UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO. Débora Zichtl Campos Mariani Pichetti

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA CENTRO DE CIÊNCIAS FÍSICAS E MATEMÁTICAS Itrodução aos métodos de iteração de subespaço TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO Débora Zichtl Campos Mariai Pichetti Floriaópolis, 08 de março de 2013

2 Débora Zichtl Campos Mariai Pichetti Itrodução aos métodos de iteração de subespaço Trabalho de Coclusão de Curso para obter o grau de Liceciado em Matemática do Cetro de Ciêcias Físicas e Matemáticas da Uiversidade Federal de Sata Cataria Orietador: Licio Heraes Bezerra UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Floriaópolis 08 de março de 2013

3 Esta moografia foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO o Curso de Matemática - Habilitação Liceciatura, e aprovada em sua forma fial pela Baca Examiadora desigada pela Portaria 13/CCM/2013. Baca Examiadora: Prof. Nereu Estaislau Buri Professor da disciplia Prof. Licio Heraes Bezerra Orietador Prof. Juliao de Bem Fracisco Prof. Flávia Tereza Giordai

4 Sumário Resumo 5 Abstract 6 Agradecimetos 7 Itrodução 8 1 Coceitos Básicos da Álgebra Liear Matrizes Espaços Vetoriais Espaços Vetoriais e Subespaços Bases Coordeadas Somas Diretas Trasformações Lieares Coceitos Básicos Isomorfismos Matrizes de Trasformações Lieares Normas, Produto Itero e Ortogoalidade Normas Produto Itero

5 4.3 Ortogoalidade Fatoração QR Formas Caôicas Autovalores e Autovetores Operadores Diagoalizáveis Subespaços T-ivariates Decomposição de Schur Forma de Jorda Adjutos Fucioais Lieares e Adjutos Operadores Auto-Adjutos Operadores Uitários Operadores Normais Métodos Iterativos para a Computação de Autovalores Método de Potêcia Iterações de Subespaço Iteração Ortogoal O método LOPSI Apêdice Cosiderações Fiais 105 Referêcias 106

6 5 Resumo Neste trabalho, cujo objetivo pricipal é estudar certos métodos iterativos para a computação de algus autovalores de uma matriz, veremos três importates processos iterativos: o Método de Potêcia, a Iteração Ortogoal e o Método LOPSI. Os dois últimos métodos, que a verdade cosistem em uma geeralização do Método de Potêcia, são utilizados para ecotrarmos simultaeamete mais de um autovalor de uma dada matriz, recebedo a deomiação Iterações de Subespaço. Para fializar, faremos testes com matrizes de autovalores sesíveis, utilizado os dois métodos de iteração de subespaço. Palavras-chave: Autovalor, Método de Potêcia, Iteração ortogoal, Método LOPSI, Iteração de Subespaço.

7 6 Abstract I this work, whose goal is to study certai iterative methods for computig some eigevalues of a matrix, we see three major iterative processes: the Power Method, Orthogoal Iteratio ad LOPSI Method. The latter two methods, which are actually a geeralizatio of the power method, are used to fid more tha oe eigevalue of a give matrix ad are called Subspace Iteratios. Fially, we test matrices with sesitive eigevalues, usig both methods of subspace iteratio. Keywords: Eigevalue, Power Method, Orthogoal Iteratio, LOPSI Method, Subspace Iteratio.

8 7 Agradecimetos Dedico esta, bem como todas as mihas coquistas, aos meu grades metores e heróis, os quais teho eorme prazer em chamar de pais, Atoio Pichetti Juior e Geae Zichtl Campos. Não posso deixar de icluir porém, aqueles que estiveram sempre a miha compahia, que me echem de orgulho e me ispiram votade de ser alguém melhor; meus irmãos Douglas Pichetti e Daiella Pichetti. Agradeço à miha família em geral, por todo o cariho e ateção que sempre me deram e, em especial, durate os cico aos de camihada esse curso, pois em ehum mometo deixaram de acreditar em mim e de me darem forças, mesmo à distâcia. Agradeço também aos meus amigos, que compreederam muitas vezes miha ausêcia, porém mesmo assim cotiuaram ao meu lado, trasformado mihas agústias em sorrisos. Agradeço a cada um de meus professores, dos quais ehum passou sem deixar em mim alguma marca. Obrigada pelos desafios que propuseram, pelo cohecimeto que coosco dividiram e por mais esta vitória que me proporcioaram alcaçar. Um agradecimeto especial aos professores Nereu Estaislau Buri, Aldrovado Luiz Azeredo e Licio Heraes Bezerra, que por vezes foram muito mais que professores; foram grades amigos que espero poder ter sempre, idepedete do rumo que a vida os trilhar. Acima de tudo agradeço à Deus, força maior que permite que ossa existêcia acoteça da maeira mais brilhate e surpreedete que possamos imagiar.

9 8 Itrodução Autovalores e autovetores são objetos matemáticos amplamete utilizados a matemática, física, egeharia, etre diversas outras áreas. No cotexto de Cotrole, são esseciais os processos de observação de estabilidade, frequêcias aturais e modos de vibração, por exemplo. A própria resposta temporal de um sistema liear ivariate o tempo é uma expoecial que depede do autovalor. O problema de autovalores é um dos problemas cetrais da Algebra Liear. Jacobi foi pioeiro a formulação de um método iterativo para calcular o espectro de uma matriz simétrica, isso em Hoje em dia, há várias maeiras práticas de obtermos os autovalores de uma dada matriz. O sistema iterativo MATLAB, por exemplo, tem a fução eig para calcular o espectro de uma matriz geérica via método QR, método surgido o iício da seguda metade do século XX. A covergêcia deste método para matrizes ão ormais pode ser problemática, por exemplo, se algus dos autovalores estiverem agrupados, muito próximos um do outro. Há métodos que computam apeas um autovalor de uma matriz, como por exemplo o Método de Potêcia, que abordaremos este trabalho. Cotudo, osso foco será tratar de métodos que computam simultaeamete vários autovalores de uma dada matriz, mais especificamete, os métodos de iteração de subespaço, Iteração Ortogoal e LOPSI. O trabalho foi orgaizado de forma que pudéssemos trazer grade parte dos resultados importates da Álgebra Liear relacioados com osso tema de pesquisa. Por isso os Capítulos 1, 2 e 3, cosistem em uma grade revisão de coceitos básicos evolvedo espaços vetoriais e trasformações lieares, bem como trazem algumas otações importates que serão utilizadas o decorrer da pesquisa. Os Capítulos 4, 5 e 6 trazem coceitos mais específicos a respeito de autovalores e operadores lieares, bem como algumas decomposições matriciais importates como a fatoração QR e a decompsição de Schur, que serão utilizadas os métodos iterativos que trabalharemos. Fialmete, o Capítulo 7 itroduzimos o Método de Potêcia e em seguida os Métodos de Iteração de Subespaço: Iteração Ortogoal e Método LOPSI, foco desta pesquisa. Aida este Capítulo, apresetaremos os resultados de experimetos que foram feitos utilizado tais métodos para a obteção dos autovalores de algumas matrizes especiais.

10 9 1 Coceitos Básicos da Álgebra Liear Neste primeiro tópico do trabalho, revisaremos algus coceitos básicos da Álgebra Liear bem como defiiremos otações que serão utilizados o decorrer desta pesquisa. 1.1 Matrizes Seja K um corpo de característica zero. Vamos deotar por K m o cojuto das matrizes m cujas etradas estão em K. Por exemplo, R m deota o cojuto das matrizes reais m. Como é usual, deotaremos por a i j o elemeto de uma matriz A que está a liha i e colua j. a 11 a a i j.... a m1 a m Para deotar o vetor-liha i da matriz A escreveremos A(i,:), que é a otação utilizada pelo sistema iterativo MATLAB (etre outros softwares, como os sistemas iterativos lives FreeMat, GNU Octave e Scilab). Da mesma forma, para deotarmos o vetor colua j, utilizaremos A(:, j). A submatriz de A formada pelos elemetos que estão ao mesmo tempo as lihas i 1 < i 2,<... < i r e as coluas j 1 < j 2 <... < j s será deotada por A([i 1,...,i r ],[ j 1,..., j s ]). Se as lihas e as coluas forem cosecutivas, vamos deotar essa mesma submatriz por A(i 1 : i r, j 1 : j s ).

11 10 Submatrizes desse tipo são chamadas de blocos. Por exemplo, a matriz: a 11 a 12 a 13 a 14 A = a 21 a 22 a 23 a 24 a 31 a 32 a 33 a 34 as submatrizes ( a11 ) ( a12 a 13 ) a 21, a 22 a 23,etc., são blocos. Podemos reescrever a matriz A como sedo ( P11 P 12 P 13 ) P 21 P 22 P 23 em que cada P i j é um dos blocos idicados a partição da matriz A. Podemos perceber que se dois elemetos dessa última matriz têm o primeiro ídice igual, etão os blocos que represetam têm a mesma quatidade de lihas e se dois elemetos têm o segudo ídice igual, etão os blocos que represetam têm a mesma quatidade de coluas. Uma propriedade importate de matrizes em blocos é que estas podem ser tratadas, até certo poto, como se cada bloco fosse um só elemeto. É claro que é ecessário preservar a ordem desses elemetos durate os cálculos, para que os blocos teham dimesões adequadas para que todas as somas e produtos evolvidos estejam bem defiidos. O teorema que segue mostra como pode-se fazer isto. Teorema 1. Sejam P = P 11 P 12 P 1s P 21 P 22 P 2s..., Q = Q 11 Q 12 Q 1t Q 21 Q 22 Q 2t... P r1 P r2 P rs Q s1 Q s2 Q st matrizes em blocos tais que para cada j, j = 1,...,r e para cada l, l = 1,...,t, o úmero de coluas de P jk é igual ao úmero de lihas em Q kl, k = 1,...,s. Etão o produto PQ pode ser particioado os blocos R ik, i = 1,...,r, k = 1...,t, em que R ik = P i1 Q 1k + P i2 Q 2k P is Q sk Defiição 1. Seja A = (a i j ) uma matriz m. Etão a matriz C = (c i j ), de ordem m tal que a i j = c ji, i = 1,...,m, j = 1,..., é chamada de trasposta de A e é deotada por A T.

12 11 A operação trasposição tem duas importates propriedades: i) (AB) T = B T A T, sempre que o produto AB está bem defiido, e ii) (A T ) T = A, para toda matriz A. Esta otação será utilizada o decorrer deste trabalho, especialmete com vetores colua. Um vetor colua u com etradas u 1,u 2,...,u será escrito como u = (u 1,u 2,...,u ) T. Defiição 2. Uma matriz A que satisfaz A = A T é dita uma matriz simétrica. Defiição 3. O cojugado trasposto ou trasposto Hermitiao, ou matriz adjuta de uma matriz m A com etradas complexas é a matriz m A H obtida de A por tomar a trasposta e etão tomar o cojugado complexo de cada etrada. Deotamos o trasposto cojugado de uma matriz A = (a i j ) é deotado por A H = (a ji ). Defiição 4. Dada uma matriz A = (a i j ) de ordem m, etão ela é dita hermitiaa (ou auto-adjuta) se for igual à sua trasposta cojugada. Simbolicamete, A = a i j = a ji = A H. Dizemos que A é ati-hermitiaa se A = A H. Se A 1 = A H etão A é deomiada uitária. Uma matriz A que satisfaz AA H = A H A é dita uma matriz ormal. Vamos defiir agora a adjuta clássica de uma matriz, que ão deve ser cofudida com a matriz adjuta, ou cojugado trasposto, defiida em (3). Defiição 5. A adjuta (ou adjuta clássica) de uma matriz quadrada A = (a i j ) é a trasposta da matriz que se obtém substituido cada termo (a i j ) pelo determiate da matriz resultate de retirar de A a liha i e a colua j (isso é, o determiate meor) multiplicado por ( 1) i+ j. A adjuta de uma matriz é deotada por ad j(a). Nossa ateção especial será voltada às matrizes quadradas. Neste âmbito, muitas classes especias de matrizes são importates. Em uma matriz quadrada A = (a i j ) de ordem, os elemetos a i j que satisfazem i = j, i = 1,...,, j = 1,...,, compõem a diagoal pricipal de A, também chamada simplismete de diagoal de A. Defiição 6. Uma matriz A = (a i j ) de ordem é dita triagular iferior se a i j = 0 para i < j, i, j = 1,..., e é dita triagular superior se a i j = 0 para i > j, i, j = 1,...,. Defiição 7. Uma matriz quadrada A = (a i j ) de ordem é dita diagoal se for simultaeamete triagular superior e iferior, ou seja, a i j = 0 para i j, i, j = 1,...,. Dados d 1,...,d k K, deotamos a matriz diagoal D tal que ( i)d ii = d i, por diag(d 1,...,d k ).

13 12 A matriz diagoal I defiida por { 1, se i = j i i j = 0, se i j é chamada de matriz idetidade, que em MATLAB é defiida pelo comado eye(). Sua i-ésima colua é o i-ésimo vetor câoico e i K. Simbolicamete, I = (e 1 e 2 e ) Quado o cotexto estiver clara qual a dimesão da matriz idetidade, elimiaremos o ídice e escreveremos apeas I. Exemplo 1. As matrizes ( 2 ), ( ), , podem ser classificadas respectivamete como triagular iferior, triagular iferior, triagular superior e diagoal. A quarta matriz também pode ser escrita como diag(2, 1,3). Defiição 8. Chamamos de superdiagoal de uma matriz a qualquer diagoal paralela à diagoal pricipal que esteja a parte triagular superior da matriz e de subdiagoal de uma matriz a qualquer diagoal paralela à diagoal pricipal que esteja a parte triagular iferior da matriz. Teorema 2. O produto de duas matrizes triagulares iferiores de mesma ordem é aida uma matriz triagular iferior. O produto de duas matrizes triagulares superiores é aida uma matriz triagular superior. O produto de duas matrizes diagoais é aida uma matriz diagoal. Defiição 9. Uma matriz A = (a i j ) de ordem é dita uma matriz de Hesseberg superior se a i j = 0 para i > j + 1 e Hesseberg iferior se a i j = 0 para i < j + 1. Defiição 10. Uma matriz A = (ai j) de ordem é dita uma matriz de bada se possuir p superdiagoais e q subdiagoais, p, q > 1. Um outro coceito importate é o de sigularidade de matrizes. Defiição 11. Uma matriz quadrada A de ordem é dita ão sigular se existir uma matriz B tal que AB = BA = I, ode I represeta a matriz idetidade de ordem. A matriz B é defiida como sedo a matriz iversa de A e é deotada por A 1.

14 13 Teorema 3. Dada uma matriz ão sigular A, sua matriz iversa, A 1, é determiada de forma úica. Além disso, temos que (A 1 ) 1 = A. Teorema 4. Se A e B são duas matrizes ão sigulares de mesma ordem, etão o produto AB é também ão sigular e (AB) 1 = B 1 A 1. Em outras palavras, o iverso do produto é o produto dos iversos em ordem trocada. Teorema 5. Se A é uma matriz ão sigular etão A T é também uma matriz ão sigular e (A T ) 1 = (A 1 ) T Em outras palavras, a iversa da trasposta é a trasposta da iversa. A partir do coceito de sigularidade de matrizes, surgem muitas outras defiições e resultados, como por exemplo o coceito de semelhaça de matrizes. Defiição 12. Duas matrizes A e B de ordem são ditas semelhates se existir uma matriz ão sigular C tal que A = C 1 BC. A oção de semelhaça defie uma relação de equivalêcia o cojuto das matrizes quadradas o setido que i) A é semelhate cosigo mesma; ii) Se A é semelhate a B, etão B é semelhate a A; e iii) Se A é semelhate a B e B é semelhate a C, etão A é semelhate a C. O estudo das fuções traço e determiate de matrizes quadradas é importate para um estudo posterior a respeito de matrizes ão sigulares e iversas. Defiição 13. Seja A = (a i j ) uma matriz de ordem. O traço de A é o úmero tr(a) = a 11 + a a. Defiição 14. Seja A = (a i j ) uma m matriz. O determiate de A, det(a) é o úmero det(a) = P=k 1,...,k σ(p)a 1 k 1 a 2 k 2 a k (1.1)

15 14 O somatório é sobre todas as permutações P dos úmeros iteiros 1,..., e o fator σ(p) é o sial da permutação P. É igual a +1 se P permutação é par, e 1 se P é ímpar. A permutação ( ) 1, 2,..., k 1, k 2,..., k é dita par se tiver um úmero par de iversões e ímpar se tiver um úmero ímpar de iversões. Vamos agora citar duas cosequêcias da defiição de (1.1). Claramete, se I é a matriz idetidade, etão det(i) = 1 (1.2) As propriedades da permutação implicam que para uma matriz quadrada A qualquer, i) det(a T ) = det(a) ii) det(a H ) = det(a) iii) det(ab) = det(a)det(b) iv) Se A tem ordem e α é um escalar qualquer, etão, det(αa) = α det(a) v) det(a 1 ) = det(a) 1 Há várias matrizes especiais que podem ser defiidas a partir de comados o MATLAB. Abaixo algus exemplos. A matriz ula m que é toda formada por zeros, é defiida pelo comado zeros(m,); A matriz m formada toda por us é defiida pelo comado oes(m,); A matriz compaheira fica melhor defiida a partir do coceito de autovalor, objeto que aida abordaremos este trabalho. Seja p(x) = a x a 1 x + a 0, a 0 um poliômio em K. A matriz compaheira associada a p é a matriz C = compa([a,...,a 0 ]), que é a matriz cuja primeira liha é a 1 /a... a 1 /a a 0 /a, a seguda liha é o primeiro vetor caôico de K, e 1, a terceira liha é e 2,..., a eésima liha é e 1. Exemplo: se p(x) = x 4 5x 3 + 3x 2 + x 1, etão

16 15 Veremos em um capítulo adiate que o poliômio dado é o poliômio característico de C. Isso é um fato geral: dado um vetor v = (a,...,a 0 ) K, em que a 0, o poliômio x a 1 a x 1 a 1 a x a 0 a é o poliômio característico de C = compa(v). Matrizes de Hakel são matrizes retagulares m tais que para todo k, 0 k m + 2, h i j = h k, em que 1 i m e 1 j são tais que i 1+ j 1 = k. Ou seja, são matrizes cujos elemetos de cada diagoal paralela à diagoal secudária são todos iguais. Para gerar tais matrizes, basta sabermos sua primeira colua e sua última liha. Em MATLAB, defie-se uma matriz de Hakel pelo comado hakel([h 0,h 1,...,h m 1 ],[h m 1,...,h m+ 2 ]). Um exemplo de matriz de Hakel é a matriz de Hilbert, que é uma matriz, H = hilb(), cujas etradas são defiidas por H i, j = 1/(i + j 1). Um quadrado mágico simples de ordem é uma matriz cujas etradas vão de 1 a 2 e estão dispostas de tal modo que a soma dos elemetos de cada liha, de cada colua e de cada diagoal (pricipal e secudária) é sempre igual a um mesmo valor. No MATLAB, o comado para gerar tal matriz é dado por magic(). O comado P = pascal() gera uma matriz simétrica que satisfaz a propriedade similar a que defie um triâgulo de Pascal: p(i,1) = p(1, j) e p(i + 1, j + 1) = p(i + 1, j) + p(i, j + 1) para i, j 1. A matriz de Pascal triagular iferior de ordem, deotada por P, é a matriz cujo elemeto da liha i e colua j é defiida por ( ) i 1, se i j, (P ) i j = j 1 0, se i < j. Por exemplo, P 4 = Essa matriz é gerada pelo comado abs(pascal(4,1)). Matrizes de Toeplitz também são matrizes retagulares de ordem m tais que para todo k 1 k m 1, h i j = h k, em que 1 i m e 1 j satisfazem i j = k. Ou

17 16 seja, são matrizes cujas etradas de cada diagoal paralela à diagoal pricipal são todas iguais. Uma matriz de Toeplitz é determiada se soubermos sua primeira colua e sua primeira liha. Em MATLAB, uma matriz de Toeplitz é costruída a partir do comado toeplitz([h 0,h 1,...,h m 1 ],[h 1 (1 ),h 1 (2 ),...,h 1 ]). Dado um vetor x = (x 1,...,x ), em MATLAB o comado V = vader(x) gera a matriz de Vadermode cujos elemetos são defiidos por v i j = x i 1 j+1 : V = x x 1 x 1 x 2 x 2 1 x 2 1. x 1. x 1 x1 1.

18 17 2 Espaços Vetoriais 2.1 Espaços Vetoriais e Subespaços Vamos formalizar o coceito de espaço vetorial e demostrar algus resultados importates que serão ecessários o decorrer desta pesquisa. Este primeiro teorema será de fudametal importâcia quado discutirmos raízes de certos poliômios o Capítulo 5. Não daremos sua demostração aqui, mas ela pode ser ecotrada facilmete em livros de Álgebra. Teorema 6. (Teorema Fudametal da Álgebra) Todo poliômio com coeficietes complexos possui raízes complexas. Um cojuto que satistfaz a propriedade acima é dito algebricamete fechado. Defiição 15. Um cojuto ão vazio K é um corpo se em K pudermos defiir duas operações, deotadas por + (adição) e (multiplicação), satisfazedo as seguites prorpiedades: A1) α + β = β + α, α,β K (comutatividade da adição) A2) α + (β + γ) = (α + β) + γ, α,β,γ K (associatividade da adição) A3) Existe um úico elemeto 0 K tal que α +0 = 0+α = α, α K (exitêcia do elemeto eutro da adição) A4) Para cada α K existe um íico elemeto ( α) tal que α + ( α) = 0 (existêcia do elemeto oposto da adição) M1) α β = β α, α,β K (propriedade comutativa da multiplicação) M2) α (β γ) = (α β) γ, α,β,γ K (propriedade associativa da multiplicação) M3) Existe um úico 1 K tal que α 1 = 1 α = α, α K (existêcia do elemeto eutro da multiplicação)

19 18 M4) Para cada α ão ulo em K existe um úico α 1 tal que α α 1 = 1 (existêcia do elemeto iverso da multiplicação) D) (α + β) γ = α γ + β γ, α,β,γ K (propriedade distributiva) Defiição 16. Um cojuto ão vazio V é um espaço vetorial sobre (um corpo) K se em seus elemetos, deomiados vetores, estiverem defiidas as seguites duas operações: A) A cada par u,v de vetores de V, correspode a um vetor u + v V chamado de soma de u e v de modo que sejam satisfeitas as propriedades da adição para corpos. Observação 1. O elemeto eutro da adição em V é chamado vetor ulo e é deotado por 0. M) A cada par α K e v V, correspode a um vetor α v V, deomiado produto por escalar de α por v, de modo que M1) (αβ) v = α(β v), α,β K e v V (propriedade associativa) M2) 1 v = v, v V (o qual 1 é o elemeto eutro da multiplicação em K) D1) α (u + v) = α u + α v, α K e u,v V D2) (α + β) v = α β + β v, α,β K e v V Observação 2. Podemos deotar o espaço vetorial simplesmete por V ou quado for desejável especificar o corpo, usaremos a expressão K-espaço vetorial V. Observação 3. Seja V um K-espaço vetorial. O cojuto V com a operação de soma de vetores é um grupo abeliao. Portato cada vetor ulo é úico assim como cada vetor tem um úico vetor oposto. Defiição 17. Seja V um espaço vetorial e W um subcojuto ão vazio de V. Se W é um espaço vetorial em relação às operações de V, dizemos que W é um subespaço de V. Exemplo 2. Todo espaço vetorial tem pelo meos dois subespaços; ele próprio e o subespaço que cotém apeas o vetor ulo. Este último é cohecido como subespaço ulo. Teorema 7. Um subcojuto ão vazio W de V é um subespaço de V se, e somete se, para cada par de vetores u,v W e cada escalar α K, o vetor αu + v pertece a W.

20 19 Demostração: Supohamos que W seja um subcojuto ão vazio de V tal que αu + v perteça a W para todos os vetores u,v W e todos os escalares α K. Como W é ão vazio, existe um vetor p W. Logo, ( 1)p+p = 0 está em W. Etão se u é um vetor arbitrário em W e α um escalar arbitrário, o vetor αu = αu0 está em W. Em particular, ( 1)α = α está em W. Fialmete se u e v estão em W, etão u+v = 1u+v está em W. assim, W é um subespaço de V. Reciprocamete, se W é um subespaço de V, u e v estão em W e α é um escalar, certamete αu + v está em W. Exemplo 3. Seja A uma m matriz sobre K. Etão o cojuto de todas as 1 matrizes (coluas) X sobre K tais que AX = 0, é um subespaço do espaço de todas as 1 matrizes sobre K Para demostrar isso, é preciso provas que A(αX + Y) = 0 para AX = 0, AY = 0 e α um escalar arbtrário de K. Isto decorre imediatamete do seguite lema: Lema 1. Se A é uma m matriz sobre K e B,C são p matrizes sobre K, etão A(αB + C) = α(ab) + AC para todo escalar α K. Demostração: [A(αB + C)] i j = = k=1 = α k=1 A ik (αb + C) k j (αa ik B k j + A ik C k j ) k=1 A ik B k j + k=1 = α(ab) i j + (AC) i j = [α(ab) + AC] i j. A ik C k j Aalogamete, pode-se mostrar que (αb + C)A = α(ba) + CA, se as somas e produtos de matrizes estão defiidos. Teorema 8. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. A itersecção de uma coleção arbitrária de subespaços de V é um subespaço de V. Demostração: Seja { } W a uma coleção de subespaços de V e seja W = W a a sua itersecção. Recordemos que W é defiido como sedo o cojuto dos elemetos pertecetes a

21 20 simultaeamete a W a. Como cada W a é um subespaço, todos cotêm o vetor ulo. Assim, o vetor ulo está a itersecção W o que implica que W é ão vazio. Sejam u e v vetores em W e seja α um escalar. Pela defiição de W, tato u como v pertecem a cada W a e, como cada W a é um subespaço, o vetor (αu + v) está em todo W a. Assim (αu + v) está em W. Pelo Teorema (7), W é um subespaço de V. Este teorema mostra que se S é uma coleção arbitrária de vetores em V, etão existe um meor subespaço de V que cotém S, isto é, um subespaço que cotém S e que está cotido em todos os outros subespaços que cotêm S. Defiição 18. Seja S um cojuto de vetores um espaço vetorial V. O subespaço gerado por S é defiido como sedo a itersecção W de todos os subespaços de V que cotêm S. Quado S é um cojuto fiito de vetores, S = {v 1,v 2,...,v }, deomiamos W simplesmete o subespaço gerado pelos vetores v 1,...,v, que será deotado por [v 1 v 2... v ]. Defiição 19. Seja V um -espaço vetorial. Dizemos que um vetor v V é uma combiaçao liear dos vetores v 1 v V se existirem os escalares α 1 α em K tais que v = α 1 v α v = α i v i. i=1 Teorema 9. O subespaço gerado por um subcojuto ão vazio S de um espaço vetorial V é o cojuto de todas as combiações lieares de vetores em S. Observação 4. Por defiição temos que o cojuto vazio gera o espaço vetorial {0}. Demostração: Seja W o subespaço gerado por S. Etão, cada combiação liear v = α 1 v 1 + α 2 v α v m de vetores v 1,v 2,...,v m em S evidetemete está em W. Assim, W cotém o cojuto L de todas as combiações lieares de vetores em S. O cojuto L, por outro lado, cotém S e é ão vazio. Se v,u pertecem a L, etão v é uma combiação liear v = α 1 v 1 + α 2 v α v m de vetores v i em S e u é uma combiação liear de vetores u i em S. Para cada escalar γ, u = β 1 u 1 + β 2 u β u γv + u = m i=1 (γα i )v i + β j u j j=1

22 21 Logo, γv + u pertece a L. Assim, L é um subespaço de V. Exemplo 4. Seja A = a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2... a m1 a m2 a m uma m matriz sobre o corpo K. As lihas l i de A, i = 1,...m, l 1 = (a 11,a 12,...,a 1 ) l 2 = (a 21,a 22,...,a 2 ). l m = (a m1,a m2,...a m ) cosideradas vetores em K, geram um subespaço de K chamado espaço liha de A. Aalogamete, as coluas c j de A, j = 1,...,, c 1 = a 11 a 21., c 2 = a 12 a 22.,, c = a 1 a 2 a m1 a m2 a m cosideradas vetores em K, geram um subespaço de K chamado espaço colua de A, que deotaremos esta pesquisa por C(A).. Mostramos acima que L é um subespaço de V que cotém S e também que todo subespaço que cotém S cotém L. Decorre que L é a itersecção de todos os subespaços que cotêm S, isto é, que L é o subespaço gerado pelo cojuto S. 2.2 Bases Defiição 20. Sejam V um K-espaço vetorial. Diz-se que um cojuto X V é liearmete idepedete se α i v i + + α v = 0, para v i X e α i K, i = 1, implica que α i = = α = 0. Um subcojuto de V é dito liearmete depedete se ele ão é liearmete idepedete.

23 22 Observação 5. Como um resultado dessa defiição, podemos também classificar um cojuto X K como sedo liearmete idepedete quado ehum vetor v X é combiação liear de outros elemetos de X. No caso em que X = {v} (ou seja, X é um cojuto uitário), diz-se se X é liearmete idepedete se e só se v é diferete do vetor ulo. Defiição 21. Dizemos que W 1,...,W k são idepedetes se todo cojuto {w 1,...,w k }, com w i W i, é liearmete idepedete. Defiição 22. Uma base de um K-espaço vetorial V é um cojuto B V, lieamete idepedete que gera V. Exemplo 5. Seja K um corpo e, em K, seja B o subcojuto costituído dos vetores e 1, e 2,..., e defiidos por e 1 = (1,0,0,...,0) e 2 = (0,1,0,...,0).. e = (0,0,0,...,1) Sejam α 1,α 2,...,α escalares em K e coloquemos u = α 1 e 1 + α 2 e α e. Etão u = (α 1,α 2,...,α ). (2.1) Isso mostra que e 1,...,e geram K. Como u = 0 se, e somete se α 1 = α 2 =... = α = 0, os vetores e 1,...,e são liearmete idepedetes. O cojuto B = {e 1,...,e } é portato uma base de K. Deomiamos essa base particular de base caôica de K. Teorema 10. Se B = {v 1,v 2,...,v } costitui uma base para o K-espaço vetorial V e se T = {w 1,w 2,...,w r } é um cojuto liearmete idepedete de vetores em V, etão r. Demostração: Seja T 1 = {w 1,v 1,v 2,...,v }. Como B gera V, T 1 também gera V. Como w 1 é uma combiação liear de vetores em B, T 1 é liearmete depedete. Logo algum v j é uma combiação liear dos vetores precedetes em T 1. Remova esse vetor particular v j. Seja B 1 = {w 1,v 1,...,v j 1,v j+1,...,v }. Note que B 1 gera V. Cosidere, agora, T 2 = {w 2,w 1,v 1,...,v j 1,v j+1,...,v }. Etão T 2 é liearmete depedete e algum vetor em T 2 é uma combiação liear dos vetores precedetes em T 2. Como T é liearmete idepedete, esse vetor ão pode ser w 1, logo tem que ser algum v i, com i j. Repita esse processo quatas vezes forem ecessárias. Se todos os vetores V forem elimiados ates de acabarem os vetores w, etão o cojuto resultate de vetores w, um subcojuto de T, é liearmete depedete, o

24 23 que implica que T também é liearmete depedete, uma cotradição. Podemos etão cocluir que o úmero r de vetores de T ão pode ser maior que o úmero de vetores de B, isto é, r. Corolário 1. Se B = {v 1,v 2,...,v } e T = {w 1,w 2,...,w m } são bases para um espaço vetorial, etão = m. Demostração: Como T é um cojuto liearmete idepedete de vetores, o Teorema (10) implica que m. Aalogamete, m, pois B é liearmete idepedete. Portato, = m. Defiição 23. Um K-espaço vetorial que possui um cojuto gerador fiito é deomiado um espaço fiitamete gerado. Observação 6. Observe que se V ão for fiitamete gerado, etão qualquer base de V possui ifiitos elemetos. Neste caso é possível mostrar que as bases são equivaletes como cojutos, isto é, podemos mostrar que duas bases de V têm sempre a mesma cardialidade. No etato, ão faremos aqui esta distição. Os resultados acima justificam a seguite defiição. Defiição 24. Se V é um K-espaço vetorial de dimesão fiita, a dimesão de V é defiida como sedo o úmero de elemetos de uma base de V. Caso cotrário dizemos que a dimesão de V é ifiita. Deotamos a dimesão de um espaço V por dim(v ). Defiição 25. Um espaço vetorial V possui dimesão fiita se ele possui uma base fiita. Proposição 1. Seja V um espaço vetorial sobre K e cosidere B = {v 1,...,v m } um cojuto liearmete idepedete em V. Se existir v V que ão seja combiação liear dos elemetos de B, etão {v 1,...,v m,v} é liearmete idepedete. Demostração: Sejam α 1,α 2,...,α m,α m+1 escalares tais que Se α m+1 0, etão podemos escrever α 1 v α m v m + α m+1 v = 0 v = α 1 α m+1 v 1... α m α m+1 v m o que é uma cotradição com a ossa hipótese de v ão ser uma combiação liear de elemetos de B. Etão α m+1 = 0 e, portato, α 1 v α m v m = 0. Como o cojuto B é liearmete idepedete, segue etão que α 1 =... = α m = 0, uma cotradição com a hipótese sobre os α i s. Portato {v 1,...,v m,v} é liearmete idepedete.

25 24 Teorema 11. Todo espaço vetorial fiitamete gerado ão ulo possui uma base. Demostração: Seja V um espaço vetorial fiitamete gerado ão ulo sobre K. Etão V possui um cojuto gerador fiito, digamos com m elemetos, m 1. Seja agora v 1 V um vetor ão ulo. Etão B 1 = {v 1 } é liearmete idepedete. Se B 1 gerar V, etão B 1 é uma base de V. Caso cotrário, existe v 2 V que ão é um múltiplo de v 1. Pela Proposição (1), B 2 = {v 1,v 2 } é liearmete idepedete. De ovo, se B 2 gerar todo o espaço V, etão será uma base de V. Caso cotrário, existe v 3 V tal que {v 1,v 2,v 3 } é liearmete idepedete. Repetido este procedimeto, chegaremos ou a uma base de V ou costruiremos cojutos liearmete idepedetes em V arbitrariamete grades. O segudo caso ão é possível, pois como mostramos o teorema (10), todo cojuto liearmete idepedete este espaço deve possuir o máximo m elemetos. Teorema 12. Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de dimesão fiita, todo subcojuto de W que é liearmete idepedete é fiito e é parte de uma base (fiita) de W. Demostração: Supohamos que B 0 seja um subcojuto de W liearmete idepedete. Se B é um subcojuto de W liearmete idepedete cotedo B 0, etão B também é um subcojuto de W liearmete idepedete; como V é de dimesão fiita, S cotém o máximo dim(v ) elemetos. Portato, existe um subcojuto B de W liearmete idepedete que é maximal e cotém B 0. Como B é um subcojuto de W liearmete idepedete e maximal cotedo B 0, a Proposição (1) mostra que W é o subespaço gerado por B. Logo, B é uma base de W e o cojuto origial B 0 é parte de uma base de W. Corolário 2. Se W é um subespaço próprio de um espaço vetorial V de dimesão fiita, etão W é de dimesão fiita e dim(w) < dim(v ). Demostração: Podemos supor que W cotém um vetor v 0. Pelo Teorema (12) e sua demostração, existe uma base de W que cotém v e o máximo dim(v ) elemetos. Logo W é de dimesão fiita e dim(w) dim(v ). Como W é subespaço próprio, existe um vetor u em V que ão está em W. Acrescetado u a uma base arbitrária de W obtemos um subcojuto de V liearmete idepedete. Portato dim(w) < dim(v ). Corolário 3. Num espaço vetorial V de dimesão fiita todo cojuto ão vazio de vetores liearmete idepedetes é parte de uma base. Corolário 4. Seja A uma matriz sobre um corpo K e supohamos que os vetores-liha de A formem um cojuto de vetores de K liearmete idepedetes. Etão A é iversível.

26 25 Demostração: Sejam v 1,v 2,...,v os vetores-liha de A e supohamos que W seja o subespaço de K gerado por v 1,v 2...,v. Como v 1,v 2,...,v são liearmete idepedetes, a dimesão de W é. O Corolário (2) mostra agora que W = K. Logo, existem escalares b i j em K tais que e i = b i j v j, j=1 1 i em que {e 1,e 2,...,e } é a base caôica de K. Portato, para a matriz B com elemetos b i j, temos BA = I. Proposição 2. Seja V um K-espaço vetorial de dimesão e seja B V. afirmações são equivaletes: As seguites i) B é uma base de V ii) Cada elemeto de V se escreve de maeira úica como combiação liear dos elemetos de B. Demostração: (i) (ii) Vamos supor que B = {v 1,...,v } seja uma base de V. Em particular, B gera V e, portato, todo elemeto v V se escreve como combiação liear de v 1,...,v. Para mostrar a uicidade, supoha que v = ou v = i=1 i=1 α i v i e v = i=1 β i v i. Etão v = i=1 α i v i = i=1 (α i β i )v i = 0. Como B é liearmete idepedete, segue etão que α i β i = 0 para todo i = 1,...,. Logo, α i = β i, para todo i, de ode segue a uicidade requerida. (ii) (i) Assuma agora que cada elemeto de V se escreve de maeira úica como combiação liear de elemetos de B. Em particular, B gera V. Para mostrarmos que S é uma base, falta verificar que B é liearmete idepedete. Sejam v 1,...,v S e γ 1,...,γ K tais que i=1 γ i v i = 0 Como 0 = i=1 β i v i 0v i, segue da codição de uicidade dada o item (ii) que γ i = 0 para cada i = 1,...,. Portato B é uma base.

27 Coordeadas Seja v um vetor do K-espaço vetorial V e B = {v 1,,v } uma base ordeada de V. Segue da Proposição (2) demostrada a seção aterior, que existem escalares α 1,...,α K tais que v = α i v i. Assim sedo, deotamos por i=1 [v] B a matriz do vetor v com relação à base ordeada B. Essa otação será particularmete útil ao passarmos agora a descrver o que acotece com as coordeadas de um vetor v quado passamos de uma base ordeada à outra. Supohamos etão que V seja -dimesioal e que B = {v 1,...,v } e B = {v 1,...,v } sejam duas bases ordeadas de V. Existem escalares a i j, bem determiados, tais que v j = i=1 a i j v i, 1 j. (2.2) Sejam x 1,...x as coordeadas de um dado vetor v em relação à base ordeada B. Etão Portato, obtemos a relação v = x 1v x v = = = = v = x jv j j=1 x j j=1 i=1 j=1 i=1 a i j v i (a i j x j)v i a i j x i=1( j j=1 ) v i. ) a i j x i=1( j v i (2.3) j=1 Como as coordeadas x 1,...,x de v em relação à base ordeadas B são determiadas de modo úico, decorre de (2.3) que x i = a i j x j, 1 i. (2.4) j=1 Seja A a matriz cujo elemeto i, j é o escalar a i j e sejam X e X as matrizes das coorde-

28 27 adas do vetor x em relação às bases B e B. Podemos etão reformular (2.4) como X = AX. (2.5) Como B e B são cojutos liearmete idepedetes, X = 0 se, e somete se, X = 0. Assim, temos que A é iversível e assim X = A 1 X. (2.6) Se usarmos a otação acima itroduzida para a matriz das coordeadas de um vetor em relação a uma base ordeada, etão (2.5) e (2.6) afirmam que [v] B = A[v] B [v] B = A 1 [v] B Portato, a discussão acima pode ser resumida como segue. Teorema 13. Seja V um K-espaço vetorial -dimesioal e sejam B e B duas bases ordeadas de V. Etão existe uma úica matriz A em K, ecessariamete iversível, tal que para todo vetor v V, i) [v] B = A[v] B ii) [v] B = A 1 [v] B Para completar a aálise acima, demostraremos também o resultado que segue. Teorema 14. Supohamos que A seja uma matriz iversível sobre K. Seja V um espaço vetorial -dimesioal sobre K e seja B uma base ordeada de V. Etão, existe uma úica base ordeada B de V tal que i) [v] B = A[v] B ii) [v] B = A 1 [v] B para todo vetor v V. Demostração: Seja B = {v 1,...,v }. Se B = {v 1,...,v } é uma base ordeada de V para a qual o item (i) é válido, é claro que v j = i=1 A i j v i.

29 28 Assim, basta mostrar que os vetores v j, defiidos por estas equações, formam uma base. Seja Q = A 1. Etão j Q jk v j = j = j = i = v k. Q jk i ( ( A i j v i A i j Q jk )v i i A i j Q jk )v i j Portato, o subespaço gerado pelo cojuto B = {v 1,...,v } cotém B, logo, é igual a V. Assim, B é uma base e, de sua defiição e do Teorema (13), é evidete que (i) é válido, logo (ii) também o é. 2.4 Somas Diretas Seja V um espaço vetorial sobre K. Às vezes, é coveiete escrever seus elemetos como soma de elemetos de dois (ou mais) subespaços. Defiição 26. Sejam W 1 e W 2 subespaços vetoriais de um espaço vetorial V. Diremos que a soma W 1 +W 2 é direta se W 1 W2 = {0} e, este caso, escrevemos W 1 W 2. Exemplo 6. Sejam W 1 e W 2 dois subespaços de C 4 com bases iguais a {(1,2,0,i),(i,0,0,1)} e {(0,0,3,1)}, respectivamete. A soma de W 1 e W 2 é direta, pois W 1 W2 = {0}. De fato, se (z 1,z 2,z 3,z 4 ) W 1 W2, etão (z 1,z 2,z 3,z 4 ) = a(1,2,0,i) + b(i,0,0,1) = c(0,0,3,1) com a,b,c C. Não é difícil ver etão que a = b = c = 0 e, portato, (z 1,z 2,z 3,z 4 ) = (0,0,0,0), como queríamos. Defiição 27. Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K e sejam W 1 e W 2 dois subespaços de V. Dizemos que V é a soma direta de W 1 e W 2 se V = W 1 W 2. Os próximos resultados serão muito importates em ossas cosiderações futuras.

30 29 Proposição 3. Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K e W 1,W 2 dois subespaços de V. Etão, V = W 1 W 2 se, e só se cada elemeto v V se escreve de maeira úica como uma soma w 1 + w 2 com w i W i, i = 1,2. Demostração: ( ) Vamos supor que V = W 1 W 2. Segue etão que cada elemeto v V se escreve como soma de um elemeto de W 1 e um elemeto de W 2. Supoha agora que v = w 1 + w 2 = w 1 + w 2, com w 1,w 1 W 1 e w 2,w 2 W 2. Daí segue que w 1 w 1 = w 2 + w 2 W 1 W2, pois w 1 w 1 W 1 e w 2 +w 2 W 2. Como W 1 W2 = {0}, teremos w 1 = w 1 e w 2 = w 2, como queríamos. ( ) Como cada elemeto se escreve como soma de elemetos de W 1 e W 2, etão V = W 1 +W 2. Supoha agora que W 1 W2 teha um elemeto ão ulo w. Observe etão que w pode ser escrito como w = 0+w se cosiderarmos 0 W 1 e w W 2 e também como w = w+0 se cosiderarmos w W 1 e 0 W 2, o que cotradiz a ossa hipótese da uicidade. Logo, W 1 W2 = {0} e o resultado está provado. Proposição 4. Sejam V um espaço vetorial fiitamete gerado ão ulo e W 1 um subespaço de V. Etão existe um subespaço W 2 de V tal que V = W 1 W 2. Demostração: Se W 1 = V, ão há ada a fazer, pois bastaria escolher W 2 = 0. Supoha W 1 V. Seja {v 1,...,v m } uma base de W 1 e esteda-a a uma base {v 1,...,v m,v m+1,...,v } de V. O subespaço vetorial W 2 gerado pelos vetores {v m+1,...,v } satisfaz as propriedades desejadas. De fato, é claro que V = W 1 +W 2 pois o cojuto {v 1,...,v m,v m+1,...,v } é um cojuto gerador de V. Por outro lado, como {v 1,...,v m,v m+1,...,v } é liearmete idepedete, segue que W 1 W2 = {0}, como queríamos. O subespaço W 2 como o teorema acima é chamado de complemeto de W 1 em V. O complemeto de um subespaço vetorial em sempre é úico. Discutimos acima a soma de dois subespaços. isso pode ser geeralizado para a soma direta de vários subespaços da seguite maeira. Seja V um espaço vetorial sobre o corpo K. Para subespaços W 1,W 2,...,W t, defiimos W W t = {v v t ;v i W i,i = 1,...,t}.

31 30 Se W i (W W i 1 +W i W t ) = {0}, para cada i = 1,...t, etão a soma W W t é chamada de soma direta de W 1,...,W t e será idicada por W 1... W t. Também diremos que o espaço V é a soma direta dos subespaços W 1,...,W t se V = W 1... W t.

32 31 3 Trasformações Lieares Neste capítulo vamos estudar fuções etre espaços vetoriais que preservam as operações destes espaços, chamadas trasformações lieares, importates a cotiuação de osso estudo. 3.1 Coceitos Básicos Defiição 28. Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K (R ou C). Uma trasformação liear de V em W é uma fução T de V em W tal que T (αu + v) = α T (u) + T (v) para todos u,v V e para todos os escalares α K. Exemplo 7. Se V é um espaço vetorial arbitrário, a trasformação idetica I, defiida por I(u) = u, é uma trasformação liear de V em V. A trasformação ula 0, defiida por 0(u) = 0, é uma trasformação liear de V em V. Exemplo 8. Seja V o espaço das matrizes de ordem m sobre um corpo K, seja P uma matriz m fixa sobre K e seja Q uma matriz fixa sobre K. Etão a fução T : V V defiida por T (A) = PAQ é uma trasformação liear, pois para quaisquer A,B V e α K, T (αa + B) = P(αA + B)Q (3.1) = (αpa + PB)Q = αpaq + PBQ = αt (A) + T (B) É importate otar que se T é uma trasformação liear de V em W, etão T (0) = 0, pois T (0) = T (0 + 0) = T (0) + T (0). Outra propriedade importate a respeito de trasformações lieares é que estas coservam

33 32 combiações lieares, isto é, se v 1,v 2,...,v são vetores em V e α 1,α 2,...,α são escalares em K, etão decorre da defiição que T (α 1 v α v ) = α 1 T (v 1 ) α T (v ). Teorema 15. Seja V um espaço vetorial de dimesão fiita sobre o corpo K e seja {v 1,...,v } uma base ordeada de V. Seja W um espaço vetorial sobre o mesmo corpo K e sejam u 1,...,u vetores arbitrários em W. Etão existe exatamete uma trasformação liear T : V V tal que T (v i ) = u i, i = 1,..., Demostração: Para demostrar que existe pelo meos uma trasformação liear T com T (v i ) = u i, procedemos como segue. Dado v, existe uma úica -upla (α 1,α 2,...,α ) tal que v = α 1 v α v. Para este vetor v, defiamos T (v) = α 1 u α u Etão T é uma regra bem defiida para se associar a cada vetor v em V um vetor T (v) em W. Pela defiição, é evidete que T (v j ) = u j para todo j. Para ver que T é liear, seja em V e γ escalar arbitrário. Ora, u = β 1 v β v portato, pela defiição Por outro lado, γv + u = (γα 1 + β 1 )v (γα + β )v T (γv + u) = (γα 1 + β 1 )u (γα + β )u. γ(t (v)) + T (u) = γ = i=1 i=1 α i u i + i=1 (γα i + β i )u i β i u i e assim T (γv + u) = γ(t (v)) + T (u).

34 33 Se U é uma trasformação liear de V em W com U(v j ) = u j, j = 1,...,, etão, para o vetor v = i=1 α i v i temos ( ) U(v) = U i v i i=1α = = i=1 i=1 α i (U(v i )) α i u i de modo que U é exatamete a regra T que defiimos acima. Isto mostra que a trasformação liear T com T (v i ) = u i é úica. Teorema 16. Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e seja T uma trasformação liear T : V W. Etão, a imagem de T é um subespaço de W. O cojuto de vetores v V tais que T (v) = 0 também é u subespaço de V, dito o úcleo de T e deotado por N(T ). Demostração: Idiquemos por Im T a imagem de T, isto é, o cojuto de vetores u em W tais que u = T (v) para algum v em V. Sejam u 1,u 2 RI T e seja α K. Existem vetores v 1,v 2 V tais que T (v i ) = u i, i = 1,2. Como T é liear T (αv 1 + v 2 ) = αu 1 + u 2 o que mostra que αu 1 +u 2 também está a imagem de T. Portato, Im T é um subespaço de W. Cosidere o úcleo de T, N(T ). Se v 1 e v 2 estão em N(T ) e α é um escalar arbitrário, etão T (αv 1 + v 2 ) = α(t (v 1 )) + T (v 2 ) = +α(0) + 0 = 0 de modo que αv 1 + v 2 está ovamete em N(T ). logo, N(T ) é um subespaço. No exemplo 7, a imagem da trasformação idêtica é todo o espaço V, e seu úcleo é o subespaço ulo. A imagem da trasformação ula é o subespaço ulo e seu úcleo é todo o espaço V. No exemplo 8, a imagem e o úcleo de T são um tato difíceis de escrever, exceto pela repetição de suas defiições. Se T é uma trasformação liear de V em W e v 1,v 2,...,v são vetores que geram V, etão é evidete que os vetores T (v 1 ),T (v 2 ),...,T (v ) geram a imagem de T. Em particular, se V posuir dimesão fiita, a imagem de T será um subespaço de W de dimesão fiita.

35 34 Defiição 29. Seja T : V W uma trasformação liear, sedo V de dimesão fiita. Etão, temos que i) O posto de T é a dimesão da imagem de T ; ii) A ulidade de T é a dimesão do úcleo de T. Teorema 17. Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e seja T : V W uma trasformação liear. Supoha que V possua dimesão fiita. Etão posto(t ) + ulidade(t ) = dim(v ) Demostração: Seja {v 1,...,v k } uma base de N(T ). Existem vetores v k+1,...,v V tais que {v 1,...,v } seja uma base de V. Demostraremos agora que {T (vk + 1),...,T (v )} é uma base da imagem de T. Os vetores T (v 1 ),...,T (v ) certamete geram a imagem de T e, como T (v j ) = 0 para j k, vemos que T (v k+1,...,t (v ) geram a imagem. Para ver que esses vetores são idepedetes, supohamos que existam escalares α i tais que Isto diz que e, cosequetemete, o vetor v = i=k+1 α i (T (v i )) = 0. i=k+1 T ( i=k+1 α i v i ) = 0 α i v i está o úcleo de T. Como v 1,...,v k formam uma base de N(T ), existem ecessariamete escalares β 1,...,β k tais que Assim k i=1 v = β i v i k i=1 β i v i. α j v j = 0 j=k+1 e, como v 1,...,v são liearmete idepedetes, devemos ter β 1 =... = β k = α k+1 =... = α = 0. Se r é o posto de T, o fato de T (v k+1 ),...,T (v ) formarem uma base da imagem de T os diz que r = k. Como k é a ulidade de T e é a dimesão de V, está completa a demostração. Teorema 18. Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K. Sejam T e U trasformações

36 35 lieares de V em W. A fução (T +U) defiida por (T +U)(v) = T (v) +U(v) é uma trasformação liear de V em W. Se α K é um escalar arbitrário, a fução (αt ) defiida por (αt )(v) = αt (v) é uma trasformação liear de V em W. O cojuto das trasformações lieares de V em W, muido da adição e multiplicação por escalar acima defiida, é um espaço vetorial sobre o corpo K. Demostração: Supohamos que T e U sejam trasformações lieares de V em W e defiamos (T +U) como acima. Etão (T +U)(αv + u) = T (αv + u) +U(αv + u) = α(t (v)) + T (u) + α(u(v)) +U(u) = α(t (v) +U(v)) + (T (u) +U(u)) = α(t +U)(v) + (T +U)(u) o que mostra que (T +U) é uma trasformação liear. Aalogamete, (αt (v))(βv + u) = α[t (βv + u)] = α[βt(v) + T (u)] = αβt(v) + αt (u) = β[αt (v)] + αt (u) mostrado que (αt ) é uma trasformação liear. Idicaremos o espaço das trasformações lieares de V em W por L(V,W). É claro que L(V,W) está defiido somete para V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo. Teorema 19. Seja V um espaço vetorial -dimesioal sobre o corpo K e seja W um espaço vetorial m-dimesioal sobre K. Etão o espaço L(V,W) é de dimesão fiita igual a m. Demostração: Sejam B = {v 1,...,v } e B = {u 1,...,u m } bases ordeadas de V e W, respectivamete. Para cada par de iteiros (p,q) com 1 p m e 1 q, defiamos uma

37 36 trasformação liear E p,q de V em W por E p,q (v i ) = { 0, se i q u p, = δ iq u p. se i = q De acordo com o Teorema (15), existe uma úica trasformação liear de V em W que satisfaz estas codições. Afirmamos que as m trasformações E p,q formam uma base de L(V,W). Seja T uma trasformação liear de V em W. Para cada j, 1 j, sejam a i j,...,a m j as coordeadas do vetor T (v j ) em relação à base ordeada B, isto é, Desejamos mostrar que T (v j ) = T = m m p=1 q=1 m a p j u p. (3.2) p=1 a pq E p,q (3.3) Seja U a trasformação liear o segudo membro de (3.3). Etão para cada j U(v j ) = p = p a pq E p,q (v j ) q a pq δ jq u p q m = a p j u p p=1 = T (v j ) e, cosequetemete, U = T. Agora (3.3) mostra que as E p,q geram L(V,W); precisamos demostrar que elas são idepedetes. mas isto é evidete pelo que fizemos acima, pois, se a trasformação U = p a pq E p,q q é a trasformação ula, etão U(v j ) = 0 para cada j, portato m a p j u p = 0 p=1 e a idepedêcia dos u p implica que a p j = 0 para todos p e j. Teorema 20. Sejam V, W e Z espaços vetoriais sobre o corpo K. Sejam T : V W e U : W Z trasformações lieares. Etão a fução composta UT, defiida por (UT )(v) =U(T (v)) é uma trasformação liear de V em Z.

38 37 Demostração: (UT )(αv + u) = U[T (αv + u] = U(αT (v) + T (u)) = α[u(t (v))] +U(T (u)) = α(ut )(v) + (UT )(u) No que segue, estaremos iteressados as trasformações lieares de um espaço vetorial ele mesmo. Defiição 30. Se V é um espaço vetorial sobre o corpo K, um operador liear sobre V é uma trasformação liear de V em V. Aplicado o Teorema (20) o caso em que V =W = Z, de modo que U e T sejam operadores lieares sobre V, vemos que a composição UT é aida um operador liear sobre V. Assim, o espaço L(V,V ) possui uma multiplicação, defiida sobre si por meio de composição. Neste caso, o operador UT também está defiido e devemos otar que em geral UT TU, isto é, UT TU 0. Particularmete, se T é um operador liear sobre V, podemos compor T com T. Usaremos a otação T 2 = T T e em geral, T = T }...T {{} para N. Defiimos T 0 = I se T 0. vezes Com base a observação feita acima, vamos etão defir uma importate classe de operadoradores lieares. Defiição 31. Um operador liear T L(V,V ) é chamado de ilpotete se existir um iteiro m > 0 tal que T m = 0. O ídice de ilpotêcia de um tal operador será o meor ídice com esta propriedade. Mesmo ão sedo comutativa, a multiplicação que temos sobre L(V,V ) está bastate relacioada com as operações de espaço vetorial de L(V,V ). Lema 2. Sejam V um espaço vetorial sobre o corpo K, U, T 1 e T 2 operadores lieares sobre V e α um elemeto de K. Etão: i) IU = UI = U; ii) U(T 1 + T 2 ) = UT 1 +UT 2 ;(T 1 + T 2 )U = T 1 U + T 2 U; iii) α(ut 1 ) = (αu)t 1 = U(αT 1 ).

39 38 Demostração: i) Esta propriedade da fução idêtica é óbvia. ii) Podemos escrever U(T 1 + T 2 )(v) = U[(T 1 + T 2 )(v)] = U[T 1 (v) + T 2 (v)] = U[T 1 (v)] +U[T 2 (v)] = (UT 1 )(v) + (UT 2 )(v). Portato U(T 1 + T 2 ) = UT 1 +UT 2. Além disso [(T 1 + T 2 )U](v) = (T 1 + T 2 )(U(v)) (3.4) = T 1 (U(v)) + T 2 (U(v)) = (T 1 U)(v) + (T 2 U)(v) Assim sedo, temos (T 1 + T 2 )U = T 1 U + T 2 U. iii) Pode ser provado de forma similar ao item aterior. Teorema 21. Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K e seja T uma trasformação liear de V em W. Se T é ijetora e sobrejetora, etão a fução iversa T 1 é uma trasformação liear de W em V. Demostração: Lembrado que T ser ijetora sigifica que T (v) T (u) sempre que v u e que T ser sobrejetora sigifica que a imagem de T é todo o espaço W. Quado T é ijetora e sobrejetora, existe uma fução iversa T 1, determiada de modo úico, que leva W sobre V tal que T 1 T é a fução idêtica de V e T T 1 é a fução idêtica de W. O que estamos demostrado aqui é que, se uma fução liear T é iversível, etão a iversa T 1 também é liear. Sejam u 1 e u 2 vetores em W e seja α um escalar. Queremos mostrar que T 1 (αu 1 + u 2 ) = αt 1 (u 1 ) + T 1 (u 2 ). Seja v i = T 1 (u) i, i = 1,2, isto é, seja v i o úico vetor em V tal que T (v i ) = u i. Como T é