CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES. 1. Convergência ponto a ponto e convergência uniforme

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1 CAPÍTULO III SUCESSÕES E SÉRIES DE FUNÇÕES Covergêci oto oto e covergêci uiforme Cosiderem-se s fuções f 3 tods de A R em R Pr cd A f é um sucessão de termos reis e oderá ou ão eistir lim f Sedo B A um cojuto ão vzio de reis r os quis eist fiito lim f cosidere-se fução f lim f com domíio em B Diz-se etão que sucessão de fuções f coverge oto oto ou coverge otulmete r fução f o cojuto B ; ou sej f coverge oto oto r f em B se e só se é verificd seguite codição δ > 0 B δ : > δ f f < δ Se codição recedete ordem δ uder ser ecotrd de form ão deeder do B cosiderdo covergêci de f r f em B diz-se uiforme ; ou sej f coverge uiformemete r f em B se e só se é verificd seguite codição δ > 0 δ : > δ B f f < δ Clro que covergêci uiforme imlic covergêci oto oto ms ivers ão é verddeir como mostr o eemlo seguite Sedo f r R tem-se ]- ] lim f f 0 < < verificdo-se ortto covergêci oto oto d sucessão de fuções f r f o itervlo ]- ] No etto ordem rtir d qul se tem f f < δ deede de form iultrssável do ]- ] cosiderdo ão sedo ortto uiforme covergêci; com efeito tomdo or eemlo δ / r qulquer ordem que se fie há semre vlores ]- ] tis que f f / stdo r tl tomr vlores de com módulo suficietemete róimo d uidde No teorem seguite reset-se um codição ecessári e suficiete de covergêci uiforme: Teorem : Dd sucessão de fuções f tods de A R em R codição ecessári e suficiete r que sucessão covirj uiformemete r f em B A é que teh limite ulo seguite sucessão : λ Su { f f : B} 85

2 Demostrção : A codição é ecessári Se f coverge uiformemete r f em B A tem-se etão r > δ δ > 0 δ : > δ B f f < δ / ; λ λ Su { f f : B} δ / < δ ou sej or defiição de limite de um sucessão tem-se que lim λ 0 A codição é suficiete Se lim λ 0 etão δ > 0 δ : > δ λ λ Su { f f : B} < δ e ortto or ser f f Su { f f : B} r todo o B tem-se δ > 0 δ : > δ B f f < δ codição que trduz covergêci uiforme de f r f em B A Um outr codição ecessári e suficiete de covergêci uiforme cost do teorem seguite : Teorem : Dd sucessão de fuções f tods de A R em R codição ecessári e suficiete r que sucessão covirj uiformemete r cert f em B A é que δ > 0 δ : > m > δ B f f m < δ Demostrção : A codição é ecessári Admit-se que f coverge uiformemete r f em B A Tem-se δ > 0 δ : > δ B f f < δ / Etão r > m > δ e B tem-se f f m f f f f m < δ / δ / δ ssim se rovdo que codição é ecessári A codição é suficiete Admit-se verificd codição do eucido qul imlic que r cd B eiste fiito f lim f Assim se coclui que f coverge oto oto r cert fução f em B Rest rovr que covergêci é uiforme Ddo um qulquer δ > 0 determie-se ordem δ tl que r > m > δ e qulquer B se tem f f m < δ / ; etão r m > δ e m k k e qulquer B tem-se 86

3 f m f f m f m k f m k f < or ser r cd B lim k < δ / f m k f ; f m k f result que lim k f m k f 0 cocluido-se etão que f m f δ / < δ r m > δ e qulquer B ou sej sucessão f coverge uiformemete r f o cojuto B Cotiuidde d fução limite Admitmos que sucessão de fuções f tods de A R em R coverge uiformemete r f em certo B A Veremos seguidmete que sedo s fuções f cotíus em B etão fução limite f é igulmete cotíu em B O teorem resectivo será eucido e demostrdo r o cso em que B A or mer coveiêci de otção ms os termos de um corolário imedito o resultdo geerliz-se o cso em que B A Teorem 3 : Sedo f um sucessão de fuções tods de A R em R cotíus em A etão se sucessão f coverge uiformemete r f em A tmém f é fução cotíu em A ; em rticulr se s fuções f são cotíus em A o mesmo sucede com f Demostrção : Pel covergêci uiforme de f em A tem-se δ > 0 δ : > δ A f f < δ /3 Como or hiótese fução f δ é cotíu em ou sej eiste ε δ > 0 tl que < ε δ A f δ f δ < δ /3 result etão r < ε δ e A f f f f δ f δ f δ f δ f < δ /3 δ /3 δ /3 δ ou sej f é fução cotíu em Como o rgumeto recedete se ode licr qulquer A ode s fuções f sejm cotíus result segud rte do teorem 87

4 Corolário : Sedo f um sucessão de fuções tods de A R em R cotíus em B A etão se sucessão f coverge uiformemete r f em B tmém f é fução cotíu este mesmo cojuto Demostrção : Bst licr o teorem à sucessão ds restrições ds f B 3 Alicção o cso ds séries de fuções reis de vriável rel Cosidere-se gor o cso de um série R Pr cd A série f de fuções f tods de A R em f é um série rel covergete ou divergete ; covergêci d série equivle como se se à covergêci d resectiv sucessão ssocid S f f f e verificr-se tem-se f f lim S Sej B um cojuto de otos A r os quis eist fiit som f d série f ou sej um cojuto de otos A r os quis sucessão S teh limite fiito; diz-se etão que série f coverge oto oto r f em B ; ou sej covergêci oto oto d série em B equivle à covergêci oto oto d resectiv sucessão ssocid S o mesmo cojuto No cso de covergêci de S r f ser uiforme em B diz-se tmém que série coverge uiformemete r f em B f Os critérios de covergêci uiforme estuddos r s sucessões de fuções odem ortto ser licdos r estudr covergêci uiforme ds séries de fuções st licr tis critérios às resectivs sucessões ssocids No etto rtir d codição ecessári e suficiete costte do teorem odem eucir-se critérios de licção direct o estudo d covergêci uiforme de um série de fuções Teorem 4 : Dd série f com s f fuções de A R em R codição ecessári e suficiete r que série covirj uiformemete r cert f o cojuto B é que δ > 0 δ : > m > δ B f m f m f < δ Demostrção : A covergêci uiforme d série de fuções f fução f em B equivle à covergêci uiforme d sucessão ssocid r cert 88

5 S f f f r mesm fução f o cojuto B ; elo teorem r que tl coteç é ecessário e suficiete que δ > 0 δ : > m > δ B S S m < δ ms or ser S - S m f m f m f result de imedito codição do eucido que é ssim ecessári e suficiete r que série de fuções reis f covirj uiformemete r cert f o cojuto B O teorem recedete é de difícil licção rátic elo que é coveiete deduzir dele lgums codições suficietes de covergêci uiforme de mis simles utilizção Assim: Teorem 5 : Sedo f com s f fuções de A R em R uiformemete covergete r cert fução g o cojuto B A tmém f é uiformemete covergete r cert fução f o mesmo cojuto Demostrção : Por ser f m f m f f m f m f f m f m f e como covergêci uiforme d série dos módulos equivle ser δ > 0 δ : > m > δ B f m f m f coclui-se tmém que f m f m f < δ δ > 0 δ : > m > δ B f m f m f < δ codição que de cordo com o teorem 4 grte o covergêci uiforme d série f o cojuto B 89

6 Teorem 6 : Dd série f com s f fuções de A R em R se rtir de cert ordem k fi ão deedete de se tiver r qulquer B f e se série rel de termos ositivos f for covergete etão s séries f e são ms uiformemete covergetes em B Critério de Weierstrss Demostrção : Pr > m > k f m f m f m m qulquer que sej B Como or hiótese série de úmeros reis ositivos covergete ddo δ > 0 eiste um ordem δ tl que r > m > δ m m m m < δ ; é evidetemete que ordem δ deede es de δ já que os termos ão deedem de Sedo δ Má { δ k} tem-se r > m > δ e qulquer B f m f m f < δ codição que de cordo com o teorem 4 grte covergêci uiforme d série f o cojuto B ; o teorem 5 grte or su vez que tmém série f é uiformemete covergete o mesmo cojuto Quto à cotiuidde d som d série tem-se o seguite : Teorem 7 : Se s fuções f forem cotíus em A e série f for uiformemete covergete r f em A etão tmém f é fução cotíu em A ; em rticulr se s fuções f são cotíus em A o mesmo sucede com f Demostrção : Bst otr que s codições do eucido sucessão de fuções cotíus S f f f coverge uiformemete r som d série f e licr o teorem 3 90

7 Corolário : Se s fuções f forem cotíus o cojuto B A e série f for uiformemete covergete r f em B etão tmém f é fução cotíu este mesmo cojuto Demostrção : Bst licr o teorem à série ds restrições ds f B 4 Alicção às séries de otêcis Reltivmete o estudo efectudo o oto terior um cso rticulr imortte é o d série de otêcis em R ou sej série em que e são úmeros reis é vriável rel e é o termo gerl de um sucessão estritmete crescete de úmeros iteiros ão egtivos Semos já que série de otêcis é covergete r ertecete certo itervlo I o qul ode ser: i erto I ]- [ ou I ] -λ λ [ ; ii se-mi-erto I ] -λ λ ] ou I [ -λ λ [ ; iii fechdo I [ -λ λ ] Se-se tmém que série de otêcis referid é solutmete covergete os otos iteriores do itervlo I odedo id sê-lo s resectivs etremiddes ± λ devedo orém otr-se que qudo tl cotece covergêci ão ode ser solut es um ds etremiddes ddo que s séries λ e λ coicidem termo termo Desigdo or I 0 o itervlo de covergêci solut temse I 0 I e o cso de ser I 0 I série é simlesmete covergete em elo meos um ds etremiddes ± λ Pr cd I ertecete itervlo de covergêci d série de otêcis sej f Tem-se etão que série de otêcis coverge oto oto o itervlo I r fução f Os teorems seguites trtm d questão d evetul covergêci uiforme d série de otêcis r fução f referid 9

8 Teorem 8 : Dd série de otêcis em R sej I 0 o resectivo itervlo de covergêci solut Etão: Se I 0 [ -λ λ ] série é uiformemete covergete em I 0 ; Se I 0 ]- [ ou I 0 ] -λ λ [ série é uiformemete covergete em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido em I 0 Demostrção : No cso d líe tem-se r [ -λ λ ] λ e or ser covergete série λ ddo ser solutmete covergete série de otêcis r ± λ o critério de Weierstrss teorem 6 ermite tirr coclusão desejd : série de otêcis é uiformemete covergete em I 0 No cso d líe cosidere-se um itervlo K [m m ] limitdo e fechdo cotido em I 0 ]- [ ou I 0 ] -λ λ [ Como m e m ertecem o itervlo erto I 0 eiste ortto um rel r > 0 tl que e como série K [ m m ] [ - r r] I 0 é solutmete covergete em [ - r r] rciocido como o cso d líe - com utilizção do itervlo fechdo [ - r r] em vez do itervlo [ -λ λ ] etão utilizdo - coclui-se que covergêci é uiforme em [ r r] sedo-o ortto tmém em qulquer sucojuto deste itervlo como é o cso do itervlo K O resultdo d líe do teorem recedete ode ser melhordo qudo um ou ms s etremiddes ± λ do itervlo de covergêci solut sejm otos de covergêci simles d série de otêcis A demostrção do teorem seguite que trt dest questão ressuõe utilizção d desiguldde de Ael que ssmos resetr Ddos os úmeros reis i i i tem-se seguite iguldde:

9 Com efeito como rcel geéric do rimeiro memro é i i iguldde fic demostrd se se rovr que os termos com i o segudo memro somm recismete i i Or o segudo memro rimeir rcel ode figur i é i - i i e em tods s rcels seguites figur semre i ; etão o coeficiete de i o segudo memro é recismete como se retedi demostrr i - i i - i - - i A rtir d iguldde otid vmos estelecer desiguldde de Ael Qudo os sejm úmeros ão egtivos decrescetes ou sej 0 sedo k tl que k k k otém-se rtir d iguldde revimete demostrd : k ou sej k que é desiguldde de Ael utilizr demostrção do teorem seguite Aid tedo em vist fcilitr demostrção do mesmo teorem ote-se revimete que se série de otêcis Covergir uiformemete em qulquer itervlo fechdo [ λ] cotido em ]-λ λ] tl é suficiete r grtir resectiv covergêci uiforme em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido este último itervlo Com efeito qulquer itervlo K limitdo e fechdo cotido em ] -λ λ] está tmém cotido em certo [ λ] com -λ < < λ e suost covergêci uiforme d série em [ λ] imlic covergêci uiforme em qulquer sucojuto deste itervlo como é o cso do itervlo K ; Do mesmo modo se dit série covergir uiformemete em qulquer itervlo fechdo [-λ ] cotido em [-λ λ[ tl é suficiete r grtir resectiv covergêci uiforme em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido este último itervlo 93

10 Teorem 9 : Dd série de otêcis em R sej I 0 o seu itervlo de covergêci solut d série Sedo I 0 ] -λ λ [ : Se série de otêcis for simlesmete covergete em λ etão é uiformemete covergete em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido o itervlo ] -λ λ ] ; Se série de otêcis for simlesmete covergete em - λ etão é uiformemete covergete em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido em [ -λ λ [ ; c Se série de otêcis for simlesmete covergete em - λ e em λ etão é uiformemete covergete em [ -λ λ ] Demostrção : Cosidere-se o itervlo ] λ] e vejmos que este itervlo covergêci é uiforme Fzedo ε [ ] λ tem-se r < λ ε ε ε > 0 Como or hiótese série de otêcis é covergete r λ etão ddo um qulquer δ > 0 eiste um ordem δ tl que r > m > δ m λ m < δ / m λ m m λ m < δ / m λ m m λ m λ < δ / Utilizdo desiguldde de Ael odemos ois escrever r > m > δ m λ m ε m m λ m ε m λ ε δ / ε m < δ ou sej sustituido os ε i elos resectivos vlores m m m m < δ r qulquer ] λ] De cordo com o teorem 4 ode ois cocluir-se que série de otêcis é uiformemete covergete em ] λ ] A firmção d líe do eucido rov-se gor imeditmete Nos termos ds cosiderções que imeditmete recedem o eucido do teorem strá rovr que covergêci é uiforme em qulquer itervlo fechdo [ λ] cotido em ] -λ λ] : or sedo < λ o itervlo [ λ] está cotido o itervlo de covergêci uiforme ] λ] e coclusão é imedit ; cso se teh - λ < tem-se 94

11 covergêci uiforme o itervlo [ ] [or ser um itervlo limitdo e fechdo cotido o itervlo de covergêci solut - ver teorem 8 líe -] e tmém o itervlo ] λ] fcilmete se cocluido que covergêci é tmém uiforme em [ λ] [ ] ] λ] A demostrção é semelhte à d líe começdo-se or rovr que covergêci é uiforme o itervlo [ - λ [ o que se cosegue fzedo ε [ ] λ r - λ < e utilizdo desiguldde de Ael tl como se fez líe c O resultdo é cosequêci imedit do demostrdo s líes teriores : covergêci é uiforme em [ λ] - líe - e o itervlo [-λ ] - líe - logo tmém o é em [ -λ λ ] [-λ ] [ λ] Por um questão de sistemtizção odemos reuir um só eucido os resultdos estelecidos os teorems 8 e 9 Teorem 0 : Dd série de otêcis em R sej I o resectivo itervlo de covergêci simles ou solut A série de otêcis é uiformemete covergete em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido em I Demostrção : Reresetdo or I 0 o itervlo de covergêci solut d série de otêcis Se for I I 0 o teorem 8 ssegur coclusão; Se o itervlo I icluir qulquer ds resectivs etremiddes ou ms como otos de covergêci simles d série de otêcis o teorem 9 ssegur igulmete coclusão A rtir do teorem 0 e tedo em cot o corolário do teorem 7 odemos ortto eucir Teorem : Dd série de otêcis resectivo itervlo de covergêci fução rel de vriável rel é cotíu o itervlo I ode é defiid Demostrção : A série de fuções f e reresetdo or I o 95

12 coverge oto oto o itervlo I r fução f e or outro ldo o teorem 0 ssegur que covergêci é uiforme em qulquer itervlo limitdo e fechdo cotido em I Ddo um qulquer c I três csos se odem dr : O oto c ertece o iterior de I e esse cso ertece o iterior de certo itervlo K limitdo e fechdo cotido em I A covergêci uiforme d série em K grte cotiuidde de f em K corolário do teorem 7 logo f é cotíu em c ; Cso sej c λ série é uiformemete covergete o itervlo [ λ] sedo etão f cotíu esse itervlo e ortto cotíu à esquerd em λ ; c Cso sej c λ série é uiformemete covergete o itervlo [-λ ] sedo etão f cotíu esse itervlo e ortto cotíu à direit em λ O que tecede é suficiete r grtir cotiuidde de f itervlo I ode série coverge o A cotiuidde lterl d fução som d série s etremiddes do itervlo de covergêci qudo eles série covirj será dite utilizd r justificr o lrgmeto d vlidde de um desevolvimeto em série um ou ms s etremiddes do itervlo de covergêci d série rtir d resectiv vlidde o iterior do itervlo Assim dmitido que g r ] - λ λ [ suoh-se or eemlo que série coverge tmém r λ Reresetdo som d série de otêcis or f est fução é cotíu o itervlo ] - λ λ ] e ortto lim λ 0 f f λ λ cso fução g sej defiid em λ e cotíu à esquerd este oto tem-se or ser f g em ] - λ λ [ g λ lim λ 0 g lim λ 0 ; f f λ λ ssim se cocluido que o desevolvimeto g vle igulmete r λ Idêtics cosiderções são válids qudo série coverge tmém r - λ e fução desevolvid g é cotíu à direit este oto 96

13 5 Derivção e rimitivção termo termo Sej F um série de fuções reis de vriável rel tods defiids em certo itervlo ão degeerdo I e tis que r todo o I série coverge e tem or som F Admit-se que s fuções F são deriváveis o itervlo I e reresetemse or f s resectivs derivds Em tudo o que segue desigremos F or série ds rimitivs e f or série ds derivds Sedo como se disse F F em I oderá oter-se derivd de F esse itervlo derivdo série termo termo como se fosse um som ordiári? Por outrs lvrs de F F r I oderá deduzir-se f F f r I em que f F? Em gerl resost é egtiv ms vmos ver o teorem seguite que verificds certs codições se ode oter um resost ositiv à questão formuld Teorem : A derivd de F F o itervlo I ode evidetemete se suõe est série covergete ode oter-se derivdo ess série termo termo desde que esse itervlo série ds derivds sej uiformemete covergete Demostrção : Tome-se um qulquer c I e reresete-se or S som dos rimeiros termos d série F Com m > tem-se S m - S m c S - S c [ F F m - F c - - F m c] e como F F m dmite derivd fiit em todos os otos do itervlo I é um som ordiári de fuções deriváveis o teorem de Lgrge ermite escrever r 97

14 c e I S m - S m c S - S c - c[ f * f m *] com * etre c e Fzedo iguldde terior m com fio otém-se F - F c S - S c - c em que r c lim [ f * f m *] m F F c S S c c Como série ds derivds é or hiótese uiformemete covergete o itervlo I etão qulquer que sej δ > 0 eiste um ordem δ eclusivmete deedete de δ tl que m > > δ I f f m < δ /3 dode se tir ssdo o limite qudo m com fio > δ I δ /3 ; e tmém reresetdo or f som d série ds derivds e or s som dos rimeiros termos dest série > δ I f - s δ /3 Notdo gor que S s r cd tem-se S S c s β com lim β 0 ; c ortto r o δ > 0 teriormete fido eiste um ε > 0 tl que V ε c I β < δ /3 A iguldde otid qudo se defiiu ermite gor escrever sucessivmete r I c I F F c c c S S c c s β F F c c F F c c s β f c - f c s β Fido gor um rticulr k > δ tem-se r V ε c I k 98

15 F F c c - f c s k f c β k k < δ /3 δ /3 δ /3 δ o que rov ser F F c lim c c I F c f c f c F c ' devedo otr-se or forç d codição I que qudo c sej um ds etremiddes do itervlo I derivd ecotrd é um derivd lterl Devido à ritrriedde do c I cosiderdo demostrção tem-se ortto F f f F qulquer que sej I ' Trt-se seguidmete d questão d rimitivção termo termo de um série de fuções como se fosse um som Cosidere-se que série f é uiformemete covergete o itervlo I de etremiddes fiits < Sejm F rticulres rimitivs dos termos f dquel série Vmos mostrr em rimeiro lugr que série F série ds rimitivs sedo covergete em certo c I é uiformemete covergete o itervlo I Teorem 3 : Sedo f uiformemete covergete e com som f o itervlo I de etremiddes fiits < e sedo F rticulres rimitivs dos termos f dquel série se série F for covergete em certo c I etão el será uiformemete covergete em I Demostrção : Fido um δ > 0 eiste um ordem δ tl que s > r > δ I f r f s < δ /- ddo que or hiótese série f é uiformemete covergete o itervlo I Por outro ldo dd covergêci de F c eiste um ordem δ tl que s > r > δ F r c F s c < δ / 99

16 Atededo gor à segud iguldde utilizd demostrção do teorem fzedo el m s e r tem-se S s S s c S r - S r c - c[ f r * f s *] com * etre c e dode result ou id S s - S r S s c - S r c - c f r * f s * F r F s F r c F s c Tomdo δ Má { δ δ } tem-se etão - c f r * f s * s > r > δ I F r F s < δ / - c δ /- δ / - δ /- δ o que trduz covergêci uiforme de F o itervlo I O teorem recedete cojugdo com o teorem ermite gor demostrr o seguite Teorem 4 : Se série f for uiformemete covergete o itervlo limitdo I otém-se um rimitiv de f f esse itervlo rimitivdo série termo termo desde que se teh o cuiddo de tomr r cd termo f um rimitiv F de modo que série ds rimitivs F sej covergete em certo oto c I Adiciolmete série ds rimitivs otid como se idicou é tmém uiformemete covergete o itervlo I Demostrção : Pelo teorem 3 série F costruíd como se refere o eucido é uiformemete covergete o itervlo I Reresetdo or F resectiv som o teorem grte or su vez que ' F F f f 00

17 orque or hiótese série ds derivds f é uiformemete covergete em I Logo or defiição de rimitiv F F é um rimitiv de f f o itervlo I O teorem está demostrdo O teorem recedete dmite o seguite corolário: Corolário : Se série f for uiformemete covergete em qulquer itervlo fechdo cotido o itervlo I gor limitdo ou ão otém-se um rimitiv de f f esse itervlo I rimitivdo série termo termo desde que se teh o cuiddo de tomr r cd termo f um rimitiv F de modo que série ds rimitivs F sej covergete em certo oto c I Demostrção : Note-se em rimeiro lugr que série ds rimitivs F é elo teorem terior uiformemete covergete em qulquer itervlo [ ] cotido em I e o qul erteç c Como qulquer I semre se ode icluir um itervlo [ ] cotido em I e o qul erteç o oto c coclui-se que série F é covergete em qulquer I ; desigdo or F resectiv som o teorem terior grte que est fução é um rimitiv de f f em qulquer itervlo fechdo cotido em I e o qul c erteç Portto F f em todos os otos I ou sej F é um rimitiv de f f o itervlo I como se queri rovr OBSERVAÇÃO IMPORTANTE : Um form simles de grtir os cuiddos ter rimitivção de séries termo termo ou sej grtir que série ds rimitivs é covergete em certo oto do itervlo de rimitivção é tomr rimitivs que se ulem em certo c I ; rocededo dess form otém-se um série ds rimitivs segurmete covergete r c ddo que r esse vlor de os resectivos termos são todos ulos 6 Derivção e rimitivção termo termo ds séries de otêcis Os resultdos do oto terior odem evidetemete licr-se às séries de otêcis 0

18 Cosiderem-se s dus seguites séries de otêcis série ds rimitivs e série ds derivds e reresetem-se or I e J os resectivos itervlos de covergêci Vmos estelecer lgums imorttes relções etre mos os itervlos : Em rimeiro lugr tem-se J I Tomdo c J se for c tem-se ovimete c J Cso sej c > série ds derivds é uiformemete covergete o itervlo [ c] e série ds rimitivs é covergete r O teorem 3 grte etão que série ds rimitivs é uiformemete covergete em [ c] logo é covergete r c No cso de ser c < o mesmo rgumeto se lic gor o itervlo [c ] Em qulquer dos csos série ds rimitivs coverge r c ou sej c I Fic ssim rovd desejd iclusão Dqui result logo que se J ] - [ tmém I ] - [ E se I [ ] tmém J [ ] Tome-se gor um oto c INT I A série ds rimitivs coverge solutmete r c e vmos mostrr que tmém série ds derivds coverge solutmete r c São ossíveis três hióteses: c c > e c < No cso de ser c coclusão é óvi Pr os outros dois csos tem-se : º Cso : Sedo c > tem-se c r com r > 0 Fie-se h > 0 suficietemete equeo de form que c h r h INT I o que é semre ossível or ser c oto iterior de I Note-se gor que s séries r h e h são ms solutmete covergetes orque são otids multilicdo or /h todos os termos ds séries que resultm d série ds rimitivs fzedo el resectivmete c h r h e c r Etão or forç d desiguldde r h r h h tmém coverge solutmete série r r h h r h r h r h h r h r com 0 < r < r < r h licção do teorem de Lgrge Fzedo série ds derivds c r otém-se série r cujos termos são mjordos 0

19 em módulo elos corresodetes termos d série r que vimos ser solutmete covergete Tl é suficiete r grtir covergêci solut d série ds derivds r c > º Cso : Sedo c < tem-se c c > e clro que tmém c INT I Etão série ds derivds coverge solutmete r c c Notdo que às séries c ' e c corresode mesm série dos módulos coclui-se que série ds derivds é solutmete covergete r c < c Como cosequêci de si INT I J dode result que se J [ ] tmém I [ ] e id INT INT I INT I INT J Como cosequêci de or seu ldo si INT J INT I Tem-se etão INT I INT J ou sej os itervlos I e J diferem qudo muito elo fcto de um ou ms s etremiddes ertecerem um e ão outro Porém como J I s etremiddes de J qudo lhe erteçm ertecem tmém I Em coclusão : Se I ]- [ tem-se J ]- [ e iversmete ; tmém I [ ] se e só se J [ ] ; No cso em que I e J sejm limitdos s etremiddes ± λ de um são ectmete s do outro sedo que se tis etremiddes ertecem J tmém ertecem I ; 3 Em comlemeto de refir-se ossiilidde de um ou ms s etremiddes do itervlo I de covergêci d série ds rimitivs ão ertecerem o itervlo J de covergêci d série ds derivds como cotece com série / que coverge r [- [ equto que corresodete série ds derivds ão coverge r - As cosiderções recedetes e o teorem ermitem cocluir que F F f qulquer que sej ertecete o itervlo J de covergêci d série ds derivds orque qulquer oto deste itervlo se ode icluir um itervlo de covergêci uiforme d série ds derivds Ou sej qulquer série de otêcis ode ser derivd 03

20 termo termo o iterior do seu itervlo de covergêci e evetulmete s resectivs etremiddes derivds lteris cso ests erteçm o itervlo de covergêci d série ds derivds Vejmos gor o cso d rimitivção termo termo ds séries de otêcis Dd série de otêcis sej J o resectivo itervlo de covergêci Pr cd J série tem or som f ; como est série é uiformemete covergete em qulquer itervlo fechdo cotido em J o corolário do teorem 4 ermite oter seguite rimitiv de f em J : F sedo est série otid or rimitivção termo termo d série dd tomdo rimitivs que se ulm em 7 Alicção o cálculo de som de séries Um licção iteresste d teori eost teriormete cosiste oteção d som de um série formdo or derivção ou rimitivção lgum equção que ermit determir Vejmos lgus eemlos: Vmos clculr som d série que é covergete r < < Reresetdo or s som d série tem-se que fução S rimitiv de s o itervlo ]- [ e do mesmo modo F é um rimitiv de S tmém o itervlo ]- [ Etão r < < é um S F s S ssim se otedo som d série dd

21 Vmos em seguid clculr som d série que é covergete o itervlo [ 3 [ Reresetdo or S som d série tem-se or derivção 0 termo termo S 0 3 r < < 3 Dqui result or rimitivção S - log 3 k r ] 3 [ 0 com k costte determir Tomdo result S - log 3 k dode se tir k 0 or ser S - log 3 0 Tem-se ortto S - log 3 r ] 3 [ 0 Nos termos ds cosiderções feits logo seguir o teorem covergêci em d série cuj som se retede clculr e cotiuidde de g - log 3 o mesmo oto ermitem cocluir que S - log 3 r [ 3 [ 0 3 Pr termir vmos clculr som d série iomil L L ou em que L i i e 0 i! e o râmetro { 0 3 } Note-se que r iteiro ão egtivo os coeficietes i são ulos r i > e etão série reduz-se um som ordiári e se-se el fórmul do iómio de Newto que L R Pr vlores do râmetro { 0 3 } tem-se efectivmete um série com ifiitos termos sigifictivos coduzido o resectivo estudo os seguites resultdos ver eercício 5 do Cítulo V do Volume I : - Com > 0 série é solutmete covergete em [- ] ; - Com - < < 0 série é solutmete covergete em ] - [ e simlesmete covergete em ; - Com - série é solutmete covergete em ] - [ Pr determir som d série reresete-se or f resectiv som r vlores - < < Tem-se etão r estes vlores de 05

22 06 f L L dode se tir or derivção termo termo f L L e dqui result f ; somdo termo termo est série com terior otém-se sucessivmete f [ ] ; como otém-se f f A iguldde otid ermite cocluir que o itervlo ] - [ ' ' f f f 0 ' f f ou sej frcção cuj derivd se chou é costte o itervlo ]- [ ; ortto o seu vlor ode ser determido fzedo or eemlo f f f dode se tir f r - < < Nos termos ds cosiderções feits logo seguir o teorem o resultdo otido vle id: i Pr - e qudo sej > 0 ; ii Pr qudo sej - < < 0

23 8 Itegrção de séries termo termo As séries de fuções reis de vriável rel que sejm uiformemete covergetes um itervlo [ ] odem ser itegrds termo termo cso s fuções que são termos d série sejm limitds e itegráveis quele itervlo É o que se estelece o teorem seguite: Teorem 5 : Sedo f fuções limitds e itegráveis em [ ] e sedo série f uiformemete covergete quele itervlo etão f d f d Demostrção : Vejmos em rimeiro lugr que f f é um fução limitd o itervlo [ ] Fido δ covergêci uiforme d série grte eistêci de um ordem tl que Dqui result r qulquer [ ] f - f < [ ] f - < f < f e como fução h f é limitd o itervlo em cus or ser som ordiári de fuções limitds o itervlo coclui-se sem dificuldde que f é igul-mete limitd esse itervlo Vejmos gor que f é itegrável em [ ] A itegrilidde de cd f equivle o fcto de o cojuto X dos otos de descotiuidde de f em [ ] ter medid à Leesgue ul Ddo que uião de um ifiidde umerável de cojutos com medid à Leesgue ul é id um cojuto com medid à Leesgue ul e como or outro ldo covergêci uiforme d série imlic cotiuidde d resectiv som os otos do cojuto B [ ] - U X coclui-se sem dificuldde que f é itegrável o itervlo [ ] Filmete rovemos iguldde do eucido Ddo δ > 0 eiste um ordem δ tl que Etão [ ] > δ f - f < δ /- i i 07

24 f d [ f - fi ] d i fi d i [ f - fi ] d fi d i i dode result f d - fi d [ f - fi ] d Or sedo g um fução itegrável em [ ] coclui-se sem dificuldde que tmém g é itegrável esse itervlo e que Alicdo este resultdo tem-se i i g d g d f d - fi d i f - fi d < i < δ / d δ r > δ Isto sigific que f d lim fi d ou sej tededo que f f e cosiderdo defiição de som de um série como querímos rovr f d i f d O teorem que c de ser demostrdo dmite o seguite corolário reltivo à ossiilidde de ermutr s oerções de itegrção e de ssgem o limite: Corolário : Sedo s fuções u limitds e itegráveis e sedo sucessão u uiformemete covergete em [ ] etão lim u d lim u d Demostrção : Defiido f u e f u - u - série de fuções f ecotr-se s codições do eucido do teorem como se verific sem dificuldde Alicdo o teorem est série de fuções cheg-se quse imeditmete à coclusão desejd 08

25 9 Eercícos - Estude covergêci uiforme ds seguites sucessões os cojutos idicdos: u em B ] - [ e em R ; v em R ; c w em [ [ ; d z em [ 0 [ * - Cosidere que r cd N f é um fução rel de vriável rel defiid e crescete o itervlo [ ] Admit que sucessão f coverge oto oto em [ ] r cert fução f cotíu esse mesmo itervlo Posto isto Prove que fução limite f é tmém crescete o itervlo [ ] ; Prove que covergêci de f r f é uiforme em [ ] rocededo sucessivmete como se idic: i Em rimeiro lugr mostre que sedo [ ] tl que lim etão lim f f ; ii Admit em seguid que covergêci ode ão ser uiforme e tedo em cot o resultdo otido em i deduz dí um cotrdição 3 - Sedo u e v sucessões de fuções reis tods com domíio em certo cojuto A qulquer mostre que Se u e v covergem uiformemete r resectivmete u e v o cojuto B A etão u v coverge uiformemete r u v o mesmo cojuto B ; Se u e v covergem uiformemete r resectivmete u e v o cojuto B A e ests fuções limite são limitds etão u v coverge uiformemete r u v o mesmo cojuto B ; c Atrvés de um eemlo e reltivmete o demostrdo líe mostre que codição de s fuções limite serem limitds ão ode ser elimid so e de covergêci oder ão ser uiforme 4 - Estude covergêci uiforme ds seguites séries reis os cojutos idicdos: 09

26 c d em R ; em [- ] ; 3 4 em [ 3] ; em [-/ ] 5 - Justifique que som d série 0 é um fução cotíu o itervlo ]- [ 6 - Mostre que som d série rel 0 ão é fução cotíu em 0 Que coclusão se ode tirr quto à covergêci uiforme d série o itervlo [-/ /]? Justifique 7 - Cosidere sucessão de fuções reis de vriável rel f se Mostre que lim f fução cotíu em R ; Mostre que o etto sucessão ão é uiformemete covergete em R ; c A cojugção dos resultdos otidos em e será comtível com o disosto o teorem 3? Justifique 8 - A série se covergete r todo o R ode ser derivd termo termo em R? Justifique 9 - Cosidere série com e lim R Mostre que se trt de um série solut e uiformemete covergete o itervlo [- ] ; Verifique que série 0

27 que se otém rimitivdo termo termo série dd é covergete r ; c Fce o resultdo estelecido em que coclusões ode tirr : i Sore covergêci uiforme d série ds rimitivs o itervlo [- ]? ii Sore o fcto de som S d série ds rimitivs ser um rimitiv de s? 0 - Suodo que o itervlo de covergêci solut d série é ] -λ λ[ e que série coverge r λ oderá grtir-se que série tmém coverge qudo λ? Reresetdo or s e S resectivmete s ' soms d série ds derivds e ds rimitivs oderá firmr--se que S e λ sλ? Justifique - Dd série r < 0 e e mostre que é covergete e clcule su som - Cosidere série se cos Mostre que é covergete r qulquer R ; Desigdo or f resectiv som mostre que f é um fução cotíu em R ; c Reresete or um série um ossível rimitiv de f em ]- [ 3 - Cosidere série u em que u se u se se Mostre que se trt de um série covergete e clcule su som S ; Mostre que série ds derivds coverge r 0 e que S 0 u ' 0 Que coclusão ode tirr deste fcto? 4 - Cosidere série

28 Mostre que é covergete o itervlo ]- [ ; Mostre que S0 é um míimo reltivo de S clculdo S 0 e S 0 rtir ds séries que reresetm S e S ; c Determie som S d série dd 5 - Sedo f mostre que f é rimitivável em R e determie 4 rimitiv que se ul r 0 defiido- or meio de um série 6 - Justifique que r > - ' 7 - Demostr-se teori ds séries de Fourier que r 0 π cos 3 6 π π A rtir deste resultdo Clcule e ; * Mostre que 3 π 3 /3 8 - Clcule s soms ds seguites séries os resectivos itervlos de covergêci : e ; ; c ; d ; Um fução rel de vriável rel com domíio em A R diz-se lític o oto iterior do seu domíio se e só se eiste um ε > 0 tl que : f V ε Posto isto

29 Prove que f / e que g e são lítics em qulquer oto dos resectivos domíios ; Prove que se um fução lític origem tem derivds uls de tods s ordes origem etão fução em cus é costte em cert vizihç d origem 0 - Cosidere seguite sucessão de fuções : f < / / < < / / < Mostre que lim f d lim f d ; 0 0 Que coclusão ode tirr sore evetul covergêci uiforme de f o itervlo [0 ]? - Dd sucessão f e Mostre que lim f d lim f d ; 0 0 Que coclusão ode tirr sore evetul covergêci uiforme de f o itervlo [ 0 ]? - Clcule o seguite itegrl justificdo revimete ossiilidde de itegrção termo termo: 0 0 d 3 - Clcule com erro ão suerior 0000 o itegrl e d 4* - Sedo u 3 e u fuções itegráveis o itervlo [ ] cosidere que lim [ ] u d u u d 0 Prove que lim u d 3

30 RESPOSTAS: - Uiformemete covergete em B ] - [ e ão uiformemete covergete em R ; Uiformemete covergete ; c Uiformemete covergete se > 0 ão uiformemete covergete se 0 ; d Uiformemete covergete 3 - c Por eemlo ms s sucessões f e g são uiformemete covergetes o itervlo ] 0 [ e o etto o mesmo ão cotece com o resectivo roduto 4 - São tods uiformemete covergetes os cojutos idicdos com eceção d líe 6 - Não é uiformemete covergete o itervlo 7 - c Sim orque o teorem 3 dá um codição suficiete de cotiuidde e ão um codição ecessári 8 - Não orque série ds derivds ão é covergete em R 9 - c i É uiformemete covergete ; ii S é um rimitiv de s 0 - Pode orque segud série otém-se rimitivdo rimeir termo termo e est é uiformemete covergete em [0 λ] e or su vez série ds rimitivs coverge em ' 0 ; tem-se S e λ sλ orque S é um rimitiv de s o itervlo ] -λ λ] - log e e se cos - c F S 0 R ; A série ds derivds ão é uiformemete covergete em qulquer itervlo que erteç zero 4 - S 0 0 e S 0 6 ; c S < < rc tg / 5 - F 7 - π /6 π / e π / log - r - < ; r - < < ; c r - < < ; d log 3 r 0 < < ; e log - r 0 < e r A sucessão f ão coverge uiformemete o itervlo [0 ] - A sucessão f ão coverge uiformemete o itervlo [0 ] 4

31 - π /