Análise Numérica (3) Sistemas de equações lineares V1.0, Victor Lobo, 2004

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1 Aálise Numéric (3) Sistems de equções lieres V.0, Victor Lobo, 004 Sistems de fiições Equção Lier Form mtricil: A X=B Sistem de equções icógits Form mtricil: AX=B Utilidde e ubiquidde Eemplos de plicção = b = b = b Correte e tesão em circuitos eléctricos Forçs mecâics sobre um sistem Posição ode hor de um CPA =... [ ]... [ b] = b = b... b 3 b4 b Problems e soluções Sistems idetermidos Têm meos equções do que icógits Sistems ml determidos termites ds mtrizes Eemplo gráfico Métodos trdiciois Multiplic. p/ cost. Subtrir um por outr Trocr lihs Trocr colus->trocr vriáveis São muis Métodos utomáticos Directos Idirectos ou iterctivos

2 Aálise Numéric (3) Sistems de equções lieres V.0, Victor Lobo, 004 Métodos directos Objectivos: Trigulr superior - Método de Guss Digol - Método de Guss-Jord Elimição de Guss Pivot digol Trocr lihs qudo ecessário 6.0 = -.5= m Algoritmo em MATLAB (sem escolh de pivot) for i=:- % ciclo do pivot for j=i+: % pr s resttes lihs... m = -(j,i)/(i,i) % Clcul o fctor multipl. for k=j: % pr tods s colus... (j,k)=(j,k)+m*(i,k) ed; b(j)=b(j)+m*b(i) ed; ed; Aálise do método de Guss Compleidde Melhor que regr de Crmer i =det(a i )/det(a) (-)! multiplicções e!- soms logo O((-)*!) Vri com o cubo de Verificr! O( 3 /3) Memóri Podemos ir substituido os vlores, logo ão ecessit de mis memóri que ds mtrizes origiis Estbilidde Esolh dos pivots m deverá ser o meor possível Os coeficietes fiis o mior possível Escolh de pivot pelos métodos de Doolittle e Crout Equilibrgem lev ter o determite próimo de 4 4

3 Aálise Numéric (3) Sistems de equções lieres V.0, Victor Lobo, 004 Circuito eléctrico Eemplo I 0 kω 0 kω + 00V ~ 0 kω I I 3 30 kω 5 kω I 0 I = I 0 I = I 3 00 I 3 = Métodos Iterctivos (idirectos) Iterctivos Aproimção sucessiv os vlors correctos Vtgem: meos cots e useci de divisoes sucessivs em problems complicdos Método de JACOBI Idei pricipl: Posso clculr um vriável se souber s outrs b = b = Em cd lih escolho um vriável diferete Mtricilmete: AX = B ( M + N) X = B MX = B NX G=-M - N X = M ( B NX ) = F + GX 6 6 3

4 Aálise Numéric (3) Sistems de equções lieres V.0, Victor Lobo, 004 Guss-Seidel Melhor um pouco o método de Jcobi o usr sempre os últimos vlores dispoíveis Não esper pel iterção seguite pr usr os ovos vlores Sucessão de vlores depede d ordem pel qul s cots são feits Codições de prgem Atigir-se um poto fio OU erro<ε Codições de covergêci Codição ecessári e suficiete G ão ter vlores próprios superiores (relembrr vlores próprios) Codições suficietes A ser de digol domite Qulquer ds orms de G ser iferior N ii i, j j = & j i 7 7 Eemplo Ddo o sistem: 0 Resolver pr ε< = = = 0 = 6 = 7/ /0 - /0 8/5 -/5 0 - /5 6/0 -/5 3/0 0 X F G X 8 8 4

5 Aálise Numéric (3) Sistems de equções lieres V.0, Victor Lobo, 004 Sej X 0 = (0,7 -,6 0,6) T Eemplo () = 7/ /0 - /0 0,7 X = 0,96 8/5 -/5 0 - /5 -,6 -,86 6/0 -/5 3/0 0 0,6 0,94 () (0) = 0,6 () (0) = 0,6 () (0) = 0,34 Erros= 0,6/0,96 0,6/,86 0,34/0,94 Todos >0.05, logo mis um iterção Iterções sucessivs... Eemplo X = 0,978 X 3 = 0,9997 X f = -,98 0,966 -,9888 0,984 - Coclusão Em 3 iterções obtém-se o erro pretedido Relizrm-se 9 divisões iiciis 6 multiplicções e dições em cd iterção 3 iterções TOTAL: 7 oprções 0 0 5

6 Aálise Numéric (3) Sistems de equções lieres V.0, Victor Lobo, 004 Resumo de Eq. Métodos Directos Crmer (imprticável) Guss Guss-Jord Idirectos Jcobi Guss-Seidel Csos prticulres Choleski (mtrizes simétrics, defiids positivs) Thoms (mtrizes tri-digois) Outros 6