ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA. Arturo Rodolfo Samana Alejandro Javier Dimarco. Física. Módulo 4. Volume mm. Física módulo 4 volume 5

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1 90 mm 3mm 90 mm Física módulo 4 volume 5 Física. Módulo 4. Volume mm ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA Arturo Rodolfo Samaa Alejadro Javier Dimarco Miistério da Educação

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3 Física. Módulo 4. Volume 5 ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA Arturo Rodolfo Samaa Alejadro Javier Dimarco

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5 FÍSICA Módulo 4 Volume 5 ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA PRODUTORES DO CONTEÚDO: Dr. PhD Arturo Rodolfo Samaa Dr. PhD Alejadro Javier Dimarco EDITUS Ilhéus. 0

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7 Uiversidade Estadual de Sata Cruz Reitora Profª. Adélia Maria Carvalho de Melo Piheiro Vice-reitor Prof. Evadro Sea Freire Pró-reitor de Graduação Prof. Elias Lis Guimarães Diretor do Departameto de Ciêcias Exatas e Tecológicas Prof. Roberto Carlos Felício Miistério da Educação

8 Física Módulo 4 Volume 5 - Elemetos de Matemática Avaçada Todos os direitos reservados à EAD-UAB/UESC Obra desevolvida para os cursos de Educação a Distâcia da Uiversidade Estadual de Sata Cruz - UESC (Ilhéus-BA) Campus Soae Nazaré de Adrade - Rodovia Ilhéus- Itabua, Km 6 - CEP Ilhéus-Bahia. uabuesc@uesc.br (73) Projeto Gráfico e Diagramação Jamile Azevedo de Mattos Chagouri Ocké João Luiz Cardeal Craveiro Capa Sheylla Tomás Silva Impressão e acabameto JM Gráfica e Editora Ficha Catalográfica

9 EAD. UAB UESC Coordeação UAB UESC Profª. Drª. Maridalva de Souza Peteado Coordeação Adjuta UAB UESC Profª. Dr.ª Marta Magda Dorelles Coordeação do Curso de Liceciatura em Física (EAD) Prof. Dr. Ferado R. Tamariz Lua Elaboração de Coteúdo Dr. PhD Arturo Rodolfo Samaa Dr. PhD Alejadro Javier Dimarco Istrucioal Desig Profª. Ma. Marileide dos Satos de Oliveira Profª. Ma. Cibele Cristia Barbosa Costa Profª. Drª. Cláudia Celeste Lima Costa Meezes Revisão Prof. Me. Roberto Satos de Carvalho Coordeação Fluxo Editorial Me. Saul Edgardo Medez Sachez Filho

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11 DISCIPLINA ELEMENTOS DE MATEMÁTICA AVANÇADA Prof. PhD Arturo Rodolfo Samaa Prof. PhD Alejadro Javier Dimarco EMENTA Álgebra liear, fuções de variável complexa; fuções especiais; trasformadas de Fourier e Laplace; espaços vetoriais de dimesão fiita e ifiita; teoria das distribuições e da perturbação. Carga horária: 90 horas

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13 OS AUTORES Arturo Rodolfo Samaa Possui doutorado em Física pela Uiversidad Nacioal de La Plata, Bueos Aires, Argetia (00); pós-doutorado pela Uiversidade de São Paulo (003); pós-doutorado pelo Cetro Brasileiro de Pesquisas Físicas (006); e pós-doutorado pela Texas A&M Uiversitiy-Commerce, Texas-USA (008). Atualmete é Professor Adjuto A da Uiversidade Estadual de Sata Cruz BA, Brasil (0). Tem experiêcia a área de Física Nuclear, com êfase em Estrutura Nuclear, atuado pricipalmete os seguites temas: estrutura uclear, iteração eutrio-úcleo e astrofísica uclear. arturo.samaa@gmail.com Alejadro Javier Dimarco Possui doutorado em Física pela Uiversidade de São Paulo (998), pós-doutorado pelo Cetro Brasileiro de Pesquisas Físicas (000) e pósdoutorado pelo Cetro Brasileiro de Pesquisas Físicas (00). Atualmete é Professor Adjuto B da Uiversidade Estadual de Sata Cruz. Tem experiêcia a área de Física, com êfase em Física Nuclear, atuado pricipalmete os seguites temas: captura eletrôica, decaimeto beta, estrutura uclear, pré-superova, taxas. atote@uesc.br

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15 APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA Nesta disciplia, pretedemos que o aluo apreda a ferrameta matemática ecessária para a abordagem de certos problemas físicos. Assim como a Mecâica Newtoiaa (clássica) possui como suporte matemático o cálculo diferecial e itegral, a Mecâica Quâtica, por exemplo, acha a sua base matemática essecialmete a Álgebra Liear. O coceito de matrizes e suas propriedades serão desevolvidos, como assim também os de espaços vetoriais e trasformações lieares. As fuções de variável complexas também são de suma importâcia a resolução de itegrais que, mesmo sedo reais, são simplesmete resolvidas com técicas que evolvem o cohecimeto básico do comportameto e as propriedades de tais fuções. As fuções especiais como as Fuções de Bessel, Poliômios de Legedre, Poliômios de Hermite, etc.; e a Teoria das Distribuições (que podemos pesar como uma geeralização da ideia de fução) são utilizadas a resolução de problemas que aparecem, por exemplo, em Eletromagetismo e Mecâica Quâtica. Embora o esio médio o professor ão aborde questões as quais vai usar especificamete, por exemplo, os Poliômios de Legedre, o cohecimeto dos tópicos abordados esta disciplia permitirão uma visão mais ampla dos coteúdos a serem tratados. Imagiemos que temos que escolher etre o professor A que deve esiar a somar e só sabe somar, e o professor B que deve esiar a somar e, além de somar, sabe também multiplicar, cabe a perguta: você, qual escolheria? Bos estudos, Alejadro e Arturo.

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17 SUMÁRIO UNIDADE - ÁLGEBRA LINEAR - MATRIZES INTRODUÇÃO... 9 MATRIZES Defiições Prévias..... Igualdade de Matrizes..... Matriz Real Matriz Complexa Matriz Cojugada Matriz-Liha Matriz-Colua Matriz Quadrada Matriz Nula Matriz Diagoal Matriz Idetidade Matriz Triagular Superior Matriz Triagular Iferior Matriz Trasposta Matriz Simétrica Matriz Trasposta Cojugada Matriz Hermitiaa Operações com Matrizes Propriedades da Soma de Matrizes Defiição de Soma de Matrizes Propriedade do produto de um Escalar por uma Matriz Defiição do Produto de um Escalar por uma Matriz Propriedades do Produto de Matrizes Defiição do produto de matrizes DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA Defiições Prévias Submatriz Determiate de uma matriz... 50

18 3..3 Matriz Adjuta Matriz Iversa Propriedades de determiates, matrizes iversas e matrizes adjutas... 6 RESUMINDO Referêcias UNIDADE - ÁLGEBRA LINEAR - ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA INTRODUÇÃO... 7 ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA Algumas defiições Vetores. Espaços Vetoriais Combiação Liear Vetores Liearmete Idepedetes e Liearmete Depedetes Base de um Espaço Vetorial Dimesão de um Espaço Vetorial Compoetes de um Vetor ESPAÇOS DE HILBERT (PRODUTO INTERNO) Algumas defiições Espaço Vetorial com Produto Itero ou Espaço de Hilbert Norma de um Vetor Distâcia em um espaço vetorial com produto itero Âgulo Vetores Ortogoais Bases Ortogoais e Ortoormais Subespaços Vetoriais TRANSFORMAÇÕES LINEARES Algumas defiições Trasformação Liear Matriz Associada a uma Trasformação Liear Imagem de uma Trasformação Liear Núcleo de uma Trasformação Liear RESUMINDO APÊNDICE... 5 Referêcias... 57

19 UNIDADE 3 - ÁLGEBRA LINEAR - OPERADORES INTRODUÇÃO... 6 OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS, SIMÉTRICOS E HERMITIANOS.6. Algumas defiições Operadores Ortogoais e uitários Operadores Simétricos e hermitiaos PROBLEMAS DE AUTOVALORES E AUTOVETORES Autovalores e Autovetores de uma Matriz Defiição Diagoalização de Matrizes Autovalores e Autovetores de um Operador... 8 RESUMINDO... 9 Referêcias... 9 UNIDADE 4 - FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA INTRODUÇÃO NÚMEROS COMPLEXOS Geometria e álgebra básica de úmeros complexos FÓRMULA DE MOIVRE E O CÁLCULO DE RAÍZES FUNÇÕES COMPLEXAS E A FÓRMULA DE EULER Aplicações da fórmula de Euler FUNÇÕES PLURÍVOCAS E SUPERFÍCIES DE RIEMANN FUNÇÕES ANALÍTICAS. O TEOREMA DE CAUCHY OUTROS TEOREMAS DE INTEGRAIS. A FÓRMULA DA INTEGRAL DE CAUCHY SEQUÊNCIAS E SÉRIES COMPLEXAS SÉRIES DE TAYLOR E DE LAURENT ZEROS E SINGULARIDADES... 3 O TEOREMA DO RESÍDUO E SUAS APLICAÇÕES RESUMINDO Referêcias... 5

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21 ª uidade ÁLGEBRA LINEAR Prof. Dr. Arturo Rodolfo Samaa Prof. Dr. Alejadro Javier Dimarco Ao fial desta Uidade, o/a aluo/a será capaz de: idetificar os diferetes tipos de matrizes defiidas ao logo desta uidade; saber as propriedades das três operações com matrizes defiidas ao logo desta uidade; operar com matrizes; calcular determiates de matrizes e matrizes iversas, e saber as suas propriedades.

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23 Álgebra Liear Uidade INTRODUÇÃO Nesta uidade, abordaremos um assuto importate da Álgebra Liear que diz respeito a matrizes. As matrizes são usadas fartamete em diferetes áreas da física como, por exemplo, Mecâica Clássica, Quâtica e Relativística. Primeiramete, defiiremos o que é uma matriz e algus dos diferetes tipos de matrizes que são utilizadas comumete. Logo após, defiiremos as três operações básicas etre matrizes. Elas são: soma de matrizes, produto de um escalar por uma matriz e produto de matrizes. Por último, defiiremos o determiate de uma matriz e o problema da matriz iversa. Algus assutos serão tratados as próximas uidades dedicadas a espaços vetoriais e trasformações lieares como, por exemplo, o problema de achar os autovalores e os autovetores de uma matriz. Matrizes ortogoais e uitárias também serão tratadas futuramete. O uso de matrizes a resolução de sistemas de equações lieares ão será abordado este texto, mas idicaremos leituras sobre o assuto. UESC Módulo 4 I Volume 5 9

24 Elemetos de Matemática Avaçada MATRIZES Uma matriz é um quadro de valores disposto em forma de lihas e coluas que é usado para armazear algum tipo de iformação. Pesemos, por exemplo, em como um professor preeche a plailha de otas de uma turma de 6 aluos: NOME COMPLETO PRIMEIRO SEGUNDO TERCEIRO CRÉDITO CRÉDITO CRÉDITO MÉDIA Aa Paula Silveira Mos 6,50 5,00 5,00 5,50 Caio Goçalves 4,00,50,00,0 Marília Souza 9,00 9,00 8,00 8,70 Gerardo de Oliveira Adio 0,00 7,50 9,00 8,80 Joaquim Higio Amaral 3,00 4,00 0,00,30 Samara Alves de Aragão 7,00 6,50 8,50 7,30 Ledo as iformações, por liha, vemos que a primeira liha estão dispostas as otas da alua Aa Paula Silveira Mos; a seguda, as otas do aluo Caio Goçalves, e seguido assim até o último aluo. Acessado às iformações por colua, podemos achar, a primeira colua, as otas do primeiro crédito dos 6 aluos da turma; a seguda colua, as otas do segudo crédito, e assim por diate até chegar à quarta colua ode podemos ver a média. Se os restrigimos só aos valores uméricos da tabela acima, eles podem ser escritos da seguite maeira: 6,50 5, 00 5, 00 5,50 4, 00,50, 00, 0 9,00 9,00 8,00 8,70. 0, 00 7,50 9, 00 8,80 3, 00 4, 00 0, 00,30 7, 00 6,50 8,50 7,30 Quado os dados estão ordeados a forma acima é dito que eles estão ordeados em forma de matriz ou, 0 Física EAD

25 Álgebra Liear aida, que eles formam uma matriz. No caso da plailha de otas de osso exemplo, vemos que se trata de uma matriz de 6 lihas e 4 coluas ou, expresso de uma maeira mais compacta, uma matriz de 6 x 4. Notar que sempre escrevemos matriz de úmero de lihas x úmero de coluas. Em geral, uma matriz de lihas e m coluas, será escrita da seguite maeira: a a a a a a a a a m m A m = m Em muitos casos, o úmero de lihas e o úmero de coluas que a matriz possui ficam subetedidos o cotexto o qual se está trabalhado. Nesses casos só idicaremos a matriz com uma letra maiúscula em egrito A. Quado falamos do elemeto de matriz a ij, estamos os referido ao elemeto da liha i e colua j da matriz A, e se aota ( A ) = a. O primeiro ídice m ij. ij saiba mais Frequetemete, podemos achar outro tipo de otação para matrizes como, por exemplo, colchetes ou barras duplas, como veremos a seguir: A Z 4 7,9 9,5 =,, 0, 6 + i = 3 4i i 0 Neste texto usaremos parêteses. A matriz etre colchetes é uma matriz de úmero reais de x. Já a matriz etre barras duplas é uma matriz de úmero complexos de 4 X.. Uidade ateção Não é a letra com que deotamos o ídice que defie se ele é ídice de liha ou de colua, mas sim a ordem. Por exemplo, se vemos a relação ( B r s ) = bki, devemos eteder que se trata de uma matriz de r ki lihas e s coluas. O ídice de liha é k e o de colua é i. ( i ) é chamado ídice de liha, e o segudo ( j ), ídice de colua. No caso de matrizes com igual úmero de lihas e de coluas ( = m), um elemeto da matriz é dito da diagoal da matriz ou, que pertece à diagoal da matriz, quado i = j. Esses elemetos são: a, a, e a. Por exemplo, a matriz 6 3i W =, os elemetos da 0 7 diagoal são w = e w = 7. Quado usamos matrizes em diferetes áreas da UESC Módulo 4 I Volume 5

26 Elemetos de Matemática Avaçada Física é muito frequete que apareçam algumas com características particulares como, por exemplo, matrizes tais que o úmero de lihas é igual ao úmero de coluas ou matrizes que só possuem uma colua ou uma liha. Também existem matrizes que são obtidas de uma matriz previamete dada, a qual fazemos algum tipo de operação como, por exemplo, trocar filas por coluas. É por isso que é coveiete itroduzir algumas defiições para deotar esse tipo especial de matrizes.. Defiições Prévias.. Igualdade de Matrizes : símbolo matemático que sigifica para todo. Ao logo deste texto usaremos o símbolo ou escreveremos por exteso para todo, idistitamete. Primeiramete é preciso defiir quado é que dizemos que duas matrizes são iguais. Dadas duas matrizes A m e B p q, elas são ditas iguais se e somete se = p, m = q e aij = bij, i =,, e j =,, m.. Matriz Real Uma matriz A m é dita real, quado todos os seus elemetos são úmeros reais, ou seja, a R, i =,, e j =,, m. ij Exemplo : A 5 4 4,3 π 0 l 0 3,88 = 7, π 5 cos 7 / π 5,99 e Física EAD

27 Álgebra Liear Exemplo : A 4 5,7 0, = 9, 3 π Uidade..3 Matriz Complexa Uma matriz A m é dita complexa, quado todos os seus elemetos são úmeros complexos, ou seja, aij, i =,, e j =,, m. É importate salietar que como todo úmero real pode ser pesado como um úmero complexo de parte imagiária ula, toda matriz real pode ser pesada como uma matriz complexa, cujos elemetos possuem parte imagiária ula. : símbolo matemático que sigifica que pertece a ou pertecete a. Ao logo deste texto, usaremos o símbolo ou escreveremos por exteso o seu sigificado, de maeira idistita. Exemplo : A 7 5 4, 6 π 0 l 0 0 3,8 4, 3,7i + i 9 + i i i + i,3 5i 5 6, 4 + 7, 7i = / π i 9,+, i i i i 0 0 π si i i i i + 0 Exemplo : A = ( 9i) UESC Módulo 4 I Volume 5 3

28 Elemetos de Matemática Avaçada Exemplo 3: ( ) ( i i) B = 3 4 = Matriz Cojugada Dada uma matriz complexa A m de elemetos a ij, defiimos a matriz cojugada da * matriz A m (que deotamos por A ) tal que m * ( A ) * m = aij, i =,, e j =,, m. Sejam A ij 7 5 e A as matrizes dadas os exemplos da defiição aterior, etão, as suas respectivas matrizes cojugadas são: Exemplo : A * 7 5 4, 6 π 0 l 0 0 3,8 4, + 3,7i i 9 i i i i,3 + 5i 5 6, 4 7, 7i = / π 0 5,9,i 9,, i i i i 0 0 π si i i i i 0 Exemplo : ( i) * A = Matriz-Liha Uma matriz A m é dita liha, quado =. 4 Física EAD

29 Álgebra Liear Exemplo : Exemplo : A = (7) Uidade ( i i i) B 5 = Matriz-Colua Uma matriz A m é dita colua, quado m =. Exemplo: Exemplo : 5,7 F 3 = 4,0 9, G 7 =..7 Matriz Quadrada Uma matriz A m é dita quadrada, quado = m. UESC Módulo 4 I Volume 5 5

30 Elemetos de Matemática Avaçada saiba mais As matrizes σ, σ e σ 3 são cohecidas como Matrizes de Pauli. Elas são três matrizes complexas quadradas de x. São utilizadas em Mecâica Quâtica Relativística e são muito importates a descrição de algumas partículas elemetares como o elétro e a sua atipartícula, o pósitro. Exemplo : C 5 5 Exemplo : = σ = 0 0 i σ = i 0 0 σ 3 = 0..8 Matriz Nula Uma matriz A m é dita matriz ula, quado todos os seus elemetos são ulos. Isso quer dizer que aij = 0 i =,, e j =,, m. Geralmete é deotada por O m ou simplesmete O. Exemplo : O = Física EAD

31 Álgebra Liear Exemplo: O = Uidade..9 Matriz Diagoal Uma matriz quadrada A é dita diagoal, quado todos os elemetos que ão pertecem à diagoal são ulos. Isso quer dizer que, se i j etão a = 0. ij Exemplo : 0 σ 3 = 0 Exemplo : O = Exemplo 3: UESC Módulo 4 I Volume 5 7

32 Elemetos de Matemática Avaçada saiba mais A matriz que aqui chamamos de G 4 4 é uma represetação matricial do Tesor Métrico do Espaço de Mikovski. Essa matriz é muito usada a Teoria da Relatividade. G = Matriz Idetidade saiba mais Para deotar os elemetos de matriz da matriz idetidade é usado um símbolo chamado delta de Kroecker ou Tesor de Kroecker. Os elemetos da matriz que represeta dito tesor são defiidos por:, δij = 0, i = j i j Desse modo podemos escrever que ( I) = δ ij ij. O delta de Kroecker é muito importate, etre outras coisas, pela sua fucioalidade e será usado frequetemete ao logo deste texto. Uma matriz quadrada A é dita a matriz idetidade, se ela é diagoal e os elemetos da diagoal são iguais à uidade. Como esta matriz é muito importate, ela é deotada como I ou simplesmete I. Exemplo : Exemplo : I = I = ().. Matriz Triagular Superior Uma matriz quadrada A é dita triagular superior, se todos os elemetos que ficam por baixo da diagoal são ulos, isto é, se i > j, etão a ij = 0. Exemplo : 8 Física EAD

33 Álgebra Liear T 4 4 i i 0 9 = Uidade Exemplo : Q = Matriz Triagular Iferior Uma matriz quadrada A é dita triagular iferior, se todos os elemetos que ficam por cima da diagoal são ulos, isto é, se i < j, etão a = 0. ij Exemplo : Z Exemplo : 4 4 i = 8,7 e 0 0 π i,8 0 0 Y 3 3 =, 7 5,6 0 4, 44 9,9 0, 77 UESC Módulo 4 I Volume 5 9

34 Elemetos de Matemática Avaçada..3 Matriz Trasposta ij Dada uma matriz quadrada A de elemetos a, defiimos a matriz trasposta da matriz (que deotamos por T A T A ) de elemetos a tal que T a = a i, j =,,. Podemos ver que os elemetos da ij ji matriz trasposta de uma dada matriz partir da própria matriz A A são obtidos a, trocado liha por colua. ij Exemplo : A 5 = 7i 6 T A 5 7i = 6 Exemplo : J = T J = Matriz Simétrica Uma matriz quadrada e real A é dita simétrica, se ela é igual a sua trasposta, ou seja, satisfaz a relação T A = A, isto é, aij = a ji i, j =,,. 30 Física EAD

35 Álgebra Liear Exemplo : H 3, 4 4,, 6 0,5 4, 0, 7 9, 4, = = H,6 9, ,7 0.5, 7, T Uidade Exemplo : L = = L 8 T..5 Matriz Trasposta Cojugada Dada uma matriz quadrada e complexa A de elemetos a ij, defiimos a matriz trasposta cojugada da matriz A (que deotamos por ) de elemetos ij A * a tal que a = a i, j =,,. Podemos ver que ij ji os elemetos da matriz trasposta cojugada de uma dada matriz A são obtidos a partir da própria matriz A, trocado liha por colua e cojugado os seus T * elemetos, isto é A = ( A ). Exemplo : A 5 = 7i i A = 6 UESC Módulo 4 I Volume 5 3

36 Elemetos de Matemática Avaçada Exemplo : ateção Na verdade para defiir a matriz trasposta e a matriz trasposta cojugada de uma dada matriz ão é ecessário impor que dita matriz seja quadrada. Mas sim, é preciso salietar que se A é uma matriz de T lihas e m coluas, A ou, se for o caso, A, será uma matriz de m lihas e coluas. S 4 4 S 4 4 i = + 4i i 8 0 4i 8 i 5 0 = i..6 Matriz Hermitiaa Uma matriz quadrada e complexa A é dita hermitiaa, se ela é igual a sua trasposta cojugada, * ou seja, satisfaz a relação A = A isto é, aij = a ji i, j =,,. Exemplo : 0 i σ = = σ i 0 Exemplo : J + i 3 5i 5 0 = = J i 0 0 i 3 + 5i i Física EAD

37 Álgebra Liear. Operações com Matrizes Nas diversas aplicações das matrizes a área de Física, é muito frequete que apareça a ecessidade de operar com elas. Assim, vamos tetar defiir operações etre matrizes como soma, multiplicação e produto de uma matriz por um escalar, estabelecedo quais são as propriedades que essas operações devem satisfazer. Sabemos que etre os úmeros iteiros, reais e complexos existem operações como a soma e o produto. Essas operações podem ser pesadas como fuções que, dado um par de úmeros reais, fazem correspoder outro úmero real. Ou seja, se tomamos o par de úmeros reais (7, 0 ;,30) e aplicamos a fução soma, vamos obter o úmero real 9,40. Já, se aplicamos a fução produto, obteremos o úmero real 6,3. Além do mais, a soma e o produto satisfazem algumas propriedades como associatividade e comutatividade. Desde um poto de vista mais formal, podemos pesar a soma de úmeros reais como sedo uma fução f : com " f = + " = R e = R, ou seja, que podemos escrever + : R R, ode R é cojuto de pares ordeados de úmeros reais. m Seja K = R ou K =, e seja K o cojuto de matrizes de lihas e m coluas, sedo que os seus elemetos de matriz se ecotram em K, vamos defiir as seguites operações: Uidade Soma ou adição de matrizes. Multiplicação de matrizes por um escalar. Multiplicação de matrizes. Mas ão devemos esquecer que, para que essas três defiições sejam boas defiições o setido prático, ou seja, a hora de ter que fazer uso delas um problema cocreto, elas devem satisfazer uma série de propriedades. Como exemplo, vamos citar a associatividade da soma de UESC Módulo 4 I Volume 5 33

38 Elemetos de Matemática Avaçada úmeros iteiros. Sejam K, L, M, a associatividade da soma diz que ( K + L) + M = K + ( L + M ), isto é (+3)+=+(3+) ou 5+=+4, ou aida 6=6. O outro exemplo de propriedade que podemos citar é a existêcia do elemeto eutro, ou seja, um elemeto, que chamaremos de O (zero), pertecete ao cojuto dos úmeros iteiros tal K + O = O + K = K. É fácil ver que o caso da soma de úmeros iteiros esse elemeto eutro e o úmero zero. Portato ates de defiir cada operação, vamos relacioar as propriedades que devem ser satisfeitas por elas... Propriedades da Soma de Matrizes : símbolo matemático que sigifica existe. Ao logo deste texto, usaremos o símbolo, ou a palavra existe, idistitamete. Como foi dito ates, a soma de matrizes poderá ser pesada como uma fução + : K xm x K xm K xm. Ou seja, que a primeira precaução que devemos tomar é verificar m que dadas A, B K o objeto resultate, depois de aplicada a soma, que escreveremos A+B, também perteça m m ao K. Logo, vamos exigir que A, B, C K devem satisfazer as seguites propriedades: S: COMUTATIVIDADE: A + B = B + A S: ASSOCIATIVIDADE:( A + B) + C = A + ( B + C) S3: EXISTÊNCIA DE ELEMENTO NEUTRO: deve m existir O K (chamado de elemeto eutro) tal que A + O = O + A = A. S4: EXISTÊNCIA DO ELEMENTO OPOSTO: dada m m A K, ( A) K (chamada matriz oposta de A ) tal que A + ( A) = ( A) + A = O. É importate salietar que só poderão ser somadas matrizes do mesmo úmero de lihas e do mesmo úmero de coluas. Isto é, se impossível efetuar a soma etre elas. A 3 e B 5, será 34 Física EAD

39 Álgebra Liear.. Defiição de Soma de Matrizes m Dadas A, B K tal que ( A ) = a e ij ij ( B ) = b, a ij ij matriz S é dita soma de A com B, isto é, S=A+B, desde que os elemetos de matriz de S sejam defiidos por sij aij + bij, Uidade ou equivaletemete, ( S) = ( A + B) ( A) + ( B), ij ij ij ij para todo i =,,, e para todo j =,,, m, ode com o sial estamos idicado que essa igualdade é uma defiição. É fácil ver que S, defiida dessa maeira, pertece à m K porque a soma de úmeros reais (ou complexos) é também um úmero real (ou complexo). Visualizar isso fica aida mais fácil, escrevedo S da seguite maeira: S a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b a + b m m m m = m m. Exemplo : Sejam A 3 R e B R 3, dadas por e, 3,5 9, 7 A = 0,6 0,7 8,,5 6,5,7 B =, 3, 8,7,4 a matriz soma terá os seguites elemetos de matriz: UESC Módulo 4 I Volume 5 35

40 Elemetos de Matemática Avaçada ( S) ( A B) ( A) ( B) s = = + = + = a + b =, +,5 =, 6 ( S) ( A B) ( A) ( B) ( ) s = = + = + = a + b = 3,5 + 6,5 = 3,0 ( S) ( A B) ( A) ( B) ( ) s = = + = + = a + b = 9,7 +,7 = 8, ( S) ( A B) ( A) ( B) ( ) s = = + = + = a + b = 0,6 + 3, =,5 ( S) ( A B) ( A) ( B) s = = + = + = a + b = 0,7 + 8,7 = 9,4 ( S) ( A B) ( A) ( B) ( ) ( ) s = = + = + = a + b = 8, +,4 = 9,6, ou equivaletemete,, 3,5 9, 7,5 6,5, 7 S = A + B = + = 0,6 0,7 8, 3, 8,7,4, +,5 3,5 6,5 9, 7 +, 7 = = 0,6 3, 0,7 + 8,7 8,,4,6 3,0 8,0 =.,5 9,4 9,6 Usado o fato de que a soma de úmeros reais e a soma de úmeros complexos satisfazem as propriedades euciadas acima, é fácil ver que a defiição de soma de matrizes itroduzida aqui, também satisfaz ditas propriedades. Como exemplo, vamos mostrar m a propriedade associativa, S. Sejam A, B, C K, devemos mostrar que ( A + B) + C = A + ( B + C). Vamos calcular o elemeto de matriz do primeiro membro. Aplicado a defiição de soma de matrizes, temos que (( A + B ) + C ) = ( A + B ) + ( C ). ij ij ij Só que ( A B) ( A) ( B) aij bij Substituido acima, obtemos + = + = +. ij ij ij 36 Física EAD

41 Álgebra Liear (( A + B) + C) = ( aij + bij ) + cij. ij Usado a associatividade da soma dos úmeros reais ou da soma de úmeros complexos, temos que ( a + b ) + c = a + ( b + c ), etão podemos escrever ij ij ij ij ij ij Uidade (( A + B) + C) = aij + ( bij + cij ), ij ou aida (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A + B + C = A + B + C = A + B + C = A + ( B + C ). ij ij ij ij ij ij ij Por último, como duas matrizes são iguais desde que todos os seus elemetos sejam iguais, podemos cocluir que ( A + B) + C = A + ( B + C), como queríamos demostrar. Vemos assim, que a defiição de soma que acabamos de itroduzir satisfaz a propriedade associativa. A propriedade comutativa (S) é aida mais fácil de demostrar e, como o caso da propriedade associativa, a base da demostração radica o fato de que a soma de úmeros reais e a soma de úmeros complexos satisfazem a comutatividade. O elemeto eutro da soma de matrizes é a matriz m m ula O m K. É fácil ver que, A m K vale que A + O = O + A = A isto é, m m m m m a a a m a a a m a a am UESC Módulo 4 I Volume 5 37

42 Elemetos de Matemática Avaçada a a a m a a a a a a m = + m a a a a a a a a a m m = m. 3 Exemplo : Seja R, dada por A 3 4 A 3 = 3, etão, podemos escrever = = Já a matriz oposta de m A m K é aquela cujos elemetos de matriz são os opostos aditivos dos elemetos de matriz de Isto quer dizer que si A m e deotamos por A m A é dada por m. A m a a a a a a a a a m m = m, E A m será: 38 Física EAD

43 Álgebra Liear a a a a a a a a a m m A m = m, Uidade dessa maeira temos que ( ) A + A = A + A = O, m m m m m ou simplesmete, A m A m A m A m O m = + =. Exemplo 3: Seja 4 4 J 4 4, dada por, J i 3 5i 5 0 = i 0 0 i 3 + 5i i logo vemos que a sua matriz oposta, J 4 será 4 7 i 3 + 5i 5 0, + i 0 0 i 3 5i + i J 4 4 = porque J 7 + i 3 5i ( J ) = + i 0 0 i 3+ 5i i i 3+ 5i = = O + i 0 0 i i + i UESC Módulo 4 I Volume 5 39

44 Elemetos de Matemática Avaçada ateção Os exemplos ateriores (e os que apareçam futuramete) ão são demostrações formais de existêcia do elemeto eutro em do elemeto oposto. Eles devem ser pesados como uma apresetação da sua existêcia, mas ão como demostração ehuma. Os rigorosos, precisos e cosistetes matemáticos estabelecem e demostram de maeira elegate os teoremas de existêcia e uicidade cabíveis em cada caso...3 Propriedade do produto de um Escalar por uma Matriz O produto de um escalar por uma matriz é uma fução que toma um úmero λ K, (chamado de m escalar) e uma matriz A K, e faz correspoder outra m m m matriz R K, ou seja, : K K K. Vamos escrever esta operação como R = ë λ A ou simplesmete R= = λë A. Novamete, a primeira coisa a ser feita é m verificar que, efetivamete, R K. Logo temos que para todo par de escalares λ, µ K e para todo par de m matrizes A, B K devem ser satisfeitas as seguites propriedades: E: DISTRIBUTIVIDADE EM RELAÇÃO À SOMA DE MATRIZES: λ( A + B) = λb + λa E: DISTRIBUTIVIDADE EM RELAÇÃO À SOMA λ + ì A = λ A + µ A DE ESCALARES: ( ) E3: λ ( µ A) = ( λµ ) A E4: A = A, isto é, o úmero multiplicado por qualquer matriz deve ser igual a ela mesma...4 Defiição do Produto de um Escalar por uma Matriz Dado λ K e A m K tal que ( ) a ij ij A =, a matriz R é dita matriz produto do escalar λ com a matriz A, isto é R= = ë λa, desde que os elemetos de matriz de R 40 Física EAD

45 Álgebra Liear sejam defiidos por ( R) = ( λa) = r λ ( A) = λa, ij ij ij ij ij Uidade i =,, e j =,, m. Escrevedo R da seguite maeira R λa λa λa λa λa λa λa λa λa m m = m, vemos facilmete que R K produtos λ aij pertecem a K. m, porque todos os Exemplo : Sejam λ = i e A dada por A i =, + i 6 + i a matriz R=λA, terá os seguites elemetos de matriz: ( ) ( λ ) λ ( ) λ ( ) ( λ ) λ ( ) λ ( ) ( λ ) λ ( ) λ ( ) ( ) ( λ ) λ ( ) λ ( ) r = R = A = A = a = ii = r = R = A = A = a = i = i r = R = A = A = a = i + i = i r = R = A = A = a = i 6 + i = + 6i UESC Módulo 4 I Volume 5 4

46 Elemetos de Matemática Avaçada ou aida, i R = λa = i = + i 6 + i i i i i = =. i ( + i) i (6 + i) i + 6i Para demostrar as propriedades E, E, E3 e E4, euciadas acima, só devemos usar as propriedades bem cohecidas da multiplicação de úmeros reais ou de úmeros complexos. Vamos mostrar a propriedade distributiva em m relação à soma de matrizes, E. Sejam A, B K e λ K devemos mostrar que λ ( A B) λa λb. + = + Vamos calcular o elemeto de matriz do primeiro membro. Aplicado a defiição de produto de um escalar por uma matriz e a defiição de soma de matrizes, podemos escrever ( A + B) = ( A + B) = ( A) + ( B) = ( a + b ). λ λ λ λ ij ij ij ij ij ij No último membro, podemos usar a propriedade distributiva do produto em relação à soma de úmeros (reais ou complexos) e obtemos que ( a + b ) = a + b = ( A) + ( B), λ λ λ λ λ ij ij ij ij ij ij ode podemos aplicar que λ ( A) ( λa) ij λ ( B) = ( λb), logo temos que ij ij = e ij ( A + B ) = ( A ) + ( B ). λ λ λ ij ij ij 4 Física EAD

47 Álgebra Liear Por último, como duas matrizes são iguais desde que todos os seus elemetos sejam iguais, podemos cocluir que ( A + B) = A + B, λ λ λ como queríamos demostrar. ateção Observar que só depois de ter defiida a operação de multiplicação de um escalar por uma matriz, estamos em reais codições de dizer que a matriz oposta aditiva de uma dada matriz A, que ão por acaso deotamos por A, ão é outra coisa que A. Isto é, A = A. Uidade..5 Propriedades do Produto de Matrizes O produto de matrizes é uma fução que toma m m p uma matriz A e uma matriz B e dá como p resultado uma matriz G. Ou seja, podemos m m p p escrever que :. Aotamos G = A B ou simplesmete G = AB. A primeira observação que devemos fazer é que, diferetemete do que acotece a multiplicação de úmeros reais ou complexos, em geral ão vale a propriedade comutativa que diz que se α, β, etão αβ = βα. Notemos que para fazer o produto, precisamos que o úmero de coluas do primeiro fator (matriz A) deva ser igual ao úmero de lihas do segudo fator (matriz B). Portato o produto BA é impossível de ser efetuado, já que B possui p coluas e A possui lihas. O produto BA poderá ser calculado desde que ambas as matrizes sejam quadradas e pertecetes à e, mesmo assim, geralmete acotece que AB BA, como veremos daqui a pouco. Apesar do que poderíamos chamar de essas limitações, o produto de matrizes que defiiremos a seguir é muito útil e eficiete. Dadas A, A, B m m p m m e B m p, Cm p, as propriedades que devem satisfazer o produto de matrizes são: UESC Módulo 4 I Volume 5 43

48 Elemetos de Matemática Avaçada Q: A I = I A = A Q: A mom p = O p e O mam p = O p Q3: DISTRIBUTIVIDADE À ESQUERDA EM RELAÇÃO À A B + C = A B + A C SOMA: ( ) m m p m p m m p m m p Q4: DISTRIBUTIVIDADE À DIREITA EM RELAÇÃO À A + B C = A C + B C SOMA: ( ) m m m p m m p m m p Q5: ASSOCIATIVIDADE: ( ) = ( ) A B C A B C m m p p q m m p p q Na maioria das vezes, daqui para frete, deotaremos as matrizes de maeira simplificada, só com letra maiúscula e em egrita sem especificar o úmero de lihas em de coluas...6 Defiição do produto de matrizes m m p p Dadas A K e B K, a matriz G K é dita matriz produto de A com B desde que os seus elemetos de matriz sejam dados por g m a b ij ik kj k =, ou equivaletemete, ( G) g ( AB) ( A) ( B) = = = m ij ij ij ik kj ik kj k = k = m a b, i =,, e j =,, p. Novamete, escrevedo G por exteso, 44 Física EAD

49 Álgebra Liear G m m m a b a b a b k k k k k kp k = k = k = m m m a b a b a b k k k k k kp = k = k = k = m m m a b a b a b k k k k k kp k = k = k = Uidade vemos que, efetivamete, elemetos pertecem a K. G K p, já que todos o seus Exemplo : seja A 3 R e B 4 R dadas por: 4 A = e 3 4 B =. 5 7 Aplicado a defiição, temos que k k k = ( ) g a b = a b + a b = = + 5 = 7 g a b = a b + a b = 4 + = 8 + = 9 k k k = 3 k k k = ( ) g a b = a b + a b = 4 + = 4 + = 3 g = a b = a b + a b = = = 3 4 k k k = g = a b = a b + a b = 3 ( 3) = = 9 k k k = UESC Módulo 4 I Volume 5 45

50 Elemetos de Matemática Avaçada g = a b = a b + a b = = = 6 k k k = 3 k k k = ( ) g = a b = a b + a b = = = 3 g = a b = a b + a b = = + 0 = 4 k k k = 3 3k k 3 3 k = ( ) g = a b = a b + a b = = = 7 g = a b = a b + a b = + 6 = + 6 = 8 3 3k k 3 3 k = 33 3k k k = ( ) g = a b = a b + a b = + 6 = + 6 = 5 g = a b = a b + a b = = = 46, 34 3k k k = portato G = AB = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = 3 ( 3) = É iteressate salietar que o produto BA é impossível de ser calculado porque o úmero de coluas da matriz B é diferete do úmero de lihas da matriz A. 46 Física EAD

51 Álgebra Liear um coselho Uma maeira prática de fazer o produto é visualizá-lo da seguite forma: ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) ( AB) Uidade observado que, por exemplo, o local ode está o símbolo ( ) correspodete ao elemeto g, devemos colocar a liha da matriz A vezes a colua da matriz B, ou seja, g = ( AB) = 3 ( 3) = 9. AB Vamos demostrar uma propriedade, o caso, a propriedade associativa, Q5, deixado ao leitor iteressado a demostração das outras. Segudo a defiição de igualdade de matrizes, temos que demostrar que ( ) ( ). A B C = A B C m m p p q m m p p q ij ij Para isso usaremos a defiição de produto de matrizes e o fato de que os úmeros reais (ou complexos) satisfazem a propriedade associativa como vemos a seguir: m ( ) ( ) ( ) A B C = A BC m m p p q ij ik kj k = m p m p m p ( A) ( ) ( ) ik B C kl lj = = a b c = a b c ik kl lj ik kl lj k = l= k = l= k = l= m p p m p m = a b c = a b c = a b c ik kl lj ik kl lj ik kl lj k = l= l= k = l= k = p m p = = = l= k = l= ( A) ( B) ( C) ( AB) ( C) ( ik kl lj A ), il lj mbm p C p q ij i =,, e j =,, p. Desse modo, obtemos o resultado desejado: ( ) ( ) A B C = A B C. m m p p q m m p p q UESC Módulo 4 I Volume 5 47

52 Elemetos de Matemática Avaçada Vejamos agora um exemplo iteressate. por e Exemplo (José Luiz Boldrii, 980): Sejam A = B = A, B 3 3 R dadas Multiplicado A com B obtemos 3 AB = = ( ) ( ) ( ) = = O Já, se fazemos 48 Física EAD

53 Álgebra Liear 3 BA = Uidade ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = O. 6 Portato podemos cofirmar que, se tratado de produto de matrizes, a ordem dos fatores altera sim o produto, porque AB BA. Por outro lado, também podemos ver que, equato para úmeros reais (ou complexos) vale que αβ = 0, etão pelo meos α (ou β) deve ser ulo, já com matrizes vemos que AB = O, com ambas as matrizes distitas da matriz ula. 3 DETERMINANTE E MATRIZ INVERSA Sabemos que, por exemplo, dado um úmero real (complexo) ão ulo r existe outro úmero real (complexo), que deotamos por r, tal que rr = r r =. O úmero r é cohecido como iverso multiplicativo de r. Como exemplo, temos que r = 3, r =. Cabe 3 pergutar-os se dada uma matriz quadrada A K existe outra matriz A K tal que AA = A A = I. O tratameto rigoroso desta questão é algo complicado para este texto, mas trataremos de dar os coceitos básicos e a ferrametas para o cálculo. Sedo assim, euciaremos algumas propriedades que ficaram sem demostração, e só serão verificadas com algus exemplos. UESC Módulo 4 I Volume 5 49

54 Elemetos de Matemática Avaçada 3. Defiições Prévias 3.. Submatriz Dada A K com >, dizemos que ( A, i, j) ( ) ( ) S K é submatriz de A, desde que os elemetos ( A, i, j) de matriz de S sejam obtidos a partir dos elemetos da matriz A por elimiação da liha i e a colua j. Exemplo : seja a matriz A 4 4 dada por 7 + i 3 5i 5 0 A =, i 0 0 i 3 + 5i i temos que elimiado a primeira liha e a primeira colua, obtemos a submatriz S dada por ( A,,) 3 3 S ( A,,) 5 0 = 0 0 i. i Já por elimiação da quarta liha e terceira colua, ( A,4,3) 3 3 obtemos a submatriz da matriz A, S dada por S ( A,4,3) 3 5i = 5. i 0 i 3.. Determiate de uma matriz O determiate de uma matriz é um úmero que deotaremos idistitamete por det ( A ) ou A tal que 50 Física EAD

55 Álgebra Liear ( ) det A K. Vamos defiir primeiramete o determiate de uma matriz det ( A) a do tipo A. No caso de K. Nesse caso, para ( a ) A K A = o, ou seja, para uma matriz Uidade a a = a a A o det ( A ) é defiido pela seguite expressão ( A) a a a a det = A = det = aa aa. a a a a Exemplo : Seja A dada por portato, A a a 3i i, a a = = ( ) ( ) ( ) det A = a a a a = 3i i = 6i + i = 4 i. Já, se a A K, dizemos que o determiate pode ser desevolvido (ou calculado) pela liha i (com i =,,, que da maeiras diferetes) ou pela colua j (com j =,,, que da mais maeiras diferetes). No total, existe maeiras de calcular o determiate. Seja A K, dada por A a a a a a a a a a =, UESC Módulo 4 I Volume 5 5

56 Elemetos de Matemática Avaçada veremos que sigifica que o determiate pode ser desevolvido ou calculado por tal liha ou tal colua. O determiate desevolvido pela primeira liha, que deotaremos por det ( A) L, é defiido pela relação: + k ( A,, k ) ( A) a k ( ) ( S ) det = det. L k = Em geral pela liha r, temos que r+ k ( A, r, k ) ( A) ark ( ) ( S ) det = det. Lr k = Já a expressão geral para o determiate de A desevolvido pela colua t fica k + t ( A, k, t) ( A) akt ( ) ( S ) det = det. Ct k = Na verdade, pode-se mostrar que se a ( A) = det ( A) A K etão det Lr, r, t =,,. Esta propriedade Ct os diz que, qualquer que seja a liha ou a colua pela qual desevolvamos o determiate, ele sempre dará o mesmo resultado, o que justifica a otação iicialmete itroduzida ( A) = ( A) = ( A) det det det Lr. Ifelizmete, a demostração desta propriedade, está além do alcace deste Ct texto. Ela só será exemplificada para a sua simples verificação. saiba mais O determiate pode ser escrito em termos de quatidades que defiiremos como cofatores da matriz A, da seguite maeira: det ( ) det ( ) A = A = a Lr rk k = k = ( A, r, k ) ( A, k, t) det ( A) = det ( A) = akt, Ct 5 Física EAD

57 Álgebra Liear ode o cofator do elemeto ( A i j) a ij é defiido a partir da relação i+ j A i j ( ) ( S ) det.,, (,, ) Embora esta defiição seja uma mera formalidade, ela será útil a hora de defiir a matriz adjuta e a matriz iversa. Uidade Exemplo : Usaremos este exemplo para verificar a propriedade acima. Seja A 3 3, dada por 5 0 A = 0 0 i. i Calcularemos o seu determiate pela primeira, seguda e terceira lihas, deixado ao leitor o cálculo pela primeira, seguda e terceira coluas: Pela primeira liha: 3 + k ( A,, k ) ( A) = ( A) = a k ( ) ( S ) det det det L k = + ( ) ( ( A,,) + 3 ) ( ) ( ( A,,) + det det ) ( ) det ( ( A S S S,,3) ) = a + a + a 3 0 i = 5 det 0 det + ( ) det = 5 ( i) ( i) = 5 + 5i i i Pela seguda liha: 3 + k ( A,, k ) ( A) = ( A) = a k ( ) ( S ) det det det L k = + ( ) ( ( A,,) + 3 ) ( ) ( ( A,,) + det det ) ( ) det ( ( A S S S,,3) ) = a + a + a = 0 det + 0 det i det = i ( 5) ( i) = 5 + 5i i i UESC Módulo 4 I Volume 5 53

58 Elemetos de Matemática Avaçada Pela terceira liha: k ( A,3, k ) ( A) = ( A) = a3 k ( ) ( S ) det det det L3 k = 3+ ( ) ( ( A,3,) ) ( ) ( ( A,3,) + det det ) ( ) det ( ( A S S S,3,3) ) = a + a + a = ( ) det ( i) det + det = ( i) ( 5i) = i. 0 i 0 i 0 0 Vemos assim que obtivemos, em todos os casos, o mesmo resultado. ateção O fato de ter verificado que dada uma matriz quadrada em particular o determiate calculado por uma liha em particular coicide com o determiate calculado por uma colua em particular, ão serve como demostração formal da propriedade sobre determiates que diz que, dada uma matriz quadrada qualquer, o determiate calculado por uma colua qualquer coicide com aquele calculado por uma liha qualquer. No cotexto das Ciêcias Exatas, é impossível afirmar que: Porque o vaso saitário do baheiro da ossa casa é braco, tudo aquilo que é braco, é vaso saitário; ou Porque o cálculo do determiate da matriz A, dada por 5 0 A = 0 0 i i idepede da liha ou da colua escolhida para desevolver dito cálculo, podemos cocluir que isso é válido para toda matriz. Uma afirmação como esta última, equivalete à afirmação feita sobre os vasos saitários, além de ser metodologicamete icorreta, soa até arrogate, quado ecaixada um cotexto que tecioa ser cietífico. Por exemplo, uma afirmação como a euciada o Teorema de Pitágoras (que, como todo mudo sabe, diz que a soma dos quadrados dos catetos de todo e qualquer triâgulo retâgulo é igual ao quadrado da hipoteusa), é uma afirmação muito geral e muito forte, e requer uma demostração rigorosa para poder afirmar que vale para todo triâgulo retâgulo. Depois do exposto, é essecial e imprescidível salietar que o exemplo do cálculo do determiate efetuado acima, por diferetes lihas e coluas da matriz em questão, dado sempre o mesmo resultado ( A ) (det = i), só foi colocado como verificação, sem ter pretesão ehuma de ser uma demostração rigorosa e formal, já que a demostração dessa propriedade está além do alcace deste texto. Podemos atecipar que a demostração deveria ser feita sobre uma matriz geérica do tipo 54 Física EAD

59 Álgebra Liear A a a a a a a a a a =, Uidade como já foi feito, por exemplo, para demostrar a propriedade associativa do produto de matrizes, ( ) = ( ), A B C A B C m m p p q m m p p q ode todas as matrizes evolvidas eram geéricas Matriz Adjuta Dada A K, a matriz à é dita matriz adjuta, desde que ela seja a matriz formada pelos cofatores dos elemetos da matriz A. Isto é A à a a a a a a a a a = ( A,, ) ( A,, ) ( A,, ) ã ã ã ã ã ã ã ã ã ( A,, ) ( A,, ) ( A,, ) = ( A,, ) ( A,, ) ( A,, ). Exemplo : Seja A, dada por A i =, 5 8i UESC Módulo 4 I Volume 5 55

60 Elemetos de Matemática Avaçada as cofatores são: ( A ) ( à ) ã + A ( ) ( S ) ( ),, (,,) = = = = = ( A ) ( à ) ã det det + A ( ) ( S ) ( i),, (,,) = = = = = + ( A ) ( à ) ã det det i + A ( ) ( S ) ( ),, (,,) = = = = = ( A ) ( ) det det + A ( ) ( S ) ( ),, (,,) à = ã = = = i = i det det. Logo a matriz adjuta de A fica i à =. i Exemplo : Seja B R 3 3, dada por 0 3 B = Seguido o procedimeto do exemplo aterior, temos que ~ ~ + 8 ( B ) B ( ) ( S ),, (,,) B = b = = det = det = 7 4 = = 46 ~ ~ ( B,, ) ( B,,) 6 B b ( ) + det ( S ) det 5 4 = = = = = = ( 4 0) = Física EAD

61 Álgebra Liear ~ ~ ( B,,3 ) + 3 ( B,,3) 6 8 B = b3 = = ( ) det ( S ) = det = = 4 40 = Uidade ( ) ( B ) ( S ) ~ ~ ( B,, ),, B = b = = ( ) det = det = 7 4 = 0 = ~ ~ ( B,, ) + ( B,,) 3 B = b = = ( ) det ( S ) = det = 5 4 = = 4 5 = 9 ~ ~ ( B,,3 ) + 3 ( B,,3) 0 B = b3 = = ( ) det ( S ) = det = ( ) = = ~ ~ ( B,3, ) (,3,) B = b3 = = det = det = 3 8 = = 4 3 B ( ) ( S ) ~ ~ ( B,3, ) 3+ ( B,3,) 3 B = b3 = = ( ) det ( S ) = det = 3 6 ( ) ( ) = 6 3 = + 8 = 6 ~ ~ ( B,3,3 ) 3+ 3 ( B,3,3) 0 B = b33 = = ( ) det ( S ) = det = ( ) = = 8. Logo ~ B = UESC Módulo 4 I Volume 5 57

62 Elemetos de Matemática Avaçada 3..4 Matriz Iversa Dada A K, pode se mostrar que A possui matriz iversa se e somete se det( A) 0, esse caso, a matriz iversa da matriz A, que deotaremos por T ( Ã) A =. det( A) A, é dada por Primeiramete devemos esclarecer que a expressão acima ão é uma defiição, mas sim uma propriedade que deveria ser demostrada. Ifelizmete a demostração ão está ao alcace deste texto. Portato vamos os cotetar apeas com uma mera verificação, como já temos feito em outras situações. Exemplo : Já vimos que a matriz A i = 5 8i tem como matriz adjuta i à =, i portato T ( Ã) = i i Já o determiate é i det ( A) = det = i ( 5 8i) = i 0 + 6i = i. 5 8i 58 Física EAD

63 Álgebra Liear Sedo assim, A T ( Ã) 5 + 8i i = = =. det( A) 0 + 7i 0 + 7i 5 + 8i i Uidade Com ituito de só verificar, façamos agora o produto i A A = = 0 + 7i 5 + 8i i 5 8i i (5 8 i) = = 0 + 7i ( i) i + i (5 8 i) ( 5 + 8i) + i i 0 + 6i 0 = = 0 + 7i i + i 0 + 7i 0 0 = = = I i i 0 Resumido, vimos que, se A i = 5 8i etão A 0 + 7i i = i i 0 + 7i 0 + 7i UESC Módulo 4 I Volume 5 59

64 Elemetos de Matemática Avaçada Deixamos ao leitor iteressado a tarefa de multiplicar e dividir cada elemeto da matriz iversa por ( i) = 0 7i para elimiar, desse modo, os descofortáveis deomiadores complexos, como assim também verificar que AA = I. Exemplo : Já vimos que a matriz 0 3 B = tem como matriz adjuta ~ B = 9 7, portato 46 4 ~ T ( B) = Já o determiate é det ( B) = det 6 8 = det + 3 det = ( ) ( ) = = = Física EAD

65 Álgebra Liear Sedo assim, B ~ 46 4 T ( B) 7 8 = = = det( B) Uidade Fazedo o produto B B = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 7) = ( 7) = ( 7) = = = , 40 = = I Verificamos que obtemos como resultado a matriz idetidade. Deixamos ao leitor iteressado verificar que BB = I Propriedades de determiates, matrizes iversas e matrizes adjutas Euciaremos algumas propriedades de UESC Módulo 4 I Volume 5 6

66 Elemetos de Matemática Avaçada determiates, matrizes iversas e matrizes adjutas. Sejam A, B K W: Se A possui uma liha (colua) ula, etão o seu determiate é ulo. W: Se A possui duas lihas (coluas) iguais, etão o seu determiate é ulo. W3: Se A possui uma liha (colua) igual ao produto de outra liha (colua) por uma costate, etão o seu determiate é ulo. T W4: det ( A) = det ( A ) W5: det ( AB) = det ( A) det ( B) W6: Se A é iversível etão ( A ) det =. det ( A) W7: Se uma liha de A é multiplicada por uma costate, o determiate também fica multiplicado por essa costate. W8: Se A e B são ambas duas matrizes iversíveis, etão o produto delas também é iversível, e vale que AB = B A ( ) W9: Se A é iversível, a sua iversa é úica. Deixamos ao leitor iteressado as suas demostrações. 6 Física EAD

67 Álgebra Liear EXERCÍCIOS PROPOSTOS. Demostrar as propriedades E e E3 do produto de um escalar por uma matriz defiido acima. Uidade. Dadas as matrizes A, B 4 3, defiidas por + i i 7 A = 6 + 3i 4 i 3 7i i 0 i e 0 4i 0 B = 7 + 4i 0, + 6i i i 5 6i λ = i e µ = + i, calcular, desde que seja possível: i) λ ( A + B) ii) µ ( A B) T iii) λ ( A + B ) iv)( λµ )( A + B) v) λ A + µ B vi) λ A + µ B 3. Demostrar a propriedade comutativa, S, da soma de matrizes. 4. Demostrar que i)( A ) = A, T ii)( A = A, ) T iii)( A ) = A. A K m, etão UESC Módulo 4 I Volume 5 63

68 Elemetos de Matemática Avaçada 5. Demostrar que se A, B 6. Demostrar que se A, B 7. Demostrar que se A, B m K etão ( A + B) = A + B. A + B = A + B. m K etão ( ) T T T m K etão ( ) A + B = A + B. 8. Demostrar que a soma de duas matrizes simétricas é uma matriz simétrica. 9. Demostrar que a soma de duas matrizes hermitiaas é uma matriz hermitiaa. 0. Dadas as matrizes A, B 3 3, dadas por + i i A = 6 + 3i 4 3 7i i 0 e calcular: i) A + B, ii) A B, T iii) A + B, iv) A + B, v)( A + B) T, T T vi) A + B, vii)( A + B), 0 4i B = i 7 + 4i, + 6i i i viii) A + B, ix) A B, x) A + B, T T xi)( A + B ), xii)( A B ) xiii) ( ) T. A B + B A 64 Física EAD

69 Álgebra Liear. Demostrar as propriedades Q3 e Q4 do produto de matrizes. m. Dadas A R e B m 3. Dadas A K e B 4. Dadas as matrizes AB = B A. m p R mostrar que ( ) T T T AB = B A. m p K mostrar que ( ) A, B 4 3, defiidas por Uidade + i i 7 A = 6 + 3i 4 i 3 7i i 0 i e 0 4i 0 B = 7 + 4i 0, + 6i i i 5 6i calcular, desde que seja possível: i) AB, T ii) AB, T iii) BA. 5. Determiar α, θ, ρ e ω tal que α θ 0 = ρ ω Verdadeiro ou falso? i)( ) A + B = A + AB + B, ii) A B ( A B)( A B) = +. iii)seja A tal que podemos fazer quadrada. A, etão A é uma matriz UESC Módulo 4 I Volume 5 65

70 Elemetos de Matemática Avaçada 7. Dadas as matrizes i) calcular det( A ), ii) calcular / 7 A = i 6 B = C =, / / 3 3 / ( A,, ), ( B,3,), ( B,,3), iii) verifique que det ( B) = det ( B) L ( C,,) e, iv) calcule, quado for possível, Ã, C3 A, B ~, ( C,4,3), B, C ~, e C Dadas as matrizes A = e 5 B = 6 8, mostre det A + B det A + det( B) e verifique que que ( ) ( ) ( ) ( ) det AB = det A det( B). 9. Mostrar que se det ( ξ A) = ξ det ( A). 0. Seja R A R tal que K e ξ K, etão R T = R, etão det( R ) = ou det ( R ) =. Uma matriz real que possui como matriz iversa a sua matriz trasposta é dita de matriz ortogoal.. Seja U tal que U U =, etão det( U ) =. Uma matriz complexa que possui como matriz iversa a sua matriz trasposta cojugada é dita de matriz uitária. 66 Física EAD

71 Álgebra Liear RESUMINDO Apresetamos um assuto muito importate da Álgebra Liear que diz respeito as matrizes. Defiimos o que é uma matriz, e algus dos diferetes tipos de matrizes que são utilizadas comumete. Foram defiidas três operações básicas etre matrizes: soma de matrizes, produto de um escalar por uma matriz e produto de matrizes. Também defiimos o determiate de uma matriz e a matriz iversa. Exemplos esclarecedores foram apresetados em cada item. Como foi dito a itrodução, algus assutos ficaram sem ser tratados, como a utilização de matrizes a resolução de sistemas de equações algébricas lieares. Também algumas propriedades têm sido euciadas sem demostração. Para isso, recomedamos ao leitor a seguite bibliografia: Butkov E. (998), Boldrii et al. (980). Uidade REFERÊNCIAS BUTKOV, E., Mathematical Physics, Addiso Wesley Publishig Compay Ic., Uited States of America, 968. BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G.; ÁLGEBRA LINEAR, São Paulo, HARBRA Ltda., 980. UESC Módulo 4 I Volume 5 67

72 Suas aotações

73 ª uidade ÁLGEBRA LINEAR. ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA Ao fial desta Uidade, o/a aluo/a será capaz de: saber determiar se um dado cojuto de elemetos possui estrutura de espaço vetorial; eteder os coceitos de idepedêcia liear de vetores e de base e dimesão de um espaço vetorial; saber as propriedades do produto itero; eteder os coceitos de ortogoalidade, distâcia, e âgulo etre vetores; idetificar uma trasformação liear e compreeder a sua associação com matrizes.

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75 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita INTRODUÇÃO Dado cotiuidade à Uidade, esta uidade serão abordados os temas de espaços vetoriais de dimesão fiita, produto itero e trasformações lieares etre espaços vetoriais. Defiiremos o coceito de idepedêcia liear de vetores e de base de um espaço vetorial. Aprederemos que, embora vivamos um espaço de três dimesões, podemos defiir, matematicamete, outros espaços de um úmero maior de dimesões. Veremos que o produto escalar etre vetores do espaço ordiário, estudado em Geometria Aalítica, será redefiido de uma maeira mais geral e de mais utilidade as suas aplicações a Física. Reelaboraremos, também, a oção de ortogoalidade, distâcia e âgulo. Demostraremos o Teorema de Pitágoras de uma maeira formal e elegate. Veremos, também, a associação etre matrizes (estudadas a Uidade ) e trasformações lieares. Uidade ESPAÇOS VETORIAIS DE DIMENSÃO FINITA Na Física existem gradezas chamadas gradezas vetoriais. Um exemplo bem cohecido delas é o vetor posição que idica ode está localizada uma partícula em relação a algum sistema de referêcia. Outro exemplo é o vetor velocidade, defiido por dr v =, dt ode r é o vetor posição em relação a um sistema de referêcia ortogoal, caracterizado por uma origem de UESC Módulo 4 I Volume 5 7

76 Elemetos de Matemática Avaçada coordeadas O, e três eixos ortogoais etre si, os eixos x, y e z, e t é o tempo. A velocidade idica a taxa de variação do vetor posição. Outros exemplos de gradezas vetoriais que aparecem a Física são a força, o mometo liear, o campo elétrico, etc. Já a eergia mecâica, a eergia ciética e a eergia potecial são exemplos de gradezas que os livros de textos são chamadas de escalares as quais poderíamos defiir, simplesmete, como gradezas as quais é preciso só de um úmero para especificar. Na verdade, a defiição de escalar é um pouco mais elaborada. Quado dizemos que um êutro possui uma eergia ciética de 5 MeV está sedo passada toda a iformação ecessária em relação a sua eergia ciética. Não é preciso de mais ada. Se dizemos, porém, que um carro possui uma velocidade de 97 Km/h, a iformação forecida é parcial, porque aida falta saber a direção e o setido do carro. Nesse caso em 97 Km/h, só temos iformação acerca da itesidade do vetor. Na verdade, para passar toda a iformação, são ecessários três úmeros. Só com três úmeros é possível armazear toda a iformação ecessária para descrever a velocidade do carro. De fato, escrevemos a velocidade como um vetor de três compoetes, v = ( vx, vy, vz ), ode v x é a compoete cartesiaa da velocidade segudo o eixo x, v y é a compoete cartesiaa da velocidade segudo o eixo y, e v z é a compoete cartesiaa da velocidade segudo o eixo z. Portato, a defiição que até agora temos de vetor pode ser resumida dizedo que se trata de uma trica ordeada de úmeros reais. O cojuto dessas tricas ordeadas de úmeros reais é cohecido como o espaço vetorial R 3, embora aida ão tehamos itroduzido uma defiição precisa de espaço vetorial. Pretedemos, esta seção, dar uma defiição precisa e mais abragete de vetor e de espaço vetorial, ode o espaço 3 R será apeas um caso particular, que muitas vezes será tomado como exemplo. Também ampliaremos o coceito 7 Física EAD

77 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita de dimesão. Veremos que existem espaços de,, 3, e em geral de dimesões, iclusive até, de dimesão ifiita, de grade utilidade a Mecâica Quâtica, por exemplo.. Algumas defiições.. Vetores. Espaços Vetoriais Um cojuto de elemetos que deotaremos, de maeira geral, por α, β, γ, etc, que chamaremos de vetores, é dito espaço vetorial, desde que possam ser defiidas as seguites operações: soma de vetores e produto de um vetor por um escalar pertecete a K. As propriedades que devem satisfazer tais operações são válidas para todo α, β, γ e para todo λ, µ K, e estão elecadas a Tabela.. Uidade Tabela. Propriedades de um espaço vetorial. OPERAÇÃO PROPRIEDADES SOMA + : α, β α + β P: ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) P: ο tal que ο + α = α + ο = α P3: α tal que α + ( α ) = α + α = ο P4: α + β = β + α PRODUTO DE UM VETOR POR UM ESCALAR : K λ K α λα P5: λ ( α + β ) = λα + λβ P6: ( λ + µ ) α = λα + µα P7: λ ( µα ) = ( λµ ) α P8: α = α Se K = R, o espaço vetorial é dito real. Já, se K = é dito complexo. O elemeto ο é chamado de vetor ulo de, e o elemeto -α é chamado vetor oposto aditivo do vetor α, ou simplesmete vetor oposto do vetor α. Para o produto de um escalar por um vetor, muitas vezes é usada a otação mais simples λα, como a Tabela acima. UESC Módulo 4 I Volume 5 73

78 Elemetos de Matemática Avaçada saiba mais Um cojuto, cujos elemetos possuem uma soma que satisfaz as propriedades P, P e P3, é dito grupo. Se aida satisfaz P4 (comutatividade), é dito grupo abeliao ou comutativo. A chamada Teoria dos Grupos é muito importate em Física, por exemplo, a área de Matéria Codesada e a área de Física de Partículas. Exemplo : Se cosideramos m = (o cojuto de matrizes complexas de lihas e m coluas) juto com as operações de soma e multiplicação por um escalar, usuais, é fácil ver que se trata de um espaço vetorial complexo, já que as operações satisfazem as propriedades mecioadas. De fato, vimos (e em algus casos até m demostramos) que dados λ, µ e A, B, C P: ( A + B) + C = A + ( B + C) P: Existe P3: Existe m K tal que A + O m = O m + A = A O m P4: A + B = B + A A + A = A + A = O m A K tal que ( ) ( ) P5: λ( A + B) = λb + λ A P6: ( λ + µ ) A = λ A + µ A P7: λ ( µ A) = ( λµ ) P8: A = A A m portato o cojuto de matrizes complexas de lihas e m coluas, muido da soma e do produto por um escalar, forma um espaço vetorial. Isto também é m válido para matrizes reais ( R ). Exemplo : seja o cojuto das fuções reais cotíuas o itervalo [ a, b ], que deotaremos por R ( a, b), ou seja, que se f R ( a, b), etão f :[ a, b] R e f é cotíua. Cosideremos a soma de f + g e o produto de um escalar real λ por fuções ( ) uma fução ( λ f ) defiidos da maeira usual, tal que x [ a, b] temos que ( f + g )( x) f ( x) + g( x) ( λ f )( x) λ f ( x). 74 Física EAD

79 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Por exemplo, seja [ a, b] = [ 0, π ], λ = 3, x f ( x ) = 5si 3 e g ( x) cos x, = logo vemos que, aplicado as defiições acima, x x ( f + g )( x) = 5si + ( cos x) = 5si cos x e 3 3 x x ( λ f )( x) = 3 5si = 5si. É fácil ver, lembrado 3 3 algus coceitos de Cálculo sobre propriedades de fuções cotíuas (do tipo que a soma de duas fuções cotíuas é cotíua), que ( f + g ) e ( λ f ) pertecem à R ( a, b), e que dados λ, µ R e f, g, h R ( a, b) vale que Uidade P: ( f + g ) + h = f + ( g + h) P: Existe o tal que o + f = f + o = f P3: Existe f tal que f + ( f ) = f + f = o P4: f + g = g + f P5: λ( f + g) = λ f + λg P6: ( ) λ + ì f = λ f + µ f P7: λ ( µ f ) = ( λµ ) f P8: f = f sedo que o é a fução ula tal que o( x) = 0, x [ a, b], e f = f. Logo vemos que um espaço de fuções como o que acabamos de defiir é também um espaço vetorial... Combiação Liear Dados um úmero atural s e um espaço vetorial, o vetor ão ulo Ψ é dito uma combiação UESC Módulo 4 I Volume 5 75

80 Elemetos de Matemática Avaçada liear dos vetores Φ, Φ, Φs, desde que existam λ, λ, λs K ão simultaeamete ulos, tais que Ψ = λ Φ + λ Φ + + λ Φ = λ Φ. s s i i i= A otação a ser usada para combiação liear dos vetores,, s Φ Φ Φ é [ ] Φ Φ Φ s,,. Exemplo : Seja s = 4 e = R, e sejam b = (,3 ), b = (,0 ), b3 = ( 5, ), e b 4 = (, 3 ). É fácil a = 3, 5 pode ser escrito como uma ver que, o vetor ( ) b, b, b3, b 4 da seguite maeira s a = λi b i =. (,3) + 3. (,0 ) + ( ).( 5,) + ( ).(,3) = i= s (,3) ( 3, 0) ( 5, ) ( 4, 6) = = ( ) ( ) = , = 3, 5, com λ λ λ3 =, = 3, = e λ 4 =. ateção Notar que, dado um vetor, ão existe uma úica combiação liear a partir da qual ele pode ser obtido. Como prova disso, podemos ver que o vetor do exemplo aterior também pode ser escrito como a = µ iei, i= com µ = 3, µ = 5, e = (,0) e e = (0,). 76 Física EAD

81 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita..3 Vetores Liearmete Idepedetes e Liearmete Depedetes Dados um úmero atural s e um espaço vetorial,, s são ditos liearmete idepedetes (LI) desde que a equação, os vetores do cojuto { Φ Φ Φ } Ο = s i= λ Φ seja satisfeita somete se λ i = 0 i =,, s. Caso cotrário, ou seja, se existe pelo meos um ídice j tal que j s i i Uidade e λ j 0, os vetores são ditos liearmete depedetes (LD). É fácil ver que um cojuto de vetores é LD desde que um deles possa se escrever como uma combiação liear dos outros. Para ver isto, supohamos que Φ, Φ, Φ s são LD, etão existe λ j 0. Logo, dada a expressão λ λ λ λ Φ + Φ + jφ j + sφ s = Ο, ela pode ser dividida em ambos membros por λ j e o vetor Φ j pode ser isolado da seguite maeira: λ λ λ λ λ Φ + Φ + + Φ + Φ + Φ + + Φ = Ο λ λ λ λ λ j j+ s j j j+ s j j j j j λ λ λ λ λ Φ = Φ Φ Φ Φ Φ j j+ s j j j+ s λ j λ j λ j λ j λ j s λ i Φ j = Φi. i=, i j λ j Portato um cojuto de vetores LD pode ser caracterizado como tal quado um desses vetores do cojuto pode ser escrito como uma combiação liear dos UESC Módulo 4 I Volume 5 77

82 Elemetos de Matemática Avaçada outros. Como cosequêcia disto, um cojuto de vetores LI pode ser caracterizado como tal desde que ehum vetor do cojuto possa ser escrito como uma combiação liear dos outros. Exemplo : Seja b = (,4,0), a, b { } 3 = R e seja a = (,,5 ) e é fácil ver que a = b, portato o cojuto 3 é um cojuto de vetores de R liearmete depedetes. Geometricamete, isto sigifica que os vetores a e b estão cotidos a mesma reta. Exemplo : Seja = ( π, π ) e seja { } ( ) { } f, g, h = cos x,cos x,si x. Para ver se esse cojuto de fuções pertecetes a R ( π, π ) é LI ou LD, vamos escrever R ( ) = ( + ) = = cos x cos x x cos x cos x si xsi x cos x si x ou seja que f = λ g + λ h com λ = e λ =, portato o cojuto { cos ( ), cos,si } x x x é LD. Exemplo 3: Seja = (,) e seja { f g h} { x x x 4 },, =,,. Vamos a aalisar a expressão R ou aida: λ λ λ ( ) ( ) 4 x + x + 3 x = o x, 78 Física EAD

83 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita λ x + λ x + λ x = Trata-se de um poliômio de grau 4 a variável x portato, segudo os valores que tomem λ, λ e λ 3, podem acotecer os seguites casos com as raízes (valores da variável x que aulam o poliômio): Quatro raízes reais distitas ( r, r, r 3 e r 4 ). Uma raiz real de multiplicidade um ( r ) e outra raiz real de multiplicidade três ( r = r 3 = r 4 ) Uidade Uma raiz real de multiplicidade dois ( r = r ) e outra raiz real, também de multiplicidade dois ( r 3 = r 4 ) Uma raiz real de multiplicidade quatro ( r = r = r = r ) 3 4 Duas raízes complexas z e z sedo que as outras raízes são z e z Duas raízes reais distitas ( r e r ) e duas complexas z e z = z Uma raiz real de multiplicidade ( r = r ) e duas complexas z e z = z. Portato ão existe ehum cojuto de λ, λ e λ 3, que aule o poliômio para todo valor de x, além do caso o qual λ = λ = λ3 = 0. Sedo assim, o cojuto de fuções { f, g, h} { x, x, x 4 } = é LI...4 Base de um Espaço Vetorial Dados um úmero atural s e um espaço vetorial, um cojuto de vetores B = { Φ Φ Φ },, s, com UESC Módulo 4 I Volume 5 79

84 Elemetos de Matemática Avaçada Ο Φi i =,, s, é dito base do espaço vetorial desde que sejam satisfeitas as seguites codições: { } Φ, Φ, Φ s é LI [ Φ Φ Φ ],, s = A igualdade da seguda codição é muito importate e diz que qualquer vetor de pode ser escrito com uma [ Φ Φ Φ ],,. s Exemplo : Seja = R e seja B { e, e} = com e = (, 0) e e = (0,), e seja a = ( a, a ) Escrevedo a = λ e + λ e = λ,0 + λ 0, = λ,0 + 0, λ = λ, λ, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) vemos que coseguimos escrever a como uma [ e, e ] com λ = a e λ a. = Notar que foi tomado um vetor geérico a = ( a, a ) que [ e e ] = de R. Portato podemos escrever, R. A próxima questão a verificar é se o cojuto B { e, e } = é LI. Se for, B é base de R. Caso cotrário, ão, já que ão seria satisfeita a primeira codição da defiição de base. Comecemos por escrever o = λ e + λ e ( ) = λ ( ) + λ ( ) = ( λ ) + ( λ ) = ( λ λ ) 0,0,0 0,,0 0,,, o que implica em λ = λ = 0, logo B é LI. Portato podemos cocluir que, B { e, e } = é base de R, já que B 80 Física EAD

85 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita é LI e [ e, e ] = R. Exemplo : Seja o mesmo espaço e o mesmo vetor geérico do exemplo aterior. Só que agora vamos cosiderar =,,, ode f = (,0), f 3 = (0, ). Vamos escrever o cojuto C { f f f3} a = λ f + λ f + λ f 3 3 ( a, a ) λ (, 0) λ ( 0, ) λ ( 0, ) = + + = 3 f = (0, ) e Uidade ( λ ) ( λ ) ( λ ) ( λ λ λ ) =,0 + 0, + 0, =,. 3 3 Portato a = λ e a = λ λ. 3 Vemos assim que temos coseguido escrever o vetor a como uma combiação liear dos vetores de C, só que existem ifiitos valores de λ e λ 3 que satisfazem a = λ λ, 3 equato, o exemplo aterior, os valores dos λ s são úicos. Por exemplo, se a = 5, temos que λ = 3 e λ 3 = 4 são soluções, mas também são soluções λ = e λ 3 =. Isto é cosequêcia f, f, f ão é um cojuto de vetores LI, já que de que { 3} olhado com cuidado podemos os dar cota que f = f3. Ate esta situação, ficamos com a sesação de que o cojuto C = { f,, f f 3} possui vetores a mais. Para gerar o vetor a f, f f, f. só é ecessário o cojuto { }, ou o cojuto { 3} Por exemplo, se escrevemos = + = + = ( a, a ) λ f λ f λ (, 0) λ ( 0, ) UESC Módulo 4 I Volume 5 8

86 Elemetos de Matemática Avaçada ( λ ) ( λ ) ( λ λ ) =,0 + 0, =,, vemos que λ = a e λ = a. Deixamos ao leitor iteressado determiar os λ f, f3, como assim também f, f e s que se obtêm ao escolher { } verificar a idepedêcia liear dos cojutos { } { f, f3} são bases de para poder afirmar, assim, que ambos os cojutos R. Portato podemos ver que um dado espaço vetorial possui mais de uma base. Na realidade, possui ifiitas. É importate salietar também que as três bases achadas, { e, e}, { f, f} e { f, f3} possuem dois vetores cada. Por outro lado, se tetássemos propor para base de R um cojuto de vetores formados por só um vetor, veríamos logo e facilmete que é isuficiete. Portato, cojutos de mais de vetores ão servem para base de R já que possui vetores a mais, fato que fica em evidêcia porque um vetor desse cojuto poderá ser escrito como uma combiação liear dos outros. Já, se tomamos um cojuto com meos de dois vetores, será isuficiete. Este fato os estimula a itroduzir a próxima defiição. ateção É importate salietar que quado falamos em base de um espaço vetorial, estamos também idicado a ordem dos vetores detro do cojuto. Tato é assim que, rigorosamete falado, deveríamos dizer base ordeada, e ão somete base. Isso quer dizer que a base de R dada pelo coju- 3 to {(,0,0),(0,,0),(0,0,)} é diferete da base {(0,0,),(0,,0),(,0,0)}, embora ambas possuam os mesmos vetores, desde que a ordem em que eles aparecem em cada cojuto seja também diferete. Embora, o decorrer do texto, utilizaremos só a palavra base, devemos ter presete que sempre estaremos falado de bases ordeadas. 8 Física EAD

87 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita..5 Dimesão de um Espaço Vetorial Dado um espaço vetorial, o úmero atural é dito dimesão do espaço vetorial, desde que seja igual ao úmero de vetores que possui uma base B = { Φ, Φ, Φ }. A otação usada é dim( ) =. Baseados esta defiição, fica fácil perceber que 3 ( R ) =, dim( R ) = 3 e, em geral ( R ) dim dim =. Exemplo : Seja = R o cojuto de poliômios com coeficietes reais cujo grau é meor ou igual a ( gr ( P) ). Ou seja, se P( t) R, etão Uidade i 0 ( ) = α = α + α + α + + α P t t t t t t i= i 3 = = α + α t + α t + + α t 3, ode αi R i =,,. Defiimos a soma de poliômios e o produto de um poliômio por um escalar da maeira usual: ( P + Q)( t) = P( t) + Q( t) é ( λp)( t) λp( t) =. Deixamos para o leitor iteressado mostrar que R, muido dessas operações, é um espaço vetorial. Vamos cosiderar o caso particular de = 5 e 3 4 { } { } B e ( t), e ( t), e ( t), e ( t), e ( t), t, t, t, t. = = Seja P( t ) 3 4 ( ) = α + α + α + α + α P t t t t t Vamos igualar uma combiação liear dos poliômios de B ao P( t ), UESC Módulo 4 I Volume 5 83

88 Elemetos de Matemática Avaçada 5 i= ( ) 3 4 α + αt + α3t + α4t + α5t = λi ei t α α α α α λ λ λ λ λ t + 3t + 4t + 5t = + t + 3t + 4t + 5 t. Usado o fato de que dois poliômios a variável t são iguais, desde que sejam iguais os coeficietes das mesmas potêcias de t, cocluímos que λ = α, =,,3, 4,5. i i i Sedo assim, vemos que, t, t, t, t = R. A idepedêcia liear é fácil de demostrar. Escrevamos 5 O( t ) (o poliômio ulo de R ) como uma combiação liear dos vetores de B, ( ) O t 5 = λi ei ( t). i= Usado ovamete a defiição de igualdade etre poliômios, vemos que, para que essa igualdade seja verdadeira para todo t, é ecessário que λ i = 0, i =,,3, 4,5. Satisfeitas as duas codições que defiem a base de um espaço vetorial, vemos que B {, t, t, t 3, t 4 }. Mais aida, dim( 5 R ) = 5 = é base de 5. Em geral, é fácil ver que ( R ) dim =. R Exemplo : Seja o mesmo espaço do exemplo aterior, e seja 4 ( ) = P t t t é fácil ver que ele pode ser gerado a partir de uma combiação liear dos vetores de B, com λ =, λ = 7, 84 Física EAD

89 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita λ 3 = 0, λ 4 = 0 e λ 5 =. Defiamos agora o cojuto { ( ), ( ), ( ), ( ), ( )} C = q t q t q t q t q t = { t t t t 3 t t 4 } = 7,,, + 3, +. Para mostrar que C é base, o leitor iteressado 5 deve mostrar ( ) ( ) ( ) ( ) que ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) R e { } = q t, q t, q3 t, q4 t, q5 ( t) q t q t q t q t q t é um cojuto de vetores LI. Para isso, calculemos os coeficietes da combiação liear de vetores de C que gera o poliômio Uidade 4 ( ) P t = + 7 t + t. Assim, escrevemos ( ) 5 5 i α i µ i i i= i= P t = t = q ( t) α + α t + α t + α t + α t = µ q t + µ q t + µ q t + µ q t + µ q t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 7t + t = 7µ + µ t + µ t + µ t + 3t + µ t + t = = 7µ + µ µ t + µ t + µ t + 3µ t + µ t + µ t = ( ) 3 4 = 7µ + µ µ t + µ + µ + µ t + 3 µ t + µ t Igualado os coeficietes das mesmas potecias de t, obtemos 7µ + µ = µ = 7 µ 3 + µ 4 + µ 5 = 3µ 4 = 0 µ 5 = UESC Módulo 4 I Volume 5 85

90 Elemetos de Matemática Avaçada Vemos logo que µ = 7, µ 4 = 0 e µ 5 =. Substituido µ a primeira equação, obtemos µ 5 = e, por último, 7 substituido µ 4 e µ 5, a terceira equação, obtemos µ 3 = 0. Vemos que os coeficietes mudam segudo muda a base. Motivados por esse fato, vamos itroduzir a defiição a seguir...6 Compoetes de um Vetor Dado um espaço vetorial de dimesão e uma B = Φ, Φ, Φ, os coeficietes λ, λ,... λ são ditos compoetes do vetor Ψ a base B, desde que base { } Ψ = i= λ Φ. i i É muito comum associar a um vetor de, uma matriz colua de ( ) dim K. Para estas matrizes em particular, usaremos a otação ( Ψ B ) (mas ão devemos esquecer que é uma matriz colua como outra qualquer), formada pelas compoetes do vetor uma dada base B tal que ( Ψ B ) = ( Ψ ). i B = λ i i Notar que temos omitido o ídice de colua, que vale sempre, por se tratar de uma matriz colua dada por ( ) λ λ. λ Ψ B = Exemplo : Seja = R, 3 4 { ( ) ( ) 3 ( ) 4 ( ) 5 } { } B = e t, e t, e t, e t, e ( t) =, t, t, t, t, 86 Física EAD

91 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita { ( ) ( ) ( ) ( ) } { 3 4,, 3, 4, ( ) 7,,, 3, } C = q t q t q t q t q t = t t t + t t + t 4 e P( t) t t = Do exemplo aterior, vemos que λ λ 7 ( ) = λ 3 = 0 B λ4 0 λ 5 ( P t ) Uidade µ 5 7 µ 7 ( ) = µ 3 = 0. C µ 4 0 µ ( P t ) 5 ateção O problema de achar as compoetes de ( ) 7 P t t t = + + a base { 7, t, t, t + 3 t, t + t } poderia ter sido escrito como: a µ + a µ + a µ + a µ + a µ = b a µ + a µ + a µ + a µ + a µ = b a µ + a µ + a µ + a µ + a µ = b a µ + a µ + a µ + a µ + a µ = b a a a a a b µ + µ + µ + µ + µ = Vemos assim que se trata de um sistema de 5 equações algébricas lieares com 5 icógitas. Aplicado a defiição de produto de matrizes, dito sistema pode se expressar a forma matricial Aµ = b, ou aida, a a a3 a4 a5 µ b a a a3 a4 a5 µ b a a a a a µ = b a4 a4 a43 a44 a45 µ 4 b4 a5 a5 a53 a54 a 55 µ 5 b 5 UESC Módulo 4 I Volume 5 87

92 Elemetos de Matemática Avaçada Substituido pelos respectivos valores uméricos, obtemos µ µ µ 3 = µ µ 5 Em geral, um sistema de equações algébricas lieares com icógitas pode se escrever da forma a a a µ b a a a µ b =. a a a µ b Se a matriz colua b é a matriz ula, ou seja a a a µ 0 a a a µ 0 =, a a a µ 0 o sistema é dito homogêeo. Caso cotrário, o sistema é dito ão homogêeo. Pode se mostrar que Para que o sistema de equações algébricas lieares com icógitas ão homogêeo possua solução, ou seja, uma matriz colua µ que verifique a relação matricial Aµ = b, é ecessário e suficiete que det( A) 0. Nesse caso µ é úica, isso que dizer que se existe outra matriz colua ρ, tal Aρ = b, etão, ecessariamete ρ = µ. No caso o qual o sistema é homogêeo ( b = 0), temos que, para o sistema possuir solução, também é ecessário e suficiete que det( A) 0, só que esse caso a solução ão será úica. Em geral, existirão ifiitas matrizes coluas µ que verifiquem que a a a µ 0 a a a µ 0 =. a a a µ 0 Esta última situação é muito importate e será abordada futuramete quado estudarmos o problema de autovalores e autovetores de uma trasformação liear. Voltado ao osso problema 88 Física EAD

93 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita µ µ µ 3 =, µ µ 5 vamos verificar que o determiate da matriz A = Uidade é ão ulo. Usufruido do fato de que o determiate de uma matriz idepede da liha, ou da colua pela qual ele é desevolvido, vemos que o mais coveiete é desevolver o det( A ) pela seguda liha, já que possui só um elemeto ão ulo, a = (também poderíamos escolher a quita liha ou quarta colua): 5 k + ( A, k,) ( A) ak ( ) ( S ) det = det = C k = = det ( A) = det 0 0 = A ( S ) = a = (,,) ( ) det det. ( A,,) Desevolvedo det ( ) S pela primeira liha temos + ( A,,) det ( A) = ( ) ( S ) det det = UESC Módulo 4 I Volume 5 89

94 Elemetos de Matemática Avaçada Por último, calculado det pela terceira liha, obtemos 3+ 3 det ( A) = 7 ( ) det = 3 0 ( ) = = 0. É importate lembrar que este boxe ATENÇÃO foi itroduzido para salietar que o problema de achar as compoetes de um vetor de um espaço vetorial uma dada base de dito espaço fica reduzido ao problema de achar a solução de um sistema de equações algébricas lieares de equações com icógitas, ode = dim ( ). Cabe-os pergutar: qual é a garatia que temos de que det ( A) 0? Pode-se mostrar que essa garatia reside o fato de que o cojuto B é base de. 3 ESPAÇOS DE HILBERT (PRODUTO INTERNO) O primeiro dos postulados da Mecâica Quâtica diz que o estado de um sistema quâtico está caracterizado por um vetor de um espaço de Hilbert, tal que desse vetor é possível tirar toda a iformação sobre o sistema. Um espaço de Hilbert é um espaço vetorial sobre o qual defiiremos mais uma operação, além das já defiidas para espaço vetorial, chamada produto itero. Além do mais, este espaço tem a peculiaridade de, frequetemete, possuir ifiitas dimesões. O produto itero, que ão é outra coisa que uma geeralização do produto escalar do espaço físico ordiário, os permitirá reelaborar e geeralizar o coceito de distâcia etre dois potos, módulo de um vetor e âgulo etre dois vetores. 90 Física EAD

95 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita 3. Algumas defiições 3.. Espaço Vetorial com Produto Itero ou Espaço de Hilbert Um espaço vetorial, em geral complexo, de elemetos que, por equato deotaremos por Ψ, Φ, Θ, etc., é dito com produto itero ou escalar, desde que possa ser defiida uma aplicação : (que deotaremos Ψ Φ ) tal que, Ψ, Φ, Θ e, sejam satisfeitas as seguites propriedades: λ ateção Uidade P9: Ψ Ψ 0, Ψ Ψ = 0 Ψ = Ο P0: λψ Φ = λ Ψ Φ P: Ψ + Φ Θ = Ψ Θ + Φ Θ P: Ψ Φ = Φ Ψ Notar que, segudo a propriedade P9, o produto escalar de um vetor com ele mesmo é ecessariamete real (embora o espaço seja complexo!) e, aida, maior ou igual a zero. Também é iteressate salietar que se o espaço K R, P0 e P ficam λψ Φ = λψ Φ vetorial é real ( = ) e Ψ Φ = Φ Ψ, respectivamete. Em particular, olhado para P, vemos que, o caso de se tratar de um espaço vetorial real, o produto itero é comutativo. Repare com cuidado que, quado falamos em espaços vetoriais, estamos deixado claro que as propriedades P até P8 já são satisfeitas. Aqui só estamos adicioado as propriedades P9 até P, que defiem o produto itero. 3 Exemplo : Seja = R e K = R, e seja o produto escalar usual do espaço físico ordiário (que deotaremos simplesmete ab ), defiido por 3 ab = a, a, a b, b, b = a b = a b + a b + a b, ( )( ) 3 3 i i 3 3 i= 3 ode a, b R, a, a e a 3 são as compoetes segudo os eixos x, y e z do vetor a, e b, b e b 3 são as compoetes segudo os eixos x, y e z do vetor b, respectivamete. UESC Módulo 4 I Volume 5 9

96 Elemetos de Matemática Avaçada Por exemplo, seja a = (, 0, 4) e b = (,, ), etão ab = ( ) ( ) = = 9. É fácil ver 3 que, λ R e a, b, c R se satisfaz e que P9: aa 0, aa = 0 a = o = (0,0,0) P0: ( λa) b = λ ( ab ) P: ( a + b ) c = ac + bc P ab = ba Facilmete podemos mostrar, como exemplo, a propriedade P: + = = ( a b ) c ( a b, a b, a3 b3 )( c, c, c3 ) = a + b c = a c + b c = a c + b c = ac + bc. ( ) ( ) Σ Σ Σ Σ i i i i i i i i i i i i= i= i= i= Desse modo, demostramos que ( a + b ) c = ac + bc. A geeralização para o espaço R é imediata, o setido de que também se trata de um espaço vetorial com produto itero. É só defiir a soma de vetores de R como ( a + b ) = ai + bi, o produto por um escalar por um vetor i como ( λa) = λa i i e o produto escalar como ab = aib i, i= i =,,, a, b R e λ R. Exemplo : Seja = o cojuto aálogo a R só que complexo, isto é, que α α = ( α, α, α ), com αi, i =,,. Na Tabela, defiimos as operações e elecamos as propriedades que elas devem satisfazer para poder afirmar que, muido dessas operações, é um espaço vetorial com produto itero. 9 Física EAD

97 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Tabela. Propriedades de um espaço vetorial com produto itero. OPERAÇÃO DEFINIÇÃO PROPRIEDADES SOMA + : α, β α + β ( α + β ) α + β, i i =,, i i P: ( α + β ) + γ = α + ( β + γ ) P: ο tal que ο + α = α + ο = α P3: α tal que α + ( α ) = α + α = ο P4: α + β = β + α Uidade PRODUTO POR UM ESCALAR : λ α λ α ( ) ( ) λ α = λα λα, i i =,, i i P5: λ ( α + β ) = λα + λβ P6: ( λ + µ ) α = λα + µα P7: λ ( µα ) = ( ) P8: α = α λµ α PRODUTO INTERNO : α, β P9: α α 0, α α = 0 α = ο α β α i βi i= P0: λα β = λ α β P: α + β γ = α γ + β γ P: α β = β α α β Vamos ver com um exemplo como fucioa este produto escalar. Seja = 4, sejam α = ( i,, i,0) e β = ( i,,, 3 i), portato ( i i )( i i) α β =,,, 0,,, 3 = ( i) ( i) ( ) ( i) ( ) ( 0) ( 3i ) = = ( ) ( ) ( ) ( ) = i i i + 0 3i = + i = i UESC Módulo 4 I Volume 5 93

98 Elemetos de Matemática Avaçada Cotiuado, vamos demostrar a propriedade P0 do produto itero. Começamos a demostração escrevedo, em forma explícita o produto( λα ) β que, segudo a defiição de produto itero e de produto de um vetor por um escalar, fica ( ) ( ) λα β = λα, λα,, λα β, β, β = ( i ) i i i i= i= = λα β = λ α β, sedo que λ ão depede do ídice da somatória, pode ser colocado em evidêcia, obtedo desse modo λα β = λ α i βi = λ α β i= como queríamos demostrar. Exemplo 3: Seja =, e sejam a soma de matrizes e produto de um escalar usual por uma matriz, as operações etre matrizes defiidas previamete. Vamos defiir um produto itero esse espaço, e euciar as suas propriedades, elecadas a Tabela 3, sedo válidas A, B, C e λ. Tabela 3. Propriedades do espaço vetorial itero. com produto OPERAÇÃO DEFINIÇÃO PROPRIEDADES PRODUTO INTERNO A B A B P9: A A 0, A A = 0 A = O : P0: λ A B = λ A B A, B A B P: A + B C = A C + B C P: A B = B A 94 Física EAD

99 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Vamos aalisar primeiro se essa defiição faz setido, já que evolve o produto usual de matrizes, e em sempre duas matrizes são multiplicáveis. Se A, B, A, etão A B A B =, como correspode, portato, a defiição faz setido. Vejamos como fucioa com um exemplo. Seja = 3 e seja a i A = a = 3 a 3 + 4i Uidade e b B = b = i, b i portato, usado a defiição de matriz trasposta cojugada A = a a, e a defiição de produto de matrizes (( ) ij ij ji ) b b A B A B = a a a b = a a a b = ( 3 ) ( 3) b 3 b 3 ( ) ( ) ( ) ( ) = a b + a b + a 3b3 = i + 3 i + 4i 3 + i = = i 3i 3+ i + i + 4 = + 9 i. 3.. Norma de um Vetor Dado um espaço vetorial com produto itero, a orma de um vetor se defie como uma aplicação : R tal que Ψ. A orma de Ψ é dada por Ψ + Ψ Ψ, ode o sial + foi colocado explicitamete para deixar em + UESC Módulo 4 I Volume 5 95

100 Elemetos de Matemática Avaçada evidêcia que a raiz positiva deve ser tomada (daqui para frete, ele será omitido). Na verdade, o Apêdice A, podemos ver que para defiir a orma de um vetor ão é ecessário que o espaço possua produto itero. A orma deve satisfazer a seguite defiição axiomática: N: Ψ = 0 Ψ = Ο N: λψ = λ Ψ N3: Ψ + Φ Ψ + Φ, válidas Ψ, Φ e λ K. O axioma (ou propriedade) N3 é cohecido com o ome de desigualdade triagular. Vemos facilmete que a defiição faz setido porque Ψ Ψ 0 + e podemos afirmar, desse modo, que Ψ Ψ R. Além do mais, como Ψ Ψ = 0 Ψ = Ο a propriedade N se satisfaz trivialmete. Vejamos o que acotece com N. Usado a defiição acima, temos que λψ = λψ λψ = λλψ Ψ = λλ Ψ Ψ = = λ Ψ Ψ = λ Ψ Ψ = λ Ψ. Portato chegamos assim ao resultado desejado. Em relação à desigualdade triagular, a demostração é um pouco mais laboriosa. Ates de começar com ela, vamos lembrar algumas propriedades dos úmeros complexos. Elas são: C: Z = ZZ C: Re( Z) C3: Im ( Z) Z Z C4: Z + Z = Re( Z) 96 Física EAD

101 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita C5: Z Z = i Im ( Z ) C6:( ZY) = Z Y válidas para todo Z,Y. Agora vamos dar iício a demostração da desigualdade triagular. Vamos partir de Ψ + Φ = Ψ + Φ Ψ + Φ = = Ψ Ψ + Ψ Φ + Φ Ψ ΦΨ + Φ Φ = Uidade ( ) = Ψ + Φ + Ψ Φ + Ψ Φ = Ψ + Φ + Re Ψ Φ, ode temos usado a propriedade C4. Logo, pela propriedade C, podemos escrever Ψ + Φ Ψ + Φ + Ψ Φ. Nestas circustâcias fica claro que, se coseguimos demostrar que, Ψ Φ Ψ Φ o osso problema está resolvido porque coseguiríamos escrever o segudo membro da desigualdade acima como ( ). Ψ + Φ A desigualdade que devemos demostrar é cohecida como desigualdade de Schwarz. Para sua demostração, vamos partir de que se Ω, etão 0 Ω Ω.. Supodo Φ Ο, defiamos Ω Ψ ξφ, ode ξ, é dado por Ψ Φ ξ Φ Φ. Logo UESC Módulo 4 I Volume 5 97

102 Elemetos de Matemática Avaçada 0 Ω Ω = Ψ ξφ Ψ ξφ = Ψ Ψ + Ψ ξφ + ξφ Ψ + ξφ ξφ = ( )( ) = Ψ ξ Ψ Φ ξ Φ Ψ + ξ ξ Φ Φ = = Ψ ξ Ψ Φ ξ Ψ Φ + ξ Φ = ( ξ ) ( ) = Ψ + ξ Φ ξ Ψ Φ ξ Ψ Φ = = Ψ + ξ Φ Re Ψ Φ. Notar que para a cadeia de igualdades acima só temos usado, além de algumas propriedades de úmeros complexos, as propriedades P9, P0, P e P do produto itero. Portato chegamos a ( ξ ) 0 Ψ + ξ Φ Re Ψ Φ. Substituido ξ pela a sua defiição, Ψ Φ Ψ Φ 0 Ψ + Φ Re Ψ Φ = Φ Φ Φ Φ Ψ Φ Ψ Φ = Ψ + Φ Re Φ Φ Φ Φ Ψ Φ Ψ + Φ Ψ Φ = Φ Φ Φ = Ψ + Ψ Φ Ψ Φ. Φ Φ Temos assim que 0 Ψ + Ψ Φ Ψ Φ. Φ Φ 98 Física EAD

103 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Multiplicado ambos membros por Φ (que sempre é maior que zero porque Φ Ο ), obtemos fialmete que 0 Ψ Φ + Ψ Φ Ψ Φ = Ψ Φ Ψ Φ Ψ Φ Ψ Φ Ψ Φ Ψ Φ, como queríamos demostrar. Falta esclarecer o que acotece quado Φ = Ο. É fácil ver que, esse caso, vale a igualdade 0 = 0. Agora que temos demostrado a desigualdade de Schwarz, voltamos para a demostração da desigualdade triagular, o poto a qual a deixamos: Uidade Ψ + Φ Ψ + Φ + Ψ Φ. Logo vemos que, usado a desigualdade de Schwartz, ( ) Ψ + Φ Ψ + Φ + Ψ Φ = Ψ + Φ. ( ) Ψ + Φ Ψ + Φ Tomado a raiz quadrada em ambos os membros da desigualdade, chegamos, assim, ao resultado desejado Ψ + Φ Ψ + Φ. Portato, a ossa defiição de orma dada, a partir do produto itero, satisfaz as três propriedades que devem satisfazer à orma. Notar que esse processo demostramos a desigualdade triagular e a desigualdade de Schwartz, sedo que, para demostrar a primeira, foi usada a seguda. Como ambas relações são muito importates, vamos colocá-las em destaque: UESC Módulo 4 I Volume 5 99

104 Elemetos de Matemática Avaçada DESIGUALDADE TRIANGULAR: Ψ + Φ Ψ + Φ DESIGUALDADE DE SCHWARTZ: Ψ Φ Ψ Φ. Seguidamete, vamos calcular a orma de algus vetores. 3 Exemplo : Seja a dado por a = (,3,5). Neste caso, vimos que a orma coicide com o módulo, portato a = a = aa = (,3,5)(,3,5) = ( ) = = = 35, e (,3,5) = 35. Exemplo : Seja A 4 dada por + i i A =. + i Segudo a defiição de produto itero itroduzida esse espaço, temos que 00 Física EAD

105 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita + i i A = A A = A A = ( i i i) = + i ( ) ( ) ( ) ( ) = i + i + i i + + i ( + i) = = = 3. Uidade Vemos assim que + i i = 3. + i Olhado para a defiição de orma o espaço físico ordiário, dada pelo módulo do vetor, é fácil iterpretar a orma como uma geeralização da oção do comprimeto de um vetor Distâcia em um espaço vetorial com produto itero Dado um espaço vetorial com produto itero, a distâcia etre dois vetores se defie como uma aplicação + d : R tal que Ψ, Φ a distâcia etre Ψ e Φ é dada por: d ( Ψ, Φ) Ψ Φ. Na verdade, o Apêdice A, podemos ver que para defiir a distâcia etre dois vetores ão é ecessário que o espaço possua produto itero. A distâcia deve satisfazer a UESC Módulo 4 I Volume 5 0

106 Elemetos de Matemática Avaçada seguite defiição axiomática: D: d ( Ψ, Φ ) = 0 Ψ = Φ D: d ( Ψ, Φ ) = d ( Φ, Ψ) D3: d ( Ψ Φ) d ( Ψ Ω ) + d ( Ω Ψ) válidas Ψ, Φ, Ω.,,,, Usado os axiomas (ou propriedades) que determiam a orma, é fácil ver que a distâcia defiida acima satisfaz D, D e D3. D é cohecida como propriedade de simetria; e D3 é cohecida, também, como desigualdade triagular. Exemplo : Seja =. Seja = 4, sejam α = ( i,, i,0) e β = ( i,,, 3 i). Segudo a defiição de produto escalar esse espaço, ( ) d α, β = α β = α β α β = ( i,, i, 0 ) ( i,,, 3 i) ( i,, i, 0 ) ( i,,, 3i ) = = ( i,0,3 i,3 i) ( i,0,3 i,3i ) i i 0 0 ( 3 i) ( 3 i) = = = = i + 3i + = 4. Logo ( ) ( ) ( ) ( ) d α, β = d i,, i,0, i,,, 3i = Âgulo Dado um espaço vetorial com produto itero, θ é dito o âgulo etre dois vetores ão ulos Ψ, Φ, se o seu coseo é dado por 0 Física EAD

107 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita ( Ψ Φ ) Re cos θ. Ψ Φ Para ter certeza de que essa defiição faz setido, devemos verificar que o módulo do segudo membro seja meor ou igual à uidade, já que cosθ, θ R. Para fazer essa verificação, vamos partir da desigualdade de Schwartz: Ψ Φ Ψ Φ Uidade Ψ Φ. Ψ Φ Usado a propriedade C, obtemos fialmete que Re ( Ψ Φ ), Ψ Φ como queríamos verificar. Sedo assim, a ossa defiição de âgulo é satisfatória. Outra questão que vamos testar é o acordo com a ideia de âgulo o espaço físico ordiário. Sabemos que, se 3 a, b R, ab R, portato, essa defiição toma a forma Re( ab ) ab cos θ = =, a b a b que por sua vez pode ser escrita como como deve ser. ab = a b cosθ, Exemplo : Seja =. Seja = 4, sejam α = ( i,, i,0) e β = ( i,,, 3 i). Tratado-se desse UESC Módulo 4 I Volume 5 03

108 Elemetos de Matemática Avaçada espaço, e segudo a defiição de âgulo, devemos escrever: ( ) ( α β ) Re ( i,, i, 0 ) ( i,,, 3i ) Re cosθ = = = α β ( i,, i, 0 ) ( i,,, 3i ) = Re( i ( i) + + ( + i) ( ) + 0 ( 3i )) ( i) i + + ( + i) ( i) i ( i) + + ( ) ( ) + 3i ( 3i ) ( i) ( i) Re + Re = = = = Vemos assim que cos θ = Vetores Ortogoais Dado um espaço vetorial com produto itero, dois vetores Ψ, Φ são ditos ortogoais ou perpediculares desde que Ψ Φ = 0 Para dizer que Ψ é perpedicular a Φ vamos usar a otação usual Ψ Φ. Esta defiição também está de acordo com o ossa ideia de vetores perpediculares que cohecemos do espaço físico ordiário, já que se Ψ Φ = 0 etão, o coseo do âgulo etre eles é ulo e o âgulo vale π radiaos. O coceito de ortogoalidade é muito importate a aplicação da Álgebra Liear, a Mecâica Quâtica e em outras áreas da Física. A ortogoalidade verifica as seguites propriedades O: Ο Ψ, Ψ O: Ψ Φ Φ Ψ O3: Ψ Φ Ψ Φ = Ο 04 Física EAD

109 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita O4: Se Ψ Φ e Ψ Ω Φ Ω O5: Se Ψ Φ λψ Φ, válidas Ψ, Φ, Ω e λ K. Olhado para as propriedades acima, vemos que estão de acordo com o coceito de ortogoalidade que cohecemos do espaço físico ordiário. 3 Exemplo : Sejam a, b 4,, 5. Vamos calcular ab : e b = ( ) ab = = ( 3,, )( 4,, 5) R dados por a = ( 3,, ) Uidade ( ) = = = 0 = 0, portato, podemos afirmar que a b Bases Ortogoais e Ortoormais Dado um espaço vetorial com produto itero e uma base { } B = Φ, Φ, Φ, ela é dita ortogoal, se os seus elemetos satisfazem Φ Φ = Φ Φ δ. i j i j ij Já, se eles satisfazem a relação Φi Φ j = δij, a base é dita ortoormal. As duas relações são válidas i =,, e j =,,. No caso de se tratar de uma base ortoormal geérica, vamos usar a otação UESC Módulo 4 I Volume 5 05

110 Elemetos de Matemática Avaçada { } B ξ ξ ξ =,. Desse modo, temos que ξ ξ = δ. i j ij 3 Exemplo : Seja = R e seja B ' = b, b, b =,0,0, 0,5,0, 0,0,4. Supodo que { 3} ( ) ( ) ( ) { } já sabemos que é base (deixamos ao leitor iteressado a demostração), vamos ver que ela é ortogoal. bb = b = (,0,0)(,0,0) = ( ) = 4 bb = b = ( 0,5, 0)( 0,5, 0) = = 5 b3b3 = b3 = ( 0, 0, 4)( 0, 0, 4) = = 6 bb = bb = (, 0, 0)( 0,5, 0) = = 0 bb 3 = b3b = (, 0, 0)( 0, 0, 4) = = 0 bb3 = b3b = ( 0,5, 0)( 0, 0, 4) = = 0. Portato temos que a codição geérica Φ Φ = Φ Φ δ é satisfeita sob a forma b b = b b δ. i j i j ij i j i j ij Reparado que, os vetores b, b e b 3 só possuem compoete ão ula o eixo x, y e z, respectivamete, vemos que cada vetor está cotido em um eixo que é perpedicular aos outros dois. Em geral, um espaço vetorial com produto itero de dimesão, cada vetor que pertece a uma base ortogoal determia cada uma das direções de um cojuto 06 Física EAD

111 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita de direções perpediculares esse espaço. Vejamos o que acotece dividido cada vetor pela sua orma. Nesse caso, temos que defiir os vetores c b = = = c c b b (,0,0) = = = b b (0,5, 0) = = = b 3 (0,0,4) 4 (,0,0) (0,, 0) ( ) 0,0,. Uidade É fácil ver que, cic j = δij. A tera de vetores uitários i = (, 0, 0), j = (0,,0) e k = (0,0,) formam a chamada base caôica de R 3, que aqui deotamos por e, e e e, 3 respectivamete. Eles satisfazem eie j = δij. Para formar uma base ortoormal a partir de uma base ortogoal, é só dividir cada vetor pela sua orma. Assim, ' B = Φ, Φ, Φ, etão a base seja a base { } Φ Φ Φ B = { ξ, ξ ξ} =,, Φ Φ Φ é ortoormal. Exemplo : Neste segudo exemplo, vamos demostrar o Teorema de Pitágoras. No esio médio, o teorema de Pitágoras é euciado da seguite maeira: A soma dos quadrados dos catetos de todo e qualquer triâgulo retâgulo é igual ao quadrado da hipoteusa. Aqui, o euciaremos do seguite modo: Seja B { ξ ξ ξ } = uma base ortoormal de, um espaço vetorial com produto itero, V. Seja Ψ V, dado por uma combiação liear UESC Módulo 4 I Volume 5 07

112 Elemetos de Matemática Avaçada Ψ = ciξ i, i= com c, i =,,, sedo as compoetes do vetor i Ψ essa base, etão: Ψ = ci i=. Parece muito diferete? Pode ser, mas o fudo, ão é. Na verdade, é a mesma coisa. Vamos começar com a demostração. Para isso, é só calcular o quadrado da orma de Ψ e usar as propriedades do produto itero: ciξ i c jξ j ci ξi c jξ j i= j= i= j= Ψ = Ψ Ψ = = = ci c jξi ξ j ci c jδij ci ci ci i= j= i= j= i= i= = = = = como queríamos demostrar. Para ver o que isso tem a ver com aquele cohecido euciado que diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipoteusa, cosideremos um vetor de a = a, a. Sabemos que ele pode ser escrito como R dado por ( ) a ai ei ae ae a a i= (, 0) ( 0,) = = + = + = ( a,0) ( 0, a ) ( a 0,0 a ) ( a, a ) = + = + + = ode e = (, 0) e e = (0,) formam a base caôica de R, e a e a são as compoetes do vetor a essa base. Portato, e segudo o resultado aterior, a = aa = a + a. 0, a Seguidamete, podemos pesar os vetores ( ),0 a e ( ) 08 Física EAD

113 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita como os catetos de um triâgulo que tem um vértice a origem de coordeadas, o segudo vértice sobre o eixo x, o poto (,0 ), poto ( 0, ). sobre o eixo x ( 0,0 )(,0) a e o terceiro vértice sobre o eixo y, o a Um cateto estará formado pelo segmeto a e possui comprimeto a, já o outro cateto estará alocado sobre o eixo y e será o segmeto ( 0,0)( 0, ), hipoteusa será o segmeto (,0)( 0, ) é a a, a cujo comprimeto é a. Por último, a a a cujo comprimeto + segudo o euciado do teorema de Pitágoras apredido o esio médio, coicidido com o resultado achado acima. Portato os coceitos apredidos sobre espaços vetoriais e produto itero permitiram euciar e demostrar o teorema de Pitágoras de forma mais geral e elegate. Uidade 3..7 Subespaços Vetoriais Dado um espaço vetorial V, um cojuto é dito subespaço vetorial do espaço vetorial V, desde que Se O é o vetor ulo de V, etão O, Se λ K e α, β, etão α + λβ. É fácil ver que todo espaço vetorial possui dois subespaços vetoriais que são cohecidos pelo ome de subespaços vetoriais triviais. Eles são = { O} e =. Ou seja, que o vetor ulo soziho forma um subespaço vetorial. Por outro lado, o próprio espaço vetorial V é um subespaço vetorial dele mesmo. Exemplo : Seja 4 4 = e seja o cojuto de todas as matrizes cujos elemetos da diagoal pricipal são ulos. Em otação matemática isso é escrito assim: { A aii i } = 4 4 / = 0, =,,3, 4, ode o símbolo / deve ser lido como tal que. Para ver que é um subespaço UESC Módulo 4 I Volume 5 09

114 Elemetos de Matemática Avaçada 4 vetorial de 4, a primeira coisa a ser verificada é que a matriz ula de 4 4 pertece a. É, pertece, sim. A matriz ula tem todos os seus elemetos ulos, em particular aqueles da diagoal pricipal. Para verificar a seguda codição, tomemos duas matrizes A e B pertecetes a, e um úmero complexo λ qualquer, e vejamos se a matriz A + λb : 0 a a3 a4 0 b b3 b4 a 0 a3 a4 b 0 b3 b4 A + λb = + λ = a3 a3 0 a 34 b3 b3 0 b 34 a a a 0 b b b a + λb a + λb a + λb a + λb 0 λb a + λb = a3 + λb3 a3 + λb3 0 a34 + λb34 a + λb a + λb a + λb Vemos assim que, a matriz A + λb possui os elemetos da diagoal pricipal ulos, portato pertece a. Satisfeitas a duas codições, podemos cocluir que é 4 um espaço vetorial de 4. 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES A depedêcia liear etre variáveis é a depedêcia mais simples que podemos ecotrar. Cosideremos o caso do movimeto retilíeo uiforme (MRU) em uma dimesão que pode ser defiida dizedo que, dado um sistema de referêcia, uma partícula está em movimeto 0 Física EAD

115 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita retilíeo uiforme (esse sistema de referêcia) desde que percorra espaços iguais em tempos iguais. Ou seja, se uma partícula demora um tempo t = t t, em se deslocar da posição determiada pela abscissa x até a posição determiada pela abscissa x, e, por outro lado, demora um ' tempo t = t t, 4 3 para se deslocar da posição determiada pela abscissa x 3 até a posição determiada pela abscissa x 4, é dito que essa partícula está em MRU. Desde que se t = t ', etão ecessariamete tem que valer que x x = x x. 4 3 Dito de outra maeira, Uidade x4 x3 x x = = costate. t t t t 4 3 Como é bem sabido por todos, essa costate recebe o ome de velocidade do MRU, geralmete deotada por v. Ou seja, podemos escrever que x x t t 0 0 = v, ode t é o istate iicial, 0 x 0 é a posição iicial (isto é, a posição da partícula o istate iicial), e x é a posição da partícula o istate geérico t. Resolvedo para x, obtemos a famosa lei horária do MRU dada por ( ) = + ( ) x t x v t t 0 0, ode escrevemos explicitamete x( t ) para deixar clara a depedêcia fucioal da variável depedete x com a variável idepedete t. É fácil ver que a expressão acima é equivalete a Y ( X ) = mx + b, ode Y assume o rol de x, e X assume o rol de t. Por outro lado, o coeficiete agular m ão é outra coisa que a velocidade v e a ordeada a origem b é dada por b = x vt. 0 0 No caso particular o qual o istate iicial é tomado como sedo t 0 = 0, a lei horária do MRU fica x( t) = x0 + vt. Já a lei horária do movimeto UESC Módulo 4 I Volume 5

116 Elemetos de Matemática Avaçada retilíeo uiformemete acelerado (MRUA) ão possui a propriedade de que espaços iguais são percorridos em tempos iguais. Lembremos que esse movimeto satisfaz (cosiderado o istate iicial t 0 = 0, para simplificar as relações) e x t x0 v0t at ( ) = + + v( t) = v0 + at, ode x 0 e v 0 são a posição e velocidades iiciais, respectivamete, a é uma costate chamada aceleração, e x( t ) e v( t ) são a posição e a velocidade o istate t. Cosideremos, como exemplo, um MRUA o qual a aceleração vale a = m, s a velocidade iicial vale v = 4 m 0 s e a posição iicial vale x0 = 7 m. Vamos calcular o espaço percorrido o itervalo de tempo que vai desde t = s até t = s : m m x = x t = x s = m + s + s s s ( ) ( ) 7 4 ( ) = 7m + 4m + m = m m m x = x t = x s = m + s + s s s ( ) ( ) 7 4 ( ) = 7m + 8m + 4m = 9 m. = = Vemos que a distâcia percorrida esse itervalo de tempo t = t t = s s = s é dada por x = x x = 9m m = 7 m. Determiemos agora o espaço percorrido o itervalo de tempo que vai desde t = s até t4 = 5 s : 3 4 Física EAD

117 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita m m x3 = x t3 = x s = m + s + s s s ( ) ( 4 ) ( 4 ) = 7m + 6m + 6m = 39 m, m m x ( ) ( ) ( ) 4 = x t4 = x 5s = 7m + 4 5s + 5s = s s = = 7m + 0m + 5m = 5 m. Logo, a distâcia percorrida esse ' itervalo de tempo t = t4 t3 = 5s 4s = s é ' x = x4 x3 = 5m 39m = 3m x = 7 m. Notamos assim ' ' que o caso do MRUA x x apesar de que t = t = s. Isso acotece pelo fato de que o MRUA está descrito por uma lei horária para a posição x( t ) que ão é liear o tempo, mas sim quadrática. Na verdade, o coceito de liearidade é de grade importâcia em Matemática e em Física, e vai muito além da equação de uma reta em Geometria, ou do MRU em Ciemática. Aalisemos, pois, um pouco mais o coceito de liearidade. Uidade 4. Algumas defiições 4.. Trasformação Liear Dados dois espaços vetoriais V e W, dizemos que uma aplicação L : é uma trasformação liear desde que α, β e λ K, seja satisfeita a seguite igualdade: L ( α + λβ ) = L ( α ) + λl ( β ). Exemplo : Seja L : R R tal que = R e =, R e seja UESC Módulo 4 I Volume 5 3

118 Elemetos de Matemática Avaçada 3x y y L( ( x, y) ) = A =. y x Vemos que efetivamete A L ( x, y) ( ). = R Estudemos agora a liearidade. Para isso, tomado a = ( x, y), b = ( u, v) e seja λ R, vamos calcular + = + = ( ) L ( a λb ) L ( x, y) λ ( u, v) (, λ, λ ) (( λ, λ )) ( ) ( ) = L x y + u v = L x + u y + v = ( x + λu) ( y + λv) y + λv ( y + λv) ( x + λu) 3 = = 3x + 3λu y λv y + λv = = y λv x + λu ( 3 ) λ ( 3 ) x y + u v y + λv = = y λv x + λu ( ) 3x y y λ 3u v λv = + = y x λv λu 3x y y 3u v v = + λ = y x v u = (, ) + (, ) = +. ( ) ( ) L x y λ L u v L( a) λ L ( b ) Portato, como L ( a + λb ) = L ( a) + λl ( b ), temos que a trasformação L é uma trasformação liear. Agora, 4 Física EAD

119 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita vejamos como essa trasformação liear fucioa para um dado vetor em particular de ( ) L ( ) R : seja ( ) ( ) ( ) x, y = (, ), logo 3 7, = =. 4 Exemplo : Seja = = o cojuto de poliômios de variável real t, com coeficietes complexos, ou seja, que se P( t), etão Uidade j ( ) a t P t = j= com a j, j =,,. Seja L uma trasformação tal que aplicada a um poliômio de toma a forma j, dp( t) L( P( t) ) = Q( t) = i. dt A primeira coisa a ser verificada é que, efetivamete, Q( t). Para fazer isso, calculemos ( ) j d j d j Q t = L a jt = i a jt i ( a jt ) j= dt = = j= j= dt d j d j = i a ( t ) = i a j ( t ) = dt j j= dt j= j j ( ) j ( )( ) j. j= j= = i j a t = i j a t Sedo assim, vemos que o poliômio Q( t ) pode se escrever como j 3 ( ) = = Q t b t b b t b t b t b t j j= UESC Módulo 4 I Volume 5 5

120 Elemetos de Matemática Avaçada com os coeficietes b j dados por ( )( ) b = i j a. j j Portato, bj, j =,. Em relação ao gr( Q( t )), vemos que ( ) = < Portato, como todos os ( ). gr Q t coeficietes de Q são úmeros complexos e o seu grau é, podemos cocluir que ( ). Q t Para estudar se efetivamete tal trasformação é liear, tomamos um úmero complexo qualquer λ e dois poliômios quaisquer ( R( t ) e S( t ) ) de L R( t) + λs( t) : e calculamos ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ). dt L ( R t + λs t ) = i [ R t + λs t ] Como esses poliômios pertecem a, eles podem ser escritos como e j ( ) c t R t = j j= j ( ) d t S t = j= j, com c e d, j =,,. Logo, temos que j j d + = + = dt L ( R( t) λs( t) ) i [ R( t) λs( t) ] d j j = i c jt + λ d jt = dt j= j= 6 Física EAD

121 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita d j d j = i c jt iλ c jt = dt j= dt j= dr( t) ds( t) = i iλ = L R t + L S t dt dt ( ( )) λ ( ( )). Portato, a trasformação L : defiida por dp( t) L( P( t) ) = i é uma trasformação liear. Na verdade, dt para mostrar a liearidade de L, usamos o apredido em cálculo acerca da derivação de fuções: a operação derivada possui a propriedade de liearidade. Isso quer dizer que, dadas duas fuções deriváveis (reais ou complexas) de variável real x, f ( x ) e g( x ) defiidas um dado itervalo [ a, b ], é válido que Uidade ( ) ( ) d df x dg x f ( x) g ( x) dx + λ = + λ dx dx para qualquer valor de λ, real ou complexo. Como os poliômios são fuções deriváveis (mais aida, ifiitamete deriváveis), ão fogem dessa regra. Salietemos que este exemplo foi colocado de maeira proposital porque a Mecâica Quâtica qualquer observável físico (gradeza que pode ser medida em um laboratório, como a coordeada, o mometo liear, o mometo agular, a eergia ciética, etc.) tem associado uma trasformação liear (o cotexto da Mecâica Quâtica recebe o ome de operador), atuate um espaço vetorial complexo de fuções. Em particular, o operador associado à gradeza física mometo liear de uma partícula d que se desloca em uma dimesão, é o operador i, ode dx é a costate de Plak dividida por π. Já a eergia d ciética, por exemplo, tem associado o operador, m dx ode m é a massa da partícula. Começamos perceber deste UESC Módulo 4 I Volume 5 7

122 Elemetos de Matemática Avaçada modo a importâcia do coceito de liearidade e da sua geeralização. Depois de ter associado este exemplo de trasformação liear que estamos estudado com algumas questões coceretes à Mecâica Quâtica, vamos ver fialmete como fucioa esta trasformação liear para um dado 4 poliômio em particular de : 3 ( ) ( ) dp( t) P t = i + 7t + 3it i t L( P ( t) ) = Q( t) = i = dx d i i 7t 3it ( i) t dx 3 = + + = ( ) 3 di d(7 t) d(3 it ) d i t = i = dx dx dx dx i 0 7 6it 3( i) t = + + = ( ) ( ) = i + t + i i t = i + t + + i t Portato ( ) = ( + + ( ) ) = ( ) = + + ( + ) ( ) L P t L i t it i t Q t i t i t Exemplo 3: Seja L : R R, tal que se A = = R, e seja R etão ( ) a a aa a L A = B = L =. a a a si( aa) É fácil ver que L( A) B. = R Será que L é liear? Para respoder essa perguta, vamos tomar um úmero real 8 Física EAD

123 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita λ qualquer, e duas matrizes X e Y pertecetes a dadas por R, e X x x = x x Y y y, = y y Uidade e vamos calcular primeiramete L ( X Y ) x L x y y + λ = + λ = x x y y x x λ y λ y x + λ y x + λ y = L + = L = x x λ y λ y x + λ y x + λ y ( x + λ y)( x + λ y ) ( x + λ y ) ( x + λ y ) si ( x + λ y )( x + λ y ) = = xx + λxy + λx y + λ yy x + λ y = = x + λxy + λ y si ( xx + λxy + λx y + λ yy ) ( ) xx + λ xy + x y + λ yy x + λ y =. x + λxy + λ y si xx + λ ( xy + x y) + λ yy Agora, vamos calcular L ( X ) + λl ( Y ) : L ( X ) L ( Y ) x L x y L y + λ = + λ = x x y y UESC Módulo 4 I Volume 5 9

124 Elemetos de Matemática Avaçada xx x yy y = + λ = x si ( xx ) y si ( yy ) xx x λ yy λ y = + = x si ( xx ) λ y λ si ( yy ) xx + λ yy x + λ y = = x + λ y si ( xx ) + λ si ( yy ) ( λ ) ( ) λ xx + λ yy x + y =. x + λ y si xx + si( yy) Vemos assim que L ( X λy ) ( ) xx + λ xy + x y + λ yy x + λ y + = x λxy λ y si xx λ ( xy x y) λ yy ( λ ) ( ) λ xx + λ yy x + y = + x + λ y si xx + si( yy) L ( X ) λl ( Y ). Nestas circustâcias, somos obrigados a cocluir que a trasformação L : R R defiida por a a a a a, si( ) L = a a a aa ão é uma trasformação liear porque a codição L ( X λy ) L ( X ) λl ( Y ) + = + ão é satisfeita. É fácil ver que trasformações etre espaços vetoriais que relacioam os coeficietes que defiem os seus vetores mediate fuções como potêcias, logaritmos, fuções 0 Física EAD

125 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita trigoométricas, expoeciais etc., uca podem ser lieares, porque tais fuções ão são lieares. Isto é, por exemplo, siθ + λ siφ si ( θ + λφ ), assim, temos que si ( θ + λφ ) = siθ cos( λφ ) + si ( λφ ) cos θ. Para fializar, citemos também os casos a + λb ( a + λb) = a + λab + λ b e 3 3 r + λs r + λ 3 s. Apesar de a trasformação deste exemplo ão ser liear, vamos ver como ela fucioa para 4 uma dada matriz em particular de R 4, L π = π π = π si ( π ) Uidade = π π π. si = 4 4 Exemplo 4: Seja dada por = = R e seja R( θ ) R R ( θ ) cosθ siθ =. siθ cosθ X Vamos defiir Rθ : R R, tal que se x = R temos que x θ ( ) = = ( θ ) R X Y R X Como é óbvio que Rθ ( X ) Y, = R vamos logo estudar a liearidade desta trasformação. Sejam dados por A a = a A, B R UESC Módulo 4 I Volume 5

126 Elemetos de Matemática Avaçada e B b, = b e seja λ um úmero real qualquer, etão ( ) a b + λ = θ + λ = a b Rθ A B R a λb a + λb = Rθ + = Rθ = a λb a + λb ( a + b) cos + ( a + b) ( a b ) si ( a b ) λ θ λ siθ = = + λ θ + + λ cosθ a cosθ + λb cosθ + a siθ + λb siθ a siθ λb siθ + a cosθ + λb cosθ = = ( a cosθ + a siθ ) + λ ( b cosθ + b siθ ) ( a siθ + a cosθ ) + λ ( b siθ + b cosθ ) = = a cosθ + a siθ ( b cos + b si ) ( b si b cos ) λ θ θ = + = a siθ + a cosθ λ θ + θ a cosθ + a siθ b cosθ + b siθ = + λ = a siθ + a cosθ b siθ + b cosθ R ( ) θ A λrθ ( B) = +, Portato dado que R ( ) ( ) θ A + λb = Rθ A + λrθ ( B), podemos afirmar que Rθ é uma trasformação liear. Notar que a liearidade existe, apesar da preseça de fuções trigoométricas como o seo e o coseo. Acotece que as fuções trigoométricas ão aparecem aplicadas aos elemetos das matrizes evolvidas, mas sim aplicadas ao parâmetro θ, próprio da trasformação. Isso quer dizer que Física EAD

127 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita ão há expressões do tipo cos ab etc. Vamos achar uma iterpretação geométrica para si a, ( ) esta trasformação. Pesemos que A é a matriz formada pelas compoetes do vetor a, pertecete a B = e, e = (,0),(0,). Logo { } { } R a base e seja a a a = ( a, a ) = ae + ae ( a) = = B a a a ' a ' = ( ) = + ( ) = = tal que ' a a ', a ' a ' e a ' e a ', B a ' a ' Uidade ( a ') = R θ ( a) B B a ' cosθ siθ a = a ' siθ cosθ a ou aida a = a cosθ + a siθ ' a = a siθ + a cosθ ' Por outro lado, temos que como a e a são as compoetes de a segudo os eixos x e y, respectivamete, elas podem ser escritas como a = a cosα e a = a si α, ode α é o âgulo etre o vetor a e o eixo x. Substituido as equações acima, obtemos = cosα cosθ + siα siθ = ' a a a = a + = ( cosα cosθ siα siθ ) = a [ cosα cos( θ ) siα si( θ )] UESC Módulo 4 I Volume 5 3

128 Elemetos de Matemática Avaçada = cosα siθ + siα cosθ = ' a a a = a + = ( cosα siθ siα cosθ ) = a + = ( cosα siθ siα cosθ ) = a cos si( ) + si cos( ), [ α θ α θ ] ode temos usado as propriedades das fuções trigoométricas si ( θ ) = siθ e cos( θ ) = cosθ. Por outro lado, as fuções trigoométricas seo e coseo possuem as propriedades si ( ρ + σ ) = si ρ cosσ + siσ cos ρ e cos( ρ + σ ) = cos ρ cosσ si ρ si σ. Sedo assim, podemos idetificar ρ com α e σ com θ, obtedo desse modo = cos ( ) ' a a α θ ' a a α θ = si ( ). As equações ateriores podem ser iterpretadas ' ' como sedo que a e a são as compoetes de um vetor ' a que forma um âgulo α θ com um eixo x ', que por sua vez está rotado em um âgulo θ (medido em setido atihorário) com o eixo x. Resumido, a relação ( ) a ' = Rθ ( a) B B defie as compoetes do mesmo vetor a, só que em relação a um ovo sistema de referêcia ( x ' y '), obtido do sistema ( xy ) por uma rotação em setido ati-horário de âgulo θ. Deixamos ao leitor iteressado fazer um deseho simples que permite visualizar a situação descrita. Vamos agora euciar e demostrar uma importate propriedade sobre trasformações lieares que diz que se uma trasformação liear está defiida sobre os vetores de uma base, etão está defiida em todo o espaço. dim = e Sejam e dois espaços vetoriais tal que ( ) 4 Física EAD

129 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita ( ) dim = m, seja L : uma trasformação liear, seja B = { Φ, Φ, Φ } uma base de, e seja B ' = { η, η, η m } uma base de. Como por hipóteses L é defiida para todos os vetores de B, temos que existem α, α,... α, tal que L ( Φ i ) = αi. Por outro lado, cada vetor α i pode ser escrito m α = L η i ij j j= ode L ij é a compoete j de α i a base B ' = { η, η, η m }. Logo Uidade L ( Φ ) m = L η i ij j j= Neste poto é importate salietar que, dizer que cohecemos como a trasformação liear L atua sobre os vetores da base B, é equivalete a dizer que cohecemos os coeficietes L ij. Seguidamete, vamos tomar um vetor γ de, e sejam λ i as compoetes de ã a base B = { Φ, Φ, Φ }, etão podemos escrever γ = λ Φ. i= i i Aplicado L que, por hipótese, é liear, obtemos = iφ i = i Φ i = i= i= L ( γ ) L λ λ L( ) m m m λ L η = L λ η = ν η, i ij j ij i j j j i= j= j= i= j= ode ν são as compoetes do vetor ( ) j B η η η m ' = {,, },, defiidas por L γ a base UESC Módulo 4 I Volume 5 5

130 Elemetos de Matemática Avaçada ν L λ. j ij i i= Como os coeficietes hipóteses, as compoetes de ( ) L ij são cohecidos por L γ a base B ' são automaticamete determiadas. Portato, podemos afirmar que a propriedade ficou demostrada. Exemplo : Seja L : e seja B = { θ, θ} = {( i,0 ),( 0, )}, deixado para o leitor iteressado mostrar que efetivamete B é base de, vamos defiir L os vetores de B, Logo, se L ( θ ) L ( i,0) 0 = ( ) = L ( θ ) L ( ) α, etão i 3 = ( 0, ) =. 0 ( x, y) x y α = = θ + θ com x e y pertecetes as, e ( ) (, ) ( ) ( ) L α = L x y = L xθ + yθ = ( θ ) yl ( θ ) = xl + = 0 i 3 = x + y = 0 x 0 iy 3y = + = x x 0 y x + iy 3y =. x x y 6 Física EAD

131 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Portato, este exemplo, vimos que defiidos L ( θ ) e L ( θ ) determiamos como se comporta L para qualquer, α. 4.. Matriz Associada a uma Trasformação Liear Dada uma trasformação liear L :, uma base B = { Φ, Φ, Φ } de e uma base B ' = { η, η, η m } dim( ) dim( ) m de W, a matriz L BB ' K = K é dita a matriz da trasformação liear L as bases B e B ' se os seus elemetos de matriz, L ij, satisfazem a relação Uidade L ( Φ ) m = L η i ij j j= i =,,. Segudo esta defiição, a relação acima, dada por ν L λ, j ij i i= pode ser etedida como T ( L( γ )) = ( LBB ' ) ( γ ) B' B ode ν ν = ( L ( γ )) K = K B' ν m m dim( ), UESC Módulo 4 I Volume 5 7

132 Elemetos de Matemática Avaçada λ λ = ( γ ) = λ dim( ) K K, B dim( ) dim( ) e ( ) L BB ' T = m K K é a matriz trasposta de L. BB ' Exemplo : Seja L : R R tal que = R e = R e seja ( ) L ( x y) 3x y y, =, y x e sejam B = = { e, e } {(,0),(0,)} e = {,,, } =,,, ' B E E E3 E4 efetivamete, calcular Deixamos ao leitor iteressado mostrar que, ' B é base de = R. Vamos primeiramete e L ( e ) L (,0 ) = ( ) = = 0 0 L ( e ) L ( ) 3 0 = ( 0, ) = =. 0 0 O próximo passo é escrever L ( e ) e ( ) L e em termos 8 Física EAD

133 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita dos vetores da base L ( ) B ' : 4 e = L E = L E + L E + L E + L E j j j= = L + L + L3 + L L 0 0 L = = L3 0 0 L4 L L 3 0. L3 L 4 0 = = Uidade Vemos assim que, segudo a defiição de igualdade matrizes, L = 3, L = 0 = L3 e L 4 =. Já para L ( e ) temos que 4 L e = L E = L E + L E + L E + L E ( ) j j j= = L + L + L3 + L4 = L 0 0 L = = L3 0 0 L4 L L. L3 L 4 0 = = Logo L L3 dim( ) dim( ) 4 matriz L BB' = = =, L = e L 4 = 0. Fialmete, a R R fica L L L L L BB' = = L L L3 L4 UESC Módulo 4 I Volume 5 9

134 Elemetos de Matemática Avaçada Vamos agora exemplificar a relação T ( L( γ )) = ( LBB ' ) ( γ ) B' Seja o vetor geérico de ver que ( v ), B B R v = ( x, y) x = y.. Logo, é fácil Portato, T ( L( v )) ( LBB ' ) ( v ) B' 3 3x y 0 x y = = =. B 0 y y 0 x Isso quer dizer que L v = L x, y = 3x y E + ye + y E + xe = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 = + + = ( 3x y) 0 y 0 y 0 0 x 0 0 3x y 0 0 y = = y 0 0 x 3x y y =, y x como deve ser, segudo a defiição de L dada o iício do exemplo. 4 Exemplo : Seja = R =, o cojuto de poliômios de grau meor que 4, de variável real t, com 4 coeficietes reais, ou seja, que se P( t) R, etão ( ) P t 4 j = a jt, j= 30 Física EAD

135 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita com a R, j =,,3,4. Seja L uma trasformação tal j 4 que aplicada à um poliômio de R toma a forma dp( t) ( ) = =. dt L ( P t ) Q( t) { 3 4 } Seja ( ) ( ) ( ) ( ) ' 3 B = B = g t, g t, g t, g t = {,3 + t, 5t + t, t }, como fizemos o Exemplo, vamos primeiro determiar ( ( )) d( ) L g t = L( ) = = 0 dt Uidade ( ( )) d(3 + t) L g t = L( 3 + t ) = = dt ( ( )) d( 5t + t ) L g3 t = L( 5t + t ) = i = 5 + 4t dt ( ( )) d( t ) L g4 t = L( t ) = = 3t dt 3 3 ( ) ( ) ( ) Agora escrevamos L g ( t ), L g ( t ), 3 ( ) ' L g ( t ) a base B : ( 4 ) ( ) j j ( ) ( ) L g t = L g t = 4 j= ( ) ( ) ( ) ( ) = L g t + L g t + L g t + L g t ( ) ( ) ( ) = L ( ) + L 3 + t + L 5t + t + L t = 3 4 L g t e = L + 3L + tl 5tL + t L + t L = ( L L ) ( L L ) t L t L t = = Isso implica que L + 3L = 0 UESC Módulo 4 I Volume 5 3

136 Elemetos de Matemática Avaçada L 5L = 0 3 L 3 = 0 L 4 = 0 ou aida, L 3 = 0, L 4 = 0, L = 0 e L = 0. Portato a primeira fila da matriz de L as bases B e ' B = B, é ula. ( ) j j ( ) ( ) L g t = L g t = 4 j= ( ) ( ) ( ) ( ) = L g t + L g t + L g t + L g t = ( ) ( ) ( ) = L ( ) + L 3+ t + L 5t + t + L t = 3 4 = L + 3L + tl 5tL + t L + t L = ( L L ) ( L L ) t L t L t = = Logo, L + 3L = L 5L = 0 3 L 3 = 0 L 4 = 0, ou L 4 = 0, L 3 = 0, L = 0 e L =. ( 3 ) 3 j j ( ) ( ) L g t = L g t = 4 j= ( ) ( ) ( ) ( ) = L g t + L g t + L g t + L g t = Física EAD

137 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita 3 ( ) ( ) ( ) = L ( ) + L 3+ t + L 5t + t + L t = = ( L + 3 L ) + tl 5tL + t L + t L = ( ) ( ) 3 = L + 3L + L 5L t + L t + L t = t Isso implica que Uidade L + 3L = L 5L = L 33 = 0 L 34 = 0, ou L 34 = 0, L 33 = 0, L 3 = e L 3 =. ( 4 ) 4 j j ( ) ( ) L g t = L g t = 4 j= ( ) ( ) ( ) ( ) = L g t + L g t + L g t + L g t = ( ) ( ) ( ) = L ( ) + L 3+ t + L 5t + t + L t = = L + 3L + tl 5tL + t L + t L = ( L L ) ( L L ) t L t L t t = = Logo, L + 3L = UESC Módulo 4 I Volume 5 33

138 Elemetos de Matemática Avaçada L 5L = L 43 = 3 L 44 = 0, ou L 44 = 0, L 43 = 3 /, L 4 = 5 / 4 e L 4 = 45 / 4. Portato, L BB' L L L3 L L L L3 L = =. L3 L3 L33 L L4 L4 L43 L44 45 / 4 5 / 4 3 / 0 Como fizemos o exemplo aterior, vamos exemplificar a relação T ( L( γ )) = ( LBB ' ) ( γ ) B' 4 Seja um poliômio geérico P( t) R, logo 3 P( t) = a + at + a3t + a3 t. Devemos achar agora ( P t ) Para isso, como já foi apredido, devemos igualar ( ) uma combiação liear de vetores da base B, B. ( ). B P t a 4 ( ) λ ( ) P t = igi t i= a + a t + a t + a t = ( ) ( ) ( ) ( ) = λ g t + λ g t + λ g t + λ g t = ( 3 t ) ( 5t t ) ( t ) = λ + λ + + λ + + λ = 3 4 = λ + 3λ + λ t 5λ t + λ t + λ t = ( λ λ ) ( λ λ ) t λ t λ t = Física EAD

139 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Logo λ + 3λ = a λ 5λ = a 3 λ 3 = a3 λ = a, 4 4 Obtedo, assim, λ = a, λ = a /, λ = a 5 + a λ = a a a. Desse modo, 4 e 3 Uidade ( P t ) 3 5 a a a3 4 5 a + a = a3 a 4 3 ( ) 4. B Por último, a a a a + a = = = T ( L( P( t) )) ( L ' ) P( t) ' BB B ( ) B a a 4 UESC Módulo 4 I Volume 5 35

140 Elemetos de Matemática Avaçada a a a a3 a + a3 + + a a3 5 0 a a a3 + 0 a + a3 + + a = = a3 3 0 a a a3 + 0 a + a a a 3 0 a a a3 + 0 a + a a a3 a a + + a a + a + a a3 + a 4 a3 + a 4 = 4 = a 4 a Isso quer dizer que L( P( t) ) = a + 3a3 + a4 g ( t) + a3 + a4 g ( t) + a4 g3 ( t) + 0 g4 ( t) = = a + 3 a3 + a4 ( ) + a3 + a4 ( 3+ t ) + a4 ( 5t + t ) = a 3a3 a4 + 3a3 + a3t + a4 + a4t a4t + 3a4t = a + a3t + 3 a4t, 4 4 como deve ser, já que aplicar a trasformação liear de osso exemplo equivale a derivar o poliômio. Neste último exemplo, vimos uma trasformação liear que toma um vetor de um espaço vetorial e faz correspoder outro vetor do mesmo espaço. As matrizes 36 Física EAD

141 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita dessas trasformações lieares são quadradas Imagem de uma Trasformação Liear Dada uma trasformação liear L :, o cojuto I( L ) é dito imagem da trasformação liear L, desde que Φ I( L ) existe α, tal que L ( α ) = Φ, ou seja, que I L = { Φ / L( α) = Φ, α }. ( ) Vamos mostrar agora uma propriedade que diz que a imagem de uma trasformação liear é subespaço vetorial. O euciado preciso dessa propriedade diz que, se L : é uma trasformação liear, etão I ( L) é um subespaço vetorial de. Para demostrar essa propriedade, devemos verificar, segudo a defiição de subespaço vetorial, que o vetor ulo de pertece a I( L ) e, que se φ e θ pertecem a I( L ), etão φ + λθ também pertece a I ( L ) para todo λ K. Seja B = { Φ, Φ, Φ } uma base de tal que L ( Φ i ) = σ i, com σ i, i =,, e seja Ο o vetor ulo de, etão a igualdade Uidade Ο = i= λ Φ i i implica em que todos os coeficietes λ i devem ser ulos. Logo, ( ) ' L Ο = L λi Φ i = λi L ( Φ i ) = λσ i i = Ο, i= i= i= ' ode com Ο idicamos o vetor ulo de. Mostramos ' assim que Ο I ( L). Sejam agora Φ e θ pertecetes a I ( L ) etão existem α e β pertecetes a, tal que L ( α ) = Φ e L ( β ) = θ. Seja λ K, vejamos que, se Φ + λθ realmete pertece a I L : Φ + λθ = L α + λl β. Devido ao fato ( ) ( ) ( ) UESC Módulo 4 I Volume 5 37

142 Elemetos de Matemática Avaçada de que L é uma trasformação liear, pode-se escrever Φ + λθ = L ( α + λβ ), sedo assim, Φ + λθ I ( L), e I ( L ) é um subespaço vetorial de, como queríamos demostrar. Exemplo : Seja L : tal que se α = ( x, y), defiida por ix 0 = (, ) =. 0 x iy L ( α ) L ( x y) ( ) Vemos que, este caso, I L é o cojuto de todas as matrizes complexas de duas lihas e duas coluas diagoais. Isto é I ( L) = { A / a = 0, i j} ij Deixamos para o leitor iteressado mostrar que, efetivamete, esse cojuto é um subespaço vetorial de Núcleo de uma Trasformação Liear Dada uma trasformação liear L :, o cojuto N( L ) é dito úcleo da trasformação liear L desde que ele esteja formado por aqueles vetores α tal que L ( α ) = Ο ', sedo que Ο ' é o vetor ulo de, ou seja, que N L = { Φ / L( α) = Ο'}. ( ) Vamos mostrar agora uma propriedade que diz que o úcleo de uma trasformação liear é um subespaço vetorial. O euciado preciso dessa propriedade diz que, se L : é uma trasformação liear, etão, N( L ) é um subespaço vetorial de. Como foi feito o caso 38 Física EAD

143 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita da imagem de uma trasformação liear, para demostrar essa propriedade, devemos verificar, segudo a defiição de subespaço vetorial, que o vetor ulo de, pertece a N( L ), e que se α e β pertecem à N( L ), etão, α + λ β também pertece a N ( L ), para todo λ K. Seja B = { Φ, Φ, Φ }, uma base de, etão, a igualdade Ο = i= λ Φ implica em que todos os coeficietes λ i devem ser ulos. Logo i i Uidade ( ) ' L Ο = L λi Φ i = λi L ( Φ i ) = Ο, i= i= ' ode com Ο idicamos o vetor ulo de. Mostramos assim que, Ο N ( L). Seguidamete, sejam α e β pertecetes a N L, e apliquemos L a α + λ β : ( ) ( ) L α + λ β = L( α) + λl( β ) porque L é liear, só que L ( α ) = L ( β ) = Ο ' porque α e β pertecem ao N ( L ). Logo, α + λ β N ( L), e N ( L ) é um subespaço vetorial de como queríamos demostrar. Exemplo : Seja L : tal que, se α = ( x, y), defiida por ix 0 = (, ) =. 0 x L ( α ) L ( x y) Vemos que, este caso, N ( L ) é o cojuto de todos os vetores tal que x = 0. Isto é UESC Módulo 4 I Volume 5 39

144 Elemetos de Matemática Avaçada N ( L) = { α = ( x, y ) / x = 0 } porque ix , = =. 0 x 0 0 ( ) L ( y) Deixamos para o leitor iteressado mostrar que, efetivamete, esse cojuto é um subespaço vetorial de. Por último, ates de fializar esta uidade, vamos euciar um teorema que diz: Seja L : trasformação liear, etão ( ) L ( ( )) ( L) dim = dim N + dim I ( ) uma Exemplo : Cosideremos a trasformação liear do exemplo aterior. Seja L : tal que, se α = ( x, y), defiida por ix 0 = (, ) =. 0 x L ( α ) L ( x y) é fácil ver que o úcleo dessa trasformação liear pode ser gerado, por exemplo, pela base B = {(0, i)}, já que qualquer vetor do tipo (0, y ) pode-se escrever como iy(0, i). Ou seja, dim N L =. Já para uma matriz da imagem da forma ix 0 ( ( )) 0, uma possível base poderia ser x N B I i 0 =, 0 já que podemos escrever que 40 Física EAD

145 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita ix 0 i 0 = x. 0 x 0 Deste modo temos que, dim ( N ( L) ) + dim ( I ( L) ) = + = = dim ( ) = dim( ). exercícios Uidade. Mostre que o cojuto de matrizes diagoais que pertecem à K, muido das operações usuais de soma e produto por um escalar, forma um espaço vetorial.. Mostre que o cojuto de matrizes de K, que satisfazem a ii i= = 0 muido das operações usuais de soma de matrizes e produto por um escalar, formam um espaço vetorial Mostre que o plao de R dado por x-5y+z=0, muido da soma usual de vetores e o produto por um escalar usual, é um espaço vetorial. 4. Determie qual (ou quais) do (ou dos) seguites 3 cojutos de vetores de R é (ou são) liearmete idepedete (ou idepedetes): C = {(,, ),(, 6, 9) }, C = {(,, ),(0,0,0)}, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C 3 = {,,,,0,3,(,,0) }, { } C 4 =,,, 0,,, 7,0,, 6,0,,, 5,8,( 9,6,6). 5. Determie qual (ou quais) do (ou dos) 4 4 seguites cojutos de é (ou são) liearmete idepedete (ou idepedetes): UESC Módulo 4 I Volume 5 4

146 Elemetos de Matemática Avaçada 0 0 i C =,,,, i 0 0 C C C i =,, i i 0 =,,,,, i i 0 0 i 0 =,,, i Determie qual (ou quais) do (ou dos) cojutos do 3 exercício 4 é base de R. 7. Determie qual (ou quais) do (ou dos) cojutos do exercício 5 é base de Seja V um espaço vetorial e sejam θ, θ, θ s. Mostre que, [ θ θ θ ],, s é um espaço vetorial. 9. Seja V um espaço vetorial complexo de dimesão. Mostrar que, se cosideramos V como um espaço vetorial real, etão a sua dimesão é. Dica: lembrar que para formar um úmero complexo são ecessários dois úmeros reais. 0. Achar as compoetes do vetor de (, 4, ) 3 R { } {( ) ( ) } {( ) ( ) } as bases B = ( ) ( ) B =,0,0, 0,,0,(0,0,3) e B 3 =,,, 0,,,(,0,).,0,0, 0,,0,(0,0,),. Achar as compoetes do vetor de { } {( ) ( ) } as bases B = ( ) ( ),0,0, 0,,0,(0,0,), B =,0,0, 0,,0,(0,0,3) e 3 ( i,4 i, ) 4 Física EAD

147 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita {( ) ( ) } B3 = i, i, i, 0,,,(,0, i). P t = i + t 5 t ( + i) t,. Dado o poliômio ( ) 3 4 achar as suas compoetes as bases B { 3 =, t, t, t } e B = { i it t + t it 3 },,,. 3. Dadas as matrizes i 0 A = i Uidade e pertecetes a bases 0 4 B = + i 0 8 i 3, achar as suas compoetes as 0 0 i B = 0 0, 0 0, 0, 0 i, 0 0, i 4. Seja o cojuto das fuções complexas de variável real de módulo quadrado itegrável o itervalo [ a, b ], ou seja, que M R tal que, se ψ, etão b b * ψ ψ ψ a ( ) ( ) ( ) x x dx = x < M. a Seja a soma usual de fuções dada por ( ψ + φ )( x) = ψ ( x) + φ( x), e o produto por um escalar por uma fução usual tal que ( Kψ )( x) = Kψ ( x), x [ a, b], ψ, φ e K, mostre que a relação UESC Módulo 4 I Volume 5 43

148 Elemetos de Matemática Avaçada b * ( ) a ( x) ψ φ ψ φ x dx defie um produto itero esse espaço e determie se a relação ( x) ψ φ max ψ φ( x) a x b defie, de fato, um produto itero esse espaço. Esclarecimeto: a expressão max F ( x) a x b sigifica o valor máximo que o módulo da fução F toma o itervalo [ a, b ]. 5. Cosidere o espaço vetorial relação. Mostre que a * aijb ij i= j= A B defie um produto itero esse espaço e determie se a relação A B a b + a b a b + ia b, * * * * defie, de fato, um produto itero esse espaço Mostre que muido da aplicação : R, defiida por * t P Q P ( t) Q( t) e dx é um espaço de Hilbert. 7. Seja o espaço de Hilbert do exercício 6 com =4, determie a orma dos poliômios P( t) = i + t é 3 Q( t) = it + t + 4 t. Determie, aida, a distâcia e o âgulo etre eles. 44 Física EAD

149 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita 8. Seja o espaço de Hilbert do exercício 6 e os poliômios P( t ) e Q( t ) do exercício 7, verifique a d P, Q d P, R + d( R, Q), desigualdade triagular ( ) ( ) ode R( t) = i t. com o produto i- 9. Cosidere o espaço vetorial tero * aijb ij. i= j= A B 0 0 i Sejam A =, B = e C =, 3 i i 3 i i 0 determie A, B, C, o âgulo etre A e B, o âgulo etre A e C, o âgulo etre B e C, d(a, B), d( A, C ). d( B, C ), A + C, d( A + C, B) e d( C, A + B). Verifique aida que ( ) ( ) d A, B d A, C + d( C, B). Uidade 0. Seja o espaço vetorial com o produto itero defiido o exercício 6. Seja P( t) = θt e Q( t ) =. Achar o (ou os) valor (ou valores) de θ sabedo que ( ( ) ( )) d P t, Q t =. 0. Sejam as matrizes A 0 3 =, B =, C = e D = e seja B = { A, B, C, D}, 4i 0 0 mostre que B é uma base ortogoal de com o produto itero defiido por * aijb ij. i= j= A B Costrua, a partir de B, uma base ortoormal.. Mostre que o plao de um subespaço vetorial de 3 R, dado por x y z 0 3 R. + + =, é UESC Módulo 4 I Volume 5 45

150 Elemetos de Matemática Avaçada 3. Seja V um espaço vetorial de dimesão, e sejam θ θ θ s,,, com s é um subespaço vetorial de V. <. Mostre que [ θ θ θ ] s 4. Mostre que K é subespaço vetorial de s <.,, s K com 5. Dadas L :, M : R R e 4 N : K K, tal que 4 4 π ak si + 3 ak i k = k = 4 4 k L akt ak Re( a3 iaa4 ) a a ia3 a = , k = k = 3 4 * sih ( a4 ) a Im a k k = ( ) M ( x y) e x 5y 3x + y, =, x y 6x 4y a a = N a at at at a a determie qual (ou quais) delas é (ou são) liear (ou lieares). { } 6. Dadas B = ( ) B = ( ),0,(0,),, { },,(,), ' B =,,,, ' B =,,,, determiar M, M, M e M ( ) ' B B ( ) ' B B ( ) ' BB ( ) ' BB, 46 Física EAD

151 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita ode a trasformação M foi defiida o exercício Dadas B =,,,, B =,,,, = { } e B ' { t t t t t 3 } ' 3 B, t, t, t N, N, ( ) ' B B ( ) ' B B =,, +,, determiar ( N ) e ' ( N ), ode a trasformação ' BB N foi defiida o exercício 5. BB Uidade 8. Achar o úcleo, a imagem, a dimesão do úcleo, e a dimesão da imagem das trasformações que resultaram ser lieares do exercício Demostrar que dada uma trasformação liear L :, etão dim ( ) = dim N L + dim I L. ( ( )) ( ) ( ) RESUMINDO Nesta uidade, vimos os coceitos de espaços vetoriais, geeralizado assim o coceito de vetor apredido em Geometria Aalítica. Vimos que o espaço físico ordiário de três dimesões é só um caso particular de espaço vetorial, já que temos visto com muitos exemplos a existêcia de espaços de 4, 5 e, em geral, dimesões. Defiimos o que é uma trasformação liear e vimos como podemos associar uma matriz a uma dada trasformação liear. Também foi geeralizada a oção de produto escalar através da defiição de produto itero e os espaços de Hilbert. Isso os permitiu ampliar as defiições de distâcia etre vetores, âgulo etre vetores, e módulo de um vetor. Não é demais salietar ovamete que todas estas geeralizações de UESC Módulo 4 I Volume 5 47

152 Elemetos de Matemática Avaçada coceitos previamete vistos em Geometria Aalítica são de fudametal importâcia, e possuem grades aplicações a Física Quâtica. 48 Física EAD

153 Suas aotações

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155 DISTÂNCIA E ESPAÇOS MÉTRICOS Apêdice

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157 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita Vamos ver este apêdice que ão é ecessário defiir um produto itero um dado cojuto para defiir ele uma distâcia. Um cojuto de elemetos que deotaremos por α, β, γ,, etc, é dito de espaço métrico se existe + uma aplicação d : R, tal que são satisfeitos os seguites axiomas: A: α, β α = β vale que ( ) A: SIMETRIA: α, β d α, β = 0, se e somete se vale que d ( α β ), = d( β, α) A3: DESIGUALDADE TRIANGULAR: α, β, γ vale que d ( α, β ) d ( α, γ ) d ( γ, β ) +, Uidade ode + R é o cojuto dos úmeros reais positivos (icluído o zero) e a aplicação (ou fução) d é cohecida pelo ome de distâcia. A primeira questão que podemos levatar é se realmete essa defiição de distâcia tem algo a ver com a distâcia que apredemos a calcular etre dois potos 3 do plao ( R ) ou do espaço físico ordiário ( R ). Para isso, supohamos que = R. Sabemos que, dado o par de potos P, Q R de coordeadas ( x, y ) e ( x, y ), respectivamete, a distâcia etre P e Q é dada por ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d P, Q = d x, y, x, y + x x + y y, portato vemos que se P = Q, etão x = x e y = y, obtedo assim que d ( P, Q ) = 0. Caso cotrário, só é suficiete que x x ou y y (o que sigifica P Q ), para que d ( P, Q ) seja estritamete maior que zero. Com isso vemos que o primeiro axioma, A, é satisfeito. Em relação a A, vemos simplesmete que ( ) = + ( ) + ( ) = ( ) d Q, P x x y y d P, Q, portato, A também é satisfeito. Para testar A3 (a UESC Módulo 4 I Volume 5 53

158 Elemetos de Matemática Avaçada desigualdade triagular) ão faremos, este apêdice, ehuma demostração matemática rigorosa. Mas, com o auxílio do gráfico da Figura, veremos ituitivamete o que acotece. No lado esquerdo dessa figura, temos um triâgulo com vértices P de coordeadas ( a, b ), Q de coordeadas ( u, v ) e R de coordeadas ( w, z ). P(a,b) P(a,b) Q(u,v) Q(u,v) R(w,z) R(w,z) Figura : No lado esquerdo, triâgulo PQR. No lado direito, caso limite o qual o poto Q pertece ao segmeto PR. Podemos otar que o comprimeto do segmeto PR é meor que a soma dos comprimetos dos segmetos PQ e QR, ou seja, ( ) < ( ) + ( ) d P, R d P, Q d Q, R. Já do lado direito da Figura, vemos o caso limite o qual o poto Q pertece ao segmeto PQ, situação a qual vale a igualdade ( ) ( ) d P, R = d P, Q + d( Q, R). Portato a ossa defiição de distâcia etre potos do plao se ecaixa detro da defiição axiomática aterior. Aliás, é só um caso particular. Para ver isso, vamos defiir como o cojuto de todas as seleções de futebol cadastradas a FIFA, isto é, o elemetos de são s = ARGENTINA, s = BRASIL, s 3 = ESPANHA, s 4 = HOLANDA etc. + Seja d : R, tal que se duas seleções de futebol 54 Física EAD

159 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita cadastradas a FIFA são iguais, faz correspoder o úmero 0, caso cotrário, faz correspoder o úmero. Por exemplo, d (HOLANDA, HOLANDA) = 0, e d (BRASIL, ESPANHA)=. Isto é: 0, i = j d ( si, s j ) =., i j Cabe-os pergutar se essa defiição de distâcia, cohecida pelo ome de métrica discreta, satisfaz os três axiomas já euciados. Os dois primeiros axiomas são facilmete satisfeitos. Para o terceiro axioma (desigualdade triagular) devemos verificar que ( i k ) ( i j ) + ( j k ) d s, s d s, s d s, s. Uidade Cosideremos os seguites casos Seja i = k = j (, ) (, ) + (, ) d s s d s s d s s i i i i i i Seja i k = j ( i, j ) ( i, j ) + ( j, j ) d s s d s s d s s + 0 Seja i = k j ( i, i ) ( i, j ) + ( j, i ) d s s d s s d s s UESC Módulo 4 I Volume 5 55

160 Elemetos de Matemática Avaçada Seja i = j k (, ) (, ) + (, ) d s s d s s d s s i k i i i k Seja i k j i ( i, j ) ( i, k ) + ( k, j ) d s s d s s d s s +. Sedo assim, todos os casos possíveis verificam a desigualdade triagular. Isso quer dizer que coseguimos defiir uma distâcia um espaço bem diferete ao espaço físico ordiário, pois se trata de um espaço formado pelo cojuto de seleções de futebol cadastradas a FIFA, que ada tem a ver com o espaço formado pelo cojuto de tríades ordeadas de úmeros reais... Nada tem a ver, mas com uma coisa em comum: ambos são espaços métricos, pois em ambos demos um jeito de defiir uma distâcia. + Se = R, a distâcia é d : R R R dada por ( ) = + ( ) + ( ) d P, Q x x y y, com P, Q R, sedo x e y as coordeadas de P, e x e y as coordeadas de Q. Já se =, etão a distâcia é + d : R, dada por 0, i = j d ( si, s j ) =,, i j com s, s. Ambas defiições de distâcia satisfazem i j a defiição axiomática itroduzida ateriormete. Fica claro, assim, que a distâcia etre potos do espaço físico 56 Física EAD

161 Álgebra Liear - Espaços Vetoriais de Dimesão Fiita ordiário, dada pela velha fórmula da raiz quadrada, é só um caso particular de distâcia. REFERÊNCIAS BUTKOV, E., Mathematical Physics, Addiso Wesley Publishig Compay Ic., Uited States of America, 968. Uidade BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G.; ÁLGEBRA LINEAR, São Paulo, HARBRA Ltda., 980. UESC Módulo 4 I Volume 5 57

162 Suas aotações

163 3ª uidade ÁLGEBRA LINEAR OPERADORES Ao fial desta Uidade, o/a aluo/a será capaz de: idetificar operadores ortogoais e uitários e cohecer as suas propriedades; idetificar operadores simétricos e hermitiaos e cohecer as suas propriedades; resolver problemas de autovalores e autovetores de matrizes e operadores.

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165 Álgebra Liear - Operadores INTRODUÇÃO Nesta uidade, defiiremos e estudaremos operadores ortogoais, uitários, simétricos e hermitiaos a partir de suas propriedades e das propriedades das matrizes desses operadores em bases ortogoais com vários exemplos. Também abordaremos o problema de autovalores e autovetores de matrizes e operadores. Defiiremos o poliômio e a equação característica e veremos a sua relação com o problema de diagoalização de matrizes e operadores. 3 OPERADORES ORTOGONAIS, UNITÁRIOS, SIMÉTRICOS E HERMITIANOS Uidade Estudaremos esta seção um tipo especial de trasformações lieares defiidas sobre espaços com produto itero. Elas possuem propriedades que fazem com que sejam de muita utilidade em aplicações físicas. Na liguagem utilizada a Mecâica Quâtica, usa-se o termo operador ao ivés de trasformação liear, embora represetem o mesmo objeto matemático. De agora em diate, é assim que chamaremos as trasformações lieares: operadores.. Algumas Defiições.. Operadores ortogoais e uitários: Seja um espaço de Hilbert e U : um operador. Esse operador é chamado de ortogoal (o caso K=R), ou uitário (o caso K=C), desde que preserve o produto itero. Isso quer dizer que ψ, φ vale que UESC Módulo 4 I Volume 5 6

166 Elemetos de Matemática Avaçada U ψ U φ = ψ φ. Exemplo : Seja a rotação defiida a uidade aterior, x Rθ : R R tal que, se X = R, etão x θ ( ) = ' = ( θ ) R X X R X x cosθ = siθ x x = cosθ + x si θ x ' = = X '. Rθ x siθ cosθ x x siθ + x cos θ x ' y Se tomarmos um vetor Y = R, e aplicamos y a rotação, obtemos: Para ver que Rθ é ortogoal, devemos mostrar que R ( ) ( ) θ X Rθ Y = X ' Y ' = X Y. Aplicado a defiição de produto itero esse espaço, jutamete com a defiição de Rθ, vemos que ' ' ' ' T ' ' ' y ' ' ' ' Rθ X RθY = X Y = X Y = ( x x ) x ' = y + x y = y ( x cosθ x siθ )( y cosθ y siθ ) = + + ( x siθ x cosθ )( y siθ y cosθ ) = = x y cos θ + x y cosθ siθ + x y siθ cosθ + x y si θ + x y si θ x y siθ cosθ x y cosθ siθ + x y cos θ = ( x ) ( ) ( )( y xy cos θ xy xy si θ xy xy cos θ si θ ) = = + + y = ( + ) = ( ) = =. T xy xy x x X Y X Y y Desse modo, podemos afirmar que o operador Rθ é ortogoal, pois como acabamos de ver, preserva o produto itero. 6 Física EAD

167 Álgebra Liear - Operadores Exemplo : Seja U : C C tal que i a + a a a '. ' ( ) A = U A = U = = a i a ' a + a i b + b b b'. ' ( ) B = U B = U = = b i b ' b + b Para ver se esse operador é realmete uitário, vamos calcular i b ( ) + b ' ' ' * i * i * * U A U ( B) = A B = A B ' = a a a + a i b + b * i * i i * * i = a a b + b + a + a b + b = 3 Uidade * i * i * * * i * i * * = ab + ab ab + ab + ab ab + ab + ab = = + = = a * * * * * * b ab ab ab ab ab ( ) b = = b * * a a A B A B, portato, como U ( A) U ( B) = A B, podemos afirmar que U é um operador uitário. É fácil ver que, como cosequêcia da preservação do produto itero dos operadores uitários, eles também preservam a orma de um vetor, a distâcia etre vetores, e o âgulo etre vetores. Isso quer dizer que: U ( ) U ( ) U ( ) Φ = Φ Φ = Φ Φ = Φ UESC Módulo 4 I Volume 5 63

168 Elemetos de Matemática Avaçada d ( ) ( Φ, ψ ) = Φ ψ = U ( Φ) U ( ψ ) = d U ( Φ), U ( ψ ) ( Φ ψ ) ( U ( Φ) U ( ψ ) ) U ( Φ) U ( ψ ) Re Re cosθ = = = cos θ ', Φ ψ ' ode θ ' é o âgulo etre U ( ) ' Φ = Φ e ψ = U ( ψ ) Exemplo 3: Seja U : C C o operador uitário 3 do exemplo aterior e seja A = e i B =, vamos ver que cosθ = cos θ ', assim:. 3 Re Re ( 3 i) Re ( A B ) i cosθ = = = = A B 3 3 ( 3 i) ( ) i i ( ( i) ) ( i) i ( ) ( i) Re 3 + ( ) Re = = = = ( ) + ( ) Por outro lado, temos que ( ) ( ) 3 Re U U ' ' Re A B Re ( U A U ( B) ) i ' cosθ = = ' ' A B U ( A) U = = ( B) 3 U U i i i 3+ i ( ) + Re i i 3+ i + ( ) = = i i 3+ i ( ) + i i 3+ i + ( ) 64 Física EAD

169 Álgebra Liear - Operadores 3 i i + Re Re 3i i i 4i + i + + = = = 3 i i + 3i i i 4i + i + + i 4i Re + i = = i 4i + i i 4i + i 3 Uidade i 4i + i Re 4i 8i Re + = = = 4i 4i + i i i + i ( i + i + ) ( + i) Re 4 Re 3 3 = = = Portato verificamos que cosθ = cos θ '. Deixamos para o leitor iteressado verificar que d ( A B) = d ( A B ), ', '. Em relação à orma dos vetores, podemos apreciar, o desevolvimeto do exemplo, que ficou verificado que ' A = A' e B = B. É iteressate estudar o que acotece com as matrizes associadas a operadores uitários em bases ortoormais. Para isso vamos euciar e demostrar a seguite propriedade: Seja um espaço de Hilbert e U : um operador uitário (ou ortogoal, se for o caso de K = R ), UESC Módulo 4 I Volume 5 65

170 Elemetos de Matemática Avaçada seja B { ξ ξ ξ } BB = uma base ortoormal de, etão, U é uma matriz uitária (ou ortogoal, se for o caso de K = R ). As defiições de matrizes uitárias e ortogoais foram dadas os exercícios 0 e do fial da Uidade. Vale a pea relembrar: uma matriz quadrada real é chamada de ortogoal desde que a sua iversa seja a sua trasposta, e uma matriz quadrada complexa é chamada de uitária desde que a sua iversa seja a sua trasposta cojugada. Para demostrar a propriedade acima, vamos escrever, segudo a defiição de matriz associada a um operador uma dada base, que e U ( ξ ) = U ξ i ik k k = ode U ik ( jl ) ( j ) e da colua k ( ) U ( ξ ) = U ξ, j jl l l= U represeta o elemeto de matriz da liha i l da matriz U. Logo, pelas propriedades de base ortoormal e de operador uitário, temos ( ) ( ) δ = ξ ξ = U ξ U ξ = U ξ U ξ = ij i j i j ik k jl l k = l= = * * U ik U jl ξk ξl = U iku jlδkl k = l= k = l= BB * * T U iku jk U iku kj k = k = = =, ou seja δ * T ij = U iku kj k = Cojugado os dois membros, e sabedo que como δij R, δ * ij = δij, temos que. 66 Física EAD

171 Álgebra Liear - Operadores * * * * * T * T δij = U iku kj = ( Uik ) ( U kj ) = U iku kj = δij, k = k = k = ou, equivaletemete, segudo a defiição de produto de matrizes, U ( ) BB U BB = I. Deixamos ao leitor iteressado completar a demostração, provado que ( U ) BB U BB = I. Sedo assim, fica mostrado que U é, efetivamete, uma matriz uitária. A demostração o caso que H seja um espaço vetorial real está cotida a demostração aterior, * já que, se K = R, temos que U = U porque U R. Nesse caso, segudo a defiição de matrizes ortogoais, temos que T T ( ) = = ( ). U U I U U BB BB BB BB ik BB ik ik A Exemplo : Seja U : C C tal que i a + a a, 5 5 ' ' ( ) 5 5 a = U A = U = = ' a i a a + a 3 Uidade 0 =, =, uma base ortoormal de 0 i C. Vamos determiar primeiramete : e seja B { E E } U BB ( ) U E i = U = = = 0 i i = + = i 5 E + 5 E = = U E + U E. UESC Módulo 4 I Volume 5 67

172 Elemetos de Matemática Avaçada ( ) U E i 0 + i = U = = = i i i 0 + i = + = i = E + E = UE + UE, 5 5 portato U BB U U U = = U 5 5, 5 5 ( U ) U U U U 5 5 = = =, 5 5 * * BB * * U U U U e ( U ) BB U BB = = = = Física EAD

173 Álgebra Liear - Operadores = = Operadores simétricos e hermitiaos Seja um espaço de Hilbert e H : um operador. Esse operador é chamado de simétrico (o caso K = R ), ou hermitiao (o caso K = C ), desde que ψ, Φ, se satisfaça que ψ H Φ = H ψ Φ. Vale a pea relembrar que o produto itero ψ H Φ = H ψ Φ K. ( ) t = t / t = P t e, P t, > Exemplo : Seja φ ( ) φ ( ) ( ) ( ) com o produto itero defiido por 3 Uidade ( t) * ( t) dt, φ ψ = φ ψ e seja H tal que dφ i dt H ( φ ) =. Vamos tomar os poliômios P( t) = p + pt e ( ) = + pertecetes a C t t ( ) ( ) ( ) Q t q q t t t, tal que φ ( ) ( ) ( ) t = P t e = p + p t e e ψ t = Q t e = q + q t e com p, p, q, q C, e vamos calcular ( ) t t * dψ t * d φ H ( ψ ) = φ ( t) i dt = i P ( t) e Q( t) e dt = dt dt UESC Módulo 4 I Volume 5 69

174 Elemetos de Matemática Avaçada t t t * d d = i P ( t) e Q( t) e + Q( t) e dt = dt dt t t t * * d = i ( p + pt) e ( q + qt) e + ( q + qt)( t) e = dt t t t t * * ( ) i p p t e qe qte = + qt e dt = t t * * ( )( ) = i e p + p t q q t q t dt = * * * * * * 3 ( ) = i e p q p q t p q t + p q t p q t p q t dt = ( ) ( ) t * * * * * * 3 = i e p q p q pq t p q + pq t pqt dt = ( ) ( ) * t * * t * * t * 3 t = ip q e dt + i p q p q te dt + i p q + p q t e dt + ip q t e dt = ( ) ( ) = ip q I + i p q p q I + i p q + p q I + ip q I * * * * * *, 0 3 ode temos defiido s = 0,,,3. As itegrais I s como, t s I t e dt, com s I e I 3 são ulas, porque o itervalo de itegração é simétrico e o itegrado é uma fução ímpar da variável de itegração. Sedo assim, temos que * * * ( ) ( ) φ H ψ = ip q I + i p q + p q I = 0 = ip q I + ip q I + ip q I = * * * 0 ( ) = ip q I I + ip q I * * Física EAD

175 Álgebra Liear - Operadores Por outro lado, a itegral I 0 vale π, já I vale π. Substituido acima, obtemos * π * π π * * φ H ( ψ ) = ip q π + ipq = i ( p q pq ). saiba mais As itegrais do tipo s αξ J s ( α) ξ e dξ 0 com s = 0,,, e α > 0, são muito usadas a área de Probabilidade e Estatística e são resolvidas com técicas que aprederemos a uidade dedicada a Fuções de Variável Complexa. Mas, o caso particular de J0 ( α ), ela pode ser calculada da seguite maeira: αξ ( α ) ( ξ 0 ) J0 = e d = 3 Uidade αξ αζ ( e dξ 0 )( e dζ 0 ) = = = α ξ e ( ζ ) dξdζ. Usado coordeadas polares, com dξdζ = rdθdr, essa itegral fica rdr ξ = r cosθ e ζ = r si θ, π αr π αr J0 ( α ) dθ re dr = = re dr Fazedo a substituição z = αr, dz α rdr dz. αr = Temos assim que = e π z π z π π J0 ( α ) = e dz e ( 0 ). 4α = 0 4α = = 0 4α 4α Portato J ( α ) 0 π =. No osso caso α =. Logo, observado α UESC Módulo 4 I Volume 5 7

176 Elemetos de Matemática Avaçada os limitates de itegração, vemos que ( ) ( ) dessas itegrais: I = J = π. A seguir, apresetamos algumas 0 0 αξ π αξ π J0 ( α ) = e dξ = I0 ( α ) = e dξ J0 ( α ), 0 α = = α αξ αξ J ( α ) = ξe dξ = I ( α ) = ξe dξ = 0, 0 α ( ) αξ π ( ) αξ π J α = ξ e dξ = I α = ξ e dξ J ( α ), 0 4α α = = α α 3 αξ 3 αξ J3 ( α ) = ξ e dξ = I 3 ( α ) = ξ e dξ = 0. 0 α ( ) Em Seguida, calculamos ( ) ( ) ( ) * * t t dφ t dφ t d * ( ) ( ) ( ) H φ ψ = i ψ t dt = i ψ t dt = i P t e Q t e dt dt dt dt t t t d * * d = i P ( t) e + P ( t) e Q( t) e dt = dt dt t t t d * * * * d = i ( p pt) + e + ( p + pt) e ( q + qt) e dt = dt dt t t * * * ( )( ) = i e p p t p t q + q t dt = * * * * * * 3 ( ) = i e p q + p q t p q t p q t p q t p q t dt = ( ) ( ) t * * * * * * 3 = i e pq + pq p q t p q + pq t pqt dt = ( ) ( ) * t * * t * * t * 3 t = ip q e dt + i p q p q te dt i p q + p q t e dt ip q t e dt = 7 Física EAD

177 Álgebra Liear - Operadores t t t * * * i pe ( p pt)( t) e = + + ( q + qt) e dt = ( ) ( ) ip q I + i p q p q I i p q + p q I ip q I = * * * * * * 0 3 = ip q I + ip q I ip q I ip q I ip q I ip q I = ip q I ip q I ip q I = * * * * * * * * * π π π = ip q π ip q i p q p q = ( ) * * * *. Vemos assim que ( ) * * φ H ψ = H ( φ ) ψ = i π ( p q pq ), podedo afirmar desse modo que o operador d H = i é um operador dt hermitiao. É iteressate estudar o que acotece com as matrizes associadas a operadores simétricos ou hermitiaos em bases ortoormais. Para isso, vamos euciar e demostrar a seguite propriedade: Seja um espaço de Hilbert e H : um operador hermitiao (ou simétrico, se for o caso de K=R), seja B = { ξ ξ ξ } uma base ortoormal de, etão, H BB é uma matriz hermitiaa (ou simétrica, se for o caso de K=R). Para dar iício à demostração, vamos escrever H ( ξi ) = H ik ξk, k = 3 Uidade ode H ik são os elemetos de matriz de H BB. Calculemos agora o produto itero ( ) ξ H ξ = ξ H ξ = H ξ ξ = H δ = H = j i j ik k ik j k ik jk ij k = k = k = ( ) * * * j i jk k i jk k i jk ki ji, k = k = k = = H ξ ξ = H ξ ξ = H ξ ξ = H δ = H UESC Módulo 4 I Volume 5 73

178 Elemetos de Matemática Avaçada ode temos usado a defiição de operador hermitiao. Vemos assim que H * ij = H ji. Portato H ( ) BB = H BB e H BB é uma matriz hermitiaa. Se o espaço vetorial é real, o resultado é Hij = H ji e se satisfaz a T igualdade H = ( H ), o que defie uma matriz simétrica. BB BB Exemplo : Seja ( α ) ( ) 4 = C e seja H tal que ( ) ' ( ' ' ' ',, 3, 4 α,, 3, 4 ) H = H a a a a = = a a a a = ( a ia ia a ia a a ia a ia a a ia a ) = , + + 4, + +, , e seja ( b, b, b3, b4 ). β = Calculemos o produto itero H ( ) verifiquemos que é igual a H ( β ) α : β α e β 4 * ' H ( α ) b ja j j= = = ( 3 ) ( 4 ) = b a + ia + ia + a + b ia + a + a + * * ( ) ( ) + b ia + a + ia + b a + a ia a * * = a b + ia b + ia b + 3a b ia b + a b + 4a b * * * * * * * ( ) ( ) ia b + a b + ia b + 3a b + 4a b ia b 6a b * * * * * * * ( 3 ) = b ib ib + b a + ib + b * * * * * 3 4 * * * * * ( + 4 ) + ( + ) * * * * * ( ) ( ) = j j = ( ) j= = b a ib b ib a + 3b 4b ib 6 b a b' a H β α. Sedo assim, o operador H é hermitiao. Vamos calcular, a seguir, a sua matriz associada a base ortoormal { } { ξ, ξ, ξ, ξ } (,0,0,0 ),( 0,,0,0 ),( 0,0,,0 ),( 0,0,0,) B = = de C 4 : 3 4 ( ) ( ) H ξ = H,0,0,0 =, i, i,3 = H ξ + H ξ + H ξ + H ξ = ξ iξ iξ + 3ξ ( ) ( ) ( ) ( ) H ξ = H 0,,0,0 = i,,0, 4 = H ξ + H ξ + H ξ + H ξ = iξ + ξ + 0ξ + 4ξ Física EAD

179 Álgebra Liear - Operadores ( ) ( ) ( ) ( ) H ξ = H 0, 0,, 0 = i, 0,, i = H ξ + H ξ + H ξ + H ξ = iξ + 0ξ + ξ iξ ( ) ( ) ( ) ( ) H ξ = H 0,0,0, = 3, 4, i, 6 = H ξ + H ξ + H ξ + H ξ = 3ξ + 4ξ + iξ 6 ξ, portato H BB H H H3 H4 i i 3 H H H 3 H 4 i 0 4 = = = H3 H3 H33 H 34 i 0 i H 4 H 4 H 43 H i 6 ( H ) BB. Logo, podemos cocluir que como queríamos verificar. H BB é uma matriz hermitiaa, 3 3 PROBLEMA DE AUTOVALORES E AUTOVETORES Uidade O problema de autovalores e autovetores de um operador, O, é muito importate em diversas áreas da Física. Trata-se de ecotrar vetores ão ulos de um espaço vetorial H e escalares de K tal que se satisfaça a seguite relação: Oψ = λψ, com ψ H e λ K. A equação acima é cohecida pelo ome de equação de autovalores e autovetores do operador O. Embora ão seja ecessário, suporemos que o osso espaço vetorial H possui produto itero, já que é esse o caso de maior iteresse a Física. 3. Autovalores e Autovetores de uma Matriz Como vimos as seções ateriores, um operador admite uma represetação matricial. Por cota disso, vamos itroduzir o UESC Módulo 4 I Volume 5 75

180 Elemetos de Matemática Avaçada problema em termos de matrizes. 3.. Defiição Dada uma matriz A K, dizemos que a matriz colua (ou vetor colua, que é outra termiologia usada mais frequetemete) ão ula desde que se satisfaça a relação x K é autovetor da matriz A Ax = λx, ode λ K é cohecido pelo ome de autovalor de A correspodete (ou associado) ao autovetor x. A equação acima pode ser escrita também da forma Ax λx = 0, ode 0 é a matriz colua ula de K, ou aida Ax λix = 0 ( A λi ) x = 0 sedo que I é a matriz idetidade de K. podemos escrever: Explicitamete, a a a 0 0 x 0 a a a 0 0 x 0 λ = a a a 0 0 x 0 a a a λ 0 0 x 0 a a a 0 λ 0 x 0 = a a a 0 0 λ x 0 76 Física EAD

181 Álgebra Liear - Operadores a λ a a x 0 a a λ a x 0 =, a a a λ x 0 ode temos usado a otação x = x, j =,,. Desevolvedo o produto de matrizes, ecotramos o seguite sistema de equações homogêeo para as icógitas x, x,... x : j j ( λ ) a x + ax + + a x = 0 ax + ( a λ ) x + + ax = 0 a x + a x + + a x = 0. ( λ ) Tal sistema só terá solução diferete da solução x = x =... = x = 0, desde que 3 Uidade a λ a a a a λ a = = a a a λ ( A λi ) det det 0. Se =, teríamos a λ a = a a λ det 0 ( λ )( λ ) a a a a = 0 ( ) λ a + a + a a a a = λ 0, ou seja, um poliômio de segudo grau a variável λ, igualado a zero. Em geral, a equação det ( A λi ) = 0 equivale ao problema de achar as raízes de um poliômio de grau. UESC Módulo 4 I Volume 5 77

182 Elemetos de Matemática Avaçada A equação ( A λi ) det = 0 é chamada equação característica da matriz A, e o poliômio ( λ ) = det ( λ ) P A I é cohecido pelo ome de poliômio característico da matriz A. As raízes do poliômio característico são os autovalores da matriz A. Em geral são um cojuto de valores de λ, λ, λ,. λ K Para cada valor de λ i teremos um autovetor x i. Vejamos isso com um exemplo. Exemplo : Achar os autovalores e os autovetores da matriz A R, dada por A =. 0 3 ateção É importate salietar duas questões: a primeira é que, mesmo o caso K = R, os autovalores podem ser complexos porque os poliômios com coeficietes reais podem ter raízes complexas, e a seguda é que podemos ter dois ou mais autovalores iguais porque os poliômios pode ter raízes iguais. Por exemplo, o poliômio P( λ ) ( λ ) 3 ( λ ) ( λ ) = 7 + 3, que é um poliômio de λ =, λ =, λ 3 = 3; só que λ = grau 6, possui 3 raízes, aparece três vezes e das multiplicidades, m i, das raízes λ, isso se escreve i, m = e 3 multiplicidades é igual ao grau do poliômio, ou seja, 7 7 λ = aparece duas vezes. Em termos m = 3 m =. Notar também que a somatória de todas as N = mi, i= ode é o grau do poliômio e N é o úmero de raízes distitas. A equação característica é dada por 78 Física EAD

183 Álgebra Liear - Operadores ( A λi ) det = 0 λ det = λ ( λ )( λ ) 3 = 0. Os autovalores dessa matriz são as raízes dessa equação, ou seja, λ = e λ = 3. Para achar os autovetores devemos resolver o sistema de equações dado por ( λ ) x + x = 0 ( λ ) 0 x + 3 x = 0 para cada um dos autovalores achados. Se λ = λ =, obtemos que x = 0 e x pode tomar qualquer valor. Portato, u qualquer vetor colua da forma pode ser um autovetor 0 associado ao autovalor λ = λ =. Se λ = λ = 3 temos que 3 Uidade a primeira das equações acima fica x + x = 0 e a seguda 0 = 0. Sedo assim, qualquer vetor colua com as duas compoetes iguais, como por exemplo v, pode ser um v autovetor associado ao autovalor λ = λ = 3. Verifiquemos a seguir a equação de autovalores para a matriz A.. Tomemos 7 6 os vetores x = e x = e multipliquemos por A: 0 6 Ax Ax = = = = λ x = = = 3 = λ x Portato podemos afirmar que os vetores 7 6 x = e x = são autovetores da matriz A = correspodetes aos autovalores λ = e λ = 3, UESC Módulo 4 I Volume 5 79

184 Elemetos de Matemática Avaçada respectivamete. 3.. Diagoalização de Matrizes Os autovetores de uma matriz podem ser arrajados em forma de uma matriz, que chamaremos C, da seguite maeira: ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) ( x ) c c c c c c C = =. c c c ( x ) ( x ) ( x ) Ou seja, que c ( x ). ij = Pode-se mostrar que j C é i ' iversível e que a matriz A = C AC é uma matriz diagoal. Mais aida, os elemetos da diagoal são os autovalores de A. Vamos verificar isso com um exemplo. Exemplo :vamos agora formar a matriz C com os autovetores e = e e 0 = da matriz C ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) 0 = = A =, 0 3 e defiamos a matriz ' A C AC. = Logo ( ( C ) ),, ( C,,) C = c = = ( ) + det ( S ) = det = ( ( C ) ) + C ( ) ( ) ( ) C c det S det 0 0,, (,,) = = = = = ( ( C ) ),, ( C,,) C = c = = ( ) + det ( S ) = det = 80 Física EAD

185 Álgebra Liear - Operadores ( ( C ) ) + C ( ) ( ) ( ) C c det S det.,, (,,) = = = = = C c c = = c c 0 C ' A C AC T ( C ) = 0 T ( C ) 0 = = = det( C) = =. 0 = 0 3 = Uidade Vemos assim que a matriz A ' é uma matriz diagoal ode, a diagoal, estão os autovalores de A. Portato, temos diagoalizado a matriz. É iteressate observar que det A = det( A ). Facilmete vemos que, ( ) ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( A) ( C) det ( C) ' det det det A = det C AC = det C det A det C = = det A. ( ) 3. Autovalores e Autovetores de um Operador Pelo que acabamos de ver, o problema de achar os autovalores e autovetores de um operador pode-se reduzir a achar os autovalores e autovetores da matriz desse operador UESC Módulo 4 I Volume 5 8

186 Elemetos de Matemática Avaçada uma dada base. Isso quer dizer que o problema Oψ = λψ pode ser abordado a partir da relação ( O ) ( ψ ) = λ ( ψ ). T BB B B Exemplo : Seja = R e O : R R defiido por O r = O x, y = x y, 4 x + y, ( ) ( ) e seja B = { e e } = ( ) de O a base B : ( ) ( ),,0,(0,). Primeiro achemos a matriz { } O e = O (, 0) =, 4 = e 4e = o e + o e ( ) ( ) ( ) O e = O (0,) =, = e + e = o e + o e. ( ) ( ) ( ) Portato O BB o o 4. o o = = Por outro lado, levado em cota o fato de T O r = O r a equação característica é ( ) ( ) ( ), ( BB ) que ( ) BB B B T det ( O ) λi = 0, ou aida, ( λ ) 4 = 0. Sedo assim, vemos que os autovalores são λ = e λ = 3. O sistema de equações a ser resolvido é: ( λ ) x x = 0 ( λ ) 4x + x = 0. Se λ = λ = temos que x x = 0 4x + x = 0. u Isso quer dizer que qualquer vetor do tipo u serve 8 Física EAD

187 Álgebra Liear - Operadores como autovetor. Já, se λ = λ = 3, podemos apreciar que x x = 0 4x x = 0. v Neste caso, o autovetor deverá ter a forma. v Tomemos, por exemplo, os vetores colua de R 4 ( r ) = e B ( ) 3 s = B, formados pelas compoetes, a 8 6 base B = { e, e } = {(,0 ),(0,)}, dos vetores de R r = (4,8) e s = ( 3,6), respectivamete. Em termos de matrizes, verificamos que ( ) ( ) T ( O ) ( r ) = = = = = λ ( r ) BB B B T ( ) ( ) ( ) 3 ( 3) OBB s = 3 λ ( s ). B = = = = B ( 3) Uidade Já, em termo de operadores, verificamos que ˆ O r = O ˆ 4,8 = 4 8, = 4, 8 = 4,8 = λ r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ˆ O s O ˆ 3,6 3 6, ,8 3 3,6 = = + = = = λ s. ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) Verificamos assim que achar os autovalores e os autovetores do operador O ˆ, equivale a achar os autovalores e os autovetores da matriz ( ). O BB Exemplo : Seja o mesmo operador do exemplo aterior, e seja a base C = { f, f} = {(,0 ),(,) }. Primeiro achemos a matriz de Ô a base C : T ˆ ˆ O f O (,0),4 o f o f o,0 o, o o, o ( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) + ( ) = ( + ) UESC Módulo 4 I Volume 5 83

188 Elemetos de Matemática Avaçada ˆ ˆ O f O (,) 0, 3 o f o f o,0 o, o o, o. ( ) = ( ) = ( ) = + = ( ) + ( ) = ( + ) Facilmete vemos que, o + o = e o = 4. Por outro lado, o + o = 0 e o = 3. Sedo assim, temos que O o o CC = = o o T ( λi ) A equação característica, ( OCC ) ( 5 λ )( 3 λ ) + = 0. Logo, λ = e 3. det = 0, fica λ = Notar que, em relação ao exemplo aterior, mudamos a base, mas os autovalores cotiuaram os mesmos. Vejamos agora o que acotece com os autovetores. O sistema de equações a ser resolvido é ( λ ) 5 x 3x = 0 ( λ ) 4x + 3 x = 0. No caso λ = λ =, temos que 6x 3x = 0 4x x = 0. Isso quer dizer, como o exemplo aterior, que qualquer vetor do tipo u serve como autovetor. Cosideremos agora o u caso λ = λ = 3. O sistema fica: x 3x = 0 4x 6x = 0. 3 Portato, este caso, o autovetor deverá ter a forma v. v Vemos assim que, embora os autovalores sejam os mesmos, ate uma mudaça de base, os autovetores, em geral, ão são os mesmos. Tomemos, por exemplo, os vetores colua de 84 Física EAD

189 Álgebra Liear - Operadores 3 R ( r ) = C e ( s ) =, formado pelas compoetes, a base C 3 C = { f, f} = {(,0 ),(,) }, dos vetores de R r = (, ) e s = (,), respectivamete. Em termos de matrizes, verificamos que ( 3) ( 3) T ( O ) ( r ) = = = = = λ ( r ) CC C C ( 3) OCC s 3 = λ ( s ). C = = = = C ( 3) 3 T ( ) ( ) Olhado para estes dois últimos exemplos, podemos afirmar que acabamos de verificar a seguite propriedade: os autovalores de um operador ão mudam frete a mudaças de base. Escrevamos agora os vetores r e s a base do exemplo aterior a base B = { e, e } = {(,0 ),(0,)}. Sabedo que a base C = { f, f} = {(,0 ),(,) } as compoetes de r e s são (,) e 3 (,), respectivamete, podemos escrever r = f + f =,0 +, =, = e + e ( ) ( ) ( ) 3 Uidade 3 3,0 (, ), s = f + f = + = = e + e. = B e ( s ) =, que são da forma B u v dos autovetores de O ˆ, e, a base B (com u= e v=/), u v Sedo assim, vemos que ( r ) como deve ser. É iteressate esclarecer que diagoalizar um operador é diagoalizar a sua matriz, ou seja, achar a base de autovetores que deixa a matriz a sua forma diagoal. UESC Módulo 4 I Volume 5 85

190 Elemetos de Matemática Avaçada exercícios. Cosiderar o operador ˆ U tal que ˆ : R R e U ' A U ˆ ( ) U ˆ a a ' coshθ a + sihθ A a = = = =. a a ' sihθa + coshθa Determiar se é um operador ortogoal com o produto itero defiido por A B = A B. T. Cosiderar o operador ˆ U tal que ˆ : e U ˆ ' cosh sih ( ) ˆ a a θa + i θa = = = =. ' A U A U a a ' i sihθ a + coshθ a Determiar se é um operador uitário com o produto itero defiido por A B = A B. 3. Seja a rotação etão ˆ : R R tal que se Rθ X x = R x ' ˆ x x cosθ + x siθ x ' Rθ = = X. ' = x x siθ + x cosθ x Mostrar que R ˆ ˆ φ Rθ, defiida por ( R ˆ R ˆ ) x R ˆ R ˆ x φ θ = φ θ, é uma trasformação ortogoal correspodete a uma rotação de âgulo φ + θ. x x 4. Determiar se os seguites operadores, de ortogoais: (( )) = ( ) U ˆ x, y, z y, z, x (( )) = ( ) V ˆ x, y, z y, x, z Sˆ (( x, y, z) ) = ( x + y), ( x y), z 3 R R 3, são 86 Física EAD

191 Álgebra Liear - Operadores Wˆ (( x, y, z) ) = ( x y z), ( x + y z), ( x y + z) Achar as matrizes dos operadores U ˆ, V ˆ, Ŝ e W ˆ do exercício aterior as bases B = { e, e, e3} = {(,0,0 ),( 0,,0 ),( 0,0,) } e C = f, f, f =,0,0, 0,,0, 0,0,. Calcular os { 3} ( ) ( ) ( ) respectivos determiates. { } t = t / t = P t e, P t, > 3 com o produto itero defiido por 6. Seja φ ( ) φ ( ) ( ) ( ) ( t) * ( t) dt, φ ψ = φ ψ e seja Ĥ tal que 3 ˆ d φ H ( φ ) =. dt Uidade Determiar se Ĥ é hermitiao. 7. Seja o cojuto de fuções complexas de variáveis reais θ [0, π ] e φ [0, π ] defiido por 3 i 3 3 = [ Y, Y, Y3 ] = si θe φ, cos θ, siθe 8π 4π 8π com o produto itero defiido por iφ π π * φ si θ θ ( θ, φ) ( θ, φ) F G d d F G = 0 0 F, G. Achar a matriz do operador L ˆ, defiido por ˆ F( θ, φ) L( F ) = i φ, um operador hermitiao. a base B = { Y, Y, Y } e mostre que se trata de 3 8. Achar a matriz do operador do exercício aterior a base UESC Módulo 4 I Volume 5 87

192 Elemetos de Matemática Avaçada {,, } {,, } C = Z Z Z = Y + iy Y Y iy Seja 4 = com o produto itero defiido da maeira usual para esse espaço, e seja ˆ : tal que S 4 4 x iz ˆ y iw S =. z ix w iy Mostre que Ŝ é hermitiao. 0. Seja 4 = com o produto itero defiido da maeira usual para esse espaço, e seja ˆ : tal que T 4 4 x x ˆ y y T =. z z w w Mostre que ˆ T é hermitiao.. Seja 4 = com o produto itero defiido da maeira usual para esse espaço, e seja ˆ : tal que P 4 4 x iw ˆ y iz P =. z iy w ix Mostre que ˆP é hermitiao.. Achar os poliômios característicos das seguites matrizes: 5 A = Física EAD

193 Álgebra Liear - Operadores i 5i B = 0 i + i 0 3i i C = 0 i i 0 3. Achar os autovalores e autovetores das seguites matrizes: 0 A = 0 0 i B = i 0 3 Uidade C 0 = 0 cosθ siθ R = siθ cosθ cosθ siθ 0 S = siθ cosθ cosθ 0 siθ T = 0 0 siθ 0 cosθ coshθ sihθ U = sihθ coshθ V coshθ sihθ 0 = sihθ coshθ UESC Módulo 4 I Volume 5 89

194 Elemetos de Matemática Avaçada W coshθ 0 sihθ = 0 0 sihθ 0 coshθ Y 0 = Diagoalizar as matrizes A, B e Y do exercício aterior. 5. Achar os autovalores e autovetores do operador do exercício Achar os autovalores e autovetores do operador do exercício Achar os autovalores e autovetores do operador do exercício. 8. Mostrar que os autovalores de um operador hermitiao são reais. 90 Física EAD

195 Álgebra Liear - Operadores RESUMINDO Nesta uidade, defiimos operadores ortogoais, uitários, simétricos e hermitiaos e estudamos as suas propriedades e as propriedades das matrizes desses operadores em bases ortogoais com vários exemplos. Também abordamos o problema de autovetores e autovalores de matrizes e operadores. Defiimos poliômio e equação característica e vimos a sua relação com o problema de diagoalização de matrizes e operadores. 3 REFERÊNCIAS Uidade BUTKOV, E. Mathematical Physics, Addiso Wesley Publishig Compay Ic., Uited States of America, 968. BOLDRINI, J. L.; RODRIGUES, COSTA S. I.; FIQUEREDO, V. L.; WETZLER H. G. Álgebra Liear, São Paulo, HARBRA Ltda., 980. UESC Módulo 4 I Volume 5 9

196 Suas aotações

197 4ª uidade FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA Ao fial desta Uidade, o/a aluo/a será capaz de: saber trabalhar com úmeros complexos; idetificar fuções de variável complexa; calcular itegrais reais e complexas usado fuções complexas.

198

199 Fuções de variável complexa INTRODUÇÃO Quado um professor etra a sala de aula e diz que iiciará o estudo dos úmeros complexos, os aluos pesam que são úmeros, o míimo, muito complicados. Ao saber que também existem úmeros chamados de imagiários os aluos dirão que tais úmeros, por serem imagiários, ão existem, e portato, para que estudá-los?(cerri et al, 00). Desta forma bem humorada começam as autoras do artigo História dos Números Complexos, C. Cerri e M. S. Moteiro da Uiversidade de São Paulo (CERRI et al, 00). Nesse texto vocês vão descobrir que o surgimeto de tais úmeros está itimamete ligado à resolução de equações algébricas de grau 3 e ão às de grau e que sua aceitação, compreesão e utilização ocorreu de maeira leta e gradual. Deixaremos esta obre tarefa de leitura como uma atividade adicioal, e começaremos com a álgebra e operações usuais de úmeros complexos. Posteriormete, estudaremos as fuções de variável complexa e suas aplicações para a física. 4 NÚMEROS COMPLEXOS Como já falamos ateriormete, ao estudarmos as raízes de equações algébricas, em particular, as raízes das equações cúbicas, será coveiete itroduzir o coceito de um úmero, cujo quadrado é igual a -. Coforme a tradição, este úmero é represetado por i, e escrevemos: Uidade i =, e i =. Se permitirmos que i seja multiplicado por úmeros reais (R), obtemos os úmeros imagiários (I): b.i=bi, ode b R. Às vezes as combiações bi são também chamados de úmeros imagiários puros para difereciá-los do caso geral de úmeros complexos. Se estedermos a propriedade UESC Módulo 4 I Volume 5 95

200 Elemetos de Matemática Avaçada de multiplicação os úmeros reais para os úmeros imagiários, cocluímos que o produto de úmeros imagiários são úmeros reais, por exemplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 i). 4i = 3. 4 i =. =, ( ) ( ) ( 5 i) = ( 5) i = 5. = 5, Jutado os úmeros imagiários com os úmeros reais, teremos um sistema ode poderemos efetuar multiplicações e divisões (ão por zero!). Este cojuto será fechado com respeito a estas operações (pois ehum úmero deste cojuto submetido a estas operações foge do cojuto!). Embora este cojuto ão seja fechado com respeito à adição e à subtração. Para evitar este ifortúio, foram criados os úmeros complexos (Z). Eles podem ser escritos da seguite forma: ( a + bi) Z, ode ( a b), R. O cojuto de úmeros complexos (Z) é fechado em relação à adição, subtração, multiplicação e divisão, e mais aida, com a operação de extrair raízes. Assim defiido, o cojuto Z é uma extesão do cojuto r.. Geometria e álgebra básica de úmeros complexos Se escrevermos os úmeros complexos a forma usual a + bi ou a + ib podemos defiir as operações usuais assim:. Adição: ( a ib ) ( a ib ) ( a a ) i ( b b ) = com, ( a b ) e( a b ),, R. 96 Física EAD

201 Fuções de variável complexa Exemplo :. Multiplicação: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 + i + 4 i5 = i + ( 5) = 7 3 i. ( a + ib ) ( a + ib ) = ( a a b b ) + i ( a b + a b )., ATIVIDADES Mostre a propriedade de multiplicação dos úmeros complexos (item. do.) e depois use esta propriedade para obter ( 3 + i).( 4 i5 ). Nota: Use as propriedades distributiva e associativa da multiplicação e a defiição i =. A subtração de úmeros complexos pode ser defiida como a iversa da adição, formado o egativo do úmero complexo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a + ib =. a + ib = + i0. a + ib = a ib, e reduzir a subtração à adição. A regra para a divisão pode ser deduzida ivertedo-se a multiplicação. Um método mais direto resulta de: 4 Uidade a + ib a + ib c id ( ac + bd) + i( bc ad) = =, c + id c + id c id c + d ( ac + bd ) ( bc ad ), ( i c d 0). = + + c + d c + d O úmero zero 0 + i0 é o úico que pode ser escrito como 0! UESC Módulo 4 I Volume 5 97

202 Elemetos de Matemática Avaçada saiba mais. A adição de úmeros complexos obedece às mesmas regras que a adição de vetores o plao, sempre que a e b sejam recohecidos como as compoetes do vetor. No etato, a multiplicação de úmeros complexos é completamete diferete do produto itero (produto escalar) e do produto vetorial etre vetores.. Usar o símbolo i é puramete covecioal, correspodete ao biômio a + ib, mas é prescidível, ou seja, podemos defiir um úmero complexo como um par ordeado de úmeros reais, ( a, b ), que obedece a certas regras. Assim, a multiplicação deste par ordeado pode ser defiida por ( ) ( a, b ) ( a, b ) = a a b b, a b + a b, e devemos eteder que a forma a + ib é somete uma represetação de um úmero complexo. Os úmeros complexos podem ser represetados o chamado plao complexo, ou diagrama de Argad (Figura ). Se represetarmos o úmero complexo x + iy por um úico símbolo z e escrevermos z = x + iy, etão a cada z correspoderá um poto o plao complexo com abscissa x e ordeada y. Dessa maeira também é possível obter uma represetação geométrica de um úmero complexo. Figura. Diagrama de Argad para um úmero complexo. 98 Física EAD

203 Fuções de variável complexa Usado a Fig., podemos obter: ode ( ) z = x + iy = r cos θ + i r si θ = r cos θ + i si θ, x = r y = r r = x + y = y x cos θ, si θ,, ta θ /. Nesta represetação, r é úico (raiz quadrada positiva), mas o âgulo θ ão é. Para isso, podemos adotar a coveção que: π < θ π, com a regra para os quadrates, ou seja, θ < 0 se y < 0. Assim esta represetação: ( θ θ ) z = x + iy = r cos + i si, vamos defiir os seguites elemetos: x = R e z é a parte real de z, y = I m z é a parte imagiária de z, r = z é o módulo de z, também chamado de valor absoluto de z, 4 Uidade θ é o argumeto de z, também chamado de âgulo polar ou fase. Também é muito útil defiir o úmero x iy que é chamado o complexo cojugado do úmero z = x + iy. Ele é represetado por z = x iy. No plao complexo, z e z represetam cada um à reflexão de outro em toro do eixo real. UESC Módulo 4 I Volume 5 99

204 Elemetos de Matemática Avaçada saiba mais. Podemos formar o módulo quadrado do úmero complexo z, defiido a quatidade z. z, que será sempre um úmero real positivo, ou seja:. = =. z z z z. A quatidade z + z é sempre um úmero real, igual a: z + z = R e z = R e z. 3. A operação de cojugação complexa é distributiva e associativa com respeito a soma e ao produto: + = + e ( z z ) ( z z ) z z,. = z. z. Podemos usar a regra do paralelogramo de vetores o plao para somar dois úmeros complexos associados a esses vetores. Esta propriedade esta represetada a Figura. Figura. Adição de úmeros complexos usado a represetação vetorial e a regra do paralelogramo Do mesmo modo, podemos represetar vetores do plao por úmeros complexos. O produto escalar etre estes dois vetores pode ser obtido por: ( z z ) = R e( z z ) = Re( z z )., ode fica subetedido que z e z são vetores correspodetes aos úmeros complexos z e z, respectivamete. De maeira semelhate, o módulo do 00 Física EAD

205 Fuções de variável complexa produto vetorial pode ser obtido como: z ( ) m ( z z ) z = I = I m z z. ATIVIDADES Verifique as regras de produto escalar e vetorial para os vetores associados aos úmeros complexos. 3 FÓRMULA DE MOIVRE E O CÁLCULO DE RAÍZES Equato a adição e a subtração de úmeros complexos são mais fáceis de realizar a represetação cartesiaa z = x + iy, as operações de multiplicação e divisão são mais fáceis de realizar a represetação trigoométrica. Se z = r ( cos θ + i si θ ) e z = r ( cos θ + isi θ ), etão cálculos quase elemetares mostram que z. z = r r [cos ( θ + θ ) + isi ( θ + θ )], 4 Uidade com a codição de que se ( θ + θ) > π, ou ( θ + θ) π, etão devemos adicioar ou subtrair π. ATIVIDADES Deduza a fórmula aterior, usado idetidades trigoométricas para o seo e coseo da soma de dois âgulos. UESC Módulo 4 I Volume 5 0

206 Elemetos de Matemática Avaçada Da mesma maeira, podemos obter uma regra geral para calcular a ésima potêcia de um úmero complexo z, que se cohece como fórmula de Moivre: (cos θ + i si θ ) = cos θ + i si θ, (com =iteiro). ode Se z = r ( cos θ + i si θ ), etão z = R( φ + i φ ) R que π < θ π. = r e cos si, φ = θ ± π k com o iteiro k escolhido, tal A regra para calcular ésima raiz de um úmero complexo pode ser escrita assim: ( θ θ ) w0 = r cos + i si, é certamete a ésima raiz de z, pois w0 = z. No etato, esta ão é a úica ésima raiz de z ; os úmeros θ + π k θ + π k wk = r cos + i si, ode k =,, 3,, ( ) são também ésimas raízes de z, pois wk = z. É costume chamar o úmero w 0 de raiz pricipal de z (com k = 0 ). Assim temos com w 0 (uma raiz) e as ( ) raízes w k, um total de raízes de z. As ésimas raízes de um úmero complexo z estão sempre localizadas os vértices de um polígoo regular de lados em um círculo de raio 3). R = r com cetro a origem (Figura 0 Física EAD

207 Fuções de variável complexa Figura 3. As -ésimas raízes de um úmero complexo 4 FUNÇÕES COMPLEXAS E A FÓRMULA DE EULER Números complexos z = x + iy podem ser cosiderados como variáveis, se x ou y (ou ambos) variarem. Se isso acotecer, etão podemos formar fuções complexas. Por exemplo, cosidere a equação w = z. Se escrevermos z = x + iy e w = u + iv, segue-se, em geral que 4 Uidade u = x y, v = xy. Usado o exemplo aterior, vamos abrir as cotas. Se w = z com z = x + iy etão: ( ) ( ).( ) w z x iy x iy x iy x ixy iyx i y = = + = + + = = = x + i xy + ( ) y = x y + i xy = ( x y ) + i( xy) = u + iv, UESC Módulo 4 I Volume 5 03

208 Elemetos de Matemática Avaçada separado parte real e imagiaria de w, temos: R e w = u = x y, I m w = v = xy. Na represetação gráfica de fuções complexas, devemos trabalhar com quatro variáveis reais simultaeamete. Usamos etão a ideia de trasformação. Dois plaos complexos distitos, o plao z e o plao w, são dispostos lado a lado, e um poto z 0 é trasformado o w = f z Por exemplo, a fórmula w = z aplica poto ( ) 0 0. z z = i em w = i =, = + i em w i i z 3 = em = ( + ) =,... w 3 = () =,..., etc. Isso está ilustrado a Figura 4, ode também está idicado que a reta horizotal y = o plao z é trasformada a parábola v = u + o plao w. Figura 4. Trasformação o plao complexo Fuções algébricas de uma variável complexa são defiidas por meio de operações algébricas, que são diretamete aplicáveis aos úmeros complexos (as fuções trascedetes podem requerer defiições especiais). x Por exemplo, a fução expoecial e (com x real). As propriedades básicas são 04 Física EAD

209 Fuções de variável complexa x + x x. e x = e e, e. ( e x ) a = e ax. Desejamos uma fução expoecial complexa com as mesmas propriedades. Escrevamos z = x + i y; etão e = e = e e z x+ i y x iy A quatidade. z e x e é de fato um úmero real, mas como iy se defie a expoecial do imagiário e? Supodo que pode-se represetar por uma série de potêcias, como a série de Taylor cetrada o poto y = 0, temos iy e 3 iy ( iy) ( iy) ( iy) e = ,!! 3! etão, reagrupado os termos iy y y y y y e = + + i + = cos y + i si y.! 4!! 3! 5! Assim, podemos defiir a fução iy e por meio de iy e = cos y + i si y. 4 Esta é a fórmula de Euler, e cumpre as propriedades desejadas: Uidade i( y + y ) iy iy. e e e =, e. ( e iy ) = e ix, ( iteiro) são cosequêcias das idetidades e ( cos y i si y )( cos y i si y ) + + = = cos( y + y ) + i si( y + y ), (cos y + i si y) = cos y + i si y. UESC Módulo 4 I Volume 5 05

210 Elemetos de Matemática Avaçada pela fórmula A defiição da fução expoecial complexa é dada ( ) z x e = e cos y + i si y, que tem as propriedades desejadas, e se reduz à fução expoecial real se I m z = Aplicações da fórmula de Euler A fórmula de Euler coduz à compacta represetação polar dos úmeros complexos ( θ θ ) i z = x + iy = r cos + i si = re θ. Supoha que um úmero complexo z seja i multiplicado por e α ode α é uma costate real. Etão e z iα i( θ + α = re ). Assim, o ovo úmero pode ser obtido, fazedo girar, de um âgulo α em toro da origem, o poto z. A fórmula de Euler também permite a descrição de quatidades reais que variam de forma seoidal por meio de expoeciais complexas. Uma fórmula geral para tal quatidade é ( ) = cos( ω θ ), f t a t em que (amplitude), (frequêcia agular) e (fase) são costates, e é uma variável real (geralmete o tempo). Cosidere a fução complexa de uma variável real ( ) g t i t = Be ω em que B é uma costate complexa. Faça B = ae iθ, etão iωt iθ iωt ( ) = = = cos( θ ω ) + si ( θ ω ) g t Be ae e a t ia t 06 Física EAD

211 Fuções de variável complexa ( ω θ ) ( ω θ ) = a cos t ia si t. Assim, f ( t) = Re g ( t) { }. As fuções complexas de uma variável real podem ser tratadas pelos métodos do cálculo de variáveis reais. Por exemplo, se g ( t) = u ( t) + i v( t), ( u, v) fuções reais, etão dg = du + i dv, dt dt dt etc. A difereciação de i t Be ω é muito simples: d Be i Be dt iωt iωt ( ) = ω. O seguite exemplo os esia o uso das expoeciais complexas. Cosidere um oscilado harmôico amortecido, sujeito a uma força extera variável. A equação diferecial a ser resolvida é 4 dx d x x =, x =,, etc dt dt 0 ( ) x + α x + ω x = F cos ωt ϕ, Uidade em que as costates α, ω0, F, ϕ são reais, e ambas variáveis x e t são reais. Itroduzido agora uma fução complexa ( ) = Fe iωt, f t em que ω pode ser real, mas F possa ser complexa. Seja i F = Fe ϕ, etão ( ) i( ωt ϕ ) { } ( ω ϕ ) R e f t = R e Fe = F cos t. UESC Módulo 4 I Volume 5 07

212 Elemetos de Matemática Avaçada Cosidere a equação diferecial x + α x + ω x = f ( t), em que x = x( t) é evidetemete complexo. O poto é que, a parte real desta fução complexa x( t ) é exatamete a solução da equação diferecial origial (real). Isso pode ser verificado diretamete por substituição: 0 x( t) = R e x( t) + i Im x( t). Supoha que procuramos uma solução de estado costate para osso problema de oscilador harmôico. Nossa ituição física sugere que deve ser uma fução de ω, ou seja, da forma Acos ( ωt ψ ). Isso, por sua vez, sugere que procuramos a solução de ossa equação complexa a forma x t = Ae iωt ( ), i em que F = Ae ψ é uma costate complexa. Se substituirmos este valor a equação para obter de maeira que ω A iαω A + ω A = F, 0 F A =. ω iαω + ω 0 E assim, o problema está essecialmete resolvido. A solução explícita do problema físico (real) será: ( ωt ϕ ) i iωt F e R e{ x( t) } = R e{ Ae } = Re. ( ω0 ω ) iαω Assim, podemos escrever i ωt ϕ F e Fe ( ω ω + iαω] =, ( ω ω ) iαω ( ω ω ) + 4α ω ( ) i( ωt ϕ ) 0 ) Física EAD

213 Fuções de variável complexa Agora, usado a regra ós obtemos [ ] R e z. z = Re z. Re z Im z. Im z, i ωt ϕ F e Fe ( ω ω + iαω] R e e = R ( ω0 ω ) iαω ( ω0 ω ) + 4α ω ( ) i( ωt ϕ ) 0 ) F ω0 ω = cos ( ω ω ) + 4α ω 0 0 ) ( ωt ϕ ) Fαω + si ( ωt ϕ ). ( ω ω ) + 4α ω ATIVIDADES O resultado aterior pode ser obtido sem usar os úmeros complexos. Assim o desafio cosiste em procurar uma solução da equação diferecial origial. Hit: Propoha como solução x = a cosωt + si ωt, e por substituição direta a equação diferecial obteha as costates a, b. 5 FUNÇÕES PLURÍVOCAS E SUPERFÍCIES DE RIEMANN 4 Uidade Certas fuções complexas são plurívocas, e cosideradas formadas por ramos, com cada ramo uma fução uívoca de. z Por exemplo, a fução ( ) f z = z pode ser dividida em dois ramos, segudo a fórmula usual para as raízes ( z = re iθ ) : f z r e θ =, i /. Ramo pricipal, ( ) i[( )/]. Segudo ramo, f ( z) = r e θ + π. UESC Módulo 4 I Volume 5 09

214 Elemetos de Matemática Avaçada Do poto de vista estritamete matemático, estas duas fuções f ( z ) e f ( ) z são fuções distitas. Observe que, o ramo pricipal ão aplica o plao z sobre todo o plao w, mas somete sobre o semiplao direito ( R e w > ) ao qual adicioamos o semieixo imagiário positivo. O semieixo imagiário egativo ão está icluído. O segudo ramo aplica o plao z sobre o semiplao esquerdo ( R e w < 0) jutamete com o semieixo imagiário egativo. Com exceção de z = 0, ehum outro poto do plao w (plao imagem) é duplicado para ambas as aplicações. Outra característica importate dos dois ramos é que cada ramo tomado separadamete é descotíuo o semieixo i( ) real egativo. Ou seja, os potos z = e π δ i( ) e z = e π + δ, ode δ é o úmero positivo meor, estão muito próximos um do outro. No etato, suas images, pela aplicação do i( / /) ramo pricipal, f( z) = e π δ ( / /) e ( ) i f, z = e π δ estão muito distates uma da outra. Por outro lado, observe que a imagem de z pela aplicação f ( z), 0, f z e π δ i( / /) ( ) = +, está muito próxima do poto ( ) f. z Parece que a cotiuidade da aplicação pode ser coservada se trocamos de ramo, quado atravessarmos o semieixo real egativo. Para dar um sigificado mais preciso, devemos defiir o coceito de uma fução cotíua de uma variável complexa: seja w = f ( z) defiida uma vizihaça do poto z 0 e seja f ( z 0 ) = w. 0 Dizemos que f ( z ) é cotíua em z0 sempre que z z0 o setido que, dado δ, se f ( z) w0 (arbitrariamete pequeo), a desigualdade f ( z) w0 < δ se verifique sempre que z z0 < for verdadeira, para suficietemete pequeo. Existe uma represetação de ambos os ramos por meio de uma solução proposta por Riema: imagie dois plaos z separados, cortados ao logo do semieixo real egativo de meos ifiito a zero. Imagie que os plaos 0 Física EAD

215 Fuções de variável complexa estão superpostos um sobre o outro, mas que retêm suas idetidades separadas, igual a duas folhas de papel postas uma sobre a outra. Supoha que o segudo quadrate da folha superior seja colado, ao logo do corte, ao quarto quadrate da folha iferior, para formar uma superfície cotíua (Figura 5). Agora é possível iiciar uma curva C o terceiro quadrate da folha superior, cotorar a origem e atravessar o semieixo real egativo, peetrado o terceiro quadrate da folha iferior, em um movimeto cotíuo (sem sair da superfície). A curva pode cotiuar a folha iferior em toro da origem, peetrado o segudo quadrate da folha aterior. Imagie agora o segudo quadrate da folha iferior colado ao terceiro quadrate da folha superior ao logo do mesmo corte (idepedetemete da primeira colagem). A curva C pode, etão, prosseguir peetrado a folha superior e pode retorar a seu poto iicial. Este processo de jutar e colar dois plaos coduz à formação de uma superfície de Riema, que é cosiderada como uma superfície cotíua formada por duas folhas de Riema (Figura 7). Mas a reta etre o segudo quadrate da folha superior e o terceiro quadrate da folha iferior deve ser cosiderada distita da reta etre o segudo quadrate da folha iferior e o terceiro quadrate da folha superior. Aqui é ode o modelo do papel falha. Segudo este modelo, o semieixo real egativo aparece como uma reta ode as quatro bordas se ecotram. No etato, a superfície de Riema ão possui tal propriedade; há dois semieixos reais positivos, e dois semieixos reais egativos. A aplicação f ( z) = z, pode ajudar a visualizar isso: o ramo pricipal aplica a folha de Riema superior (excluido o semieixo real egativo) sobre a região R e w > 0 do plao w. Também, a reta que ue o segudo quadrate superior com o terceiro iferior é também aplicada pelo ramo pricipal sobre o semieixo imagiário positivo. A folha de Riema iferior (excluido o semieixo real egativo) é aplicada pelo segudo ramo sobre 4 Uidade UESC Módulo 4 I Volume 5

216 Elemetos de Matemática Avaçada a região R e w < 0. A reta que ue o segudo quadrate iferior com o terceiro quadrate iferior é aplicada (pelo segudo ramo) sobre o semieixo imagiário egativo. Deste modo, toda a superfície de Riema é aplicada de maeira -, sobre o plao w ( z = 0 é levado em w = 0, e este caso ão pertece a ehum dos ramos, pois o âgulo polar θ ão está defiido quado z = 0 ). Figura 5. Superfície de Riema Figura 6. Superfície de Riema A divisão de uma fução plurívoca em várias ramos é, em grade parte, arbitrária. Por exemplo, existem várias maeiras de dividir a fução f ( z) = z em dois ramos. No etato, em todas elas haverá uma liha de ramificação (ou de corte), estededo de z = 0 ao ifiito. A superfície de Riema é obtida uido-se duas folhas de Riema através Física EAD

217 Fuções de variável complexa do corte, e esta superfície é úica. O poto z = 0, em que todas as lihas de corte devem termiar ou pricipiar, é chamado de um poto de ramificação. A posição do poto de ramificação é determiada pela atureza da fução plurívoca e é idepedete da escolha dos ramos. Esta técica pode ser expadida a outras fuções plurívocas. Algumas exigem mais que duas folhas de 3 Riema, por exemplo, f ( z) = z exige três. Algumas exigem duas folhas e dois potos de ramificação, como por exemplo f ( z) = ( z )( z + ) etc. Há fuções que exigem um úmero ifiito de folhas de Riema, como por exemplo f ( z) = z α com α irracioal, e algumas das fuções trascedetes, que estão exemplificadas o livro de Butkov (BUTKOV, 968). ATIVIDADES A fução logaritmo é defiida como sedo a iversa da fução expoecial. Resolvedo w i e z r e θ = = para achar w, obteha: w = log r + iθ + i π, com iteiro. 6 FUNÇÕES ANALÍTICAS. O TEOREMA DE CAUCHY 4 Uidade Já foi defiido o item aterior 5, o coceito de cotiuidade de uma fução complexa, assim é possível verificar que a soma, o produto e o quociete (exceto a divisão por zero) de duas fuções cotíuas são cotíuos. Aida mais, uma fução cotíua de uma fução cotíua é também cotíua. Seja C uma curva suave por pedaços o plao complexo. Se f ( z ) for cotíua sobre C, etão a itegral complexa UESC Módulo 4 I Volume 5 3

218 Elemetos de Matemática Avaçada C ( ), f z dz poderá ser defiida e represetada em termos das itegrais reais, ficado isso forece ( ) ( ) f z = u x, y + i v( x, y) e dz = dx + i dy ( ) = + ( + ) f z dz ( u dx v dy) i v dx u dy, C C C ode sabemos que existem as itegrais reais ( u dx v dy) e C ( v dx + u dy). A curva C pode ser aberta ou fechada, mas em C qualquer caso devemos especificar a direção de itegração. Uma mudaça a direção de itegração resulta em mudaça do sial da itegral. As itegrais complexas são, portato, redutíveis a itegrais reais curvilíeas e possuem as seguites propriedades: ( ) + = ( ) + ( ) ( f z g( z)) dz f z dz g z dz, C C C C ( ) = ( ), kf z dz k f z dz ( ) = ( ) + ( ) f z dz f z dz f z dz, C C C com k = costate complexa, e ode C foi decomposta em duas curvas C e C. O valor absoluto de uma itegral pode ser estimado pela fórmula C C ( ), f z dz ML 4 Física EAD

219 Fuções de variável complexa em que, M = máx f ( z) sobre C, e L é o comprimeto de C. Agora defiiremos a derivada de uma fução complexa: dado a z um acréscimo z (com z complexo) obtemos f ( z + z) e podemos escrever ( ) ( ) ' f z f z ( ) d f z + z f ( z) = = lim. dz z 0 z Como o caso de fuções reais este limite pode ou ão existir. Também é importate otar que z pode-se aproximar de zero de uma maeira arbitrária, ou seja, z + z pode-se aproximar de z ao logo de qualquer curva ou por meio de qualquer sequêcia. Esta é uma exigêcia muito forte que acarreta que a fução f ( z ) tem que ser bem comportada o poto a z, a fim de ser difereciável. A fução f ( z ) é aalítica (regular, ou holomorfa) o poto z, se possui derivada em z e em todos os potos de uma vizihaça de z (pequea, mas fiita). Esta exigêcia adicioal leva a muitas boas propriedades para as fuções aalíticas, tais como a existêcia de derivadas de todas as ordes. A existêcia da derivada em todos os potos de uma vizihaça acarreta que a derivada é cotíua (ver Boxe ). Também é um problema fácil de verificar (usado as propriedades de fuções reais) que as derivadas de fuções complexas obedecem às regras usuais: 4 Uidade d dw dw w w dz dz dz ( + ) = +, d dw dw ( w w ) = w + w dz dz dz, dw dw dζ =, dz dζ dz UESC Módulo 4 I Volume 5 5

220 Elemetos de Matemática Avaçada ode w w( ζ ) = e ζ ζ ( z) = e, por exemplo, d ( z ) z =, dz com iteiro etc. Assim, as difereciais de fuções complexas são defiidas de maeira aáloga às diferecias das fuções reais. Se w f ( z) u ( x y) iv( x y) = =, +,, etão a defiição da derivada poderá ser rescrita como f ' ( z) y 0 ( + + ) + ( + + ) ( ) u x x, y y u( x, y) i[ v x x, y y v x, y ] = lim. x 0 x + i y O valor limite o lado direito deve ser o mesmo quado z tede arbitrariamete para 0. Em particular, faça z = x (ou seja, aproxime-se ao logo do eixo real); etão ( ) u x ' f z = + i v. x Alterativamete, faça z = i y (aproxime-se ao logo do eixo imagiário); etão ( ) v y ' f z = + i u. y Segue-se que, para uma fução difereciável w = u + i v, devemos ter u v u v =, =. x y y x Estas são as equações ou codições de Cauchy- Riema, que se seguem diretamete da defiição da derivada. Se além disso, f ( z ) for aalítica, etão f ' ( z ) deve ser cotíua, o que implica que as derivadas parciais de u e v sejam cotíuas. O teorema recíproco também vale: Se u ( x, y ) e v( x, y ) possuem derivadas de primeira ordem, satisfazedo as codições de Cauchy-Riema em uma 6 Física EAD

221 Fuções de variável complexa vizihaça de z, etão f ( z) = u + i v é aalítica em z. Uma das mais importates propriedades das fuções aalíticas é expressa pelo teorema de Cauchy: se f ( z ) é aalítica em um domíio D simplesmete coexo, e C uma curva simples fechada em D (suave por pedaços), etão C ( ) 0. f z dz = Há uma recíproca do teorema de Cauchy, cohecida como o teorema de Morera: se f(z) é cotíua em um domíio D, e se f ( z) dz = 0. para todo camiho simples fechado em C D com iterior também em D, etão f ( z ) é aalítica em D. O teorema de Cauchy vale para domíios multiplamete coexos, desde que o iterior do camiho seja simples fechado e C esteja detro do domíio (ou seja, que o domíio ão esteja em volta de um buraco. Veja a Figura 7). Uidade 4 Figura 7 Superfície de Riema A aulação de uma itegral de cotoro (uma itegral ao logo de um camiho simples fechado) está estreitamete UESC Módulo 4 I Volume 5 7