Revisão para o Vestibular do Instituto Militar de Engenharia & Sistema Elite de Ensino

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1 Revisão pr o Vestibulr do Istituto Militr de Egehri wwwrumooitcom Sistem Elite de Esio CÔNICAS (IME-8/8) Determie equção de um círculo que tgeci hipérbole potos em que est hipérbole é ecotrd pel ret os (CPRIME-8) Determie equção d prábol cujo foco é o poto P o (, 8) é ret e cuj diretriz (IME-79/8) Cosidere, o plo, o círculo de cetro O (, ) e rio Determie equção d hipérbole equiláter que pss pels iterseções do círculo com s rets e (IME-8/8) Determie equção d prábol de eio OX que tgeci ret e tem seus vértices origem (IME-8/8) Dd hipérbole, determie um ret prlel o eio dos tl que 6 9 seus potos de iterseção com hipérbole formm com o foco F (de bsciss positiv) um triâgulo retâgulo em F 6 (CPRIME-8) Dd hipérbole, idere os potos P (, ), (, ) P (, ) el pertecetes Mostre que o ortocetro do triâgulo P P P pertece à hipérbole 7 (IME-77/78) De um poto P(, ) trçm-se dus tgetes à elipse Determie 6 9 equção do lugr geométrico do poto P, de tl form que ests tgetes sejm perpediculres etre si 8 (IME-79/8) Dd côic d equção 6, determie: ) o cetro d curv b) s ssítots de curv 9 (IME-7/76) Dd equção 7 6 6, obteh o âgulo de rotção que fz desprecer o termo em, e che ov equção o sistem de eios obtido pel rotção O poto Q (, ) pertece à côic de equção Determie s ovs coordeds de Q, pós trsformção que elimie o termo em Dd equção do termo retgulr medite um rotção Idetifique côic de equção PROGRAMA IME 989 GEOMETRIA ANALÍTICA P e

2 (IME-76/77) Sejm A, B R de coordeds crtesis (, ) e (, ), vértices fios de um cojuto de triâgulos de áre Determie equção do lugr geométrico do cojuto de potos C, terceiro vértice destes triâgulos Observção: A áre é iderd positiv qulquer que sej orietção do triâgulo, de cordo com defiição iomátic (IME-77/78 º cocurso) Eumere os elemetos, A, sedo que A (, ) R 88 7 e sbedo que os elemetos de eqüidistm dos elemetos de B e C, ode B (, ) R 7 e C (, ) R (IME-79/8) Por um poto M qulquer de um hipérbole (h), trç-se um prlel um ssítot () de (h), est prlel ecotr um diretriz (d) de (h) em D Sedo F o foco de (h) correspodete à diretriz (d), mostre que MD MF (IME-8/8) Ddos dois triâgulos equiláteros ABC e A BC trç-se por A um ret qulquer que ecotr os ldos AC e AB, ou os seus prologmetos, os potos D e E, respectivmete Determie o lugr geométrico dos potos de ecotro ds rets BD e CE A E D M B C A (IME-8/8) Determie s equções de um circuferêci com cetro os potos (, ) e tgete à circuferêci: 6 (IME-8/8) Determie equção, idetificdo su turez, do lugr geométrico de um poto que se desloc de tl form que o qudrdo de su distâci o poto (, ) é proporciol à su distâci à ret 7 (IME-8/8) São dds dus rets prlels r e r e um poto Determie o lugr geométrico dos pés ds perpediculres bids de os segmetos de ret AA, vistos de sob um âgulo reto e tis que A pertece r e A pertece r Sbe-se que: distâci de r : d distâci de r : p distâci de r r : p d 8 (IME-8/8) Um ret m pss pelo poto fio (, ) P e itercept ret m : 6 o poto A e ret m : o poto B Determir equção do lugr geométrico do poto do segmeto retilíeo AB à medid que ret m gir em toro do poto P 9 (IME-8/86) Determie equção e idetifique o lugr geométrico dos potos médios dos segmetos determidos pel iterseção d côic 6 rets de coeficiete gulr igul com s

3 (IME-87/88) Mostre que por todo poto ão situdo sobre o eio O pssm etmete prábols com foco origem e eio de simetri O e que estão prábols iterceptm-se ortogolmete Ache o LG ds projeções dos fo d elipse b geéric ( b ) sobre um tgete Mostre que é tte o produto ds distâcis dos fo de um elipse um tgete geéric Prove que áre do triâgulo determido por um tgete à hipérbole e sus b ssítots é um tte, e determie- Um côic de cetro origem e tedo eios de simetri sobre os eios coordedos itercept prábol côic, ortogolmete, os potos de bsciss Ecotre equção d Ache o LG ds projeções do foco d prábol p, p, sobre um tgete geéric 6 Determie o LG dos cetros de simetri d fmíli de côics: k k k, k R 7 (IME-7/7) Sej m R fido e (k ) (k ) mk equção crtesi de um fmíli F de côic de prâmetro k Determie equção crtesi do lugr geométrico dos cetros ds côics d fmíli F 8 (IME-87-88) Determie o lugr geométrico dos potos do espço cuj som dos qudrdos ds distâcis dois potos fios sej igul um tte k 9 (IME-987/988) Ecotre equção do círculo iscrito o triâgulo formdo pels rets 6 9 (IME-987/988) Determie equção e o rio do círculo de meor diâmetro que possui com o círculo 8 eio rdicl MATRIZES SISTEMAS LINEARES (IME-7/7) Sejm s mtrizes BA, cso eistm A e B Determie os iversos de AB e

4 (IME-7/7) Sej mtriz C Mostre que, pr tod mtriz B iversível, o determite de S CS é igul (IME-7/7) Cosidere s mtrizes A e B, presetds bio c 6 A b, B 6 6 Determie mtriz A -, sbedo que Os elemetos, b e c, d mtriz A, são úmeros positivos A A I B (Observção: I é mtriz idetidde) (IME-76/77) Sej A (ij) um mtriz qudrd de ordem em que ij se i j o meor iteiro positivo r tl que r A ij se i j ( represet mtriz ul) (IME-77/78) Sejm s mtrizes reis A (ij) e B (bij), ode b b ij ij ij ij se i se i se i se i j j j j ) Determie mtriz C = AB ) Determie mtriz D = A - 6 (IME-78/79) Dd mtriz A 9 7 Determie Determie s mtrizes B, C, D, tis que: A = B C D e B = (b ij ), com B = b ij =, se i j, C = c ij =, se i j, D = d ij =, se i j 9 (IME-78/79) Dds s mtrizes: tl que: C AB A, B, C, determie mtriz, (IME-8/8) Dd mtriz esclr c tl que AS = cx A determie os vetores R pr os quis eiste um (IME-8/8) Resolv equção A - = B, ode A, B 8

5 (CPRIME-8) Sejm A, B mtrizes qudrds de ordem Usdo s proprieddes de produtos mtriciis, dê um codição pr que se teh ( A B) A AB B, ode A A A O produto d mtriz sbedo que det (A) > A pel su trspost é igul à idetidde Determie e Sejm A, B, C mtrizes qudrds de ordem, O mtriz ul de ordem e k R Idetifique s firmtivs verddeirs ) AB = BA b) A = O A = O c) AB = O (A = O ou B = O ) d) (AB) C = A(BC) e) (A + B) = A + AB + B f) AB = AC B = C g) det (KA) = K det (A) h) det (A + B) = det (A) + det (B) i) det(a ) det (A) j) det (AB) = det (A) det (B) Resolv pelo processo mtricil o sistem: b b b c c c 8 Resolv pel Regr de Crmer: z z z Resolv os sistems teriores por Guss-Jord 6 (IME-76/77) Dd equção mtricil Determie mtriz 6 X 7 (IME-79/8) Resolv o seguite sistem: 6 8 (IME-8/8)Ddo o sistem:

6 w z Ecotre o seu cojuto solução 9 (IME-8/8) Determie mtriz H tl que HÁ = B ode: 6 A e B (IME-79/8) Determie os vlores de K pr que o sistem bio teh solução úic: + ( + k) z = -6 + z = - + z = + + kz = - Determir m de modo que o sistem mz z z possu um úic solução Ache o vlor de pr o qul o sistem ) ( z z ) z dmit soluções distits de (,, (CPRIME-8) Determie e pr que o sistem ) teh solução úic b) teh um úmero ifiito de soluções c) ão teh solução z z z : (CPRIME-8) Dê codições ecessáris e suficietes pr que um sistem homogêeo de equções com icógits teh solução ão trivil (CPRIME-8) Dê ivers d mtriz A 6 6

7 6 (CPRIME-8) Determie ivers d mtriz ivers d mtriz B A Complemeto: Determie 7 (CPRIME-8) Sej o sistem: z Discutir os vlores de, e pr que este sistem dmit solução 8 (CPRIME-8) Determie o poto e ulidde d mtriz bio: B Complemeto: Determie o poto e ulidde d mtriz bio: 6 8 A TRANSFORMAÇÕES LINEARES (CPRIME-8) Dd plicção lier L: R R defiid por L9, ) = ( +, ), dê su mtriz ssocid, com respeito à bse côic de R (CPRIME-8 e 8) Dd fução lier L: R R defiid por L(,, z) = ( + + z, +, z), dê su mtriz ssocid, com respeito à bse côic de R (IME-8/8) Sej trsformd lier T: R R, tl que T(,, z) = ( +, z, z) Determie mtriz ssocid à trsformção lier T com relção à bse côic de R (CPRIME-8) Dd plicção lier T em R que cd poto do plo ssoci seu simétrico em relção o eio o, dê o úcleo e imgem dest plicção, bem como su mtriz em relção à bse côic de R Ache o úcleo, imgem, o poto e ulidde ds trsformções: PROGRAMA IME/989 MATRIZES/SISTEMAS LINEARES (IME-88/89 CFOEM) Ddos:

8 ' M, R, A e b b' B, ode,, b, b R, resolv b equção AZ = B, sbedo que Z M, discutido s codições que b e b devem stisfzer pr que equção teh solução (IME-86/87) Sej A ) Ecotre tods s mtrizes B,, que comutm com A b) Clcule A - c) Mostre que A = A I, ode I d) Ecotre um fórmul pr A em fução de A e I, e clcule A (IME-87/88) Sej A um mtriz ) Mostre que A comut com tods s mtrizes se e somete se comut com s mtrizes b) Clcule tods s mtrizes A,, do tipo cim, isto é, que comut com qulquer mtriz c) Dig quis dests mtrizes A são iversíveis e determie ivers (IME-87/88) Sejm A, B e C mtrizes, com elemetos reis Deotdo-se por A t mtriz trspost de A ) Mostre que se AA T =, etão A = b) Mostre que se BAA T = A T etão BA = CA (IME-87/88 CFOEM) Determie os vlores de k pr que o sistem ) teh solução úic b) ão teh solução c) teh mis de um solução k k 6 (IME-87/88) Resolv e discut o sistem bio m m z z mz m m 7 (IME-87/88) Determie o vlor de pr que o sistem bio teh mis de um solução e resolv-o, este cso: z z z 8 (IME-88/89) Ddo o sistem de equções lieres item ) os vlores de pr que o sistem teh solução z z z, pede-se:

9 item b) os vlores de pr que solução (,, z) stisfç à equção + + z = 9 (IME-8/8) Sej M (R) o cojuto ds mtrizes qudrds de ordem, de coeficietes reis Defie-se fução : M (R) M (R) M (R) por (A, B) = AB BA Clcule: ( (A, B), C) + ( (B, C) A) + ( (C, A), B) Clcule pel regr de Chió Resp: 6 Clcule pelo processo de Hoüd-Guss: ) Resp: b) Resp: Clcule os determites: 7 ) A 7 Resp: b) Resp: -

10 c) d c b c c b b b b A Resp: (b ) (c b) (d c) d) c b c b Resp: (b ) (c ) (c b) (b + c + bc) e) Resp: o f) c c b b Resp: ( b )( c )( c b) Resolv s equções: ) b) (IME) Clcule o vlor do determite de ordem :

11 PROGRAMA IME ESPECIAL/989 MATRIZES/DETERMINANTES (IME-77/78) Sejm A, B, C, D mtrizes reis A (ij) A B (bij) C (cij) ij ij C D (dij) d ij b ij Sbe-se que ij bij, i j, e que C é mtriz sigulr (ão dmite ivers) Clcule o determite de D (IME-78/79) Dds s mtrizes: A e B determie, sbedo-se que eiste um mtriz iversível P, tl que A = p - B P (IME-8/8) Mostre que ão eistem mtrizes qudrds A e B, que verifiquem AB - BA = I, ode I é mtriz idetidde de um ordem qulquer (IME-8/8) Sej M (mij) um mtriz qudrd rel m de termos positivos Defie-se o permete de M como: perm M S m () m () m permutções ( (), ( ),, ( )) de {,,, } A mtriz 7 () 8 ode S é o cojuto ds 6 9 tem, por eemplo, como permete Sej mtriz m, H (h ) ode h ij i (j i) Clcule o permete de H (IME-8/8) Sej um determite defiido por A e A ij ) Pede-se fórmul de recorrêci (isto é, relção etre A e A - ) b) Clcule epressão de A em fução de 6 (IME-8/8) Sej D o determite d mtriz A [ij] de ordem, tl que ij i j Mostre que: D ( ) ( ) 7 (IME-8/8) Dd mtriz M (m ) ij

12 M e o cojuto A {,,, }, defie-se em A um relção R por: i R j mij verifique se R é um relção de equivlêci TRIGONOMETRIA PROGRAMA IME 989 Ache os vlores máimos e míimos ds fuções: i) f () ii) f () ( se )( se ) Estbelecer s codições que deve stisfzer k pr que s equções sejm possíveis i) k se k ii) se k se k Sbedo que se m, clculr se se Determie m pr que epressão (m )(se ) m ideped de Pr qul vlor do prâmetro k epressão () se k(se co ) mesmo vlor, qulquer que sej o rco? 6 6 tem o 6 Elimir o rco etre s equções: i) se se b ii) se b se 7 Elimir e ds equções: se se se b 8 Determir k de modo que equção se k dmit soluções e tis que 9 Achr o vlor máimo d epressão () csc tg ctg tg Prove que qudo os r e verificm relção se se b, epressão se b se b é idepedete de e

13 Demostrr que é isósceles o triâgulo ABC cujos âgulos A e B verificm relção A B B A se se Elimir e etre s equções: se b m b se t b tg Resolv: se ( ) se Sbedo que se tg tg b e cot g cot g, clcule e se PROGRAMA IME TRIGONOMETRIA Mostre que se( ) se( ) (se se ) (se se ) Dd relção tg (m 6º ) tg(m 6º ) 6, clcule tg (º m), sedo m um âgulo obtuso z z Se z, prove que tg t tg tg tg tg Se b c 8º, mostre que se se b se c se se b b c Se b c, mostrr que b c b c 6 Demostrr que: se se tg 7 Clculr se, dd relção: se 8 Resolver equção: Dd relção: se tg, clculr Dd equção: se, clculr tg Mostrr que: tg ( b) se se se b se b b Demostrr que, se z, etão tg tg tg z tg tg tg z Demostrr que, se z, etão cot cot cot cot z cot cot z Prtido-se de se ( b) se ( b), 8, mostrr que tmbém eiste relção sec sec b tg

14 Sedo z 9º, demostrr que: se se se z se z 6 Dd relção: se b se b Clculr tg 7 Demostrr que: se se tg tg 8 Demostrr: ) º 6º 7º b) se 99º se 9º se º c) tg 7º tg º sec º d) se º se 7º º 7º º º se se se e) tg se se se se 7 f) tg 7 g) se se se se se se h) º 8º 6º 8 i) tg 8º tg 6º tg 7º tg 9º 9 Clculr: ) b) se Sedo se ( b) se se b, demostrr que b k ou Sbedo que se A, se B e se C tg (B C), tg (C A) e tg (A B) tmbém estão em PA, est ordem Sedo A, B, C os âgulos de um triâgulo, demostre: A B C ) se A se B se C A B C b) A B C se se se b k, k Z estão em PA, est ordem, demostrr que c) A B C se A se B se C se se Demostrr que é retâgulo o triâgulo o qul se verific relção: ) se C A B b) se A se B se C

15 Se A B C, tore seguite epressão clculável por logritmos: se A se B se C Mostre que tg º tg º tg º tg º 6 Prove que se os âgulos de um triâgulo ABC verificm relção A B C, etão um deles vle º 7 Demostre que cd um ds relções bio crcteriz um triâgulo retâgulo: se B se C ) se A B C seb b) se A cot g B A C c) B se B tg se A se C d) se B C ( B se C)tg B 8 Sedo se se e b, clcule se ( ) 9 Sedo m e se se, clcule csc( ) Determir etre que limites k deve vrir, pr que equção se (se ) k dmite rízes Sbedo que tg ( ) cot g ( se ), clcule Simplifique: tg º tg º tg 89º º 8º º 6º Ache o úmero de soluções d equção itervlo, 8 7 o Sedo, b c z tg tg tg b, c z c, clculr: b Sedo b c 8º, clculr: ( b) ( c) (b c) se se b se se c se b se c 6 Determir relção que deve eistir etre, b e c o sistem: tg tg b cot g cot g c 7 Simplifique: ) se se se ( ) b) ( )

16 c) se se 7 se 9 se ( ) ( ) d) se se se se se se 7 e) se se se ( ) f) se ( ) se ( ) 8 Pr,,, provr: se ( ) se tg ( ) tg 9 Resolver equção se por três métodos Resolver equção: tg Resolver equção: se se Resolver equção: se se Resolver equção: se ) se Resolver equção: (se ) se Resolver s equções: ) tg tg tg b) se se se c) se se d) se 6 (IME) Resolver s equções: ) rc tg rc cot g b) rc tg rc tg( ) rc tg c) rc tg ( ) rc tg( csc ) d) rc se rc se rc se 7 Resolver: tg (cot g ) cot g (tg ) 8 Resolver e discutir: tg ( ) tg 9 Resolver os sistems: ) b) se se º c) se se

17 d) g) j) tg tg tg º tg ctg tg ctg tg e) h) k) tg se tg tg tg se tg tg f) i) l) ctg ctg tg tg se se rc se rc tg rc se rc t rc tg 6 (IME) Determie codição que deve ser impost b pr que sej possível o sistem: tg tg sec sec b (IME) Determie os vlores de e que stisfzem s equções: se se (IME) Um triâgulo tem um âgulo itero de 7º e os outros âgulos iteros defiidos pel equção bio Determir m sec m( se ) (se ) Determie o meor âgulo positivo, pr o qul vlem simultemete: e se se se se Dividir o âgulo de º em dus prtes, tis que sus tgetes estejm rzão 6 Resolver o sistem se se se, idicdo s codições de possibilidde 6 (IME) Clcule s meores determições de que stisfzem : se tg Ddos: tg º, tg º, 9 tg º, 68 tg 9º', tg º', tg 6º6', tg 7º, 6 tg 9º8', 6 tg 7º', 77 tg º', 7 (IME-87/88) Sejm A, B e C os âgulos de um triâgulo Demostre que se A A B C tg B tg C

18 se 8 (IME-87/88) Resolv, o itervlo,, se 9 (IME-87/88) Demostre que, um triâgulo ABC, A se B se C ctg B C 6 (IME-87/88) Clcule idetidde tg ctg 6 (IME-87/88) Clcule o ldo c de um triâgulo ABC, em fução de su áre S, do âgulo C e de k, ode k b c TRIGONOMETRIA PROGRAMA IME 989 (IME-9/9) Sejm A, B, C os âgulos de um triâgulo Mostre que: se A se B se C se A se B se C (IME-9/9) Mostre que: Se um triâgulo ABC vle relção: (B - C) tg B etão o triâgulo é retâgulo com âgulo reto A se A se (C - B) (IME-9/9) Resolver o sistem: tg tg tg tg tg tg 6 6 sbedo que e pertecem o itervlo, (IME-87/88) Determie o vlor de: 7 p se se se se (IME-89/9) ) Obteh epressão pr tg em fução de tg b) Utilize o item terior pr determir s soluções d equção: m m é um úmero rel ddo ode m 6 (IME-88/89) Resolv seguite desiguldde: pr 7 (IME-88/89) Mostre que, se os âgulos de um triâgulo ABC verificm iguldde se A se B se C, etão o triâgulo é retâgulo 8 (IME-87/88) Demostre que, um triâgulo ABC, A se B se C ctg B C 9 (IME-87/88) Demostre idetidde tg ctg

19 se (IME-86/87) Resolv iequção se (IME-86/87) Ddo um triâgulo ABC de ldos, b, c opostos dos âgulos A, B, C A p se respectivmete e de perímetro p, mostre que B C (IME-8/86) ) Resolv equção m (m ) se m, m R b) Determie m de modo que ess equção dmit s rízes e cuj difereç sej (IME-8/86) Num triâgulo ABC ( A B C) trçm-se s bissetrizes eters AA, do âgulo A, com A sobre o prologmeto de BC, e CC, do âgulo C sobre o prologmeto de AB Se AA ' A B B C CC', mostre que c se se (IME-8/8) Sejm l o ldo de um polígoo regulr de ldos, r e R, respectivmete, os rios l dos círculos e circuscrito este polígoo Prove que r R cot g (IME-8/86) Mostre que o ldo do isoságoo regulr coveo é igul à difereç, divididq por, etre o ldo do decágoo regulr estreldo é o ldo do petágoo regulr coveo Todos os três polígoos estão iscritos em um mesmo círculo de rio r 6 (IME-79/8) Sejm l, l6 e l os ldos do qudrdo, do heágoo e do decágoo regulres, iscritos todos o mesmo círculo (C) Com esses três ldos troi-se um triâgulo ABC, ão iscrito em (C), tl que BC l, AC l6 e AB l Pede-se clculr o âgulo A do triâgulo ABC 7 (IME-8/8) Dd equção m se, determie codição que deve 6 stisfzer m pr que el teh pelo meos um solução o, tl que o 8 (IME-77/78) Ddos os r A, B, C e D, todos do primeiro qudrte, e tis que t B, t C e 7 t D 8, verificr se A B C D t A, 9 (IME-76/77) Prove que pr todo rco cd um ds relções bio é verddeir: se se se

20 (IME-8/8) Determie todos os vlores de, e z, situdo o itervlo fechdo,, stisfzedo o sistem: z z (IME-79/8) Determie equção rc tg rc tg (IME-78/79) Achr os vlores de que stisfzem equção: rc se ( ) (IME-8/8) Obteh um relção etre, b e c, elimido etre s dus equções bio: se b c se b se c (IME-77/78-º Cocurso) Resolver o sistem: rc rc se tg rc se rc tg rc tg 6 (IME-8/8) Ddo o triâgulo escleo ABC, sejm respectivmete D, E, F os potos de cotto do círculo iscrito o triâgulo ABC com os ldos BC, AC e AB Mostre que os triâgulos EF B C ABC e DEF ão são semelhtes, e estbeleç relção em fução de se e se BC TEORIA DOS CONJUNTOS Sejm U {,,,,, 6, 7, 8, 9}, B {,, 6, 8}, C {,,, 9}, D {,, 7}, E {, } Ache U sbedo que: i) X e B são disjutos ii) ( ) D {, 7} iii) X é subcojuto próprio de C iv) E X Sejm A e B cojutos A difereç simétric etre A e B é defiid por: A B (A B) (B A) Sedo A {, b, c} e B {b, c, d, e, f}, che A B Dos cojutos,, z sbe-se que z {, b}, {, b, c, e, f}, z {, b, c, g} z {, b, e, f, g} Determie,, z e ( Z) ( ) e (IME-76/77) Dd sucessão A (A), ode A [, ] R, pede-se determir B, C, D, bio ) A k B k

21 b) t A C t c) A D t k t k (IME-7/76) Ddo um cojuto E {,,,, } e três sub-cojutos de E, sber, A, B e C, tis que: A B {, } A B {,,, }, A C {, } A C {,,, }, determie C (B A) e A (B C) 6 (IME-7/7) Cosiderr os cojutos U {, b, c, d, e, f, g, h, i}, A {, b, c, d, e, f, g, h}, B {, c, e, i}, C {, b, c, e, h, i}, D {, e, f, i} Determie o úico cojuto u que stisfz equção ( A B) X C D 7 (IME-7/7) Pr os mesmos cojutos U, A e B do eercício terior, clcule V CU (CUA CUB) e Z (CU A B) (A CUB) 8 (IME-7/7) Ddo o cojuto A {,,,,,, 6}, idere os pres (, ) e relção R, tis que: crtesio A, A, R Escrev os pres (, ) que pertecem o produto A A e que stisfzem relção R 9 (IME-7/7) Sejm s relções F, G e H bio, defiids como cojutos de pres ordedos: F = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (6, )} G = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} H = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, 7) - quis ds relções cim são fuções? - defi pelo cojuto de pres ordedos relção compost de F com G, isto é, o resultdo de plicr primeiro F e depois G - se etre F, G e H eistir um fução que possu ivers, idique est ivers por seus pres ordedos (IME-78/79) Ddos os cojutos S = {, } e H = {,, }, eib tods s fuções que podem ser defiids de H pr S Sej F(H, S) o cojuto de tis fuções Idique em F(H, S), se eistir: ) um fução crescete b) um fução sobrejetor c) um fução ijetor d) um fução bijetor e) um fução decrescete f) um fução em crescete, em decrescete c (IME-77/78) Determie o domíio A d fução f: A R tl que f() l{[log ( )] } (IME-77/78) É dd fução f rel d vriável rel, defiid como f () Esboce o gráfico de f os seguites itervlos:

22 (IME-7/7) Um fução f() é defiid em R de modo que, se f(),, se J [, ] Qul o itervlo (ou os itervlos) descrito por f() qudo vri em J Cosidere (PRIME-8) Sej Z o cojuto dos úmeros iteiros Defie-se em Z um relção R por R > Verifique se R é um relção de equivlêci (PRIME-8 e 8) Sejm A, B, C S (uiverso) sej A o complemetr de A em S, ou sej, A ' { S A} Justifique por digrm de Ve que em gerl é fls iguldde A U B = (A U B) (qudo é verddeir?) 6 (IME-8/8) Complete tbel bio que defie um operção biári ssocitiv sobre o cojuto P {,,, } * 7 (CPRIME-8 e 8) Ddos os cojutos A = { R o Z}, B = { o + z z Z}, ode o é um rel fido, R idic o cojuto dos úmeros reis e Z idic o cojuto dos úmeros iteiros, mostre que A = B 8 Sedo f() e g (), che f -, g - e g o g 9 Sejm q e r fuções cujo domíio é o cojuto dos iteiros miores que zero Sbe-se que q() =, r() = e: r ( ) r() se r() < q() +, etão q( ) q() se r() = q() +, etão Determie q() e r() r ( q( ) ) q() Prove que e são irrciois Ddo o cojuto A = {,, }, verifique detre s relções bio quis são: - refleivs em A simétrics simétrics em A ti-simétrics ti-simétrics em A trsitivs trsitivs em A de equivlêci em A de ordem em ª R = {(, ) R = {(, ), (, ), (, ), (, )} R = {(, ), (, ), (, )} R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R 6 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R 7 = {(, ), (, )} R 8 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R 9 = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Sej A = {, b, c} Determie tods s relções de ordem em A, especificdo s de ordem totl e prcil Sej A = {,, } ) Determie s relções de equivlêci em A

23 b) Determie [] R, [] R e [] R pr cd um dests relções c) Determie o cojuto quociete A pr cd um dests relções d) Determie s prtições de A e compre com o item terior A e) Determie A Ache s prtições de A = {, b, c, d} Determie o cojuto ds prtes (ou cojuto potêci) de: ) S = {,, } b) S = {8, {, }} 6 Cosidere o úmero iteiro N, tl que N > Sejm m e dois úmeros iteiros, positivos, distitos, ão qudrdos perfeitos, mbos situdos o itervlo berto (, N ) Sej o úmero rel d, tl que d Clcule os vlores máimo e míimo de d, verificmos seguir, se d é rciol ou irrciol 7 Ddos dois úmeros reis e b, defiimos um fução f que chmmos distâci o cojuto {, b} d seguite form: f() = distâci de o cojuto {, b} = meor vlor etre e b Esboce o gráfico de f pr = - e b = PROGRAMA IME ESPECIAL DERIVAÇÃO Derive s fuções: ) se e b) (l ) c) rc tg (L( )) d) e) f) se g) se h) se i) rc se Determie, utilizdo derivd logrítmic ) b) c) d) m ( ) ( b) (rc ) Determie um equção d ret tgete às curvs bio os potos idicdos )

24 b) tg c) = d) e) se, poto (, ) Determie o âgulo ds curvs ) se e 8 b) e c) circuferêcis e 9 Determie s equções ds tgetes à curv que pssm por (, -) 6 Determie codição ser impost, b e c pr que s curvs de equção b c sejm tgetes etre si e 7 Ecotre equções ds rets tgete e orml à curv 9 o poto (, ) 8 Determie d / d e b d / d pr s seguites fuções implícits 9 Sejm t t t e t t equções prmétrics de um curv em R ) Clcule d/d em t = b) Ache equção d ret tgete correspodete c) Clcule d / d em t = (CPRIME-8) Determie s equções ds rets tgete e orml o gráfico de poto (, ) f() o (CPRIME-8) Usdo derivção implícit, che d/d epressão 6 (IME-7/7) Ddo o cojuto de rets ( k) ( k) k, clcule os vlores de l tis que s rets correspodetes sejm tgetes à prábol 6 (IME-7/76) Dd curv (c), de equção 7 6 6, determie s equções ds rets tgetes (c) prlels o eio e os potos de tgêci (IME-79/8) Sejm g e f fuções reis d vriável rel tis que fução complet go f : g(f()) é defiid pr todo rel Sej g derivd de g, g'() e, e sej f fução defiid por f() Determie o vlor d derivd d fução g o f em =

25 (IME-8/8) Determie s equções d ret tgete e d ret orml à elipse 8 9 6, o poto (, ) Clcule (se eistir) ) lim b) lim c) lim d) lim LIMITES DE FUNÇÕES (IME-76/77) Sejm f, g, h, j fuções reis de vriável rel defiids como: se ], [ se ], [ f() g() 7 se ], 7[ se ], 7[ se ], [ h () se ], 7[ j () se ], [ Obteh eistir, o limite de cd fução se ], 7[ cim o poto = Qudo ão eistir o limite, determie o limite à esquerd, isto é, o limite qudo se proim de por vlores iferiores Clcule (se eistir) ) lim b) lim c) lim d) e) f) g) lim lim lim lim 6 7 h) lim ( ) i) lim ( ) j) lim ( ) Clcule (se eistir)

26 se ) lim (tg ) b) lim se c) lim tg d) lim se e) lim se se f) lim g) lim se h) lim se se i) lim se j) lim se k) tg lim (IME-7/76) Clcule lim 6 (IME-79/8) Determie se e lim l( ) 7 (CPRIME-8) Usdo regr de L Hôpitl, clcule o lim (ec ) 8 Clcule (se eistir) ) lim l b) c) d) e) lim ( ) se lim lim lim (tg )

27 9 (IME-78/79) Sej t fução defiid por: t () ( ), > Determie: ) l lim t() b) h lim t() (IME-77/78) Clcule lim (l ) e e cot g (IME-7/76) Clcule lim ( ) Clcule se ) lim b) lim CONTINUIDADE - DIFERENCIABILIDADE Alise cotiuidde ds fuções bio os potos idicdos ) b) c) d),, f() o se 6, f() o,, f() e, o f() o e,, Determie, se possível, o vlor dos prâmetros e b pr que s fuções bio sejm cotíus os potos idicdos, ) f() o, se, b) f() o e se b,,

28 Usdo o TVI, mostre que o poliômio P() ete e possuir pelo meos um riz Determie fução derivd ds fuções seguir, evidecido, se eistir, f () Verifique tmbém fução derivd é cotíu o poto = ) f () b) f () se, c) f() se, d) e) f) rc tg, f (), f() e,, se, f (), (IME-77/78) Sej fução f, rel de vriável rel, defiid como f(), se b, se Determie e b, (, b R) pr que f sej derivável o poto = 6 (IME-8/8) Cosidere fução f : (, ) R dd por ) Clcule derivd dest fução o poto = b) Verifique se fução derivd é cotíu o poto = f() (, ),, 7 (CPRIME-8) Um poto o é dito máimo de um fução f : R R se, ddo h R, se tiver f(o h) Mostre que se f é derivável em um poto de máimo tem-se f'(o ) TEOREMA DE ROLLE TEOREMA DO VALOR MÉDIO (TVM) (CPRIME-8) Mostre que s hipóteses do teorem de Rolle são stisfeits pr s fuções f dds bio o itervlo (, b) Ache o vlor de c o itervlo berto (, b) pr o qul f '(c) ) f() 6 (, b) (, 6) b) f() (, b) (, ) (IME-76/77) Sej o poliômio f() o ode i R, i,,,, o, cujs rízes são reis e distits Sbedo-se que o poliômio f (derivd de f com relção ) tem rízes, demostre que esss rízes são reis e distits

29 (CPRIME-8) Sbe-se que etre dus rízes ecutivs de f eiste o máimo um riz de f Usdo tl fto, mostre que o poliômio p() 6 9 possui etmete um riz o itervlo (, ) (IME-78/79) Sbe-se que, ddos um itervlo fechdo [, b], c b, e um fução f defiid e cotíu [, b] e difereciável o iterior de [, b], eiste um poto c ], b[, tl que se tem f '(c)(b ) f(b) f() Dd fução g : [, ] R defiid por g (), determie, cso eist, o poto c s codições cim (IME-7/7) Se um fução f é derivável em um itervlo fechdo [, b] e se c [, b], etão: f(b) f() (b ) f'(c) ) Fç um figur eplictiv do Teorem cim, iterprete-o geometricmete e dê um ome segudo o qul ele é cohecido b) Prticulrizdo o Teorem, pr fução e o itervlo fechdo defiidos bio f (), e, [, b] = [, ] clcule o vlor de c e determie equção d tgete em c 6 (CPRIME-8) Sej f : [, b] R, cotíu em [, b] e derivável em (, b) Mostre que ddo h R, rbitrário, eiste c (, b) tl que f '(c) h f(c) (Sugestão: idere fução e plique o Teorem de Rolle) () f() e h MÁXIMOS E MÍNIMOS CRESCIMENTO CONCAVIDADE ASSÍNTOTAS - GRÁFICO Alise crescimeto, decrescimeto e máimo e míimo reltivos ) f() b) f () c) f () tg 8 se d) f () Dd fução g tl que g() A l( ), determie tte A pr que o vlor máimo de g sej (IME-7/7) Ache s dimesões do retâgulo de áre máim que teh dois vértices sobre ret = e os outros dois sobre prábol p (IME-8/8) Um triâgulo retâgulo, de hipoteus p b e ctetos b e c, ode p é tte, girr em toro de c gerdo um coe Que vlor deve ser ddo b pr que o volume do coe sej máimo? (IME-77/78) Sobre o eio dos tem-se dois potos A e B de bscisss e b, respectivmete (b > > ) Achr um poto P sobre o eio tl que o âgulo A PB sej máimo 6 (IME-8/8) Determie, etre todos os triâgulos retâgulos cuj hipoteus é igul H, o que tem áre máim 7 (IME-78/79) Ache s dimesões do retâgulo de áre que se pode iscrever o iterior d região limitd pel prábol 8 e pel ret = 8, com um dos ldos poido ret = 8

30 8 (IME-76/77) Cosidere curv de equção Determie s coordeds do poto dest curv mis próimos do poto de coordeds (, ) 9 Determir os potos de ifleão ds seguites fuções: ) f() b) f() (CPRIME-8) Determie os potos de ifleão e Ache tods s ssítots ds fuções bio ) f () b) c) f () f() ( ) (IME-7/76) Sej equção de um curv C Determie, cso eistm, sus ssítots, seus potos de máimo e míimo, seus potos de ifleão, os potos ode C ecotr o eio e fç um esboço de C ode estejm idicdos os potos e s rets cim referids (IME-7/7) Estude vrição d fução, determie seus potos de máimo e de míimo, de ifleão e s ssítots Trce um esboço d fução, ssildo os potos cim ludidos e s ssítots, cocluido, seguir, sobre eistêci ou ão de lgum região pr qul < (IME-8/8) Dd fução defiid os reis por ( )( ) determie: ) zeros d fução b) itervlos ode fução é crescete ou decrescete c) potos de máimo e míimo d) potos ode derivd primeir ão é defiid e) cocvidde do gráfico d fução (IME-79/8) Sej fução defiid por () ( se ) se, pr todo úmero rel ) É fução crescete ou decrescete os potos = e b) Qul é cocvidde de os potos cim? COMPLEMENTOS? 6 Determie s ssítots d fução f tl que f() e,,

31 7 Esboce o gráfico ds fuções bio: ) b) c) e d) ( ) PROGRAMA IME-ESPECIAL/989 - LIMITES (IME-76/77) Sedo R, clcule lim (IME-77/78) Pr r > e >, defi fução f t, rel de vriável rel, como: f () t t (t ) Supodo-se que o limite idicdo eist, defie-se t f () lim, > t Determie f(e ), ode e é bse dos logritmos eperios (IME-78/79) Clcule lim (IME-8/8) Cosidere fução f defiid os reis por: f () ( )l( ) l Dê seu domíio e clcule lim f() tg ( (IME-8/8) Clcule lim ( ) ) 6 (IME) Clcule cot g lim ( se ) se b 7 (IME-86/87) Clcule os vlores ds ttes e b tis que lim 8 Clcule sec b lim se 9 Clcule, se eistir: ) lim b) lim c) lim ( k) d) lim

32 (IME) Clcule lim (IME-88/89) Sej < < b Clcule lim b (IME-87/88) Clcule lim l, ode l deot logritmo eperio Clcule lim ( ( ) ( ) Sej f() e, se, Verifique se f é cotíu, che f e verifique se f é cotíu Resolv os seguites itegris idefiidos i) ( ) d ii) iii) iv) d se d d v) d vi) vii) viii) i) z z z d t ( t ) dt se d e d rc tg ) d i) ii) iii) d tg d e tg(e ) d INTEGRAÇÃO - PROGRAMA IME-ESPECIAL

33 iv) v) vi) vii) d d d d viii) d i) d ) e d i) ii) iii) iv) v) se d l d e l d rc tg d rc se d vi) vii) viii) d d ( ) d (IME-mil) Clcule () rc tg d (IME-6) Sedo m um úmero rel mior que, clcule d m l (l l ) (IME-mil) Clcule, usdo substituição se t, I d (IME-mil) O gráfico o ldo mostr figur A, compreedid etre ret = e prábol figur Clcule áre d figur A 6 Sejm f : R R e g : R R Defiimos mi {f, g} como sedo fução h : R R tl que h () mi{f(), g()}, R Se f() e g (), R, clcule mi{ f, g} d 7 (IME-6) Determie áre d superfície limitd pel curv e pel ret

34 8 (IME-6) Clculr som ds áres ds superfícies fiits limitds pelos gráfi d curv e ds ssítots d hipérbole 6 9 (IME-66) Determie o vlor umérico d áre delimitd pels curvs e Ache áre d região delimitd por e (IME-77/78) Dds s prábols e, () = e () = +, sbe-se que áre etre e, mediri etre = e = 6, é igul vezes áre etre e, medid etre = e = Determie Sej R região dos potos, ) do plo, delimitd pels iequções Clculr áre de R Determir áre d região compreedid etre s curvs: ) f () g() b) c) 6 6 d) tg eio r ret e) eio r = - = (IME-76/77) Sejm s regiões defiids pelos cojutos de potos A e B, ode A {(, ) R m, m R } e B {(, ) R, R } Determie áre do cojuto C A B (IME-78/79) Clcule áre d superfície fiit etre s curvs de equção 6 e 6 (IME-8/8)(mil) Determie m tl que região cim d ret m teh um áre de 6 uiddes e bio d prábol 7 (IME-8/8 mil) Clcule áre limitd pelo eio ds, curv = e (l ) e s rets = e 8 Determie áre d região iter à curv fechd 9 (IME-66) Clcule o limite ds seqüêcis bio p p p ) lim (p ) p b) lim se se se p

35 (CPRIME-8) Determie áre d região sob curv f() etre e (CPRIME-8) Clcule o vlor médio d fução f() vlor de c este itervlo tl que f(c) dê seu vlor médio Ache derivd ds fuções seguir: ) F () tdt b) c) d) f () se t dt t dt ( t ) dt o itervlo [, ] e determie um (IME-7/7 mil) As vriáveis e estão relciods pel equção Sbedose que d d é proporciol, determie tte dest proporciolidde dt t (IME-6) Dd fução F (), pede-se clculr itegrl defiid de F() etre os limites e (IME-67) Clcule, etre os limites,7 e,8, itegrl d fução defiid por G () lim 6 (IME-67) Clcule lim e d ( é um tte e é bse dos logritmos eperios) 7 (IME-67) Sej fução F defiid por F() i) fução F é cotíu sobre seu cojuto de defiição ii) F ()d, b, c, Sbe-se que: iii) fução primeir derivd de F é descotíu pes em um úmero do cojuto dos reis Pede-se determir os úmeros, b, c 8 (IME-68) Sej f um fução rel de vriável rel tl que: f (),,, que F() = Determie fução F, rel de vriável rel, cuj derivd sej f, de modo

36 9 (CPRIME-8) Defie-se fução logritmo como log r log log log e que log ( ) r log, ode r é um úmero rciol dt, pr > mostre que t