2 - Modelos em Controlo por Computador

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1 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 2 - Modelos e Cotrolo por Coputdor Objectivo: Itroduzir clsse de odelos digitis que são epregues est discipli pr o projecto de cotroldores Bibliogrfi: Astro e Witterk, CCS, 3rd Ed., Cp. 2. (2.2,2.6,2.7,2.8,2.9) Muito do teril é já cohecido pelo que se frá pes u revisão rápid J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

2 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 2 SLITs e tepo discreto SLITs - Sistes Lieres e Ivrites o tepo (discreto) u(k) SLIT y(k) Lieridde: Ivriâci o tepo: u ( k ) y ( k ) u ( k ) y ( k ) 2 2 u ( k ) + bu ( k ) y ( k ) + by ( k ) 2 2 u( k ) y( k ) u( k + k ) y( k + k ) J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

3 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 3 Descrição de SLITs por equções de difereçs Equção de difereçs lier de coeficietes costtes: Coeficietes d Equção y( k + ) + y( k + ) + + y( k ) Orde d Equção b u( k + ) + b u( k + ) + + b u( k ) J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

4 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 4 Codições iiciis especificds: y( ) y( ) Mostre que: A equção de difereçs lier, de coeficietes costtes descreve u siste lier e ivrite o tepo A solução d equção de difereçs co codições iiciis especificds existe e é úic J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

5 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 5 Descrição de SLITs por equções de difereçs co s ostrs trsds Equção de difereçs escrit co s ostrs vçds: y( k + ) + y( k + ) + + y( k ) b u( k + ) + b u( k + ) + + b u( k ) Equção de difereçs escrit co s ostrs trsds: y( k ) + y( k ) + + y( k ) b u( k ( )) + b u( k ( ) ) + + b u( k ) Pss-se de u pr outr trsdo ou ditdo o tepo pssos. J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

6 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 6 Cuslidde do siste U siste diz-se cusl se y(k) depede pes ds etrds e síds té o istte k. Siste descrito por equção de difereçs lier: y( k + ) + y( k + ) + + y( k ) b u( k + ) + b u( k + ) + + b u( k ) Este siste é cusl se J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

7 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 7 Atrso do Siste Equção de difereçs escrit co s ostrs trsds: y( k ) + y( k ) + + y( k ) b u( k ( )) + b u( k ( ) ) + + b u( k ) Atrso do siste Etrds plicds e k só iflueci síd prtir de k+(-). De qui e dite, cosider-se sepre sistes cusis. Pr estes o trso do siste, d, é ão egtivo: d J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

8 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 8 Fução de trsferêci discret u(k) SLIT y(k) Assue-se o siste odeldo pel equção de difereçs y( k + ) + y( k + ) + + y( k) b u( k + ) + b u( k + ) + b u( k) Toe-se trsford Z co codições iiciis uls pr obter fução de trsferêci: G( z) Y( z) U ( z) b z + b z + + b 2 z + z + z J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

9 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 9 Operdor vço É possível u descrição copct e fcilete ipulável de SLITs discretos usdo o operdor vço Sucessão vçd Sucessão x( k + ) qx( k ) Operdor vço J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

10 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor Operdor de trsferêci do siste (vço) y( k + ) + y( k + ) + + y( k ) b u( k + ) + b u( k + ) + + b u( k ) Substituido y( k + ) por q y( k ), e ssi sucessivete: q y( k ) + q y( k ) + + y( k ) b q u( k) + b q u( k) + + b u( k) Co y(k) e u(k) e evidêci, obté-se u operdor que descreve o siste: bq + bq + + b q + b y( k ) u( k ) q + q + + q + J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

11 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor bq + bq + + b q + b y( k ) u( k ) q + q + + q + Operdor de trsferêci do siste (vço) B(q) H( q) A(q) b q + b q + + b q + b q + q + + q + B( q) A( q) Devido o fcto de o operdor vço trsforr sequêcis liitds (jords e iords) e sequêcis liitds, pode ser ipuldo lgebricete co grde liberdde. J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

12 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 2 Operdor Avço vs Trsford Z Operdores represet sistes equto trsfords Z descreve siis. U siste co codições iiciis uls pode ser represetdo pel trsford Z d su respost ipulsiv (fução de trsferêci). Álgebr dos operdores é plicd sequêcis discrets equto trsford Z é plicd fuções coplexs de vriável coplex. Teros cous o uerdor e deoidor d FT pode ser cceldos (álgebr de ueros coplexos), s co operdores isto ão é peritido. Sob codições iiciis uls e se cceletos de teros, FT e operdor de trsferêci são descrições equivletes de u siste. J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

13 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 3 Operdor trso Alogete, pode-se usr o operdor trso: Operdor trso Sucessão trsd x( k ) q x( k ) Sucessão A represetção o operdor vço é is dequd pr o estudo d estbilidde, deterição de polos, zeros e orde do siste. A represetção o operdor trso é is dequd pr ipleetção dos lgoritos. J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

14 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 4 Operdor de trsferêci do siste (trso) y( k ) + y( k ) + + y( k ) b u( k ( )) + b u( k ( ) ) + + b u( k ) Substituido y( k ) por q y( k ), e ssi sucessivete: y( k ) + q y( k ) + + q y( k ) b q u k + b q u k + + b q u k d ( ) d d ( ) ( ) Podo y(k) e u(k) e evidêci, obte-se o operdor que descreve o siste: d b + bq + + bq y( k) q 2 u( k) + q + q + + q 2 J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

15 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 5 Polióio recíproco de A( q) : * r A q q A q ( ) ( ) Polióio recíproco, r orde do polióio A(q) Ateção: E gerl, o recíproco do recíproco ão é idetidde! Operdor de trsferêci do siste e teros do operdor trso e do polióio recíproco * H ( q ) q d b + b q + + b q + q + + q q d B A * * ( q ) ( q ) J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

16 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 6 Polos e Zeros B( z) H ( z) A( z) São zeros do siste os vlores z tl que: li H ( z) z z São polos do siste os vlores z p tl que: li H ( z) z z p 2z + Exercício: Clculr os polos e os zeros do siste H ( z) 2 z + 2z + Nots: O úero de zeros e ifiito represet o excesso polos-zeros (d). Polos orige represet trsos puros. J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

17 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 7 Estbilidde Estbilidde BIBO (Bouded Iput Bouded Output): U siste lier e ivrite o tepo é estável se ddo u sil de etrd liitdo, síd tbé é liitd: u ( k), u( k) < M y( k) < u M y Teste prático: Dd fução de trsferêci de u SLIT cusl, o siste é estável se todos os seus polos tê ódulo iferior. Clculr e vlir s rízes d equção crcterístic do siste: A( q) q + q J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

18 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 8 Critério de Jury coeficietes do polióio crcterístico cálculos α α α k k k i i k k i k k k k U SLIT cusl é estável se, pr positivo, todos os k,,..., k,são positivos. k Se ehu dos é ulo, k etão o úero de egtivos é o úero de rízes do polióio crcterístico co ódulo superior (istáveis). J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo

19 Modelção, Idetificção e Cotrolo Digitl 2-Modelos e Cotrolo por Coputdor 9 Exercícios Sej u siste descrito pel seguite equção às difereçs: - Clcule: y( + 3) y( + 2) + y( + ) u( + 2) + 3 u( + ) + 2 u( ) ) Operdores de trsferêci do siste (vço e trso). b) Polos e Zeros c) Cuslidde e Estbilidde 2 - Obteh respost do siste o esclão e Siulik. Coete. 3 Escrev e pseudo-código ipleetção coputciol do siste ddo. J. Mird Leos, A. Berrdio IST-Secção de Sistes e Cotrolo