Funções de Transferência

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1 Funções de Trnsferênc Em teor de controle, funções chmd funções de trnsferênc são comumente usds r crcterzr s relções de entrd-síd de comonentes ou sstems que odem ser descrtos or equções dferencs. FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI função de trnsferênc de um sstem de equção dferencs lneres é defnd como relção d trnsformd de Llce d síd r trnsformd de Llce d entrd. Consdermos o sstem defndo el segunte equção dferencl: d n y n d y dy y b d m x m d x b b dx n n + n n m m + m m bx Onde y é síd do sstem e x é entrd e n m. função de trnsferênc do sstem é obtd tomndo-se trnsformd de Llce de mbos os membros d equção. função de trnsferênc Gs ( ) L [ síd] [ entrd] L condções ncs nuls. m m Ys () bs m + bm s bs+ b Gs () n n X() s s + s s+ n n m n bs s Usndo o conceto de função de trnsferênc, é ossível reresentr dnâmc do sstem els equções lgébrcs em "s". lcbldde do conceto d função de trnsferênc é lmtd os sstems de equções dferencs lneres nvrntes no temo.

2 Funções de Trnsferênc FUNÇÕES DE TRNSFERÊNCIS DE SISTEMS DINÂMICOS Suonh segunte equção dferencl de ordem : Vρ C dt wc( T T) + Q Se o rocesso está nclmente no estdo estconáro, ortnto: T( ) T T ( ) T Q( ) Q síd T está relcond às entrds T e Q elo blnço de energ no estdo-estconáro. wc( T T ) + Q Pr elmnr deendênc do modelo ds condções estconárs, subtr-se relção no estdo-estconáro d equção dferencl do modelo. [( ) ( )] ( ) Vρ C dt wc T T T T + Q Q Vρ dt ( T) w wc Q + [( T T) ( T T) ] ( Q ) fzendo T T T, T T T eq Q Q temos: V ρ dt [ T T ] + w wc Q Vρ Substtundo : τ w e temos: wc τ dt [ T T ] + Q lcndo Llce: τ [ st' ( s) + T' ( )] T' ( s) T' ( s) + Q' ( s) Sstems de Controle 9

3 Funções de Trnsferênc Como T'() então: τ st' ( s) T' ( s) T' ( s) + Q' ( s) ( τs+ ) T' ( s) T' ( s) + Q' ( s) T' ( s) T ( s) Q ( s) ' + ' τ s + τ s + Portnto: T' ( s) G ( s) T' ( s) + G ( s) Q' ( s) Onde: G ( s) G ( s) τ s + τ s + COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI - É um modelo mtemátco exresso trvés de um equção dferencl que relcon síd com entrd. - Indeende d mgntude e d nturez d entrd. 3- Inclu s unddes ds entrds e síds. 4- Não fornece nformções sobre estrutur físc do sstem. 5- Pode ser estbelecd exermentlmente ntroduzndo-se entrds conhecds e nlsndo s síds. Sstems de Controle 3

4 Funções de Trnsferênc PROPRIEDDES DS FUNÇÕES DE TRNSFERÊNCI GNHO D FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI vrção d síd no estdo-estconáro é clculdo dretmente, fzendo S O. Em G(s) dá o gnho no estdo-estconáro do rocesso, se ele exste. O gnho no estdo-estconáro é rzão entre vrção d síd com vrção d entrd. y y x x b Onde : e ndcm dferentes estdos-estconáros ( yex ). ORDEM D FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI ordem d função de trnsferênc é mor otênc de "s" no denomndor do olnômo que é ordem d equção dferencl equvlente. O sstem é chmdo de n-ésm ordem. CONSTNTE DE TEMPO D FUNÇÃO DE TRNSFERÊNCI Se mbos o numerdor e denomndor forem dvddos or o olnômo crcterístco (denomndor) ode ser ftordo n form de roduto ( τ s + ). O termo em "s" é chmdo constnte de temo (τ) que dá um nformção d velocdde e ds crcterístcs d resost do sstem. RELIZÇÃO FÍSIC Ddo um sstem descrto or m m bs m + bm s bs + b Gs () n n s + s s+ n n é fscmente ossível se n m. Sstems de Controle 3

5 Funções de Trnsferênc PÓLOS E ZEROS Dd função de trnsferênc: m m bs m + bm s bs + b Gs () n n n s + n s s+ Est exressão ode ser ftord em ( )( ) ( ) b s z s z s z m m Gs ( )... n ( s )( s )...( s n ) onde: z são os zeros d função de trnsferênc são os ólos de função de trnsferênc Os ólos e zeros tem um el mortnte n determnção do comortmento dnâmco do sstem. Podemos vsulzr o to de comortmento dnâmco ssocdo cd to de ólo: dstntos e res; res comlexos e conjugdos ( ± b j); múltlos rízes form Lugr ds rízes ólos res e yt ( ) Ce t negtvos - Comor tmento ólos res e ostvos ( ) yt Ce t 3 ólos comlexos conjugdos com rte rel negtv 4 ólos mgnáros uros 5 ólos comlexos conjugdos com rte rel ostv - + b - - b b - b + b - b t ( ) ( cos + sen ) yt e C bt C bt yt ( ) Ccos bt+ Csenbt t ( ) ( cos + sen ) yt e C bt C bt Sstems de Controle 3

6 Funções de Trnsferênc PROCESSO Os rocessos res consstem n combnção de sstems báscos elementres. É fundmentl r o bom conhecmento desses rocessos entender o comortmento dos sstems elementres. SISTEMS DE PRIMEIR ORDEM Sstems de rmer ordem tem seu comortmento dnâmco descrto or equções dferencs de rmer ordem. Modelo dy + y bu Onde: y - Vrável síd u - Vrável entrd dy b y u dy + τ + y u Prâmetros de dnâmc τ - constnte de temo - gnho do rocesso Função de trnsferênc No domíno s temos: τ ( ) ( ) ( ) ( ) sy s + y s u s G s τ s + Sstems de Controle 33

7 Funções de Trnsferênc Exemlo Um retor de mstur erfet, com nível constnte e reção de rmer ordem. Blnço Mterl V dc ( ) + FC C + C V dc + ( F + ) C FC V dc + C F + F F C + τ dc + C C onde: F F e V τ + F + No domíno "s" temos : sc ( s) + C ( s) C ( s) τ C ( ) s G( s) C ( s) τ s + resost dnâmc de rmer ordem deende do to de entrd Sstems de Controle 34

8 Funções de Trnsferênc Resost o degru C ( ) s Gs ( ) C ( s) τ s + (Função de trnsferênc) C ( s) C ( s) τ s + M C ( s) (Degru) S M C ( s) τ s + S No domíno t (trnsformd nvers de Llce) C ( t) M e t τ SISTEMS DE SEGUND ORDEM Sstem de segund ordem tem seu comortmento dnâmco descrto or equções dferencs de segund ordem. sére. Tmbém ode ser comosto or dus funções de trnsferênc de ordem em Modelo d y dy d y dy + + y bu + + y b u τ d y dy + ζτ + y k u Sstems de Controle 35

9 Funções de Trnsferênc se consderrmos ω n e multlcndo todos os termos or ω τ n temos: d y dy + ζωn + ωn y kω n u Prâmetros de dnâmcos - Gnho estconáro do rocesso ξ - Ftor de mortecmento τ - Determn velocdde d resost ( equvlente à constnte de temo do rocesso ) - Freqüênc nturl de osclção do rocesso. ω n Função de trnsferênc No domíno "s" temos ou τ sys ( ) + ζ τ sys ( ) + ys ( ) us ( ) ys ( ) Gs ( ) us ( ) τ s + ζτ s+ s y( s) + ζ ω sy( s) + ω y( s) ω u( s) n n n ys ( ) Gs ( ) us ( ) s ω n + ζω s+ ω n n Sstems de Controle 36

10 Funções de Trnsferênc Há três forms mortntes ds funções de trnsferênc de segund ordem: Form Fx do Ftor de mortecmen to crcterístc de resost do sstem ζ > sobre mortecdo ζ crtcmente mortecdo 3 < ζ < sub mortecdo crcterístcs dos ólos (rízes) ólos res e dstntos ólos res e gus ólos comlexos e conjugdos O cso ms mortnte é o sstem sub-mortecdo. Há um sére de râmetros de nteresse n resost do sstem. Freqüênc de Osclção mortecd ω ω ζ ou ω d n d ζ τ Período de Osclção mortecd P d π ω d Sstems de Controle 37

11 Funções de Trnsferênc Rse Tme(tr) - temo de subd - Temo onde resost lcnç o novo estdo-estconáro el vez. É um medd d velocdde de resost do sstem o degru. t r π ωd Tme to frst ek (t) - nstnte r o o co - Temo em que o sstem tnge o o co. t π ωd Settlng Tme - temo de estblzção - Temo requerdo r que o rocesso tenh resost n bnd de 5% do estdoestconáro t s 4 ζω n Overshoot - sobre-snl - Quntdde máxm n qul resost ultrss o vlor do estdo-estconáro. É reresentdo como um frção do vlor em estdo-estconáro. Os e b πζ ζ Decy-rto - rzão de decmento - Rzão entre s mltudes de dos cos consecutvos. D r c ( Os) e πζ ζ Sstems de Controle 38

12 Funções de Trnsferênc SISTEMS COM TEMPO MORTO O temo morto é um crcterístc resente em mutos rocessos, é conhecd como dnâmc de tubulção e roredde do sstem de resonder um entrd ós um certo temo, td. Modelo yt ( ) xt ( t d ) Prâmetros de dnâmc td - Temo morto Função de trnsferênc G( s) ys ( ) xs ( ) e tds SISTEM COM RESPOST INVERS resost nvers é o resultdo de dos efetos oostos. Sstems de Controle 39

13 Funções de Trnsferênc Função de trnsferênc Gs ( ) ( τ s+ ) ( τ s+ )( τ s+ ) onde τ < ou Gs ( ) ( τ s + ) ( τ s + ) suondo e ostvos, então τ < τ. PROCESSOS DE INTEGRDORES Processos ntegrdores são queles que não estblzm com o temo. Um cso tíco é um sstem de nível de líqudo. Exemlo - Nível de Líqudo dh q q fzendo q q q temos: Sstems de Controle 4

14 Funções de Trnsferênc dh q No domíno "s" temos sh( s) q ( s) hs ( ) ( ) s q s hs ( ) q ( s) s Sstems de Controle 4