Método de Análise Nodal
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- Luzia Canto Varejão
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1 étodo de Análse Nodl. ntrodução Conorme sto nterormente, solução de um crcuto elétrco contendo rmos requer determnção de ncógnts, s qus são corrente e tensão de cd rmo. Tmém o mostrdo que plcção ds Les de Krcho e consderção ds relções tensão-corrente de cd rmo permte estelecer s equções necessárs pr solução do crcuto. No entnto, solução c ms smples qundo se utlz um conjunto de ráes dstnto ds ráes de rmo. No cso d nálse de nós serão utlzds s tensões dos nós do crcuto em relção um nó de reerênc, o nés d tensão de rmo (tensão entre os termns de cd rmo). Dest orm será otdo um sstem de equções tendo como ncógnts s tensões dos nós do crcuto em relção o nó de reerênc, o qul pode ser escolhdo como qulquer nó do crcuto. A plcção sstemátc deste procedmento é denomnd Análse Nodl e é descrt resumdmente segur. ores detlhes são otdos n logr ndcd.. Procedmento Básco A nálse nodl enole sempre os cnco pssos descrtos segur.. eleção do Nó de eerênc nclmente dee ser selecondo um nó qulquer do crcuto como nó de reerênc, em relção o qul tods s tensões serão determnds. O potencl deste nó será ssumdo como zero, moto pelo qul ele muts ezes tmém é denomndo de nó de terr. m segud os dems nós são numerdos de (n-), sendo n o número totl de nós do crcuto nclundo o nó de reerênc. As dems tensões dos nós serão desgnds como,, K. n. Aplcção d LCK os Nós Após escolh do nó de reerênc e numerção dos nós restntes, dee-se plcr Le de Krchho pr os (n-) nós. A LCK não necesst ser plcd pr o nó de reerênc, um ez que resultrá num equção ms do que o necessáro pr solução do crcuto. Deese dotr um conenção de snl de cordo com o sentdo ds correntes em relção os nós. erlmente, são consderds posts s correntes que entrm no nó, enqunto que correntes que sem são consderds negts. Como resultdo dest etp, herá (n-) equções que representm os somtóros ds correntes que ncdem e sem dos (n-) nós.. Consderção ds elções Tensão-Corrente dos mos As equções d etp nteror orm escrts em unção ds correntes de nós. No entnto, s ncógnts são tensões de nó. Dee-se, portnto, utlzr s relções de tensão-corrente pr susttur s correntes de nós por relções enolendo s tensões de nó. Como resultdo dest etp, otém-se (n-) equções enolendo s tensões de nó. Dee-se tentr que exste um relção tensão corrente pr cd rmo, exstndo portnto relções deste tpo..4 olução do stem de quções Após otenção ds equções de nó, dee-se utlzr lgum método de solução de sstems de equções e determnr s (n-) ncógnts. Num cso gerl, otém-se um sstem de equções íntegro-derencs, cuj solução é ssegurd cso o crcuto sej composto pens de elementos lneres e nráes no tempo. Cso o crcuto sej composto pens
2 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn /8 de resstores, otém-se um sstem de (n-) equções lgércs onde os coecentes são otdos prtr ds resstêncs do crcuto, sendo solução neste cso ms ácl, um ez que s equções não enolem ntegrs e derds..5 Otenção ds Correntes e Tensões de mos Dee-se tentr pr o to que, depos de solucondo o sstem de equções, pode-se oter tods s correntes e tensões de rmo do crcuto prtr ds tensões de nó. Por exemplo, tensão do rmo, conectdo entre os nós x e y do crcuto conorme Fgur, pode ser otd pel segunte equção: () xy x y Consderndo-se os sentdos ssocdos, corrente no rmo que crcul do nó x pr o nó y será dd como: - x y x y ( x y ) () Fgur - Tensão e corrente de rmo () - resstênc do rmo (ohms, ) - condutânc do rmo (semens, ). xemplo de Aplcção O método exposto será lustrdo por meo de um exemplo smples lustrdo n Fgur, onde todos s etps ctds serão relzds.. eleção do Nó de eerênc Pr o crcuto mostrdo n Fgur exstem nós, sendo que o nó neror será escolhdo como nó de reerênc (nó de terr). As tensões nos outros dos nós serão denomnds e, respectmente. As correntes nos resstores, e serão denomnds de, e. Fgur - Crcuto de exemplo. Aplcção d LCK os Nós Aplcndo-se LCK pr os nós e result, respectmente: (4) (5). Consderção ds elções Tensão-Corrente dos mos Consderndo os sentdos ssocdos s relções tensão-corrente pr os resstores, e serão:
3 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn /8 ou (6) ou ( ) (7) ou (8) usttundo-se s equções (6), (7) e (8) ns equções (4) e (5), otém-se o segunte sstem de equções em termos ds resstêncs e ontes de corrente: (9) ( ) () N orm mtrcl, s equções cm podem ser escrts como: () As equções tmém podem ser escrts em termos de condutâncs: ( ) ().4 olução do stem de quções A solução do sstem será relzd consderndo os seguntes lores numércos : A 5 A Com os lores nterores o sstem de equções ssumrá segunte orm: ()
4 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn 4/8 oluconndo-se o sstem pr os lores consderdos, otém-se: olts (4).5 Otenção ds Correntes e Tensões de mos A prtr ds tensões de nó e otém-se por meo ds equções (6) (8) correntes de rmo: A (5) A (6) A (7) 8 As tensões sore os rmos serão dds pels seguntes equções: V (8) V (9).57 V () O snl negto d tensão que prece n solução sgnc que tensão que eetmente exste sore este componente possu polrdde contrár o sentdo ssumdo como posto. D mesm orm, corrente negt sgnc que o sentdo que eetmente exste é contráro àquele consderdo posto. Com determnção de todos s tensões e correntes do crcuto, pode-se tmém determnr potênc dsspd em cd um dos resstores e ns ontes de corrente. 4. Otenção ds quções de Nós por nspeção Qundo o crcuto contém somente resstores lneres e ontes ndependentes de corrente, pode-se escreer dretmente s equções de nós do crcuto. Dee-se oserr que mtrz de coecentes do sstem de equções contém lores de condutânc, sendo portnto denomnd de mtrz de condutâncs. l possu segunte orm gerl onde Nn-: [ ] N N L L N N NN () A mtrz de condutâncs é um mtrz do tpo smétrc com s seguntes propreddes, s qus permtem su montgem sed pens n topolog do crcuto. som ds condutâncs conectds o nó
5 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn 5/8 j j som ds condutâncs conectds entre os nós j e Dee-se oserr que os elementos or d dgonl prncpl serão lores negtos n mtrz de condutâncs. O sstem de equções terá segunte orm gerl: N [ ] [ V] [] N L L N N NN N N () () [] [ L ] T (4) N [ V] [ L ] T (5) N - somtóro ds ontes ds ontes de corrente que estão conectds o nó, sendo que s ontes entrndo no nó são consderds posts e s sndo negts. Bsedo ns propreddes cm, pode-se montr dretmente s equções de nó do crcuto, tentndo-se pr o to que o crcuto contenh pens ontes de corrente ndependentes e resstores lneres. Pode-se compror est rmção pr o exemplo nteror otendo-se dretmente s equções de nó do crcuto. 5. Trnsormção de Fontes A nálse de nós é ms smples qundo tods s ontes que exstem são ontes de corrente. Qundo sto não ocorrer, pode-se trnsormr ontes de tensão em sére com um resstor (Fgur ) em ontes de corrente com o resstor em prlelo (Fgur ), de cordo com s relções que seguem. (6) Por meo ds trnsormções de onte pode-se, exceto em csos especs, oter um crcuto onde pens precem ontes de corrente e nálse nodl pode ser clmente relzd. Deese tmém tentr pr o to que nem sempre é possíel conerter clmente tods s ontes de tensão do crcuto pr ontes de corrente. ( ) ( ) Fgur - qulênc de ontes
6 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn 6/8 6. Análse Nodl com Fontes de Tensão A nálse nodl, sendo um método gerl de nálse, pode tmém ser empregd qundo o crcuto conter ontes de tensão sejm els dependentes ou ndependentes. As ontes de tensão mpõem um determnd derenç de potencl entre dos nós, não sendo possíel determnr corrente d mesm ntes de soluconr o crcuto. sts crcterístcs deem ser consderds qundo do estelecmento ds equções do crcuto. xstem derss orms de consderr o eeto ds ontes de tensão, sendo que um dels é descrt segur. Consderndo que onte de tensão está conectd entre os termns x e y conorme Fgur 4, oser-se que corrente d onte precerá ns equções de mos os nós do crcuto onde onte está conectd. Como não há um relção entre corrente d onte e su tensão pode-se mnter corrente d onte como um ncógnt ser determnd. Por outro ldo, s tensões dos nós x e y estão relcondos d segunte orm. x y (7) Dest orm, o crescentd um ncógnt o sstem de equções, ms tmém o crescentd um equção, sendo nd possíel soluconr o crcuto. No totl exstrá, ssm, n equções. Tmém pode-se elmnr corrente d onte do sstem de equções solndo-se corrente n equção do nó x, por exemplo, e susttundo- n equção do nó y. Dest orm, elmn-se equção do nó x, cndo o sstem nomente com (n-) equções. x - x gur 4 - Fonte de tensão entre dos nós Cso onte de tensão ester conectd entre o nó x e o nó de terr, sgnc que tensão do nó está mpost, podendo-se neste cso desconsderr equção deste nó estelecer o segunte lor pr tensão do nó: x (8) O procedmento delnedo corresponde o trtmento dos dos nós onde onte está conectd por como se ossem um únco nó e plcndo-se LCK pr este nó composto, tmém chmdo de super-nó ou nó generlzdo (de logr). O exemplo mostrdo n Fgur 5 lustr o procedmento. Pr este crcuto s equções de nós são s seguntes: nó : nó : (9) () As relções tensão corrente são s seguntes: ou () y y
7 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn 7/8 ou () ou ( ) () A equção dconl consderndo onte de tensão é: (4) susttundo s relções () (4) otém-se nlmente s equções do crcuto. Dee-se notr que corrente d onte de tensão prece como um ncógnt ms, hendo tmém um equção ms (equção (4)). ( ) ( ) (5) ( ) ( ) (6) ultplcndo-se últm equção por (-), result: ( ) (7) As equções (4), (5) e (6) são portnto s equções áscs do crcuto, sendo s ncógnts, e. De orm mtrcl, o sstem de equções pode ser escrto como: Fgur 5 - Análse nodl com onte de tensão
8 PUC- FN - D - Dscpln de Crcutos létrcos - Pro. Luís Alerto Perer - 9/8/4 págn 8/8 ( ) ( ) (8) Consderndo-se os seguntes lores: A A V Otém-se pr o sstem: (9) esolendo-se o sstem, otém-se, nlmente, solução: (4) 7. xercícos Propostos Os exercícos xo orm selecondos d logr d dscpln. ecomend-se que todos os exercícos sejm resoldos. Chrles K. Alexnder e tthew N. O. du (). Fundmentos de Crcutos létrcos. Boomn (Centrl, dção ) - Cpítulo. Questões de resão:.,.,.7. Prolems:.4,.6,.7,.,.5,.,.4,.5,.,.4,.5,.4,.4,.46.,.47,.49,.5,.56,.58. Jmes W. Nlsson e usn A. edel (). Crcutos létrcos. LTC dtor. 6.9 N7c (Centrl 5, dção 999): Cpítulo. Prolems.,.9,.,.6,.,.,.6,.8,.9,.4,.64,.65.
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