CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO

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1 CAP. I ERROS EM CÁLCULO NUMÉRICO 0. Itrodução Por método umérico etede-se um método para calcular a solução de um problema realizado apeas uma sequêcia fiita de operações aritméticas. A obteção de uma solução umérica para um problema físico através da aplicação de métodos uméricos em sempre os dá valores de acordo com o pretedido. A difereça etre o valor obtido (aproimado) e o valor eacto é desigado por erro. Pretede-se dar uma oção aos utilizadores de métodos uméricos, sobre as fotes de erros, para que se possam elimiar, ou pelo meos, cotrolar o seu valor. Vamos etão descrever o processo de determiação da solução de um problema físico, por meio de métodos uméricos. Problema físico Modelo modelagem resolução Solução Matemático Métodos Numéricos modelagem: obtém-se o modelo matemático que descreve o comportameto do problema físico; resolução: obtém-se a solução umérica do modelo matemático da aplicação de métodos uméricos. Págia de 6 - Erros em Cálculo Numérico

2 . Fote e tipo de erros A resolução de um problema físico utilizado um método umérico produz, em geral, uma solução aproimada do problema. A itrodução de erros a resolução do problema pode ser devida a vários factores. Em fução da sua origem, podemos cosiderar os diferetes tipos de erros: erros iiciais do problema (são eteriores ao processo de cálculo) erros ieretes ao modelo matemático erros ieretes aos dados erros associados ao uso de métodos uméricos (ocorrem o processo de cálculo) erros de arredodameto erros de trucatura Problema Físico Modelo Matemático Erros ieretes ao Modelo Erros Dados e Modelo ieretes Parâmetros Erros de aos Dados do Modelo Numérico Trucatura Cálculo Erros de Arredodameto Solução Págia de 6 - Erros em Cálculo Numérico

3 Erros ieretes ao modelo: Um modelo matemático raramete oferece uma represetação eacta dos feómeos reais. Na grade maioria dos casos são apeas modelos idealizados, já que ao estudar os feómeos da atureza vemo-os forçados, regra geral, a aceitar certas codições que simplificam o problema por forma a torá-lo tratável. Os melhores modelos são os que icluem aquelas características do problema real ecessárias para reduzir os erros esta fase a um ível aceitável. Erros ieretes aos dados: Um modelo matemático ão cotém apeas equações e relações, também cotém dados e parâmetros que, frequetemete, são medidos eperimetalmete, e portato, aproimados. As aproimações os dados podem ter grade repercussão o resultado fial. Erros de arredodameto: Quer os ossos cálculos sejam efectuados maualmete quer sejam obtidos por computador ou uma calculadora, somos coduzidos a utilizar uma aritmética de precisão fiita, ou seja, apeas podemos ter em cosideração um úmero fiito de dígitos. O erro devido a desprezar os outros e arredodar o úmero é desigado por erro de arredodameto. Erros de trucatura: Para compreeder o aparecimeto deste tipo de erros, recordemos que:. um algoritmo umérico caracteriza-se por efectuar um úmero fiito de operações aritméticas;. a solução eacta de muitos problemas matemáticos ão pode ser obtida eecutado um úmero fiito de operações aritméticas e estes problemas têm soluções que apeas podem ser costruídas recorredo a processos ifiitos de cálculo, o setido de que a solução é o limite da sequêcia dos cálculos a efectuar. Ora, como por defiição um processo ifiito ão pode ser termiado, tem de se recorrer à trucatura do processo após certo úmero fiito de operações. Desta substituição de um processo ifiito por um processo fiito, resultam os erros de trucatura. Em muitos casos, o erro de trucatura é precisamete a difereça etre o modelo matemático e o modelo umérico. Eistem tipos de erros associados ao uso de métodos uméricos para resolver um problema um computador ou calculadora: os erros de arredodameto e os erros de trucatura. Como cosequêcia da ocorrêcia destes erros, as soluções uméricas obtidas são, em geral, soluções aproimadas. Págia de 6 - Erros em Cálculo Numérico

4 Para podermos avaliar quão próima da solução eacta está a solução aproimada calculada tora-se ecessário estudar o seu erro. Defiições de erro O cohecimeto de uma aproimação para a solução de um problema só tem iteresse se é acompahada de iformação sobre o seu erro. erro Seja o valor aproimado duma quatidade cujo valor eacto é. O erro de, defie-se como: = - Há vários critérios para avaliar a qualidade de uma aproimação. erro absoluto O erro absoluto do valor aproimado, defie-se como o valor absoluto de, i.é, ε = = - erro relativo Se 0, o erro relativo do valor aproimado, defie-se como r = = - O erro relativo, como epressa o erro como fracção de, está relacioado com o erro percetual. Ao produto r 00 epresso em percetagem dá-se o ome de percetagem de erro ou erro percetual. Algarismos sigificativos Outra maeira de cohecer a precisão de um valor aproimado é ter iformação sobre o úmero de algarismos sigificativos dessa aproimação, i. é, úmero de algarismos da esquerda para a direita e a partir do primeiro dígito diferete de zero. Págia 4 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

5 Eemplos: O valor aproimado.4 para π = tem algarismos sigificativos; A aproimação 0. para / =0... tem dígitos sigificativos; O valor aproimado para e - = tem algarismos sigificativos.. Erros de Arredodameto Quase todo o cálculo umérico é realizado um computador ou uma calculadora. Como as máquias têm capacidade fiita para guardar iformação, apeas coseguem represetar eactamete um úmero fiito de úmeros reais, cada um com um úmero fio de dígitos (algarismos). Sedo o suporte umérico da maioria dos problemas matemáticos o cojuto dos úmeros reais, que é ifiito e cotíuo, levatam-se algumas questões, sedo duas delas: Como são represetados úmeros reais uma máquia? Quais as cosequêcias dessa represetação de IR os resultados obtidos? Iremos respoder, de modo sucito, a estas duas questões. Começaremos por eplicar que a represetação de úmeros reais uma máquia é feita por arredodameto, e verificaremos, em seguida, que a cosequêcia é a ocorrêcia dos chamados erros de arredodameto. Arredodameto Para a maioria dos úmeros reais a represetação é feita por arredodameto (à ecepção de úmeros demasiado grades ou demasiado pequeos, em valor absoluto, para poderem ser represetados a máquia). Defiem-se vários tipos de arredodameto. Aqui faremos apeas referêcia ao mais cohecido, e iremos apresetá-lo através de um eemplo. Eemplo: Cosideremos o úmero π = Vamos defiir um processo de represetação deste úmero com, 4 e 5 algarismos. Págia 5 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

6 Comecemos por escrever π = com algarismos elimiado os dígitos a partir do quarto. Sedo o primeiro algarismo elimiado iferior a 5 cosideramos π =.4 como a represetação, por arredodameto, de π com dígitos. Vamos agora escrever π = com 4 algarismos elimiado os dígitos a partir do quito. Sedo o primeiro algarismo elimiado igual a 5, cosideramos π =.4 como a represetação, por arredodameto, de π com 4 dígitos. Fialmete escrevemos π = com 5 algarismos elimiado os dígitos a partir do seto. Sedo o primeiro algarismo elimiado superior a 5, cosideramos π =.46 como a represetação, por arredodameto, de π com 5 dígitos. O procedimeto para represetar um real com um úmero fiito de dígitos por arredodameto é o seguite: igoram-se os algarismos à direita daqule que fica a última ordem decimal que se pretede reter; Se o primeiro dígito desprezado é iferior a 5, o úmero obtido é a represetação desse real por arredodameto; Se o primeiro dígito elimiado é superior ou igual a 5 adicioa-se uma uidade a ordem decimal do último dígito coservado para obter a represetação desse real por arredodameto. Observe-se, que se um úmero é obtido de por este procedimeto (arredodameto), etão todos os úmeros de são sigificativos. Págia 6 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

7 Erros de arredodameto A distâcia etre um úmero real e uma sua aproimação obtida por arredodameto é chamada erro de arredodameto. Erro absoluto de arredodameto Se é um valor obtido por arredodameto de etão chama-se erro absoluto de arredodameto a. Erro relativo de arredodameto Se 0 e é um valor obtido por arredodameto de etão chama-se erro relativo de arredodameto a -. Eemplo: Calculemos os erros (absolutos) de arredodameto das aproimações obtidas para π = o eemplo aterior. Tem-se π = π - π = π -.4 = < = π = π - π = π -.4 = < = π = π - π = π -.46 = < = Note-se que em cada um dos casos todos os algarismos do valor aproimado são sigificativos. Em geral, dizemos que é o valor aproimado de, arredodado para k casas decimais correctas se: k = Mas os erros de arredodameto ão ocorrem apeas a represetação de dados. Ocorrem também a represetação de resultados de operações aritméticas. Isto porque o resultado de uma operação aritmética etre dois úmeros represetados com um úmero fio de algarismos pode ão ser um úmero com o mesmo úmero de algarismos. Eemplo: O resultado da divisão de.46 por 9, úmeros que têm o máimo 5 dígitos, é Págia 7 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

8 .46 = uma dízima ifiita. O resultado da divisão arredodado para 5 9 dígitos é Erros de Trucatura Há problemas que ão podem ser resolvidos eactamete realizado apeas um úmero fiito de operações aritméticas, mas cujas soluções podem ser aproimadas com uma sequêcia fiita de operações aritméticas. São assim gerados os erros de trucatura. Apresetamos dois eemplos. EX : Cálculo umérico da soma de uma série Seja S a soma de uma série covergete de termo geral a j, S = a j. j=0 Quado aproimamos S por S = a j j= 0, o erro R = S - S é um erro de trucatura. É origiado pela substituição do cálculo eacto da soma de uma série, pelo cálculo da soma de + termos dessa série. EX : Cálculo de valores de fuções trascedetes Fuções racioais (poliómios e quocietes de poliómios) são as úicas cujos valores podem ser calculados usado apeas um úmero fiito de operações aritméticas. Para calcular umericamete valores de uma fução trascedete podemos aproimá-la por uma fução racioal. Aproimação de fuções A aproimação de fuções é um tema cetral da aálise umérica. A razão disso é a ocorrêcia de um grade úmero de problemas matemáticos, evolvedo fuções, cuja solução ão é possível (ou é muito difícil) determiar por métodos aalíticos. São eemplos de tais problemas o cálculo do valor de um itegral defiido quado se descohece uma primitiva da fução itegrada, a determiação de zeros de uma fução quado ão eiste uma fórmula eplícita para o fazer, o deseho do gráfico de uma Págia 8 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

9 fução da qual se cohecem apeas algus dos seus valores determiados umérica ou eperimetalmete,... A estratégia o desevolvimeto de métodos uméricos para resolver estes problemas é baseada a substituição da fução dada por uma fução aproimate, cosiderada mais "simples", cujo comportameto é muito semelhate ao da fução dada. Por várias razões, as fuções aproimates mais usadas são os poliómios. Por um lado podem calcular-se valores de um poliómio realizado apeas um úmero fiito de operações aritméticas. Por outro os poliómios são fuções fáceis de derivar e itegrar. Além disso, o teorema de Weierstrass estabelece que toda a fução cotíua um itervalo fechado pode ser aproimada esse itervalo, tão bem quato se queira, por um poliómio. TEOREMA (Teorema de APROXIMAÇÃO DE WEIERSTRASS) Seja [ a, b] IR e ε um úmero real positivo qualquer. Etão, para toda a fução f cotíua em [a,b] eiste um poliómio p tal que ma [ a,b] f () - p () < ε ( Como medir a distâcia etre uma fução e uma aproimação poliomial para essa fução? Por outras palavras, como se defie o erro de um poliómio aproimate de uma dada fução? Há mais do que um critério para defiir o erro de uma aproimação para uma fução. Aqui apresetaremos apeas um. Erro de um poliómio aproimate Seja f uma fução real de variável real cotíua em [a, b] e p uma aproimação poliomial para f em [a, b]. Defie-se erro da aproimação p por ma [ a,b] f () - p () Págia 9 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

10 Poliómio de Taylor O eemplo mais cohecido de poliómio aproimate de uma fução é dado pelo poliómio de Taylor. Seja f uma fução real de variável real com derivadas cotíuas até à ordem um poto 0 do seu domíio. O poliómio de grau defiido por p ( 0 ) ( 0 ) ( ) ) = f ( 0 ) + ( 0 ) f '( 0 ) + f ''( 0 ) f ( ) ()!! ( 0 é chamado poliómio de Taylor da fução f o poto 0. TEOREMA (Teorema de TAYLOR) Seja f uma fução com derivadas cotíuas até à ordem + um itervalo [a, b] e seja 0 ]a, b[. Etão para [a, b], ode, f() ( 0 ) f(0 ) + ( 0 )f'(0 ) + f''(0 ) +!... ( 0 ) + f! = 0 ( 0 ) R () = ( + )! + (+ ) f (η) sedo 0 () ( ) + R () ] mi{,0}, ma {, }[ η. Note-se que, se ( + ) ( ) M para [a, b] etão f f () - p () = R () = ( 0 ) + ( + )! f (+ ) (η) + -0 M. ( + )! Poliómio de Maclauri É o poliómio que se obtém do poliómio de Taylor () fazedo 0 =0. () p ( ) = f (0) + f '(0) + f ''(0) f (0) ()!! Págia 0 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

11 Eemplo : a) Calcule o poliómio de Maclauri de grau da fução f defiida por f() = si (), π π, 4 4. Tem-se f() = si() f(0) = si(0) = 0, f () = cos() f (0) = cos(0) =, f () = si() f (0) = si(0) = 0, f () = cos() f (0) = cos(0) = -. Substituido em () para = p ( ) = f (0) + f '(0) + f ''(0) + f '''(0)!! obtém-se o poliómio p( ) = ( ) =.!! 6 Na figura seguite estão represetadas a fução f e o poliómio p o itervalo π π, y À escala usada os gráficos de f e p quase ão se distiguem. b) Calcule o erro da aproimação poliomial obtida a alíea aterior. Tem-se f() = si () = p () + R () 4! 4! 4 4 (4) R ( ) = (si) = η = (si) η, ] 0, [ = ] 0 [ ma π π, 4 4 si() - p () = ma π π, 4 4 R () = ma π π, (si ) 4! < π 4 4! 4 π si Págia de 6 - Erros em Cálculo Numérico

12 Eemplo : a) Calcule os poliómios de Taylor de grau e de grau da fução g defiida por g() = e, [, ] o poto 0 = 0. Tem-se g() = e g(0) = e 0 =, g () = e g (0) = e 0 =, g () = e g (0) = e 0 =, g () = e g (0) = e 0 =. Substituido em () para = e com 0 =0 obtém-se o poliómio p ( ) = g(0) + g'(0) + g''(0) +!! g '''(0) p ( ) = = + + +!! 6 Substituido em () para = e com 0 =0, obtém-se o poliómio p ( ) = g(0) + g' (0) + g' '(0)! p ( ) = + + = + +! Na figura seguite estão represetados a fução g (a traço cotíuo) e os poliómios p e p em [-, ]..5.5 y Págia de 6 - Erros em Cálculo Numérico

13 Aalisado os gráficos os dois eemplos ateriores cocluímos que os poliómios de Taylor calculados ão se afastam muito da fução dada, o itervalo idicado. b) Calcule o erro dos poliómios aproimates p e p para a fução g. ( ) 4 4 ma e - p() ma ( )(4) ma = e = e < e [, ] [, ] 4! [, ] 4! 4! ( ) ma e - p ma ( )() ma () = e = e < e [, ] [, ]! [, ]!! 0.5. Eemplo: Obter uma aproimação para π π si calculado p. 6 6 No eemplo costruímos um poliómio aproimate de grau para a fução f()=si() com π π, 4 4, p ( ) =. 6 π π π 6 p = = O valor absoluto do erro é majorado escrevedo cos( ξ ) 5 5 π / 4 E 5 = ! 5! 5! Para fializar este poto, é de referir que os capítulos seguites descreveremos algus métodos uméricos que origiam erros de trucatura. Págia de 6 - Erros em Cálculo Numérico

14 4. Codicioameto e Estabilidade Erros iiciais Há problemas cuja solução é muito sesível a variações os dados, isto é, para certos problemas erros os dados quase desprezáveis, podem origiar variações muito grades a solução. Este feómeo é idepedete do método usado para resolver problemas. Como se propagam os erros os dados? Propagação de erros Supuhamos que se pretede calcular o valor de z = f (, y) usado os valores aproimados e y em vez de e y respectivamete. Seja z = f(, y). Queremos cohecer o erro do valor aproimado z para z, assumido que todas as operações idicadas a epressão de f podem ser efectuadas eactamete. Isto é, estamos iteressados o efeito da propagação dos erros ε = e ε = y y a solução do problema. y Se eistem e são cotíuas duas variáveis, ' f e ' f y tem-se, pelo teorema de Taylor para fuções de f(, y) = y ' ' f(, y) + ( )f ( η, η ) + (y y)f ( η, η ), ode ] {,}, ma {,} [ e η ] mi{ y,y}, ma { y,y} [ η mi. Se está próimo de e y está próimo de y etão pode escrever-se z (, y) ε + f ' y( y) ε y ε = z z ' f, Supuhamos que se pretede calcular o valor de w = f (, y, z) usado os valores aproimados, y e z, em vez de, y e z respectivamete. Seja w = f(,y, z ). Queremos cohecer o erro do valor aproimado w para w, assumido que todas as operações idicadas a epressão de f podem ser efectuadas eactamete. Págia 4 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

15 Isto é, estamos iteressados o efeito da propagação dos erros ε = =, ε = y y = y e ε = z z = z y a solução do problema. Se está próimo de, y está próimo de y e z está próimo de z etão pode escrever-se ε = w w f ' (, y, z ) ε ' w y ( ', + f, y, z ) ε + f y z ) y z (, z ε z Eemplo: Determiar um limite superior do erro absoluto do volume de uma esfera, V = πd, se o diâmetro é d =.7 ± 0.05 cm e π.4. 6 Resolução: Cosiderado π e d como variáveis, calculemos as derivadas parciais: V π = d 6 e V d = πd e como d =.7, d = e π =.4, π = Utilizado a fórmula aterior temos que: V ( d, π) π + ( d, π) d = (.7) (.7) 0.05 =. 088 V V π d 6 e portato V = V ± 6 ± + V = πd 088. = ( )cm. Geeralizado, seja F = f,,..., ) uma fução de variáveis, e supodo que a ( cada variável i correspode ε = =, etão o erro de F obtem-se utilizado i a fórmula de propagação de erro: ε = F F F f ' i ε + f ' i ε (,,..., ) (,,..., ) (, f ',..., ) ε Com base a fórmula da propagação do erro, podemos ecotrar as regras para a propagação de erros a soma e o produto. Págia 5 de 6 - Erros em Cálculo Numérico

16 Cacelameto subtractivo O efeito da perda de dígitos sigificativos a subtracção de úmeros quase iguais é chamado cacelameto subtractivo. Eemplo: Cosideremos os úmeros = 4567 e y = 4566 e as aproimações = e y = , ambas com 6 algarismos sigificativos. Tem-se y = , que é uma aproimação com algarismos sigificativos para - y. Numa só operação aritmética perderam-se 4 dígitos sigificativos. Codicioameto (de um problema) Devido à eistêcia dos chamados erros iiciais, os dados e parâmetros de um problema matemático que se resolve ão coicidem, em geral, com os dados e parâmetros do problema posto. O codicioameto de um problema descreve a sesibilidade do problema a variações os dados. Não depede do método usado para resolver o problema. Um problema matemático cuja solução pode ser muito sesível a variações os dados e parâmetros diz-se mal codicioado. Um problema diz-se bem codicioado se pequeas variações os dados e parâmetros iduzem sempre pequeas variações a solução. Estabilidade (de um método) A resolução de um problema umérico requer, em geral, a eecução de um grade úmero de operações aritméticas e, origiado de cada uma um erro de arredodameto, o efeito cumulativo desses erros pode afectar sigificativamete o resultado calculado. A estabilidade de um método descreve a sesibilidade do método relativamete à acumulação dos erros gerados durate o cálculo. Um método umérico diz-se istável se a acumulação de erros durate o cálculo pode ter grade ifluêcia a precisão dos resultados. Um método estável produz sempre bos resultados (com problemas bem codicioados). Estes apotametos foram feitos com base o º capítulo do livro Aálise Numérica da Profª. Drª. Mª Raquel Valeça, Uiversidade Aberta, bem como outros livros referidos a bibliografia do programa da disciplia. Págia 6 de 6 - Erros em Cálculo Numérico