2 Modelos de Programação Linear

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1 Modelos de Programação Liear Coteúdos do Capítulo Problemas de Programação Liear Resolução pelo método gráfico O Problema do Pitor Miimização Restrições Redudates Solução Múltipla, Ilimitada e Iviável Casos Caso Alumilâmias S.A. Caso Esportes Radicais S.A Problema da Fazeda Problema da Mistura Problema da Dieta Problema do Estoqu Aálise de sesibilidade

2 Programação Matemática Um problema de programação matemática é um problema de otimização o qual o objetivo e as restrições são epressos como fuções matemáticas e relações fucioais. Variáveis de Decisão Otimizar Sujeito a : : z = f g g g ( ( ( (,, :,,,...,,...,,...,,..., ) ) b ) b = : ) b,,...,, são as chamadas Variáveis de Decisão. As variáveis de decisão são aqueles valores que represetam o cere do problema, e que podemos escolher (decidir) livremete. As variáveis de decisão represetam as opções que um admiistrador têm para atigir um objetivo. Quato produzir para maimizar o lucro? Quato comprar de uma ação para miimizar o risco da carteira?

3 3 Programação Liear Um problema de programação matemática é liear se a fução objetivo e cada uma das fuções que represetam as restrições forem lieares, isto é, a forma abaio: f =... (,,..., ) c c c g (,,..., ) = a a... a i i i i Quebrado a Liearidade A preseça de qualquer das epressões abaio toram o problema ão liear. Eemplos: para ( ) ( ) a log a para qualquer base Eemplos a para qualquer valor de a ma s.r. 80, mi s.r. 80, = 600

4 Programação Liear Áreas de Aplicação Admiistração da Produção Aálise de Ivestimetos Alocação de Recursos Limitados Plaejameto Regioal Logística Custo de trasporte Localização de rede de distribuição Alocação de Recursos em Marketig etre diversos meios de comuicação. Problema a Forma Padrão Eistem características para um problema a forma padrão: A fução objetivo é de Maimizar; As restrições têm sial de meor ou igual; As costates de todas as restrições são ão egativas; As variáveis podem assumir valores ão egativos. Maimizar Sujeito a : Z = c c... c a a a a a a b b Não egativos a m, a, 3 m, a m b m

5 5 Propriedades Hipótese de Aditividade Cosidera as atividades (variáveis de decisão) do modelo como etidades totalmete idepedetes, ão permitido que haja iterdepedêcia etre as mesmas, isto é, ão permitido a eistêcia de termos cruzados, tato a fução-objetivo como as restrições. Esta é a própria hipótese de liearidade do PPL Hipótese de Proporcioalidade O valor da fução-objetivo é proporcioal ao ível de atividade de cada variável de decisão, isto é, o valor da fução objetivo se altera de um valor costate dada uma variação costate da variável de decisão; Hipótese de Divisibilidade Assume que todas as uidades de atividade possam ser divididas em qualquer ível fracioal, isto é, qualquer variável de decisão pode assumir qualquer valor positivo fracioário. Esta hipótese pode ser quebrada, dado origem a um problema especial de programação liear, chamado de problema combiatório. Hipótese de Certeza Assume que todos os parâmetros do modelo são costates cohecidas. Em problemas reais, isto é quase uca satisfeito, em geral, costates são estimadas. Requer uma aálise de sesibilidade, sobre o que falaremos posteriormete.

6 Termiologia Solução: No campo de Programação Liear é qualquer especificação de valores para as variáveis de decisão, ão importado se esta especificação se trata de uma escolha desejável ou permissível. 6 ma s.r. 80, z = = 3 ; = S = (3, ) = 3 ; = S = (3, ) Solução Viável: É uma solução em que todas as restrições são satisfeitas; Solução Iviável: É uma solução em que alguma das restrições ou as codições de ão-egatividade ão são atedidas; Eemplos de Solução Viável e Iviável = 3 ; = S = (3, ) solução viável: todas as restrições ão são violadas = 3 ; = S = (3, ) solução iviável: as restrições são violadas

7 7 Valor de Fução-Objetivo: o cojuto de possíveis soluções viáveis correspode a um cojuto de valores de fução-objetivo. ma s.r. 80, z = S = (,) Z = S = (,) Z = 3 S = (3,) Z = 5 Solução ótima é aquela, detre todas as soluções viáveis, que produz o melhor (meor ou maior) valor da fução objetivo. Algoritmos (ou métodos algorítmicos) que buscam, detre todas as soluções viáveis, por uma solução em especial podem ser chamados de algoritmos de busca. Observação (): Em Iteligêcia artificial, costumase estudar algoritmos de busca em espaço de estados. Eistem algoritmos de busca em largura, em profudidade e heurísticos. Muitas vezes uma solução aproimada (segudo critérios subjetivos de qualidade) satisfaz requisitos operacioais e pode ser obtida com esforço computacioal meor. Neste caso, algoritmos heurísticos, também cohecidos como algoritmos aproimativos, são uma opção bastate iteressate. O cojuto de soluções viáveis forma o que é chamado de espaço de busca de um determiado problema. O espaço de busca pode ser etedido como uma discretização do espaço real de soluções do problema. A maioria dos métodos de otimização trabalham sobre o espaço de busca e ão sobre o espaço real.

8 8 Solução gráfica Quado o problema evolve apeas duas variáveis de decisão, a solução ótima de um problema de programação liear pode ser ecotrada graficamete. Com poucas variáveis, métodos eatos ou eumerativos produzem soluções ótimas em tempo computacioal razoável Com muitas variáveis, métodos aproimativos são idicados. Eemplo() Ma Z = 5 s. r. 3 (a) (b) 9 (c) 0, 0 (d) = 9 =9 9 9 = RetaLimite 9 Região Limitada 0 (0,) (0,0) 0 (,) 3 (3,) (3,3) (3,0) Z = = 5 (0,) Z = 0 = 5 (,) Solução Viável (3,3)= Solução Ótima (0,0) (3,0) Z = 0 = 5

9 9 Eemplo() Ma 3 s. t. 6, 3 0 X 7 (0,6) (0,3) (0,0) 0 6 (6,0) (,0) X X Z = 0 = Z = 6 = 3 Z = 3,5 = X Eemplo(3) Ma 3 s.t , 0 Solução Ótima

10 0 Eemplo() Maimizar 8 st 3 8 5, 0 Solução Eemplo (5)

11 O Problema do Pitor Um Pitor faz quadros artesaais para veder uma feira que acotece todo dia à oite. Ele faz quadros grades e desehos pequeos, e os vede por R$5,00 e R$3,00, respectivamete. Ele só cosegue veder 3 quadros grades e quadros pequeos por oite. O quadro grade é feito em uma hora (grosseiro) e o pequeo é feito em hora e 8 miutos (detalhado). O desehista deseha 8 horas por dia ates de ir para a feira. Quatos quadros de cada tipo ele deve pitar para maimizar a sua receita? A Decisão do Pitor O que o desehista precisa decidir? O que ele pode fazer para aumetar ou dimiuir a sua receita? A decisão dele é como usar as 8 horas diárias: quatos desehos pequeos e grades ele deve fazer? Fução Objetivo: maimizar a receita

12 Eemplo (7):

13 3 Restrições redudates Uma restrição é dita redudate quado a sua eclusão do cojuto de restrições de um problema ão altera o cojuto de soluções viáveis deste. É uma restrição que ão participa da determiação do cojuto de soluções viáveis. Eiste um outro problema sem essa restrição com a mesma solução ótima. Eemplo (8): Restrições redudates 5 X X Restrição Redudate Eemplo (9): Soluções múltiplas X Soluções Múltipla X

14 Eemplo (0): Solução ilimitada X Cresce idefiidamete X Solução Iviável Um problema de programação liear é dito iviável quado o cojuto de soluções viáveis é vazio. Eemplo (): X Cojuto de Soluções Viáveis é vazio X

15 5 Caso Alumilâmias S.A. A idústria Alumilâmias S/A iiciou suas operações em jaeiro de 00 e já vem coquistado espaço o mercado de lamiados brasileiro, tedo cotratos fechados de forecimeto para todos os 3 tipos diferetes de lâmias de alumíio que fabrica: espessura fia, média ou grossa. Toda a produção da compahia é realizada em duas fábricas, uma localizada em São Paulo e a outra o Rio de Jaeiro. Segudo os cotratos fechados, a empresa precisa etregar 6 toeladas de lâmias fias, 6 toeladas de lâmias médias e 8 toeladas de lâmias grossas. Devido à qualidade dos produtos da Alumilâmias S/A, há uma demada etra para cada tipo de lâmia. A fábrica de São Paulo tem um custo de produção de R$ ,00 para uma capacidade produtiva de 8 toeladas de lâmias fias, toelada de lâmias médias e toeladas de lâmias grossas por dia. O custo de produção diário da fábrica do Rio de Jaeiro é de R$ ,00 para uma produção de toeladas de lâmias fias, toelada de lâmias médias e 7 toeladas de lâmias grossas. Quatos dias cada uma das fábricas deverá operar para ateder os pedidos ao meor custo possível? (resolva pela aálise gráfica deslocameto da fução objetivo). Variáveis de Decisão X Quatos dias de fucioameto da Fábrica de São Paulo X Quatos dias de fucioameto da Fábrica do Rio de Jaeiro

16 6 Fução-Objetivo Miimizar Custo de Produção (mil R$) = Restrições de Demada Placas Fias Placas Médias Placas Grossas Restrições de Não Negatividade

17 7 Caso Esportes Radicais S.A. A Esportes Radicais S/A produz pára-quedas e asa-deltas em duas lihas de motagem. A primeira liha de motagem tem 00 horas semaais dispoíveis para a fabricação dos produtos, e a seguda liha tem um limite de horas semaais. Cada um dos produtos requer 0 horas de processameto a liha, equato que a liha o pára-quedas requer 3 horas e a asadelta requer 7 horas. Sabedo que o mercado está disposto a comprar toda a produção da empresa, bem como que o lucro pela veda de cada pára-quedas é de R$ 60,00 e o lucro para cada asa-delta vedida é R$ 0,00, ecotre a programação de produção que maimize o lucro da Esportes Radicais S/A. (resolva pela aálise gráfica deslocameto da fução objetivo). Variáveis de Decisão X Quatidade de Pára- Quedas a serem produzidos X Quatidade de Asa Deltas a serem produzidos Fução-objetivo Ma 60 0

18 8 Solução Aalítica Problemas de Programação Liear

19 9 Solução Aalítica Solução viável iicial Decisão de otimalidade A solução ão é ótima, já que o icremeto de uma das variáveis ão básicas fará com que o valor da fuçãoobjetiva seja aumetado. Equato detre essas variáveis eistir alguma que tiver coeficiete positivo, isso sigifica dizer que a solução atual pode ser melhorada.

20 0 Solução Aalítica Obteha uma solução viável melhor baseado em algum critério a) Eumerativo: ispecioar todas as soluções viáveis; b) Heurístico: verificar uma que teha grade chace de ser melhor baseado-se em algum cohecimeto acerca do problema. Caso simple: i. Determiação da variável que etra a base ii. Determiação da variável que sai da base Etra a base (passa a fazer parte da solução): a) Variável com maior coeficiete a fução objetivo b)? Sai da base (deia de fazer parte da solução): c) Variável que impõe maior restrição ao crescimeto da variável escolhida para etrar a base

21 Solução Aalítica É desejável que a variável que etre a base cresça o máimo possível. Para tato, a variável que sai terá que decrescer o máimo possível, isto é, se torar zero.

22 Eemplo

23 3

24 Problemas de Forma Não-Padrão Problemas de programação liear podem apresetar outras formas, tais como, igualdades e formas maior ou igual e/ou costates ão positivas as restrições, ou aida problemas de miimização. Estas formas de modelo apresetam problemas de se ecotrar a solução básica iicial. Por ão eistir esta solução básica iicial Por ão ser óbvia a solução iicial Problemas de Iicialização Miimização pode ser trasformada em uma maimização: mi Z = ma - Z No caso de alguma restrição, ser represetada por uma igualdade, ou por uma iequação do tipo maior ou igual, ao ivés de uma restrição de meor ou igual, quatro soluções possíveis podem ocorrer:. Substituição da restrição de igualdade por duas desigualdades.. Processo do M Grade 3. Método da Fução Objetivo Artificial. Método das Duas Fases