Levantamento de Dados. Escolha do Método Numérico Adequado

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1 UNIDADE I. Itrodução Estudreos este curso étodos uéricos pr resolução de proles que surge s diverss áres. A resolução de tis proles evolve váris fses que pode ser ssi estruturds: Prole Rel evteto de Ddos Costrução do Modelo Mteático Escolh do Método Nuérico Adequdo Ipleetção Coputciol deste Método Aálise dos Resultdos Otidos Se Necessário: Reforulr o Modelo Mteático e/ou Escolher Novo Método Nuérico Não é rro cotecer que os resultdos fiis estej disttes do que se esperri oter, id que tods s fses de resolução teh sido relids corretete. Os resultdos otidos depede té: D precisão dos ddos de etrd; D for coo estes ddos são represetdos o coputdor; Ds operções uérics efetuds. Os ddos de etrd cotê u iprecisão ierete, isto é, ão há coo evitr que ocorr, u ve que represet edids otids usdo equipetos específicos, coo, por eeplo, o cso de edids de correte e tesão u circuito elétrico, ou etão pode ser ddos resulttes de pesquiss ou levtetos, coo o cso de ddos populciois otidos u receseeto.

2 Neste cpítulo estudreos os erros que surge d represetção de úeros u coputdor e os erros resulttes ds operções uérics efetuds.. Represetção de Núeros Cosidere seguite pergut do eeplo io: Eeplo : Qul áre de u circuferêci de rio? Possíveis Resultdos Otidos i ; ii 6 ; iii,96. Coo justificr s difereçs etre os resultdos? É possível oter etete est áre? Eeplo : Efetue o sotório seguir, usdo u clculdor e u coputdor. Possíveis Resultdos Otidos i Pr,, teos: N clculdor:. No coputdor:. ii Pr,, teos: N clculdor:. No coputdor: 99,9969. pr, e pr,. Coo justificr difereç etre os resultdos otidos pel clculdor e pelo coputdor,? Os erros ocorridos os dois proles depede d represetção dos úeros áqui utilid. A represetção de u úero depede d se escolhid ou dispoível áqui e uso e do úero áio de dígitos usdos su represetção. O úero, por eeplo, ão pode ser represetdo por u úero fiito de dígitos deciis. No eeplo, o úero foi escrito

3 coo,;,6 e,96 respectivete os csos i, ii e iii. E cd u deles foi otido u resultdo diferete, e o erro este cso depede eclusivete d proição escolhid pr. Qulquer que sej circuferêci, su áre uc será otid etete, u ve que é u úero irrciol. Coo este eeplo, qulquer cálculo que evolv úeros que ão pode ser represetdos trvés de u úero fiito de dígitos ão forecerá coo resultdo u vlor eto. Quto ior o úero de dígitos utilidos, ior será precisão otid. Por isso, elhor proição pr o vlor d áre d circuferêci é quel otid o do ite iii. Alé disto, u úero pode ter represetção fiit e u se e ão-fiit e outrs ses. A se decil é que epregos tulete. N tiguidde, for utilids outrs ses, coo se, se 6. U coputdor oper o siste iário. Oserve o que cotece iterção etre usuário e o coputdor: os ddos de etrd são evidos o coputdor pelo usuário o siste decil; tod est iforção é covertid pr o siste iário, e s operções tods serão feits esse siste. Os resultdos fiis serão covertidos pr o siste decil e, filete, serão trsitidos o usuário. Todo esse processo de coversão é u fote de erros que fet o resultdo fil dos cálculos... Coversão de Núeros os Sistes Decil e Biário Vereos iicilete coversão de úeros iteiros. Cosidere os úeros 7 e. Estes úeros pode ser ssi escritos: De u odo gerl, u úero se,,,,,, pode ser escrito for polioil: Co est represetção, podeos fcilete coverter u úero represetdo o siste iário pr o siste decil. Por eeplo:..... Colocdo o úero e evidêci, teos:..

4 Deste eeplo, podeos oter u processo pr coverter u úero represetdo o siste iário pr o siste decil: A represetção do úero se, deotd por, é otid trvés do processo: Pr, seqüêci otid será:.... ogo Vereos gor u processo pr coverter u úero iteiro represetdo o siste decil pr o siste iário. Cosidere o úero 7 e su represetção se. Teos etão que: E, portto, o dígito represet o resto d divisão de 7 por. Repetido gor este processo pr o úero 7, teos: 7... Oteos o dígito, que será o resto d divisão de por. Seguido este rciocíio oteos seqüêci de úeros e Portto, represetção de 7 se será.

5 No cso gerl, cosidere u úero iteiro se e su represetção iári deotd por:. O lgorito oté cd o dígito iário. Psso : Psso : Oteh e tis que:. Fç Psso : Se, pre. Cso cotrário, fç. Fç e volte pr o psso. Cosidereos gor coversão de u úero frcioário d se pr se. Sej por eeplo:,;,66666 ;,6 Dieos que te represetção fiit e que e tê represetção ifiit. Ddo u úero etre e o siste decil, coo oter su represetção iári? Cosiderdo o úero,, eiste dígitos iários:,,,, tis que, será su represetção se. Assi,,... Multiplicdo cd tero d epressão ci por, oteos:,,... e,portto, represet prte iteir de, que é igul ero e... represet prte frcioári de,. Aplicdo gor o eso procedieto pr o úero otido teriorete,..., teos:,,.... Repetido o processo pr,, segue que:,.... Coo prte frcioári de, é ero, etão o processo teri, logo teos que, te represetção fiit se coo sedo,.

6 Oservção: U úero rel etre e pode ter represetção fiit o siste decil, s represetção ifiit o siste iário. No cso gerl, sej u úero etre e o siste decil e, su represetção o siste iário. Os dígitos iários,,, são otidos trvés do seguite lgorito: Psso : ; Psso : Clcule. Se, fç Cso cotrário, fç. Psso : Fç. Se, pre. Cso cotrário use o psso. Psso : Fç e volte o psso. Oserve que o lgorito pode ou ão prr pós u úero fiito de pssos. Pr,, teos. Já pr, : ;, ;,, ;,, ;,8,8 ;,6,6 ;,, Coo, teos que os resultdos pr de se repetirão e etão:, e ssi idefiidete. Cocluíos que:,, e portto, o úero, ão te represetção iári fiit. O fto de u úero ão ter represetção fiit o siste iário pode crretr ocorrêci de erros preteete ieplicáveis e cálculos efetudos e sistes coputciois iários. Alisdo o º eeplo ddo sore represetção de úeros e usdo o processo de coversão descrito teriorete, teos que o 6

7 úero, te represetção fiit o siste iário:, ; já o úero, terá represetção ifiit:, U coputdor que oper o siste iário irá rer u proição pr,, u ve que possui u qutidde fi de posições pr gurdr os dígitos d tiss de u úero, e est proição será usd pr relir os cálculos. Não se pode, portto, esperr u resultdo eto. Cosidere gor u úero etre e represetdo o siste iário:, Coo oter su represetção o siste decil? U processo pr coversão é equivlete o que descreveos teriorete. Defiido, cd iterção, o processo de coversão ultiplic o úero por (Verifique! e oté-se o dígito coo sedo prte iteir deste produto covertid pr se decil. É iportte oservr que s operções deve ser efetuds o siste iário. O lgorito seguir forli este processo. Psso : ; Psso : Clcule. Cosidere prte iteir de. é coversão de pr se. Psso : Fç. Se, pre. Cso cotrário use o psso. Psso : Fç e volte o psso. Eeplo: Trsfore o úero, pr se, ou sej, for:,. Solução: Usdo o lgorito ci, oteos:, ;, e,;, e,;, 9 e,;, e,; 7

8 , 7 e,; e ; Portto,,97. Podeos gor eteder elhor por que o resultdo d operção, ão é otido co etidão u coputdor. Já vios que, ão te represetção fiit o siste iário. Supodo u coputdor que trlhe co pes 6 dígitos tiss, o úero, seri redo coo, e este úero represet etete,97. Portto, tods s operções que evolve o úero, seri relids e ritétic do poto flutute co o ojetivo de se eteder elhor cus de resultdos iprecisos e operções uérics. Eercícios Covert os seguites úeros deciis pr su for iári: 7; ; c ; d,; e,7. Resposts: 7 ; ; c ; d,, ; e,7,. Covert os seguites úeros iários pr su for decil: ; ; c, ; d,. Resposts: ; 7 ; c,,8 ; d,,996. 8

9 .. ERROS NA FASE DE MODEAGEM Os erros fse de odelge ocorre qudo descosideros ou despreos lgu vriável presete o prole... ERROS NA FASE DE RESOUÇÃO Nest fse, o erro é gerdo o oeto que se quer fer os cálculos clculdor ou coputdor devido os processos de rredodetos.. RESOUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO INEARES.. RAIZ DE UMA EQUAÇÃO Os étodos uéricos são usdos usc ds ríes ds equções, ou os eros reis de f(. E gerl, os étodos, utilidos preset dus fses distits: Fse I oclição ou Isoleto ds Ríes Está fse cosiste e oter u itervlo que coté ri d fução f(, e e seguid ireos pr segud fse. Fse II Refieto Nest fse defiios precisão que desejos d oss respost e escolheos s proições iiciis detro do itervlo ecotrdo Fse I. E seguid elhoros, sucessivete, proição d ri d fução té se oter u proição pr ri detro de u precisão pré-fid... ISOAMENTO DE RAÍZES Os étodos uéricos utilidos pr clculr ríes d equção f(, só clcul u ri de cd ve. Est é rão porque deveos deterir u itervlo pr cd ri que desejos clculr. Teore Se u fução cotíu f ( ssue vlores de siis oposto os potos etreos do itervlo [, ], isto é, f (. f ( <, etão o itervlo coterá, o íio, u ri d equção f (, e outrs plvrs hverá o íio u úero ε, pertecete o itervlo erto (, ε (,, tl que, f ( ε, 9

10 Eeplo: Neste eeplo presetos u fução f ( que possui detro do itervlo [, ] três ríes: ε, ε e ε. Isto é, são três vlores de, pr os quis fução f ( te ige igul ero, isto é: f ( ε, f ( ε e f ( ε. ε ε ε f( Se fução possui ige ero os potos ε, ε e ε, o gráfico d fução f (, estes potos, itercept o eio dos. Oserve o eeplo que ( < f e ( > f, logo o produto f (. f ( < f( f( Oserve que tod ve que detro de u itervlo [, ], tiveros f (. f ( < f(, sigific que este itervlo teos pelo eos u ri d fução f (, coo veos figur seguir. ε f( Qudo u fução possui u úero pr de ríes detro do itervlo [, ], teos f (. f ( >

11 f( f( f( ε ε f( ε ε f( f( f ( < f ( > f ( < f ( > logo f (. f( > logo f (. f( > Qudo u fução ão possui ríes detro do itervlo [, ], teos f (. f ( > f( f( f( f( f( f( f ( < f ( > f ( < f ( > logo f (. f( > logo f (. f( >.. TEOREMA DE BOZANO Sej P ( u equção lgéric co coeficietes reis e (,. Se P (. P( <, etão eiste u úero ípr de ríes reis o itervlo (,. Se P (. P( >, etão eiste u úero pr de ríes reis o itervlo (, ou ão eiste ríes reis o itervlo (,.

12 .. EQUAÇÕES TRANSCENDENTES Si que deterição do úero de ríes de fuções trscedetes é quse ipossível, pois lgus equções pode ter u úero ifiito de ríes. Fução Seo Fução Cosseo Y Y X 6 8 X Fução Tgete Fução Epoecil Y X Y X.. MÉTODO GRÁFICO ere que u ri de u equção f ( é u poto ode fução f ( toc o eio dos. Outr for de idetificros s ríes d equção é sustituir f ( g( h(, ode g ( h(. As ríes de f ( correspode iterseção ds fuções g ( e h (. Oserve o eeplo seguir, ode utilios fução f ( 7 que possui ríes e. Se fieros f ( g( h(, ode ( g e ( 7 cotece e e. h teos iterseção de g ( co h (

13 f ( 7 Y g ( Y h ( X Eercícios ( Dd fução f (. se, sepre est e dus fuções e proie pelo eos u de sus ríes pelo étodo gráfico. ( Dd fução f (, sepre est e dus fuções e proie pelo eos u de sus ríes pelo étodo gráfico. ( Dd fução f ( cos, sepre est e dus fuções e proie pelo eos u de sus ríes pelo étodo gráfico. ( Dd fução f ( se, sepre est e dus fuções e proie pelo eos u de sus ríes pelo étodo gráfico..6. MÉTODO DA BISSEÇÃO Pr utiliros este étodo deveos prieiro isolr ri detro de u itervlo [, ], isto é, deveos utilir o étodo gráfico pr proir visulete ri pr e seguid isolá-l pelo itervlo (,, ode est ri perteç este itervlo. Pr utiliros o étodo ds isseção é ecessário que fução f ( sej u cotiu o itervlo [, ] e que (. f ( < f.

14 Pr plicos o étodo d isseção deveos dividir o itervlo, ] o eio, otedo ssi o, co isto teos gor dois itervlos [ [ o, ] e [, ] o ε o Se f ( o, etão, ε o; Cso cotrário, ri estrá o suitervlo ode fução te siis oposto os potos etreos, ou sej se f (. f ( < iplic que ri est o itervlo, ]. o [ o f ( o. f ( < iplic que ri est o itervlo [ o, ]. A prtir dí costruireos u ovo itervlo, ] [ ε O ovo itervlo [, ] que coté ε é dividido o eio e oté-se ode se f. f ( iplic que ri est o itervlo, ]. ( < [ f. f ( iplic que ri est o itervlo, ]. ( < [

15 O processo se repete té que se oteh u proição pr ri et ε, co tolerâci E desejd. Tolerâci ( E é u vlor que o clculist defie. A prtir d tolerâci, defiios o critério de prd, ode se pr de refir solução e se ceit o vlor proido clculdo. A tolerâci, é uits vees vlid por u dos três critérios io: f ( E E E Eeplo: ( Clculr ri d equção f ( co, Solução: E. Prieiro deveos deterir u itervlo ode est ri que desejos clculr, pr isto deveos fer u o seu gráfico. 8 6 Itervlo de usc Ri procurd A ri procurd está prói de e est detro do itervlo [, ]. ogo

16 N f ( E 6 7,,,,,6,687,788,788,,,,7,7,7,7,7,,,7,6,687,788,7,766, -,7,6 -,9 -, -,9,8 -,9,,,,6,,6,78 Costrução d tel ª lih: N iterção iicil ( N teos [, ] [, ] sedo o poto édio. o ª lih: ( N Coo f ( o. f ( o <, sustituíos o, logo [, ] [, ] sedo o poto édio,. ª lih: ( N Coo f (. f ( <, sustituíos, logo [, ] [,;] sedo o poto édio, ª lih: ( N 7 Coo f ( 6. f ( 6 <, sustituíos 7 6, logo [ 7 7, ] [.788;.7] sedo o poto édio.766 (.78 < E. o o 7 Coo o erro é eor que tolerâci etão proição fil é,766. Eercícios ( Clculr ri d equção f ( l co, E. ( Clculr ri d equção f ( co, E. ( Clculr ri d equção f ( co E, utilido o étodo d isseção. (Sugestão utilir itervlo de usc [,] ( Clculr ri d equção f ( co E, utilido o étodo d isseção. (Sugestão utilir itervlo de usc [,] 6

17 .7. MÉTODO DAS CORDAS Pr utiliros este étodo deveos prieiro isolr ri detro de u itervlo [, ], isto é, deveos, ovete, utilir o étodo gráfico pr proir visulete ri pr e seguid isolá-l pelo itervlo [, ], ode est ri perteç este itervlo (,. No étodo ds cords, o ivés de se dividir o itervlo [, ] o eio, ele é dividido e prtes proporciois à rão f ( / f (. A fórul de recorrêci pr proição d ri eési é f ( f ( f ( c ( c, ode,,,..., ode o poto fido c (ou ou é quele o qul o sil d fução f ( coicide co o sil d segud derivd f ''(, ou sej f ''( c. f ( c >. E f( h Cord A eistêci d cord d orige dois triâgulos seelhtes, que perite estelecer seguite relção: o ε h f ( f ( f ( f( f( est relção os codu u vlor proido d ri h f ( ( f ( f ( h o f( 7

18 Ao se plicr este procedieto o ovo itervlo que coté ε,, ] ou [, ], oté-se u ov coo ostr figur seguir, ( [ proição d ri pel proição presetd teriorete. f( Cord h ε f( Ns figurs seguir, coo o étodo ds cords é escolhido o etreos do itervlo [, ] que deve ser igul o vlor o. f( f( h h o ε ε o f( f ''( > f( f ''( > f ( < e f ( > f ( > e f ( < f( f( o h ε ε h o f( f( f ''( < f ''( < f ( > e f ( < f ( < e f ( > 8

19 Eeplo: ( Clculr ri d equção f ( co, E. Solução: Prieiro deveos deterir u itervlo ode est ri que desejos clculr, pr isto deveos fer u o seu gráfico. 8 6 Itervlo de usc Ri procurd A ri procurd está prói de e est detro do itervlo [,]. ogo N f ( E Costrução d tel Coo ''( f f ''( > e f ( 6 > logo f ''(. f ( > de ode teos que c f ( f ( f ( c usdo fórul de recorrêci ( c teos que f ( ( [ ] [ ] f ( f ( f ( ( [ ] [ ] f ( f ( f ( ( [ ] [ ] f ( f ( f ( ( [ ] [ ] f ( f (

20 Eercício ( Clculr ri d equção f ( l co, E. ( Clculr ri d equção f ( co, E. ( Clculr ri d equção f ( co E, utilido o étodo d isseção. (Sugestão utilir itervlo de usc [, ]. ( Clculr ri d equção f ( co E, utilido o étodo d isseção. (Sugestão utilir itervlo de usc [, ]..8. MÉTODO DE NEWTON Seelhtes os étodos d isseção e d cord, deveos prieiro isolr ri que desejos procurr detro de u itervlo [, ] utilido pr isto o étodo gráfico. Pr utiliros o étodo de Newto é ecessários que fução f ( sej u cotiu o itervlo [, ] e que ε o seu úico ero este itervlo; s derivd f '( [ f '( ] e ''( f deve té ser cotíus. Pr se ecotrr epressão pr o cálculo d proição pr ri ε deveos fer u epsão e série de Tlor pr f (, de ode teos f f ( f '( ( se fieros ( f ( f (, otereos seguite epressão f ( f '( (, isoldo o tero ode é u proição de ε. f ( f '(. teos

21 f( f( ε β α α β ε f( f f ''( > '( > f( f f ''( > '( < f( f( f ''( < ε o ε f ''( < f( f '( < f( f '( > Eeplo: ( Clculr ri d equção f ( co, E. Solução: Prieiro deveos deterir u itervlo ode est ri que desejos clculr, pr isto deveos fer u o seu gráfico.

22 8 6 Itervlo de usc Ri procurd A ri procurd está prói de e est detro do itervlo [,]. ogo N f ( E,,, 6,,,,,,,,7,7,6,79,,7,7,, Oserve costrução d tel: Coo f '( '( 6 > usdo epressão f e coo f ''( > logo teos f (, teos seguite recorrêci f '( f (, [ ] [,;, ] f '( f (,7 [ ] [,;,7 ] f '( f (,7 [ ] [,;,7 ] f '( Coo o erro é eor que tolerâci (. < E etão proição fil é, Eercícios ( Clculr ri d equção f ( l co, E. ( Clculr ri d equção f ( co, E. ( Clculr ri d equção f ( co E, utilido o étodo d isseção. (Sugestão utilir itervlo de usc [,]. ( Clculr ri d equção ( f co, E utilido o étodo d isseção. (Sugestão utilir itervlo de usc [, ].

23 UNIDADE II. SISTEMAS DE EQUAÇÕES INEARES Pr etederos os étodos de resolução de sistes lieres, deveos prieiro copreeder que u siste lier S é u coleção de equções lieres, coo ostrreos seguir S que pode té, ser represetdo por A ode A é u tri qudrd de orde, e ão tries, isto é, co lihs e u colu. A tri A te seguite for A ode i j é chdo coeficiete d icógit j e os i são chdos teros idepedetes. Co tri dos coeficietes e tri dos teros idepedetes oteos tri B, deoid de tri plid, que pode ser escrit por ou sej B [ A : ] B M

24 U solução do siste S, são os vlores,,...,, que costitue tri colu, deoid de tri solução que pode ser escrit coo teriorete. Os sistes lieres S pode ser clssificdos d seguite for: S Deterido Hoogêeo Possível Ideterido Ipossível Não Hoogêeo Deterido Possível Ideterido U siste S ( A é deoido de hoogêeo qudo tri, dos teros idepedetes, é ul, o siste S ( A é deoido de ão-hoogêeo qudo tri, ão é ul, isto é, eiste pelo eos u tero e, que ão é ulo. U siste é dito ipossível qudo ão há ehu solução que stisfç o siste, isto é, su solução é o vio. U siste é dito possível qudo há, pelo eos, u seqüêci de vlores,,..., que stisfç o siste, isto é, su solução uc é o vio. Se eistir u úic seqüêci de vlores que stisfç o siste S, etão este siste é dito Possível e deterido, se eistir is de u seqüêci de vlores,,..., que stisfç o siste S, etão podeos firr que o siste é Possível e ideterido... TRANSFORMAÇÕES EEMENTARES O cálculo d solução de sistes trvés de étodos itertivos cosiste e u seqüêci de trsforções, ode u siste is copleo é trsfordo e outro is siples co es solução. As trsforções utilids pr odificr os sistes de equções lieres são fords pels seguites operções eleetres: ( Trocr orde de dus equções do siste. ( Multiplicr u equção do siste por u costte ão ul. ( Adicior dus equções do siste.

25 A prtir ds operções presetds podeos trsforr u siste S e u siste S. Isto é, S e S são equivletes... MÉTODO DIRETO Cosiste de étodos que deteri solução do siste lier co u úero fiito de trsforções eleetres.... Método de Guss-Jord Eeplo: Clcule solução do siste 6 Solução: Pr elhor plicr o étodo de Guss-Jord deveos escrever o siste for tricil: A tri plid B é odificd segudo s epressões à direit gerdo u ovo siste sepre posto io. B ( ( ( ( ( ( ( B ( ( ( ( ( ( (

26 B B B B B B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

27 7 Eercícios ( Clcule solução do siste ( 6 ( 7 (c (d 7 8 t t t t (e (f 8... Cálculo d Ivers de u Mtri O étodo de Guss-Jord pode clculr ivers de u tri. No clculo d ivers de u tri ( M, tri plid B é otid utilido tri M e u tri idetidde Id diesão d tri. M Isto é, tri idetidde I sustitui tri dos teros idepedetes, utilid resolução de sistes lieres. Deste odo, tri B fic d seguite for: ] : [ I M B - B B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

28 B B B B - M e portto M Eercícios ( Deterie ivers ds seguites tries: ( ( - - ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

29 9 (c - - (d - - ( Deterie ivers ds tries io ( ( (c (d... Cálculo do deterite de u Mtri O étodo de Guss-Jord, té pode ser utilido pr clculros o deterite de u tri. Pr isto, deveos esclor tri plid B, coo fieos o cálculo d solução do siste e deterição d tri ivers, poré ão deveos fer o últio psso, que é orlição d tri pelos eleetos d digol pricipl. Eeplo: Clcule o deterite d tri - M - B - - B ( ( ( ( ( ( (. ( ( ( ( ( ( (

30 B ( ( ( ( ( ( ( B ( ( ( -. ( ( ( ( B.. -. det( M. *. * (.. Eercícios Clcule o deterite ds tries io: ( ( - - (c - - (d MÉTODOS ITERATIVOS A outr for de se deterir solução de u siste A, é trvés dos étodos itertivos. Os étodos itertivos cosiste e deterir u seqüêci de proições (, (,..., (k, pr solução do siste, prtir de u dd proição iicil (.

31 Segudo este rciocíio, o siste siste equivlete co seguite for ode F é u tri ( k ( k A, é trsfordo e u outro F d, e d são tries. proição otid prtir d proição proições otid d seguite for ( ( F d ( ( F d ( ( F d... ( k ( k F d As proições são clculds té que se teh ( k i ( k { } i ( k é u (k. Sedo seqüêci de i ( Se li k, etão seqüêci k pr solução. (, (,..., (k coverge... Método de Guss-Jcoi Pr etederos o étodo de Jcoi, cosidere o siste E cd equção do siste deveos isolr o vlor de i, isto é, prieir equção deveos isolr, segud equção deveos isolr, e ssi por dite, co isto teos:

32 (... ( (... Os: Os eleetos ii deve ser diferetes de eros ii, i, se ão tereos divisão por ero. Cso isto ão ocorr deveos regrupr o siste pr que se cosig est codição. M Podeos colocr o siste seguite for d M ( k ( k F / /... / / /... / F / /... /... / / /... O étodo de Guss-Jcoi fucio d seguite for: º Psso: Deveos escolher u proição iicil º Psso: Deveos gerr s proições ( k ( k F d, k,,,... (. (k prtir ds iterções d, ode º Psso: Pros de clculr s proições qudo u dos critérios de prd io for stisfeito. ( k ( k º critério: E, ode E é tolerâci. i º critério: k > M i i, ode M é o úero áio de iterções. Oservção: A tolerâci E fi o gru de precisão ds soluções.

33 Eeplo: Resolv pelo étodo de Guus-Jcoi o siste: co E ou k >. Solução: Isoldo o vlor de prieir equção e segud equção, teos s equções de iterção k k k ( k ( ode k,,,... Utilireos coo proição iicil coo ostrreos seguir Pr k Pr k ( ( ( ( (. (. (.. (.. ( pr clculr ( (.... (, repetireos estes cálculos pr k,,... e colocos os vlores otidos tel io: k k k E

34 .9 ou k >? Eercício Resolv os sistes, co ] úero de iterções... [, E ou k >, ode k é o ( (... MÉTODO DE GAUSS-SEIDE O étodo itertivo de Guss-Seidel cosiste e: º Psso: Defiiros u proição iicil (. º Psso: Clcul-se seqüêci de proições utilido-se s seguites fóruls: ( k ( k ( k ( k ( [ ] k (, (,..., (k ( k ( k ( k ( k ( [ ] k M ( k ( k ( k ( k ( [ ] k ( k ( k ( k ( k [ ] ( k,

35 ( k ( No cálculo d proição k ( k, utilios s proições, ( k,...,. Isto f co que este étodo teh covergêci is rápid. Eeplo: Resolv pelo étodo de Guss-Seidel o siste ( co [ ], E ou k >. Solução: Isoldo o vlor de prieir equção e segud equção, teos s equções de iterção k k k ( k ( ode k,,,... O cálculo ds proições é feito d seguite for Pr k (ª iterção ( ( ( ( ( ( ( ( (. (.. (.. Pr k (ª iterção ( ( ( ( ( ( ( ( (.. (..97 (..97 repetireos estes cálculos pr k,,... e colocos os vlores otidos tel seguir.

36 6 k k k E >?.6 k ou Eercício Resolv os sistes, co ] [, E ou k, ode k é o úero de iterções. Utilie o étodo de Guss-Seidel. ( ( (c (d t t t t