INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA PROVA DE MATEMÁTICA RETA FINAL (LPM) INSTRUÇÕES

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA PROVA DE MATEMÁTICA RETA FINAL (LPM) INSTRUÇÕES. Esta prova tem duração de quatro horas.. Não é permtdo dear o local de eame antes de decorrdos duas horas do níco da prova. 3. Você poderá usar apenas láps (ou lapsera), caneta, borracha e régua. É probdo portar qualquer outro materal escolar. 4. Esta prova é composta de 0 questões de múltpla escolha (numeradas de a 0), e de 0 questões dssertatvas (numeradas de a 30). 5. As 0 questões de múltpla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dssertatvas aos 50% restantes. 6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verfque se o caderno de questões está completo. 7. Numere sequencalmente de a 30, a partr do verso da capa, cada págna do caderno de soluções. O número atrbuído a cada págna corresponde ao da questão a ser resolvda. Não escreva no verso da parte superor da capa (regão sombreada) do caderno de soluções. As folhas centras colordas deverão ser utlzadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nem destacadas pelo canddato. 8. Cada questão de múltpla escolha admte uma únca resposta. 9. As resoluções das questões dssertatvas, numeradas de a 30, podem ser fetas a láps e devem ser apresentadas de forma clara, concsa e completa. Respete a ordem e o espaço dsponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráfcos. 0. Antes do fnal da prova, você receberá uma folha de letura óptca, destnada à transcrção das respostas das questões numeradas de a 0. Usando caneta preta, asssnale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltpla escolha. Você deve preencher todo o campo dsponível para a resposta, sem etrapolarlhe os lmtes, conforme nstruções na folha de letura óptca.. Cudado para não errar no preenchmento da folha de letura óptca. Se sso ocorrer, avse o fscal, que lhe fornecerá uma folha etra com o cabeçalho devdamente preenchdo.. Não haverá tempo suplementar para o preenchmento da folha de letura óptca. 3. Na últma págna do caderno de soluções, este uma reprodução da folha de letura óptca, que deverá ser preenchda com um smples traço a láps, durante a realzação da prova. 4. A não devolução do caderno de soluções, do caderno de questões e/ou da folha de letura óptca mplcará a desclassfcação do canddato. 5. Aguarde o avso para ncar a prova. Ao termná-la, avse o fscal e aguarde-o no seu lugar.

2 N = {,,3,... } R : conjunto dos números reas. C : conjunto dos números compleos. [ a, b] = { R ; a b}. A \ B = A; B. ( a+= ) a, += { ; a< <+} { } R. A C : complementar do conjunto A. : undade magnára : =. z : módulo do número z C. Re z : parte real do número z C. Im z : parte magnára do número z C. M conjunto das matrzes reas m n m n( R ):. t A : transposta da matrz A.. NOTAÇÕES det A : determnante da matrz A. P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A. n(a): número de elementos do conjunto fnto A. AB : segmento de reta unndo os pontos A e B. tr A: soma dos elementos da dagonal prncpal da matrz quadrada A. Observação: Os sstemas de coordenadas consderados são cartesanos retangulares. º S I M U L A D O ITA LPM M A T E M Á T I C A 04 Questão 0. Sejam a, b e c números reas não nulos (com soma não nula) tas que: + + = a b c a + b + c. Então o valor da epressão a b c a + b + c a)0 b) c)0 d)03 e)04 Questão 0. No plano compleo, o paralelogramo formado pelos pontos afos 0, z, e z + tem área gual a z z 35. Se a parte real de z é postvo e d o menor valor possível de z +. Então o valor de 37. d 37 z a)45 b)48 c)50 d)60 e)7

3 Questão 03. Sabendo que sen = e 3 sen n=0 3 ( n) n pode ser escrto da forma a + b c π 0. Então o valor de a + b + c é gual a: com a e b números prmos entre s, a)40 b)4 c)4 d)43 e)44 Questão 04. Sabendo que as cevanas AA, BB, CC do trangulo ABC se nterceptam no ponto O e satsfaz a AO BO CO AO BO CO relação + + = 0 Então o valor OA OB OC OA OB OC a)0 b)0 c)03 d)04 e)05 Questão 05. λ 0 Consdere as matrzes A = λ e B = 0, os valores de λ para os quas este uma λ 0 nfndade de matrzes X tas que A.X = B são λ, λ e λ tas que 3 λ λ λ3. Assm, a nterseção dos domínos das funções f ( ) = + λ λ e g( ) = arcsen log λ 3 é 0 a), b) 0, c), d), + e) φ [ ] ] ] [ ] [ [ Questão 06. Sabendo que os termos p = e q =. Então o valor da epressão 3 k k 3 k = k = j= k= ( j + k) p a) p q b) p + q c) p. q d) e) p q q Questão 07. Em uma caa são colocadas cnco varetas de comprmentos de cm, cm, 3 cm, 4 cm e 5 cm. São retradas, ao acaso, quatro varetas com reposção. Determne a probabldade do comprmento destas quatro varetas seleconadas formarem um retângulo com meddas dos lados não todos guas a) b) c) d) e ) Questão 08. Sejam ( a, b ) e ( a, b ) soluções reas, não nulas, do sstema de equações 3 a + ab + a 8b a b = Então o valor da epressão a + b + a + b b + a b+ 8a b= 0 a) 0 b) 4 c) 6 d) 8 e) 3

4 Questão 09. Dado uma matrz B de ordem 4 (4 4) com determnante de B gual a 4 e BA.B t = A.M.M t sendo M uma matrz dagonal M= ( mj) =. O valor do determnante de A, se det A > 0. a) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 30 Questão 0. Quantas soluções reas possu o sstema abao? a) 0 b) 8 c) 6 d) 5 e) Questão. Quantas são as permutações,,,,,,7,8 de modo que: 0 a) 0 b) 04 c) 340 d) 048 e)096 Questão O valor da epressão números prmos entre s. Então o valor de a + b é da forma b a. com a e b a)83 b)84 c)85 d)86 e)87 Questão 3. Qual é o lugar geométrco formado pelos pontos afos de Z quando Z = + + ; r R 0 + r. representa a undade magnara dos números compleos é gual a: { } e a)uma reta b)crcunferênca c)elpse d)hpérbole e) parábola Questão 4. Se log = e log3 = y, então log ( ) + log ( + 3) + log ( ) log ( ) [ log+ log + log log 7] é da forma a + b + cy, com a, b e c números nteros e postvos. Então o valor da epressão a + b + c a)36 b)4 c)48 d)54 e)56 Questão 5. Sabendo que, y e z são números reas que satsfaz:

5 = y + z 6 6 m y = z + e + y + z =, onde m e n são números nteros e postvos tal que n 5 5 n z = + y representa um número prmo. Então o valor de m + n é gual a: a)5 b)6 c)7 d)8 e)9 Questão 6. Calcule o menor valor postvo de θ, sabendo que θ.cos = radcas a) π b) π c) π d) π e) π Questão Sabendo f ( ) , z cos π π = = +. sen tal que o b produto da epressão f ( z). f ( z ). f ( z )... f ( z ) seja da forma a, em que a e b são nteros. Então o valor de a + b a) 004 b) 005 c) 4009 d) 400 e) 40 Questão 8. Um cone e um clndro crculares retos têm uma base comum e o vértce do cone se encontra no centro da outra base do clndro. Determne o ângulo θ formado pelo eo do cone e sua geratrz, sabendo-se que a razão entre a área total do clndro e a área total do cone é 7/ a) θ = arc sen b) θ = arccos c) θ = arctg d) θ = arc sen e) θ = arccos Questão 9. Seja a matrz A de dmensão n n tal que a, = j =, onde, 0, j j n, j. Então o valor de 4 n sabendo que o determnante da matrz.a vale é gual a: a)7 b)6 c)5 d)4 e)3 Questão 0. ( ) 6 y Dados A(,0) e B(-,0) e a elpse + =, se os pontos P ( a, b ), P ( a, b ) e P3 ( a3, b3 ) 6 9 pertencem a curva tas que reta AP tenha coefcente angular gual ao trplo do coefcente da reta BP com =,, 3. Então o valor da epressão a + a + a3 + b. b. b3 é gual a:

6 a)00 b) 4 c)3 d)36 e)40 AS QUESTÕES DISSERTATIVAS, NUMERADAS DE A 30, DEVEM SER RESOLVIDAS E RESPONDIDAS NO CADERNO DE SOLUÇÕES. Questão. B = b kj, k, j =,,..., 7 uma matrz quadrada de ordem 7, tal que Seja ( ) 7 se k < j j b = se k = j ak 0 se k > j a, a,..., a ( k j ) Se 7 são as raízes da equação 7 =, mostre que Tr(B) = 7 Det(B). Dado: =. Questão. Seja uma progressão geométrca tal que o prmero termo (b) e a razão (q) são maores do que.sabe-se que p é o produto dos k prmeros termos dessa progressão e que log p = 0,0, logb = 8 e log q = 9, onde é um número real maor do que zero. Determne o valor de k. Questão 3. Se ( + + ) n = a + a + a 0 a0. a a. a + a. a3 a3. a an.a n Questão 4. Determne todas as funções : a. Calcule o valor da epressão n n que satsfazem a equação abao: Questão 5. Determne eplctamente uma ( ) + R, f 0 = 0. função f : R R tal que f ( + ) ( ) = 3 f + 5, para todo Questão 6. Indy e Blly vão com outros sess amgos, três moças e três rapazes, para uma ecursão. No ônbus que va fazer a vagem sobraram apenas quatro bancos vazos, cada um deles com dos assentos, todos numerados. Fcou acertado que cada banco vago será ocupado por uma moça e um rapaz, e que Indy e Blly se sentarão juntos. Respetando-se esse acerto, de quantas maneras o grupo de amgos pode se sentar nos assentos vagos do ônbus? Justfque sua resposta. Questão 7. Resolva a equação = para 0

7 Questão 8. Determnar todos os pares de números nteros (, ) 6 3y 3 5y + =. y que satsfazem a equação Questão Sabendo-se que a equação, de coefcentes reas ( a + b + c) ( a b) 3c + 6 = 0 é uma equação recíproca de segunda classe, encontre todas as raízes da equação: Questão 30. No quadrlátero conveo ABCD são dados os ângulos BAC ˆ = 30, CAD ˆ = 0, ABD ˆ = 50 e DBC ˆ = 30. Sendo P o ponto de ntersecção das dagonas AC e BD, prove que PC = PD.