INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 Uversdde Federl Fluese UFF Volt Redod RJ INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Prof. Dor Cesr Lobão Trblo orgl preprdo por: Prof. Ioldo José Sces e Prof. Dógees Lgo Furl Uversdde Federl do Prá. Deprteto de Iforátc CI- URL: ttp://

2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...4 CONCEITO DE ERRO...5. INTRODUÇÃO...5. ERROS NA FASE DE MODELAGEM...5. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS ERRO DE ARREDONDAMENTO ERRO DE TRUNCAMENTO...7 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS...9. INTRODUÇÃO...9. SISTEMA DE NUMERAÇÃO..... Sste de Nuerção Decl..... Sste de Nuerção Báro..... Coversão do Sste Decl pr Báro.... ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE....4 PROPAGAÇÃO DE ERROS ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS INTRODUÇÃO Dervd de u fução u poto Tpos de Métodos Isoleto de Ríes Clssfcção dos étodos MÉTODO DA BISSEÇÃO Esttv do Núero de Iterções Cosderções Fs Eeplos MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Csos especs Cosderções fs Eeplos MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR Csos de covergêc Cosderções fs Eeplos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON OU MÉTODO DAS TANGENTES Cosderções fs Eeplos Codções de Newto-Rpso-Fourer MÉTODO DA SECANTE Eeplos MÉTODO MISTO Eeplos MÉTODO PARA EQUAÇÕES POLINÔMIAIS Itrodução Loclção de Ríes Deterção ds Ríes Res...7

3 4.8.4 Método de Newto pr Zeros de Polôos SISTEMAS LINEARES INTRODUÇÃO Clssfcção Quto o Núero de Soluções MÉTODOS DIRETOS ALGORITMOS DIRETOS Regr de Crer Método d Elção de Guss Método de Jord Eeplos FATORAÇÃO LU-CROUT-CHOLESKY-DOOLITLE Cálculo dos Ftores L e U MÉTODOS ITERATIVOS ALGORITMOS ITERATIVOS Método de Guss-Jcob Algébrco Método de Guss-Jcob Mtrcl Método de Guss-Sedel Algébrco Método de Guss-Sedel Mtrcl Segud Abordge d Fórul Mtrcl do Método Guss-Sedel Método d Sobrerelção Sucessv Codções Necessár e Sufcete pr Covergêc do Método de Guss-Jcob e Guss-Sedel64 6 INTERPOLAÇÃO INTRODUÇÃO Coceto de Iterpolção INTERPOLAÇÃO LINEAR Obteção d Fórul Eeplos INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA Obteção d Fórul Eeplos INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Obteção d Fórul Eeplos: INTERPOLAÇÃO PARABÓLICA PROGRESSIVA INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Dfereçs Dvdds Propredde do Operdor Dfereçs Dvdds Eeplos INTERPOLAÇÃO DE GREGORY-NEWTON Dfereçs Ordárs ou Fts Relção etre dfereçs dvdds e dfereçs ordárs Gregor-Newto usdo Dfereçs Ordárs Eeplos INTERPOLAÇÃO SPLINES: LINEAR QUADRÁTICA CÚBICA Sple Ler Sple Qudrátc Sple Cúbc Nturl Cosderções Gers sobre Iterpolção AJUSTE DE CURVAS MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS Ajuste Ler Sples Ajuste Polol INTEGRAÇÃO NUMÉRICA INTRODUÇÃO Fóruls de Newto-Cotes REGRA DOS RETÂNGULOS...5

4 8.. Eeplos REGRA DOS TRAPÉZIOS Regr do Trpéo Repetd Eeplos REGRA DE SIMPSON Regr de Spso Repetd Eeplos... 9 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS INTRODUÇÃO TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Equções Dferecs Ordárs Equções Dferecs Prcs SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA REDUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROBLEMA DE VALOR INICIAL Método de Euler ANÁLISE DO ERRO PARA O MÉTODO DE EULER NA SOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL MÉTODO DE EULER MODIFICADO Método Heu Método Ruge-Kutt Dervção do Método de Ruge-Kutt de Segud Orde Método de Heu Método de Euler Modfcdo Método de Rlsto MÉTODO DE RUNGE_KUTTA TERCEIRA ORDEM MÉTODO DE RUNGE_KUTTA QUARTA ORDEM MÉTODOS DE PASSOS MÚLTIPLOS IDÉIA BASICA DOS MÉTODOS DE PASSOS MÚLTIPLOS Métodos Eplíctos Algortos de Ads-Bsfort de orde Métodos Iplíctos Algortos de Ads-Moulto de orde Pssos pr se obter SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...7 UTILIZANDO O MATLAB...46

5 4 Itrodução Cálculo Nuérco é obteção d solução de u proble pel plcção de étodo uérco; solução do proble será crcterd etão por u cojuto de úeros etos ou prodos. Método Nuérco é u lgorto coposto por u úero fto de operções evolvedo pes úeros operções rtétcs eleetres cálculo de fuções cosult u tbel de vlores cosult u gráfco rbtreto de u vlor etc.. Proble Físco Modelge Modelo Mteátco Resolução Solução Modelge é fse de obteção do odelo teátco que descreve o coporteto do sste físco. Resolução é fse de obteção d solução trvés d plcção de étodos uércos este é o objetvo de estudo do Cálculo Nuérco.

6 5 Coceto de Erro. Itrodução A oção de erro está presete e todos os cpos do Cálculo Nuérco. De u ldo os ddos e s e sepre são etos e de outro ldo s operções sobre vlores ão etos propg esses erros seus resultdos. Flete os própros étodos uércos freqüeteete étodos prodos busc ção dos erros procurdo resultdos o s próo possível do que ser vlores etos. Erro é dfereç etre o vlor eto e o vlor presetdo. No próo cpítulo sobre represetção de úeros res reos lsr várs stuções e que ocorre erros qudo utlos o coputdor pr relr os cálculos. A segur lsreos os erros que ocorre durte s fses de odelge e resolução e tbé sobre erros de rredodeto e erros de truceto.. Erros Fse de Modelge Ao se tetr represetr u feôeo do udo físco por eo de u étodo teátco rrete se te u descrção corret deste feôeo. Norlete são ecessárs várs splfcções do udo físco pr que se te u odelo. Eeplo: Estudo do oveto de u corpo sujeto u celerção costte. Te-se segute equção: ode: d d o v o t α d d o v o * t / * α * t : dstâc percorrd : dstâc cl : velocdde cl : tepo : celerção Deterr ltur de u edfíco co u bol de etl e u croôetro: s d * / * 9.8 * 44. Este resultdo é cofável?. Ftores ão cosderdos: resstêc do r velocdde do veto etc.. Precsão dos ddos de etrd: Se o tepo fosse 5s d 6.5 Vrção de 67% o croôetro 6% ltur.. Erros Fse de Resolução Pr resolução de odelos teátcos uts vees tor-se ecessár utlção de struetos de cálculo que ecesst pr o seu fucoeto que sej fets certs proções. Ts proções pode gerr erros ts coo: coversão de bses erros de rredodeto e erros de truceto..4 Erros Absolutos e Reltvos Erro bsoluto EA é dfereç etre o vlor eto de u úero N e o seu vlor prodo N :

7 6 N N EA N N > N EA N > N < N EA N < EA N N N Erro bsoluto Por eeplo sbedo-se que π.4.5 toreos pr π u vlor detro deste tervlo e tereos etão EA π π - π <.. Erro Reltvo é defdo coo o erro bsoluto dvddo pelo vlor prodo: ER N EAN N N' Erro Reltvo N' N' É clro que EA N só poderá ser deterdo se N for etete coecdo; coo sso é rro e cálculos uércos costu-se trblr co u ltção á pr o erro o vés do própro dcdo-se etão E < ε ode ε é o lte. Por eeplo se α e só desejos prte ter α o erro bsoluto será: α α α'.7 Se feros o eso co o úero β.7 tereos: β β β'.7 Obvete o efeto de proção de β é uto or do que e α s o erro bsoluto é o eso os dos csos. O erro reltvo etretto pode trdur perfetete este fto pos: δ α 7 96 < -4 δ β 7 7 < 5* Erro de Arredodeto Ao se plcr u étodo uérco os erros devdos os vlores cs teredáros e fs codue u erro globl dfereç etre o eto e o obtdo tbé cdo de rredodeto. Erros cs são os coetdos o rredodeto dos ddos cs. Os erros teredáros são decorretes dos erros coetdos durte plcção do étodo uérco e os erros fs decorretes d presetção fl do resultdo. Os tpos de rredodetos s coecdos são: Arredodeto pr bo ou por flt; Arredodeto pr c ou por ecesso; Arredodeto pr o uero de qu s próo. Crtéro de Arredodeto: o cálculo ul o regstrr u vlor prodo costu-se usr segute regr:. sor e udde pós últ cs decl coservr;. desprer s des css. Ass co úeros sgfctvos te-se:

8 7 O uso deste crtéro lt o erro e udde d últ cs coservd: E <.5 Os vlores prodos obtdos pode ser ferores vlor prodo por flt ou superores vlor prodo por ecesso os etos;.4 é o vlor prodo por flt de ;.6 é o vlor de prodo por ecesso. Pr coclur este te de erro de rredodeto deve-se ressltr portâc de se sber o úero de dígtos sgfctvos do sste de represetção d áqu que está sedo utld pr que se te oção d precsão do resultdo obtdo. Alé d precsão decl o cálculo do cdo Épslo d áqu os dá u dé d etdão d áqu. O ε d áqu é o eor úero de poto flutute tl que: ε >. Algus étodos pr cálculo de ε ão dão seu vlor eto s sto e sepre é ecessáro pos o que port é su orde de grde. O progr bo escrto lguge Mtlb clcul u proção do ε d áqu: Eps.; wle Eps > Eps Eps /.; sprtf'a qu c que %.5f%s'Eps' vle ero!' ed; O progr c eecutdo u Petu obteve segute respost: A qu c que.5 vle ero! Logo o úero de dígtos sgfctvos é 9..6 Erro de Truceto São erros proveetes d utlção de processos que dever ser ftos ou uto grdes pr deterção de u vlor e que por rões prátcs são trucdos. Estes processos ftos são uto utldos vlção de fuções teátcs ts coo epoecção logrtos fuções trgooétrcs e várs outrs que u áqu pode ter. Eeplo: U áqu poder clculr fução seo e epoecl utldo s segutes téccs: 5 7 seo...! 5! 7! e!!... Fedo truceto: seo ! 5! 7!!

9 e...!!! 8 A solução é de terroper os cálculos qudo u deterd precsão é tgd. De u er gerl pode-se der que o erro de truceto pode ser duído té cegr fcr d orde do erro de rredodeto; prtr desse poto ão f setdo dur-se s pos o erro de rredodeto será dote.

10 9 Represetção dos Núeros Res. Itrodução { Copleos - Núeros π; Res{Irrcos -4; Rcos{Iteros Frcoáros{Ordáros /7; / Decs -.5;... Algus ds propreddes báscs d rtétc rel ão vle s qudo eecutds o coputdor pos equto teátc lgus úeros são represetdos por ftos dígtos o coputdor sso ão é possível pos u plvr de eór é ft e própr eór tbé. Eeplos: π e. Se desejásseos clculr áre de u crcuferêc de ro obteríos os segutes resultdos: A 4 b A 46 c A Coo justfcr s dfereçs etre os resultdos? É possível obter o vlor eto dest áre? Os erros ocorrdos depede d represetção dos úeros áqu utld. A represetção de u úero depede d bse escold ou dspoível áqu e uso e do úero áo de dígtos usdos su represetção. O úero π por eeplo ão pode ser represetdo trvés de u úero fto de dígtos decs. No eeplo ostrdo c o úero π fo escrto coo.4.46 e respectvete os csos b e c. E cd u deles fo obtdo u resultdo dferete e o erro este cso depede eclusvete d proção escold pr π Qulquer que sej crcuferêc su áre uc será obtd etete u ve que π é u úero rrcol. Coo este eeplo qulquer cálculo que evolv úeros que ão pode ser represetdos trvés de u úero fto de dígtos ão forecerá coo resultdo u vlor eto. Quto or o úero de dígtos utldos or será precsão obtd. Por sso elor proção pr o vlor d áre d crcuferêc é quel obtd o cso c. Alé dsso u úero pode ter represetção ft e u bse e ão-ft e outrs bses. A bse decl é que s epregos tulete. U coputdor oper orlete o sste báro. Observe o que cotece terção etre o usuáro ou ddos do progr e o coputdor: os ddos de etrd são evdos o coputdor pelo usuáro o sste decl; tod est forção é covertd pr o sste báro e s operções tods serão efetuds este sste. Os resultdos fs

11 serão covertdos pr o sste decl e flete serão trstdos o usuáro. Todo este processo de coversão é u fote de erros que fet o resultdo fl dos cálculos. N pró seção reos estudr os processos de coversão de úeros do sste decl pr o sste báro e vce-vers. Estudreos tbé for de reeto fet pelos coputdores dgts.. Sste de Nuerção Este város sstes uércos detre os qus destc-se o sste decl bse o octl bse 8 e o edecl bse 6. E u sste uérco co bse β este β dígtos e o or é β. De u odo gerl u úero bse β j j-... β k β k... j pode ser escrto for polol: j β j j- β j-... β β β Co est represetção podeos fclete coverter u úero represetdo e qulquer sste pr o sste decl... Sste de Nuerção Decl No sste de uerção usul o sste decl usos de dígtos U úero or que 9 é represetdo usdo u coveção que trbu sgfcdo à posção ou lugr ocupdo por u dígto. Por eeplo e vrtude ds posções ocupds pelos dígtos dvdus o úero 5 este úero te sgfcdo uérco clculdo coo: 5 * * * 5* 5 5 Notos que u úero é epresso coo u so de potêcs de ultplcds por coefcetes proprdos. No sste decl é bse do sste. Este dígtos o or sedo 9. E u sste uérco co bse β este β dígtos e o or é β -... Sste de Nuerção Báro No sste báro este pes dígtos: e. Coo os crcutos eletrôcos usdos o coputdor preset estdos possíves covecoou-se cr o estdo deslgdo de e o estdo lgdo de. Cd dígto de u úero represetdo o sste báro é deodo bt cotrção de BIr dgt o cojuto de 4 bts é deodo bble e o de 8 bts de bte tero bstte utldo áre de forátc.... Coversão do Sste Báro pr Decl Qudo u úero é escrto o sste báro os dígtos dvdus represet os coefcetes de potêcs de. Por eeplo o úero decl 9 é escrto e represetção bár coo pos este rrjo de dígtos báros sgfc: * 4 * * * * Coversão do Sste Decl pr Báro A coversão de u úero decl pr báro é fet d segute for:

12 LSB MSB 9 O bt eos sgfctvo de u úero báro recebe otção de LSB Lest Sgfct Bt e o bt s sgfctvo de MSB Most Sgfct Bt.... Coversão de Núeros Báros Frcoáros e Decs Cosdereos gor coversão de u úero frcoáro báro bse pr u úero decl bse..5 * * - * - 5* * * - * - * * * - * - * Coversão de Núeros Decs Frcoáros e Báros Cosdereos gor coversão de u úero frcoáro d bse pr bse. U úero rel etre e pode ter represetção ft o sste decl s represetção ft o sste báro. No cso gerl sej r u úero etre e o sste decl e.d d...d j... su represetção o sste báro. Os dígtos báros d d... d j... são obtdos trvés do segute lgorto: Psso : r r; k Psso : Clcule r k. Se r k fç: d k cso cotráro fç: d k Psso : Fç r k r k d k Se r k pre. Cso cotráro: Psso : k k. Volte o psso. Observr que o lgorto pode ou ão terr pós u úero fto de pssos. Pr r.5 tereos: r.5. k r.5 d r.5 d.5 k r.5 d

13 r.5 k r. d r 4 Teos etão.5. sedo portto represetção bár ft. Já pr r. tereos: r. k r. d r. k r.4 d r.4 k r.8 d r 4.8 k 4 r 4.6 d 4 r 5.6 k 5 r 5. d 5 r 6. r Coo r 6 r tereos que os resultdos pr k de e 5 se repetrão e etão: r r 6 r. e ss defdete. Cocluíos que:.... e portto o úero. ão te represetção bár ft. O fto de u úero ão ter represetção ft o sste báro pode crretr ocorrêc de erros preteete eplcáves e cálculos efetudos e sstes coputcos báros. U coputdor que oper o sste báro rá rer u proção pr. u ve que possu u qutdde f de posções pr gurdr os dígtos de tss de u úero e est proção será usd pr relr os cálculos. Não se pode portto esperr u resultdo eto. Podeos gor eteder elor por que o resultdo d operção: S. ão é obtdo corretete u coputdor. Supodo u áqu dgtl que trble co pes 9 dígtos tss o úero. ser redo coo. e este úero represet etete Portto tods s operções que evolve. ser relds co est proção. Vereos pró seção represetção de úeros e rtétc de poto flutute co o objetvo de se eteder elor cus de resultdos precsos e operções uércs. O progr e Mtlb segur perte clculr. sedo o vlor eto dess sotór. ; for :.; sprtf' %.f' ed

14 Qudo ess sotór é efetud utldo o coputdor o vlor é: Se escrever u progr e lguge C usdo double or precsão o resultdo será Artétc de Poto Flutute Us-se roterete dus fors pr fer o reeto dos úeros e áqus: poto fo pr vlores teros e poto flutute pr vlores res. U áqu de clculr ou u coputdor dgtl represet u úero rel o sste deodo rtétc de poto flutute. Neste sste o úero é represetdo for: ode: ± d d d dt.... t β β β β β: é bse e que áqu oper; d : são úeros teros cotdos o tervlo d β - ;... t; d ; e: represet o epoete de β e ssue vlores etre I e S; I S: lte feror e lte superor respectvete pr vrção do epoete. d d d dt... t β β β β é cd de tss e é prte do úero que represet os seus dígtos sgfctvos e t é o úero de dígtos sgfctvos do sste de represetção couete cdo de precsão d áqu. β e Eeplo : No sste de bse β decl te-se: Os úeros ss represetdos estão orldos sto é tss é u vlor etre e. A for orld é utld s operções evolvedo poto flutute e coputdores dgts. No sste de bse β báro te-se: * * Eeplo : Nu áqu de clculr cujo sste de represetção utldo te β t I 5 e S 5 o úero 5 e.5 é ss represetdo: 5. * 5. * sedo *

15 4 ou de u for s copct: Mtss epoete Cd dígto é cdo de bt portto est áqu são utldos bts pr tss 4 pr o epoete e s u bt pr o sl d tss se bt postvo se bt egtvo e u bt pr o sl do epoete resultdo o totl 6 bts que são ss represetdos: 5.5. * Vlor d Mtss Epoete Sl d Mtss Sl Ep. O or vlor represetdo por est áqu descrt o eeplo ser: que bse decl te o segute vlor:. * 76 E o eor vlor ser:. * 76 Logo os úeros que pode ser represetdos est áqu estr cotdos o tervlo [76; 76]. Nest áqu d o vlor ero ser represetdo por: O próo úero postvo represetdo ser:. * O subsequete ser:. * Atrvés desses eeplos pode-se coclur que o cojuto dos úeros represetáves este sste é u subcojuto dos úeros res detro do tervlo ostrdo terorete. Cosdere por eeplo u áqu que oper o sste: β ; t ; e [-55]. Os úeros serão represetdos d segute for esse sste:

16 5.d d d * e d j 9 d e [5 5] O eor úero e vlor bsoluto represetdo est áqu é:. * -5-6 e o or úero M e vlor bsoluto é: M.999 * Cosdere o cojuto dos úeros res R e o segute cojuto: G { R M} Ddo u úero rel várs stuções poderão ocorrer:. G: por eeplo *. Observe que este úero possu 5 dígtos tss. Estão represetdos etete est áqu os úeros:.5* e.6*. Se for usdo o truceto será represetdo por.5* e se for usdo o rredodeto será represetdo por.6*. N pró seção sobre erros estudreos o truceto e o rredodeto;. < : por eeplo.45* -7. Este úero ão pode ser represetdo est áqu porque o epoete e é eor que 5. Est é u stução e que áqu cus ocorrêc de uderflow;. > M: por eeplo.875* 9. Neste cso o epoete e é or que 5 e áqu cus ocorrêc de overflow. Algus lguges de progrção perte que s vráves sej declrds e precsão dupl. Neste cso est vrável será represetd o sste de rtétc de poto flutute d áqu s co prodete o dobro de dígtos dspoíves tss. É portte observr que este cso o tepo de eecução e requereto de eór uet de for sgfctv. O C forece três tpos pr úeros de poto flutute. Cd tpo te u tervlo e u precsão especfcd: Tpo Nº de bts Itervlo Ico F flot.4e8.4e8 double 64.7E8.7E8 log double 8.4E49.4E49 O tpo log double é o tpo de poto flutute co or precsão. É portte observr que os tervlos de poto flutute tbel c estão dcdos e f de epoete s os úeros pode ssur vlores tto postvos quto egtvos..4 Propgção de Erros Durte s operções rtétcs de u étodo os erros dos operdos produe u erro o resultdo d operção; sedo A B b os vlores etos e prodos respectvos e E e E b os erros dos operdos. A B E b E b b E E b A B E b E b b E E b EA AB E E b EA A-B E E b

17 6 A * B E b E b b E b be E b *E EA A*B E b be E b *E Vejos trvés de u eeplo coo os erros descrtos terorete pode fluecr o desevolveto de u cálculo. Eeplo: Supo-se que s operções bo sej processds e u áqu co 4 dígtos sgfctvos e fedo-se:.49* 4 e.45* te-se:.45*.49* 4.49* 4.49* 4.49* 4..45*.49* 4.49* Os dos resultdos são dferetes qudo ão dever ser pos dção é u operção dstrbutv. A cus dest dfereç fo u rredodeto feto dção cujo resultdo te 8 dígtos. Coo áqu só re 4 dígtos os eos sgfctvos for despredos. Ao se utlr áqus de clculr deve-se estr teto esss prtculrddes cusds pelo erro de rredodeto ão só dção s tbé s outrs operções.

18 7 4 Zeros de Equções Trscedetes e Polos 4. Itrodução Sej F u fução rel defd u tervlo [ b]. C-se res dest fução e [ b] todo ξ cs b tl que Fξ coo ostr fgur bo. f ξ b 4.. Dervd de u fução u poto A fução ƒ : A R d-se dervável o poto de cuulção A qudo este e é fto o lte: l l f f l f f Qudo f é dervável e o lte é cdo dervd de f o poto. 4.. Tpos de Métodos Pode-se der que são dos os étodos pr se cr s res de u equção: Método dreto: qudo forece solução e pes u úco psso. Est r é et eos de erros de rredodeto. Eeplo: Sej F. A solução dret pode ser obtd trvés d fórul de Bskr co b b c epressão: X ± 4 que terá coo cojuto solução { }. ; b -; c ; %f ^ - * delt b*b - 4**c; f delt > else ed -b sqrtdelt / *; -b - sqrtdelt / *; sprtf' %5.8f\' sprtf' %5.8f\' sprtf'no possu res res\'; Método tertvo ou dreto: é u processo de cálculo fto recursvo e que o vlor obtdo cd psso depede de vlores obtdos e pssos terores. Este tpo de étodo or ds vees ão obté solução et pr s ríes s s u solução prod detro de u f de erro cosderd cetável. É portte sletr que orlete os étodos tertvos são s precsos qudo eecutdos e u coputdor que perte glr os cálculos teátcos obtedo ss u elor precsão.

19 8 Eercíco: Clculr 4 e de usdo o Método de Newto defdo por: pr... ode: : o úero ser clculdo r : u trbução cl qulquer dferete de ero por eeplo. Coo vos terorete o cálculo ds dus ríes de u equção do segudo gru colocd sob for b c são fclete obtds pel fórul de Bskr. Etretto se colocros u epressão e que preç u equção trscedete solução já ão é tão sples coo deostr os eeplos bo: e cos l Meso u polôo de gru or que três já ão te u solução lgébrc sples coo d equção do segudo gru ão ser e csos prtculres. Vos lsr coo efretr esse proble tão cou e dverss áres d eger d ecoo ds cêcs d físc etre tts outrs. Esss equções co eore freqüêc os lev ríes res ão rcos que o sere represetds o coputdor ecessrete o serão de for prod pels rões já eposts o cpítulo teror tedo e vst que ecesstr de ftos dígtos e sus tsss pr sere represetds. Alé dsso e gerl estos teressdos e obter esses vlores esss ríes co u deterd precsão co u erro tolerável co lgus css decs se pretesão de obter vlores etos. Isso é s do que sufcete pr or dos probles prátcos ecotrdos. Os étodos uércos sere presetdos prtdo de vlores clete propostos busc prorr esses vlores dudo os erros prodo-se ss dos vlores ds ríes procurds té que os erros sej cetáves podedo-se grtr que sej erros ferores vlores pré-defdos. Pr se clculr u r dus etps deve ser seguds: Isolr r ou sej cr u tervlo [ b] o eor possível que cote u e soete u r d equção f ; Melorr o vlor d r prod sto é refá-l té o gru de etdão requerdo. Co bordge tertv precsos deterr u tervlo cl pr costruros seqüêc { } e tereos que r ' será dd por: ' l Alé dsto teos que estpulr crtéros de prd pos prtc ão clculreos ftos teros s pes o sufcete pr tgros etdão desejd. 4.. Isoleto de Ríes Nest fse é fet u álse teórc e gráfc d fução f. Pr tl f us-se freqüeteete u portte teore d álgebr. Teore: Se u fução f cotíu u tervlo [ b] ssue vlores de ss opostos os

20 9 potos etreos deste tervlo sto é f. fb < etão o tervlo coterá o ío u r d equção f ; e outrs plvrs verá o ío u úero ξ b tl que fξ Núero de Ríes Res N seção teror vos coo deltr s ríes res de F. Agor reos verfcr quts ríes este o tervlo deltdo. Os étodos segur dão u bo dcção sobre o úero de ríes do tervlo. Teore de Bolo: Sej F u equção lgébrc co coefcetes res e b: Se F.Fb < etão este u úero pr de ríes res cotdo sus ultplcddes o tervlo b. Se F.Fb > etão este u úero pr de ríes res cotdo sus ultplcddes ou ão este ríes res o tervlo b. A deterção do úero de ríes de equções trscedetes gerlete é quse possível pos lgus equções pode ter u úero fto de ríes. Não freos ores cosderções sobre este portte tópco por ão ser o objeto de estudo este oeto e por erecer u trblo prte devdo etesão de seu coteúdo. Etretto podeos sletr que o proble de solr ríes costtu-se d euerção loclção e seprção ds ess Refeto Depos de solr r o tervlo [ b] pss-se clculá-l trvés de étodos uércos. Coo vereos dte estes étodos deve forecer u seqüêc { } de proção cujo lte é r et ξ. E cd proção d r et ξ us-se u destes crtéros e copr-se o resultdo co tolerâc ε pré-fd. A verfcção de que está "sufceteete" pró d r pode ser fet de dos odos dferetes que pode levr resultdos dferetes: f ε bordge pelo eo - ε bordge pelo eo Observ-se que depededo dos úeros evolvdos é coselável usr os testes de erro reltvo: ε 4..4 Clssfcção dos étodos Métodos de quebr: Os étodos de quebr são os s tutvos geoetrcete; cotudo são os que coverge s letete. Estes étodos são ss cdos porque prtr de u tervlo que cote u r d fução v-se prtcodo este tervlo e outros eores que d cote r. Depededo d escol do poto de quebr do tervlo podereos ter dferetes étodos ts coo. Método d Bsseção; Método d Fls Posção. Métodos de poto fo: Nos étodos de poto fo coeços de u proção cl e costruíos seqüêc { } qul cd tero é ddo por ζ ode ζ é u fução de terção. Cofore for ζ det tereos dferetes étodos de poto fo ts coo.

21 Método de Newto-Rpso; Método d Iterção Ler. Métodos de últplos potos: Os étodos de últplos potos costtue u geerlção do étodo teror ode pr deterr u poto utlos város potos terores: p. Eeplo: Método d Secte. 4. Método d Bsseção Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo que ξ b tl que fξ. f fb ξ 4 b f Iterpretção geoétrc do étodo d bsseção Dvddo o tervlo [ b] o eo obté-se vedo pos dos subtervlos [ ] e [ b] ser cosderdos. Se f etão ξ ; cso cotráro r estrá o subtervlo ode fução te ss opostos os potos etreos ou sej se f. f < etão ξ [ ] seão f. f > e ξ [ b]. O processo se repete té que se obte u proção pr r et ξ ou sej que o crtéro de prd sej stsfeto. Etão por dução teos: Algorto: b pr... Se f. f < etão tereos b seão. Crtéro de Prd: f erro ou b erro Restrção: É ecessáro coecer u tervlo que cote o vlor desejdo ξ. 4.. Esttv do Núero de Iterções Cosderdo u precsão ε e u tervlo cl [ b] é possível sber pror quts terções serão efetuds pelo étodo d bsseção té que se obte b ε usdo o lgorto deste étodo. Vos que: bk k b bk k k

22 Deve-se obter o vlor de k tl que b k k < ε ou sej b k < ε b ε < k logb logε < k * log log b log log ε < k Portto se k stsf relção c o fl d terção k tereos o tervlo [ b] que cote r ξ. 4.. Cosderções Fs As terções ão evolve cálculos lborosos; Apesr de teorcete seguro o étodo pode ter fls. Se ocorrer u erro de rredodeto eso que pequeo o oeto e que áqu vl o sl do poto édo podereos ter u tervlo que efetvete ão coté u r; Pode ser dfícl ecotrr u tervlo [ b] tl que f. fb < e equções co ríes de ultplcdde pr ou uto prós; A covergêc é uto let pos se o tervlo cl é tl que b >> ε e se ε for uto pequeo o uero de terções k tede ser uto grde; Deve ser utldo pes pr dur o tervlo que coté r. 4.. Eeplos Eeplo : Ecotrr r d fução f.l. cotd o tervlo [ ] co erro -. b Algorto: b Escol do tervlo: f.87 f.9584 ξ [ ] c Vlor do erro: erro - d Iterções: X b f f ε f e Respost: A r desejd é ξ 955 Eercíco : Ecotrr r de f cotd o tervlo [; ] co erro -. Respost: A r desejd é ξ.7475

23 Eercíco : Ecotrr r d fução f l cotd o tervlo [.5 ] co erro -. Respost: A r desejd é ξ.6565 Eercíco : Ecotrr prer r postv d fução f e - se co erro -. Respost: A r desejd é ξ Método d Fls Posção Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo que ξ b tl que fξ. No cso do Método d Bsseção é obtdo trvés d éd rtétc etre os etreos e b: b N or ds vees r está s pró de u dos etreos do tervlo. Se prtros do prcípo de que r deve estr s pró do poto que preset o eor vlor d fução etão e ve de tor éd rtétc etre e b o étodo d fls posção to éd rtétc poderd etre e b co pesos fb e f respectvete: f b b f vsto que f e fb tê ss opostos teos etão: f b f f b bf f b f f b bf f f f b f b. f pr... f b f Grfcete este étodo procur prtcor o tervlo [ b] terseção d ret que ue os potos f e b fb co o eo. Este poto é represetdo coo. Escole-se etão u ovo subtervlo cofore for vrção do sl d curv f. O étodo d fls posção plcdo fgur bo ostr que f.f < co sso o ovo tervlo que coté pelo eos u r rel é ddo por. Cotudo o processo deteros o poto e verfc-se gor que f.f < dí o processo segue tedo o tervlo. Após ecotrr o poto deveos verfcr coo o cso d bsseção se r está etre o tervlo ou b. Se f.f < etão tereos b cso cotráro tereos. A prtr dí o processo se repete té que o crtéro de prd sej stsfeto. fb' fb f ξ b f Represetção geoétrc do étodo d fls posção

24 O lgorto deste étodo tbé pode ser ecotrdo trvés d álse dos trâgulos fordos pel ret f e b fb co o eo. Sej o trâgulo f e o trâgulo ffbfb etão pel propredde d seelç de trâgulos teos: b f b f b f f b f f b f f b f b f f b f Se f.f < etão tereos b seão. A prtr dí o processo se repete té que o crtéro de prd sej stsfeto. Etão por dução teos: Algorto: b. f Pr... f b f Se f.f < etão tereos b seão. Crtéro de Prd: - erro ou b Pode ser usdo tbé o crtéro: f erro Restrção: É ecessáro coecer u tervlo que cote o vlor desejdo ξ. 4.. Csos especs Se f é cotíu o tervlo [ b] co f.fb < etão o étodo d fls posção ger u seqüêc covergete. Se u fução é côcv ou cove e [ b] ou sej segud dervd este e [ b] e f ão ud de sl esse tervlo etão o étodo d fls posção tereos sepre u ds etreddes f. Este cso especl tbé é cdo de Método ds Cords. A fgur bo ostr grfcete os qutro csos que pode ocorrer: f " > f < e f b > b é poto fo f " > f > e f b < é poto fo

25 4 f fb f ξ b f ξ b f fb f " < f < e f b > é poto fo f " < f > e f b < b é poto fo f fb f f ξ b ξ b f Método d fls posção co u ds etreddes f fb 4.. Cosderções fs Se o poto fo estr e for rovelete próo d r o étodo te bo covergêc; cso cotráro pode ser s leto que bsseção. 4.. Eeplos Eeplo : Deterr pelo étodo d fls posção eor r postv d fução de qurto gru f té que o erro bsoluto sej gul ou feror.. Os cálculos deve ser efetudos co css decs e co rredodeto. b. f Algorto: f b f f f f 5 b Escol do tervlo: E prero lugr deve-se procurr o tervlo ode possvelete estej prer r postv. Atrvés d álse do vlor d fução os preros potos do eo dos teos que: f f f 9 logo etre este u r postv. c Vlor cl: b f 4 f 4 f.f > cocvdde ão ud.

26 teos f < f > e fb < portto b é poto fo. 5 d Vlor do erro: erro - e Iterções: f 5 f f > erro f.f.6 6 > portto r está o tervlo b etão 5 f f f > erro f.f > 58 f f f < erro f Respost: ξ 59 é prer r postv do polôo. Eercíco : Clculr r prod pr equção f cos co ε.. Respost: ξ.79 é r procurd d equção. Eercíco : Clculr r egtv pr fução f e co o erro.. Sbe-se que r está cotd o tervlo [ ]. Respost: ξ.5677 é r procurd d equção. 4.4 Método d Iterção Ler Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo ξ b tl que fξ. Por u rtfíco lgébrco pode-se trsforr f e dus fuções que le sej equvletes. f g ode g é cd de fução de terção.

27 6 g f ξ Iterpretção geoétrc do étodo d terção ler Sedo prer proção d r ξ clcul-se g. F-se etão g g g e ss sucessvete. Etão por dução teos: Algorto: g pr... Crtéro de Prd: - erro Melor etreo: Eprcete sbe-se que o étodo te sucesso qudo g' < e todo tervlo. O etreo s rápdo pr cr o étodo é quele pr o qul o ódulo d prer dervd é eor. Se g' < g'b etão seão b Csos de covergêc Sej f 5. Possíves g: g 5 g 5 5 g g 5 Coo podeos ter várs fuções g vos estbelecer lgus codções pr que os resultdos sej stsftóros. Vos observr grfcete o proble e verfcr que á fuções g que ão são dcds pr escol. Covergêc ootôc < g < Covergêc osclte < g <

28 7 g g ξ 4 ξ Dvergêc ootôc g > g Dvergêc osclte g < g ξ 4 Covergêc o étodo d terção ler ξ 4.4. Cosderções fs A or dfculdde este étodo é ecotrr u fução de terção que stsfç à codção de covergêc; Teste de g' < pode levr u ego se ão estver sufceteete próo d r. A velocdde de covergêc depederá de g'ξ : quto eor este vlor or será covergêc; Deveos observr que o teste de erro - erro ão plc ecessrete que ξ erro cofore veos fgur bo: g ξ Eeplos Eeplo : Dd fução f 4 obter su r cotd o tervlo [ ] pelo MIL co u erro -4. Algorto: g b Escol d fução de terção:

29 8 4 ' dvergêc osclte 4 4 ' covergêc osclte 4 ' 4 covergêc osclte c Melor etreo vlor cl: 4 ' * 4 ' ' d Vlor do erro: erro -4 e Iterções: < erro f Respost: A r desejd é ξ 5. Eercíco : Dd fução f cos.45 obter su r cotd o tervlo [.5 ] pelo MIL co u erro -. Respost: A r desejd é ξ Método de Newto-Rpso ou Método ds Tgetes Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo ξ b tl que fξ e f. f f f ξ β α b ' f

30 Iterpretção geoétrc do étodo de Newto 9 Toeos b. Etão teos: tgα f ' f ' f f f ' Se erro etão é r desejd seão deve-se clculr que é obtdo co bse o f eso rcocío teror:. f ' Se erro etão é r desejd seão deve-se clculr... té que erro. Etão por dução teos: Algorto: f pr... f ' Crtéro de Prd: erro Restrção: É ecessáro coecer u tervlo que cote o vlor desejdo ξ. Melor etreo: Pr decdr qul o elor etreo do tervlo b cr o étodo bst verfcr qul dos etreos possu fução e segud dervd co eso sl: f. f'' > Pr {etreos do tervlo} 4.5. Cosderções fs Requer o coeceto d for lítc de f ' s su covergêc é etrordár Eeplos Eeplo : Clculr r postv d equção f se 4 co erro - usdo o étodo de NR. Algorto: f f ' f se 4 f cos f'' se b Escol do tervlo: f.99 f.8589 f. f < ξ [ ] c Melor etreo vlor cl: f.99 f.8589 f''.99 f''.4 d Vlor do erro:

31 erro - e Iterções: f.8589 f ' > erro.78 f f ' > erro.54 f f ' < erro f Respost: A r desejd é ξ.54 Eercíco : Obter r cúbc de 5 usdo o étodo NR sedo o erro -. f 5 f' f'' 6 Respost: A r desejd é ξ.7 Eercíco : Clculr r egtv de f 5 co erro -4. f 5 f f'' 6 Respost: A r desejd é ξ Eercíco : Sej fução f se tg. Desej-se sber u ds ríes dest fução sbedo-se que está cotd o tervlo 4. Todos os cálculos deve ser reldos co 4 css decs co rredodeto e erro ão superor.. f se tg f' cos sec f'' se sec tg Respost: A r desejd é ξ Codções de Newto-Rpso-Fourer Segudo Newto pr ver covergêc à u r e seu étodo bstr que o tervlo b e álse fosse sufceteete pequeo. Cotudo Rpso e Fourer cocluír que u tervlo pequeo é quele que coté u e soete u r. Co sso lgus codções for estbelecds pr que tl egêc fosse váld:

32 ª Se f. fb > etão este u úero pr de ríes res cotdo sus ultplcddes ou ão este ríes res o tervlo b Teore de Bolo; ª Se f.fb < etão este u úero ípr de ríes res cotdo sus ultplcddes o tervlo b Teore de Bolo; ª Se f'. f'b > etão o coporteto d fução este tervlo poderá ser pes crescete ou pes decrescete e uc os dos se lterdo; 4ª Se f'. f'b < etão fução terá o coporteto de or crescer or decrescer; 5ª Se f". f"b > etão cocvdde ão ud o tervlo e álse; 6ª Se f". f"b < etão cocvdde ud o tervlo e álse. Portto verá covergêc à u r o tervlo b se e soete se: f. fb < f'. f'b > e f". f"b >. Eeplo : Sej fução f obter r cotd o tervlo [8 9]. Os cálculos deve ser reldos co 4 decs co rredodeto e erro ão superor. Algorto : f f ' f f 9.5 f b Escol do tervlo: f8.5; f9 4 f8. f9 < ξ [8 9] c Melor etreo vlor cl: f8 5 f9 4 f8. f9 < f'8 6.5 f'9 8.5 f 8. f 9 > f"8 f"9 f 8. f 9 > 9 d Vlor do erro: erro - e Iterções: f f ' > erro f f ' > erro f f ' < erro f Respost: A r desejd é ξ 8.5

33 Eercíco 4: Clculr r d equção f cotd o tervlo [ ] co u erro -. f f f 6 Respost: A r desejd é ξ Método d Secte U grde desvtge do étodo de Newto é ecessdde de se obter dervd f e clculr o seu vlor uérco cd terção. Pr cotorr este proble podeos substtur o cálculo d prer dervd f pelo quocete ds dfereçs usdo ss u odelo ler bsedo os dos vlores clculdos s receteete: f f f ' ode e - são dus proções pr r. Substtudo o vlor prodo d dervd c fução de terção fc: f f f. f f f pr... Pr cr o étodo ecesstos de dus proções e pr r. f f o ξ 4 f Iterpretção geoétrc do étodo d secte Neste étodo prtos ds dus proções cs e e deteros ret que pss pelos potos f e f. A tersecção dest ret co o eo forece o poto. E segud é clculdo u ov proção pr r prtr dos potos f e f. O processo se repete té que sej stsfeto o crtéro de prd. Observe que este étodo ão ecesstos d crcterístc que é fudetl o étodo d

34 fls posção que ege que f. f - <. É portte sletr tbé que r ão ecesst estr etre s dus proções cs e. A covergêc deste étodo é s rápdo que o étodo d bsseção e o d fls posção cotudo pode ser s leto que o étodo de Newto-Rpso. Algorto: f. f f pr... Crtéro de prd: erro 4.6. Eeplos Eeplo : Clculr r d fução f 6 sedo.5.7 e o erro -.. f Algorto : f f b Vlor cl:.5.7 c Vlor do erro: erro - d Iterções:.7.5. f f.7 f > erro f f.57 f > erro f f.9977 f < erro e Respost: ξ. é r procurd. Eercíco : Clculr r d fução f cos sedo.5 e o erro -4. Efetue os cálculos co 5 css decs co rredodeto. Respost: ξ.675 é r procurd. Eercíco : Clculr r d fução f 4 sedo e o erro 5. Respost: ξ 594 é r procurd.

35 4.7 Método Msto O étodo sto cosste plcção seqüecl dos étodos NR e Fls Posção est orde. O étodo NR é plcdo o prero psso sepre prtr do elor etreo. Etão co o ovo N N resultdo obtdo deter-se qul vlor dos etreos do tervlo será substtuído f. f < b N seão N e etão plc-se o étodo d Fls Posção. O resultdo obtdo e 4 F será utldo pró terção pelo étodo NR s tes é feto o teste do erro pr verfcr o crtéro de prd. Ass por dução segue-se s terções segutes. Qudo o crtéro de prd for stsfeto tr-se éd rtétc sples do resultdo d últ terção de bos os étodos e obté-se respost desejd. Algorto: Crtéro de prd: N F pr... F N erro 4.7. Eeplos Eeplo : Deterr pelo étodo sto r d fução f se cos cotd o tervlo [.5 ] co tolerâc de * -4 e cálculos co 4 css decs co rredodeto. N F Algorto: f se cos f cos se f" se cos b Vlor do erro: erro. c Escol do tervlo: f f.45 d Iterções: Melor etreo: f f.45 f" f" f f N N etreo à trocr: N f. f f.5. f <.5 b * f.5.78 * f.878 f F.7488

36 5 F N > erro etreo à trocr: f.5. f >.7488 b.878 f f N etreo à trocr: f f <.7488 b * f * f.764 f F F N erro e Respost: ξ Eercíco : Dd fução f cos.45 obter su r cotd o tervlo [.5 ] pelo étodo sto co erro - e cálculos co 4 decs co rredodeto. f cos.45 f' se f" cos.8.8 Respost: ξ Método pr Equções Polôs 4.8. Itrodução Ebor qulquer u dos étodos estuddos terorete poss ser usdos pr ecotrr eros de u polôo de qulquer gru o fto de os polôos precere co tt freqüêc e plcções f co que sej dedcd u teção especl. Norlete u polôo de gru é escrto for: P K pr Sbeos d álgebr eleetr coo obter os eros de u polôo do segudo gru P ou sej. Este fóruls fecds seeltes à fórul pr polôos de gru s be s coplcds pr eros de polôos de gru e 4. Agor pr 5 e gerl ão este fóruls eplícts e soos forçdos usr étodos tertvos pr ecotrr os eros dos polôos. Mutos dos teores d álgebr são útes loclção e clssfcção dos tpos de eros de u polôo. O estudo será dvddo e loclção de ríes e deterção ds ríes res Loclção de Ríes Vejos lgus teores que serão útes pr efetur loclção de ríes.

37 Teore Fudetl d Álgebr: Se P é u polôo de gru ou sej P K pr K res ou copleos co etão P te pelo eos u ero ou sej este u úero copleo ξ tl que P ξ. Pr deterros o úero de eos res de u polôo co coefcetes res podeos fer uso d regr de sl de Descrtes: Ddo u polôo co coefcetes res o úero de eros res postvos p desse polôo ão ecede o úero v de vrções de sl dos coefcetes. Teos d que v p é u úero tero pr e ão egtvo. Eeplos: Ddos os polôos segur deterr o úero de ríes res postvs: P v p: se v p se v p p p ou b P v p: se v p p se v p p ou c P 7 7 v e p: {v p p }. Pr deterr o úero de ríes res egtvs eg toos P e usos es regr pr ríes postvs: P P v eg: se v eg eg se v eg eg ou b P 5 5 4

38 P v eg: se v eg eg se v eg eg ou c P 7 7 P 7 7 Neste cso vos que ão este ero postvo. Teos d P 7. Teos etão que v e eg: {v eg eg } ou sej P ão te r rel postv o ero ão é r e te pes u r rel egtv dode te três ríes coples cojugds Deterção ds Ríes Res Estudreos u processo pr se clculr o vlor uérco de u polôo sto porque e qulquer dos étodos este cálculo deve ser feto u ou s vees por terção. Por eeplo o Método de Newto que vereos segur cd terção deve-se fer u vlção do polôo e u de su dervd Método pr Clculr o Vlor Nuérco de u Polôo Pr eeplfcr o étodo estudreos o processo lsdo u polôo de gru 4: 4 P 4 4 Este polôo pode ser escrto for: P 4 4 coecd coo for dos prêteses ecdos. Teos etão o cso de 4 que P 4 4 b 4 b : : Pr se clculr o vlor uérco de P 4 e c bst fer sucessvete: b b 4 4 b b 4 c

39 b b c b b c b b c 8 Pc b. Portto pr P de gru qulquer clculos P c clculdo s costtes b j j... sucessvete sedo: b b j j b j c j... e b será o vlor de P pr c. Podeos clculr o vlor de P e c usdo os coefcetes b j obtdos terorete. Todo coo eeplo o polôo de gru 4 teos: 4 P 4 4 P Usdo os vlores de j do cálculo teror e ddo que já coeos b b b b e b 4 : P b c b b c c b b c c b b c 4b4c b4c bc bc bc b b c Ass P 4 b 4c bc bc b Aplcdo o eso esque teror tereos: c 4 b 4 c b c 4 c c b c c c b c c Clculos pos os coefcetes c j j... d segute for: c b c j b j c j c j... Tereos etão P c c Método de Newto pr Zeros de Polôos Sej P L u proção cl pr r procurd. Cofore vos o Método de Newto cosste e desevolver proções sucessvs pr ξ prtr d terção: P k k k pr k... P' Eeplo : Dd equção polol teos que: k

40 P 5. P Etão este u r o tervlo. Prtdo de.5 e cosderdo ε. o Método de Newto pr polôos forece: P b 5 b b b b b c 5 c c c c P.5.65 e P'.5.75 P.5 P' > ε b 5 b b b b b c 5 c c c c P e P' P.786 P' > ε b 5 b b b b b c 5 c c c c

41 P e P' P.779 P' < ε A r procurd é:.79 Eercíco : Clculr r postv do polôo P co erro < -4 pelo étodo de Newto pr polôos. P' 6 4 A r procurd é:.966

42 4 5 Sstes Leres 5. Itrodução Sstes Leres são sstes de equções co equções e cógts fordos por equções leres. U sste ler co equções e cógts é escrto usulete for: ode j : coefcetes j : cógts b : costtes L b L b... L b j j A resolução de u sste ler cosste e clculr os vlores de j j... cso eles est que stsfç s equções sulteete. Usdo otção trcl o sste ler pode ser represetdo por AX B ode M L b L b... L b é cd tr coplet ou tr uetd do sste. L L A... L é tr dos coefcetes X B M b b M b é o vetor ds cógts e é o vetor costte teros depedetes. 5.. Clssfcção Quto o Núero de Soluções U sste ler pode ser clssfcdo quto o úero de soluções e:

43 Coptível deterdo o sste ler te solução úc deterdo o sste ler dte fts soluções 4 Icoptível o sste ler ão dte solução. Qudo todos os teros depedetes fore ulos sto é se b... o sste é dto oogêeo. Todo sste oogêeo é coptível pos dtrá pelo eos solução trvl j j Métodos Dretos Algortos Dretos U étodo é dto dreto qudo solução et r do sste ler é obtd reldo-se u úero fto de operções rtétcs. São eeplos coecdos Regr de Crer o Método d Elção de Guss ou trgulção e o Método de Jord. 5.. Regr de Crer Sej u sste ler co úero de equções gul o úero de cógts u sste sedo D o deterte d tr A e D D D... D os detertes ds tres obtds trocdo e M respectvete colu dos coefcetes de... pel colu dos teros depedetes teos que: O sste S será coptível e terá solução úc se e soete se D. Neste cso úc solução de S é dd por: D D D D D D... D D A plcção d Regr de Crer ege o cálculo de detertes det A e det A ; pr o úero totl de operções efetuds será *! * 9 ultplcções s u úero seelte de dções. Ass u coputdor que efetue cerc de lões de ultplcções por segudo levr 5 os pr efetur s operções ecessárs. Co sso regr de Crer é vável e fução do tepo de coputção pr sstes uto grdes Eeplos Eeplo : Resolv o sste bo pel Regr de Crer: Clculdo os detertes D D D e D teos: D 7 D D Etão D D 7 D D : 5 T e D 5 D 7 D 5 e solução do sste é

44 Eercíco : Resolv o sste bo pel Regr de Crer: 4 A solução deste sste é : T 5.. Método d Elção de Guss O étodo d elção de Guss cosste e trsforr o sste ler orgl u outro sste ler equvlete co tr dos coefcetes trgulr superor pos estes são de resolução edt. Deos que dos sstes leres são equvletes qudo possue es solução. O deterte de sstes leres equvletes são gus. Co pssos o sste ler AX B é trsfordo u sste trgulr equvlete: UX C o qul se resolve fclete por substtuções. Vos clculr solução de AX B e três etps: ª etp: Mtr Coplet Cosste e escrever tr coplet ou uetd do sste ler orgl. ª etp: Trgulção Cosste e trsforr tr A u tr trgulr superor edte u seqüêc de operções eleetres s ls d tr. ª etp: Retro-substtução Cosste o cálculo dos copoetes... solução de AX B prtr d solução do últo copoete e etão substturos regressvete s equções terores. Teore: Sej AX B u sste ler. Aplcdo sobre s equções deste sste u seqüêc de operções eleetres escolds etre: Trocr orde de dus equções do sste; Multplcr u equção do sste por u costte ão ul; Adcor u últplo de u equção u outr equção; obteos u ovo sste UX C e os sstes AX B e UX C são equvletes Resolução de Sstes Trgulres Sej o sste ler AX B ode A: tr trgulr superor co eleetos d dgol dferetes de ero. Escrevedo s equções deste sste teos: D últ equção deste sste teos: L b L b L b O M b

45 b 44 - pode etão ser obtdo d peúlt equção: - b e ss sucessvete obté-se -... e flete : b L 5... Estrtégs de Pvoteeto O lgorto pr o étodo de elção de Guss requer o cálculo dos ultplcdores: k - k kk k... e k... - cd etp k do processo. Sedo o coefcete kk cdo de pvô. O que cotece se o pvô for ulo? E se o pvô estver próo de ero? Estes dos csos erece teção especl pos é possível trblr co u pvô ulo. E trblr co u pvô próo de ero pode resultr e resultdos totlete precsos. Isto porque e qulquer clculdor ou coputdor os cálculos são efetudos co precsão ft e pvôs próos de ero são orge ultplcdores be ores que udde que por su ve org u plção dos erros de rredodeto. Pr se cotorr estes probles deve-se dotr u estrtég de pvoteeto ou sej dotr u processo de escol d l e/ou colu pvotl. Est estrtég cosste e: o co d etp k d fse de escloeto escoler pr pvô o eleeto de or ódulo etre os coefcetes: k k k... ; trocr s ls k e se for ecessáro Clssfcção do Sste Trgulr Sej U u sste trgulr superor esclodo de equções e cógts tereos s segutes possblddes: sste coptível e deterdo; < sste coptível e deterdo. Se durte o escloeto surgr equções do tpo:... b etão: Se b etão elreos equção e cotuos o escloeto; Se b etão coclu-se que o sste é coptível Eeplos Eeplo : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss.

46 45 ª etp: Mtr coplet: M ª etp: Trgulção: Ireos se referr s equções coo: E prer equção E segud equção e ss por dte. O copoetes dc o pvô. E E E E E E E E 7 E 6 ª etp: Retro-substtução: D tercer l teos: Substtudo segud l teos: 6 Substtudo e prer l teos: A solução deste sste é : T Eercíco : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss: A solução deste sste é : - T Eercíco : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss: Método de Jord Cosste e plcr operções eleetres sobre s equções do sste ler ddo té que se obte u sste dgol equvlete Eeplos Eeplo : Resolver o sste ler pelo étodo de Jord:

47 4 46 ª etp: Mtr coplet: M 4 ª etp: Dgolção: E E E E E E E E E E E E E E 5E 4 E E E E E E E ª etp: Cálculo d solução do sste: D prer l teos: N segud l teos: N tercer l teos: A solução deste sste é : T 5. Ftorção LU-Crout-Colesk-Dooltle A bse do étodo cdo Ftorção ou Decoposção LU está pod splcdde de resolução de sstes trgulres. Sej o sste ler A b O processo de ftorção pr resolução deste sste cosste e decopor tr A dos coefcetes e u produto de dos ou s ftores e e segud resolver u sequêc de sstes leres que os codurá solução do sste ler orgl. Tl processo gerl de elção é coecd coo étodo de Crout ou Colesk pr o cso prtculr de tres sétrcs postvs defds. A tr A pode ser decopost o produto ALU ode L é u tr trgulr feror e U é u tr trgulr superor qudo tr for ão sgulr Det A. Alé dsso se trburos vlores fos os eleetos d dgol sej de L l o Método de Dooltle ou e U u o Método de Crout est decoposção será úc. Supoos que sej possível ftorr tr A dos coefcetes u produto de u tr trgulr feror co dgol utár L e u tr trgulr superor U sto é:

48 A LU 47 Nests codções o sste A b pode ser reescrto for LU b o que perte o desebreto e dos sstes trgulres L b e U Resolvedo o prero sste clculos que usdo o segudo sste forecerá o vetor procurdo. Dess er coecds L e U o sste será resolvdo co operções dos sstes trgulres o que represet u go substcl coprdo co s operções do étodo d elção de Guss. 5.. Cálculo dos Ftores L e U Os ftores L e U pode ser obtdos trvés de fóruls pr os eleetos l j e u j ou etão pode ser costruídos usdo dé básc do étodo d Elção de Guss. Vereos segur coo obter L e U trvés do processo de Guss. Dd u tr qudrd A de orde sej A k tr costtuíd ds prers k ls e colus de A. Supo que deta k pr k.... Etão este u úc tr trgulr feror L j co e u úc tr trugulr superor U u j ts que LU A. Ad s deta u u...u. Pr solução de A b pode-se decopor A segudo o Método de Crout d segute er: M b l Mb l Mb l l l l u u u tl que A L.U. Etão o sste tor-se L.U. b. Fedo U. resolve-se prero L. b e depos U.. Pr u sste podeos escrever: M b l Mb l Mb l l l l u u u M M M vlores j. l Est ultplcção de tres pode ser usd pr defr os vlores de l j u j e e teros dos l u / l l u / l b / l l lu l l u

49 b lc / l l lu lu b lc lc / l 48 Note que o cálculo de pode ser feto d es for que o cálculo de u. A sequêc de operções é :. Clculr prer colu de L clculr prer l de U e ;. Clculr segud colu de L clculr segud l de U e ; e ss sucessvete. Os vlores de são obtdos por substtução sucessv prtr de U. u u u Note que o vetor c tbé pode ser obtdo do sste prcl L. b por substtuções sucessvs. Sugere-se usr o processo "tpo escd" pr rer L e U es áre de eór o que tor o processo s efcete M M M b l b l b l u l l u u l M M M De u for gerl pr sstes de orde : - Operções co o prero pvô: k l uj j / l... j... - Operções co pvô geérco: k... k kk... j > k j k... Eeplo : Resolver o sste ler segur usdo ftorção LU: Sej A Clculdo os j e u j usdo o processo de Guss se estrtég de pvoteeto prcl. Pr