a) N g)... Q c) 4... Z d) e) ... I... Z ... Q h)... N i) N

Transcrição

1 CONJUNTOS NUMÉRICOS NÚMEROS NATURAIS(N) N = { 0,,,,,,...} ou N* = {,,,,,...} NÚMEROS INTEIROS(Z) Z = {...,-,-,-,-,0,,,,,...} Sucojuto de Z Cojuto dos úeros iteiros ão-ulos. Z* = {...,-,-,-,-,,,,,...} Cojuto dos úeros iteiros ão-egtivos. Z= {0,,,,..,} Cojuto dos úeros iteiros positivos. Z*+ = {,,,...} Cojuto dos úeros iteiros ão- positivos. Z- = {...,-,-,-,0} Cojuto dos úeros iteiros egtivos. Z-* = {...,-,-,-,} NÚMEROS RACIONAIS(Q) Os úeros rciois(q) pode ser represetdos e for frcioári ou decil, são usdos e proles que Eercicios: evolve s prtes de u todo, u quociete, rzão etre ) Relcioe os eleetos e os cojutos: dois úeros iteiros, etc. ) N Ch-se de úero rciol todo úero que pode ser )... Q epresso for de frção p/q, co p Z, q Z*. c)... Z *Todo úero iteiro é rciol. E; -, -, 0,, *Todo úero decil eto é rciol. E:0, é rciol, pois pode ser colocdo for /0. *Todo úero decil periódico é rciol. E: 0,=/ 0,=/ NÚMEROS IRRACIONAIS ( I) Os gregos tigos recoheci u espécie de úeros que ão são e iteiro e frcioário, posteriorete idetificdo coo irrciol. Qul o resultdo d operção + = Errdo.. = Certo NÚMEROS REAIS(R) De for is rgete esse uiverso de cojutos uéricos, teos o cojuto dos úeros reis. O cojuto dos úeros reis é fordo pel uião dos rciois co os irrciois. R = Q I d) e) f) 0... I... Z... Q g)... Q h)... N i) -... N 0, 8 ) Assile V pr seteçs verddeirs e F pr seteçs flss: ) N Z ) N* N c) N* N d) Z Z e) Z Z f) Q R g) Z Q h) Z Q i) N R j) R R *.

2 -Escrever e orde crescete os úeros reis,,,,, usdo o sil < (eor que) -Deterie o vlor uérico de usdo ---Escrever for e úeros reis : ),... 0,7 ). coo e Q os 0,... ) Nu pesquis relizd co 00 pessos, 80 iforr que gost de úsic sertej, 0 úsic roâtic, de úsic clássic, de úsics sertej e roâtic, de úsics sertej e clássic, de úsics roâtic e clássic, 8 gost dos três tipos de úsic e os deis de ehu ds três. Oter o úero de pessos que ão gost de ehu ds três.r=8 pessos Siplifique s frções té torá-ls irredutíveis. ) 70 ) 8 c) 77 c) = (,7 + 8, ) (, + 7,88). Deterie o úero. - ATENÇÃO: litro = d³ Oserve figur. O volue de águ ci é de: )O, l ) l c) 0 l d) 00 l - Deterie áre de u triâgulo cuj se ede 8 c e ltur,, c. 7 Multiplique s frções e, se possível, use técic de cceleto ).. ) 8-Represete s frções for decil. - E u prlelogro, se ede 0 c. Sedo que edid d ltur é etde d edid d se, deterie áre desse prlelogro. Lerdo Regrs de operções co siis: ) 0 ) c) 0 77 d) 00 ) Escrev for de frção decil irredutível os seguites úeros deciis. ), ) 0, c) 0, d), e),0 0)Usdo os siis =, > e <, copre os seguites pres de úeros deciis. ), e, ) 7 e 7, c),0 e, d),08 e,00 e) 0,0 e 0, U úero é tl que Uiddes do Siste Métrico Decil

3 Potecição ftores - é se; - é o epoete; - o resultdo é potêci. Por defiição teos que: Eeplos: ) 7 0 ) c) 8 d) e. PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO. Qudro Resuo ds Proprieddes A seguir presetos lgus eeplos pr ilustrr o uso ds proprieddes: CUIDADO!! Cuiddo co os siis. Núero egtivo elevdo epoete pr fic positivo. Eeplos: Núero egtivo elevdo epoete ípr perece egtivo. Eeplo: E. : 8 Se, qul será o vlor de? Oserve:, pois o sil egtivo ão está elevdo o qudrdo. os prêteses deve ser usdos, porque o sil egtivo - ão deve ser elevdo o qudrdo, soete o úero que é o vlor de. ) Nest propriedde veos que qudo tiveros ultiplicção de potecis de ses iguis teos que coservr se e sor os epoetes. E..: E..: 7 7 E..: este cso deveos prieirete resolver s potêcis pr depois ultiplicr os resultdos, pois s ses e são diferetes. 8 Os.: Deveos lerr que est propriedde é válid os dois setidos. Assi: ou ) 7 7 Eeplo: Nest propriedde veos que qudo tiveros divisão de potecis de ses iguis teos que coservr se e sutrir os epoetes. E. : E. :

4 Os.:Est propriedde té é válid os dois setidos, ou sej Eeplo: ou c) d) Nest propriedde teos u poteci elevd u outro epoete, pr resolver teos que coservr se e ultiplicr os epoetes. E. : E. : Os.:Est propriedde té é válid os dois setidos, ou sej ou E.: ou d) Est propriedde os ostr que todo rdicl pode se trsfordo u poteci de epoete frcioário, ode o ídice d riz é o deoidor do epoete. E. : 7 E. : E. : E. : Os.:Est propriedde té é válid os dois setidos, ou sej ou E.: e), co 0 E. : E. : Os.:Est propriedde té é válid os dois setidos, ou sej ou f) E. : E.: E. : E. : Os.:Est propriedde té é válid os dois setidos, ou sej ou g) E.: E. : E. : E. : Os.:Est propriedde té é válid os dois setidos, ou sej ou E.: ) )

5 CUIDADO!!! 8 Proprieddes dos rdicis 7 Ess propriedde ostr que todo rdicl pode ser escrito for de u potêci. p ) p Os.: É iportte colocr que os três eeplos ci o sil egtivo do epoete ão iterferiu o sil do resultdo fil, pois est ão é su fução. E. : E. : E. : Eeplos is copleos: () Os.: é iportte lerr que est propriedde té p é uito usd o setido cotrário ou sej (o deoidor do epoete frcioário é o ídice do rdicl). Eeplo :. p () ().... RADICIAÇÃO. ) E.: c) E.: A rdicição é operção ivers d potecição. De odo gerl podeos escrever: e d) E.: ou E. : pois E. : 8 pois 8 N riz, teos: - O úero é chdo ídice; - O úero é chdo rdicdo. e) E.: f) E.:

6 RAÍZES NUMÉRICAS Eeplos: ) 7 8 ) ou ou Resultdos possíveis 8 7 For Os.: Ne sepre chegreos eliir o rdicl.

7 7 Epressões uérics E u epressão uéric, resolveos e prieiro lugr s potecis e rízes e depois s ultiplicções e divisões orde e que els prece, d esquerd pr direit, depois resolveos s dições e sutrções té orde e que els prece, d esquerd pr direit, eliido prêteses, colchetes e por últio s chves, fzedo os cálculos detro de cd u. Assi: Oserve coo podeos resolver s epressões uérics: Eeplo: 8 Eeplo: Qul é o vlor de Teos que: Eeplo: Eeplo: ( + ) Eeplo: (,07 ) X, Eeplo: ( 0,0 : 0,00 ) : 0, Assi: Eeplo: ( 0,8 0, : 0, )³ :, + (0,)² Eeplo: Teos que: Eeplo: [( ) + ] = [( 0) + ] = [ + ] = = 7 Eeplo: 0 [ + ( ³ - 7 )] = = 0 [+ ( 8-7 )]

8 8 = 0 [ + ]= = 0 = = Eeplo: [ ² + ( )³] : ( 7)³ (pois é divisível por ) Eeplo: { 0 [ 0 ( 0 + ) + ]} Eeplo:. + ³ - R A Í Z E S L I T E R A I S ) ) 8 8. pois ãoé divisível por Escrever o rdicl for de epoete frcioário ão resolve o prole, pois ove ão é divisível por. Assi decoporeos o úero d seguite for: = 8 +, pois 8 é divisível por que é o ídice d riz. Assi tereos: ) pois é divisível por (ídice d riz). Outros Eeplos: )

9 O P E R A Ç Õ E S C O M R A D I C A I S c) 0 Adição e Sutrção º CASO: Rdicis tê ídices diferetes. Eeplos: ) O ciho is fácil é trsforr os rdicis e potêcis frcioáris. Logo e seguid, trsforr os epoetes frcioários e frções ) equivletes (co eso deoidor). ) ftores eteros Os.: Podeos dizer que estos colocdo e evidêci os rdicis que precer e todos os teros d so. ) ) Eeplos: 8 ão pode ser is reduzid ATENÇÃO: -, ou sej, riz de is riz ) 7 7 de dois é igul dus rízes de dois. MULTIPLICAÇÃO Teos csos ásicos pr ultiplicção de rdicis, seguir vereos cd u: º CASO: Rdicis tê rízes ets. Neste cso st etrir riz e ultiplicr os resultdos: Eeplo: 8 8 º CASO: Rdicis tê o eso ídice. Deveos coservr o ídice e ultiplicr os rdicdos, siplificdo sepre que possível o resultdo otido. Eeplos: ) - por que? Divisão A divisão de rdicis te csos ásicos, seguir vereos cd u deles: º CASO: Os rdicis tê rízes ets. Nesse cso, etríos s rízes e dividios os resultdos. Eeplo: 8 : 7 : º CASO: Rdicis tê o eso ídice. Deveos coservr o ídice e dividir os rdicdos. Coo os í iguis, pode ríze ) pode prr qui! Eeplos: :

10 : 0 0 º CASO: Rdicis co ídices diferetes. O ciho is fácil é trsforr os rdicis e potêcis frcioáris, efetur s operções de potêcis de es se e voltr pr for de rdicl. Eeplo: 7 c) No deoidor so ou sutrção de rdicis: : RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Rciolizr u frção cujo deoidor é u úero irrciol, sigific chr u frção equivlete à el co deoidor rciol. Vejos lgus eeplos: ) Teos o deoidor pes riz qudrd: ) Teos o deoidor rízes co ídices iores que : () Teos que ultiplicr uerdor e deoidor por =., pois + () Teos que ultiplicr uerdor e deoidor por, pois + =.

11 I. POLINÔMIOS ) DEFINIÇÃO: Poliôios são qulquer dição lgéric de oôios. MONÔMIOS: tod epressão lgéric iteir represetd por u úero ou pes por u vriável, ou por u ultiplicção de úeros e vriáveis. Eeplos: ) ) c) d) p Os oôios que for os poliôios são chdos de teros dos poliôios. Coo períetro é so dos ldos, tereos: teros seelhtes teros seelhtes o resultdo é u poliôio. ) Os. : O oôio poliôio de u tero só. é u Os. : é u poliôio de teros: e. Os. : é u poliôio de teros:, e. ) OPERAÇÕES COM POLINÔMIOS.. Adição Algéric de Poliôios Pr soros ou is poliôios, soos pes os teros seelhtes. Eeplo: ) Oter o períetro do triâgulo io:.. Multiplicção Algéric de Poliôios A ultiplicção de u poliôio por outro poliôio deve ser feit ultiplicdo-se cd tero de u deles pelos teros do outro (propriedde distriutiv) e reduzido-se os teros seelhtes. Eeplo: ) e fic ssi.

12 ) ) teros seelhtes Coo é íio últiplo d frção, podeos seprr e dus 7 c) ão há teros seelhtes Os.: No ite ftorção de poliôios vereos outrs fors de presetr est respost... Divisão Algéric de Poliôio Divisão de u poliôio por u oôio A divisão de u poliôio por u oôio deve ser feit dividido-se cd tero do poliôio pelo oôio. Eeplo: )

13 II. PRODUTOS NOTÁVEIS Regrs ) ) ) Pois: ) ) c) Coo utilizreos os produtos otáveis? Eeplos pr siplificções: ) produtootável ).. 8 Os.: jis será igul, st lerros que:.. 8 c) jis será 8, pois:

14 8 8 8 III. ALGUNS CASOS DE FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS A ftorção de poliôios será uito usd pr siplificção de epressões lgérics e pr oter o íio últiplo cou (..c.) de frções lgérics.. Ftorção pel colocção de lgu ftor e evidêci Eeplos: Oserveos que é o ftor cou, portto, ) Etão Ao efeturos o produto, voltreos pr epressão iicil. ) Assi: c)

15 Os.: As vriáveis que prece e todos os teros do poliôio precerão o ftor cou sepre co o eor epoete. IV. FRAÇÕES ALGÉBRICAS As frções que preset vriável o deoidor são chds de frções lgérics. Eeplos:, t, t. Adição e Sutrção Tto dição coo sutrção de frções, deveos oter o..c. dos deoidores. ) Eeplos:..c. dos é o..c. de e. tods s ) 8 M..c. etre, e 8 é o..c. etre, e 8;

16 c) Ftordo os deoidores: M.M.C. dos deoidores ftordos e será: Assi Ms id podeos elhorr o resultdo: otável produto d) Procuros escrever os deoidores for ftord: otável produto Assi tereos:..c dos deoidores será que e teos que e teos

17 7. Multiplicção e divisão de frções lgérics A ultiplicção e divisão de frções lgérics é etete igul de frções uérics, ou sej ão é ecessário oter o c dos deoidores. Multiplic-se uerdor por uerdor e deoidor por deoidor. ) ) Eeplos: Divisão de Poliôios: Esque: Vos dividir u poliôio por u oôio, co o ituito de etederos o processo opertório. Oserve: Eeplo : Cso queir verificr se divisão está corret, st ultiplicr o quociete pelo divisor, co vists oter o dividedo coo resultdo. Verificdo quociete * divisor + resto = dividedo * (² + ) + 0

18 ³ + ² 8 8 Cso isso ocorr, divisão está corret. No eeplo seguir, ireos dividir poliôio por poliôio. Vej: Eeplo : Verificdo quociete * divisor + resto = dividedo ( ) * ( ) + ( ) 0² ( ) 0² + 0² + 0 Oserve o eeplo de úero : Verificdo quociete * divisor + resto = dividedo (² + ) * (² + ) + 0 ³ + ² + ³ ² + ² + 0³ + ² + Eeplo :

19 Pr verificr quociete * divisor + resto = dividedo Usdo- Briout Rufii Pr utilizr o dispositivo prático de Briot-Ruffii, precisos prieirete lisr o poliôio do divisor e ecotrr su riz. E seguid, deveos idetificr todos os coeficietes uéricos do poliôio do dividedo. Vos cosiderr divisão etre os poliôios P() e Q(), e que P() = e Q() = u. A riz do poliôio Q() é dd qudo ele é iguldo zero. Portto, riz de Q() é: Q() = 0 u = 0 = u Os coeficietes de P() são,,,, -,. A otge do dispositivo de Briot-Ruffii prtir d riz de Q() e dos coeficietes de P() é dd d seguite for: Método de utilizção do dispositivo prático de Briot-Ruffii. Vejos coo fzer divisão de poliôios P() por Q() qudo P() = + e Q() =. Prieirete, vos verificr riz de Q(): Q() = 0 = 0 = Vos otr o dispositivo de Briot-Ruffii trvés d riz de Q() e dos coeficietes de P(): O prieiro coeficiete de P() é o. Nós podeos reescrevê-lo lih iferior: Agor ós ultiplicos o por e soos o resultdo co o segudo coeficiete de P(), o úero, isto é, fzeos. + ( ) = 8. O resultdo 8 deve ser escrito eio do coeficiete.

20 0 Repetios o processo, ultiplicos 8 por e soos co o terceiro coeficiete de P(), o úero. O cálculo é ddo por 8. + =. Escreveos o resultdo eio do coeficiete. Repetios o procedieto pel últi vez. Agor ultiplicos o por e soos o resultdo co, ou sej, ós fzeos. + ( ) = 7. O resultdo 7 é colocdo eio de e é o restode oss divisão. O poliôio resultte dess divisão é deterido pelos úeros, 8 e. Estes são coeficietes desse poliôio. Coo for dito teriorete, o últio úero () é cophdo de 0, o 8 é cophdo de, e o é cophdo de. Portto, o poliôio resultte d divisão de + por é + 8 +, e o resto d divisão é r = 7 Vejos outro cso, vos dividir o poliôio P() = + + por Q() = +. Aplicdo eplicção do étodo, teos: A divisão de P() = + + por Q() = + result o poliôio +, e o resto é 0. Eercícios: ) Efetue s operções idicds: ) ( + ) + ( ) ) ( 8 + ) + (7 8) c) ( ) + ( ) d) ( ) + ( c) + (c ) e) ( ) ( ) f) (8 + ) ( 7 + ) g) ( + ) ( + ) h) ( + 8 ) ( + + ) i) ( + ) + ( 7 + ) ( ) j)

21 k) l) ) ) Efetue s ultiplicções: ) ( 7) ) ( + )( ) c) ( + + ) d) ( + ) e) ( + + ) f) g) h) ( + )( ) i) ( + )( + ) j) ( + )( + ) ) Clcule os seguites quocietes: ) ( ) : ) (8 c + ) : c) (7 ) : ( ) d) ( p) : 7 e) (7 c 8c c) : ( c) f) (8 + ): ( ) 8 0 : g) h) c : ) Deterie o quociete e o resto ds seguites divisões: ) ( 7 + ) : ( ) ) ( + 0 ) : ( ) c) (7 + ) : ( ) d) ( 7) : ( + ) e) ( + + 0) : ( + ) f) (0 + ) : ( + ) g) ( + ) : ( + ) h) ( + + 8) : ( + + ) ) O quociete d divisão de P() = 7 + por Q() = é: ( por dispositivo de Briot-Ruffii).. + c. + d. + e. + ) Ecotre o polioio que idicri o volue d figur io

22 7) Deterie o poliôio que desig o volue dess ci. RESPOSTAS: ) ) ) - -- c) d) - +c e) f) + -+ g) + -- h) i) - j)/ + - k) /+/ l) /+ )/ +/ f) Q=- e R=-+ g) Q=- e R=-- h) Q= - e R= + 7) ) ) ) c) + + d) + - e) ++ f) /+ /- -/ g) / h) 0 +- i) j) ) ) -- ) -c+ c)-++ d) 7--p e)-+ + f) +-/ g) -+ h) -+/ c ) ) Q=- e R=0 ) Q= ++ e R=0 c) Q= -+ e R=0 d) Q=+ e R=- e) Q=+ e R=

23 Equções de º e segudo Grus Eeplo : = + Pr ess equção, e rzão d preseç do o deoidor, teos restrição de que 0. Pr iiciros resolução desse eeplo, deveos ecotrr o íio últiplo cou dos deoidores, e, que é 0. Vos etão dividir esse tero por cd deoidor e ultiplicá-lo pelo respectivo uerdor:. = Coo os deoidores são iguis, podeos descosiderá-los, ficdo pes co:. = Resolvedo equção, teos: = 0 + = 0 = 0 = 0 Portto, o resultdo d equção é 0 /. Eeplo : = + Nesse cso, os deoidores deve ser diferetes de zero, portto, podeos dizer que: 0 e - Pr resolver equção frcioári, vos ecotrr o íio últiplo cou etre os dois deoidores. Feito isso, vos dividi-lo por cd deoidor e ultiplicá-lo pelo seu respectivo deoidor: ( + ) = ( ) ( + ) ( +) Coo os os deoidores são iguis, podeos descosiderá-los, ficdo pes co: ( + ) = ( ) Aplicdo propriedde distriutiv, teos: + = Colocdo os teros e orde de u eso ldo d equção, tereos otd u equção de segudo gru: = 0 Ess equção possui coeficietes =, = e c =. Vos resolver equção trvés d fórul de Bhskr: = ± [² c] = ( ) ± [( )²..( )]. = + ± [ + ] = ± = ±

24 ' = + = 8 = '' = = = Portto, os resultdos possíveis são: = e =. Eeplo : + + = + Vejos pr quis vlores de equção ão está defiid: ± Vos ftorr o últio deoidor fi de fcilitr ossos cálculos posteriores: + + = + (+)( ) Agor é ecessário ecotrr o íio últiplo cou dos deoidores e, e seguid, dividi-lo por cd deoidor e ultiplicá-lo pelo respectivo uerdor:.(+).( ) +.(+) +.( ) = (+)( ) (+)( ) Coo os deoidores são iguis, podeos descosiderá-los, restdo pes: Aplicdo propriedde distriutiv, teos:.(+).( ) +.(+) +.( ) = ( ) +.(+) +.( ) = = 0 8 = 0 Pr resolver ess equção do segudo gru, utilizreos fórul de Bhskr, lerdo que os coeficietes dess equção são: =, = e c = 8. = ± [² c] Os resultdos possíveis pr são:

25 Eercicios: )E u retâgulo, áre pode ser otid ultiplicdo-se o coprieto pel lrgur. E deterido retâgulo que te c² de áre, o coprieto é epresso por ( ) c, equto lrgur é epress por ( ) c. Nesss codições, deterie o vlor de. ) A equção ( )( + ) = : ) dite dus rízes reis e iguis. ) dite dus rízes reis e oposts. c) dite pes u riz. d) ão dite rízes reis. F ) Pr trsforr grus Fhreheit e grus Celsius us-se fórul C =, e que F é o úero de grus Fhreheit e C é o úero de grus Celsius. Qul tepertur (e grus Celsius) e que o úero de grus Fhreheit é o doro do úero de grus Celsius? ) Resolv s equções: ) ) = 7 + = c) = + = e) d) + = f) + + = ) Deterie s rízes reis ds equções icoplets: ) Resolv s equções coplets o cojuto R: 7-Resolv s equções frcioáris io. ) ) c) ² d) e) f) ²