UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATA07 ÁLGEBRA LINEAR A PROFESSORES: Glória Márcia, Enaldo Vergasta. 1 a LISTA DE EXERCÍCIOS

Transcrição

1 NIESIDADE FEDEAL DA BAHIA DEPATAMENTO DE MATEMÁTICA MATA7 ÁLGEBA LINEA A POFESSOES: Glór Márc Enldo ergst LISTA DE EXECÍCIOS ) Sejm A B e C mtres nversíves de mesm ordem encontre epressão d mtr X nos tens o: ) AB t X C AB CX I (CB) AX I d) (AB) t XC I ) Encontre s mtres de ordem dos que comutm com ) m mtr A de ordem n é dt dempotente se A A ) Mostre que se AB A e BA B então A e B são dempotentes Mostre que é dempotente ) Encontre mtr LFE de cd um ds seguntes mtres: A B C D E ) Descrev tods s possíves mtres que estão n form LFE ) Determne o posto e nuldde de cd um ds seguntes mtres: A B C D E 7) Dê eemplos se possível de mtres stsfendo s condções dds o OBS: Consdere N(A) como nuldde de A e p(a) como o posto de A ) B p(b) D p(d) C p(c) d) F N(F) e) G N(G) f) H N(H) g) J p(j) 8) esolv os seguntes sstems: ) 9 d) 9) Determne solução do sstem ) ( consderndo o conjunto dos números compleos ) m ólogo colocou três espéces de ctér (denotds por I II e III) em um tuo de enso onde els serão lmentds por três fontes dferentes de lmentos (A B e C) A cd d serão colocds no tuo de enso unddes de A 8 unddes de B e

2 unddes de C Cd ctér consome um certo número de unddes de cd lmento por d como mostr Tel oqunts ctérs de cd espéce podem coestr no tuo de enso de modo consumr todo o lmento? Bctér I Bctér II Bctér III Almento A Almento B Almento C ) Dscut em função de os seguntes sstems: ) d) ) Determne os vlores de e que tornm o segunte sstem possível e determndo 7 ) Consdere s seguntes mtres nversíves C B A ) Encontre epressão de X tl que BAX C Determne cso est nvers d mtr X do tem ) Dd mtr B em cd um dos seguntes tens determne mtr N lnh redud à form escd (LFE) lnh equvlente B e um mtr nvertível M de ordem tl que N MB ) B B ) erfque se s mtres segur são nversíves e em cso frmtvo determne nvers usndo esclonmento: ) ) Determne os vlores de e pr que s mtres o sejm nvertíves ) 7

3 7) erfque se os conjuntos ddos segur têm estrutur de espço vetorl com s operções dds ) : e : ) () ( ) () ( M () :M () M () M () e : () M () 8) erfque em cd tem segur se é um suespço vetorl de 9) I M ) {() } {() } {() } d) Q e) {() } f) {() } II M n () n Q o conjunto dos rcons ) {A A é smétrc} {A A é nvertível} {A A é não nvertível} d) {A III é o espço vetorl de tods s funções f : ) {f f() } {f f(7) f()} I Mn (C) n sore o corpo C A A} {A A é mtr hermtn (ou utodjunt) sto é Mn (C) n sore o corpo {A A é mtr hermtn (ou utodjunt) sto é I C sore {( c d) C c e d } t A A } t A A } erfque se é um suespço vetorl de em cd tem segur (Sugestão: use o fto que o conju soluções do sstem de equções lneres é um suespço vetorl de M n () se e somente se o sstem é ) {( ) } {( ) e } d) M () e M () e e) P() { t t t } f) P () { t t }

4 ) Determne um conjunto de gerdores pr os seguntes suespços: ) { } e ) ( { } ) ( e d c () M d c d) { } e () P t t t e) ) Consdere os suespços de : { } () { } ) ( e { } () I Determne: ) II erfque que: ) é suespço de não é suespço de ) Em cd tem segurdetermne e verfque se som é um som dret ( ) { } ) ( e { } () ( ) ) ( P { } [ ] t t e () P t t ( c ) ) ( M e ( d ) { } [ ] ) ( e () ( e ) ) ( M e ESPOSTAS ) ) X ( B t ) A C X C ( I AB ) X A CB d) X [(AB t ] C ) ) / / / / ) e ) p( A ) e N ( A ) p ( B ) N ( B ) p( C ) e N( C ) p ( D ) e N( D ) p( E ) e N( E )

5 7) ) B mpossível mpossível d) F e) G f) H g) J 8) ) S { ( ) } e ) ( S S { ( ) e } d) Impossível 9) C 8 S ) O ólogo deve colocr no tuo de enso ctérs d espéce I e de cd um ds espéces II e III pr que todo o lmento sej consumdo ) ) Se então o sstem é possível determndo neste cso o conjunto solução é S { (8 )} Se o sstem é mpossível Se então o sstem é possível e ndetermndo Se o sstem é mpossível Se o sstem é possível determndo e S { ( ) } Se o sstem é ndetermndo e S { ( ) } d) Se e então o sstem é possível e determndo Se o sstem é mpossível Se o sstem é possível ndetermndo e S { () e ) } ) e ) ) X A B C / / / / X ) ) / / / / e M N e M N ) ) / Não é nvertível ) ) ) e 7) ) não é espço vetorl ( propredde ssoctv não é váld pr operção ) não é espço vetorl ( ) v v v ( 8) I )Não Contreemplo: ()()() " " " : ()()()

6 Sm d)não Contreemplo: () Q e)não Contreemplo: ()()() f) " " " : ()(9)() II ) Sm Não Contreemplo: Não Contreemplo: d) Não Contreemplo: A ms A III ) Sm Sm I) Não Contreemplo: ( ) A pr e com ) Sm I) Sm 9) Os tens d e e f são suespços pos s equções que os crcterm formm sstems lneres homogêneos Já os tens e c não são suespços porque s equções que crcterm os suespços formm sstems lneres não homogêneos ) ) [(/)] [()()] ) I ) () e [ ] d) t t { } II ) Como então logo é suespço de ( ) ou Oserve que { } uv porém u v ( ) Sejm u () e v () então ) ( ) {( ) } [( ) ] ( ) P () [ t t] dí ssm não é som dret e não é som dret ( c ) M () e dí não é som dret pos M () dí ( d ) {() } ( e ) M () dí não é dret