, para. Assim, a soma (S) das áreas pedida é dada por:

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2 (9) - wwweltecapnascobr O ELITE RESOLE FUEST 9 SEGUND FSE - MTEMÁTIC MTEMÁTIC QUESTÃO Na fgura ao lado, a reta r te equação x + no plano cartesano Ox lé dsso, os pontos B, B, B, B estão na reta r, sendo B (,) Os pontos,,, estão no exo Ox, co O (,) O ponto D pertence ao segento B, para Os segentos B, B, B são paralelos ao exo O, os segentos BD, BD, BD são paralelos ao exo Ox, e a dstânca entre B e B + é gual a 9, para R R R SR SR ( 6 + ) 8 + SR ( + ) 6 + ss, a soa (S) das áreas pedda é dada por: S S + S + S + (8 + ) + (6 + ) R R R S + 9 Nessas condções: a) Deterne as abscssas de,, b) Sendo R o retângulo de base + e altura + D +, para, calcule a soa das áreas dos retângulos R, R e R a) Coo o coefcente angular da reta r é dado por tg α e <α< 9 o, construíos o segunte trângulo para deternação dos valores de senα e cosα : α x ( ) x + x Logo: senα e cosα Coo a dstânca entre B e B + é gual a 9 para, teos: cosα De onde concluíos que Dessa fora, coo os pontos, e se encontra sobre o exo das abscssas, teos: (,), (6,) e (9,) b) s ordenadas dos pontos D, D e D são guas às ordenadas dos pontos B, B e B, respectvaente odeos calculá-las de acordo co a equação da reta r ( x + ), sabendo que as abscssas de B, B e B são guas às abscssas de, e respectvaente: D : x + + D B B D : x D B B D : x D B B QUESTÃO Na fgura, estão representadas a crcunferênca C, de centro O e rao, e os pontos, B, e Q, de tal odo que: O ponto O pertence ao segento Q O, OQ e B são pontos da crcunferênca, Q e BQ Q ss sendo, deterne: a) área do trângulo O b) Os coprentos dos arcos deternados por e B e C c) área da regão hachurada Observe pela fgura, que o rao R da crcunferênca é tal que R O OB, portanto, O OB : α β Calculaos, ass, as áreas ndcadas na fgura a segur: a) ara encontrar a área do trângulo O, basta encontrar a edda de, utlzando o teorea de tágoras: + +, ua vez que não pode ter valor negatvo

3 (9) - wwweltecapnascobr O ELITE RESOLE FUEST 9 SEGUND FSE - MTEMÁTIC O Logo, a área de O será: b) ara encontrar o coprento do arco B, precsaos do ângulo desse arco, pela fgura podeos encontrar O Ô α usando cos α cosα α 6º, da esa O fora podeos achar B ÔQ β cosβ β º ss, ÔB 8º 6º º 7º ortanto, o enor coprento do arco B é: OB ˆ 7º Benor π R π π 6º 6º B enor π(undades de coprento) 6 O aor coprento de B, por sua vez, é dado por: Baor π R Benor π π 6 9 B aor π (undades de coprento) 6 c) área da regão hachurada é a soa das áreas do trângulo O, do trângulo OQB e do setor crcular OB Área de O, encontrado no te (a) OQQB Área de BOQ Área do setor OB ÔB 7º π r π π 6º 6º 6 Logo, a área da regão hachurada é: π π 6 6 QUESTÃO Consdere o sstea de equações nas varáves x e, dado por Desse odo: x + x + ( ) a) Resolva o sstea para b) Deterne todos os valores de para os quas o sstea possu nfntas soluções c) Deterne todos os valores de para os quas o sstea adte ua solução da fora ( x, ) ( α,), sendo α u núero rraconal a) Substtundo, teos o segunte sstea: x + ( ) x + x + x + Ou seja, teos u sstea possível e ndeternado Fazendo x S λ, λ, λ λ λ Logo, ( ) { } b) Coo o sstea dado (e função de ) é hoogêneo, ele será sepre possível, pos adte sepre a solução trval (,) Nesse caso, para que ele adta nfntas soluções (sstea possível e ndeternado), o deternante da atrz dos coefcentes deve ser gual a zero: É possível ver que é raz da equação aca e, portanto, podeos utlzar o dspostvo prátco de Brot-Ruffn para descobrr as outras duas raízes: - - ortanto, teos + ( ) ( + ), de odo que as outras duas raízes são dadas por: + ± ss, os valores de que torna o sstea possível e ndeternado são:, + ou c) Se ( x, ) ( α,), substtundo no sstea dado, ve que: α+ α α + ( ) ( α) + ( ) Substtundo a prera equação na segunda, obteos: ( ) + ( ) + Tal equação é a esa resolvda no te (b) e, portanto: ou ± ss, sendo α, substtundo cada u dos três valores de, teos: ara α, que não é rraconal ara ± α ±, que são núeros rraconas para abos os snas ( ± ) Logo, para que a solução do sstea lnear dado seja da fora ( x,) ( α,), co α rraconal, deveos ter: + ou QUESTÃO O trângulo BC da fgura ao lado é eqülátero de lado Os pontos E, F e G pertence, respectvaente, aos lados B, C e BC do trângulo lé dsso, os ângulos do segento F é x ˆ FE e ˆ CGF são retos e a edda ss, deterne: a) área do trângulo FE e função de x b) O valor de x para o qual o ângulo FEG ˆ tabé é reto a) Teos que o trângulo BC é eqülátero, portanto os ângulos nternos desse trângulo ede 6º Desta fora, teos no trângulo FE: FE FE tg 6º FE x x x

4 ortanto, a área do trângulo retângulo FE é dado por: F FE x x S x b) Teos a segunte representação para F ÊG 9º : Na deternação dos ângulos, utlzaos: FE ˆ 9º 6 ÊF º FE ˆ 6º 6 x EF ˆ º GÊB 6º FEG ˆ 9º GÊB 6º EGB ˆ 6º EBG ˆ 6º EGB ˆ 6º FGE ˆ º CGF ˆ 9º No trângulo FE, teos: x x senº E x E E Se E x, então EB B E EB x No trângulo GEF teos: tgº x x EG x EG EG Coo o trângulo EBG é eqülátero, EB EG x x x QUESTÃO soa dos cnco preros teros de ua G, de razão negatva, é lé dsso, a dferença entre o séto tero e o segundo tero da G é gual a Nessas condções, deterne: a) razão da G b) soa dos três preros teros da G a) Teos ua progressão geoétrca ( a, a, a, ) de razão q < De acordo co o enuncado, teos o segunte sstea: a ( q ) a+ a + a + a + a a ( q ) q q a 6 ( ) 7 a a q q a q a q Da segunda equação, obteos: a ( q ) q Substtundo na prera, ve que: q q q 6 q ou q q Coo a razão da G deve ser negatva, excluíos a possbldade q, e fcaos co q b) Deterneos ncalente o prero tero da progressão Coo a ( q ), substtundo a razão q obtda no te (a), teos: q a (( ) ) a Conseqüenteente, o segundo e o tercero tero vale: a a q ( ) a a q ( ) soa pedda é dada por: S a+ a + a + S (9) - wwweltecapnascobr O ELITE RESOLE FUEST 9 SEGUND FSE - MTEMÁTIC QUESTÃO 6 U aprecador deseja adqurr, para sua adega, garrafas de vnho de u lote consttuído por garrafas da Espanha, garrafas da Itála e 6 garrafas da França, todas de dferentes arcas a) De quantas aneras é possível escolher garrafas desse lote? b) De quantas aneras é possível escolher garrafas do lote, sendo garrafas da Espanha, da Itála e da França? c) Qual é a probabldade de que, escolhdas ao acaso, garrafas do lote, haja exataente garrafas da Itála e, pelo enos, ua garrafa de cada u dos outros dos países? a) ara escolher garrafas dentre as dsponíves, teos possbldades b) O núero de aneras de escolher garrafas da Espanha dentre as dsponíves é 6 aneras O núero de aneras de escolher garrafas da Itála dentre as dsponíves é aneras O núero de aneras de escolher garrafas da França dentre as 6 6 dsponíves é aneras elo prncípo fundaental da contage, para que tenhaos ao eso tepo garrafas da Espanha, garrafas da Itála e garrafas da França, o núero de possbldades é dado por: 6 possbldades c) Coo já calculado no te (b), teos aneras de escolher garrafas da Itála dentre as dsponíves O que resta agora escolher são as 6 garrafas restantes para forar o lote co garrafas ara que entre essas 6 garrafas tenhaos pelo enos ua da Espanha e pelo enos ua da França, o únco caso que não pode ocorrer é que as 6 garrafas restantes seja todas da França (ua vez que não teos 6 garrafas da Espanha, apenas ) O núero de aneras de escolheros 6 garrafas dentre as garrafas da Espanha e da França é aneras 6 Soente ua dessas aneras não pode ocorrer, que é aquela e que escolheos todas as 6 garrafas da França e nenhua da Espanha Conseqüenteente, teos 9 aneras de escolher 6 garrafas dentre os países da França e da Espanha de odo que exsta pelo enos ua garrafa de cada u desses dos países O núero de possbldades de forar u lote co garrafas, sendo da Itála, e pelo enos ua de cada u dos outros dos países é dado, pelo prncípo fundaental da contage, por 9 ss, a probabldade pedda p é: p 9 p 7 QUESTÃO 7 No plano cartesano Ox, a crcunferênca C te centro no ponto (,) e é tangente à reta t de equação x e u ponto Seja anda Q o ponto de ntersecção da reta t co o exo Ox ss: a) Deterne as coordenadas do ponto b) Escreva ua equação para a crcunferênca C c) Calcule a área do trângulo Q

5 (9) - wwweltecapnascobr O ELITE RESOLE FUEST 9 SEGUND FSE - MTEMÁTIC a) stuação descrta no enuncado está esboçada na fgura a segur, onde r é a reta que passa pelo ponto e pelo ponto, sendo perpendcular à reta t reta t pode ser reescrta coo: x x E partcular, seu coefcente angular vale t Sendo r ua reta perpendcular a t, segue que: r r t Conseqüenteente, ua equação da reta r sera: r ( x x) ( x + ) x + + Coo o ponto é a nterseção das retas t e r, teos: x x x + + (, ) b) edda do rao R da crcunferênca C é gual à dstânca entre os pontos e, dada por: R d, ( + ) + ( + ) Logo, ua equação da crcunferênca C, de centro (,) e rao R sera: ( ) (,) C:( x x ) + R C:( x + ) + ( ) c) O ponto Q é o ponto de ordenada Q na reta t, já que ele é a nterseção de t co o exo das abscssas ss: xq xq Q, r t c) Deterne o valor de para o qual a age de f é gual ao conjunto { : } e, alé dsso, f é crescente no conjunto { x : x } d) Encontre, para a função deternada pelo valor de do te c) e para cada, o únco valor de x tal que f (x) a) abscssa do vértce de ua função f( x) a x + b x + c é b dada por x Dessa fora, x a Coo f( x ), teos Logo, as coordenadas do vértce da parábola são, + b) parábola ndcada apresenta concavdade para ca (o coefcente de x é postvo) Dessa fora, apresenta ponto de íno, cuja ordenada é gual a + ss, o conjunto age da função é dado por: I( f) : + Coo este conjunto deve conter { : }, ou seja, I( f), qualquer valor real deve satsfazer a condção + e, ass: Esqueatcaente: + ou + I( f ) c) ara que a age da função f seja { : }, deveos ter v +, o que ocorre se e soente se ou ara estes dos valores de, teos os seguntes gráfcos: área do trângulo Q pode ser calculada a partr da relação SQ D, onde o deternante D é dado por: ortanto: x D x xq Q SQ D S Q - x Logo, apenas para a função é crescente no conjunto { x : x }, enquanto que para, a função apresenta u trecho decrescente entre x e x x QUESTÃO 8 ara cada núero real, consdere a função quadrátca f (x) x + x + Nessas condções: a) Deterne, e função de, as coordenadas do vértce da parábola de equação f (x) b) Deterne os valores de para os quas a age de f conté o conjunto { : } d) ara, f( x) x + x + Sendo f( x), teos: ( ) ± x + x + x ± Coo x, restrngos a resposta a: x +

6 (9) - wwweltecapnascobr O ELITE RESOLE FUEST 9 SEGUND FSE - MTEMÁTIC QUESTÃO 9 π Seja x no ntervalo, satsfazendo a equação tg x + sec x ss, calcule o valor de π a) sec x b) sen x + a) Teos: sen x tg x + sec x cosx + cosx sen x cos x Substtundo na relação fundaental, ve que: sen x + cos x cos x + cos x 6 cos x cos x cos x ou cos x π Coo < x <, segue que cos x > ss, descartaos o valor cos x, e fcaos co cos x Conseqüenteente, coo sec x sec x cos x b) Deterneos o valor de sen x : ss: sen x cos x π π π sen x + sen x cos + cos x sen + π sen x + QUESTÃO fgura representa ua prâde BCDE, cuja base é o retângulo BCD Sabe-se que B CD D BC E BE CE DE DQ a) Observe o trângulo sósceles abaxo (face BE), co E BE :  E B Teos pela fgura que cos  plcando o Teorea dos Cossenos no trângulo B, teos: B + cosâ B B B B e b) Coo DQ, teos que Q é base éda do trângulo D ED Logo, Q nda teos que o trapézo BCQ é sósceles B QC Dessa fora podeos construr a segunte fgura: Q B h Q h B QC BC Q ela setra, ( ) No trângulo B, teos + h h ss, a área do trapézo BCQ é gual a: ( + ) ( B+ b) h 9 BCQ BCQ 6 c) prâde BQCE te coo base o trapézo BCQ, cuja área é 9 gual a B 6 ara a deternação de sua altura, observe a fgura a segur: C Nessas condções, deterne: a) edda de B b) área do trapézo BCQ c) O volue da prâde BQCE

7 (9) - wwweltecapnascobr O ELITE RESOLE FUEST 9 SEGUND FSE - MTEMÁTIC M N Teos: EM é a altura do trângulo eqülátero EQ de lado, cujo valor é EM EN é a altura do trângulo eqülátero EBC de lado, cujo valor é EN MN é a altura do trapézo BCQ, cujo valor, calculado anterorente, é MN Nota-se que EM + MN EN, de odo que o ângulo EMN ˆ 9º lé dsso, ME ˆ 9º (altura do trângulo equlátero EQ) Dessa fora, coo o segento EM é perpendcular a duas retas concorrentes, pertencentes ao plano no qual se encontra a base da prâde, ele é perpendcular a este plano lé dsso, coo EM atnge o vértce, ele é a altura da prâde e questão, apresentando o coprento calculado anterorente: EM E M Q C B ortanto, o volue desta prâde é gual a: 9 B H 6 6 N 6