Capítulo II ESPAÇOS VECTORIAIS
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- Carolina Alencastre Philippi
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1 Cpítlo II ESPAÇOS VECTORIAIS
2 Cpítlo II Espços Vectors Cpítlo II Cosdereos coto K o ql estão defds pelo eos ds operções: dt e ltplct sbolzds respectete por + e O coto K será corpo se: b K + b K + b b + cottdde ( b + c + ( b + c + ssoctdde é o eleeto lo de K (zero 5 b K K : + + é o eleeto oposto de 6 b K b K 7 b b cottdde 8 ( b c ( b c ssoctdde 9 é o eleeto dde de K b K b K ( b é o erso de b sto é b b b b ( b c ( c + ( b c dstrbtdde Fclete se coclr qe o coto R dos úeros res e tbé os cotos Q dos úeros rcos e C dos úeros coplexos é corpo Neste cso s operções + e são respectete s dção e ltplcção rtétcs O oposto de é e o erso de b é b b Defção Ddo o coto V { } e o corpo { } é espço ectorl sobre o corpo R se: A V + V A + + A ( ( + R dz-se qe V A + + ( eleeto lo de V A4 : + V + ( - eleeto oposto de 8 Prof Alzr Ds
3 Cpítlo II Espços Vectors B R e V V + + B ( + + B ( B ( ( B4 U dos cotos á cohecdos ode todos estes xos são stsfetos é o coto dos ectores lres qer o plo qer o espço Dí qe os eleetos de qlqer espço ectorl se desgdos por ectores os eleetos do corpo chos esclres Exeplo O coto o corpo Co efeto: M ds trzes do tpo é espço ectorl sobre Sedo A e B M tbé A + B M por defção de dção de trzes Coo se dção de trzes é cott - A + B B + A - e ssoct - ( A B + C A + ( B + C + O eleeto lo de M é trz l qe é represetd por A M A M : A + A A + A Sedo ( ; os eleetos de A os eleetos de A serão os opostos de Vos tbé qe R e A M tbé A M ( A B A + B + coo segr se deostr: b + b b b + b + b + b + b + b + b + b + b b + b b b b b + b b 9 Prof Alzr Ds
4 Cpítlo II Espços Vectors ( + β A A + βa e ( A ( βa IA A coo é edete β (s deostrções dos xos são álogs às terores Propreddes Eleetres dos Espços Vectors As propreddes dos espços ectors deostr-se prtr dos 8 xos qe costte s defção: ª - E qlqer espço ectorl exste só eleeto lo ª - E qlqer espço ectorl cd eleeto te só oposto ª - V (e-se qe o zero do º ebro R e o do º ebro V 4ª - R (bos os zeros pertece V 5ª - V ( e V ( ( ( 6ª - R 7ª - R e V 8ª - o 9ª - β β o Prodto Crteso O Espço Vectorl Se os cotos A ( e B ( b b Ch-se prodto crteso de A e B ( A B o coto A B {( b : A e b B} Se B A te-se o prodto crteso A A o coo é orlete represetdo A sedo este represetdo por A {( b : b A} {( : } A A Geerlzdo tereos etão Exeplo Se A { 5} e B { 46} B {( ( 4 ( 6 ( 5( 54( 56 } A B A {( 4 ( 5 ( 4 ( 45 ( 6 ( 65 } A {( ( 5 ( 5 ( 55 } Note-se qe o úero de eleetos de A B é gl o prodto do úero de eleetos de A pelo úero de eleetos de B Prof Alzr Ds
5 Cpítlo II Espços Vectors Pro-se qe o coto R - R é o coto dos úeros res é espço ectorl desde qe este defds s operções: ( ( b b b + ( + b + b + b e ( ( b b b R co b b e ( ( b Mtos dos cotos á cohecdos pode ser cosderdos cotos lgs: O coto dos úeros coplexos { + b : b R} C Veos o coto dos polóos de gr eor o gl { x + b : b R} e o coto ds trzes do tpo por exeplo são cotos M : b R b P Co efeto eos o qe scede co P á qe co C e M se poderão tecer cosderções álogs Sedo p e p eleetos de P co p x + b e p x + b fácl é erfcr qe p + p ( + x + ( b + b e p ( x + ( b Os esos resltdos se pode obter b co o eso procedeto: ( x + b + ( x + b ( b + ( ( + b + b ( + x + ( b + b e ( x + b ( b ( b ( x + ( b Veos s lgs cotos: O coto dos polóos de grs eor o gl { x + bx + c : b R} P c V o coto dos ectores do espço { ( b c : b c R} e o coto ds trzes do tpo {[ b c] : b c R} M são exeplos de cotos O coto dos polóos de gr eor o gl e { x + bx + cx + d : b c R} P d b o coto ds trzes qdrds de ª orde M : b c d R c d Prof Alzr Ds
6 Cpítlo II Espços Vectors são cotos 4 Sb-espços Vectors Se V espço ectorl sobre R e A V Dz-se qe A é sb-espço ectorl de V se: b A + b A R e A A Exeplo Verfcr se os cotos {( b + b : b R} {( x y z : x + y + } X z são sb-espços de A e Note-se qe tto o coto A coo o coto X estão cotdos e R á qe qlqer eleeto de cd destes cotos é tbé eleeto de Tereos de erfcr se s codções qe defe sb-espço ectorl são q stsfets Coeceos co o coto A e toeos dos eleetos geércos deste coto: ( b + b ( b + b : ( b b + ( b + b ( + b + b ( + b + ( + b + o eleeto obtdo pertece tbé A á qe stsfz defção de eleeto deste coto cd eleeto de A é costtdo por três úeros res o tercero sedo so dos preros ( b b ( b + b + tbé este eleeto pertece A pels rzões ocds e O coto A é portto sb-espço de Psseos o coto X Coo os três úeros res qe defe os eleetos deste coto estão terlgdos pel relção x + y + z o se z x y o coto pode ser descrto d segte for: X {( x y x y : x y R} Procededo coo o exeplo teror teríos ss ( x y x + y + ( x y x + y ( x + x y + y ( x + x ( y + y o qe os le coclr qe o eleeto obtdo ão pertece X pos o tercero úero qe o costt ão é Prof Alzr Ds
7 Cpítlo II Espços Vectors gl ( x + x ( y + y O coto X ão é portto sb-espço de Cobção Ler de Vectores Gerdores de Espço Vectorl Dzeos qe ector V é cobção ler dos ectores V se exstre os esclres R - coefcetes d cobção ler ts qe Exeplo O ector ( 6 5 ( ( ( de R é cobção ler dos ectores Co efeto bstrá tor 6 5 pr qe se poss escreer É edete qe qlqer ector R é cobção ler dqeles três ectores pos ( xyz x( + y( + z( x + y + z ( x y z Dreos qe os ectores V ger o são gerdores do espço ectorl V se qlqer ector deste espço ectorl for cobção ler dqeles ectores sto é se V R : Coo se cocl do exeplo teror os ectores ( ( e ( ger Exeplo Verfcr se os ectores ( ( ( ger Toeos o ector geérco ( xyz ( + ( + ( e fços ( xyz Verfqeos se qsqer qe se x y z exste sepre esclres ts qe relção teror se erdder Obteos: ( y z ( x o se + x x + + y Resolos o sste: y z z Prof Alzr Ds
8 Cpítlo II Espços Vectors y x z 4 4 y x y z + y 4 4 y x y z + y + 4z Cocl-se qe o sste só é possíel pr x + y + 4z cso cotráro ão exstrão qe stsfç o sste e coseqeteete relção ( xyz ( + ( + ( Ne todos os ectores de cobção ler dos ectores ddos Estes ão ger R são portto Depedêc e Idepedêc Leres Dz-se qe os ectores V são lerete depedetes se Se est gldde sbsstr pr ão todos los os ectores serão lerete depedetes Exeplo Os ectores ( ( ( depedetes Pr o erfcr escree-se são lerete ( + ( + ( ( Etão Teore Os ectores V são lerete depedetes se e só se deles for cobção ler de todos os otros Deostrção Se são lerete depedetes etão relção é possíel tbé pr ão todos los Spodo qe se poderá cosderr Neste cso prtr d eqção teror podeos obter scessete: Prof Alzr Ds
9 Cpítlo II Espços Vectors + + Coo são úeros res e dí o ector ser cobção ler de todos os otros Recprocete se for cobção ler dos ectores qe sbe-se qe R ts Adcodo bos os ebros dest gldde o opsoto de obté-se ( ( + o qe pro qe estes + ectores são lerete depedetes á qe qel gldde é possíel exstdo coefcete ão lo: o últo coefcete é gl ( Teore Se os ectores cobção ler de são lerete depedetes e se ão é etão são tbé lerete depedetes Este teore pode ser deostrdo pelo étodo de redção o bsrdo Deostrção Spohos qe são lerete depedetes Etão relção ser possíel pr ão todos los É edete qe te qe ser destes porqe se tl ão cotecesse e relção teror redzr-se- + + tedo + codção de ão sere todos los Isto cotr ds hpóteses do teore ql dz qe são lerete depedetes Se pelo cotráro pder ser relção le scessete dode coclr-se- qe er cobçãoler de cotrdz otr hpótese Os ectores depedetes s s depedetes o qe ão pode ser lerete 5 Prof Alzr Ds
10 Cpítlo II Espços Vectors Bse e Desão Os ectores V for bse do espço ectorl V se: B - gerre V B - fore lerete depedetes Os ectores ( ( ( qe ger V - qlqer ector de V pode ser escrto coo cobção ler destes e são lerete depedetes coo se for bse de {( ( } é bse cóc de cóc de 4 R etc É chd bse cóc de Do eso odo { } ( ( ( ( é bse Exeplo Verfcr se os ectores ( ( ( for bse de B - Os ectores ddos dee gerr R sto é qlqer qe se ( x y z R dee exstr R ts qe relção ( xyz ( + ( + ( se erfqe o qe eqle + x x + y Resoledo eqção: y z z x 5 y x 4 z x possíel qsqer qe se x 5 y x O sste é sepre x y + z x y z o qe sgfc qe exste sepre B - qe stsfze relção Os ectores são lerete depedetes N erdde gldde: ( + ( + ( ( perte obter o sste + + qe só dfere os teros depedetes gor todos los A codesção d trz à seelhç d teror reslt trz 6 Prof Alzr Ds
11 Cpítlo II Espços Vectors 5 o qe pro qe o sste é possíel e deterdo exstdo pes solção l: Ass os três ectores são lerete depedetes e tededo tbé B for bse de Teore Tods s bses de ddo espço ectorl tê o eso úero de eleetos Deostrção Cosdereos ds bses de ddo espço ectorl e os spor qe o úero de ectores de cd dels é respectete e co Adtos qe > Represeteos prer bse por { } segd por { } e Coo qlqer ector de espço ectorl V é cobção ler dos ectores de qlqer bse de V - por defção de bse podeos escreer: os coefcetes ds cobções leres sedo ( ; Fços gor se for bse de V tê qe ser lerete depedetes o qe ão cotece Veos ds + glddes terores obté-se: ( ( ( sto é: te-se ss ( ( ( Coo for bse de V eles são lerete depedetes e dí teos: U sste hoogéeo - teros depedetes todos los é sepre possíel s este cso é deterdo pos tedo ós dtdo o íco ser > o úero de 7 Prof Alzr Ds
12 Cpítlo II Espços Vectors cols é or qe o úero de lhs e há cógts defds à cst de otrs ão deterds Exeplo - z + t z t Etão y + z + t y z t ( t x + y + z + t x + x t Sgfc etão qe lé d solção l exste tbé solções ão ls o qe pro qe relção é erdder pr ão são ão todos los Os ectores lerete depedetes e por sso ão for bse de V Se > fr-se- deostrção álog só qe represetríos os ectores coo cobção ler de - dtdo qe estes ectores for bse de V Sedo ss e podeos ter < As ds bses terão o eso úero de ectores > e Ch-se desão de espço ectorl V o úero de ectores de bse qlqer de V Se este úero é gl escree-se d V Coo os ectores ( ( ( for bse de R terá sepre três ectores e d R qlqer bse de Costrção de U Bse A costrção de bse pode fzer-se ector ector tededo o peúlto teore e qe qlqer ector ão lo é lerete depedete se pel ot propredde dos espços ectors Exeplo Costr bse do espço ectorl {( x y x + y : x y R} V Qlqer ector ão lo de V por exeplo ( stsfz ª codção de defção de bse Veos gor se erfc ª codção sto é se ger V Pr 8 Prof Alzr Ds
13 Cpítlo II Espços Vectors sso qsqer qe fosse x y deer exstr R tl qe ( x y x + y ( o se: x y x + y É edete qe ão há qlqer qe é tl qe y stsfç o sste teror qdo o ector ( x y x + y V Ass e todos os ectores de V são cobção ler de ( e portto este ector ão costt bse de V U dos ectores qe ão é cobção ler de ( é por exeplo ( y Pelo peúlto teore podeos coclr qe estes dos ectores são lerete depedetes stsfzedo ss ª codção d defção de bse Veos se tbé stsfze ª: x x x e ss y y + x + y x + y ( y x + y ( + ( ss x y y x y O sste é sepre possíel e deterdo Sedo x y R R pos ( x y x + y x( + y( ts qe ( x y x + y ( + ( lerete depedetes for bse de V Os dos ectores ger V e coo lé dsso são 9 Prof Alzr Ds
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CAPÍTULO III MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA
PMR 40 Mecâca Coputacoal CAPÍTULO III MÉTODOS DE RUNGE-KUTTA São étodos de passo sples requere apeas dervadas de prera orde e pode forecer aproxações precsas co erros de trucaeto da orde de, 3, 4, etc.
CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts fuções são cohecds es um cojuto fto e dscreto de otos de um tervlo [,b]. Eemlo: A tbel segute relco clor esecífco d águ e temertur: temertur (ºC 5 3 35 clor
CENTROS DE MASSA I. Cabrita Neves Setembro de 2005
CENTR DE AA I. Crt Neves etero de 005 Ídce. Cetro de vectores preos... 3. Cetro de grvdde... 4 3. Cetro de ss... 5 4. stes co trução cotíu de ss... 6 4. Desdde ássc 6 4. Cetro de ss de sstes co trução
CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL
CAP. IV INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL INTRODUÇÃO Muts uções são cohecds pes um cojuto to e dscreto de potos de um tervlo [,b]. Eemplo: A tbel segute relco clor especíco d águ e tempertur: tempertur (ºC 5 5 clor
2. POTÊNCIAS E RAÍZES
2 2. POTÊNCIAS E RAÍZES 2.. POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS Vios teriorete lgus sectos históricos ds otêcis e dos logritos, e coo lgus rocessos ue levr à costrução dos esos. Pssreos seguir u desevolvieto
y vetores do R 2. Então:
ESPAÇOS VETORIAIS Espços Vetoriis Estdremos o coceito de espço etoril, qe é m cojto mido de certs operções, gozm de proprieddes ligds áris plicções mtemátics, s ciêcis bem como egehri Sej V m cojto ão
6.2 Sabendo que as matrizes do exercício precedente representam transformações lineares 2 2
Cpítulo Vlores própros e vectores própros. Encontrr os vlores e vectores própros ds seguntes mtrzes ) e) f). Sendo que s mtrzes do exercíco precedente representm trnsformções lneres R R, represente s rects
CAPÍTULO 9 OPERADORES DIAGONALIZÁVEIS
INRODUÇÃO AO ESUDO DA ÁGERA INERAR i Frcisco d Cr Deprtmeto de Mtemátic Uesp/r CAÍUO 9 OERADORES DIAGONAIZÁVEIS No cpítlo 8 vi-se qe é possível determir mtri de m trsformção o de m operdor lier em relção
ões Lineares todos de resolução Métodos de resolu Sistemas de Equações Lineares Sistemas de Equa as em uma treliça lculo das forças em uma treli
CCI- CCI- teátic Coptciol Rízes de Sistes ieres Crlos lerto loso Sches Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição U Gss-Jcoi Gss-Seidel Itrodção étodos diretos Regr de Crer Eliição de Gss Gss-Jord Decoposição
CAPÍTULO III. Aproximação de funções pelo método dos Mínimos Quadrados
Métodos Nuércos CAPÍULO III C. Balsa & A. Satos Aproxação de fuções pelo étodo dos Míos Quadrados. Algus cocetos fudaetas de Álgebra Lear Relebraos esta secção algus cocetos portates da álgebra Lear que
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
EXPONENCIAIS REVISÃO DE POTÊNCIAS Represetos por, potêci de bse rel e epoete iteiro. Defiios potêci os csos bio: 0) Gráfico d fução f( ) 0 Crescete I ]0, [.....,, ftores 0, se 0 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
Capítulo III - Resolução de Sistemas. Como sabemos os sistemas podem ser classificados em possíveis. (determinados ou indeterminados) e impossíveis.
Cpítulo III - Resolução de Sstems Vmos estudr métodos umércos pr: - resolver sstems de equções leres ão leres (; - Resolução de Sstems de Equções eres Cosdere-se o sstem ler de equções cógts:............
... Capítulo III - Resolução de Sistemas. Vamos estudar métodos numéricos para: - resolver sistemas lineares
Cpítulo III - Resolução de Sstems Vmos estudr métodos umércos pr: - resolver sstems leres ão leres (; - Resolução de Sstems de Equções eres Cosdere-se o sstem ler de equções cógts:............ b b b usdo
AUTOVALORES E AUTOVETORES
UTOLOES E UTOETOES Defnção Sej T : um operdor lner Um vetor v, v, é dto utovetor, vetor própro ou vetor crcterístco do operdor T, se exstr λ tl que T v) = λ v O esclr λ é denomndo utovlor, vlor própro
TP062-Métodos Numéricos para Engenharia de Produção Sistemas Lineares Métodos Iterativos
TP6-Métodos Numércos pr Egehr de Produção Sstems Leres Métodos Itertvos Prof. Volmr Wlhelm Curt, 5 Resolução de Sstems Leres Métodos Itertvos Itrodução É stte comum ecotrr sstems leres que evolvem um grde
Operadores Lineares e Matrizes
Operadores Lieares e Matrizes Ua Distição Fudaetal e Álgebra Liear Prof Carlos R Paiva Operadores Lieares e Matrizes Coeceos por apresetar a defiição de operador liear etre dois espaços lieares (ou vectoriais)
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Método de Eliminação de Gauss
étodo de Elmção de Guss A de ásc deste método é trsformr o sstem A um sstem equvlete A () (), ode A () é um mtrz trgulr superor, efectudo trsformções elemetres sore s lhs do sstem ddo. Cosdere-se o sstem
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Capítulo 2. Aproximações de Funções
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PROGRAD / COSEAC ENGENHARIAS MECÂNICA E PRODUÇÃO VOLTA REDONDA - GABARITO
Prov de Cohecietos Especíicos QUESTÃO:, poto Deterie os vlores de e pr os quis ução dd sej cotíu e R. =,,, é cotíu e :.. li li li li. li li é cotíu e :.. li li li li Obteos Resolvedo equções θ e β: Respost:.