PESQUISA OPERACIONAL Dualidade. Professor Volmir Wilhelm Professora Mariana Kleina
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- Brian de Carvalho Barata
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1 PESQUISA OPERACIOAL Duldde Professor Volr Wlhel Professor Mr Kle
2 Duldde A d prole de progrção ler (prole de progrção ler prl) orrespode u outro (dul) fordo o pr de proles dus: pl prl pl dul Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
3 Duldde otetulzção Dese-se produzr dferetes olhos prtr d stur de thup e ostrd. A qutdde dspoível de thup é 8 uddes e de ostrd é uddes. Se o progr ler segur que osste e defr s qutddes óts e dos olhos do tpo e que osste e dferetes sturs do thup e ostrd. Z s. Prole de Progrção ler PRIMAL 7 8 Prole d produção pl prl (PP) Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
4 Duldde otetulzção Supoh que u oprdor propõe dqurr tod tér pr de fár terropedo produção: U udde de thup ustrá > U udde de ostrd ustrá > Os vlores de opr e serão fdos rtrrete pelo oprdor. Etretto o doo d fár pretede ssegurr ert vtge pr que ão s o preuízo. Qul o preço ío de ved destes gredetes (vsão do vededor)? Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
5 Duldde otetulzção s. Z 7 8 Pr produzr udde do prero olho us-se uddes de thup e uddes de ostrd. Est udde produzd é vedd por uddes oetárs. Portto vle pe veder ests uddes de thup e est udde de ostrd se o oprdor pgr pelo eos uddes oetárs Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
6 Prole d produção pl prl (PP) VAAGEM 8. 7 s Z 7 Duldde otetulzção 6 Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
7 Duldde otetulzção O deseolso do oprdor será D = 8 + O oprdor poderá zá-lo puldo dequdete os vlores utáros ds térs prs e Prole do oprdor (Dul-PD) s. D 8 7 Prole d produção ppl dul (PD) Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle 7
8 8. 7 s Z 7. 8 s D Z() = s. A D() = s. A ppl dul (PD) ppl prl (PP) Prl e Dul 8 Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
9 Duldde otetulzção Quer-se osur qutddes de deterdos letos de tl for stsfzer s eessddes ís de utretes egds u usto ío prole este lustrdo pelo qudro segute. Aletos eessddes ís de utretes (g) Protes (g) 6 Ss ers (g) Custos (R$) 6 Z 6 6 Prole d det pl prl (PP) Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle 9
10 Duldde otetulzção Supoh que u vededor de píluls de proteís e píluls de ss ers propõe susttur det de letos epress de ordo o tel por u det de píluls o s segutes odções: - pílul de proteí (d u pesdo g) ustrá w ; - pílul de ss ers (d u pesdo g) ustrá w ; - os preços w e w serão fdos rtrrete; - o vededor grte que s píluls terão preços gus ou s rtos que qulquer leto; - o vededor pretede é lro zr su red de odo stsfzer eessdde d det. Qul é o preço áo de opr dests píluls (vsão do oprdor)? Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
11 Duldde otetulzção O gho do oprdor será D = w + w O oprdor poderá zá-lo puldo dequdete os vlores utáros ds píluls w e w Prole do vededor (Dul-PD) s. D w w w w w 6w w w w w w w w w 6 Prole d det pl dul (PD) Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
12 6 6 Z 6 6. w w w w w w w w w w w w s w w D Z() = s. A D(w) = w s. A w w ppl dul (PD) ppl prl (PP) Prl e Dul Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
13 Duldde Propreddes A d odelo de pl orrespode u outro odelo deodo de dul. Por eeplo: Z s D s Oservções: A fução oetvo do dul é de zção e do prl é de zção; O eleetos do vetor = (... ) (rhs) do prl for fução oetvo do dul; Os eleetos do vetor = (... ) do prl é o vetor rhs () do dul; As restrções do dul são do tpo e do prl são do tpo ; O úero de vráves do dul é gul o úero de restrções do prl; O úero de restrções do dul é gul o úero de vráves do prl; A trz dos oefetes do dul é trspost d trz dos oefetes do dul. Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
14 Relção etre Prl e Dul Prl Dul () () restrção k é k restrção k é = k lvre restrção k é k p restrção p é p é lvre restrção p é = p restrção p é Dul Prl () () Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
15 Prl: 6. s Z Dul: lvre ;. 6 s D Prl: 6. s Z Dul:. 6 s D Prl: 6 9. s Z Dul:. 6 9 s D Prl: lvre ; 6. s Z Dul:. 6 s D Duldde eeplos Prl Dul () () restrção k é k restrção k é = k lvre restrção k é k p restrção p é p é lvre restrção p é = p restrção p é Dul Prl () () Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
16 EOREMAS 6
17 eore Fro d Duldde Se u vlor vável do (PP) sto é: A Se u vlor vável de (PD) sto é: A Etão: Z() D( ) é o gp d duldde ssodo e váves prl e dul otu... Deprteto de Egehr de Sstes - (DESIS) FEEC/UICAMP 7
18 ... otução eore Fro d Duldde Se os proles prl e dul. s Z A s D A eore: Se e são soluções váves pr o pr de proles prl e dul etão De.: Z A A Z D Z D. Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle 8
19 Coroláro Se * e * são soluções váves de (PP) e (PD) tl que Z( * ) = * = * = D( * ) etão * e * são soluções óts do (PP) e (PD). otu... Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle 9
20 ... otução Coroláro Se os proles prl e dul. s Z A s D A Coroláro: Se * e * são soluções váves pr o pr de pl s prl e dul ts que Z* = D* etão els osttue soluções óts. De.: Pel defção de solução ót se-se que se * e * são soluções óts etão Z Z* e D D*. Por hpótese te-se Z* = * = * = D*. Se é u solução vável do dul do teore teror tese que * e portto (devdo hpótese) *. A deostrção é seelhte pr u solução vável do prl. Ass pr soluções óts * e * do prl e dul teos Z * * * D * Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
21 PL prl é u prole de zção PL dul é u prole de zção COMEÁRIOS O étodo sple pldo (PP) evolu de u solução ás vável pr outr solução ás vável sepre o setdo de uetr fução oetvo Z() Vlores de D() D() Método sple Apldo (PD) Vlores de Z() Óto! Z() Método sple Apldo (PP) O étodo sple pldo (PD) evolu u de solução ás vável pr outr solução ás vável sepre o setdo de dur fução oetvo D() Deprteto de Egehr de Sstes - (DESIS) FEEC/UICAMP otu...
22 ... otução Coroláro Se os proles prl e dul. Z D s A s A Coroláro Se tto o prl oo o prole dul dte soluções ftíves etão os tê D* D Z Z* lte ío do dul lte áo do prl soluções óts ts que Z*=D*. Resultdos porttes: ) Se o prl tede pr o fto etão o dul ão te solução vável; ) Se o dul tede pr eos fto etão o prl ão te solução vável; ) É possível que os ão teh solução vável. Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
23 Coroláro Se u dos proles te vlor ltdo etão seu dul será vável. Eeplo (PP) Z = - + s otu... Deprteto de Egehr de Sstes - (DESIS) FEEC/UICAMP
24 ... otução w (PD) w D = w + w s. w - w - -w + w w w OURO RESULADO: Se u dos proles do pr prl-dul te solução ót fto outro té terá. Deprteto de Egehr de Sstes - (DESIS) FEEC/UICAMP
25 eore Forte d Duldde Se os proles prl e dul. s Z A s D A lvre Se A (soete qudrd) e tl que A I. solução gerl Z Z Z Se * * * solução ót vável do prole prl. Etão * Z e pode-se esrever otu... Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
26 eore Forte d Duldde 6 eore Se X o outo ds soluções váves do prl e que Z() e é fto/ltdo. Etão X * e Y * tl que * *. De.: Vos dervr u solução pr o dul prtr d solução ót do prl. Se. Deseos provr que é solução ót do dul. ) é u solução vável do dul (d otldde de * ). Portto. Portto. ) é u solução ót do dul * *. Portto *.... otução Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
27 EOREMA DA FOLGA COMPLEMEAR Qudro l se Z () () () () Qudro óto se Z p p () () ()... () Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle otu... 7
28 ... otução EOREMA DA FOLGA COMPLEMEAR () O vlor óto d vrável do dul é gul o oefete lh () do qudro óto d vrável de folg + do prl sto é * * p... () O vlor óto d vrável de folg + do dul é gul o oefete lh () do qudro óto d vrável do prl sto é * * p... Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle otu... 8
29 9 EOREMA DA FOLGA COMPLEMEAR otu... Se os proles prl e dul. A s Z lvre A s D O eore Forte d Duldde os dz que otldde é equvlete à guldde o eore d Duldde Fr. Isto é resolve Prl-P e resolve Dul-D se e soete se ( ) é u pr vável pr o prl e dul e A A.... () Eeos s osequês dest equvlê. Oserve que equção A pl que A A A A A.... () E dção vldde do prl e do dul pl que e pr =... D deostrção do eore Fro d Duldde teos A A Z. Do oroláro do eore Fro d Duldde teos que se e são soluções óts etão oorre guldde ou se A.... otução Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
30 EOREMA DA FOLGA COMPLEMEAR otu... Etão pr =... e portto ú er de ter () é se pr =... ou equvleteete ou pr = () De for slr do eore Forte d Duldde e do eore Fro d Duldde teos A A A A A ovete d vldde do dul e do prl teos e pr =... e portto devereos ter pr =... ou de for equvlete... otução Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
31 ... otução EOREMA DA FOLGA COMPLEMEAR ou pr =......() Codo () e () pode-se eur o eore d Folg Copleetr. eore: O vetor R resolve o Prl-P e o vetor é vável pr P e é vável pr D e: ) ou ou pr =...; e ) ou ou pr =... R resolve o Dul-D se e soete se Coroláro: O vetor R resolve o prl se e soete se é vável pr P e estr u vetor R vável pr D e tl que ) pr d {... } se ) pr d {... } se etão ; e etão. D deostrção do eore Fro d Duldde teos Z A A. Do oroláro do eore Fro d Duldde teos que se e são soluções óts etão oorre guldde ou se A. otu...
32 ... otução Uso do teore d folg opleetr pr deterr solução ót do dul prtr d solução ót do prl (e ve-vers). Z s. 7 8 D s. 8 7 E * E * E * * * Prl F F Z* 8 F * * F * F * * * * Dul E E E D - E* - * - E* - 8 D*= Z*= *= *= *= *= E *= *= E *= 8 F *= E *= F *= Prof. Volr Eugêo Wlhel Professor Mr Kle
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