Integração Numérica Regras de Newton Cotes

Transcrição

1 Integrção Numérc Regrs de Newton Cotes Aproxmr função ntegrnd por um polnómo nterpoldor, utlzndo pr nós de nterpolção os extremos do ntervlo e nós gulmente espçdos no nteror do ntervlo If ( ) fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) I( f) n prmtvr o polnómo n=0 (nterpolção gru zero) regrs do rectângulo à esquerd, à dret e do ponto médo f(x) f(x) f(x) I (f) I (f) I (f) (+)/ I ( ) ( ) f f ( ) ( ) I f f I( f) ( ) f

2 Integrção Numérc Regrs de Newton Cotes n= (nterpolção lner) regr do trpézo f(x) p(x) I (f) f ( ) f ( ) I( f) ( ) f( ) f( ) n= (nterpolção qudrátc) regr de Smpson p(x) f(x) I (f) f ( ) 4 f(( )/) f ( ) I( f) ( ) 6 f ( ) 4 f f ( ) 6 (+)/

3 Integrção Numérc Dedução d regr de Smpson n= (nterpolção qudrátc) Formul de Lgrnge p ( x) y L ( x) y L ( x) y L ( x) 0 0 ( x x ) ( xx ) ( x x ) ( xx ) ( xx ) ( xx ) p ( x) y y y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x0 x x0 x xx0 xx xx0 xx ( x x) ( xx) ( x x0) ( xx) ( xx0) ( xx) p( x) y0 y y x 0 II p(x) f(x) I (f) x x II ( xx) ( xx) ( xx0) ( xx) ( xx0) ( xx) I( f) p( x) dxy0 dxy dxy dx ( xx) ( xx) ( xx0) ( xx) ( xx0) ( xx) dx dx dx???

4 Integrção Numérc Dedução d regr de Smpson Introduzndo vrável uxlr z = x x (z édstâncx ) z x x x z x x x zx x z x x z x x z 0 0 x 0 II x x II ( ) ( ) ( ) dx dz ( z z) dz ( ) x x x x z z z z 0 dx dz ( z ) dz ( z ) ( x x ) ( x x ) ( z ) ( z ) z 4 4 ( xx0) ( xx) ( ) dx dz ( z z) dz ( ) z z z z

5 Pelo que Integrção Numérc Dedução d regr de Smpson ( x x) ( x x) ( x x0) ( x x) ( x x0) ( x x) I( f ) p( x) dx y0 dx y dx y dx / 4 / / 4 I( f) p( x) dxy0 y y Fnlmente, tendendo que =( )/, result p(x) f(x) I (f) 4 ( ) I( f) y0 y y x 0 II x x II I( f) f( ) 4 f f( ) 6

6 Integrção Numérc Regrs de Newton Cotes Pr clculrmos o erro ssocdo cd regr de Newton Cotes podemos ntegrr o erro d proxmção efectud f( x) p ( x) E( x) f( x) p ( x) f[ x, x,..., x, x] W ( x) n n 0 n n fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) E fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) fx [, x,..., x, x] W( xdx ) ( ) n n 0 n n Em fce do vlor deste ntegrl é possível deduzr um expressão específc pr cd um ds regrs Ponto médo: rpézo: Smpson: E f''( ) ( ) 4 E f''( ) ( ) E f''''( ) ( ) [, ]

7 el com lgums regrs de Newton Cotes n+ pontos 0 n, f f( ) n Rectângulo à esquerd, à dret I ( f) ( ) f( ), I ( f) ( ) f( ) ( ) '( ) E f Ponto médo I f f ( ) ( ) ( )/ ( ) () ( ) E f 4 rpézo Smpson /8 (de Smpson) Boole I( f) f f ( ) f ( ) f I( f) f 4f f 6 0 I( f) f f f f I( f) 7f f f f 7f ( ) () ( ) E f 5 (4) E ( ) f ( ) (4) E ( ) f ( ) (6) E ( ) f ( ) 9560 Not: Algums formuls de ordem superor exem pesos negtvos, fcto consderdo ndesejável

8 Regr do trpézo corrgd O polnómo nterpoldor pode nterpolr tmém dervd(s) d função. O cso ms usul é consderr um nterpolção de Hermte utlzndo pr nós os extremos do ntervlo[,] Regr do rpézo corrgd (polnómo nterpoldor de gru ) Aproxmndo função ntegrr por um polnómo de Hermte, com nformção dfunção e d prmer dervd, consderndo pr nós de nterpolção os pontos extremos do ntervlo result, f(x) ( ) I ( ) ( ) ( ) '( ) '( ) p(x) f f f f f A formul possu dos termos: um termo que tem os vlores d função, e que é dêntco à regr do trpézo, e um termo que têm os vlores ds dervds. O termo ds dervds pode ser entenddo como um correcção o termo que têm os vlores d função. Por ess rzão regr desgn se por regr do trpézo corrgd I (f) A expressão do erro correspondente é, ( ) 5 (4) ( ) E f 70

9 Integrção Numérc Gru de um regr Um regr dz se de gru n se ntegrr sem erro todos os polnómos de gru n eexstr pelo menos um polnómo de gru n+ que não é ntegrdo exctmente. Exemplos: Regr do rpézo (polnómo nterpoldor de gru ) Atendendo o gru do polnómo nterpoldor, regr ntegr (pelo menos) funções lneres. f(x) p(x) E ( ) f ''( ) I (f) D nálse (d ordem d dervd) d expressão do erro, constt se que funções de gru (logo com segund dervd nul) são ntegrds sem erro e que funções de gru (logo com segund dervd não nul) são ntegrds com erro, logo regr do trpézo tem gru

10 Integrção Numérc Gru de um regr Exemplos (cont.): Regr do ponto médo (polnómo nterpoldor de gru 0) f(x) Atendendo o gru do polnómo nterpoldor, regr ntegr (pelo menos) funções constntes. I (f) () E ( ) f ( ) 4 (+)/ Contudo, d nálse (d ordem d dervd) d expressão do erro, constt se que funções de gru (logo com segund dervd nul) são ntegrds sem erro e que funções de gru (logo com segund dervd não nul) são ntegrds com erro, logo regr do ponto médo tem gru f(x) I (f) (+)/

11 Exemplos (cont.): Integrção Numérc Gru de um regr Regr de Smpson (polnómo nterpoldor de gru ) Atendendo o gru do polnómo nterpoldor, regr ntegr (pelo menos) funções qudrátcs. p(x) f(x) I (f) 5 (4) E ( ) f ( ) 880 (+)/ Contudo, d nálse (d ordem d dervd) d expressão do erro, constt se que funções de gru (logo com qurt dervd nul) são ntegrds sem erro e que funções de gru 4 (logo com qurt dervd não nul) são ntegrds com erro, logo regr do ponto médo tem gru

12 Dedução lterntv d regr de Smpson Exercíco: ) Deduzr o vlor dos pesos A de modo à regr segunte ter o mor gru possível. If ( ) fxdx ( ) ( ) A f( ) A f(0) A f ( ) I( f) ) Indcr o gru d regr e expressão do erro. p(x) I (f) f(x) Not: Devdo à lnerdde do operdor ntegrl, se regr ntegrr semerroosmonómos,x, x,..., x n, então ntegr sem erro todos os polnómos de gru n 0 n p ( x) dx x x... x dx dx xdx x dx... x dx n n 0 n 0 n Resolução: If ( ) fxdx ( ) ( ) I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) emos ncógnts (A, A, A ) necesstmos de equções

13 fx ( ) Dedução lterntv d regr de Smpson If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) A A A A AA fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) 0 I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) A( ) A0A A A 0 A A fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) A( ) A0 A A A AA

14 Dedução lterntv d regr de Smpson Result o sstem de equções lneres ( ncógnts) AAA A A AA Gru d regr de Smpson Solução A A 6 A 4 6 Ou sej, I ( f) A f( ) A f(0) A f( ) I( f) f 4f 0 6 Pelo modo como fo construíd, regr tem (pelo menos) gru. erá gru? f fx ( ) x 4 x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 If fxdx x dx I( f) f f f If ( ) 0 I( f), pelo que tem gru

15 Dedução lterntv d regr de Smpson erá gru 4? fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I( f) f f f If ( ) I( f) 5 6 pelo que não tem gru 4, ou sej regr de Smpson tem gru Qul expressão do erro? A plcção d regr um polnómo de gru não orgn erro, ms um polnómo de gru4jáorgn.entãoexpressãodoerroserádotpo,e = C.f (4) () Qul o vlor de C? Se f(x)=x 4,entãof (4) =4, pelo que E =4C. 4 Então, 4 C C ( ) Por outro ldo, E I( f) I( f) E f (4) resultndo, ( ) ( ) 5

16 el com lgums regrs de Newton Cotes n+ pontos 0 n, f f( ) n Rectângulo à esquerd, à dret I ( f) ( ) f( ), I ( f) ( ) f( ) ( ) '( ) E f Ponto médo I f f ( ) ( ) ( )/ ( ) () ( ) E f 4 rpézo Smpson /8 (de Smpson) Boole I( f) f f ( ) f ( ) f I( f) f 4f f 6 0 I( f) f f f f I( f) 7f f f f 7f ( ) () ( ) E f 5 (4) E ( ) f ( ) (4) E ( ) f ( ) (6) E ( ) f ( ) 9560 Not: Algums formuls de ordem superor exem pesos negtvos, fcto consderdo ndesejável

17 Regrs de ntegrção Integrção Numérc Regrs de Guss N If ( ) fxdx ( ) ( ) p( xdx ) ( ) A fx ( ) I( f) n nós de nterpolção Em Newton Cotes os nós de nterpolção estão defndos à prtd (nós equdstntes), o que lmt o gru de exctdão d regr de ntegrção Regrs de ntegrção de Guss Ns regrs de Guss posção dos nós de nterpolção é escold do melor modo possível I( f) Af( x) Os pesos A e loclzção x são prâmetros defnr Dspomos de N prâmetros (os vlores dos pesos A e loclzção dos pontos x ) N regr terá gru N

18 Regr de Guss com pontos Exercíco: ) Deduzr o vlor dos pesos A e loclzção ds csss x de modo à regr segunte ter o mor gru possível. ) Indcr o gru d regr. If ( ) fxdx ( ) ( ) A fx ( ) A fx ( ) I( f) Not: Devdo à lnerdde do operdor ntegrl, se regr ntegrr sem erro os monómos, x, x,..., x n, então ntegr sem erro todos os polnómos de gru n n p ( x) dx x x... x dx dx xdx x dx... x dx n n 0 n 0 n Resolução: If ( ) fxdx ( ) ( ) I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x emos 4 ncógnts (A, A, x, x ) necesstmos de 4 equções

19 fx ( ) Regr de Guss com pontos If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A A A A f ( x) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) 0 I ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A xax 0 fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A( x) A( x)

20 Regr de Guss com pontos fx ( ) x 4 x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 4 If fxdx x dx I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f A f x A f x A x A x A ( x ) A ( x ) 0 Result o sstem de 4 equções não lneres ( 4 ncógnts) AA AxAx 0 A( x) A( x) A( x) A( x) 0 Solução A A x x Ou sej, I( f) Af( x) Afx ( ) I( f) f f

21 Gru d regr de Guss com pontos fx ( ) x 4 Regr de Guss com pontos Pelo modo como fo construíd, regr tem (pelo menos) gru. erá gru 4? 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 x If fxdx x dx I( f) f f If ( ) I( f) 5 9 pelo que não tem gru 4, ou sej regr de Guss com pontos tem gru s regrs de Guss com N pontos tem gru N

22 Comprção d regr do trpézo com regr de Guss rpézo ( pontos) f(x) I (f) I( f) f( ) f( ) Gru Guss com pontos f(x) I f A f x A f x ( ) ( ) ( ) Gru I (f) Pr [, ] [, ] x x I( f) f f

23 Regrs de Guss Legendre If ( ) fxdx ( ) A fx ( ) I( f) Pr Guss Legendre os pesos A e loclzção dos pontos x encontr se teldo pr o ntervlo [,]=[,+]. N Pr utlzrmos nformção ds tels é necessáro efectur um mudnç de vrável pr o ntervlo [,+], II If ( ) fxdx ( ) f x( ) J( ) d F( ) d A F( ) I( f) dx d F ( ) Mudnç de vrável pr o ntervlo [,+] N + x dx x( ), J d

24 Regrs de Guss Legendre no ntervlo [,+] If ( ) F( ) d N I ( f) A F( ) Nº de pontos, N Acsss Pesos A 0 0 / ( 6 / 5) / 7 ( 6 / 5) / 7 (8 0) 6 (8 0) 6 O erro ssocdo às formuls de Guss Legendre (com N pontos) é, 4 N ( N) ( N!) E CN( ) f ( ), CN, [, ] (N) (( N)!)

25 Regrs de Guss regr de Guss Lotto As regrs de Guss são um fmíl de regrs, à qul regr de Guss Legendre pertence. Guss Legendre N If ( ) fxdx ( ) A fx ( ) I( f) escoler melor loclzção possível Exstem outrs regrs de Guss, pertencentes est fmíl Guss Legendre Lotto regr de Guss Legendre que nclu os nós extremos do ntervlo If ( ) fxdx ( ) A f ( ) Bf( ) A fx ( ) I( f ) N escoler melor loclzção possível Os coefcentes A, B, A e posção dos pontos x são prâmetros determnr Not: Pr pontos regr de Guss Lotto é dêntc à regr do trpézo e pr pontos édêntcàregrdesmpson

26 Regr de Guss Lotto com 4 pontos Exercíco: ) Deduzr o vlor dos pesos A 0 e A e loclzção d css de modo à regr segunte ter o mor gru possível. ) Indcr o gru d regr. f f If ( ) fxdx ( ) ( ) A0 ( ) ( ) A f( ) f( ) I( f ) Resolução: If ( ) fxdx ( ) ( ) I ( f) A0 f( ) f() A f( ) f( ) emos ncógnts (A 0, A, ) necesstmos de equções f ( x) If ( ) fxdx ( ) ( ) dx ( ) x I( f) A0 f( ) f() A f( ) f( ) A ( ) A ( ) A A 0 0 A A

27 fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) xdx ( ) 0 I ( f) A f( ) f() A f( ) f( ) Regr de Guss Lotto com 4 pontos 0 A0 ( ) A ( ) 0 00 fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) I( f) A0f( ) f() Af( ) f( ) A0( ) A(( ) ) A0 A A A fx ( ) x 4 x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) 0 4 I( f) A0f( ) f() Af( ) f( ) A0 ( ) A ( ) 0 00

28 Regr de Guss Lotto com 4 pontos fx ( ) x x If ( ) fxdx ( ) ( ) x dx ( ) 5 5 I( f) A0f( ) f() Af( ) f( ) A0( ) A(( ) ) A0 A 4 A A 5 Result o sstem de equções não lneres ( ncógnts) A0 A A0 A 4 A0 A 5 Solução A0 A Ou sej, 5 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I f A f f A f f f f f f

29 Regr de Guss Lotto com 4 pontos Gru d regr de Guss Lotto com 4 pontos Pelo modo como fo construíd, regr tem (pelo menos) gru 4. erá gru 5? fx ( ) x x ( ) ( ) ( ) ( ) 0 6 If fxdx x dx 5 I( f) f( ) f( ) f f ( ) ( ) / 5/ , ou sej, If ( ) I( f) pelo que regr de Guss Lotto com4pontostemgru5

30 Regr de Guss Lotto com 4 pontos erá gru 6? fx ( ) x 6 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 7 x If fxdx x dx I( f) I( f) f( ) f( ) f f ( ) ( ) 6/ 6/ If ( ) I( f) 7 75 pelo que não tem gru 6, ou sej regr de Guss Lotto com 4 pontos tem gru 5 s regrs de Guss Lotto com N pontos tem gru N O erro ssocdo às formuls de Guss Lotto (com N pontos) é, N( N) (( N)!) E C f C (N) ((N)!) 4 N (N ) N( ) ( ), N, [, ]

31 Regrs composts Um modo de reduzr o erro cometdo no cálculo proxmdo do ntegrl é sudvdr o ntervlo [,] emn suntervlos e plcr s regrs áscs nterormente estudds. Ex: Regr do trpézo compost com suntervlos gus (N=) If ( ) fxdx ( ) fxdx ( ) fxdx ( ) fxdx ( ) 0 f ( ) f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) 0 f(x) =( )/N f( 0) f( ) f( ) f( ) II II f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) I( f ) Em termos genércos regr do trpézo compost pode ser presentdo como 0 II II N I ( f) f ( ) f ( ) f ( )

32 Regrs composts Pr determnrmos o erro cometdo podemos somr contrução do erro cometdo em cd um dos suntervlos. E[, ] E[ 0, ] E[, ] E[, ] ( 0) f''( ) ( ) f''( ) ( ) f''( ) f''( ) f''( ) f''( ) N f''( ) ''( ) N f ( ) f ''( ) Resumndo, o erro d regr do rectângulo compost é ( ) E f''( ), [, ] 0 II f(x) ( )/ N N II

33 el com lgums regrs composts N ntervlos 0 n, N Rectângulo à esquerd, à dret compost N I ( f) f( ), I ( f) f( ) N E f'( ) Ponto médo compost N I( f) f( ) E f''( ) 4 rpézo compost Smpson compost N I ( f) f( ) f( ) f( ) N N I ( f) f ( ) f ( ) f ( ) 4 f ( ) 6 E f''( ) E f ( ) 880 (4) 4 rpézo corrgd compost N I ( f) f( ) f( ) f( ) f'( ) f'( ) E f ( ) 70 (4) 4

34 Integrção com splnes ntegrção com splnes cúcos Um modo de oter regrs de ntegrção semelnte às composts é utlzndo splnes. A utlzção de splnes de gru zero conduz às regrs do rectângulo composts, enqunto ntegrção com splne de gru conduz à regr do trpézo compost. A utlzção de splnes de gru superor conduz regrs dferentes ds regrs composts nterormente estudds. Integrção com splnes cúcos = x x N I( f ) f ( x) dx S( x) dx S( x) dx I( S) x x S (x) S (x) S (x) No troço o splne cúco é ddo por ( x x) ( xx ) S x M M ( ) 6 6 x x xx y M y M 6 6 x 0 II x x x II

35 Integrção com splnes ntegrção com splnes cúcos Prmtvndo x x x ( x x) ( xx ) x x xx ( ) x S x dx M M y M y M dx ( x x) ( xx ) ( x x) ( xx ) M M y M y M x x M M y M y M y y M M Somndo contrução de todos os troços result N IS ( ) Sx ( ) dx y y M M 4 Not: expressão tem um prte dêntc à regr do trpézo compost ms um termo correctvo com se nos momentos ( s dervds)

36 Há vrntes d ntegrção dpttv: Integrção dpttv Integrção dpttv método que procur que o resultdo otdo ten um erro nferor um tolerânc especfcd pelo utlzdor II II Consderr um sudvsão ncl do ntervlo [,] 0 Dstrur tolerânc dsponível pelos troços endo em cont expressão teórc do erro, estmr pr cd troço correspondente dervd Estmroerrocometdoemcdtroço No cso do erro exceder tolerânc truíd esse troço, então sudvdr devdmente o troço p E Cf ( ), f ( ) D ( k ) ( k) ( k ) O método tenderá colocr ms suntervlos onde correspondente dervd for mor não tertv o número de vezes que se efectum sudvsões é de pens um tertv o número de vezes que se efectum sudvsões não é defnd à prtd (é resultdo d verfcção do crtéro do erro) E ( ) CD k p

37 Integrção dpttv não tertv Exemplo: Utlzndo regr do trpézo compost N I ( f) f( ) f( ) f(x) Pr o troço [, ]dedmensão E f''( ) N ntegrção dpttv não tertv, gerlmente, dervd é proxmd por um dferenç fnt proprd 0 II II f''( ) D f ( ) f ( ) f ( ) II A estmtv de erro pr o troço éotdtrvésde E D II +/

38 Integrção dpttv não tertv Se estmtv de erro E for superor à tolerânc que está dsponível pr esse troço, então esse troço é sudvddo em m suntervlos de modo o erro nesse troço pssr ser nferor à tolerânc dsponível. Erro pr o troço pós sudvsão em m suntervlos m suntervlos E m expressão onde se dmtu que II D dervd em cd suntervlo é proxmd por D m II II E m D E D m m E E m Pretendemos que, pós sudvsão do troço, o erro nesse troço sej nferor à tolerânc dsponível pr esse troço, E E E m m E Recuperndo expressão do erro pr o ntervlo result m D II

39 Integrção dpttv não tertv A expressão nteror pode ser reescrt em termos d tolerânc totl II D II m D II m D II m D Sudvsão ncl II II 0 troço troço troço D II D II D II m suntervlos m suntervlos m suntervlos Sudvsão fnl 0 clculr I clculr I clculr I I =I +I +I

40 Integrção dpttv tertv Comprtvmente o método não tertvo, o lgortmo tertvo descrto em segud possu s seguntes dferençs: estmtv do erro não recorre dferençs fnts em cd troço o erro é estmdo recorrendo proxmções do ntegrl pr esse troço se estmtv do erro for superor à tolerânc permtd esse troço, então o troço é dvddo o meo troço em vlção E ( I I ) sudvsão em troços estmtv de erro é ctulzd pr os novos troços o número de vezes que se efectum sudvsões não é defndo à prtd (é resultdo d verfcção do crtéro do erro) troço em vlção E ( I I ) sudvsão em troços

41 Integrção dpttv tertv Exemplo: Clculr I(f) utlzndo regr do trpézo dpttv tertv com um tolerânc =0 Regr do trpézo dedução d estmtv do erro E f E f Pr suntervlo, N= ( ) ''( ) E f Pr suntervlos, N= ( ) ''( ) E f ( ) ''( ) ''( ) N N ( ) E II D'' D'' f''( ) D'' f''( ) ( ) E II D'' 4 Sutrndo s expressões ( ) (*) (**) II D'' D'' 4 N suntervlos suntervlo (*) (**) 0 exp(5 x) If ( ) fxdx ( ), fx ( ) 90 suntervlos c I I ( ) 4

42 Integrção dpttv tertv Susttundo proxmção d dervd n expressão do erro pr troços E D'' I I ( ) ( ) I 4 I E ( ) ( ) 4 D'' 4 4 Resumndo, pr um troço de dmensão, ovlordregr do trpézo com e com suntervlos é E I I suntervlo I f( ) f( ) / / I f( ) f( c) f( ) suntervlos c e o erro (pr suntervlos) pode ser estmdo por E I I

43 Integrção dpttv tertv Opção: dvsão ncl em troços = 0 II tolerânc = x0 II =/ =/ 0 tolerânc = 5x0 / / tolerânc = 5x0

44 Integrção dpttv tertv roço [0, /], =/, tolerânc = 5x0 0 If ( ) fxdx ( ), fx ( ) exp(5 x) 90 suntervlo 0 / I f(0) f( ) suntervlos 0 /4 / I f(0) f( 4) f( ) Estmtv de erro E II E E OK

45 Integrção dpttv tertv roço [/, ], =/, tolerânc =5x0 0 If ( ) fxdx ( ), fx ( ) exp(5 x) 90 suntervlo / I f( ) f() suntervlos / /4 I f( ) f( 4) f() Estmtv de erro E II E E dvdr o troço [, ] em dos troços

46 Integrção dpttv tertv 0 II = tolerânc =x0 II =/ =/ 0 tolerânc =5x0 / / tolerânc =5x0 erro E = x0 erro E = 5x0 =/4 =/4 / =.5x0 /4 /4 =.5x0

47 Integrção dpttv tertv roço [/, /4], =/4, tolerânc =.5x0 suntervlo / /4 I f( ) f( 4) suntervlos / 5/8 /4 I f( ) f(5 8) f( 4) Estmtv de erro E II E E OK

48 Integrção dpttv tertv roço [/4, ], =/4, tolerânc =.5x0 suntervlo /4 I f( 4) f() suntervlos /4 7/8 I f( 4) f(7 8) f() Estmtv de erro E II E E dvdr o troço [ 4, ] em dos troços

49 Integrção dpttv tertv 0 tolerânc =x0 0 = 5x0 / / = 5x0 E = x0 E = 5x0 =/4 =/4 / =.5x0 /4 /4 =.5x0 E =.x0 E = 7.4x0 =/8 =/8 /4 =.5x0 7/8 7/8 =.5x0

50 Integrção dpttv tertv roço [/4, 7/8], =/8, tolerânc =.5x0 suntervlo /4 7/8 I f( 4) f(7 8) suntervlos /4 /6 7/8 I f( 4) f( 6) f(7 8) Estmtv de erro E II E E OK

51 Integrção dpttv tertv roço [7/8, ], =/8, tolerânc =.5x0 suntervlo 7/8 I f(7 8) f() suntervlos 7/8 5/6 I f(7 8) f(5 6) f() Estmtv de erro E II E E OK

52 Integrção dpttv tertv 0 tolerânc =x0 0 = 5x0 / / = 5x0 E = x0 E = 5x0 / =.5x0 /4 /4 =.5x0 E =.x0 E = 7.4x0 /4 =.5x0 7/8 7/8 =.5x0 E = 0.7x0 E =.4x0

53 Vlor otdo pr o ntegrl Integrção dpttv tertv 0 I [0, ] =? 0 I [0, /] = / / / /4 /4 I [/, /4]= /4 I [/4, 7/8]= /8 7/8 I [7/8, ]=

54 Vlor otdo pr o ntegrl Integrção dpttv tertv 0 / /4 7/8 I I I I I [0, ] [0, ] [, 4] [ 4, 7 8] [7 8, ] I x e Vlor excto 5 x If dx 5 ( ) e e Erro efectvo Eefectvo Iexcto I proxmdo E efectvo (tolerânc)

55 Pr regr do trpézo corrgd compost Método de Romerg N I( f) f( ) f( ) f( ) f'( ) f'( ) IIE (4) 4 E II f ( ) 70 N (4) 4 IIE f ( ) f ( ) f ( ) f'( ) f'( ) f ( ) 70 Se fx ( ) C n é possível demonstrr que,0 C,0 regr do trpézo 4 O( ) 4 ou sej, I,0 C O( ) regr do trpézo I C C C C O( ) 4 6 n n n

56 Método de Romerg 0 Consdere se um sequênc k = e plque se regr do trpézo k I C C O k 4 k, 0 k k 6 ( k ) (*) 4 k k k 6 k k,0 O( k ) I C C Elmnndo o termo do erro d proxmção 4 6 Ik,0 Ck C k O( k ) 4 4 (**) (**) (*) 4 II4 k,0 k, 0 Ck O ( k ) 4 4 I 4 k,0 k, C k O k k, 4 ( ) Ou sej, proxmção do ntegrl com erro de ordem 4 é 4 6 I k, C k O( k ) 4, k, 4 k,0 k,0 4

57 Método de Romerg De modo nálogo o nteror, consderndo gor k+ e k+ 4 k k k 6 k k,0 O( k ) I C C 4 k k k 6 k k,0 O( k ) I C C I k,0 Ck C k O( k ) 4 4 (*) 4 6 Ik,0 C k C 4 k O( k ) 4 4 (**) Elmnndo o termo do erro d proxmção k,0 k, (**) (* ) 4 I I 4 k,0 k,0 C k O( k ) I C k O( k ) k, Ou sej, proxmção do ntegrl com erro de ordem 4 é I C 4 O( ) 4 6 k, k k, k, 4 k,0 k,0 4

58 Método de Romerg Comnndo s expressões de k, e de k+,, com o ntuto de elmnr o termo 4, 4 6 Ik, C k O( k ) (*) I k, C k O( k ) (**) 4 Elmnndo o termo 4 do erro d proxmção 6 4 (**) (* ) 4 II k, k, O( k 4 ) 4 k,0 k, 0 6 I O( ) k 4 k, Ou sej, proxmção do ntegrl com erro de ordem 6 é I O k, 6 ( k ), 4 k, k, k, 4

59 Método de Romerg O procedmento efectudo pode ser generlzdo, de modo elmnr se os sucessvos termos de m, consegundo se ssm proxmções com erro de ordem m+. I O km, m ( k ), km, 4 m k, m k, m m 4 A formul de recorrênc pr k,m surge por vezes escrt n form k, m k, m km, k, m m 4 A formul de recorrênc poder ter sdo deduzd trvés d formul de Atken Nevlle (tl como se efectuou pr o método de Rcrdson) O método de Romerg é normlmente plcdo com regr do trpézo, ms tmém pode ser plcdo com outrs regrs ts como regr do ponto médo ou de Smpson (este últmo cso requerer um redefnção d formul de recorrênc)

60 Método de Romerg el 0 0,0,0,0,0 0,,, Erro de ordem 4 0,, Erro de ordem 6 0, Erro de ordem 8 Formul de recorrênc km, 4 m k, m k, m m 4 Erro de ordem Regr dos trpézos Formul de recorrênc

61 Método de Romerg Ex: Aplcr método de Romerg (utlzndo regr do trpézo) ocálculodontegrl x I e dx Opção: ncr processo com suntervlos Not: resolução em precsão smples 0 Regr dos trpézos N 0 0, k, k, 0 f ( ) f ( ) f ( ) k k0, N, 0, 0,0 f(0) f f() / k, N4,,,0 f(0) f f f f() k, N8,,, /4 / /4 0 /4 / /4 k, N6,,, /4 / /4

62 Método de Romerg m 4 k, m k, m Formul de recorrênc km, m 4 Pr m= 4 k,0 k,0 k, 4 0,, 4,0 0, ,0, , 4,0, el , , , , 0 0,,,

63 Método de Romerg m 4 k, m k, m Formul de recorrênc km, m 4 Pr m= 4 k, k, k, 4 0,, 6, 0, ,, el ,0 0, 0, ,0, , ,0, ,0

64 Método de Romerg m 4 k, m k, m Formul de recorrênc km, m 4 Pr m= 4 k, k, k, 4 0, 64, 0, el ,0 0, , 0, ,0, , ,0, , 0