CÁLCULO DE RAIZ DE EQUAÇÃO

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1 CÁLCULO DE RIZ DE EQUÇÃO eessdde de deterr rz de eqção e dversos proes de egehr sto é deterr t qe: gs eqções s spes posse soção ít oo 5 6 e or dos sos eqção ão-er s rzes d eqção ão pode ser deterds tete Deve-se tzr proedetos tertvos pr deterr s rzes MÉTODO DE PICRD * é rz d eqção = * * g * * * g * PROCEDIMETO ITERTIVO Chte : g Eqto g Rz : repetr g g g * RIZ g

2 EXEMPLO : RESOLVER e g e g g e e e g EXEMPLO : RESOLVER g.9 g g g Proesso tertvo dverge PORQUE??? g g g g * RIZ g g * RIZ g g DIVERGE COVERVE OSCILDO g DIVERGE g COVERGE MOOTOICMETE g COVERGE OSCILDO

3 MÉTODO DE BISSEÇÃO SE É UM FUÇÃO COTÍU E. < RIZ DE PERTECE O ITERVLO MÉTODO DE BISSEÇÃO CRI UM SEQUECI DE ITERVLOS CDE VEZ MEOR QUE COTEH RIZ * Rz : ed the ed the do Whe qe t e Esoher s EXEMPLO : RESOLVER < >.75 < < > < COVERGÊCI EXTREMMETE LET COVERGÊCI MELHOR USDO VLORES DE O CÁLCULO DE

4 MÉTODO DE EWTO-RPHSO DE EWTO * t PROCEDIMETO ITERTIVO Rz : do Whe Chte : s EXEMPLO 4: RESOLVER COVERGÊCI RÁPID O TMHO DO PSSO DIMIUI CD ITERÇÃO DE UM FTOR DE

5 e EXEMPLO 5: RESOLVER. 4 PROPRIEDDE DE COVERGÊCI Vos spor qe é rz spes de : e Oter esttv de erro pr proção do Método de ewto Epddo e sére de Tyor e = o psso - ;

6 Qdo perto d soção o erro qdrtete: PROBLEMS COM O MÉTODO DE EWTO O hte deve estr seteete próo d soção O proesso tertvo pss por poto de áo o ío o * * O proesso tertvo pode etrr e o qe ão overge * Os proes o o Método de ewto pode ser resovdos o hte perto d soção Cor étodo o overgê go o s et o o étodo de ewto overgê go r s etreete rápdo qdo perto d soção

7 MÉTODO D SECTE O áo d dervd pode ser to opdo o ro optoete pror dervd por: PROCEDIMETO ITERTIVO Chte : e Whe do Rz : ITERPRETÇÃO GEOMÉTRIC * eesst de htes s Covergê ão é qdrát EXEMPLO 6: RESOLVER s

8 Eerío Esrev rot o SL pr áo de rz de ções sdo os étodos de Bsseção e ewto. O progr prp deve zer s segtes tres: Utze o progr desevovdo pr deterr rz ds eqções o. e Srpt Prp

9 Método d Bsseção Método de ewto

10 Mor prte do tepo de sção por eeetos tos dereçs ts o otro étodo éro é gsto resoção do sste de eqções otdo o dsretzção eessdde de étodos rostos e rápdos SOLUÇÃO DE SISTEM DE EQUÇÕES soção de sste de eqções é eessár grde or dos proes de egehr Proes de terpoção e ste de rvs Soção de eqções deres - sção de proes de egehr SISTEM DE EQUÇÕES E ICÓITS Se os oeetes são osttes o sste é dto er O sste pode ser represetdo or de trz:

11 MÉTODOS DE SOLUÇÃO MÉTODOS DIRETOS soção et eos de erros de treto do optdor é deterd pós úero to de operções Reqer s eór de rzeeto Ms rosto Ms rápdo MÉTODOS ITERTIVOS Foree seqê de soções prods qe overge qdo o úero de pssos tede to Meor eessdde de eór de rzeeto Proes de overgê MÉTODOS DIRETOS SISTEMS TRIGULRES Se s ógts pode ser ete ds : h ; -: h ; : h RETROSUBSTITUIÇÃO

12 Se trz or trgr eror: soção é d d segte or: : h ; h : ; h: SUBSTITUIÇÃO FRETE ÚMERO DE OPERÇÕES: ELIMIÇÃO GUSSI Er s vráves de er ssteát té oter sste trgr de á soção Er ds - ús eqções Se

13 pós o prero psso o sste sedo: Er ds - úts eqções Ode ; ; ; Se ; 4 ; 4 ; 4 E ss por dte té oter sste d or O SISTEM TRIGULR PODE SER FCILMETE RESOLVIDO TRVÉS DE UM RETROSUBSTITUIÇÃO Os eeetos são deodos de Pvots O do dreto do sste de eqções é oddo d es or qe os oeetes ds eqções Mehor trtr o sste or tr o o do dreto do sste sedo o + d trz oore ostrdo segr

14 LGORÍTMO ELIMIÇÃO For For For ed ed ed RETROSUBSTITUIÇÃO For s For s s ed s ed * ÚMERO DE OPERÇÕES: ELIMIÇÃO RETROSUBSTITUIÇÃO O or sto opto oorre o proesso de eção Spor qe o tepo de d operção se de rosegdo t 6 s O tepo e segdos de d prte do gorto é ostrdo o Eção Retrossttção.5 s.8 s 5 s.75 s 5 s 7.5 s

15 PIVOTMETO RESOLVER O SISTEM POR ELMIÇÃO GUSSI Sste ão sgr e soção é: pós o prero psso eção trz sedo: eção ão pode otr peo proedeto or. U soção ser tror posção ds hs e o qe á oree trz trgr OUTRO EXEMPLO: RESOLVER O SISTEM POR ELMIÇÃO GUSSI.. Sste ão sgr e soção é: e. O sste trgr otdo pós eção se tro de hs é: O proesso de retrossttção sdo presão de ss des oree:. Se s hs e osse trods drte o proesso de eção soção té sdo presão de ss des ser... Restdo orreto Restdo orreto sdo presão de ss des

16 Pr evtr h tstró dvsão por zero o restdos errdos é eessáro zer esoh rteros dos PIVOTS sdos eção PIVOTMETO PRCIL PIVOTMETO PRCIL PIVOTMETO COMPLETO o psso do proesso de eção Esoher r oo o eor tero t qe r Tror hs e r r PIVOTMETO COMPLETO o psso do proesso de eção s Esoher r e s oo os eores teros rs Tror hs e r e os e s t qe r Eção Gss deve ser et sepre o PIVOTMETO pr grtr estdde do étodo grde or dos sos PIVOTMETO PRCIL é sete e deve ser sd o gr de PIVOTMETO COMPLETO PIVOTMETO COMPLETO ão é to sdo devdo o grde tepo opto gsto o proesso de s do pvot. PIVOTMETO ão é eessáro e dos sos prtres MTRIZ DIGOL DOMITE. MTRIZ SIMÉTRIC E POSITIV-DEFIID T e T

17 DECOMPOSIÇÃO LU Mts vezes o eso sste é resovdo o deretes teros depedete do dreto do sste ; ; Pode-se evtr o proesso repetdo de eção gss trvés de deoposção d trz Todo trz ão sgr pode ser deopost oo o prodto de trz trgr eror L e trz trgr speror U LU L ; U ; deoposção ão é ú. U vez et deoposção soção do sste redzd soção de dos sstes trgres: LU y Resover Ly Sste trgr eror Sste trgr speror e depos U y trz L orrespode os oeetes d eção gss e trz U orrespode trz trgr speror otd eção gss

18 MÉTODO DE CHOLESKI Mtrz sétr postv-ded Esoher L e U de or qe T U L e p p p p p p p / MTRIZES DE BD Mtrzes ode os eeetos deretes de zero estão ozdos e d etrd dgo prp d trz s trzes otds e resoção de proe de vor de otoro são gerete de d dí portâ do estdo deste tpo de trz q p se Bd d Mtrz : p o q w p q estrtr de d ão é perdd se ão ore rezds eh tro de hs o o pvoteto pr o opeto s trzes L e U serão trzes de d. se se o p o q

19 ' ' ' ' ' psso EXEMPLO Se pvoteto estrtr de d ão é perdd Co pvoteto tro h e estrtr de d é perdd ' ' ' ' ' ' psso Os gortos deve ser esrtos evdo e ot estrtr d trz Grde eoo de tepo opto MTRIZ TRIDIGOL Mtrz de d o p = q = Deoposção LU d trz trgo: U L ; soção do sste é et trvés de resoção de sstes trgres ; ; g g g g g

20 ÁLISE DE ERRO D DECOMPOSIÇÃO LU Cosdere o sste soção do sste sepre preset g erro devdo erros de treto qe oorre drte o proesso Deor soção otd oo Der vetor resído oo R R Soção d é soção et Esper-se qe qdo o vetor resído se próo zero soção d se pró d soção et Isto e sepre é verdde! Cosdere o eepo e Soção et:.. Soção otd: R pesr do vetor resído ser to peqeo soção otd ão é to dstte d soção et Este proe pode ser epdo sdo-se o proesso de eção gss

21 Proesso de eção gss U peqe vrção o eeeto.44 s grde vrção o eeeto e oseqeteete e Pr áse d presão d eção gssd é eessáro sr o oeto de or de vetores e trzes ORM DE VETOR E MTRIZ Esr ão egtvo qe e g setdo ede gtde de vetor o trz or p de vetor p p p p / p p or Ede: p= / or do áo: p=to Propreddes de or se e esr y y se

22 or de Mtrz Pr or do áo pode-se ostrr qe Reção etre or de vetor e de trz: ÁLISE DE PERTURBÇÃO sr o eeto de peqes pertrções trz e vetor soção K Coo K Se o odoeto d trz or to peqes pertrções trz e o vetor prov grdes pertrções soção Mtrz é dt -odod e soção do proe tor-se pres Codoeto d trz Pr deterr o odoeto de trz é eessáro r or d trz vers qe orete ão é ohed o eepo teror: - odod Mtrz K

23 Eerío Esrev rot MtL pr soção de sste er se pvoteto e otr o pvoteto pr. Esrev progr prp qe reze s segtes operções:. De tr e o vetor do sste er = ode ; 9 9. Che ção pr soção do sste se pvoteto. Che ção pr soção do sste o pvoteto Epqe o qe oorre.

24 Eerío Modqe rot desevovd de or resover o sste er = ode Oserve qe soção et do sste é

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26 MÉTODOS ITERTIVOS Foree seqê de soções prods qe overge qdo o úero de pssos tede to Chte Usdo pr trzes esprss e grdes Meor eessdde de eór de rzeeto Eção Gss ehe trz Proes de overgê MÉTODO DE JCOBI O sste de eqções pode ser esrto oo pr pr o Método de Jo seqê de proções é otd por: pr

27 MÉTODO DE GUSS-SEIDEL o étodo de Jo os ovos vores de só são sdos o próo psso o étodo de Gss-Sede os ovos vores de são sdos edd qe ees são otdos pr pr Pr < os ovos vores de á or dos o Método de Gss-Sede seqê de proções é otd por: pr EXEMPLO: Resover = ; : Chte 4.75 ; ; 4.5 ; 4.5 ; 4 MÉTODO DE JCOBI X X X X

28 MÉTODO DE GUSS-SEIDEL.5.5 ;.565 ; ; X X X X De odo ger os dos étodos pode ser esrtos oo B Os deretes étodos posse deretes ors pr trz B e o vetor. U trz pode ser deopost so de três trzes: Dgo + Trgr Speror + Trgr Ieror D L I U O Método de Jo pode ser esrto oo: pr O Método de Gss-Sede pode ser esrto oo: L U pr B L U D D GS B J L U I L U

29 ÁLISE DE COVERGÊCI B Se é soção do sste = : B O erro de d proção é otdo pe strção ds eqções B B B Vos spor qe B teh tovetores erete depedetes. Esses vetores or se do espço vetor. Qqer vetor pode ser esrto oo oção er dos tovetores. tovetores : tovores : B B B B O proesso tertvo overge soete se soete se B Ro Espetr de B: B B Os tovores de B ão são ohedos e est odção ão é ete pd. U odção sete qe pode ser pd é qe pr o proesso tertvo overgr: B t de overgê é dd por og B R

30 MÉTODO DE JCOBI U L B J J B Se B or dgo-dote Coverge Proesso B J MÉTODO DE GUSS-SEIDEL U L I B GS B y y B GS GS dote or dgo Proesso overge se ode B y y y GS s r s r r s y y y y MÉTODO SOR SUCCESSIVE OVERRELXTIO Modção do Método de Gss-Sede pr ehorr t de overgê r r ode SOR r Prâetro de Reção U I L I B

31 Eerío Resov o sste er = tzdo os étodos de Jo e Gss-Sede Oserve qe soção et do sste é

32 Soção de Sste de Eqções ão-ler Método de Prd:. Chte ;. Cr oeetes d trz sdo o vor t ds ógts;. Resover o sste de eqções e deterr o ovo vor ds ógts; Coprr soção t o teror; Se ão overg votr pr. Covergê R

33 Método de ewto: Geerzção do Método de ewto pr eqção ão-er PROCEDIMETO ITERTIVO Rz : do Whe : Chte Sste ser resovdo: Epsão por sére de Tyor té teros de prer orde de d eqção:

34 J J Sste e For tr Mtr Jo J PROCEDIMETO ITERTIVO : Rz do Whe : Chte J Soção de sste er Covergê Qdrát

35 Eepo: Resover o sste o peo étodo de Prd e étodo de ewto y y 4 y 5