= i k k i i= i= ba = a b d) m m b = ij i= j= j= i= b ij 9

40 Observação No ambiete virtual de apredizagem (e o fial deste capítulo) você ecotrará um resumo de todas as propriedades até aqui utilizadas, que servirá de ajuda para estudar as propriedades das matrizes juto com as propriedades das operações 4 Determiates 4 Meor de uma Matriz: M ij Dada uma matriz quadrada, A= [ a ij ], meor de uma matriz, deotado por M ij, é uma submatriz de ordem ( ) obtida ao cacelarmos a liha i e a colua j Isto é: Assim, se: a a a j a a a a j a A = Mij = ai ai aij a a ij i am am amj am ( ) Com: M ij a a( ) a( ) a j j+ a( ) a( )( ) a( )( ) a i i j i j+ ( i ) = a( i ) a( i )( j ) a( i )( j ) a ( i+ ) am a( j ) a( j ) a + Exemplo: Se A = 0,

41 etão, o meor M 4 é obtido ao elimiarmos a liha e a colua 4, isto é: M 4 = Similarmete ao elimiarmos a liha e colua, obtemos o meor M M = Agora é com você! Exercício 0 Verifique que meores A= a (com ij elemetos) possui Nesta parte da teoria assumimos que você está familiarizado com o cálculo de determiates de matrizes de ordem e O valor do determiate de uma matriz A é deotado as formas det ( A ), det A ou A Por exemplo, se: A 0 = 0, etão det ( A ) = (0)(0) ( )() = Similarmete, se: B = 4 5 6, etão: det ( B ) = ()(5)(9) + ()(6)(7) + ()(4)(8) ()(5)(7) ()(6)(8) ()(4)(9) = = = 0 Para lembrar esta regra pesquise a Iteret ou em algum material de matemática do esio médio Com esses exemplos, estamos relembrado de forma rápida que o determiate de uma matriz de ordem calcula-se de uma úica maeira: difereça da diagoal pricipal pela diagoal secudária E o determiate de uma matriz de ordem calcula-se pela Regra de Sarrus 4

42 4 Cofator de uma Matriz: A ij O cofator A ij do elemeto a posição ( i, j ) de uma matriz A é dado pelo valor do determiate M, vezes o valor ( ) i+ j Isto é: ij A ij i+ j = ( ) d e t ( M ) ij Ou: A ij ( ) i + = j M ij Exemplo 4 Se e A A =, calcule A , A, A, A, A 4, A Solução 4 A = ( ) M = ( + ) 0 0 = A = ( ) M = ( + ) = 0 A = ( ) M = ( + ) 0 4 = 9 8 = A + 6 = ( ) M = ( + ) = 8 = 4 A = ( ) M = ( ) = 0 4

43 A + 6 = ( ) M = ( ) = 0 A = ( ) M = ( ) 0 4 = (8 4) 4 Observe as mudaças de siais dos elemetos as posições ( i, j ), isto é, ( ) i+ j : Em geral, para uma matriz de qualquer ordem, as mudaças de i+ j siais dos elemetos as posições ( i, j ) (( ) ) são: Determiate de A usado Cofatores Dada A uma matriz de ordem, A = aij Se =, os meores e os cofatores da liha um da matriz de ordem dois são dados respectivamete por: M = a, A = a M = a, A = a E o valor do determiate: det ( ) a a A = = a a a a a a = a M + a ( M ) = aa + a A 4

44 Se =, o valor do determiate da matriz (colocado em fução dos cofatores relativos à primeira liha) será: a a a det ( A) = a a a a a a = aaa + aaa + aaa aaa aaa aaa = a ( a a a a ) + a ( a a a a ) + a ( a a a a ) = a ( + M ) + a ( M ) + a ( + M ) = a A + a A + a A = a A j j j= ambém usado a seguda liha, A = a ( M ) + a ( + M ) + a ( M ) = a A + a A + a A = a A j j j= Por exemplo, se A = o determiate usado a seguda liha é dado por: A = 4A + 5A + 6A = 4( M ) + 5( + M ) + 6( M ) = 4(8 4) + 5(9 ) 6(8 4) = = 0 No caso geral de uma matriz de ordem, o cálculo do determiate da matriz referido a liha (ou a qualquer liha k ) é dado por: A = a A + a A + + a A = a A = i i j j i= j= a A Referido o desevolvimeto do determiate para qualquer liha k, temos: 44

45 A = akj A j= kj ode k é um valor fixo Usado a matriz do Exemplo 4 e calculado o determiate pelo desevolvimeto da liha, temos: A = 0A + 0A + 0A + 0A = 0 4 Note que, essa matriz ão os importa o valor do cofator (4) muito meos os dos outros que já foram calculados Similarmete é possível fazer o desevolvimeto por coluas Veja, ) Desevolvedo usado a primeira colua: A = a A + a A + + a A Astrôomo e matemático fracês, Marquês de Pierre Simo de Laplace (749-87) ficou cohecido como o Newto fracês Sua carreira foi importate por suas cotribuições técicas para as ciêcias exatas, tato pelo poto de vista filosófico que ele desevolveu durate sua vida, quato pela parcela que tomou parte a formação das moderas disciplias cietíficas ) Deixamos pra você chegar o seguite desevolvimeto para uma colua k qualquer: A = a A, k um valor fixo i= ik ik Nota O desevolvimeto dado acima para ecotrarmos o valor do determiate (seja usado as lihas ou as coluas) é comumete cohecido como o desevolvimeto de Laplace 44 Defiição Geral do Determiate de uma Matriz Permutação Dado úmeros,,, (ou objetos distitos) uma permutação destes úmeros (ou objetos) cosiste em dispô-los em uma determiada ordem Exemplo Se =, os úmeros, e podem ser colocados como ( ), ( ), etc Se = 4, os úmeros,, e 4 podem ser colocados como ( 4), ( 4), etc Notação Uma permutação de úmeros é deotada por ( j j j ) 45

46 Número de Permutações ) Dados os úmeros e há duas permutações ( ) e ( ), ou seja,! permutações ) No caso dos úmeros, e as permutações ( ) e ( ), são dois exemplos, o total existem! permutações Quais são? ) Dado úmeros,,,,, existem! permutações Agora é com você! Exercício Calcule o úmero de permutações possíveis de 4 úmeros Iversão É o úmero de mudaças ecessárias em uma permutação para voltá-la a sua posição ordeada iicial Notação Uma iversão de úmeros será deotada por: J = J j j j ( ) Por exemplo, as permutações dadas acima: J ( ) = 0, J ( 4) = 0 e J ( ) = No último caso, embora o úmero esteja a posição que lhe correspode, para colocarmos os úmeros e os seus lugares será ecessário fazermos: ( ) ( ) ( ) e por último ( ) Ou ( ) ( ) ( ) e por último ( ) Em ambos os casos haverá iversões Exemplo 5 Costruir uma tabela do úmero de iversões possíveis de e úmeros 46

47 Solução Se =, Se =, Permutação Nº de iversões J ( ) = 0 J ( ) = 0 Permutação Nº de iversões J ( ) = 0 J ( ) = J ( ) = J ( ) = J ( ) = J ( ) = Agora é com você! Exercício Verifique que o úmero de iversões da permutação J (4 ) é igual a 6 Exemplo 6 Costruir uma tabela do úmero de iversões de 4 úmeros Solução Neste caso o úmero de iversões para cada permutação ( j j j j 4) será dada por J = J( j j j j4) O resultado será colocado a seguda colua da tabela Permutação Nº de iversões

48 : 4 : 4 : 4 : Agora é com você! Exercício Agora fica por sua cota completar a tabela forecida o Exemplo 6 Determiate Defiição Dada a matriz de ordem, A= a ij, o determiate de A, é defiido por: J det ( A) = ( ) a a a j j j Ode J = J( j j j ) idica o úmero de iversões da permutação ( j j j ), idica que o somatório é estedido a todas as =! permutações dos úmeros,,, Exemplo 7 Verifique o uso da defiição os casos dos determiates de ordem e Solução Na solução deste exemplo serão usados os resultados obtidos o Exemplo 5 Se =, etão =, assim: det ( A) = ( ) a a = ( ) a a + ( ) a a = a a a a Se =, = 6 e assim: J( j j) 0 j j ( ) det ( A) = ( ) J j j j aj a j a j = aaa + aaa + aaa aaa aaa aaa 48

49 Agora é com você! Exercício 4 a) Obter o desevolvimeto para o caso de um determiate de ordem 4 b) Verifique a relação desse desevolvimeto com o desevolvimeto dos cofatores Propriedades do Determiate ) Se A possui uma liha (ou coluas) de zeros, etão, det ( A ) = 0 ) Se A possui duas lihas (ou coluas) iguais, etão, det ( A ) = 0 ) Se B é obtida de A multiplicado uma liha (ou colua) por um escalar, etão, det ( B) = det ( A) 4) Se B é obtida por troca das posições relativas de duas lihas (ou coluas) da matriz A, etão, det ( B) = det ( A) 5) Se B é obtida de A, substituido a liha i (ou colua) por ela somada a um múltiplo escalar de outra liha j (ou colua) ( j i) etão, det ( B) = det ( A) 6) det ( A) = det ( A') 7) det ( AB) = det ( A) det ( B) Mais detalhes a respeito destas demostrações podem ser ecotrados o livro de Álgebra Liear do Callioli, citado o fial deste capítulo Observações Não é objetivo do presete material didático fazer as demostrações das propriedades ateriores, porém as mesmas podem ser provadas a partir da defiição do determiate Na seção 4, ao calcular o determiate usado cofatores, usamos o desevolvimeto (referidos às lihas) dado por det ( A) = a A, ode k é um valor fixo Já foi cometado que o i= ki ki mesmo resultado pode ser obtido usado as coluas Podemos euciar uma oitava propriedade usado desevolvimetos similares 49

50 8) a A = 0, l k, k, l valores fixos i= ki li Verifiquemos a propriedade com o seguite exemplo Se k =, l = e = i= a A = a A + a A i i assim se etão, A = 4 A = e A =, dessa forma, a iai = ( ) + () = 0 i= ambém, ao usarmos o desevolvimeto pelas coluas, ecotramos também que: akak = (4) + 4( ) = 0 j= 5 Matriz Adjuta: Adj (A) Dada A= a, a matriz adjuta de A é dada por ij Adj ( A) = ( Cof ( A) )' Ode Cof ( A ) é a matriz cujos elemetos são os cofatores A da ij matriz A, ou seja, a matriz ode cada elemeto é o cofator ( i, j ) do elemeto a ij da matriz A Um exemplo para esta defiição é o seguite: Se B = 4, etão: 4 Cof ( B) = ( ) Assim, 4 4 Adj( B) = = ( ) ' 50

51 Exemplo 8 Calcule a matriz adjuta de A dada por: 0 A = Solução A matriz de cofatores de A e dada por: A A A Cof ( A) = A A A = 5 0 A A A Pois A = 9, A = 9, etc Assim, Adj ( A) = Cof ( A)' = = ambém, o determiate da matriz A, det ( A ) = 9 ' Observe que: Isto é, A Adj ( A) = = det ( A) I Adj ( A) A = det( A) I Com isso, podemos euciar o seguite teorema: eorema Se A é uma matriz de ordem, Adj ( A) A = A Adj ( A) = det( A) I 5

52 Demostração a a A A A Adj ( A) = a a A A = ( ) j j j j j j j j j j j= j= j= j= j= ( ) j j j j j j j j j j j= j= j= j= j= ( ) j j j j j j j j j j j= j= j= j= j= j= a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A ( ) j ( ) a A a A a A ( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j j j j j= j= j= j= ( ) j a A a A a A a A a A j j j j j j j j j j= j= j= j= j= Usado a Propriedade 8 dos determiates os elemetos fora da diagoal pricipal, temos: ajaj j= 0 a ja j 0 0 j= A Adj ( A) = 0 0 ajaj 0 j= aj Aj j= Pelo desevolvimeto de Laplace (por lihas) temos o valor do determiate: det ( A) = a A, para cada k =,,, j= kj kj 5

53 isto é: det ( A) det ( A) 0 A Adj ( A) =, 0 0 det ( A) = det ( A) I De forma similar, pode se ecotrar Assim, temos demostrado que Adj ( A) A = det( A) I A Adj ( A) = Adj ( A) A = det( A) I 6 Iversa de uma Matriz 6 Matriz Sigular Defiição Uma matriz é dita sigular se o seu determiate é ulo Caso cotrário, dizemos que a matriz é ão sigular Por exemplo, a matriz B = 4 é uma matriz sigular pois det ( B ) = 0 Você saberia dizer por quê? Pese a respeito! Já, a matriz idetidade de ordem é ão sigular, pois det ( I ) = Em geral uma matriz idetidade de ordem qualquer é ão sigular 6 Matriz Iversa Defiição Seja A uma matriz quadrada de ordem Dizemos que A é iversível se existe uma úica matriz B (da mesma ordem) tal que: AB = BA = I B é deomiada matriz iversa de A 5

54 Notação B= A é a respec- Por exemplo, se A = 0 a matriz tiva matriz iversa, pois: 6 B = 0 0 AB = BA = 0 Propriedade Se A é iversível, etão, A é ão sigular Prova Será suficiete ecotrar que o det ( A ) ão é ulo Demostrado por absurdo, supomos o cotrário, isto é, det ( A ) = 0, e devemos chegar uma cotradição Assim usado a Propriedade 7 dos determiates: det ( AB) = det ( A)det ( B) = 0det( B) = 0 Por outro lado, termos por hipótese que A é iversível, etão existe B tal que AB = I, assim det ( AB) = det ( I) = Assim, 0=, impossível, é uma cotradição! Uma vez que a cotradição foi ecotrada, etão o euciado é verdadeiro Assim a propriedade fica demostrada Logo, A é ão sigular Cohecedo que det ( A) 0, para A iversível, uma forma de verificar a existêcia da matriz iversa será ecotrar o valor do determiate da matriz Após essa verificação, o passo seguite será ecotrarmos a matriz iversa, A Como exemplo, os casos das matrizes A = 0 e B = 4, podemos afirmar que apeas A possui iversa Geralmete uma cotradição é deotada pelo símbolo O mesmo poderá ser usado as próximas provas Como obtermos A? 54

55 6 Cálculo da Matriz Iversa usado a Matriz Adjuta Sabedo que existe A, etão, AA A A I = = Observe pela propriedade da matriz adjuta que Adj ( A) Adj ( A) A = A= I det ( A) det ( A) Assim,, a úica possibilidade será: Adj ( A) A = det ( A) Exemplo 9 Se A = 0, ecotrar A Solução Ecotramos facilmete que det ( A ) = 6, e também a matriz adjuta 0 Adj ( A) =, Assim, A Adj ( A) 6 = = det ( A) 0 Agora é com você! 0 Exercício 5 Seja A = 4, verifique se sua matriz iversa é 6 5 A =

56 64 Propriedades da Iversa de uma Matriz Se A e B são iversíveis, etão: ) ) ) 4) ( AB) ( A ) = B A = A ( t t A ) = ( A ) det ( A ) = det ( A) Prova da Propriedade ( AB) = B A Em primeiro lugar, vejamos se existe ( ) AB Calculado det ( ) AB : det ( AB) = det ( A) det ( B) Por hipótese existem as iversas das matrizes A e B ( A, B ), isto é, det ( A) 0 e det ( B) 0 Assim det ( AB) 0 e com isso ( AB), isto é, ( AB)( AB) = I () Como A A = I e B B = I Na seguda parte desta última relação, multiplicamos em ambos os lados pela iversa de A (pela direita) ( B B ) A = I A Associado e multiplicado por I, B B A A ( ) =, multiplicado à esquerda por A : A ( B B A ) A A ( ) =, Você também pode cosiderar os seguites passos após a expressão (): associado ovamete e sabedo que AA = I, () 56

57 Sedo que a existêcia da matriz iversa é úica e comparado as expressões () e () cocluímos que ( AB) ( B A ) = Agora é com você! Exercício 6 Demostre as outras propriedades, justificado o seu procedimeto Ao calcular a matriz iversa de A, usado a matriz adjuta vimos que A =, e os exemplos aplicamos essa relação Adj ( A) det ( A) para matrizes de ordem e E se = 4 ou = 5? O procedimeto acaba sedo mais tedioso para matrizes dessas ordes ou de ordem superior Vejamos agora como podemos obter essas matrizes de uma outra forma 6 Cálculo da Matriz Iversa por Operações Elemetares Seja A uma matriz ão sigular, portato existe Por defiição, sabemos que AA A A I = = A e det ( A) 0 Etão, a idéia é ecotrarmos uma matriz que ao ser multiplicada por A (à direita ou á esquerda) resulte a matriz idetidade Para coseguir esse objetivo, sem ecessidade de usar coceito de matriz adjuta, foreceremos algus coceitos a seguir Por exemplo, as mudaças efetuadas uma matriz idetidade foreceram a defiição de uma matriz elemetar Em termos gerais, qualquer mudaça do mesmo tipo forecerá o que defiiremos agora de operação elemetar em uma matriz Operações Elemetares Uma operação elemetar por liha (ou colua) uma matriz é a mudaça efetuada a matriz de tal forma que seja efetuada: 57

58 ) ) ) a troca de uma liha (ou colua) por outra liha (ou colua); a multiplicação de uma liha (ou colua) por um valor, com 0 ; a soma de uma liha (ou colua) multiplicada pelo valor, ( 0 ) uma outra liha (ou colua) Se l i e l j represetam a lihas i e j da matriz e é o escalar citado ateriormete, etão, as operações elemetares dadas acima serão deotadas respectivamete por: ) l l, i ) l i, ) l l + l j j i j Seja A uma matriz, se uma (ou várias) operação elemetar for efetuada essa matriz, obteremos uma matriz diferete, que a deotaremos com à Assim o processo efetuado será deotado por: A à operação( ções) elemetar ( es) Exemplos: a) Foi feita uma operação elemetar a matriz idetidade de ordem, I, ao trocarmos a liha pela liha da matriz obtedo a seguite matriz elemetar: 0 à = 0 a operação efetuada é deotada por I l l à b) Dada a matriz de ordem A =

59 Ao fazermos a operação elemetar que multiplica a liha da matriz por, obtemos a seguite matriz: Ã = Idicamos isso com: 0 6 ( ) I A c) Dada a matriz de ordem, 8 B = 0 0, 5 ao fazermos duas operações elemetares, obtemos a seguite matriz B : 4 6 l ( ) l+ l B 5 9 = B l 5 Assim, a matriz B foi obtida: multiplicado a liha por e somado-la a liha da matriz B, multiplicado a liha por Observação A operação elemetar l ( ) l + l idica a liha ode a soma das lihas está acotecedo No caso, a soma será efetuada a liha da matriz 59

60 Agora é com você! Exercício 7 Dadas as matrizes 0 A = 0 e B =, ecotre à e B, após as operações elemetares efetuadas em A e l l B respectivamete As operações são idicadas por: A à l4 l+ l4 e B 5l l l B l Exercício 8 Quais operações elemetares devem ser feitas de modo a levar a matriz C a sua forma triagular superior? C = 0 0 Forma Escada de uma Matriz Ao efetuarmos operações elemetares por lihas uma matriz dizemos que ela está a forma escada se, após operações elemetares a matriz iicial, a matriz resultate obtém-se: a) O primeiro elemeto ão ulo de uma liha ão ula deve ser igual a b) Na colua que cotém o primeiro elemeto ão ulo de alguma liha tem todos os seus outros elemetos (da colua) iguais à zero c) oda liha ula ocorre abaixo de todas as lihas ão u- las (isto é, daquelas que possuem pelo meos um elemeto ão ulo) d) Se as lihas,, r, são lihas ão ulas, e se o primeiro elemeto ão ulo da liha i ocorre a colua k i (a colua k referida à liha i ), etão, k < k < < kr (Exemplo se i = e k =, etão para i =, k < k sigifica que k será maior que e assim por diate) 60

61 Exemplos: As seguites matrizes ecotram-se a forma escada: 0 0 A = 0 0 0, 0 B = , C = Já as seguites matrizes ão estão a forma escada: 0 0 D = , E = Agora é com você! Exercício 9 Deixamos para você a explicação do porquê as matrizes A, B, C, D e E ecotram-se ou ão a forma escada reduzida por lihas Observações: ) Na prática, a forma escada serve para levar uma matriz a sua forma triagular, a qual os elemetos da diagoal pricipal sejam us ou zeros ) A prática de reduzir uma matriz usado operações elemetares é um exercício muito útil para obter a iversa de uma matriz e resolver sistemas lieares Operações Elemetares versus Matrizes Elemetares Operações elemetares dão origem a matrizes elemetares (defiidas a seção ) e o produto da seqüêcia de tais matrizes os coduzirá a matriz iversa Veremos isso com os exemplos e exercícios seguites Exemplo 0 Dada a matriz A, covertê-la uma matriz triagular superior 6

62 4 0 0 A = Solução l l+ l l4 l+ l l l4 l l4 l l4 l+ l4 l = Ã Assim, Ã é uma matriz triagular superior Exemplo Ecotre matrizes elemetares que represetam as operações elemetares efetuadas o Exemplo 0 Solução No Exemplo 0, foram efetuadas sete operações elemetares Cada uma delas represetará, respectivamete, as matrizes elemetares E,, E7 Assim a primeira operação l l + l dá origem a matriz elemetar: E = ambém a operação elemetar l4 l+ l4 origia a matriz elemetar: E =,