INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS

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1 Uversdde Federl Fluese UFF Volt Redod RJ INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS NUMÉRICOS Prof. Dor Cesr Lobão Trblo orgl preprdo por: Prof. Ioldo José Sces e Prof. Dógees Lgo Furl Uversdde Federl do Prá. Deprteto de Iforátc CI- URL: ttp://

2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO...4 CONCEITO DE ERRO...5. INTRODUÇÃO...5. ERROS NA FASE DE MODELAGEM...5. ERROS NA FASE DE RESOLUÇÃO ERROS ABSOLUTOS E RELATIVOS ERRO DE ARREDONDAMENTO ERRO DE TRUNCAMENTO...7 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS REAIS...9. INTRODUÇÃO...9. SISTEMA DE NUMERAÇÃO..... Sste de Nuerção Decl..... Sste de Nuerção Báro..... Coversão do Sste Decl pr Báro.... ARITMÉTICA DE PONTO FLUTUANTE....4 PROPAGAÇÃO DE ERROS ZEROS DE EQUAÇÕES TRANSCENDENTES E POLINOMIAIS INTRODUÇÃO Dervd de u fução u poto Tpos de Métodos Isoleto de Ríes Clssfcção dos étodos MÉTODO DA BISSEÇÃO Esttv do Núero de Iterções Cosderções Fs Eeplos MÉTODO DA FALSA POSIÇÃO Csos especs Cosderções fs Eeplos MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR Csos de covergêc Cosderções fs Eeplos MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON OU MÉTODO DAS TANGENTES Cosderções fs Eeplos Codções de Newto-Rpso-Fourer MÉTODO DA SECANTE Eeplos MÉTODO MISTO Eeplos MÉTODO PARA EQUAÇÕES POLINÔMIAIS Itrodução Loclção de Ríes Deterção ds Ríes Res...7

3 4.8.4 Método de Newto pr Zeros de Polôos SISTEMAS LINEARES INTRODUÇÃO Clssfcção Quto o Núero de Soluções MÉTODOS DIRETOS ALGORITMOS DIRETOS Regr de Crer Método d Elção de Guss Método de Jord Eeplos FATORAÇÃO LU-CROUT-CHOLESKY-DOOLITLE Cálculo dos Ftores L e U MÉTODOS ITERATIVOS ALGORITMOS ITERATIVOS Método de Guss-Jcob Algébrco Método de Guss-Jcob Mtrcl Método de Guss-Sedel Algébrco Método de Guss-Sedel Mtrcl Segud Abordge d Fórul Mtrcl do Método Guss-Sedel Método d Sobrerelção Sucessv Codções Necessár e Sufcete pr Covergêc do Método de Guss-Jcob e Guss-Sedel64 6 INTERPOLAÇÃO INTRODUÇÃO Coceto de Iterpolção INTERPOLAÇÃO LINEAR Obteção d Fórul Eeplos INTERPOLAÇÃO QUADRÁTICA Obteção d Fórul Eeplos INTERPOLAÇÃO DE LAGRANGE Obteção d Fórul Eeplos: INTERPOLAÇÃO PARABÓLICA PROGRESSIVA INTERPOLAÇÃO DE NEWTON COM DIFERENÇAS DIVIDIDAS Dfereçs Dvdds Propredde do Operdor Dfereçs Dvdds Eeplos INTERPOLAÇÃO DE GREGORY-NEWTON Dfereçs Ordárs ou Fts Relção etre dfereçs dvdds e dfereçs ordárs Gregor-Newto usdo Dfereçs Ordárs Eeplos INTERPOLAÇÃO SPLINES: LINEAR QUADRÁTICA CÚBICA Sple Ler Sple Qudrátc Sple Cúbc Nturl Cosderções Gers sobre Iterpolção AJUSTE DE CURVAS MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS Ajuste Ler Sples Ajuste Polol INTEGRAÇÃO NUMÉRICA INTRODUÇÃO Fóruls de Newto-Cotes REGRA DOS RETÂNGULOS...5

4 8.. Eeplos REGRA DOS TRAPÉZIOS Regr do Trpéo Repetd Eeplos REGRA DE SIMPSON Regr de Spso Repetd Eeplos... 9 SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS INTRODUÇÃO TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Equções Dferecs Ordárs Equções Dferecs Prcs SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDEM DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA REDUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS PROBLEMA DE VALOR INICIAL Método de Euler ANÁLISE DO ERRO PARA O MÉTODO DE EULER NA SOLUÇÃO NUMÉRICA DO PROBLEMA DE VALOR INICIAL MÉTODO DE EULER MODIFICADO Método Heu Método Ruge-Kutt Dervção do Método de Ruge-Kutt de Segud Orde Método de Heu Método de Euler Modfcdo Método de Rlsto MÉTODO DE RUNGE_KUTTA TERCEIRA ORDEM MÉTODO DE RUNGE_KUTTA QUARTA ORDEM MÉTODOS DE PASSOS MÚLTIPLOS IDÉIA BASICA DOS MÉTODOS DE PASSOS MÚLTIPLOS Métodos Eplíctos Algortos de Ads-Bsfort de orde Métodos Iplíctos Algortos de Ads-Moulto de orde Pssos pr se obter SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS...7 UTILIZANDO O MATLAB...46

5 4 Itrodução Cálculo Nuérco é obteção d solução de u proble pel plcção de étodo uérco; solução do proble será crcterd etão por u cojuto de úeros etos ou prodos. Método Nuérco é u lgorto coposto por u úero fto de operções evolvedo pes úeros operções rtétcs eleetres cálculo de fuções cosult u tbel de vlores cosult u gráfco rbtreto de u vlor etc.. Proble Físco Modelge Modelo Mteátco Resolução Solução Modelge é fse de obteção do odelo teátco que descreve o coporteto do sste físco. Resolução é fse de obteção d solução trvés d plcção de étodos uércos este é o objetvo de estudo do Cálculo Nuérco.

6 5 Coceto de Erro. Itrodução A oção de erro está presete e todos os cpos do Cálculo Nuérco. De u ldo os ddos e s e sepre são etos e de outro ldo s operções sobre vlores ão etos propg esses erros seus resultdos. Flete os própros étodos uércos freqüeteete étodos prodos busc ção dos erros procurdo resultdos o s próo possível do que ser vlores etos. Erro é dfereç etre o vlor eto e o vlor presetdo. No próo cpítulo sobre represetção de úeros res reos lsr várs stuções e que ocorre erros qudo utlos o coputdor pr relr os cálculos. A segur lsreos os erros que ocorre durte s fses de odelge e resolução e tbé sobre erros de rredodeto e erros de truceto.. Erros Fse de Modelge Ao se tetr represetr u feôeo do udo físco por eo de u étodo teátco rrete se te u descrção corret deste feôeo. Norlete são ecessárs várs splfcções do udo físco pr que se te u odelo. Eeplo: Estudo do oveto de u corpo sujeto u celerção costte. Te-se segute equção: ode: d d o v o t α d d o v o * t / * α * t : dstâc percorrd : dstâc cl : velocdde cl : tepo : celerção Deterr ltur de u edfíco co u bol de etl e u croôetro: s d * / * 9.8 * 44. Este resultdo é cofável?. Ftores ão cosderdos: resstêc do r velocdde do veto etc.. Precsão dos ddos de etrd: Se o tepo fosse 5s d 6.5 Vrção de 67% o croôetro 6% ltur.. Erros Fse de Resolução Pr resolução de odelos teátcos uts vees tor-se ecessár utlção de struetos de cálculo que ecesst pr o seu fucoeto que sej fets certs proções. Ts proções pode gerr erros ts coo: coversão de bses erros de rredodeto e erros de truceto..4 Erros Absolutos e Reltvos Erro bsoluto EA é dfereç etre o vlor eto de u úero N e o seu vlor prodo N :

7 6 N N EA N N > N EA N > N < N EA N < EA N N N Erro bsoluto Por eeplo sbedo-se que π.4.5 toreos pr π u vlor detro deste tervlo e tereos etão EA π π - π <.. Erro Reltvo é defdo coo o erro bsoluto dvddo pelo vlor prodo: ER N EAN N N' Erro Reltvo N' N' É clro que EA N só poderá ser deterdo se N for etete coecdo; coo sso é rro e cálculos uércos costu-se trblr co u ltção á pr o erro o vés do própro dcdo-se etão E < ε ode ε é o lte. Por eeplo se α e só desejos prte ter α o erro bsoluto será: α α α'.7 Se feros o eso co o úero β.7 tereos: β β β'.7 Obvete o efeto de proção de β é uto or do que e α s o erro bsoluto é o eso os dos csos. O erro reltvo etretto pode trdur perfetete este fto pos: δ α 7 96 < -4 δ β 7 7 < 5* Erro de Arredodeto Ao se plcr u étodo uérco os erros devdos os vlores cs teredáros e fs codue u erro globl dfereç etre o eto e o obtdo tbé cdo de rredodeto. Erros cs são os coetdos o rredodeto dos ddos cs. Os erros teredáros são decorretes dos erros coetdos durte plcção do étodo uérco e os erros fs decorretes d presetção fl do resultdo. Os tpos de rredodetos s coecdos são: Arredodeto pr bo ou por flt; Arredodeto pr c ou por ecesso; Arredodeto pr o uero de qu s próo. Crtéro de Arredodeto: o cálculo ul o regstrr u vlor prodo costu-se usr segute regr:. sor e udde pós últ cs decl coservr;. desprer s des css. Ass co úeros sgfctvos te-se:

8 7 O uso deste crtéro lt o erro e udde d últ cs coservd: E <.5 Os vlores prodos obtdos pode ser ferores vlor prodo por flt ou superores vlor prodo por ecesso os etos;.4 é o vlor prodo por flt de ;.6 é o vlor de prodo por ecesso. Pr coclur este te de erro de rredodeto deve-se ressltr portâc de se sber o úero de dígtos sgfctvos do sste de represetção d áqu que está sedo utld pr que se te oção d precsão do resultdo obtdo. Alé d precsão decl o cálculo do cdo Épslo d áqu os dá u dé d etdão d áqu. O ε d áqu é o eor úero de poto flutute tl que: ε >. Algus étodos pr cálculo de ε ão dão seu vlor eto s sto e sepre é ecessáro pos o que port é su orde de grde. O progr bo escrto lguge Mtlb clcul u proção do ε d áqu: Eps.; wle Eps > Eps Eps /.; sprtf'a qu c que %.5f%s'Eps' vle ero!' ed; O progr c eecutdo u Petu obteve segute respost: A qu c que.5 vle ero! Logo o úero de dígtos sgfctvos é 9..6 Erro de Truceto São erros proveetes d utlção de processos que dever ser ftos ou uto grdes pr deterção de u vlor e que por rões prátcs são trucdos. Estes processos ftos são uto utldos vlção de fuções teátcs ts coo epoecção logrtos fuções trgooétrcs e várs outrs que u áqu pode ter. Eeplo: U áqu poder clculr fução seo e epoecl utldo s segutes téccs: 5 7 seo...! 5! 7! e!!... Fedo truceto: seo ! 5! 7!!

9 e...!!! 8 A solução é de terroper os cálculos qudo u deterd precsão é tgd. De u er gerl pode-se der que o erro de truceto pode ser duído té cegr fcr d orde do erro de rredodeto; prtr desse poto ão f setdo dur-se s pos o erro de rredodeto será dote.

10 9 Represetção dos Núeros Res. Itrodução { Copleos - Núeros π; Res{Irrcos -4; Rcos{Iteros Frcoáros{Ordáros /7; / Decs -.5;... Algus ds propreddes báscs d rtétc rel ão vle s qudo eecutds o coputdor pos equto teátc lgus úeros são represetdos por ftos dígtos o coputdor sso ão é possível pos u plvr de eór é ft e própr eór tbé. Eeplos: π e. Se desejásseos clculr áre de u crcuferêc de ro obteríos os segutes resultdos: A 4 b A 46 c A Coo justfcr s dfereçs etre os resultdos? É possível obter o vlor eto dest áre? Os erros ocorrdos depede d represetção dos úeros áqu utld. A represetção de u úero depede d bse escold ou dspoível áqu e uso e do úero áo de dígtos usdos su represetção. O úero π por eeplo ão pode ser represetdo trvés de u úero fto de dígtos decs. No eeplo ostrdo c o úero π fo escrto coo.4.46 e respectvete os csos b e c. E cd u deles fo obtdo u resultdo dferete e o erro este cso depede eclusvete d proção escold pr π Qulquer que sej crcuferêc su áre uc será obtd etete u ve que π é u úero rrcol. Coo este eeplo qulquer cálculo que evolv úeros que ão pode ser represetdos trvés de u úero fto de dígtos ão forecerá coo resultdo u vlor eto. Quto or o úero de dígtos utldos or será precsão obtd. Por sso elor proção pr o vlor d áre d crcuferêc é quel obtd o cso c. Alé dsso u úero pode ter represetção ft e u bse e ão-ft e outrs bses. A bse decl é que s epregos tulete. U coputdor oper orlete o sste báro. Observe o que cotece terção etre o usuáro ou ddos do progr e o coputdor: os ddos de etrd são evdos o coputdor pelo usuáro o sste decl; tod est forção é covertd pr o sste báro e s operções tods serão efetuds este sste. Os resultdos fs

11 serão covertdos pr o sste decl e flete serão trstdos o usuáro. Todo este processo de coversão é u fote de erros que fet o resultdo fl dos cálculos. N pró seção reos estudr os processos de coversão de úeros do sste decl pr o sste báro e vce-vers. Estudreos tbé for de reeto fet pelos coputdores dgts.. Sste de Nuerção Este város sstes uércos detre os qus destc-se o sste decl bse o octl bse 8 e o edecl bse 6. E u sste uérco co bse β este β dígtos e o or é β. De u odo gerl u úero bse β j j-... β k β k... j pode ser escrto for polol: j β j j- β j-... β β β Co est represetção podeos fclete coverter u úero represetdo e qulquer sste pr o sste decl... Sste de Nuerção Decl No sste de uerção usul o sste decl usos de dígtos U úero or que 9 é represetdo usdo u coveção que trbu sgfcdo à posção ou lugr ocupdo por u dígto. Por eeplo e vrtude ds posções ocupds pelos dígtos dvdus o úero 5 este úero te sgfcdo uérco clculdo coo: 5 * * * 5* 5 5 Notos que u úero é epresso coo u so de potêcs de ultplcds por coefcetes proprdos. No sste decl é bse do sste. Este dígtos o or sedo 9. E u sste uérco co bse β este β dígtos e o or é β -... Sste de Nuerção Báro No sste báro este pes dígtos: e. Coo os crcutos eletrôcos usdos o coputdor preset estdos possíves covecoou-se cr o estdo deslgdo de e o estdo lgdo de. Cd dígto de u úero represetdo o sste báro é deodo bt cotrção de BIr dgt o cojuto de 4 bts é deodo bble e o de 8 bts de bte tero bstte utldo áre de forátc.... Coversão do Sste Báro pr Decl Qudo u úero é escrto o sste báro os dígtos dvdus represet os coefcetes de potêcs de. Por eeplo o úero decl 9 é escrto e represetção bár coo pos este rrjo de dígtos báros sgfc: * 4 * * * * Coversão do Sste Decl pr Báro A coversão de u úero decl pr báro é fet d segute for:

12 LSB MSB 9 O bt eos sgfctvo de u úero báro recebe otção de LSB Lest Sgfct Bt e o bt s sgfctvo de MSB Most Sgfct Bt.... Coversão de Núeros Báros Frcoáros e Decs Cosdereos gor coversão de u úero frcoáro báro bse pr u úero decl bse..5 * * - * - 5* * * - * - * * * - * - * Coversão de Núeros Decs Frcoáros e Báros Cosdereos gor coversão de u úero frcoáro d bse pr bse. U úero rel etre e pode ter represetção ft o sste decl s represetção ft o sste báro. No cso gerl sej r u úero etre e o sste decl e.d d...d j... su represetção o sste báro. Os dígtos báros d d... d j... são obtdos trvés do segute lgorto: Psso : r r; k Psso : Clcule r k. Se r k fç: d k cso cotráro fç: d k Psso : Fç r k r k d k Se r k pre. Cso cotráro: Psso : k k. Volte o psso. Observr que o lgorto pode ou ão terr pós u úero fto de pssos. Pr r.5 tereos: r.5. k r.5 d r.5 d.5 k r.5 d

13 r.5 k r. d r 4 Teos etão.5. sedo portto represetção bár ft. Já pr r. tereos: r. k r. d r. k r.4 d r.4 k r.8 d r 4.8 k 4 r 4.6 d 4 r 5.6 k 5 r 5. d 5 r 6. r Coo r 6 r tereos que os resultdos pr k de e 5 se repetrão e etão: r r 6 r. e ss defdete. Cocluíos que:.... e portto o úero. ão te represetção bár ft. O fto de u úero ão ter represetção ft o sste báro pode crretr ocorrêc de erros preteete eplcáves e cálculos efetudos e sstes coputcos báros. U coputdor que oper o sste báro rá rer u proção pr. u ve que possu u qutdde f de posções pr gurdr os dígtos de tss de u úero e est proção será usd pr relr os cálculos. Não se pode portto esperr u resultdo eto. Podeos gor eteder elor por que o resultdo d operção: S. ão é obtdo corretete u coputdor. Supodo u áqu dgtl que trble co pes 9 dígtos tss o úero. ser redo coo. e este úero represet etete Portto tods s operções que evolve. ser relds co est proção. Vereos pró seção represetção de úeros e rtétc de poto flutute co o objetvo de se eteder elor cus de resultdos precsos e operções uércs. O progr e Mtlb segur perte clculr. sedo o vlor eto dess sotór. ; for :.; sprtf' %.f' ed

14 Qudo ess sotór é efetud utldo o coputdor o vlor é: Se escrever u progr e lguge C usdo double or precsão o resultdo será Artétc de Poto Flutute Us-se roterete dus fors pr fer o reeto dos úeros e áqus: poto fo pr vlores teros e poto flutute pr vlores res. U áqu de clculr ou u coputdor dgtl represet u úero rel o sste deodo rtétc de poto flutute. Neste sste o úero é represetdo for: ode: ± d d d dt.... t β β β β β: é bse e que áqu oper; d : são úeros teros cotdos o tervlo d β - ;... t; d ; e: represet o epoete de β e ssue vlores etre I e S; I S: lte feror e lte superor respectvete pr vrção do epoete. d d d dt... t β β β β é cd de tss e é prte do úero que represet os seus dígtos sgfctvos e t é o úero de dígtos sgfctvos do sste de represetção couete cdo de precsão d áqu. β e Eeplo : No sste de bse β decl te-se: Os úeros ss represetdos estão orldos sto é tss é u vlor etre e. A for orld é utld s operções evolvedo poto flutute e coputdores dgts. No sste de bse β báro te-se: * * Eeplo : Nu áqu de clculr cujo sste de represetção utldo te β t I 5 e S 5 o úero 5 e.5 é ss represetdo: 5. * 5. * sedo *

15 4 ou de u for s copct: Mtss epoete Cd dígto é cdo de bt portto est áqu são utldos bts pr tss 4 pr o epoete e s u bt pr o sl d tss se bt postvo se bt egtvo e u bt pr o sl do epoete resultdo o totl 6 bts que são ss represetdos: 5.5. * Vlor d Mtss Epoete Sl d Mtss Sl Ep. O or vlor represetdo por est áqu descrt o eeplo ser: que bse decl te o segute vlor:. * 76 E o eor vlor ser:. * 76 Logo os úeros que pode ser represetdos est áqu estr cotdos o tervlo [76; 76]. Nest áqu d o vlor ero ser represetdo por: O próo úero postvo represetdo ser:. * O subsequete ser:. * Atrvés desses eeplos pode-se coclur que o cojuto dos úeros represetáves este sste é u subcojuto dos úeros res detro do tervlo ostrdo terorete. Cosdere por eeplo u áqu que oper o sste: β ; t ; e [-55]. Os úeros serão represetdos d segute for esse sste:

16 5.d d d * e d j 9 d e [5 5] O eor úero e vlor bsoluto represetdo est áqu é:. * -5-6 e o or úero M e vlor bsoluto é: M.999 * Cosdere o cojuto dos úeros res R e o segute cojuto: G { R M} Ddo u úero rel várs stuções poderão ocorrer:. G: por eeplo *. Observe que este úero possu 5 dígtos tss. Estão represetdos etete est áqu os úeros:.5* e.6*. Se for usdo o truceto será represetdo por.5* e se for usdo o rredodeto será represetdo por.6*. N pró seção sobre erros estudreos o truceto e o rredodeto;. < : por eeplo.45* -7. Este úero ão pode ser represetdo est áqu porque o epoete e é eor que 5. Est é u stução e que áqu cus ocorrêc de uderflow;. > M: por eeplo.875* 9. Neste cso o epoete e é or que 5 e áqu cus ocorrêc de overflow. Algus lguges de progrção perte que s vráves sej declrds e precsão dupl. Neste cso est vrável será represetd o sste de rtétc de poto flutute d áqu s co prodete o dobro de dígtos dspoíves tss. É portte observr que este cso o tepo de eecução e requereto de eór uet de for sgfctv. O C forece três tpos pr úeros de poto flutute. Cd tpo te u tervlo e u precsão especfcd: Tpo Nº de bts Itervlo Ico F flot.4e8.4e8 double 64.7E8.7E8 log double 8.4E49.4E49 O tpo log double é o tpo de poto flutute co or precsão. É portte observr que os tervlos de poto flutute tbel c estão dcdos e f de epoete s os úeros pode ssur vlores tto postvos quto egtvos..4 Propgção de Erros Durte s operções rtétcs de u étodo os erros dos operdos produe u erro o resultdo d operção; sedo A B b os vlores etos e prodos respectvos e E e E b os erros dos operdos. A B E b E b b E E b A B E b E b b E E b EA AB E E b EA A-B E E b

17 6 A * B E b E b b E b be E b *E EA A*B E b be E b *E Vejos trvés de u eeplo coo os erros descrtos terorete pode fluecr o desevolveto de u cálculo. Eeplo: Supo-se que s operções bo sej processds e u áqu co 4 dígtos sgfctvos e fedo-se:.49* 4 e.45* te-se:.45*.49* 4.49* 4.49* 4.49* 4..45*.49* 4.49* Os dos resultdos são dferetes qudo ão dever ser pos dção é u operção dstrbutv. A cus dest dfereç fo u rredodeto feto dção cujo resultdo te 8 dígtos. Coo áqu só re 4 dígtos os eos sgfctvos for despredos. Ao se utlr áqus de clculr deve-se estr teto esss prtculrddes cusds pelo erro de rredodeto ão só dção s tbé s outrs operções.

18 7 4 Zeros de Equções Trscedetes e Polos 4. Itrodução Sej F u fução rel defd u tervlo [ b]. C-se res dest fução e [ b] todo ξ cs b tl que Fξ coo ostr fgur bo. f ξ b 4.. Dervd de u fução u poto A fução ƒ : A R d-se dervável o poto de cuulção A qudo este e é fto o lte: l l f f l f f Qudo f é dervável e o lte é cdo dervd de f o poto. 4.. Tpos de Métodos Pode-se der que são dos os étodos pr se cr s res de u equção: Método dreto: qudo forece solução e pes u úco psso. Est r é et eos de erros de rredodeto. Eeplo: Sej F. A solução dret pode ser obtd trvés d fórul de Bskr co b b c epressão: X ± 4 que terá coo cojuto solução { }. ; b -; c ; %f ^ - * delt b*b - 4**c; f delt > else ed -b sqrtdelt / *; -b - sqrtdelt / *; sprtf' %5.8f\' sprtf' %5.8f\' sprtf'no possu res res\'; Método tertvo ou dreto: é u processo de cálculo fto recursvo e que o vlor obtdo cd psso depede de vlores obtdos e pssos terores. Este tpo de étodo or ds vees ão obté solução et pr s ríes s s u solução prod detro de u f de erro cosderd cetável. É portte sletr que orlete os étodos tertvos são s precsos qudo eecutdos e u coputdor que perte glr os cálculos teátcos obtedo ss u elor precsão.

19 8 Eercíco: Clculr 4 e de usdo o Método de Newto defdo por: pr... ode: : o úero ser clculdo r : u trbução cl qulquer dferete de ero por eeplo. Coo vos terorete o cálculo ds dus ríes de u equção do segudo gru colocd sob for b c são fclete obtds pel fórul de Bskr. Etretto se colocros u epressão e que preç u equção trscedete solução já ão é tão sples coo deostr os eeplos bo: e cos l Meso u polôo de gru or que três já ão te u solução lgébrc sples coo d equção do segudo gru ão ser e csos prtculres. Vos lsr coo efretr esse proble tão cou e dverss áres d eger d ecoo ds cêcs d físc etre tts outrs. Esss equções co eore freqüêc os lev ríes res ão rcos que o sere represetds o coputdor ecessrete o serão de for prod pels rões já eposts o cpítulo teror tedo e vst que ecesstr de ftos dígtos e sus tsss pr sere represetds. Alé dsso e gerl estos teressdos e obter esses vlores esss ríes co u deterd precsão co u erro tolerável co lgus css decs se pretesão de obter vlores etos. Isso é s do que sufcete pr or dos probles prátcos ecotrdos. Os étodos uércos sere presetdos prtdo de vlores clete propostos busc prorr esses vlores dudo os erros prodo-se ss dos vlores ds ríes procurds té que os erros sej cetáves podedo-se grtr que sej erros ferores vlores pré-defdos. Pr se clculr u r dus etps deve ser seguds: Isolr r ou sej cr u tervlo [ b] o eor possível que cote u e soete u r d equção f ; Melorr o vlor d r prod sto é refá-l té o gru de etdão requerdo. Co bordge tertv precsos deterr u tervlo cl pr costruros seqüêc { } e tereos que r ' será dd por: ' l Alé dsto teos que estpulr crtéros de prd pos prtc ão clculreos ftos teros s pes o sufcete pr tgros etdão desejd. 4.. Isoleto de Ríes Nest fse é fet u álse teórc e gráfc d fução f. Pr tl f us-se freqüeteete u portte teore d álgebr. Teore: Se u fução f cotíu u tervlo [ b] ssue vlores de ss opostos os

20 9 potos etreos deste tervlo sto é f. fb < etão o tervlo coterá o ío u r d equção f ; e outrs plvrs verá o ío u úero ξ b tl que fξ Núero de Ríes Res N seção teror vos coo deltr s ríes res de F. Agor reos verfcr quts ríes este o tervlo deltdo. Os étodos segur dão u bo dcção sobre o úero de ríes do tervlo. Teore de Bolo: Sej F u equção lgébrc co coefcetes res e b: Se F.Fb < etão este u úero pr de ríes res cotdo sus ultplcddes o tervlo b. Se F.Fb > etão este u úero pr de ríes res cotdo sus ultplcddes ou ão este ríes res o tervlo b. A deterção do úero de ríes de equções trscedetes gerlete é quse possível pos lgus equções pode ter u úero fto de ríes. Não freos ores cosderções sobre este portte tópco por ão ser o objeto de estudo este oeto e por erecer u trblo prte devdo etesão de seu coteúdo. Etretto podeos sletr que o proble de solr ríes costtu-se d euerção loclção e seprção ds ess Refeto Depos de solr r o tervlo [ b] pss-se clculá-l trvés de étodos uércos. Coo vereos dte estes étodos deve forecer u seqüêc { } de proção cujo lte é r et ξ. E cd proção d r et ξ us-se u destes crtéros e copr-se o resultdo co tolerâc ε pré-fd. A verfcção de que está "sufceteete" pró d r pode ser fet de dos odos dferetes que pode levr resultdos dferetes: f ε bordge pelo eo - ε bordge pelo eo Observ-se que depededo dos úeros evolvdos é coselável usr os testes de erro reltvo: ε 4..4 Clssfcção dos étodos Métodos de quebr: Os étodos de quebr são os s tutvos geoetrcete; cotudo são os que coverge s letete. Estes étodos são ss cdos porque prtr de u tervlo que cote u r d fução v-se prtcodo este tervlo e outros eores que d cote r. Depededo d escol do poto de quebr do tervlo podereos ter dferetes étodos ts coo. Método d Bsseção; Método d Fls Posção. Métodos de poto fo: Nos étodos de poto fo coeços de u proção cl e costruíos seqüêc { } qul cd tero é ddo por ζ ode ζ é u fução de terção. Cofore for ζ det tereos dferetes étodos de poto fo ts coo.

21 Método de Newto-Rpso; Método d Iterção Ler. Métodos de últplos potos: Os étodos de últplos potos costtue u geerlção do étodo teror ode pr deterr u poto utlos város potos terores: p. Eeplo: Método d Secte. 4. Método d Bsseção Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo que ξ b tl que fξ. f fb ξ 4 b f Iterpretção geoétrc do étodo d bsseção Dvddo o tervlo [ b] o eo obté-se vedo pos dos subtervlos [ ] e [ b] ser cosderdos. Se f etão ξ ; cso cotráro r estrá o subtervlo ode fução te ss opostos os potos etreos ou sej se f. f < etão ξ [ ] seão f. f > e ξ [ b]. O processo se repete té que se obte u proção pr r et ξ ou sej que o crtéro de prd sej stsfeto. Etão por dução teos: Algorto: b pr... Se f. f < etão tereos b seão. Crtéro de Prd: f erro ou b erro Restrção: É ecessáro coecer u tervlo que cote o vlor desejdo ξ. 4.. Esttv do Núero de Iterções Cosderdo u precsão ε e u tervlo cl [ b] é possível sber pror quts terções serão efetuds pelo étodo d bsseção té que se obte b ε usdo o lgorto deste étodo. Vos que: bk k b bk k k

22 Deve-se obter o vlor de k tl que b k k < ε ou sej b k < ε b ε < k logb logε < k * log log b log log ε < k Portto se k stsf relção c o fl d terção k tereos o tervlo [ b] que cote r ξ. 4.. Cosderções Fs As terções ão evolve cálculos lborosos; Apesr de teorcete seguro o étodo pode ter fls. Se ocorrer u erro de rredodeto eso que pequeo o oeto e que áqu vl o sl do poto édo podereos ter u tervlo que efetvete ão coté u r; Pode ser dfícl ecotrr u tervlo [ b] tl que f. fb < e equções co ríes de ultplcdde pr ou uto prós; A covergêc é uto let pos se o tervlo cl é tl que b >> ε e se ε for uto pequeo o uero de terções k tede ser uto grde; Deve ser utldo pes pr dur o tervlo que coté r. 4.. Eeplos Eeplo : Ecotrr r d fução f.l. cotd o tervlo [ ] co erro -. b Algorto: b Escol do tervlo: f.87 f.9584 ξ [ ] c Vlor do erro: erro - d Iterções: X b f f ε f e Respost: A r desejd é ξ 955 Eercíco : Ecotrr r de f cotd o tervlo [; ] co erro -. Respost: A r desejd é ξ.7475

23 Eercíco : Ecotrr r d fução f l cotd o tervlo [.5 ] co erro -. Respost: A r desejd é ξ.6565 Eercíco : Ecotrr prer r postv d fução f e - se co erro -. Respost: A r desejd é ξ Método d Fls Posção Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo que ξ b tl que fξ. No cso do Método d Bsseção é obtdo trvés d éd rtétc etre os etreos e b: b N or ds vees r está s pró de u dos etreos do tervlo. Se prtros do prcípo de que r deve estr s pró do poto que preset o eor vlor d fução etão e ve de tor éd rtétc etre e b o étodo d fls posção to éd rtétc poderd etre e b co pesos fb e f respectvete: f b b f vsto que f e fb tê ss opostos teos etão: f b f f b bf f b f f b bf f f f b f b. f pr... f b f Grfcete este étodo procur prtcor o tervlo [ b] terseção d ret que ue os potos f e b fb co o eo. Este poto é represetdo coo. Escole-se etão u ovo subtervlo cofore for vrção do sl d curv f. O étodo d fls posção plcdo fgur bo ostr que f.f < co sso o ovo tervlo que coté pelo eos u r rel é ddo por. Cotudo o processo deteros o poto e verfc-se gor que f.f < dí o processo segue tedo o tervlo. Após ecotrr o poto deveos verfcr coo o cso d bsseção se r está etre o tervlo ou b. Se f.f < etão tereos b cso cotráro tereos. A prtr dí o processo se repete té que o crtéro de prd sej stsfeto. fb' fb f ξ b f Represetção geoétrc do étodo d fls posção

24 O lgorto deste étodo tbé pode ser ecotrdo trvés d álse dos trâgulos fordos pel ret f e b fb co o eo. Sej o trâgulo f e o trâgulo ffbfb etão pel propredde d seelç de trâgulos teos: b f b f b f f b f f b f f b f b f f b f Se f.f < etão tereos b seão. A prtr dí o processo se repete té que o crtéro de prd sej stsfeto. Etão por dução teos: Algorto: b. f Pr... f b f Se f.f < etão tereos b seão. Crtéro de Prd: - erro ou b Pode ser usdo tbé o crtéro: f erro Restrção: É ecessáro coecer u tervlo que cote o vlor desejdo ξ. 4.. Csos especs Se f é cotíu o tervlo [ b] co f.fb < etão o étodo d fls posção ger u seqüêc covergete. Se u fução é côcv ou cove e [ b] ou sej segud dervd este e [ b] e f ão ud de sl esse tervlo etão o étodo d fls posção tereos sepre u ds etreddes f. Este cso especl tbé é cdo de Método ds Cords. A fgur bo ostr grfcete os qutro csos que pode ocorrer: f " > f < e f b > b é poto fo f " > f > e f b < é poto fo

25 4 f fb f ξ b f ξ b f fb f " < f < e f b > é poto fo f " < f > e f b < b é poto fo f fb f f ξ b ξ b f Método d fls posção co u ds etreddes f fb 4.. Cosderções fs Se o poto fo estr e for rovelete próo d r o étodo te bo covergêc; cso cotráro pode ser s leto que bsseção. 4.. Eeplos Eeplo : Deterr pelo étodo d fls posção eor r postv d fução de qurto gru f té que o erro bsoluto sej gul ou feror.. Os cálculos deve ser efetudos co css decs e co rredodeto. b. f Algorto: f b f f f f 5 b Escol do tervlo: E prero lugr deve-se procurr o tervlo ode possvelete estej prer r postv. Atrvés d álse do vlor d fução os preros potos do eo dos teos que: f f f 9 logo etre este u r postv. c Vlor cl: b f 4 f 4 f.f > cocvdde ão ud.

26 teos f < f > e fb < portto b é poto fo. 5 d Vlor do erro: erro - e Iterções: f 5 f f > erro f.f.6 6 > portto r está o tervlo b etão 5 f f f > erro f.f > 58 f f f < erro f Respost: ξ 59 é prer r postv do polôo. Eercíco : Clculr r prod pr equção f cos co ε.. Respost: ξ.79 é r procurd d equção. Eercíco : Clculr r egtv pr fução f e co o erro.. Sbe-se que r está cotd o tervlo [ ]. Respost: ξ.5677 é r procurd d equção. 4.4 Método d Iterção Ler Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo ξ b tl que fξ. Por u rtfíco lgébrco pode-se trsforr f e dus fuções que le sej equvletes. f g ode g é cd de fução de terção.

27 6 g f ξ Iterpretção geoétrc do étodo d terção ler Sedo prer proção d r ξ clcul-se g. F-se etão g g g e ss sucessvete. Etão por dução teos: Algorto: g pr... Crtéro de Prd: - erro Melor etreo: Eprcete sbe-se que o étodo te sucesso qudo g' < e todo tervlo. O etreo s rápdo pr cr o étodo é quele pr o qul o ódulo d prer dervd é eor. Se g' < g'b etão seão b Csos de covergêc Sej f 5. Possíves g: g 5 g 5 5 g g 5 Coo podeos ter várs fuções g vos estbelecer lgus codções pr que os resultdos sej stsftóros. Vos observr grfcete o proble e verfcr que á fuções g que ão são dcds pr escol. Covergêc ootôc < g < Covergêc osclte < g <

28 7 g g ξ 4 ξ Dvergêc ootôc g > g Dvergêc osclte g < g ξ 4 Covergêc o étodo d terção ler ξ 4.4. Cosderções fs A or dfculdde este étodo é ecotrr u fução de terção que stsfç à codção de covergêc; Teste de g' < pode levr u ego se ão estver sufceteete próo d r. A velocdde de covergêc depederá de g'ξ : quto eor este vlor or será covergêc; Deveos observr que o teste de erro - erro ão plc ecessrete que ξ erro cofore veos fgur bo: g ξ Eeplos Eeplo : Dd fução f 4 obter su r cotd o tervlo [ ] pelo MIL co u erro -4. Algorto: g b Escol d fução de terção:

29 8 4 ' dvergêc osclte 4 4 ' covergêc osclte 4 ' 4 covergêc osclte c Melor etreo vlor cl: 4 ' * 4 ' ' d Vlor do erro: erro -4 e Iterções: < erro f Respost: A r desejd é ξ 5. Eercíco : Dd fução f cos.45 obter su r cotd o tervlo [.5 ] pelo MIL co u erro -. Respost: A r desejd é ξ Método de Newto-Rpso ou Método ds Tgetes Sej f u fução cotíu o tervlo [ b] e sej ξ u r dest fução sedo ξ b tl que fξ e f. f f f ξ β α b ' f

30 Iterpretção geoétrc do étodo de Newto 9 Toeos b. Etão teos: tgα f ' f ' f f f ' Se erro etão é r desejd seão deve-se clculr que é obtdo co bse o f eso rcocío teror:. f ' Se erro etão é r desejd seão deve-se clculr... té que erro. Etão por dução teos: Algorto: f pr... f ' Crtéro de Prd: erro Restrção: É ecessáro coecer u tervlo que cote o vlor desejdo ξ. Melor etreo: Pr decdr qul o elor etreo do tervlo b cr o étodo bst verfcr qul dos etreos possu fução e segud dervd co eso sl: f. f'' > Pr {etreos do tervlo} 4.5. Cosderções fs Requer o coeceto d for lítc de f ' s su covergêc é etrordár Eeplos Eeplo : Clculr r postv d equção f se 4 co erro - usdo o étodo de NR. Algorto: f f ' f se 4 f cos f'' se b Escol do tervlo: f.99 f.8589 f. f < ξ [ ] c Melor etreo vlor cl: f.99 f.8589 f''.99 f''.4 d Vlor do erro:

31 erro - e Iterções: f.8589 f ' > erro.78 f f ' > erro.54 f f ' < erro f Respost: A r desejd é ξ.54 Eercíco : Obter r cúbc de 5 usdo o étodo NR sedo o erro -. f 5 f' f'' 6 Respost: A r desejd é ξ.7 Eercíco : Clculr r egtv de f 5 co erro -4. f 5 f f'' 6 Respost: A r desejd é ξ Eercíco : Sej fução f se tg. Desej-se sber u ds ríes dest fução sbedo-se que está cotd o tervlo 4. Todos os cálculos deve ser reldos co 4 css decs co rredodeto e erro ão superor.. f se tg f' cos sec f'' se sec tg Respost: A r desejd é ξ Codções de Newto-Rpso-Fourer Segudo Newto pr ver covergêc à u r e seu étodo bstr que o tervlo b e álse fosse sufceteete pequeo. Cotudo Rpso e Fourer cocluír que u tervlo pequeo é quele que coté u e soete u r. Co sso lgus codções for estbelecds pr que tl egêc fosse váld:

32 ª Se f. fb > etão este u úero pr de ríes res cotdo sus ultplcddes ou ão este ríes res o tervlo b Teore de Bolo; ª Se f.fb < etão este u úero ípr de ríes res cotdo sus ultplcddes o tervlo b Teore de Bolo; ª Se f'. f'b > etão o coporteto d fução este tervlo poderá ser pes crescete ou pes decrescete e uc os dos se lterdo; 4ª Se f'. f'b < etão fução terá o coporteto de or crescer or decrescer; 5ª Se f". f"b > etão cocvdde ão ud o tervlo e álse; 6ª Se f". f"b < etão cocvdde ud o tervlo e álse. Portto verá covergêc à u r o tervlo b se e soete se: f. fb < f'. f'b > e f". f"b >. Eeplo : Sej fução f obter r cotd o tervlo [8 9]. Os cálculos deve ser reldos co 4 decs co rredodeto e erro ão superor. Algorto : f f ' f f 9.5 f b Escol do tervlo: f8.5; f9 4 f8. f9 < ξ [8 9] c Melor etreo vlor cl: f8 5 f9 4 f8. f9 < f'8 6.5 f'9 8.5 f 8. f 9 > f"8 f"9 f 8. f 9 > 9 d Vlor do erro: erro - e Iterções: f f ' > erro f f ' > erro f f ' < erro f Respost: A r desejd é ξ 8.5

33 Eercíco 4: Clculr r d equção f cotd o tervlo [ ] co u erro -. f f f 6 Respost: A r desejd é ξ Método d Secte U grde desvtge do étodo de Newto é ecessdde de se obter dervd f e clculr o seu vlor uérco cd terção. Pr cotorr este proble podeos substtur o cálculo d prer dervd f pelo quocete ds dfereçs usdo ss u odelo ler bsedo os dos vlores clculdos s receteete: f f f ' ode e - são dus proções pr r. Substtudo o vlor prodo d dervd c fução de terção fc: f f f. f f f pr... Pr cr o étodo ecesstos de dus proções e pr r. f f o ξ 4 f Iterpretção geoétrc do étodo d secte Neste étodo prtos ds dus proções cs e e deteros ret que pss pelos potos f e f. A tersecção dest ret co o eo forece o poto. E segud é clculdo u ov proção pr r prtr dos potos f e f. O processo se repete té que sej stsfeto o crtéro de prd. Observe que este étodo ão ecesstos d crcterístc que é fudetl o étodo d

34 fls posção que ege que f. f - <. É portte sletr tbé que r ão ecesst estr etre s dus proções cs e. A covergêc deste étodo é s rápdo que o étodo d bsseção e o d fls posção cotudo pode ser s leto que o étodo de Newto-Rpso. Algorto: f. f f pr... Crtéro de prd: erro 4.6. Eeplos Eeplo : Clculr r d fução f 6 sedo.5.7 e o erro -.. f Algorto : f f b Vlor cl:.5.7 c Vlor do erro: erro - d Iterções:.7.5. f f.7 f > erro f f.57 f > erro f f.9977 f < erro e Respost: ξ. é r procurd. Eercíco : Clculr r d fução f cos sedo.5 e o erro -4. Efetue os cálculos co 5 css decs co rredodeto. Respost: ξ.675 é r procurd. Eercíco : Clculr r d fução f 4 sedo e o erro 5. Respost: ξ 594 é r procurd.

35 4.7 Método Msto O étodo sto cosste plcção seqüecl dos étodos NR e Fls Posção est orde. O étodo NR é plcdo o prero psso sepre prtr do elor etreo. Etão co o ovo N N resultdo obtdo deter-se qul vlor dos etreos do tervlo será substtuído f. f < b N seão N e etão plc-se o étodo d Fls Posção. O resultdo obtdo e 4 F será utldo pró terção pelo étodo NR s tes é feto o teste do erro pr verfcr o crtéro de prd. Ass por dução segue-se s terções segutes. Qudo o crtéro de prd for stsfeto tr-se éd rtétc sples do resultdo d últ terção de bos os étodos e obté-se respost desejd. Algorto: Crtéro de prd: N F pr... F N erro 4.7. Eeplos Eeplo : Deterr pelo étodo sto r d fução f se cos cotd o tervlo [.5 ] co tolerâc de * -4 e cálculos co 4 css decs co rredodeto. N F Algorto: f se cos f cos se f" se cos b Vlor do erro: erro. c Escol do tervlo: f f.45 d Iterções: Melor etreo: f f.45 f" f" f f N N etreo à trocr: N f. f f.5. f <.5 b * f.5.78 * f.878 f F.7488

36 5 F N > erro etreo à trocr: f.5. f >.7488 b.878 f f N etreo à trocr: f f <.7488 b * f * f.764 f F F N erro e Respost: ξ Eercíco : Dd fução f cos.45 obter su r cotd o tervlo [.5 ] pelo étodo sto co erro - e cálculos co 4 decs co rredodeto. f cos.45 f' se f" cos.8.8 Respost: ξ Método pr Equções Polôs 4.8. Itrodução Ebor qulquer u dos étodos estuddos terorete poss ser usdos pr ecotrr eros de u polôo de qulquer gru o fto de os polôos precere co tt freqüêc e plcções f co que sej dedcd u teção especl. Norlete u polôo de gru é escrto for: P K pr Sbeos d álgebr eleetr coo obter os eros de u polôo do segudo gru P ou sej. Este fóruls fecds seeltes à fórul pr polôos de gru s be s coplcds pr eros de polôos de gru e 4. Agor pr 5 e gerl ão este fóruls eplícts e soos forçdos usr étodos tertvos pr ecotrr os eros dos polôos. Mutos dos teores d álgebr são útes loclção e clssfcção dos tpos de eros de u polôo. O estudo será dvddo e loclção de ríes e deterção ds ríes res Loclção de Ríes Vejos lgus teores que serão útes pr efetur loclção de ríes.

37 Teore Fudetl d Álgebr: Se P é u polôo de gru ou sej P K pr K res ou copleos co etão P te pelo eos u ero ou sej este u úero copleo ξ tl que P ξ. Pr deterros o úero de eos res de u polôo co coefcetes res podeos fer uso d regr de sl de Descrtes: Ddo u polôo co coefcetes res o úero de eros res postvos p desse polôo ão ecede o úero v de vrções de sl dos coefcetes. Teos d que v p é u úero tero pr e ão egtvo. Eeplos: Ddos os polôos segur deterr o úero de ríes res postvs: P v p: se v p se v p p p ou b P v p: se v p p se v p p ou c P 7 7 v e p: {v p p }. Pr deterr o úero de ríes res egtvs eg toos P e usos es regr pr ríes postvs: P P v eg: se v eg eg se v eg eg ou b P 5 5 4

38 P v eg: se v eg eg se v eg eg ou c P 7 7 P 7 7 Neste cso vos que ão este ero postvo. Teos d P 7. Teos etão que v e eg: {v eg eg } ou sej P ão te r rel postv o ero ão é r e te pes u r rel egtv dode te três ríes coples cojugds Deterção ds Ríes Res Estudreos u processo pr se clculr o vlor uérco de u polôo sto porque e qulquer dos étodos este cálculo deve ser feto u ou s vees por terção. Por eeplo o Método de Newto que vereos segur cd terção deve-se fer u vlção do polôo e u de su dervd Método pr Clculr o Vlor Nuérco de u Polôo Pr eeplfcr o étodo estudreos o processo lsdo u polôo de gru 4: 4 P 4 4 Este polôo pode ser escrto for: P 4 4 coecd coo for dos prêteses ecdos. Teos etão o cso de 4 que P 4 4 b 4 b : : Pr se clculr o vlor uérco de P 4 e c bst fer sucessvete: b b 4 4 b b 4 c

39 b b c b b c b b c 8 Pc b. Portto pr P de gru qulquer clculos P c clculdo s costtes b j j... sucessvete sedo: b b j j b j c j... e b será o vlor de P pr c. Podeos clculr o vlor de P e c usdo os coefcetes b j obtdos terorete. Todo coo eeplo o polôo de gru 4 teos: 4 P 4 4 P Usdo os vlores de j do cálculo teror e ddo que já coeos b b b b e b 4 : P b c b b c c b b c c b b c 4b4c b4c bc bc bc b b c Ass P 4 b 4c bc bc b Aplcdo o eso esque teror tereos: c 4 b 4 c b c 4 c c b c c c b c c Clculos pos os coefcetes c j j... d segute for: c b c j b j c j c j... Tereos etão P c c Método de Newto pr Zeros de Polôos Sej P L u proção cl pr r procurd. Cofore vos o Método de Newto cosste e desevolver proções sucessvs pr ξ prtr d terção: P k k k pr k... P' Eeplo : Dd equção polol teos que: k

40 P 5. P Etão este u r o tervlo. Prtdo de.5 e cosderdo ε. o Método de Newto pr polôos forece: P b 5 b b b b b c 5 c c c c P.5.65 e P'.5.75 P.5 P' > ε b 5 b b b b b c 5 c c c c P e P' P.786 P' > ε b 5 b b b b b c 5 c c c c

41 P e P' P.779 P' < ε A r procurd é:.79 Eercíco : Clculr r postv do polôo P co erro < -4 pelo étodo de Newto pr polôos. P' 6 4 A r procurd é:.966

42 4 5 Sstes Leres 5. Itrodução Sstes Leres são sstes de equções co equções e cógts fordos por equções leres. U sste ler co equções e cógts é escrto usulete for: ode j : coefcetes j : cógts b : costtes L b L b... L b j j A resolução de u sste ler cosste e clculr os vlores de j j... cso eles est que stsfç s equções sulteete. Usdo otção trcl o sste ler pode ser represetdo por AX B ode M L b L b... L b é cd tr coplet ou tr uetd do sste. L L A... L é tr dos coefcetes X B M b b M b é o vetor ds cógts e é o vetor costte teros depedetes. 5.. Clssfcção Quto o Núero de Soluções U sste ler pode ser clssfcdo quto o úero de soluções e:

43 Coptível deterdo o sste ler te solução úc deterdo o sste ler dte fts soluções 4 Icoptível o sste ler ão dte solução. Qudo todos os teros depedetes fore ulos sto é se b... o sste é dto oogêeo. Todo sste oogêeo é coptível pos dtrá pelo eos solução trvl j j Métodos Dretos Algortos Dretos U étodo é dto dreto qudo solução et r do sste ler é obtd reldo-se u úero fto de operções rtétcs. São eeplos coecdos Regr de Crer o Método d Elção de Guss ou trgulção e o Método de Jord. 5.. Regr de Crer Sej u sste ler co úero de equções gul o úero de cógts u sste sedo D o deterte d tr A e D D D... D os detertes ds tres obtds trocdo e M respectvete colu dos coefcetes de... pel colu dos teros depedetes teos que: O sste S será coptível e terá solução úc se e soete se D. Neste cso úc solução de S é dd por: D D D D D D... D D A plcção d Regr de Crer ege o cálculo de detertes det A e det A ; pr o úero totl de operções efetuds será *! * 9 ultplcções s u úero seelte de dções. Ass u coputdor que efetue cerc de lões de ultplcções por segudo levr 5 os pr efetur s operções ecessárs. Co sso regr de Crer é vável e fução do tepo de coputção pr sstes uto grdes Eeplos Eeplo : Resolv o sste bo pel Regr de Crer: Clculdo os detertes D D D e D teos: D 7 D D Etão D D 7 D D : 5 T e D 5 D 7 D 5 e solução do sste é

44 Eercíco : Resolv o sste bo pel Regr de Crer: 4 A solução deste sste é : T 5.. Método d Elção de Guss O étodo d elção de Guss cosste e trsforr o sste ler orgl u outro sste ler equvlete co tr dos coefcetes trgulr superor pos estes são de resolução edt. Deos que dos sstes leres são equvletes qudo possue es solução. O deterte de sstes leres equvletes são gus. Co pssos o sste ler AX B é trsfordo u sste trgulr equvlete: UX C o qul se resolve fclete por substtuções. Vos clculr solução de AX B e três etps: ª etp: Mtr Coplet Cosste e escrever tr coplet ou uetd do sste ler orgl. ª etp: Trgulção Cosste e trsforr tr A u tr trgulr superor edte u seqüêc de operções eleetres s ls d tr. ª etp: Retro-substtução Cosste o cálculo dos copoetes... solução de AX B prtr d solução do últo copoete e etão substturos regressvete s equções terores. Teore: Sej AX B u sste ler. Aplcdo sobre s equções deste sste u seqüêc de operções eleetres escolds etre: Trocr orde de dus equções do sste; Multplcr u equção do sste por u costte ão ul; Adcor u últplo de u equção u outr equção; obteos u ovo sste UX C e os sstes AX B e UX C são equvletes Resolução de Sstes Trgulres Sej o sste ler AX B ode A: tr trgulr superor co eleetos d dgol dferetes de ero. Escrevedo s equções deste sste teos: D últ equção deste sste teos: L b L b L b O M b

45 b 44 - pode etão ser obtdo d peúlt equção: - b e ss sucessvete obté-se -... e flete : b L 5... Estrtégs de Pvoteeto O lgorto pr o étodo de elção de Guss requer o cálculo dos ultplcdores: k - k kk k... e k... - cd etp k do processo. Sedo o coefcete kk cdo de pvô. O que cotece se o pvô for ulo? E se o pvô estver próo de ero? Estes dos csos erece teção especl pos é possível trblr co u pvô ulo. E trblr co u pvô próo de ero pode resultr e resultdos totlete precsos. Isto porque e qulquer clculdor ou coputdor os cálculos são efetudos co precsão ft e pvôs próos de ero são orge ultplcdores be ores que udde que por su ve org u plção dos erros de rredodeto. Pr se cotorr estes probles deve-se dotr u estrtég de pvoteeto ou sej dotr u processo de escol d l e/ou colu pvotl. Est estrtég cosste e: o co d etp k d fse de escloeto escoler pr pvô o eleeto de or ódulo etre os coefcetes: k k k... ; trocr s ls k e se for ecessáro Clssfcção do Sste Trgulr Sej U u sste trgulr superor esclodo de equções e cógts tereos s segutes possblddes: sste coptível e deterdo; < sste coptível e deterdo. Se durte o escloeto surgr equções do tpo:... b etão: Se b etão elreos equção e cotuos o escloeto; Se b etão coclu-se que o sste é coptível Eeplos Eeplo : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss.

46 45 ª etp: Mtr coplet: M ª etp: Trgulção: Ireos se referr s equções coo: E prer equção E segud equção e ss por dte. O copoetes dc o pvô. E E E E E E E E 7 E 6 ª etp: Retro-substtução: D tercer l teos: Substtudo segud l teos: 6 Substtudo e prer l teos: A solução deste sste é : T Eercíco : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss: A solução deste sste é : - T Eercíco : Resolver o sste bo pelo étodo de Guss: Método de Jord Cosste e plcr operções eleetres sobre s equções do sste ler ddo té que se obte u sste dgol equvlete Eeplos Eeplo : Resolver o sste ler pelo étodo de Jord:

47 4 46 ª etp: Mtr coplet: M 4 ª etp: Dgolção: E E E E E E E E E E E E E E 5E 4 E E E E E E E ª etp: Cálculo d solução do sste: D prer l teos: N segud l teos: N tercer l teos: A solução deste sste é : T 5. Ftorção LU-Crout-Colesk-Dooltle A bse do étodo cdo Ftorção ou Decoposção LU está pod splcdde de resolução de sstes trgulres. Sej o sste ler A b O processo de ftorção pr resolução deste sste cosste e decopor tr A dos coefcetes e u produto de dos ou s ftores e e segud resolver u sequêc de sstes leres que os codurá solução do sste ler orgl. Tl processo gerl de elção é coecd coo étodo de Crout ou Colesk pr o cso prtculr de tres sétrcs postvs defds. A tr A pode ser decopost o produto ALU ode L é u tr trgulr feror e U é u tr trgulr superor qudo tr for ão sgulr Det A. Alé dsso se trburos vlores fos os eleetos d dgol sej de L l o Método de Dooltle ou e U u o Método de Crout est decoposção será úc. Supoos que sej possível ftorr tr A dos coefcetes u produto de u tr trgulr feror co dgol utár L e u tr trgulr superor U sto é:

48 A LU 47 Nests codções o sste A b pode ser reescrto for LU b o que perte o desebreto e dos sstes trgulres L b e U Resolvedo o prero sste clculos que usdo o segudo sste forecerá o vetor procurdo. Dess er coecds L e U o sste será resolvdo co operções dos sstes trgulres o que represet u go substcl coprdo co s operções do étodo d elção de Guss. 5.. Cálculo dos Ftores L e U Os ftores L e U pode ser obtdos trvés de fóruls pr os eleetos l j e u j ou etão pode ser costruídos usdo dé básc do étodo d Elção de Guss. Vereos segur coo obter L e U trvés do processo de Guss. Dd u tr qudrd A de orde sej A k tr costtuíd ds prers k ls e colus de A. Supo que deta k pr k.... Etão este u úc tr trgulr feror L j co e u úc tr trugulr superor U u j ts que LU A. Ad s deta u u...u. Pr solução de A b pode-se decopor A segudo o Método de Crout d segute er: M b l Mb l Mb l l l l u u u tl que A L.U. Etão o sste tor-se L.U. b. Fedo U. resolve-se prero L. b e depos U.. Pr u sste podeos escrever: M b l Mb l Mb l l l l u u u M M M vlores j. l Est ultplcção de tres pode ser usd pr defr os vlores de l j u j e e teros dos l u / l l u / l b / l l lu l l u

49 b lc / l l lu lu b lc lc / l 48 Note que o cálculo de pode ser feto d es for que o cálculo de u. A sequêc de operções é :. Clculr prer colu de L clculr prer l de U e ;. Clculr segud colu de L clculr segud l de U e ; e ss sucessvete. Os vlores de são obtdos por substtução sucessv prtr de U. u u u Note que o vetor c tbé pode ser obtdo do sste prcl L. b por substtuções sucessvs. Sugere-se usr o processo "tpo escd" pr rer L e U es áre de eór o que tor o processo s efcete M M M b l b l b l u l l u u l M M M De u for gerl pr sstes de orde : - Operções co o prero pvô: k l uj j / l... j... - Operções co pvô geérco: k... k kk... j > k j k... Eeplo : Resolver o sste ler segur usdo ftorção LU: Sej A Clculdo os j e u j usdo o processo de Guss se estrtég de pvoteeto prcl. Pr

50 trgulr A teos: 49 Etp : Pvô Multplcdores: Etão: E E E E E A E E E 4 U ve que os eleetos posções etão: e são ulos podeos gurdr os ultplcdores ests A 4 Etp : Pvô Multplcdores: Etão: E E E E A E E 4E 4 4 A 4 Os ftores L e U são: L 4 e U Pr resolveros o sste A T resolveos L b

51 5 4. ou 4 ; ; T e co estes vlores clculos trvés de U. ou ; ; A solução do sste é T Eercíco : Resolver o sste ler segur usdo ftorção LU: 4 4 A solução do sste é 5 T Eercíco : Resolver o sste ler segur usdo ftorção LU: 4 A solução do sste é T 5.4 Métodos Itertvos Algortos Itertvos 5.4. Método de Guss-Jcob Algébrco Sej o sste bo: b b b Pode-se frr que o eso é covergete se o sste estver for dgolete dote sto é:

52 ou ode Etão sol-se e cd u ds equções ordedete u ds cógts b b b... são s trbuções cl do étodo. Codções de Prd: Se pr todo j j erro etão j são s soluções do sste Eeplos Eeplo : Resolver por Guss-Jcob co 4 decs co rredodeto e erro eor ou gul o sste bo: Verfcção d covergêc: b Isoleto ds cógts: c Atrbução cl: d Iterções:

53 < erro 5-4 < erro < erro A solução deste sste é: 5; 59; 945 T Eercíco : Ddo o sste pede-se su solução por Guss-Jcob co 4 decs co rredodeto e erro eor ou gul A solução deste sste é: 9975; 5; 996 T 5.4. Método de Guss-Jcob Mtrcl Bsedo o lgorto teror o étodo cosste trsforção do lgorto e u sste de tr. Portto o lgorto: es stução pode ser escrt for: k k j j b j j

54 k k k k b... k k k k b k k k k b... 5 Sedo A tr dos coefcetes ode A D I S o qul D é tr dgol I tr feror e S tr superor epressão teror poderá ser reescrt for: k D X B S I X k Multplcdo bos os teros pel tr vers d dgol D X D X k k D D B S I D X S I k D B X k ode X k J X k E J D S I E D B Eeplos Eeplo : Sej o sste bo: obter su solução por Guss-Jcob Mtrcl co decs co rredodeto e erro eor ou gul 5. Adtr solução cl ul. Verfcção d covergêc: b Obteção do Algorto: I S D 4 5 B D Etão 4 5

55 J E Etão X X k k c Atrbução cl: X d Iterções: X X X X X X X X erro < A solução deste sste é: 4998; 99; 5 T Eercíco : Ddo o sste bo: obter solução por Gus-Jcob Mtrcl co 4 decs co rredodeto e erro eor ou gul 5. Adtr solução cl ul. A solução deste sste é: 4; 9985 T 5.4. Método de Guss-Sedel Algébrco Dervdo do étodo de Guss-Jcob este étodo utl cd terção os vlores já protos própr terção pr tetr ssegurr covergêc s rápd ou sej

56 ... k k k k b b b b k k k k k k k k k 4 k k k k k k k 55 Portto o lgorto do étodo pode ser epresso por: k > k j j j b k j j < j Eeplos Eeplo : Resolver por Guss-Sedel co 4 decs co rredodeto e erro eor ou gul 5 o sste bo Verfcção d covergêc: b Isoleto ds cógts: c Atrbução cl: d Iterções:

57 < erro 4-5 < erro 4-4 < erro A solução deste sste é: 49; 66; 948 T Eercíco : Resolver por Guss-Sedel co 4 decs co rredodeto e erro eor ou gul o sste bo A solução deste sste é: ; ; 4 T Método de Guss-Sedel Mtrcl Sej o sste bo que pode ser represetdo for trcl: k k k k b... k k k k b b k k k k... D X B I X S X D I X B S X k k k k k Multplcdo bos os ebros pel vers de D I teos: D I D I X D I B D I S X k k X k k D I S X D I B

58 X k G X k F 57 ode Eeplos Eeplo : Ddo o sste bo G D I S F D I B obter sus soluções por Guss-Sedel Mtrcl co decs co rredodeto e erro feror ou gul 5. Adtr ul solução cl. Verfcção d covergêc: b Obteção do Algorto: 5 9 D 6 I S B Etão 5 G 6 5 F Logo k X c Atrbução cl: X d Iterções: X 5 X k X X X erro 4 < X 4 X 4

59 58 A solução deste sste é: ; -4 T Eercíco : Ddo o sste bo: obter solução por Gus-Sedel Mtrcl co 4 decs co rredodeto e erro eor ou gul 5. Adtr solução cl ul. A solução prod deste sste é: 4; 9998 T Segud Abordge d Fórul Mtrcl do Método Guss-Sedel Decopõe-se tr de coefcetes A e: U D L A Ode: L Mtr Trgulr Iferor D Mtr Dgol U Mtr Trgulr Superor L O M M M M L L L L M O M M M L L L L M O M M M L L L U d d d d D L k k k U D L D b D U D L D b D U L b D b U D L b U D L

60 Iterpretção Geoétrc do Cso 59 Cosdere o Sste Ler: O esque tertvo utldo o Método de Guss-Sedel é ddo por: k k k k Pr k e T [ : ] Pr k e 4 Pr k e T [ : ] 4 ] T [ : A solução et é dd por: [ ] T. Esse processo tertvo té à covergêc pode ser terpretdo geoétrcete u grfco co copoete bscss e copoete orded / 4/5/

61 6 Observção : Verfc-se pelo gráfco c que seqüêc T pr solução et [ ]. o... k está covergdo Observção : A sequêc gerdo pelo Método de Guss-Sedel depede forteete d dsposção ds equções. Est observção pode ser elor etedd odfcdo orde ds equções do eeplo teror. Cosdere o eso Sste Ler teror poré odfcdo orde ds equções: O esque tertvo utldo o Método de Guss-Sedel é ddo por: k k k k Pr k e T [ : ] 6 Pr k e T [ 6 : ] Estudo d Covergêc do Método de Guss-Sedel Este dos crtéros de sufcêc pr covergêc do Método de Guss-Sedel. O crtéro de ls e o crtéro de Sssefeld. O crtéro de ls é o eso d Método de Guss-Jcob.

62 6 Crtéro de Ls Se α < k Sej o sste ler A b co A desão e sej: k α α etão o étodo Guss-Sedel ger u seqüêc { } k do sste ddo depedeteete d escol d proção cl k j j k kk kj covergete pr solução. A tr que stsfer o crtéro de ls é cd de dgol dote estrt Crtéro de Sssefeld e pr Sej o sste ler A b co A desão e sej: j : β 4... β j j β j β... jj β j jj.... j jj Defe-se β β. j j Se β < etão o Método de Guss-Sedel ger u sequêc covergete pr solução do sste qulquer que sej o vetor cl. Alé dsso quto eor for o vlor de β s rápd é covergêc. Eeplo: Verfcr s codções de covergêc do Método de Guss-Sedel o sste bo: Crtéro de Ls α > ão stsf. b Crtéro de Sssefeld

63 β > ão stsf. 6 Coo covergêc do Método de Guss-Sedel é forteete depedete d posção ds equções pode-se trocr posção ds equções. Tettv : Troc-se prer equção pel tercer equção. Crtéro de Ls α > ão stsf. b Crtéro de Sssefeld β > ão stsf. Tettv : Troc-se prer colu pel tercer colu equção teror. Crtéro de Ls α. < stsf. α ão stsf. b Crtéro de Sssefeld β. < stsf. β. < stsf. 4 β < stsf. 6 Co últ odfcção o sste pss ser covergete pr qulquer vetor cl. Modfcções desse tpo são purete cdêcs e são dfíces de sere relds e sstes res. Prcplete pels desões dos probles resultdo u grde esforço coputcol e ds certes quto su efcêc. Eeplo : Verfque covergêc do sste bo pelo crtéro de ls e Sssefeld.

64 6 4 Crtéro de Ls α α Não stsf Crtéro de Sssefeld β β Stsf Eeplo : Verfque covergêc do sste bo pelo crtéro de ls e Sssefeld Método d Sobrerelção Sucessv ˆ w ˆ k k k k k b j< j k j j> < w < - Utldo pr uetr velocdde de covergêc. j k j < w < - Utldo e sstes co dfculddes de covergêc pelo Método de guss Sedel.

65 Codções Necessár e Sufcete pr Covergêc do Método de Guss-Jcob e Guss-Sedel Teore Sej b R e A M N R é ão sgulr. Se M é ão-sgulr e o ro espectrl de k k M N stsfç ρ M N < etão o processo tertvo defdo por M N b coverge pr A b pr qulquer vetor. ρ M { λ : λ M N } N λ Pr o Método de Guss-Jcob: L D U b L D U b D b L U D k b L U k M D N L U Pr o Método de Guss-Seldel: L D U b L D U b L D b U L D M L D N U k b U k Coprção dos Métodos de Solução de Sstes Leres A b Métodos Dretos:. Processos ftos covergêc pr qulquer sste ão-sgulr;. Apreset probles co erros de rredodeto;. Utl-se téccs de pvoteeto pr er os probles de rredodeto; 4. O processo de trgulrção destró esprsdde d tr de coefcetes. Téccs de Esprsdde são utlds pr er o eceto d tr. 5. Pr tres ces solução requer operções se cosderr o pvoteeto. Métodos Itertvos:

66 65. Provvelete s efcetes pr sstes de grde porte prcplete co utlção de coputção de lto desepeo vetorl e prlel;. Te covergêc ssegurd pes sob certs codções;. Coserv esprsdde d tr de coefcetes; 4. Os étodos de G-J e G-s requere operções por terções; 5. Poucs vtges dcos são coseguds e soluções pr vetores depedetes dcos co tr de coefcetes td costte coo o cso d ftorção LU; 6. Crreg eos erros de rredodeto o processo tedo e vst que covergêc u ve ssegurd depede d proção cl. Soete os erros d últ terção fet solução.

67 66 6 Iterpolção 6. Itrodução A terpolção é outr ds téccs be tgs e báscs do cálculo uérco. Muts fuções são coecds pes e u cojuto fto e dscreto de potos de u tervlo [ b] coo por eeplo tbel bo que relco clor específco d águ e tepertur: X Tepertur C Clor específco Tbel - Clor específco d águ. A prtr desses ddos supoos que se quer clculr: o clor específco d águ.5 C b tepertur pr qul o clor específco é A terpolção te o objetvo de os judr resolução deste tpo de proble ou e csos e que possuíos u cojuto de vlores obtdos trvés de lgus eperetos. Iterpolr u fução f cosste e pror ess fução por u outr fução g escold etre u clsse de fuções defd pror e que stsfç lgus propreddes. A fução g é etão usd e substtução à fução f. A ecessdde de se efetur est substtução surge e várs stuções coo por eeplo: qudo são coecdos soete os vlores uércos d fução por u cojuto de potos ão dspodo de su for lítc e é ecessáro clculr o vlor d fução e u poto ão tbeldo coo é o cso do eeplo teror. b qudo fução e estudo te u epressão tl que operções coo dferecção e tegrção são dfíces ou eso possíves de sere relds. Neste cso podeos procurr u outr fução que sej u proção d fução dd e cujo useo sej be s sples. As fuções que substtue s fuções dds pode ser de tpos vrdos ts coo: polos trgooétrcs epoecs e logrítcs. Nós reos cosderr pes o estudo ds fuções polos. 6.. Coceto de Iterpolção Sej fução f dd pel tbel. Desej-se deterr f sedo: 7 e... 7 b 7 Pr resolver te-se que fer u terpolção. E sedo ss deter-se o polôo terpoldor que é u proção d fução tbeld. Por outro ldo pr resolver b deve-se relr u etrpolção. Cosdereos potos dsttos:... cdos ós d terpolção e os vlores de f esses potos: f f f... f. A for de terpolção de f que vereos segur cosste e se obter u deterd

68 fução g tl que: 67 g f g f g f M M g f Grfcete teos: g f f f f 4 f 4 5 f 5 f 4 5 Iterpretção geoétrc pr 5 6. Iterpolção Ler 6.. Obteção d Fórul Ddos dos potos dsttos de u fução f : e desej-se clculr o vlor de pr u deterdo vlor de etre e usdo terpolção polol. O polôo terpoldor é u udde eor que o úero de potos coecdos. Ass sedo o polôo terpoldor esse cso terá gru sto é P Pr deterá-lo os coefcetes e deve ser clculdos de for que te: P f P f ou sej bst resolver o sste ler bo: A ode e são s cógts e é tr dos coefcetes. O deterte d tr A é dferete de ero sepre que logo pr potos dsttos o sste te solução úc. O polôo terpoldor P te coo ge geoétrc u ret portto estreos prodo fução f por u ret que pss pelos dos potos coecdos e

69 . eles. A fgur bo ostr geoetrcete os dos potos e e ret que pss por 68 p 6.. Eeplos Eeplo : Sej fução f defd pelos potos.;.5 e.;.94. Deterr prodete o vlor de f.7. P é o polôo terpoldor de gru que pss pelos potos ddos. Etão tereos: Potos utldos:.;.5 e.;.94 b Cálculo dos coefcetes: P.5.5 P c Polôo terpoldor: P.59.5 equção d ret que pss pelos potos ddos d Respost: P P.7.5 O resultdo obtdo c está fetdo por dos tpos de erros: Erro de rredodeto E A - é coetdo durte eecução ds operções e o cso de u resultdo ser rredoddo. b Erro de truceto E T - é coetdo qudo fórul de terpolção ser utld é escold pos proção de u fução coecd pes trvés de dos potos ddos é fet por u polôo de gru. Eercíco : Dd fução f 4 co os vlores de f. e f. deterr P.5 e o erro bsoluto coetdo. Polôo terpoldor: P P.5.85 E A.475 Eercíco : Clculr o clor específco prodo d águ 5 C usdo os vlores d tbel. Usdo s teperturs C e 5 C.

70 Polôo terpoldor: P P Iterpolção Qudrátc 6.. Obteção d Fórul Se coeceros três potos dsttos de u fução etão o polôo terpoldor será: P O polôo P é coecdo coo fução qudrátc cuj ge geoétrc é u prábol portto estreos prodo fução f por u prábol que pss pelos três potos coecdos e. Pr deterros os vlores de e é ecessáro resolver o sste: ode e são s cógts e os potos e são coecdos. A tr dos coefcetes é: V Coo os potos são dsttos etão o sste terá solução úc. 6.. Eeplos Eeplo : Utldo os vlores d fução seo ddos pel tbel bo deterr fução se qudrátc que se pro de f trbldo co três css decs. se f. π.8 6 π 4.56 Potos utldos: ; π/6;.8 π/4;.56 b Cálculo dos coefcetes: P P π P 6 π P 4 π π 6 6 π π

71 7 D prer l teos que. Logo o sste pss ser: Resolvedo o sste c ecotrreos solução prod:..45 c Polôo terpoldor: P..45 Eeplo : Deterr o vlor de f. e o erro bsoluto ocsodo pel plcção d terpolção qudrátc o cálculo deste vlor usdo os vlores tbeldos d fução f. Utlr dus css decs. f Potos utldos:.5;.5.;.49.;.8 b Cálculo dos coefcetes: P Resolvedo o sste pelo étodo de Guss ve:... c Polôo terpoldor: P d Respost: P.... P..64 Cálculo do erro bsoluto: E A f. P. E A E A Podeos observr que o polôo terpoldor é gul fução dd. Isto ocorre porque fução dd é polol de gru e prtr de três potos d fução cosegue-se deterá-l se erro. Cotudo poderá estr o erro de rredodeto.

72 7 Eercíco : Usdo três potos d Tbel deterr o clor específco prodo d águ C Potos utldos: ;.9997 ;.9986 e 4;.9988 Polôo terpoldor: P P Iterpolção de Lgrge As terpolções vsts terorete são csos prtculres d terpolção de Lgrge. Vos estudr gor o polôo terpoldor de gru eor ou gul sedo ddos potos dsttos. Teore: Sej... potos dsttos sto é j pr j. Este u úco polôo P de gru eor ou gul tl que P pr todo. O polôo P pode ser escrto for: P... ou P P é o áo de gru se e pr deterá-lo deve-se coecer os vlores de.... Coo P coté os potos... pode-se escrever que P. Co sso teos: Resolvedo o sste c deter-se o polôo P. Pr provr que tl polôo é úco bst que se ostre que o deterte d tr A dos coefcetes ds cógts do sste é dferete de ero. A tr A é: A Ms o deterte d tr A é coecdo coo deterte ds potêcs ou de Vderode e d Álgebr Ler sbe-se que seu vlor é ddo por: deta. Coo j j pr j ve que deta. > j Logo P é úco. Eeplo: Sej os vlores: e. Deterr: j. j > j > j

73 7 Este vlor é gul o deterte d tr: Obteção d Fórul Será ostrdo gor dedução d fórul de terpolção de Lgrge. Sej... potos dsttos e f.... Sej P o polôo de gru que terpol f e.... Podeos represetr P for P L L... L ode os polôos L k são de gru. Pr cd quereos que codção P sej stsfet ou sej: P L L... L A for s sples de se stsfer est codção é por: L k L k se k e pr sso defos L k por se k... k k... k k... k k k k... k Coo o uerdor de L k é u produto de ftores d for:... k etão L k é u polôo de gru e ss P é u polôo de gru eor ou gul. Alé dsso pr... teos: P k Lk k L Etão terpolção de Lgrge pr o polôo terpoldor é: P k Lk k ode L k j j k j k j

74 P k k j j k j j k é fórul d terpolção lgrge Eeplos: Eeplo : No cso d terpolção ler vsto terorete teos dos potos dsttos: f e f co gul. Potos utldos:.;.5 e.;.94 b Cálculo dos coefcetes: P L L ode L L Ass P que é etete equção d ret que pss por f e f. c Polôo terpoldor: P que é es epressão obtd o eeplo de terpolção ler. Eercíco : Deterr o polôo de terpolção de Lgrge pr fução coecd pelos potos tbeldos bo e o resultdo e P.5: Respost: P Eercíco : Deterr o polôo terpoldor de Lgrge pr fução coecd pelos potos d tbel bo: Respost: P 4 4 6

75 6.5 Iterpolção Prbólc Progressv N terpolção prbólc progressv precsos de potos ode é o gru do polôo desejdo. E segud toos os potos s próos do poto que quereos or de otr tbel. Polôo de gru : 74 G Polôo gru CTE P Polôo de gru : G Polôo gru Polôo CTE pssdo gru por P. Polôo de gru : G Polôo gru Polôo CTE pssdo gru Polôo por pssdo gru por e por P... M Polôo de gru : P Ipodo que P psse por todos os potos d tbel teos que: P f P f P f M P f Vldde: P f P f f f P

76 75 P P f P f f f Eeplo : Ddos os pres bo deterr epressão lítc destes esos: ª Hpótese: P 8 5 f ª Hpótese: 4 8 P f P ª Hpótese: 4 4 P 5 4ª Hpótese: f P f P 6 6 P 5 Logo epressão é : P 6.6 Iterpolção de Newto co Dfereçs Dvdds 6.6. Dfereçs Dvdds Sej f u fução tbeld e potos dsttos.... Defos o operdor dfereçs dvdds por: f[ ] f f [ ] f [ f[ ] f[ ] M ] f [ f[... ] f ] f [ ] f [ f... ] f [... ] P

77 76 Deos que f[... k ] é dfereç dvdd de orde k d fução f sobre os k potos. tbel: Coecdos os vlores que f ssue os potos dsttos... podeos costrur Orde Orde Orde... Orde f[ ] f[ ] f[ ] f[... ] f[ ] f[ ] f[ ] f[ ] f[ ] f[ 4 ] f[ - ] f[ - - ] f[ - - ] - f[ - ] f[ - ] f[ ] 6.6. Propredde do Operdor Dfereçs Dvdds Pode-se provr que s dfereçs dvdds stsfe propredde de ser sétrco os rguetos. Eeplo: f[ ] f [ ] f [ ] f [ ] f [ ] f[ ] Pode-se provr que cd coefcete do polôo terpoldor de Newto correspode o operdor de gru de dfereçs dvdds: f[ ] f[ ] f[ ] M f[... ] P P f[ ] f[ ]. f[ ]..... f[... ] Eeplos Eeplo : Obter f.5 usdo u polôo terpoldor de Newto do segudo gru potos. Cosdere segute tbel: F 5 Cálculo dos coefcetes de P : X Orde Orde Orde Orde Orde

78 77 ode: f[ ] f f[ ] f f[ ] f f[ ] f 5 f[ 4 ] f 4 f [ f[ ] f[ ] f [ ] f [ ] f [ ] f [ ] f[ ] f [ 4 ] f [ ] f[ 4 ] 4 ] f [ ] f f f [ f[ ] f[ ] f [ ] f [ ] f [ 4] f [ ] f[ 4 ] 4 ] f [ ] 5 f[ ] f [ ] f [ ] f[ 4 ] f [ 4] f [ ] 4 f[ 4 ] f [ 4] f [ ] 4 b Polôo terpoldor: c Respost: P P P P P Eeplo : Obter f4 usdo u polôo terpoldor de Newto de gru 4 potos. Cosdere segute tbel: F

79 Cálculo dos coefcetes de P : 78 Pegr os potos s próos do poto que desejos: X Orde Orde Orde Orde Coo o polôo obtdo ão terá gru deveos escoler u ovo cojuto de potos: b Polôo terpoldor: X Orde Orde Orde Orde P c Respost: P P Eercíco : Obter f.47 usdo u polôo terpoldor de Newto do segudo gru potos. Cosdere segute tbel: F Polôo terpoldor: P P Eercíco : Obter f.5 usdo u polôo terpoldor de Newto do qurto gru 5 potos. Cosdere segute tbel: F Polôo terpoldor: P P Iterpolção de Gregor-Newto Muts vees são ecotrdos probles de terpolção cuj tbel de potos coecdos te vlores que são gulete espçdos ou sej:... -

80 Ass pr todo sedo u costte * 6.7. Dfereçs Ordárs ou Fts f f f f f f f f... f - f - f Orde Orde Orde... Orde f f f f f f f f f f f - f - f - - f - f - f 6.7. Relção etre dfereçs dvdds e dfereçs ordárs Teore: Se j j. pr j... etão f[... ] Prov: f!. f[ ] f f [ ] f [ f[ ] ] f f f f f f[ ] f [ ] f [ ] f f f M e por dução podeos ostrr que est regr é vld pr vlores ores que Gregor-Newto usdo Dfereçs Ordárs Prtdo d forul orgl do étodo de Newto que é P f[ ] f[ ]. f[ ]..... f[... ] podeos dervr ov forul que utl s dfereçs ordárs: P f... - f f f! Eeplos Eeplo : Obter f.5 usdo u polôo terpoldor de Gregor-Newto G-N do segudo gru potos. Cosdere segute tbel:

81 8 To do tervlo: b Cálculo dos coefcetes de P : f 5 X Orde Orde Orde Orde Orde c Polôo terpoldor: P P P P d Respost: P Eercíco : Obter f.4 usdo u polôo terpoldor de Gregor-Newto do segudo gru potos. Cosdere segute tbel: Polôo terpoldor: P P F Eercíco : Obter f.7 usdo u polôo terpoldor de Gregor-Newto do tercero gru 4 potos ode f l. Cosdere segute tbel: 4 F Polôo terpoldor: P P Iterpolção Sples: Ler Qudrátc Cúbc U fução sple tervlr é u polôo costtuído sobre certs codções de cotudde.

82 6.8. Sple Ler 8 Pr u cojuto de ddos cdos ós : L sple ler é defd por [ ] s b for L. A codção C s s e produ equções pr os potos teror o doío de. Acrescetd ests codções dus codções os potos etreos do doío de são estbelecds produdo u totl de equções cocordr co cógts: b L. Aplcdo esss codções obté-se: s [ ]. Está equção result e ls rets jutdo potos vos. s Observ-se que é o polôo de terpolção de Lgrge pr o cojuto de ddos: e. A eq. é solução tervlr prod lerete e u desão. Eeplo.. Clculr sple ler do cojuto de ddos bo: Sple Ler 5 s [ 5] 7 5 s s [7 8] 8 s [5 7] [8 ]

83 8 5 dt pots ler sple terp: ler terp: MATLAB fucto. Tpe "elp terp" MATLAB wdow for ts usge d optos. Ler Sple Iterpolto Pseudocódgo: Mtlb Fgur. Sple Ler. Iput ddos ; Plot usdo síbolos usdo plot; For - do A lspcet % Dvde cd tervlo e t potos Cll cler_sple % Cll fução ler_sple. Cll cterp % Cll fução do MATLAB opção defult: ler Plot c Plot c Eddo A fução ler_sple. é cotruíd de cordo co o segute lgorto: Iput ode se desej deterr o vlor de ; Avle se está for do tervlo; se s pre o progr; se ão prossegue; Clcule o tervlo ode o vlor de resde; Clcule de cordo co eq.. fucto f ler_sple legt; % No.de ddos e orde crescete f < >; error' est for do tervlo!'; % erro ed; % procur do tervlo ode resde for :-; f > & <; ; brek;

84 ed; ed; 8 % Clcule XX eq.. f *-/-... *-/-; Eplo. Clcule s sples tervlr leres pr os ddos: Avle o resultdo segudo o gráfco Fgur.. Ler Sple Iterpolto.8 dt pots ler sple terp: ler Fgure. Sple Ler. É clrete otdo e bos os eeplos s sples são ls rets. Estes cojutos de ddos serão usdos e todo este terl co o objetvo de coprr os dferetes tpos de sples.

85 Sple Qudrátc U sple qudrátc pr cd tervlo é defd coo: [ ] for c b s L. A qul é post certs codções pr stsfer s codções de se C e C. Pr codção de ser C se obté:... s s. Pr codção de ser C se obté: s s L. Dos três requeretos c este -4 codções. Poré s sples qudrátcs requer u totl de - codções de for que á ecessdde de u codção ser dcod. Usulete us-se s coo codção. Co sso se obté etão cd sple turl qudrátc. Certete outrs codções pode ser usds tl coo s s -. Pr deterr equção d sple prero deote d s etão desde que s é u sple ler pr o cojuto de ddos d obté-se d d d d d d s d d d qul é u equção ler pr clção slope. Itegrdo e obté-se d d d s.4 Nest solução é costte de tegrção é clculd utldo codção de cotoro C : s. U sple qudrátc é defd u ve que os d s sej coecdos. Fedo obté-se d d d O qul codu : d d L.5 A eq.5 descreve u esque recursvo. Se d é coecdo etão d pode ser clculdo pel eq.5. Vrs codções pode ser plcds pr obter d : Pr etão cd Sple Nturl d. Se d d etão d pode ser clculdo por d d d d.6

86 Se d d etão d pode ser clculdo por 85 d d d d se soluco Est codção ão pode ser plcd qudo é u úero pr. pr pr.7 Pseudocódgo do lgorto e Mtlb qudrtc_sple. é coo segue: Iput os potos ; Plot estes pres usdo síbolos co fução plot; For - do A lspcet % Dvde cd tervlo e t potos Cll cqudrtc_sple wt d ; % Sple Nturl Qudrátc Cll cqudrtc_sple wt d d ; Plot c Plot c Eddo A fução qudrtc_sple. é costruíd de cordo co o segute lgorto: Iput ode se desej clculr o vlor terpoldo ; Avlr se está for do tervlo; se s pre o progr; se ão prossegue; Clcule o tervlo ode pertece; Clcule d ; Clcule d Equção.5; 4 Clcule de cordo co equção.4. fucto f qudrtc_spleopto legt; % No. de ddos e orde crescete f < >; error' est for do tervlo!'; % Erro ed; % declr o to d tr pr dds/d d::; % Clcule d f opto; d.; % Sple Qudrtc Nturl else; d-/-; % pr dd eq.6 ed; % Us lgorto recursvo eq.5 pr clculr todosl d for :; d.*--/---d-; ed; % Clculr qul o tervlo que resde for :-; f > & <; ; brek; ed; ed; % Clcule pr sple qudrtc eq.4. f -*.5*d-d*-/-... d ;

87 Eplo.. Ddo os eso ddos do eplo. clcule sple qudrátc. 86 Usdo sple turl qudrátc ode d etão se obté d d.8 d d s.8 [ 5] s s s [7 8] [5 7] [8 ] Os resultdos ds sples devdo à codção d d são plotdos fgur.. Próo sple turl te u curv ctd devdo à dervd ero e. A outr sple te u clção ler o prero tervlo. Pr todos os tervlos de ddos ests dus sples são dferetes ebor s dfereçs sej peques. 5 Qudrtc Sple Iterpolto dt pots turl qudrtc sple qudrtc sple wt d d Fgure 4... Sple Qudrátc.

88 87 Eeplo.. Utldo os ddos do eeplo. obter s sples qudrátcs. A úc udç ecessár o scrpt qudrtc_sple. é trocr o cojuto de ddos e pelos d tbel do eeplo.. As sples são plotds fgur.. Note que s sples turl e s sples devdo codção d d são etete s ess. Isso é cusdo pelo fto que bs s opções produe o eso resultdo: d. Tbé s sples o 4 º e 5 º tervlos tê grdes osclções. Ser desejável u trsção suve o º tervlo e s sples preset est trsção. Cotudo devdo depressão o tervlo 4 este osclções o 4 º e 5 º tervlos. Gerlete qudo orde do polôo sple é or este proble tor-se s severo..5 Qudrtc Sple Iterpolto dt pots turl qudrtc sple qudrtc sple wt d d Fgur.. Sle Qudrátc Sple Cúbc Nturl Gerlete u fução s é cd de sple do gru k sobre < < L < se s [ ]; s j j L k s é u polôo de gru k são tods fuções cotíuos o [ ] e cd tervlo [ ] ode s j é j-és dervd; Se k sple é cd de sple cúbc. As curvturs dds pels dervds seguds pode ser prods por fuções leres e u tervlo e deotdo os vlores os potos coo e s L els pode ser prods pelo polôo terpoldor de Lgrge o.

89 88 s s cojuto de ddos e L. Cotudo e e s L. Itegrdo e dus vees obté-se 6 6 d c e e s. Ode - e c e d são costtes de tegrção. Aplcdo codção C obté-se: 6 ; 6 e d e c. A qul codu e e e e s.4 Logo sple cúbc é defd desde que se deter os e s. Os vlores de e pode ser deterdos d codção C de cotudde. Dferecdo equção teror obté-se 6 6 e e e e s e b e e e e e s ode b L.5 Tbé b e e e e e s Fdo pr todos os potos o teror do tervlo obté-se 6 b b e e e L.6 U sste ler trdgol de equções e teros ds cógts e s. Este cógts e equções. Dus codções dcos são ecessárs pr deterr s sples cúbcs. Qudo els são

90 e e s sples resulttes são cds de sple cúbc turl. Esss equções pode ser rerrjds coo: 89 ode e e e u e e v L.7 u v 6 b b L.8 O lgorto do códgo cubc_spl. é uto slr o ler_sple. etão o lgorto pr fução cubc_spl. será represetdo qu. Iput ode se desej clculr terpolção é desejdo; % s qu. Avlr se est for do tervlo; se s preo progr; se ão prossegue; Clcule e b eq.5; 4 Clcule u e v eq.8; 5 Fe e etão clcule e eq.7 6 Clcule e que tervlo resde ; 7 Clcule co eq.4. Eple.. Ddo os potos do eeplo. obter sple turl cúbc. Pr clculr ª dervds prero detere 5 4 b.4 b -.5 b - b 4 Usdo os ddos c se pode clculr os u s e v s coo u 4 u 6. u 4 6. v -.4 v. v 4 7. Etão d eq.7 obté-se 4 6 e e 6 e Os vlores de e e e e 4 pode ser obtdo usdo o lgorto de Tos. Estes vlores jutete co e e 5 forece: e e e As sples cúbcs turl são plotds fgure.. As fuções Mtlb sple e terp co s opções correts são usds pr produr s ess sples. Dus outrs codções são dcods ests fuções Mtlb coo segue

91 9 s s d s s 5 Cubc Sple Iterpolto dt pots turl cubc sple terp:sple sple INTERPOLACAO por SPLINE CUBICA -> Vlores de c -> Coefcetes Ler b -> Coefcetes Ler -> Coefcetes Cubc fp -> Prer Dervd e. fpb -> Prer Dervd e b. Fgur.. Sple Cúbc b c Eeplo.. Ddos os potos do eeplo. obter s sples cúbcs. As sples são plotds fgur.. Tods s sples preset resultdos elores que àquels gerdos pel sple qudrátcs. As osclções são eores. As sples turs qu preset elores resultdos que os gerdos por sple e terp: sple o º e 5 º tervlos.

92 9.5 Cubc Sple Iterpolto dt pots turl cubc sple terp:sple sple Fgur.. Sple Cúbc. fucto f cubc_sple % %eco off; cler; clc; fort log; % % legt; % No. ddos e orde crescete. f < >; error'for do tervlo de!'; % Erro ed; % % Icle b u v. ::-; b::-; u::-; v::-; % for :-; -; % Clcule b-/; % Clcule b usdo eq.5 ed; % % Clcule u v usdo eq.8 u.*; v6.*b-b; for :-; u.*-; v6.*b-b-; ed; % % Codcoes pr Sple Cubc Nturl e.; e.; % Clcule e usdo eq.7 sub:- :-; % dgol feror d:- u:-; % dgol prcpl super:- :-; % dgol superor rs:- v:-; % ldo dreto

93 % [s]trdg-subsuperdrs; e:-s; % % Clculr tervlo ode resde for :-; f > & <; ; brek; ed; ed; % -; t-; t-; 9 % Clcule XX cubc sple usdo eq.4. f e*t^e*t^/6.*... t* /-*e/6.... t* /-*e/6. ; fucto [s]trdgdsubsuperdgrs for :d- %Elto sub/dg; dgdg-*super; rsrs-*rs; ed drsd/dgd; %Bck Substtuto for d-:-: rs-super*/dg; ed s; %************** CUBIC_SPLINE_ ****************** % % cler ll; clc; fort log; % for eple:; f eple; %[- - ]; %[ 4-8]; [ ]; % dt pots for Eple. [ ]; else; [ ]; % dt pots for Eple. [ ]; ed; fgure; plot'ko'; % Plot orgl dt pots old; legt-; t; % Use t pots plottg for ec dt tervl for :; % loop for ec dt tervl lspcet; % Dvde ec dt tervl to t pots for :t; ccubc_sple; % Cll cubc_sple fucto cterp'sple'; % Cll MATLAB fucto terp. wt % opto 'sple' c4sple; % Cll MATLAB fucto sple. ed;

94 plotc'k'; % Plot pots due to cubc_sple plotc'k:'; % Plot pots due to terp's sple plotc4'k'; % Plot pots due to sple fucto ed; 9 leged'dt pots''turl cubc sple'... 'terp:sple''sple' % Crete leged lbel'' lbel''ttle'cubc Sple Iterpolto'; % Ttle for plot grd; ed; Cosderções Gers sobre Iterpolção Sples de crescete orde são obtds uetdo orde de cotudde os potos trvés de todos os tervlos sples qudrátc requer que s prers dervds sej stsfets os potos de etreos dos tervlos sples cúbc requer s dervds seguds etc. Sples de orde or que são rrete usds e plcções prátcs. Poré o ueto d orde pg o esforço pr gerá-l? Observdo os gráfcos estes revel que pr orde or que á osclções trvés dos ddos. A coprção ds sples é ostrd s fgurs 4. e 4.. É possível observer que s sples qudrátcs e gerl oscl s que s sples cúbcs qudo coprds co s sples leres. Etão uetdo orde e sepre uet s osclções. Etão qul sple escoler? A Seleção de u sple proprd depede d plcção. Se procur terpolr os ddos por s só tlve sple ler é elor escol. Se os ddos fore de ture cúbc sple cúbc será elor escol. Se desejr coecer dervds dos ddos u sple ler ger sltos os potos portto lgu gru de suvdde ser desejável. Etão ovete escol deverá ser fet e fução d plcção. E projetos s sples perte suvção locl trvés dos ddos e sple cúbc é escol usul. Coo s sples se copr os polôos terpoltes de Herte que tbé trt de dervds? É uto portte eteder o segute coceto: sples cocord trvés ds codções de dervds os potos etreos dos tervlos ão dervds dos ddos por s só. E outrs plvrs sples são fuções dscrets s qus pro os ddos preecedo os ddos os tervlos: s codções de suvdde os potos de jução são ssegurds ss coo os potos gerdos o teror do tervlo. Por outro ldo terpolção de Herte requer dervds de ddos sto é s dervds são prtes dos ddos.é. posção velocdde celerção. A úc relção etre sple e terpolção de Herte é que bos são polôos. 5 dt pots turl cubc sple turl qudrtc sple ler sple Sple Coprso Fgur 4. Coprção de Sple

95 .5.5 Sple Coprso dt pots turl cubc sple turl qudrtc sple ler sple 94 Fgur 4. Coprção Sple

96 95 7 Ajuste de Curvs U ds fors de se trblr co u fução defd por u tbel de vlores é terpolção polol. Cotudo terpolção ão é coselável qudo: É precso obter u vlor prodo d fução e lgu poto for do tervlo de tbeleto ou sej qudo se quer etrpolr. b Os vlores tbeldos são resultdos de lgu epereto físco ou de lgu pesqus porque estes csos estes vlores poderão coter erros eretes que e gerl ão são prevsíves. Surge etão ecessdde de se justr ests fuções tbelds u fução que sej u "bo proção" pr os vlores tbeldos e que pert etrpolr co cert rge de segurç. O proble do juste de curvs o cso e que teos u tbel de potos f f... f co... pertecetes u tervlo [ b] cosste e: escolds fuções g g... g cotíus e [ b] obter costtes α α... α ts que fução ϕ α g α g... α g se proe o áo de f. Geercete o cso ler estreos supodo que os ddos serão prodos por u fução do tpo: f ϕ α g α g... α g ode s fuções g g... g são preestbelecds. Deos que este é u odelo teátco ler porque os coefcetes deterr α α... α prece lerete ebor s fuções g g... g poss ser fuções ão leres de coo por eeplo g e g g se etc. A escol ds fuções pode ser fet observdo o gráfco dos potos coecdos ou bsedo-se e fudetos teórcos do epereto que os foreceu tbel. Portto dd u tbel de potos f f... f deve-se e prero lugr colcor estes potos u gráfco crteso. O gráfco resultte é cdo dgr de dspersão. Atrvés deste dgr pode-se vsulr curv que elor se just os ddos. Eeplo: Sej tbel: f O dgr de dspersão será cofore ostrdo bo:

97 96 Portto é turl escoler pes u fução g e procurr etão ϕ α equção gerl de u prábol pssdo pel orge. Se cosderros u eperêc ode for eddos város vlores de correte elétrc que pss por u resstêc subetd várs tesões colocdo os vlores correspodetes de correte e tesão e u gráfco podereos ter: V V q V q este cso este u fudetção teórc relcodo correte co tesão V R sto é V é u fução ler de. Ass g e ϕ αg O proble é deterr qul prábol co equção α se just elor o prero gráfco e qul ret pssdo pel orge elor se just o segudo gráfco. No cso gerl escolds s fuções g g... g teos de estbelecer o coceto de prodde etre s fuções ϕ e f pr obter s costtes α α... α. U er é por que o desvo f ϕ sej ío pr.... vereos segur o étodo coecdo coo Método dos Qudrdos Míos. 7. Método dos Qudrdos Míos O Método dos Qudrdos Míos é provvelete técc de proção s usd álse uérc e e probles prátcos. Isto se deve tto à su splcdde quto o fto de que e gerl buscos proções pr ddos que são edds obtds eperetlete co u certo gru de certe. Vereos que o étodo dos qudrdos íos cotepl possível estêc de erros os ddos sere prodos. O crtéro de proção cosste e r os resíduos. Creos de f fução que será coveeteete prod por outr fução ϕ. No cso dos qudrdos íos leres prtos d pótese de que teos lgus forções sobre o coporteto de ϕ. Poderíos sber por eeplo que ϕ é u ret ou sej: ϕ α α A questão é ecotrr qul é est ret ou sej qus são os vlores de α e α que just os potos coecdos. Nu outro eeplo vos procurr vlores pr α α e α que tor fução: u bo proção dos ddos. ϕ α α α

98 Sej ddos os potos f f... f e s fuções g g... g escolds de lgu for. Cosderdo que o úero de potos tbeldos é sepre or ou gul o úero de fuções escolds ou o úero de coefcetes α se deterr. Nosso objetvo é ecotrr os coefcetes α α... α ts que fução ϕ α g α g... α g se proe o áo de f. Sej d k f k ϕ k o desvo e k. O coceto de prodde é que d k sej ío pr todo k.... No étodo dos qudrdos íos cosste e escoler os j 's de tl for que so dos qudrdos dos desvos sej í. 7.. Ajuste Ler Sples Dd u tbel co vlores f... quereos ecotrr ret que elor just est tbel o setdo dos qudrdos íos. Coo o juste será feto por u ret toreos g e g. sto é: f ϕ α α O resíduo pr cd pr α α e pr cd será rα α ; f α α. Ass pelo étodo dos qudrdos íos deveos procurr α e α que fução: <r r> α α < f α α f α α > f α α. Do Cálculo Dferecl sbe-se que codção ecessár do poto crítco é que s dervds ele se ule esto é: <r r> <r r> α α ou d procedds s respectvs dervções epressão <r r> teos: f α e f α α α Após o desevolveto ests dus equções for u sste ler co s cógts α e α que pode ser reescrto for: 97 α f α α f α ou α α f

99 α α f 98 A solução deste sste pode ser obtd pelo étodo d Elção de Guss. Atrvés ds substtuções retrotvs obté-se: α f α f f e α Ass solução do sste de equções leres é α e α ddos pels equções c e co estes vlores os resíduos preset o seu eor vlor. Coo este étodo cosste e cr o ío de u fução qudrátc ele é coecdo coo étodo dos íos qudrdos. Eeplo : Ajustr os ddos d tbel bo u ret de odo que o resíduo sej o eor possível. Usdo os vlores d tbel teos: Cálculo dos sotóros: f f f b Resolução do sste: Ass os vlores de α e α d elor ret o setdo dos qudrdos íos são obtdos pelo sste: 5α 4.6α.9 4.6α 49.5α 7.54 Resolvedo o sste obte-se α.98 e α.54.

100 99 Usdo s fóruls de α e α teos: α f α f f α Etão elor ret que pss pelos potos usdo equção é: ϕ c Cálculo do qudrdo dos resíduos: Os vlores de ϕ e os respectvos resíduos estão tbel bo: f ϕ r Neste eeplo so dos qudrdos dos resíduos é: r.6787 Eercíco : Cosdere o juste d tbel bo por u ret: Respost: ϕ r f Ajuste Polol O juste ler sples é u cso especl do juste polol. A equção gerl do juste polol é dd por: e s equções ors fc: ϕ α α α... α

101 . 4 f f f f M M L M M M M M L L L α α α α Eeplo : Ajustr os potos d tbel bo à equção ϕ α α α. I f O vetor α é solução do sste c que este cso tor-se: f f f 4. α α α Cálculo dos sotóros: f f

102 f b Resolução do sste: O sste é: α α α A solução deste sste é: α.8 α. α. Portto ϕ.8... c Cálculo do qudrdo dos resíduos: f ϕ r A so dos qudrdos dos resíduos é: r Eeplo : Cosderdo fução tbeld bo f prtr do dgr de dspersão deve ser justd por u prábol pssdo pel orge ou sej f ϕ α este cso teos pes u fução g. Teos etão o sste bo: f f f 4. α

103 ou sej α f α f 4 α f Todo últ equção teos: f Ass oss equção é.8464α α Portto ϕ.64 íos d fução tbeld. é prábol que elor se pro o setdo dos qudrdos Eercíco : Ajustr os potos d tbel bo à equção ϕ α α α f Respost: ϕ r

104 8 Itegrção Nuérc 8. Itrodução Do poto de vst lítco este dverss regrs que pode ser utlds prátc. Cotudo ebor teos resultdos báscos e porttes pr s téccs de tegrção lítc coo o Teore Fudetl do Cálculo Itegrl e sepre podeos resolver todos os csos. Não podeos sequer der que pr u fução sples prtv tbé será sples pos f / que é u fução lgébrc rcol possu u prtv que ão o é; su prtv é fução l que é trscedete. Qudo ão coseguros clculr tegrl por étodos lítcos ecâcos ou gráfcos etão podeos recorrer o étodo lgorítco. E lgus stuções só podeos usr o étodo uérco. Por eeplo se ão possuros epressão lítc de f ão podeos e pótese eu usr outro étodo que ão o uérco. A tegrção uérc pode trer ótos resultdos qudo outros étodos fl. A solução uérc de u tegrl sples é couete cd de qudrtur. Sbeos do Cálculo Dferecl e Itegrl que se f é u fução cotíu e [ b] etão est fução te u prtv este tervlo ou sej este F tl que f d F C co F f; deostr-se que o tervlo [ b] b f d F b F ts étodos ebor vrdos ão se plc lgus tpos de tegrdos f ão sedo coecds sus prtvs F; pr ts csos e pr queles e que obteção d prtv ebor vável é uto trblos pode-se epregr étodos pr o cálculo do vlor uérco prodo de b f d. A plcção de ts étodos é obvete ecessár o cso e que o vlor de f é coecdo pes e lgus potos u tervlo [ b] ou trvés de u gráfco. Lebrdo que b f d l f Re ode [ - ] prtes de [ b] co b e - pr sufceteete grde e sufceteete pequeo f represet u bo proção pr b f d. Cové lebrr tbé que sedo f ão egtv e [ b] b f d represet uercete áre d fgur deltd por b e f coo ostr fgur bo:

105 4 f A b A b f d Qudo f ão for soete postv pode-se cosderr f e ódulo pr o cálculo d áre cofore fgur bo: f A c A b c b A f f d ou A f d c A dé básc d tegrção uérc é substtução d fução f por u polôo que proe rovelete o tervlo [ b]. Ass o proble fc resolvdo pel tegrção de polôos o que é trvl de se fer. Co este rcocío podeos dedur fóruls pr pror b f d. As fóruls que dedureos terão epressão bo: b f d A f A f... A f [ b] Fóruls de Newto-Cotes Ns fóruls de Newto-Cotes dé de polôo que proe f rovelete é que este polôo terpole f e potos de [ b] gulete espçdos. Cosdereos prtção do tervlo [ b] e subtervlos de copreto [ ] Ass b /. b As fóruls fecds de Newto-Cotes são fóruls de tegrção do tpo o b e f d f d A f A f... A f A f sedo os coefcetes A deterdos de cordo co o gru do polôo prodor. Alsreos segur lgus ds fóruls fecds de Newto-Cotes coo regr dos retâgulos regr dos trpéos e regr de Spso. b

106 Este d s fóruls berts de Newto-Cotes costruíds de er álog às fecds co o e b. 8. Regr dos Retâgulos Sej o tervlo fto [ b] o eo que é prtcodo e subtervlos gulete espçdos [ ] co e b e. Sej f u fução cotíu ou splesete Re tegrável cuj tegrl ão é coecd. Nosso objetvo é clculr b 5 f d pelo étodo d áre dos retâgulos. Ts retâgulos pode ser cosderdos de dverss ers cofore ostr s fgurs bo: R R R R R R R R R b c No prero cso fgur áre de cd retâgulo é f ; o segudo cso é f e o últo f /. E qulquer cso so ds áres dos retâgulos será u proção pr b f d. Subdvddo o tervlo [ b] e subtervlos pel regr dos retâgulos que será dcdo por R é dd pels fóruls: R R R f. f. ou ou f. cofore for todo o cso ou b ou c d fgur c. b Coo é costte teos. Etão : ou ou R f R f

107 R f 6 E gerl qudo utlros regr dos retâgulos reos efetur os cálculos trvés do cso c ou sej R f sedo. 8.. Eeplos Eeplo : Clculr d. Cosdere e 4 css decs co rredodeto. Núero de tervlos: b To do tervlo b /. c terções: f Σ.4699 R. f d étodo lítco: d l 4657 l l. Eeplo : Qudo ão for possível coecer f pode-se usr f f - f / pr o cálculo teror ter-se-: Núero de tervlos: b To do tervlo: b /. c terções:

108 f f Σ R. f Eercíco : Clculr d pr 8. R.5 f.5... étodo lítco: d Regr dos Trpéos Sej o tervlo fto [ b] o eo que é prtcodo e subtervlos gulete espçdos [ ] co e b e. Sej f u fução cotíu ou splesete Re tegrável cuj tegrl ão é coecd. Nuercete: A regr dos trpéos é obtd prodo-se f por u polôo terpoldor do º gru o vés de ero coo regr dos retâgulos. Se usros fórul de Lgrge pr epressr o polôo p que terpol f e e teos: b f b d p d f f d I T Ass I T [ f f ] que é áre do trpéo de ltur e bses f e f. Geoetrcete: Podeos ver cofore ostr fgur bo: f f f P Iterpretção geoétrc d regr dos trpéos

109 b f d. A áre de cd trpéo é f f /. A so dests áres será u proção pr 8.. Regr do Trpéo Repetd Dvddo o tervlo [ b] e subtervlos pel regr dos trpéos o resultdo que será dcdo por T é dd pel fórul: 8 f f T. b Coo é costte teos. Etão : 8.. Eeplos f f T ou T 6 [ f f f... f f ] Eeplo : Clculr d pel regr dos trpéos e depos ltcete. Cosdere 6 e 4 css decs co rredodeto. Núero de tervlos: 6 b To do tervlo: b.6. / 6. c terções: f c c. f Σ.6469 T 5. T [ f f f... f f ] 6 6

110 d étodo lítco: 6 d ] 6 l l.6 l..856 Eercíco : Clculr d pel regr dos trpéos e depos ltcete. Cosdere e 4 css decs co rredodeto. 9 T 8 4 étodo lítco: d ] 4 Coo regr dos trpéos pro por u ret e fução tegrd é f u ret o vlor d tegrl obtdo é eto. Eercíco : Clculr l d pel regr dos trpéos cosderdo dversos vlores pr e depos ltcete. T T.5 T.5 T étodo lítco: l d l l 4 4 ] ] Regr de Spso A regr de Spso é obtd prodo-se f por u polôo terpoldor de gru ou sej u prábol. Nuercete: Novete podeos usr fórul de Lgrge pr estbelecer fórul de tegrção resultte d proção de f por u polôo de gru. Sej p o polôo que terpol f os potos e b: p f f f Ass

111 b f d f d p d f f f d d d Resolvedo s tegrs obteos regr de Spso: f d [ f 4 f f ] Is Geoetrcete: Podeos ver cofore ostr fgur bo: p f b Iterpretção geoétrc d regr de Spso sples 8.4. Regr de Spso Repetd Aplcdo regr de Spso repetds vees o tervlo [ b] [ ]. Vos supor que... são potos gulete espçdos e é pr sto é codção ecessár pos cd prábol utlrá três potos cosecutvos. Ass tereos: b f d S [ f 4 f f 4 f f f f ] 8.4. Eeplos Eeplo : Clculr u proção pr Núero de tervlos: e d usdo regr de Spso co. b To do tervlo: b /. c terções: f c c. f

112 Σ S [ e e e e e 4e e ] 789 d étodo lítco: e d e ] e e Eercíco : Clculr o vlor de π ddo pel epressão 4 d cosderdo. S [ f 4f f 4f... f 8 4f 9 f ] 457 étodo lítco: 4 d 4 rctg ] 4.rctg rctg Eercíco : Clculr l d pel regr de Spso cosderdo dversos vlores pr e depos ltcete. S.5 S.5 S étodo lítco: l d l l 4 4 ] ] Eercíco : Clculr u proção pr d usdo Spso co..5 S.5 [ 4.5 ] 4...

113 étodo lítco: d 4 ]... Coo regr de Spso se pro por u prábol e sedo f u prábol o vlor d tegrl obtdo é eto depedete do úero de subtervlos utldo o cálculo. 9 Solução Nuérc de Equções Dferecs Ordárs 9. Itrodução A equção dferecl é defd coo u equção que evolve u fução e lgus de sus dervds d for: f [ ' ' '... ] N eger utlção de equções dferecs te coo objetvo descrever o coporteto dâco de sstes físcos. U equção dferecl pode descrever o coporteto dâco do crcuto ostrdo fgur: S Vts5t t... Ao fecr-se cve S pode-se lsr o coporteto dâco do crcuto prtr d Le de Krcoff pr tesões: d t V t R t L t dt dt C Dervdo equção: dv t d t d t R L t dt dt dt C Substtudo epressão d tesão e rerrjdo equção te-se: d t d t L R t cos5t dt dt C 5 9. Tpos de Equções Dferecs 9.. Equções Dferecs Ordárs São equções dferecs que possue pes u vrável depedete. Eeplos:

114 d d d dt d d dt dt é fução de ; é úc vrável depedete. e são fução de t; t é úc vrável depedete. é fução de t; t é úc vrável depedete. 9.. Equções Dferecs Prcs Qudo equção dferecl evolve s de u vrável depedete. Eeplo: u u u é fução de e ; e são vráves depedetes. 9. Solução de Equções Dferecs Deterds equções dferecs pode ser solucods de for sbólc cuj solução é u epressão lterl. Isto e sepre é possível. Neste cso solução é utlção de tegrção uérc coo será vsto sequêc. Eeplo : d d d d d d l c c c e e Observe que solução d equção dferecl result u fíl de curvs que depede d costte coo pode ser vsto fgur bo. U solução prtculr pode ser obtd prtr ds codções cs do proble. A especfcção de u codção cl defe u solução etre fíl de curvs.

115 Supo o eeplo ddo que o proble te coo solução cl e e A solução e é solução pr codção cl dd.. Portto: Qudo s codções cs estão ssocds u úco vlor d vrável depedete defe-se coo u proble de vlor cl PVI. Qudo s codções cs estão ssocds s de u vlor d vrável depedete defe-se coo u proble de vlor de cotoro PVC. Norlete probles tedo coo vrável depedete o tepo são probles de vlor cl. 9.4 Orde de u Equção Dferecl Ordár A orde d equção é deterd pel dervd de or orde. Sej o eeplo de u equção dferecl ordár de orde : f [ ' ' '... ] 9.5 Redução de Equções Dferecs Ordárs U equção ordár de orde superor pode ser redudo u sste de equções dferecs de prer orde. A redução é fet prtr d defção de vráves ulres. Sej equção dferecl de orde co tbé codções cs: f [ ' ' '... c c M ' c ] Est equção pode ser trsford e u sste de equções dferecs co equções coo descreve-se bo:

116 5 ]... ' ' ' [ ' ' 4 ''' ' " ' ' ' f M Te-se portto u sste co equções dferecs de prer orde:... ]... ' ' ' [ ' ' 4 ''' ' " ' ' ' f f f f f f M Co s codções cs dds por: c c c c c 4 ''' 4 " ' M Este rtfíco deve sepre ser utldo qudo d solução de equções dferecs por étodos uércos pos só pode-se tegrr uercete equções de prer orde. Observe que o sste de equções odel o coporteto dâco do proble. Eeplo 8.: Redur s Equções Dferecs Ordárs EDO s sstes de EDO s de prer orde. ' '' e ' ' " ' ' ' Resultdo o sste:

117 6 ' ' f f b cos ' '' ''' s '' ' Reescrevedo equção te-se: cos ' '' ''' s cos ''' ' " ' ' ' s Resultdo o sste: cos ''' ' " ' ' ' f s f f 9.6 Solução Nuérc de Equções Dferecs Ordárs Proble de Vlor Icl Cosdere equção dferecl ordár: ' f co codção cl A solução d equção dferecl c é u fução do tpo cofore lustrd bo: X X X X X...

118 7 Co solução uérc de u equção dferecl obté-se u proção pr os vlores... ou sej: j Cosder-se que otção j... dc solução et d EDO os potos... j e j... dc solução prod obtd por étodo uérco. s proções pr potos N solução uérc ão se deter epressão lterl d fução d fução. Co os vlores prodos obtdos pode-se plotr curv. E plcções d eger orlete estud-se o coporteto dâco de deterds vráves portto ecesst-se evolução ds vráves e fução d vrável depedete. Co curv plotd pode-se estudr est evolução Método de Euler Sej solução de u equção dferecl do tpo: d f d co vlor cl A solução dest equção result u fução coo ostrdo o gráfco: Ret Tgete o poto A prtr d equção dferecl pode-se observr que dervd d fução e u poto qulquer é dd por f. Coecedo-se dervd d fução o poto f ou sej [ ] pode-se estr o vlor d fução o poto por eo de relções trgooétrcs:

119 8 α tg α f f f Est relção pode ser geerld pr u poto qulquer resultdo for de recorrêc pr solução de equções dferecs pelo Método de Euler: f Eeplo: Acr proções pr solução o proble de vlor cl l [] e ddo por: ' pr A solução dest equção result e u fução coo ostrd fgur bo Resolvedo est equção trvés do Método de Euler reos deterr proções pr potos de.

120 f 9 f f f N fgur bo está plotd solução uérc e solução et observe que pr efetos prátcos podeos observr o coporteto dâco d vrável que é o quê orlete teress e plcções d eger..5 solução uérc solução et N tbel bo ostr-se os vlores clculdos coprdos os vlores etos: j j j j j j

121 9.7 Aálse do Erro pr o Método de Euler Solução Nuérc do Proble de Vlor Icl Os erros coetdos são de dus tures: Erros de trucetos cusdos pelo tpo de técc epregd pr tulção do vlor de ; b Erros de rredodetos cusdos pel rtétc de precsão ft utlds pelos coputdores dgts e pelo odo de se progrr. Os erros de truceto pode ser seprdos e dus prtes: Erro de truceto locl: erro coetdo u poto geérco k k dfereç do vlor prodo k k e o vlor o poto deterdo pel d solução d equção dferecl que pss e ; b Erro de truceto cuuldo: erros coetdos pels proções produds os Erro Acuuldo Erro Locl pssos terores. É deterdo pel dfereç etre o vlor prodo co o vlor eto k. Erro Acu. Erro Erro Locl k Solução d EDO e Solução d EDO e Erro Solução do PVI Sol. d EDO e O erro de truceto locl é deterdo pel epressão: E T! '' ξ < ξ < j j O vlor de ξ é descoecdo etretto pode-se defr u jorte pr o erro de truceto locl. Se possu dervd cotíu u tervlo fecdo está sedo fet dscretção etão este: M k k [ ] [ ] que coté os potos sobre os qus

122 Ass: ξ M ξ [ ] M ET k! Observe que o erro de truceto locl é proporcol o psso de tegrção o qudrdo. O erro cuuldo tbé pode ser ltdo por u jorte: Supo que represete solução úc do proble de vlor cl: ' f b α e... sej s proções gerds pelo Método de Euler. Se f for cotíu pr todo o tervlo [b] e todo o tervlo f L '' C e etão pr cd... : C L [ e ] L e d este s costtes L e C ts que: Pode-se observr que pr deterção dos erros de truceto locl e cuuldo ecesst-se do vlor ío d segud dervd de o que restrge su utlção prátc. Tbé é portte observr-se que o erro tede ero qudo tede ero. Tref: Sej o proble do Eeplo: ' pr A solução dest equção dferecl é dd por: e Detere o lte do erro cuuldo os potos d l [] co qudo d solução d equção dferecl pelo Método de Euler e copre co o erro rel clculdo o Eeplo Método de Euler Modfcdo Pr elorr quldde d esttv tgete ser cosderd ão é do poto cl do tervlo s o poto édo.

123 Ret Tgete o poto / Ret Tgete o poto / / Utldo o Método de Euler clcul-se o vlor / f : o eo do tervlo prtr d tgete / f / Co os vlores ' f / / / e / deter-se ret tgete o eo do trvlo: Esse vlor é ssudo represetr u clção éd do tervlo tero. Ass deter-se o vlor de o poto : ' f / / / Observe que dfereç e relção o Método de Euler orl é utlção d clção o eo do tervlo. Eeplo: Rept o eeplo teror utldo o Método de Euler Modfcdo. ' pr l []. Os resultdos prcs são presetdos segur de cordo co sequêc: f j j ' j f j / j / j j j / j j / j j j j j j res /

124 j edo.5 edo j.5 j. erro e-4 j edo.5 edo.975 j.95 j. erro.9485e-4 j edo.5 edo.8775 j.4765 j. erro e-4 j 4 edo.5 edo j j.4 erro e-4 j 5 edo.45 edo j j.5 erro e-4 j 6 edo.55 edo j j.6 erro e-4 j 7 edo.65 edo.7989 j j.7 erro e-4 j 8 edo.75 edo j j.8 erro e-4 j 9 edo.85 edo j j.9 erro e-4 j edo.95 edo j j. erro e-4 N tbel bo ostr-se os vlores clculdos coprdos os vlores etos: j Eto Euler Erro Euler Mod. Erro j j j j j j j j

125 Método Heu No Método de Euler Modfcdo clção do tervlo é deterd o poto édo do tervlo. No Método de Heu clção do tervlo é deterd pel éd rtétc ds clções o íco e o f do tervlo. Pr o cálculo d clção o f do tervlo f-se u esttv do vlor d solução pelo [ f ] Método de Euler co o vlor d lção do íco do tervlo : f Observe que o superescrto e deterção d clção o poto ou sej: ' f é pr dcr que é pes u esttv que será utld pr Tgete o Iíco do Itervlo f Tgete o F do Itervlo f Tgete Méd do Itervlo [ f f ] / Co o vlor d clção o fl do tervlo pode-se deterr o vlor d clção éd do tervlo por eo d éd rtétc: Iclção Méd [ f f ]

126 5 O vlor d fução o f do tervlo é ddo por: [ ] f f Observe que o cálculo do vlor d fução o f do tervlo pode ser repetdo té que se lcce u deterd covergêc ou sej: [ ] f f [ ] f f M [ ] f f k k A cd ov correção pode-se fer u teste do tpo: ε k k Cso estej detro de u tolerâc cl pode-se prr correção. O Método de Heu se equdr os cdos étodos prevsor corretor. F-se u esttv co o prevsor e se elor esttv trvés do corretor. O corretor pode ser repetdo té u covergêc deterd. Prevsor: f Corretor: [ ] f f Eeplo: Rept o eeplo 8. utldo o Método de Heu co u terção de correção. ' pr l []. Os resultdos prcs são presetdos segur de cordo co sequêc: f [ ] f f

127 j..5 erro e-4 6 j erro.9485e-4 j erro e-4 j erro e-4 j erro e-4 j erro e-4 j erro e-4 j erro e-4 j erro e-4 j erro e-4 j Eto Euler Erro Heu Erro j j j j j j j j

128 Eeplo 8.6: Rept o eeplo 8. utldo o Método de Heu co três terção de correção. ' pr l []. Os resultdos são presetdos tbel segur: j j Eto j Heu Erro Corr. j j j Heu Erro Corr j j j 9.8. Método Ruge-Kutt O Método de Ruge-Kutt é deterdo prtr d Sére de Tlor e su epressão de recorrêc é dd por: φ φ ode é cd de fução creeto e pode ser terpretd co u clção éd sobre o tervlo. Geercete: φ... k k k f k k M k f p qk f p qk qk f p q k q k... q k k

129 Dervção do Método de Ruge-Kutt de Segud Orde k k f k k q p f k Deve-se deterr os vlores ds costtes q e q. Epde-se e Sére de Tlor:! ' f f 4 Deter-se ' f pel Regr d Cde: d d f f f ' 5 Substtudo epressão 4:! d d f f f 6 A estrtég do Método de ruge-kutt é trvés de pulções lgébrcs torr s epressões e 6 equvletes. Epde-se epressão e Sére de Tlor: f k q f p f k q p f Ο 7 Substtudo 7 e : f f q f p f f Ο 8 Regrupdo os teros: ] [ ] [ f f q f p f f Ο 9 Coprdo os teros ds equções 6 e 9: q p Observe que te-se três equções e qutro cógts portto te-se fts soluções. Portto este ftos forulções pr o Método de Ruge-Kutt de Segud Orde. É portte relçr que o Método de Heu co u terção de correção e o Método de Euler Modfcdo pode ser clssfcdos coo Métodos de Ruge-Kutt de Segud Orde Método de Heu

130 Assudo : 9 p q k k k f k f k k - clção o íco do tervlo k - clção o f do tervlo Método de Euler Modfcdo Assudo : p q k k f k f k O Método de Ruge-Kutt s coecdo é o Método de Rlsto. Este étodo propc u lte ío pr o erro de truceto dos lgortos de Ruge-Kutt de Segud Orde Método de Rlsto Assudo : p q 4 k k k f k f k 4 4

131 Eeplo: Itegre fução f 85 de té 4 psso de tegrção 5 co s três versões do Método de Ruge-Kutt de Segud Orde. Codções Ics: Pr Método de Heu k k k f k f k k k k f k f k f k k Método de Euler Modfcdo: k k f k k k f k k f f k f 85 f k Método de Rlsto: k k k f 5 5 k f k 4 4 k k k f k f k f f

132 k k N tbel segur ostr-se o resultdo pr os pssos de tegrção segutes: eto Heu Erro % Euler Mod. Erro % Rlsto Erro % Método de Ruge_Kutt Tercer Orde De for seelte o que se fe pr o Método de Ruge_Kutt de Segud Orde pode-se deterr pr ordes s elevds. As forulções ão são úcs. Apreset-se segur u dsforulção s utlds: [ k 4k k ] 6 k f k f k k f k k 9. Método de Ruge_Kutt Qurt Orde [ k k k k 4 ] 6 k f k f k k f k k 4 f k Eeplo: Itegre fução f 85 de té 5 psso de tegrção 5 co o Método de Ruge-Kutt de Qurt Orde. Codções Ics: Pr [ k k k k 4 ] 6 k f 85 85

133 k f k f f k f k f f k f k f f [ k k k k 4 ] [ ] Métodos de Pssos Múltplos Nos étodos vstos terorete cd ov esttv d fução utlv-se forção de u úco poto teror. Coo é o cso do Método de Euler ostrdo fgur: Esttv prtr de u úco poto No cso dos étodos de pssos últplos utl-se forção de s do que u poto teror.

134 Estdo prtr de forções coecds de potos terores Idé Bsc dos Métodos de Pssos Múltplos Sej equção dferecl: ' d d f Desej-se u ov esttv d solução o poto. Itegr-se equção dferecl de : ' d f d f d f d Pr ov esttv tegrl f d é prod por lgu for de qudrtur uérc. Os Métodos de pssos últplos são clssfcdos e eplíctos e plíctos.

135 9.. Métodos Eplíctos 4 Os étodos eplíctos qudo d ov esttv d solução o poto utl forções de potos terores. Deve-se coecer:... P. A prtr desses ddos pro-se fução f por u polôo de gru. P d 9.. Algortos de Ads-Bsfort de orde : f : [ f f ] : [ f 6 f 5 f ] 4 4: [ 55 f 59 f 7 f 9 f ] 9.. Métodos Iplíctos Os étodos plíctos qudo d ov esttv d solução o poto utl forções de - potos terores e u esttv cl o poto. Deve-se coecer:.... A prtr desses ddos pro-se fução f por u polôo P de gru. P d A dé dos étodos plíctos é utlção coo u lgorto corretor. Coo vsto o Método de Heu. Utl-se u lgorto prevsor que pode ser lgortos d fíl Ads- Bsfot e se corrge co u étodo plícto Algortos de Ads-Moulto de orde : f

136 : [ f f ] 5 : [ 5 f 8 f f ] 4 4: [ 9 f 9 f 5 f f ] É cou utlção dos étodos plíctos juto co os étodos eplíctos. Os Algortos d fíl Ads-Bsfot são utldos coo prevsores e os lgortos d fíl Ads-Moulto coo corretores Pssos pr se obter I Clculr por u étodo eplícto fíl Ads-Bsfot. II Iclr o cotdor de terções k. k. III Clculr f IV Clculr k utldo u étodo plícto fíl Ads-Moulto. V Testr se k k k < ε se postvo creetr o cotdor k k e voltr o psso III. E cso cotráro clcule o próo psso de tegrção. Observção : Pr utlção dos lgortos d fíl Ads-Bsfort co > ecesst-se de forção de s potos lé ds codções cs. Pr dr íco o lgorto pode-se utlr qulquer dos étodo de tegrção vstos pr estr os potos ecessáros. Eeplo: Solucoe equção dferecl bo usdo o Método de Ads-Bsfort de orde coo prevsor e o Método de Ads-Moulto de orde coo corretor. Eecute tres terções do corretor pr cd esttv. ' f t t e t t Copre o resultdo co o vlor rel: t t l t Pr Utlr o Método de Ads-Bsfort de orde três ecesst-se de forções d fução e três potos. Coo teos pes codção deve-se estr e s dos potos. Utldo Ruge-Kutt de Qurt Orde ceg-se os segutes vlores:

137 Pr t 4 6 Pr t 5 Co os três potos pode-se relr prevsão pr o psso segute utldo Ads- Bsfor: [ f t 6 f t 5 f t ] 5 f [ f 5 6 f 4 5 ] 94 Co o vlor d prevsão clculdo clcul-se três terções utldo Ads-Moulto: [ 5 f t 8 f t f t ] 5 f [ 5 f 94 8 f 5 4 ] 99 5 f [ 5 f 99 8 f 5 4 ] 98 5 f [ 5 f 98 8 f 5 4 ] 98 Segudo est orde clcul-se os vlores pr os pssos segutes. Os resultdos e plotge dos vlores clculdos e etos são presetdos bo: t eto

138 Os gráfcos co os vlores etos e estdos se cofude. 9. Solução de Sstes de Equções Dferecs Sej o sste de equções dferecs: d d d d d M d f f f A solução de u sste dest ture requer o vlor cl e pr s vráves. Todos os étodos vstos pode ser utldos solução. O procedeto pr solução do sste evolve solução do psso de cd equção tes de pssr-se o psso segute. Eeplo: Solucoe o sste de equções dferecs usdo o Método de Euler tegrdo de co psso 5 e codções cs e dds por 4 e 6.

139 d d d d 5 4 f f 8 A solução deste sste result e dus fuções: e. A solução uérc result e proções de potos desss fuções. Adot-se u otção seelte o cso de u equção trodudo u ovo ídce pr dcção ds vráves depedetes: vlor estdo pr o poto pr k. k j k j Pr solução do proble ecesst-se: j j j j Pr j e 5 f f Pr j e f f Pr j e 5 f

140 f Pr j 4 e 4 f f Resultdo os vlores tbeldos: J j j j Eeplo: Solucoe o sste de equções dferecs do eeplo 8.9 utldo o Método de Ruge_Kutt de Qurt Orde. d d d d 5 4 f f Pr solução do proble ecesst-se: j j j j

141 Pr solução de u úc equção te-se: [ k k k k 4 ] 6 k f k f k k f k k 4 f k Pr o cso de u sste ecesst-se de u ov deção: Sej u sste co equções. Assue-se que te sdo deterds s proções pr o psso j:... ]. Pr se obter s ovs proções [ j j j j... ] do psso j ecesst-se clculr s costtes segute [ j j j j sequêc: Pr... deter-se: k f Clculdos todos os j j j j Clcul-se pr... : k k f j j k j k... j k Clculdos todos os Clcul-se pr... : k k f j j k j k... j k Clculdos todos os Clcul-se pr... : k k f k k... k 4 j j j j

142 Clculds tods s costtes pode-se deterr pr pro o psso j.... s ovs esttvs 4 j j [ k k k k 4 ] 6 Pr o eeplo te-se ov esttv o psso j é dd por: [ k k k k 4 ] 6 [ k k k k 4 ] 6 k f j j j k f j j j k f j j k j k k f j j k j k k f j j k j k k f j j k j k k 4 f j j k j k k 4 f j j k j k Pr o psso do eeplo: k f f k f f k f k k f k f k k f

143 k f k k f k f k k f k 4 f k k f k 4 f k k f Resultdo s ovs proções: [ k k k k 4 ] 6 4 / 6 [ ] 5 5 [ k k k k 4 ] 6 6 / 6 [ ] Os Resultdos psso à psso são ddos bo: J k - k.8 k -.75 k.75 k -.78 k.75 k k j k k.6 k -.69 k.5478 k -.87 k.549 k4 -.8 k j k -. k.4678 k -.64 k.88 k -.84 k.9 k k j4 k k. k k.8 k k.48 k k Resultdo tbel:

144 4 j j j j Eeplo: Resolv equção dâc do crcuto cosderdo que tes do feceto d cve S ão v eu eerg red o crcuto R Ω L H e C 5F tegrdo de t t5seg co psso de tegrção e o Método de Ruge-Kutt de Qurt Orde S Vts5t t...6 Ao fecr-se cve S pode-se lsr o coporteto dâco do crcuto prtr d Le de Krcoff pr tesões: d t V t R t L t dt dt C Dervdo equção: dv t d t d t R L t dt dt dt C Substtudo epressão d tesão e rerrjdo equção te-se: d t d t t 5 cos5t dt dt

145 ' ' ' t t t 5 cos5t 44 Coo ão v eu eerg red o crcuto s codções pr t são uls d ou sej: e. dt Iclete deve-se trsforr equção de segud orde u sste co dus equções: t t ' ' t t t ' ' ' ' 5 5 t t t t cos5t t t cos5t Te-se o segute sste: ' t f t t t ' ' ' 5 t t t t cos5t f t t t Os resultdos d tegrção são ddos pel tbel: t t t t ' t

146 Os vlores são plotdos fgur:

147 Utldo o MATLAB 46 Flrção co o bete de trblo e sslção dos codos prcps. A ferret de suporte coputcol utld o logo deste curso será o MATLAB.. Ste de codos Utle fução elpw <codo>. Operções rtétcs dção subtrção - ultplcção * dvsão / potecção ^ O MATLAB eecut s operções rtétcs d esquerd pr dret respetdo errqu estete teátc. E.:» ^-5-6/* s. Vráves Pr detfcção ds vráves o MATLAB dferec úsculs e úsculs. Não é ecessár locção de eór pr s vráves pos o MATLAB o frá utotcete ss que u vlor é trbuído u vrável pel prer ve. A trbução é reld d segute for:» O cesso é reldo trvés do oe d vrável:» U vrável só pode ser cessd se já fo crd sto é se lgu vlor já fo trbuído à es. No eeplo bo vrável é cessd se ter sdo crd:» b??? Udefed fucto or vrble 'b'. O codo wo ostr s vráves que estão sedo utlds o oeto e o codo cler eclu s vráves do bete de trblo do MATLAB. 4. Crcteres especs usdos jel de codos

148 47 Codo de trbução [ ] Deltr eleetos de tres e vetores Alterr orde de precedêc ds epressões rtétcs. Poto decl Sepr rguetos de fuções e eleetos tres e vetores ; Fldor de l co supressão de pressão % Coetáro : Gerção de u vetor co tervlos defdos 5. Fuções teátcs báscs cos s Arco-coseo Arco-seo t Arco-tgete cos Coseo cos Coseo perbolco ep Epoecl co bse e log Logrto turl log Logrto decl rd Ger úeros letóros co dstrbução ufore rd Ger úeros letóros co dstrbução orl rt Aproção rcol roud Arredod o úero pr o tero s próo sg Retor se for postvo e se for egtvo s Seo s Seo perbólco sqrt R qudrd t Tgete t Tgete perbólc O MATLAB trbl co âgulos e rdos. 6. Operções co vetores Os vetores deve ser declrdos e colcetes:» u [ 4] u 4 O eso resultdo ser obtdo co:» u [4] u 4 As operções rtétcs são relds eleeto eleeto do vetor:» u

149 A operção co pes u eleeto do vetor pode ser fet especfcdo o eleeto ser trtdo:» Se quser sber o úero de eleetos do vetor utle fução legt:» legt s 4 A trspost é clculd utldo o síbolo :» w ' w Operções especs:.* Multplcção de vetores./ Dvsão à dret de vetores.\ Dvsão à esquerd de vetores.^ Epoecção E.:» ult u.* ult 4 8 Pr gerção de vetores utldo tervlos:» :: Fuções útes o trteto de vetores: e Devolve o or dos copoetes do vetor Devolve o eor dos copoetes do vetor Devolve o vlor édo dos copoetes do vetor E.:

150 » e 49 s 5 7. Operções co tres A tr pode ser defd de er seelte os vetores dferecdo-se pes ecessdde d dgtção de u ; pr seprção ds dferetes colus:» [ ;4 5 6;7 8 9] As tres pode Ter eleetos detfcdos dvdulete:» s 4 O to d tr pode ser obtdo pel fução se:» se s Pr etrr u subtr de u tr:» b :: b 4 5 Pr serr u l tr:» c [b; ] c 4 5 Ns operções de dção e subtrção os eleetos de u tr são sodos ou subtrídos co o seu correspodete outr tr qudo tres de eso to. A ultplcção e dvsão por esclres é efetudo eleeto eleeto d tr.» dv * dv

151 A epoecção dvdul dos eleetos de u tr pode ser feto:» ep.^ ep A ultplcção de tres só pode cotecer se o úero de colus de u tr for gul o úero de ls d outr.» se s» sedv s» ult *dv ult A f de ostrr dvsão de tres vos defr dus ovs tres:» [5 8;7 ; 5 ];» [ - ;-5 ; 4];» dv / dv » dvv \ dvv

152 5 A potecção de tres eqüvle sucessvs ultplcções por el es:» pot ^ pot A trspost d tr é obtd por:» trs ' trs Fuções pr trtr tres: det ee v oes rd trl tru eros Deterte de u tr Ger u tr detdde Clcul vers d tr Ger u tr utár Ger u tr rdôc Trsfor/ger u tr trgulr feror Trsfor/ger u tr trgulr superor Ger u tr de eros ul 8. Núeros Copleos A prte gár do úero copleo pode ser sbold pels letrs e j dsttete. E.:» O cojugdo do úero copleo pode ser obtdo utldo fução coj:» coj As operções co úeros copleos utl os operdores usus. A potecção coo vsto co s tres correspodete à ultplcção sucessv do úero por ele eso. Fuções útes pr trblr co úeros copleos: rel Retor prte rel do úero copleo

153 g bs gle 9. Polôos Retor prte gár do úero copleo Retor o ódulo do vetor copleo Retor o âgulo do vetor copleo 5 Sej o polôo: X 4-4 No MATLAB ele é defdo d segute for:» pol [ - 4-4] pol Pr ecotrr s ríes deste polôo usos o codo roots:» r rootspol r Co s ríes do polôo pode-se obter os coefcetes deste usdo fução pol:» p polr p A fução cov é utld pr ultplcção de polôos:» p [ ];» p [5 -];» p covpp p - - Já fução decov é utld pr dvsão:» [Q R] decovpp Q 5 - R. Ecotrdo elor curv prtdo de ddos eperets

154 5 O MATLAB perte fer terpolção polol prtdo-se de ddos eperoets utldo o codo polft. Os potos eperets bo represet posção de u óvel o logo do tepo: Sc ts 4 5 Vos defr os vetores co ddos eperets: S [ ];» t [ 4 5]; Agor vos trçr os potos pr veros evolução dos esos:» plotts'' Agor reos trçr ret obtd sobre os ddos eperets:» pol polftts pol » old o;» t :.:5;» S polvlpolt;» plotts;

155 Gráfcos e D Os prcps codos utldos pr crção de gráfcos são: plot ttle lbel lbel tet gtet grd Plot u vetor ou u fução Adco título o gráfco Adco u rótulo o eo Adco u rótulo o eo Isere u teto u deterd posção d jel gráfc Isere u teto o gráfco usdo o ouse coo poscodor Trç ls de grde A fortção de cor e estlo d l pode ser fclete justdos trvés de rguetos do codo plot. Cor d L Estlo d L Crcter Cor Crcter Estlo rel. poto rget o círculo c c rc r verel s g verde * stersco b ul - sóldo w brc : potldo k pret -- trcejdo. Progrdo co o MATLAB Os operdores relcos queles que respode u deter operção co verddero e flso e que são sboldos respectvete por e. A tbel segur relco operdor co descrção: Operdor Descrção < Meor que < Meor ou gul > Mor que

156 > Mor ou gul Igul ~ Dferete 55 No MATLAB teos os segutes operdores lógcos: Operdor Descrção & AND OR ~ NOT As rots especs de progrção estão descrts bo: Rots For <cod> ed wle <cod> ed f <cod> elsef ed f <cod> else ed brek retur puse Descrção Ger u loop euerável Ger u loop equto u codção <cod> for verdder Codo eecutável codcol Codo eecutável codcol Sr for de u loop for ou wle Retorr u fução rquvo. Pr u poto do progr té que se perte qulquer tecl Esss rots ssocds os úeros recursos oferecdos pelo MATLAB propc o usuáro desevolver desde sples progrs té os s sofstcdos. Objetvo : Desevolv u progr pr o cálculo do produto tero. T... T... T Objetvo : Desevolv u progr pr o cálculo do produto etre dus tres. A p B p C A B p cj kbkj k Objetvo 4: Rele s segutes operções o MtLb:.988 :.:..^7 7*.^6 *.^5 5*.^4 5*.^ *.^ 7* ; plot O resultdo obtdo é o esperdo? Se ão for o esperdo qul eplcção pr obter-se tl resultdo. Rele gor operção

157 .988 :.:..^7; plot 56 Alse e copre os resultdos. Objetvo 5: Represetção do úero e bse edecl. Represetção o MATLAB: s e f s e f bt bts 5 bts Coo represetção d tss fcr o MATLAB? Cofre co os codos: T.; Fort e t Objetvo 6: Cosdere o sste de equções leres:.. U solução óbv pr o sste é e. Utldo o MtLb co os codos: A[ ;.]; b[;.]; A\b solucoe o sste. Alse o resultdo e justfque. Objetvo 7: Arquvos M-fle. Ebor você poss trblr terete s ls de codo do MATLAB você tbé pode rer e rquvos eteros. Esses rquvos são equvletes progrs fuções subrots e procedetos de outrs lguges. Os rquvos M-fle são crdos prtr do edtor do MATLAB. Abo preset-se u rquvo pr o cálculo d r qudrd de u úero rel or ou gul ero. Coloque este rquvo o forto M-fle e eecute-o. fucto [ter]sqrttol %sqrt R qudrd de u úero rel or que ero pelo Método de Newto. % sqrttol clcul r do úero rel utldo o Método de Newto % é ssudo ser or ou gul ero % tol é tolerâc de covergec defult eps - eps - epslo d áqu % [ter]sqrttol retor tbé o úero de terções ter pr co- % vergêc. f rg<toleps;ed ; ter; dfff; fprtf' k _k erro reltvo\' wle dff>tol terter; old; //; dffbs-old/bs; fprtf'%.f: %.6e %9.e\'terdff f ter>5 error'não covergu pos 5 terções' ed ed

158 57 Objetvo 8: Itrodução o Método d Bsseção pr o cálculo de ríes de fuções. Algorto:. Etrd:. fução f. tervlo de covergêc [b]. tolerâc ε.4 úero de terções L. f f; f fb 4. Teste de vbldde de tervlo: 4. Se f*f > 4.. Erro Etrd 4.. Etrr co ovo tervlo 4. Seão b Equto f > ε ou f > ε e < L 5. X 5* 5. f f 5. Se f*f < f f 5.4 Seão f f se > L 6. Não tgu etdão e L terções 7. Seão 7. A etdão fo tgd e - terções e r é 8. F Objetvo 9: Sej fução f e / Copute o MtLb fução por eo do lgorto: Algorto : Se f Cso cotráro f e / F Clcule pr co vrdo de -5-6 co psso. Alse o resultdo e verfque o que está cotecedo. Copute gor co u lgorto tetcete equvlete: Algorto : e

159 Se f Cso cotráro f / l F 58 Clcule tbé pr co vrdo de -5-6 co psso. Alse o resultdo e verfque o que está cotecedo. Copre os resultdos e presete s coclusões.

160 59 Referêcs Bblográfcs [] BARROSO Leôds C. et. l. Cálculo Nuérco co Aplcções edção Edtor Hrbr São Pulo 987. [] CLAUDIO Dlcdo M. MARINS Jussr M. Cálculo Nuérco Coputcol edção Atls 994 [] SANTOS Vtoro R. B. Curso de Cálculo Nuérco 4 edção LTC 98. [4] RUGGIERO Márc A. G. LOPES Ver Lúc R. Cálculo Nuérco: Aspectos Teórcos e Coputcos edção Mkro Books São Pulo 996. [5] CAMPOS R. J. A. Cálculo Nuérco Básco. ª edção Atls 978 [6] CAMARGO W. C. M. Apostl de Cálculo Nuérco. Deprteto de Iforátc. UFPR.