SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA

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1 SOCIEDADE PORTUGUESA DE MATEMÁTICA Propost de Resolução do Exme de Mtemátc A - º ANO Códgo 65 - Fse de junho de 07 Grupo I Versão A B D A B C D C Versão D D B C C A B A Grupo II ) ( 9 cs Como R +, então = Observ-se que + ( ) > 0, pr qulquer

2 . Como T(0,0,) e T é o smétrco de T em relção O, então o centro d superfíce esférc de dâmetro [TT ] é o ponto O(0,0,0) e o ro é gul OT = Assm, equção d superfíce esférc é x + y + = 9. UP. RS UP. RS.cos ( ) 9 I Atendendo que UP = TO = (0,0, ) e que RS = OT = (0,0,) então UP. RS = (0,0, ). (0,0,) = 9. T 0,0, Como s coordends de Q stsfem guldde x + y = então Q(0,,0) e TQ = Q T = (0,, ) Um condção crtesn que defne ret TQ pode ser x = 0 y =. 8 O número de csos possíves é: C Podemos obter o número de csos fvoráves por dos processos: C 6 = (dos 6 plnos perpendculres xoy, qutro contendo s fces e dos contendo s dgons espcs, cd um com qutro vértces do prsm, escolhem-se três desses vértces) I 6 C C = (Podemos escolher, ds qutro rets vertcs que contêm s rests lters, os dos vértces do prsm e depos um qulquer dos restntes vértces) Assm, probbldde pedd é dd por P = 56 = 7

3 . A B p sgnfc probbldde de, o retrr um bol do sco, sr um bol com um número mor que ses ou sr um bol com um número pr. Pr determnr um expressão pr probbldde de A B podemos utlr os seguntes processos: p A B pa B pa B A B p A B =, pelo que p n A B p é probbldde d bol que se retrou ter um número menor ou gul 6 e ímpr, n n n logo I p A B pa pb pa B n n n 6 n n n n n II Começndo por nterpretr que o número de csos fvoráves o contecmento A B é gul n pos este contecmento só não pertencem os números, e 5. Assm, P(A B) = n n. (f(0)) + x = (9,5(e 0, 0 + e 0, 0 )) + x = (9,5(e + e )) + x = (9,5 (e + e )) + x = Observ-se que (9,5(e + e )) + x > 0 pr todo o x x = (9,5 (e + e )) x = ± (9,5 (e + e )) Então x,59 porque x > 0 Respost: x,5

4 A guldde 0 x f corresponde à condção PS, já que S x,0 S OR, que dste metros de P, está,5 metros (proxmdmente) de O., ou sej, o ponto. É necessáro determnr o vlor máxmo de f. f (x) =,5( 0,e 0,x + 0,e 0,x ) = 0,5e 0,x 0,5e 0,x f (x) = 0 0,5e 0,x 0,5e 0,x = 0 e 0,x = e 0,x 0,x = 0,x 0,x = x = 5 De cordo com fgur, o únco ponto do gráfco de cuj tngente é horontl corresponde o máxmo d função, ddo por f(5). Construndo um qudro de estudo de snl d dervd, pode confrmr-se esse fcto. x f (x) f mn mx mn Sendo f crescente em [0,5], decrescente em [5,7] e f (5) = 0 então f(5) = é máxmo bsoluto d função f. Respost: Ns condções descrts, como f(5) =, o brco à vel não pode pssr por bxo d ponte pos dstânc máxm do ponto ms lto do mstro à superfíce d águ é 6 metros. I f(x) > 6 9,5(e 0,x + e 0,x+ ) > 6,5(e 0,x + e 0,x+ ) > e 0,x + e 0,x <,5 e e e 0,x + e0,x 6 5 < 0 5e + 5(e 0,x ) 6e e 0,x 5e 0,x+ 5e + 5(e 0,x ) 6e e 0,x < 0 pos 5e 0,x+ > 0 pr qulquer x Efetundo um mudnç de vrável, y = e 0,x, obtém-se nequção 5y 6ey + 5e < 0 < 0 Determnndo os eros d expressão do º membro, 5y 6ey + 5e = 0 y = 6e 6e 00e, conclu-se que é mpossível no conjunto dos res. 0

5 Como o gráfco d função qudrátc ssocd é um prábol com concvdde voltd pr cm e que não nterset o exo Ox, condção 5y 6ey + 5e < 0 é mpossível. Respost: Como f(x) > 6 é mpossível, o brco à vel não pode pssr por bxo d ponte pos dstânc máxm do ponto ms lto do mstro à superfíce d águ é 6 metros. 5. A função g é contínu em x = se exstr g() = lm x gx e esse lmte for gul g() lm g(x) = lm x x x e x = lm ( x)(+x) x e x = lm ( x x e x ( + x)) = lm ( x x e x ( + x)) = lm lm y 0 x = lm x x 0 e x = x e x x e y = = (efetundo mudnç de vrável y = x ) y Lmte notável logo lm x g(x) = lm x + g(x) = lm x seny lm y 0 y sen(x ) ( + ) = + lm + x x + x 0 sen(x ) (x ) = = (efetundo mudnç de vrável y = x ) = Lmte notável Logo, lm gx x Concluímos que exste lm x gx pos lm gx lm gx x x e lm gx g x Conclusão: A função g é contínu em x =. 5. Se x,5, então x g(x) = < x < 5 + sen(x ) x = < x < 5 sen(x ) x sen(x ) = 0 x < x < 5 sen(x ) = sen(0) < x < 5 x = π Z < x < 5 x = + π Z < x < 5 = 0 < x < 5

6 < + π < 5 Z < π < Z π < < π = Assm, temos que solução se obtém pr, ou sej, x. 5. Abcss de A ( x 0 ): x e x = 0 x < 0 x = 0 e x 0 x < 0 (x = x = ) x x < 0 x = Assm, A(,0) Áre [QAP] = OA ordend de P = OA g(x) Então g(x) = 5 g(x) = 0 Neste cso, corresponde g(x) = 0 A bcss de P é solução d equção g(x) = 0 A solução obtém-se determnndo bcss do ponto de Interseção do gráfco de g com ret y = 0 Utlndo jnel: [,0] [,], obtém-se o gráfco junto. O ponto de nterseção P tem coordends: P,; 0 Respost: x,

7 6. O problem pode ser resolvdo por város processos. São presentdos dos. Se o trângulo OPQ é sósceles, então Q ;0 f é gul o declve d ret r, ou sej, m PQ P ; f ( ) Q ;0 Então o declve d ret PQ é f ( ) m f ( ) f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Portnto, f 0 I Se f está defnd em R + e f (x) < 0 então f é decrescente no seu domíno. N fgur está representdo o gráfco de um possível função f e ret PQ tngente esse gráfco em P(, f()). Se OP = PQ, então QO P = OQ P f() = tg(qo P) f () = m PQ = tg(π PQ O) = tg (OQ P) Então f () = tg (OQ P) = tg(qo P) = f() Assm, f () + f() = f() = 0 FIM