1 FUNDAMENTOS 1.1 PLANO COORDENADO

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1 . PLANO COORDENADO UFPEL - Universidde Federl de Pelots IFM Instituto de Físic e Mtemátic DME Deprtmento de Mtemátic e Esttístic MAT5 Álgebr Liner e Geometri Anlític Prof. Rejne Pergher Semestre 8/ FUNDAMENTOS Assim como os números reis são utilidos como coordends pr pontos de um ret, pres de números reis podem ser utilidos como coordends pr pontos de um plno. Com este propósito se estbelece um sistem de coordends retngulres no plno chmdo de plno coordendo. Desenhmos dus rets perpendiculres no plno, um horiontl e outr verticl. Ests rets são chmds de eio (bsciss) e eio (ordend), respectivmente, e seu ponto de intersecção chm-se origem. As coordends são ssinlds com origem como ponto ero em mbos os eios e mesm distânci unitári em mbos os eios. O semi-eio positivo dos está à direit d origem, semi-eio negtivo dos está à esquerd; o semi-eio positivo dos está cim d origem e o semi-eio negtivo dos está bio P(,) 5 Consideremos um ponto P qulquer do plno. Desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que curv cort o eio dos. Anlogmente, desenhmos um ret por P prlel o eio dos, e sej coordend do ponto em que ess ret cort o eio dos. Os números e ssim determindos chmm-se coordend (bsciss do ponto P) e coordend (ordend do ponto P). As coordends de P são escrits como um pr ordendo (, ). -5 Historicmente, coube Glileu Glilei (56-6) o mérito de ter sido o primeiro demonstrr importânci dos sistems de referênci n formulção ds leis que regem descrição dos fenômenos físicos (por eemplo, movimentos uniformes e movimentos reltivos), estbelecendo desse modo, um relção mensurável entre leis e grndes físics. O mundo não se present com um sistem de coordends fio ele, ms podemos loclir um sistem físico em um sistem de coordends imginário como sendo um grde rtificilmente sobrepost de modo que você se loclie em um problem, fim de relir medições quntittivs. Os eios crtesinos são usdos pr loclir e medir lgums grndes como: posição, celerção, velociddes ou cmpos grvitcionis. Podemos usr diferentes sistems de coordends pr resolução de problems, ms gerlmente é utilid representção gráfic envolvendo coordends crtesins, que se trt de um sistem de coordends com eios mutumente perpendiculres. Em dus dimensões usmos os sistems de coordends e, em três dimensões, o. A loclição dos eios não é inteirmente

2 rbitrári. Por convenção, o semi-eio positivo de está posiciondo 9º em sentido nti-horário do o semi-eio positivo de, conforme figur bio. Eemplo : Loclie os pontos A(,), B(,), C(-, ) e D(-, -) no plno coordendo.. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS A distânci d entre dois pontos P (, ) e P (, ) no plno é dd por: d. Eemplo : Determine distânci entre os pontos (-,) e (,-). Respost: d=. Eemplo : Determine s coordends do ponto equidistnte dos pontos A(5,), B(-,) e C(-,). Respost: D(,).. PONTO MÉDIO Muits vees é útil conhecer s coordends do ponto médio do segmento que une dois pontos distintos ddos. Se os pontos ddos são P (, ) e P (, ), e se P (, ) é o ponto médio, então s coordends de P serão dds por: Eemplo : Os pontos (, -) e (-6, 5) são s etremiddes do diâmetro de um círculo. Ache o centro e rio do círculo. Respost: C(-,/) e..

3 List de Eercícios - Geometri Anlític - Plno Crtesino. Clcule o perímetro do triângulo de vértices A (,7), B(-,-8) e C (8,-5).. Determine um ponto no eio ds ordends equidistnte os pontos A(-,) e B(,-).. Determine um ponto no eio ds bscisss equidistnte os pontos A(-,) e B(,).. Encontre tl que distânci os pontos C(5,) e D(5, ) sej O ponto M tem coordends iguis e fic distnte 5 uniddes do ponto E(,). Determine s coordends de M. 6. Considere o triângulo ABC sendo A(-/, 6), B(7/, -) e C(-,-). ) Determine s coordends dos pontos médios dos ldos AB e BC. b) Clcule distânci entre os pontos A e B. 7. Encontre tl que distânci entre (,) e (, -) sej Mostre que os pontos A(, -), B(,) e C(-,) são vértices de triângulo isósceles. 9. Ache o ponto equidistnte dos pontos P(,7), Q(8,6) e R(7,-).. Um circunferênci com centro em C(-,), tem etremidde de um diâmetro em B(,6). Determine s coordends d outr etremidde.. Mostre que os pontos A(7,5), B(,) e C(6,-7) são vértices de um triângulo retângulo. Resposts List : ) ) P(,-) ) P(,) ) =9 ou =-7 5) M(6,6) ou M(-,-) 6) ) (,5/) e (/,-) b) 7 7) =5 ou =- 9) (,) ) (-,-).. SEGMENTO DE RETA ORIENTADO VETORES Um segmento de ret orientdo AB é determindo por um pr ordendo de pontos AB, onde A é chmdo de origem e B de etremidde. Geometricmente é representdo por um ret que crcteri visulmente o sentido do segmento. A B

4 Módulo ou Norm de um vetor Módulo, norm ou comprimento é o número rel não negtivo que é medid do segmento. Direção e Sentido Dois segmentos orientdos não nulos AB e CD têm mesm direção se s rets suportes desses segmentos são prlels ou coincidentes. Só se pode comprr os sentidos de dois segmentos orientdos se eles têm mesm direção. Dois segmentos de sentidos orientdos opostos têm sentidos contrários.. SEGMENTOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientdos AB e CD que tenhm mesm direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo são chmdos de equipolentes. Representção: AB ~ CD.. VETOR Vetor é coleção de todos os segmentos orientdos equipolentes um ddo segmento orientdo AB. Representção: v AB ou v B A. O vetor é crcterido por seu módulo, por su direção e sentido. O módulo de v é indicdo por v ou ind v. Vetores Iguis Dois vetores AB e CD são iguis se e somente se AB ~ CD.

5 Vetor Nulo Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinm um único vetor, chmdo vetor nulo ou vetor ero, que é indicdo por. Vetores Opostos Vetor Unitário O vetor BA é oposto o vetor v AB e é indicdo por AB ou por v. Um vetor v é unitário se v =. Versor Versor de um vetor não nulo v é o vetor unitário de mesm direção e sentido de v. Vetores Colineres Dois vetores u e v são colineres se tiverem mesm direção. Isto é, u e v são colineres se tiverem representntes AB e CD pertencentes um mesm ret ou rets prlels. Vetores Coplnres Os vetores não nulos u, v e w são ditos coplnres se possuem representntes AB, CD e EF pertencentes um mesmo plno. 5

6 Observção: Dois vetores quisquer u e v são sempre coplnres, pois sempre podemos tomr um ponto no espço e, com origem nele, imginr dois representntes de u e v pertencendo um plno que pss por este ponto. Três vetores poderão ou não ser coplnres.. OPERAÇÕES COM VETORES.. Adição Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e BC. Os pontos A e C determinm um vetor s que é, por definição, som dos vetores u e v, isto é, s =u + v. B v u s C A No cso de u e v não serem vetores prlelos, há outr mneir de encontrrmos o vetor s. Represent-se u AB e v AD por segmentos orientdos com origem em A. Complet-se o prlelogrmo ABCD e o segmento orientdo de origem A, que corresponde à digonl do prlelogrmo é o vetor s =u + v. A u v D d s C B Proprieddes d Adição I) Comuttiv: u + v = v + u II) Associtiv: ( u + v )+ w = u + ( v + w ) III) Elemento Neutro: v + = + v = v IV) Elemento Oposto: v +( v )= v v =.. Diferenç Ddos os vetores u e v representdos pelos segmentos AB e AC, respectivmente, e construído o prlelogrmo ABCD, verific-se que som s = u + v é representd pelo segmento orientdo AC (um ds digonis) e que diferenç d =u v é representd pelo segmento DB ( outr digonl). 6

7 .. Multiplicção de um vetor por um número rel vetor v o vetor Ddo um vetor v e um número rel k, chm-se produto do número rel k pelo p kv tl que: ) módulo: p kv k v b) direção: mesm de v c) sentido: o mesmo de v se k >, e o contrário se k <. Observções: ) Se k = ou v =, o produto é o vetor nulo. b) Sej um vetor k v, com v. Se fiermos com que o número rel k percorr o conjunto dos números reis, obteremos todos os infinitos vetores colineres v, e portnto, colineres entre si, isto é, qulquer um deles é sempre múltiplo esclr do outro. Reciprocmente, ddos dois vetores colineres u e v, sempre eiste kir tl que u kv. v u ou v c) O versor de um vetor v é o vetor unitário u v u v v Proprieddes d Multiplicção de um vetor por um número rel I) Associtiv: bv bv II) Distributiv em relção à dição de esclres: bv v bv III) Distributiv em relção à dição de vetores: u v u v IV) Identidde: v v.5 ÂNGULO ENTRE VETORES O ângulo entre dois vetores não nulos u e v é o ângulo formdo pels semi-rets prlels os vetores tl que. 7

8 Observções: ) Se =, u e v têm mesm direção e sentidos contrários. b) Se =, u e v têm mesm direção e o mesmo sentido. c) Se =, u e v são ortogonis, isto é, u v. Neste cso, u v u v. d) O vetor nulo é considerdo ortogonl qulquer vetor. Eemplo : Sbendo que o ângulo entre u e v é de 6º, determine o ângulo formdo pelos vetores: ) u e v b) u e v c) u e v d) u e v Respost: () e (b) º; (c) e (d) 6º. Eercícios:. Encontre som dos vetores indicdos n figur.. Ddos os vetores u e v d figur o ldo, represente grficmente os vetores: ) u v b) u + v v c) u v d) u - v u 8

9 List de Eercícios - Vetores I - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. VETORES NO ESPAÇO E NO PLANO. VETORES NO PLANO Consideremos dois vetores v e v não prlelos, representdos com origem no mesmo ponto O, sendo r e r s rets contendo estes representntes: Os vetores u,v, w,t, e em função de v e v são epressos por: Ddos dois vetores quisquer v e v não prlelos, pr cd vetor v representdo no mesmo plno de v e v, eiste um só dupl de números reis e tis que v v v. Qundo um vetor v é epresso como v v v, di-se que v é um combinção liner de v e v. O conjunto B={ v, v } é chmdo de bse no plno. Qulquer conjunto de dois vetores não prlelos constitui um bse no plno. Os números e são chmdos componentes ou coordends de v n bse B. Um bse { e, e } é dit ortonorml se os seus vetores forem ortogonis e unitários, ou sej, e e =. 9 e e e

10 As bses mis utilids são s bses ortonormis. Um bse importnte é bse que determin o sistem crtesino ortogonl. Os vetores ortogonis e unitários, neste cso, são simbolidos por i e j, mbos com origem em O e etremiddes em (, ) e (, ), respectivmente, sendo bse C={ i, j } chmd de cnônic. Epressão Anlític de um Vetor Ddo um vetor v qulquer do plno, eiste um só dupl de números e tis que v i j. Os números e são s componentes de v n bse cnônic. A primeir componente é bsciss de v e segund componente é ordend de v. O vetor v tmbém pode ser representdo por v, chmdo de epressão nlític de v.. O pr ordendo (, ) tmbém é Eemplo : Epresse os vetores bio em form de pr ordendo: ) v i j b) v i j c) v 6i Resposts: ) (,-) b) (,-) c) (-6,). Observção: A cd ponto P (, ) do plno corresponde um vetor v OP i j. Isto é, s coordends do ponto P são s própris componentes do vetor OP n bse cnônic. Iguldde de Vetores Dois vetores u, e, v são iguis se e somente se e. Escreve-se u v. Eemplo : Determine os vlores de e pr os quis os vetores u, e v, 6 sejm iguis. Respost: = 7 e = -.

11 Operções com Vetores Sejm os vetores u,,, ) u v, b) u, v e um número IR. Definimos: Eemplo : Ddos os vetores v,5 e w,, clcule os vetores: ) v b) w v c) w v Resposts: ) (-,5/) ; b) (5,-) ; c) (,). Eemplo : Ddos os vetores u,5 e v, u v. Respost: (/,-)., determine o vetor n iguldde Eemplo 5: Encontre os vlores de e tis que v v v v, 5. Respost: =6/7 e =-/7. sendo v 6,, v e, Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A, e etremidde em B, vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB,.. Então o

12 Observção: Um vetor tem infinitos representntes que são segmentos orientdos de mesmo comprimento, mesm direção e mesmo sentido. O melhor representnte do vetor AB é quele que tem origem em O (, ) e etremidde em P,. Este vetor é chmdo de representnte nturl de AB. Eemplo 6: Ddos os pontos A (-, ), B (, -) e C (-,), determine D(,) tl que Respost: D (,5/). CD AB. Prlelismo de Dois Vetores v são prlelos qundo sus componentes são proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v. Ou sej,. Dois vetores u, e, Eemplo 7: Verifique se os vetores s, e, 6 Respost: São prlelos. t são prlelos. Módulo de um Vetor Sej v,, então pelo teorem de Pitágors: v. Eemplo 8: Determine o módulo do vetor v (-,). Respost:.

13 Vetor unitário ou Versor de um Vetor O vetor unitário de um vetor v, é ddo pel epressão v v Eemplo 9: Determine o versor do vetor v,. Respost:. Eercícios:. Encontre o representnte nturl do vetor ddo n figur bio. Isto é, encontre o representnte do vetor que tem origem em (,).. Ddos os vetores u, e w, b) v u w ) v u w. Encontre e b tis que v u bw. Encontre o módulo do vetor v i j., determine: onde u,, w, e, v. 5. Ddos, u e v,, determine u v u v. 6. Encontre o vetor v como norm v e que tenh mesm direção e sentido do vetor u,. Resposts: ) v = (,) ) ) (,-5) ; b) (7/,-/) ) = b = ) 5) 6)

14 . VETORES NO ESPAÇO No espço, bse cnônic C={ i, j, k } irá determinr o plno, onde os três vetores são unitários, ortogonis dois dois e representdos com origem no ponto O. Este ponto e direção de cd um dos vetores d bse determinm os três eios crtesinos: eio (ds bscisss) que corresponde o vetor i, o eio ( ds ordends) que corresponde o vetor j e o eio (ds cots) que corresponde o vetor k. Cd dupl de vetores d bse e, consequentemente, cd dupl de eios, determin um plno coordendo. Portnto, temos três plnos coordendos o plno, o plno e o plno. A cd ponto P (,, ) de espço corresponderá o vetor coordends, e do ponto P são s componentes do vetor OP n bse cnônic. OP i j k, isto é, s Epressão Anlític de um Vetor no Espço A epressão nlític do vetor v i j k é v,,. Eemplo : Escrev epressão nlític dos seguintes vetores. ) v i j k b) u j i c) w i k d) t i e) v j f) s k Resposts: ) (,,-) b) (-,,) c) (,,-) d) (,,) e) (,,) f) (,,). Iguldde de Vetores Dois vetores u,, e,,. Escreve-se u v. v são iguis se e somente se, e

15 Operções com Vetores Sejm os vetores u,, e,, ) u v,, b) u,, v e um número IR. Definimos: Vetor Definido por Dois Pontos Considere o vetor AB de origem no ponto A,, e etremidde em,, Então o vetor AB em termos ds coordends dos pontos A e B são AB,, B.. Prlelismo de Dois Vetores v são prlelos qundo sus componentes são proporcionis, isto é, se eiste um número rel tl que u v. Ou sej,. Dois vetores u,, e,, Módulo de um Vetor O módulo do vetor,, v é ddo por: v. O vetor unitário é v. v Eemplo : Ddos os pontos A(,,-) e B(,,-) e os vetores u,,,,, w,,, verifique se eistem números, e tis que AB u v =; =; =-. w v e. Respost: Observção: No plno, todo conjunto { v, v } de dois vetores não prlelos constitui um de sus bses, isto é, todo vetor desse plno é combinção liner de v e v. No espço, todo conjunto de três vetores não coplnres constitui um de sus bses, isto é, todo vetor do espço pode ser escrito de modo único como combinção liner dos vetores dest bse. Eemplo : Sej o triângulo de vértices A(,-,-), B(, 5, -6) e C(, -, -). Clcule o comprimento d medin do triângulo reltiv o ldo AB. Respost:. Eemplo : Apresente o vetor genérico que stisf à condição: 5

16 ) prlelo o eio ; b) representdo no eio ; c) prlelo o plno ; d) prlelo o plno ; e) ortogonl o eio ; f) ortogonl o eio ; g) ortogonl o plno ; h) ortogonl o plno. Resposts: ) (,,) b) (,,) c) (,,) d)(,,) e) (,,) f) (,,) g) (,,) h) (,,). Eercícios:. Ddos os pontos A(,-,), B(,, 5) e o vetor v = (,, -), clcule: ) (A-B)- v b) v +(B-A). Ddos os pontos A(,-,-) e B(-,, ), determine o ponto N pertencente o segmento AB tl que AN AB. 5. Sbendo que u - v = w, determine, b e c sendo u =(, -, c), v =(, b-, ), w =(, -, ).. Quis dos seguintes vetores u =(, -6, ), v =(-6, 9, -), w =(, -, 9) e t =(, -5,5) são prlelos? 5. A ret que pss pelos pontos A(-,5,) e B(,, ) é prlel à ret determind por C(,-,) e D(, m, n). Determine o ponto D. 6. Ddo o vetor v =(, -, -), determine o vetor prlelo v que tenh: ) sentido contrário de v e três vees o módulo de v ; b) o mesmo sentido de v e módulo ; c) sentido contrário de v e módulo 5. Resposts: ) ) (,-6,) b) (-,5,-) ) (,-,-6/5) ) =-/ ; b=7/ ; c= ) é prlelo, que é prlelo. 5) D(,,) 6) ) -v b) c) 6

17 List de Eercícios - Vetores - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books.. DEFINIÇÃO ddo por: PRODUTO ESCALAR O produto esclr de dois vetores u,, e,, u v. v é um número rel e é representdo por O produto esclr de u por v é tmbém chmdo de produto interno e pode ser u, v e se lê u esclr v. Eemplo : Ddos os vetores u,, e,, v, clcule u v. Respost: -. Eemplo : Ddos os vetores u, 5, 8 e v,, ) u v u v b) u u Resposts: ) 89 b) 98., clcule:. PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR Pr quisquer vetores u, v e w e o número : ) u v v u ) u v w u v u w; u v w u w v w ) u v u v u v ) u u se u. Se u u então u =. 5) 6) u u u Eemplo : Sendo u, v e v u, determine u v u v. Respost:. 7

18 . DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA DO PRODUTO ESCALAR Se u e v são vetores não-nulos e é o ângulo entre eles então. Pois, u v u v cos u v u v u u v u v cos u v v pel Lei dos Cossenos e pel propriedde 6, respectivmente. Igulndo s equções cim, obtemos definição cim. Eemplo : Sendo u e v e 6º o ângulo entre u e v, clcule: ) u v b) u v c) u v Resposts: ) / b) c). Observção: ) N epressão u v u v cos, o sinl de u v será o mesmo sinl de cos, logo: ) se u v >, então cos() > logo, º<<9º; b) se u v <, então cos() < logo, 9º<<8º; c) se u v =, então cos() = logo, = 9º. Assim, podemos estbelecer que: Dois vetores são ortogonis se, e somente se, u v. ) O vetor nulo é ortogonl todo vetor, isto é, v pr todo vetor v. Eemplo 5: Verifique se os vetores u,, e, 5, ortogonis. v são ortogonis. Respost: São 8

19 Eemplo 6: Determine um vetor ortogonl não-nulo os vetores u,, e v,, (,,-).. Respost:. DETERMINAÇÃO DO ÂNGULO FORMADO ENTRE DOIS VETORES Vimos que u v u v cos, logo, u v cos. u v Eemplo 7: Determine o ângulo formdo entre os vetores u,, e v,,. Respost: 5... Ângulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor Eemplo 8: Clcule os ângulos diretores e cossenos diretores de. Respost: 5, 5 e 9..5 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE OUTRO Sejm os vetores u e v não-nulos e o ângulo entre eles. Pretendemos decompor um dos vetores, tl que v v v sendo que v // u e que v u. 9

20 Demonstrção: v v v u v v u v u v u u v u u u v u u u O vetor v é chmdo de projeção ortogonl de v em u e é representdo por: v v u proj v u u u u. Eemplo 9: Determine o vetor projeção de v,, sobre u,,. Respost: (-/,/,). Eercícios:. Ddos os vetores u,, e,, vlor de tl que v BA 5 u. v e os pontos A(, -, ) e B(,,-), determine o. Mostre que o triângulo de vértices A(,, ) e B(,, -) e C(,, -) é um triângulo retângulo.. Sbendo que o vetor,, v form um ângulo de 6º com o vetor AB determindo pelos pontos A(,, -) e B(,, m), clcule o vlor de m.. Obtenh o vetor v, sbendo que v, v é ortogonl o eio O, form um ângulo de 6º com o vetor i e um ângulo obtuso com o vetor j. 5. Encontre os vetores unitários prlelos o plno e que são ortogonis o vetor,, 6. Sej o vetor v,, ) um vetor ortogonl v ;, determine: b) um vetor unitário ortogonl v ; c) um vetor de módulo ortogonl v. Resposts: ) =7/ ) ) ) (,,) v.

21 5) 6) List de Eercícios - Produto Esclr - Resolv os eercícios pres d list de eercícios, págin 66 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 5 PRODUTO VETORIAL 5. DEFINIÇÃO O produto vetoril de dois vetores u,, e v,, é um vetor e é ddo por: i j k u v u v., tomdos nest ordem, v. O produto vetoril de u por v pode ser representdo por u v ou u v e se lê u vetoril Eemplo : Clcule u v se 5,, u e,, v. Respost: (-,,). Observções:. v u u v, isto é, os vetores u v e v u comuttivo. são opostos. Logo, o produto vetoril não é. u v se, e somente se, u // v. Dois csos prticulres: ) u u (determinnte com dus linhs iguis). b) u (determinnte com um linh de eros). Eemplo : Clcule os seguintes produtos vetoriis: ) u u b) u 5u c) u v v u d) u v v u e) u v u 8v f) 5u

22 Respost: Todos nulos. 5. CARACTERÍSTICAS DO VETOR u v Consideremos os vetores u,, e,, Direção de u v O vetor v. u v é simultnemente ortogonl u e v. Eemplo : Mostre que u v é ortogonl u e v. Eemplo : Sejm os vetores u = (, -, -) e v = (,, -). Determine o vetor que sej: ) ortogonl u e v ; b) ortogonl u e v e unitário; c) ortogonl u e v e que tenh módulo ; d) ortogonl u e v e tenh cot igul 7. Resposts: ) (,-,5) b) (/,-/,/) c) (8/,-8/,/) d) (,-,7). Sentido de u v O sentido de u v poderá ser determindo utilindo-se regr d mão direit. Sendo o ângulo entre u e v, suponhmos que u (º vetor) sofr um rotção de ângulo té coincidir com v. Se os dedos d mão direit forem dobrdos n mesm direção d rotção, então o polegr estendido indicrá o sentido do vetor u v. A figur (b) mostr que o produto vetoril mud de sentido qundo ordem dos vetores é invertid. Só será possível dobrr os dedos n direção de v pr u se invertermos posição d mão, qundo o dedo polegr estrá pontndo pr bio.

23 Observção: O produto vetoril dos vetores i, j e k é ddo n tbel bio: i j k i k - j j - k i k j - i Comprimento de u v Se é o ângulo entre os vetores u e v não-nulos, então: u v u v sen. D identidde de Lgrnge: u v u v u v u v u v cos u v cos u v sen Interpretção Geométric do Módulo do Produto Vetoril No prlelogrmo determindo pelos vetores não nulos u e v, medid d bse é u e d ltur v sen, então áre deste prlelogrmo é: A = (bse) (ltur)= u v sen, ou sej, A= u v. Dest form, podemos dier que: áre do prlelogrmo determindo pelos vetores u e v é numericmente igul o módulo do vetor u v. Eemplo 5: Sej o triângulo equilátero ABC de ldo. Clcule AB AC. Respost: 5 u.. Eemplo 6: Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(, -, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ;

24 b) ltur do prlelogrmo reltiv à bse definid pelo vetor u. Resposts: ) 6 u.. b) u.c. Proprieddes I) O produto vetoril não é comuttivo, pois, u v v u. II) O produto vetoril não é ssocitivo, pois, u v w u v w III) Pr quisquer vetores u, v e w e o esclr : ) u v w u v u b) u v w u w v w c) u v u v u v d) u v w u v w. Eemplo 7: Determine o vetor, tl que sej ortogonl o eio e -) e v = (, -, ). Respost: (,,). u v, sendo u = (,, Eemplo 8: Determine distânci do ponto P (5,, ) à ret r que pss pelos pontos A (,, ) e B (, -,). Respost: 9 u.c. Eemplo 9: Ddos os pontos A (,, ), B (, -, ) e C (,, -), determine: ) áre do triângulo ABC b) ltur do triângulo reltiv o vértice C. 5 5 Resposts: ) u.. b) u.c. Eercícios:. Se u = (, -, ), v =(,, -) e w =(-,, ), determine: ) u u c) u v w w e) u v w b) v v d) u v v u f) u v w. Efetue: ) i k c) i k e) i jk

25 b) j i d) i j f) i j j. Determine um vetor simultnemente ortogonl os vetores u v e v u, sendo u = (-,, ) e v =(, -, -).. Sendo u, v e 5 o ângulo entre u e v, clcule: ) u v b) u v 5 5. Ddos os vetores u = (, -, ) e v =(-,, ), clcule: ) áre do prlelogrmo determindo por u e v ; b) ltur do triângulo reltiv à bse definid pelo vetor v. Resposts: ) ) b) c) (-7,7,) d) (,,) e) (7,-7,7) f) ) ) j b) k c) 6 j d) e) f) ) (-, -8, 9) ) ) 6 b) 8/5 5) ) u.. b) u.c. List de Eercícios 5 - Produto Vetoril - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 5, págin 86 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 6. DEFINIÇÃO 6 PRODUTO MISTO O produto misto dos vetores u,,, v,, e,, nest ordem, é o número rel u v w e é ddo por: u v w. w tomdos O produto misto de u, v e w pode ser indicdo por u,v,w. Eemplo : Clcule o produto misto dos vetores u,, 5, v,, e,-, Respost: 7. w. 5

26 6. PROPRIEDADES DO PRODUTO MISTO. O produto misto,v,w u mud de sinl o trocrmos posição de dois vetores. Se forem dus permutções, não há lterção de vlor do produto misto. u v w u v w w u v w,u,v u,v,w. u,v,w u,v,w,v,w u,v,w u,v,w u,,w u,v,w u,v,w u,v,. u,v,w u, v,w u,v, w u,v,w.,v,w u se e somente se, os três vetores forem coplnres. Csos prticulres: ) Se pelo menos um dos vetores é nulo,,v,w b) Se dois vetores forem prlelos:,v,w u. u. Eemplo : Verifique se os vetores u,-,, v,, - e,-, Respost: Não. w são coplnres. Eemplo : Qul deve ser o vlor de m pr que os vetores u, m,,,, w,, - sejm coplnres? Respost: -. v e 6. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO MISTO Volume do Prlelepípedo Geometricmente, o produto misto u v w é igul, em módulo, o volume do prlelepípedo de rests determinds pelos vetores não coplnres u, v e w. Portnto, V = A.h = u,v,w. 6

27 Eemplo : Sejm os vetores u, m,-, v,, e w,,. Clcule o vlor de m pr que o volume do prlelepípedo determindo por estes vetores sej 6 u.v. Respost: m = - ou m =. Volume do Tetredro Sejm A, B, C e D pontos não-coplnres. Portnto, os vetores AB, AC e AD tmbém não são coplnres. Em consequênci, esses vetores determinm um prlelepípedo cujo volume é: V= AB,AC,AD. Este prlelepípedo pode ser dividido em dois prisms tringulres de mesmo tmnho e, portnto, o volume de cd prism tringulr V p é metde do volume V do prlelepípedo. O prism, por su ve, pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume. Assim, o volume do tetredro V t é um terço do volume do prism, isto é, V t = 6 AB,AC,AD. Eemplo 5: Sejm A(,, -), B(5,, ), C(, -, ) e D(6,, -) vértices de um tetredro. Clcule: ) o volume do tetredro; b) ltur do tetredro reltiv o vértice D. 8 Resposts: ) 6 u.v.; b) u.c. 5 Eercícios:. Ddos os vetores u,-,, v,, e w,,-, clcule: 7

28 ) u,v,w b) w,u,v. Sbendo que u,v,w=-5, clcule: ) w,v,u b) v,u,w c) w,u,v d) v w u. Verifique se os vetores são coplnres: u,-,, v,, e w,,-.. Um prlelepípedo é formdo pelos vetores u,-,, v,, e w,,5 ) o seu volume; b) ltur reltiv à bse definid pelos vetores u e v.. Clcule: 5. Os pontos A(,, ), B(,, ), C(,, ) e P(, -, 9) formm um tetredro de bse ABC e vértice P, clcule: ) o volume deste tetredro; b) ltur reltiv o vértice P. Resposts: ) ) -9 b) -9. ) ) 5 b) 5 c) -5 d) -5. ) Não são coplnres. 7 ) ) 7 b). 5) ) b) 9. List de Eercícios 6 - Produto Misto - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 6, págin 99 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 7 EQUAÇÕES DA RETA 7. EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA Consideremos um ponto A(,, ) e um vetor não-nulo v,b,c. Só eiste um ret que pss por A e tem direção de v. Um ponto P(,, ) pertence r, se e somente se, o vetor AP é prlelo v, isto é, AP tv pr lgum rel t. De AP tv, temos que P A tv ou P A tv, ou ind, em coordends,,,,, t,b,c. Qulquer um ds equções cim pode ser chmd de equção vetoril d ret r. 8

29 O vetor v é chmdo vetor diretor d ret r e t é denomindo prâmetro. Eemplo : Determine equção vetoril d ret r que pss por A(,, ) e tem direção de v,,. Respost: (,,)=(,-,)+t(,,). 7. EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA D equção vetoril d ret,,,, t,b,c Ests são s equções prmétrics d ret., obtém-se: t bt ct Eemplo : Determine s equções prmétrics d ret que pss pelo ponto A (, -, ) e é t prlel o vetor v,,. Respost: t. t Eemplo : Ddo o ponto A (,, ) e o vetor v,,, determine: ) As equções prmétrics d ret r que pss por A e tem direção de v. b) Os dois pontos B e C de r de prâmetros t= e t=, respectivmente. c) O ponto de r cuj bsciss é. d) Se os pontos D (,, ) e E (5,, ) pertencem r. e) Pr quis vlores de m e n o ponto F (m, 5, n) pertence r. t Resposts: ) t t b) (,,-) e (6,-5,8) c) (,-,) d) D pertence r e E não pertence r e) m= e n= Ret definid por dois pontos A ret definid pelos pontos A e B é ret que pss por A (ou B) e tem direção do vetor v AB é dd por P A tb A ou P B tb A. Eemplo : Escrev s equções prmétrics d ret r que pss por A (,, ) e B (,, ). 9

30 Respost: t t. 6t 7. EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA t Ds equções prmétrics bt supondo, b, c, vem: ct t, t, t. b c Como pr cd ponto d ret corresponde um só vlor pr t, obtemos: t b c. Ests equções são denominds equções simétrics d ret que pss pelo ponto A (,, ) e tem direção do vetor v,b,c. Eemplo 5: Escrev s equções simétrics d ret s que pss pelo ponto A (,, 5) e tem 5 direção do vetor v = (,, ). Respost: t. 7. EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA A equção m b que é conhecid como equção reduid d ret. O vlor b é chmdo de coeficiente liner e m é chmdo coeficiente ngulr d ret. Eemplo 6: A prtir ds equções simétrics d ret s do eemplo 5, obtenh sus equções reduids. Respost: = - e = (--7)/. Eemplo 7: Determine equção reduid d ret r bio n vriável. r :. Respost: = -8 e = -+.

31 7.5 ÂNGULO ENTRE RETAS Sejm r e s dus rets com direções v e v. O ângulo entre s rets r e s é o menor ângulo entre os vetores diretores de r e de s. Assim, v v cos, com 9º. v v Eemplo 8: Clcule o ângulo entre s rets s: t t t e u:. Respost: 6 grus. Eemplo 9: Verifique se s rets s e u são concorrentes e, em cso firmtivo, determine seu ponto de intersecção: h 5 t s: h u: t. h t Respost: I (,-,). Eercícios:. Determine um equção vetoril d ret r definid pelos pontos A(,, ) e B(,, ). Verifique se o ponto C=(,, ) pertence r.. Dd ret r: t t, determine o ponto de r tl que: t ) ordend sej 6; b) bsciss sej igul à ordend; c) cot sej o quádruplo d bsciss.. Determine s equções prmétrics d ret que pss pelos pontos A(,, ) e B(,, ).. Determine s equções prmétrics ds rets que pssm por ) A(,,) e é prlel o eio dos ; b) A(,, ) e é perpendiculr o plno ; c) A(,, ) e é ortogonl o mesmo tempo os eios e.

32 5. Determine o ângulo entre s rets r: t t t e s: Sbendo que s rets r e s são ortogonis, determine o vlor de m: r: t t mt s:. 7. Encontre s equções prmétrics d ret que pss por A(,, ) e é simultnemente ortogonl às rets s: e u:. 8. Verifique se s rets r e s são concorrentes, em cso firmtivo, encontre seu ponto de intersecção: r: 5 s: 7. Resposts: ) (,,) = (,-,) + t(-,,-). C não pertence ret r. ) ) (-,6,-); b) (5/,5/,-); c) (-, 9,-6). ) t t t. ) ) t ; b) t ; c) t 5) 6 6) m = -7/ 7) t t 8) I (,,). List de Eercícios 7 Ret - Resolv os eercícios pres d list de eercícios 7, págin 8 do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books.

33 8 O PLANO 8. EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Consideremos um plno e um ret n (, b, c), n, onde n é ortogonl o plno. Sej A,, ) um ponto de. Observemos figur: ( Um ponto P (,, ) está sobre o plno se, e somente se, o vetor AP é ortogonl n, ou sej, P A n. Notemos que AP P A,, ) e n (, b, c), logo: P A ( n (, b, c) (,, ) ) b( ) c ( ) ( b b c c Escrevendo d b c, obtemos: b c d, que é equção gerl do plno. Eemplo : Obtenh um equção gerl do plno que psse pelo ponto A (,,) e tenh n (,, ) como um vetor norml. Respost: =. Csos Prticulres Se um ou mis coeficientes n equção gerl do plno for nulo, frá com que o plno ocupe um posicionmento prticulr em relção os eios coordendos. N equção b c d, se: º cso: Se d b c, com,b,c, o plno contém origem. º cso: ) Se b c d, com b,c,d, o plno é prlelo o eio. b) Se b c d, com,c,d, o plno é prlelo o eio. c) Se c b d, com,b,d, o plno é prlelo o eio.

34 º cso: ) Se d b c, com b,c, o plno conterá o eio. b) Se b d c, com, c, o plno conterá o eio. c) Se c d b, com,b, o plno conterá o eio. º cso: ) Se b c d, com c,d, o plno é prlelo o plno. b) Se c b d, com,c, o plno é prlelo o plno. c) Se b c d, com,d, o plno é prlelo o plno. 8. EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO Consideremos um plno e um ponto A,, ). Sejm dois vetores u, b, ) e ( v (, b, c ) não prlelos, ms prlelos o plno. Observemos figur: ( c Pr todo ponto P, os vetores AP, u e v são coplnres. Aind, um ponto P (,, ) pertence o plno se, e somente se, eistem números reis h e t tis que AP hu tv P A hu tv P A hu tv, est é equção vetoril de. Em coordends, temos: (,, ) (,, ) h (, b, c ) t (, b, c ),, ) ( h t, b h b t, c h c ) ( t que, pel condição de iguldde: h t bh bt ch ct Esss equções são chmds equções prmétrics de, onde h e t são vriáveis uilires denominds prâmetros.

35 Eemplo : Sej o plno que pss pelo ponto A (,, ) e é prlelo os vetores u (,,) e v (,5, ). Obtenh um equção vetoril, um sistem de equções prmétrics e equção gerl de. Respost: =. Observção (eemplo ): A equção gerl do plno tmbém pode ser obtid por meio do produto misto dos vetores AP, u e v, pois como P (,, ) represent um ponto qulquer do plno, estes vetores são coplnres (estão no mesmo plno) e, consequentemente, o produto misto deles é nulo. Assim, o desenvolver iguldde ( AP, u, v), podemos encontrr equção gerl do plno. 8. ÂNGULO DE DOIS PLANOS Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur bio. Denominremos ângulo de dois plnos e, o menor ângulo que um vetor norml form com um vetor norml. Considerndo-se este ângulo, obtemos: n cos n n n, com Eemplo : Determine o ângulo entre os plnos : e :. Respost: grus. 8. PLANOS PERPENDICULARES Sejm os plnos e com vetores normis n e n, respectivmente, conforme figur bio, podemos concluir que: 5

36 n n n. n Eemplo : Verificr se e são plnos perpendiculres: ) : e : 6 b) : e : Respost: ) Sim b) Não. h t h t t 8.5 PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETA E PLANO Sejm ret r com direção do vetor v e um plno, sendo n um vetor norml. Pels figurs bio, podemos concluir que: i) r // v n ii) r v // n v. n v n (Fig.()) Fig. b t Eemplo 5: A ret r : t é prlel o plno 5. t Respost: Sim, pois v (,,) e n (5,, ) v n 5 ( ) ( ) 6

37 8.6 RETA CONTIDA EM PLANO Um ret r está contid em um plno se: i) dois pontos A e B de r forem tmbém de ou ii) v. n, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor norml e A r. Eemplo 6: Determinr os vlores de m e n pr que ret : mn 5. t r : t estej contid no plno t Respost: m= e n=-, pois v (,, ) e n (, m, n) v n ( ) m ( ) n m n m n A(,, ), : ( ) m ( ) n 5 m n Resolvendo o sistem, temos m= e n= INTERSECÇÃO ENTRE DOIS PLANOS A intersecção de dois plnos não-prlelos é um ret r cujs equções se desej determinr. Eemplo 7: Consideremos os plnos não prlelos : 5 5 e : 7. Solução: Entre os vários procedimentos, presentremos dois. ) Como r está contid nos dois plnos, s coordends de qulquer ponto,, r devem stisfer simultnemente s equções dos dois plnos. Logo, os pontos de r constituem solução do sistem: 5 5 r : 7 O sistem tem infinits soluções e, em termos de, su solução é r :, que são equções reduids de r. 7

38 ) Outr mneir de obter s equções de r é determinr um de seus pontos e um vetor diretor. Fendo = ns equções do sistem, obtemos: 5 cuj solução é =- e =. Logo, temos um ponto, que chmremos de A(,- 7,). Como um vetor diretor v de r é simultnemente ortogonl 5,, e,, n n, normis os plnos e, respectivmente, o vetor v pode ser ddo por i n n 5, 9,6 ou, 9,6,, v j k. Escrevendo equção prmétric de r, temos t r : t. t 8.8 INTERSECÇÃO DE RETA COM PLANO Eemplo 8: Determinr o ponto de intersecção d ret r com o plno, onde :. t r : 5 t e t Solução: Qulquer ponto de r é d form,, t,5 t, t. Se um deles é comum o plno, sus coordends verificm equção de : t 5 t t, resultndo em t=-. Substituindo este vlor ns equções de r obtém-se 5 Logo, intersecção de r e é o ponto,,. Eercícios:. Ddo o plno determindo pelos pontos A (,, ), B (,, ) e C (,,6), obtenh um sistem de equções prmétrics e um equção gerl de.. Determine o ângulo entre os plnos : 5 8 e : 5.. Qul intersecção dos plnos α: + = e β: =? 8

39 Resposts: h t ) : h t 5h t ) 8,8 grus. ) 5 5 List de Eercícios 8 Plno - Resolv os eercícios pres té o 8 d list de eercícios 8, págin do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books. 9. SEÇÕES CÔNICAS E SUPERCÍCIES QUÁDRICAS 9. INTRODUÇÃO ÀS SEÇÕES CÔNICAS Os gregos descobrirm s seções cônics em lgum momento entre 6 e.c. No início do período lendrino, sbi-se o suficiente sobre cônics pr Apolônio (6-9.C.) produir um trblho de oito volumes sobre o ssunto. Os gregos se preocupvm bsicmente com s proprieddes geométrics ds cônics. Só mis trde, no início do século XVII é que se tornou prente grnde plicbilidde ds cônics que tiverm um ppel relevnte no desenvolvimento do cálculo. Cd seção cônic é obtid cortndo-se um cone por um plno que não pss pelo vértice. 9. PARÁBOLA Um prábol é o conjunto de todos os pontos (,) equidistntes de um ret fi d ( diretri) e de um ponto fio F ( o foco) que não F P pertence à ret. 9 P' d

40 O ponto médio entre diretri (d) e o foco (F) é chmdo de vértice (V), e ret que pss pelo foco e pelo vértice é o eio d prábol. Um prábol é simétric em relção o seu eio. A form pdrão pr equção reduid de um prábol com vértice (h, k) e diretri = k-p é h p k eio verticl horiontl k p h eio O foco (F) pertence o eio e está p uniddes do vértice. 9.. Orientções ds prábols Eio verticl Eio horiontl Eemplo : Encontre equção d prábol com vértice em (,) e foco em (,). Esboce prábol. Respost: =. Eemplo : Determine s coordends do vértice e do foco de cd prábol. Encontre direção ns quis els estão berts. Ache tmbém equção de su diretri. Esboce cd prábol. ) b) c) Resposts: )V(,-), F(-,-), d: =5. b) V(-, ), F(-, /), d: =/, equção: (+) =(-). c) V(-,), F(-,/), d: =/, equção: (+) =-(-). Eemplo : Ache s equções ds seguintes prábols: ) vértice (,) e foco (,) Respost: = -. b) diretri = e foco (,) Respost: = -(+). List de Eercícios 9:. Encontre o foco, o vértice e diretri de cd um ds seguintes prábols. Esboce-s.

41 ) 5 b) c) 9 7 d) Resposts: ) F(,-5/8), V(,), d: =5/8 b)f(,-), V(-,-), d: =-6 c) F(-,/), V(-,), d: =9/ d) F(9,-), V(8,-), d: =7. Encontre equção de cd prábol bio. Esboce prábol. ) vértice (,) e foco (,) b) diretri = e foco (,) c) vértice (,) e diretri: = d) vértice (,) e foco (,) Resposts: ) (-) =-8(-) b)(-) = 8 c) (+) = (-) d) (+) = - 8(-). Encontre equção d prábol com eio prlelo o eio dos e que contém os pontos (,8), (,5) e (,). Ache s coordends do foco e do vértice. Escrev equção de su diretri. Respost: 8.. Resolv os eercícios ímpres de, pág. 7 do livro teto. 9. ELIPSE Um elipse é o conjunto de todos os pontos (, ) tl que som ds distâncis dois pontos fios (os focos) é constnte. Um curiosidde é que você tmbém pode construir um cnteiro de flores no seu jrdim utilindo o mesmo procedimento.

42 A ret contendo os dois focos intercept elipse em dois pontos chmdos vértices. A cord unindo os dois vértices é o eio mior, e o seu ponto médio é o centro d elipse. A cord perpendiculr o eio mior contendo o centro é o eio menor d elipse. Pr encontrr form pdrão pr equção de um elipse, considermos figur bio d elipse que contém os pontos: centro (h, k) vértices (h, k) focos: (h c, k) A form pdrão pr equção reduid de um elipse centrd em (h, k) e com eios mior e menor e b, respectivmente, onde >b é: h k b eio mior é horiontl h k eio mior é verticl b Os focos estão no eio mior c uniddes do centro onde =b +c.

43 9.. Orientções ds elipses 9.. Ecentricidde Ecentricidde e é dd pel rão c e. O conceito de ecentricidde é usdo pr medir o quão ovl é elipse. Note que como os focos estão no eio mior entre os centros e os vértices então < c <. c Pr um elipse quse circulr, os focos estão próimos do centro e rão é pequen. Pr um elipse longd, os focos estão próimos dos vértices e ecentricidde está perto de. Eemplo : Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos d cônic Esboce o gráfico. Respost: Centro: C(,), Focos: (,7) e (,-), Vértices: (,8),(,-), (5,) e (-,). Eemplo 5: Escrev equção d elipse cujos vértices são os pontos (5, ), (, ), (, ) e (, ). Determine os focos e esboce o gráfico. Respost: =. Centro C (-,), Focos ( 5,). Eemplo 6: Escrev equção d elipse com focos (,) e (,) e eio mior de comprimento Respost:.

44 Aplicções pr Elipses A determinção ds órbits plnetáris foi efetud entre 6 e 69 pelo strônomo lemão Johnnes Kepler (57-6), usndo o volumoso e cuiddoso conjunto de ddos stronômicos obtido por Tcho Brhe, e cujo trblho durou cerc de 6 nos. Entre seus estudos, Kepler descobriu que órbit de Mrte podi ser descrit com precisão trvés de um elipse. Kepler então generliou este conceito pr os outros plnets e nálise complet se resume em três enuncidos, que são conhecidos com s Leis de Kepler do movimento plnetário. Convém esclrecer que ests leis se plicm não somente os plnets que orbitm em torno do Sol, ms igulmente pr stélites nturis e rtificiis em órbit o redor d Terr ou de qulquer corpo celeste cuj mss sej considerável. A seguir enunciremos e discutiremos primeir lei empíric de Kepler. Cd plnet se move num órbit elíptic de modo que o Sol ocup um dos focos dest elipse (lei ds órbits). A figur bio ilustr um plnet de mss m que está se movendo num órbit elíptic o redor do Sol, de mss M. Fremos suposição de que M >> m, de modo que o centro de mss do sistem formdo pelo plnet e pelo Sol estej loclido proimdmente no centro do Sol. N figur, o plnet de mss m move-se num órbit elíptic o redor do Sol, de mss M. O semi-eio mior, representdo por r é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órbit. O semi-eio mior, representdo por r, é considerdo, pr efeito de cálculos, como sendo rio médio d órbit. List de Eercícios :. Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes elipses. ) R.: C(,-),A (6,-), A (,-),F (5,-), F (,-),e=/. b) R.: C(-,-), A (-,), A (-,-7),F (-,), F (-,-5),e=/5 c) R.: C(,-), A (6,-), A (-,-), B (,), B (,-6), F( 7, ), e 7.. Encontre equção de cd elipse bio. ) eio mior mede e focos (,). Respost: 5 9.

45 b) centro (,), um foco (5,) e ecentricidde ¾. Respost:. 6 7 c) vértices em (, 8) e (, 8) e contendo o ponto (6, ). Respost: 6 6. d) etremos do eio mior em (, ), (5, ) e o comprimento do eio menor é uniddes. 6 Respost:.. Determine equção d elipse de centro n origem e focos no eio ds bscisss, sbendo que 5, é um ponto d elipse e que seu eio menor tem comprimento 6 uniddes. Respost: Obtenh s equções reduids ds elipses de equções: ) Respost:. b) Respost: 7. 7 c) Respost: Resolv os eercícios ímpres de, pág. 89 do livro teto. 9. HIPÉRBOLE É o conjunto de todos os pontos (, ) tis que diferenç ds distâncis dois pontos fios (os focos) é constnte. A ret contendo os dois focos intercept hipérbole em dois pontos, os vértices. A ret contendo os focos é chmd de eio focl, e o ponto médio do segmento unindo os vértices é o centro d hipérbole. A form pdrão pr equção de um hipérbole com centro em (h, k) 5

46 h k b eio focl é horiontl k h eio focl é verticl b A distânci entre o centro e os vértices é de uniddes e os focos estão c uniddes do centro. Além disso, c = +b. 9.. Orientções ds Hipérboles Eio Focl horiontl Eio Focl verticl Cd hipérbole tem dus ssíntots que se interceptm no centro. As ssíntots contêm os vértices de um retângulo de dimensões por b centrdo em (h, k). A ret unindo os pontos (h, k+b) e (h, kb) é chmd de eio não trnsverso. 6

47 Pr um hipérbole de eio focl horiontl, s equções ds ssíntots são: b b k h k h. Pr um hipérbole de eio focl verticl, s equções ds ssíntots são: b. b k h k h 9.. Ecentricidde d Hipérbole c A ecentricidde e d hipérbole é dd pel rão e. Como c >, temos e >. Qunto mior ecentricidde, mis bertos são os rmos d hipérbole. Se ecentricidde for próim de, os rmos d hipérbole são chtdos e pontudos. Eemplo 7: Determine s coordends do centro, dos vértices, dos focos e s equções ds ssíntots d hipérbole Respost: Centro: C (,-5), Vértices: (,- 5), (6,-5), Focos:, 5, ssíntots: 7 e. Eemplo 8: Encontre equção reduid d hipérbole 8. Determine s coordends do centro, dos focos e dos vértices d hipérbole. Determine s equções ds ssíntots 7

48 e esboce o gráfico. Respost:, Centro: C(-,), Vértices: (-,), (-,), Focos:, 5. Assíntots: = + e = -. Eemplo 9: Determine equção d hipérbole cujos focos estão em (, ) e (, ) e cuj ecentricidde é. Respost: CLASSIFICAÇÃO DE CÔNICAS ATRAVÉS DO DETERMINANTE O gráfico d equção A B C D E F é determindo pelo discriminnte d seguinte mneir:. Elipse: B AC<. Prábol: B AC=. Hipérbole: B AC> List de Eercícios :. Encontre todos os elementos de cd um ds seguintes hipérboles. ) R.: V (-,), V (-,-5), = (+)/5 e = (--)/5 b) R.: e=5/, = ± /+. c) R.: C(8,-5), A (,-5), A (,-5),F (8,-5), F (-,-5), e = 5/, = (-7)/, = (-+7)/.. Encontre equção de cd hipérbole especificd. ) vértices em (,), focos em (6,). R.: 6 b) vértices em (,) e s equções ds ssíntots são (5 ). R.: d) centro em (, ), um vértice em (, 8) e um foco em (, ). R.: 5 c) focos em (, ) e (7, ) e o comprimento do eio trnsverso é. R.:. Determine equção d hipérbole que tem vértices em, e que pss pelo ponto Obtenh s equções reduids ds hipérboles de equção: ),. R.: 8

49 b) 9 6 R.: 9 6. R.: c) Associe cd gráfico su equção. 9 6 ) b) 6 d) c) e) f) R.: (), (b), (d). 6. Clssifique cd um ds cônics bio e encontre todos os seus elementos. ) R.: Prábol. V(-,-), F(-,-), =. b) R.: Não é um lugr geométrico. c) R.: Hipérbole. V (-8/,5), V (-/,5). 7. Resolv os eercícios ímpres de, pág. do livro teto. Aplicções ds cônics Direcione um lntern pr um prede, vej que o feie de lu emitido desenhrá ness prede um curv cônic. Isto contece porque o feie de lu emitido pel lntern form um cone, e tmbém porque prede funcion como um plno que cort o cone formdo. Dependendo d inclinção d lntern reltivmente à prede, poderemos obter um circunferênci, um elipse, um prábol ou um hipérbole. Tente relir este eperimento! 9

50 Certos bjures de cbeceir, cuj cúpul é bert segundo um circunferênci, desenhm n prede um hipérbole e no teto um elipse. Este fto é utilido n áre d iluminção pr construção de bjures, lnterns, etc. O som emitido por um vião jto supersônico tem form de um cone, ssim o chocr-se com Terr irá formr um curv cônic. Logo, dependendo d inclinção do vião reltivmente à Terr, podemos obter elipses, prábols ou hipérboles. A udiometri us este fto, entre outros, pr sber que distânci d Terr o vião pode ultrpssr velocidde do som. Eistem comets que percorrem trjetóris hiperbólics, os quis o pssrem perto de lgum plnet com grnde densidde, lterm su trjetóri pr outr hipérbole com um foco situdo nesse plnet. Como prábol é um cso de equilíbrio entre elipse e hipérbole (lembrem-se que ecentricidde d prábol é igul um), probbilidde de eistir lgum stélite com órbit prbólic é quse nul. Ms isso não impede eistênci de stélites com est trjetóri. Tmbém s trjetóris dos projéteis, num mbiente sob ção d forç d grvidde, são prbólics. Já no mbiente terrestre, onde eiste resistênci do r, esss trjetóris são elíptics, mis proprimente, rcos de elipses. No entnto, por vees, s diferençs entre s trjetóris elíptics e s prbólics são quse imperceptíveis. A blístic (ciênci que estud s trjetóris de projéteis) f uso deste fto pr determinrem o locl d qued de um projétil. Fendo uso d propriedde refletor d prábol, Arquimedes construiu espelhos prbólicos, os quis por refletirem lu solr pr um só ponto, form usdos pr incendir os brcos romnos ns invsões de Sircus. Lembre-se que concentrção de energi ger clor! 5

51 Sbemos que os rios de lu vindos do espço chegm à terr por feies prlelos e vimos nest semn que um espelho prbólico direcion estes rios pr o seu foco. Isto ger um problem, pois pr observr imgem formd no foco, o olho do observdor teri que estr posiciondo sobre ele, o que n prátic se torn impossível, pois o mesmo funcionri como um brreir pr os rios luminosos. A solução dd este problem por Isc Newton foi posicionr um espelho plno entre superfície prbólic côncv e o foco, de tl form que os rios fossem direciondos pr for d prte intern do espelho. Por outro ldo, invenção de Newton gerou um problem similr, pois, pr que convergênci do foco lterntivo ficsse for do cilindro telescópico dimensão deste espelho deveri ser bem considerável, bloquendo grnde prte dos rios incidentes prejudicndo destrte formção d imgem, observe ilustrção seguir. A solução pr este problem foi dd em 67 pelo strônomo frncês Cssegrin utilindo um espelho hiperbólico, figur bio ilustr propriedde ds hipérboles. 5

52 Com ess ssocição de espelhos fleibilidde d montgem ficou bem mior e s possibiliddes de vrição ds distâncis entre os focos e d distânci do foco d prábol o espelho tmbém. Isto f com que o telescópio se juste perfeitmente à necessidde ds observções. Hoje os telescópios modernos como os rdiotelescópios utilim-se dest tecnologi, que levou um século pr serem implementds desde su idelição. Neste teto pudemos verificr que s proprieddes refletors ds cônics têm contribuído pr construção de telescópios, ntens, rdres, fróis, lnterns, etc. Fonte: Foi prtir d propriedde refletor ds prábols que os engenheiros civis construírm pontes de suspensão prbólic. Se imginrmos os cbos que prendem o tbuleiro d ponte como rios de lu, fcilmente verificmos que o cbo principl, quele que pss pelos pilres d ponte, tem form de um prábol. Outr plicção dests curvs estudds por Apolônio é o sistem de loclição de brcos denomindo por LORAN (LOng RAnge Nvigtion), que f uso ds hipérboles confocis, onde os rdres estão nos focos. A idei é bsed n diferenç de tempo de recepção dos sinis emitidos simultnemente pelos dois pres de rdres, sendo um dos rdres comum os dois pres. O mp ssim construído present curvs hiperbólics. Est técnic foi usd n II Guerr Mundil, pr detectr brcos jponeses. List de Eercícios : Eercícios de revisão. Associe cd gráfico su equção. 5

53 5 ) ) 5 ) ) 5) 6). Respost: 6,,. Clssifique cd um ds cônics bio. Obtenh su equção reduid e determine todos os seus elementos. ) 7 R.: Prábol, V(-,), F(-/,), d:=-/, ( ) b) R.: Elipse, C(-,), A (-,7), A (-,-), B (,), B (-,), 5 c) R.: Hipérbole, V (-5,-), V (,-), F (-6,-), F (,-), e=5/, d) R.: Hipérbole. e) R.: Elipse.. Determine equção reduid de um prábol cujo vértice é (,) e equção de su diretri é dd pel equção =. Esboce prábol e encontre s coordends de seu foco.. Determine equção reduid de um hipérbole cujos vértices são (,) e (, ) e os focos (, 5) e (,5). Esboce hipérbole e encontre s equções de sus ssíntots Determine equção de um elipse centrd n origem com ecentricidde e e semi-eio mior Considere no plno elipse de focos F= (,) e F=(,) e de semi-eio menor igul. ) Clcule o outro semi-eio d elipse. b) Determine intersecção d elipse com ret de equção =. 7. Determine distânci focl e ecentricidde de um hipérbole com eio rel 8cm e eio imginário 6cm. 5

54 8. A ecentricidde de um hipérbole centrd n origem é e e distânci focl vle. Determine equção dest hipérbole. 9. Mrque com um X lterntiv corret. ) A equção d elipse que tem focos nos pontos (,) e (,) e contém o ponto,5 é: ) d) e) b) A equção d ret que pss pel origem e pelo vértice d prábol é: ) d) b) e) c) 9.6 INTRODUÇÃO ÀS SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 9.7 A prtir d equção gerl do º gru ns três vriáveis b c é possível representr um superfície quádric. d e f, e, m n p q Além disso, se superfície dd pel equção cim for cortd pelos plnos coordendos ou por plnos prlelos eles, curv de interseção será um cônic. A interseção de um superfície com um plno é chmd trço d superfície no plno. Assim, por eemplo, o trço d superfície quádric no plno = é cônic b d m n q contid no plno, podendo representr um elipse, um hipérbole ou um prábol visto que sus equções geris são desse tipo. A redução d equção gerl ds quádrics s sus forms mis simples eige cálculos trblhosos, o que não será nosso objetivo. Enftiremos o estudo ds quádrics representds por equções cnônics, s quis estão intimmente relcionds às forms reduids ds cônics. 9.7 SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO Um superfície de revolução é superfície gerd por um curv pln (chmd gertri) que gir 6º em torno de um ret (denomind eio) situd no plno d curv. Dest form, o trço d superfície num plno perpendiculr o eio é um circunferênci e equção d superfície de revolução é obtid trvés d equção d gertri. 5

55 Eemplo : Sej superfície gerd pel revolução d prábol observe figur bio: em torno do eio dos, Considere P (,, ) um ponto qulquer d superfície e C (,,) o centro d circunferênci que é o trço d superfície no plno que pss por P e é perpendiculr o eio dos (eio de revolução). A interseção dest circunferênci com prábol é o ponto Q (,, ). Sej R o pé d perpendiculr trçd de P o plno. Aind, CP = CQ = r, por serem rios d mesm circunferênci. Como o triângulo CRP é retângulo em R, vem CP ( CR) ( RP). Ms, CQ, pois Q é ponto d prábol. Portnto, ou, que é equção dest superfície. Notemos que equção contid no eemplo cim pode ser obtid imeditmente o substituirmos por, n equção (gertri). Este método será utilido pr todos os csos de superfície de revolução. Então, se gertri estiver contid num dos plnos coordendos e girr 6º em torno de um dos eios desse plno, equção d superfície ssim gerd será obtid d seguinte mneir: ) Se curv gir em torno do eio dos, substitui-se ou n equção d curv por ; b) Se curv gir em torno do eio dos, substitui-se ou n equção d curv por ; c) Se curv gir em torno do eio dos, substitui-se ou n equção d curv por ; Observção: Qundo d substituição de por n equção pr resultr, considerou-se. Pr se ter superfície complet devemos substituir por, o que não vi lterr em nd equção observção vle pr s outrs substituições cim descrits. d superfície. A mesm Agor, pssremos estudr s superfícies quádrics denominds elipsóides, hiperbolóides e prbolóides. 55

56 9.8 ELIPSÓIDES Consideremos no plno elipse de equções,. Vej figur bio: b c Ao girrmos ess elipse em torno do eio O, obtemos o elipsóide de revolução (conforme imgem seguir), cuj equção será obtid d equção d elipse, substituindo-se por : ou. b c c b c De mneir nálog se obtém o elipsóide de revolução em torno de O. Neste cso su equção é obtid d equção d elipse, substituindo-se por :. b b c De um mneir mis gerl, o elipsóide (figur o ldo) é representdo pel equção, onde, b e c são reis b c positivos e representm s medids dos semi-eios do elipsóide. Observemos ind que os pontos (,,), (, b,) e (,, c) são soluções d equção, chmd form b c cnônic do elipsóide. O trço no plno é elipse, e os trços nos plnos e são s b elipses, e,, respectivmente. c b c Observemos tmbém que s intersecções do elipsoide com plnos = k, = k ou = k (k = constnte), resultm num elipse, num ponto ou no conjunto vio. 56

57 No cso de = b = c, equção tom form ou b c e represent um superfície esféric de centro C (,,) e rio. Notemos que est superfície tmbém é de revolução e obtid pel revolução de um circunferênci em torno de um de seus diâmetros. Se o centro do elipsoide é o ponto ( h, k,) e seus eios forem prlelos os eios ( h) ( k) ( ) coordendos, equção ssume form obtid b c b c por um trnslção de eios. Eemplo : Dd equção d superfície esféric 6, determine o centro e o rio. Solução: Começmos escrevendo equção n form ( 6) ( ) e completmos os qudrdos ( 6 9) ( ) 9 não esquecendo de somr 9 e o segundo membro pr equilibrr som feit o primeiro membro. Logo, equção torn-se: ( ) ( ) ( ) 5 E, portnto, C (,, ) e r = HIPERBOLÓIDES bio: Consideremos no plno hipérbole de equções,, conforme figur b c eios. Obteremos os hiperbolóides de revolução o efeturmos rotções em torno de um de seus 57

58 Hiperbolóides de um Folh A rotção d hipérbole, presentd n figur cim, em torno do eio O result no hiperbolóide de um folh (figur bio), cuj equção será obtid d equção d hipérbole substituindo-se por : c b ou c b b. Generlindo, um hiperbolóide de um folh é representdo pel equção c b chmd form cnônic do hiperbolóide de um folh o longo do eio O. As outrs dus forms são c b e c b, que representm hiperbolóides de um folh o longo dos eios e, respectivmente. Atrvés d equção c b vemos que o trço do hiperbolóide no plno é elipse, b e os trços nos plnos e são s hipérboles, c e, c b, respectivmente. Um trço no plno = k é um elipse que ument de tmnho à medid que o plno se fst do plno. Os trços nos plnos = k e = k são hipérboles. Observção: É importnte frisr que, pesr d imgem mostrr um hiperbolóide limitdo o longo do eio, ess figur se prolong indefinidmente o longo desse eio ( menos que se restrinj um intervlo limitdo). Estenderemos est observção pr tods s superfícies que serão ind estudds Hiperbolóides de dus Folhs A rotção d hipérbole que foi presentd no item 9.9 em torno do eio result no hiperbolóide de dus folhs (figur bio), cuj equção será obtid d equção dess hipérbole substituindo-se por : c b ou c b c.

59 59 De form mis gerl, um hiperbolóide de dus folhs é representdo pel equção c b chmd form cnônic do hiperbolóide de dus folhs o longo do eio O. As outrs dus forms são c b e c b, e representm hiperbolóides de dus folhs o longo dos eios e, respectivmente. Observemos ind que os trços desses hiperbolóides nos plnos = k, = k ou = k (k = constnte), resultm em hipérboles, elipses, um ponto ou o conjunto vio. RESUMO As equções dos elipsóides e hiperbolóides podem ser reunids em c b e conforme os sinis dos termos do º membro, presentdos nest ordem, temos o seguinte qudro: 9. PARABOLÓIDES 9.. Prbolóide Elíptico Consideremos no plno prábol de equções, b, conforme mostr figur bio:

60 A rotção dess prábol em torno do eio result no prbolóide de revolução (fig. à direit), cuj equção será obtid d prábol, substituindo-se por b : Já um prbolóide mis gerl, denomindo prbolóide elíptico, é representdo pel equção n form cnônic. b Eemplo : A Figur o ldo, represent o prbolóide elíptico de equção ou o longo do eio O. Podemos observr que no plno = está à elipse e s prábols nos plnos = e = são, e,, respectivmente. b 9.. Prbolóide Hiperbólico A superfície dd por um equção do tipo é denomind prbolóide b hiperbólico. Est equção é chmd form cnônic do prbolóide hiperbólico o longo do eio. As outrs forms são e c c hiperbólicos o longo dos eios e, respectivmente. 6 b que representm prbolóides

61 9. SUPERFÍCIES CÔNICAS Consideremos no plno ret g de equções = m, = A rotção dest ret em torno do eio result n superfície cônic circulr (Fig. diret) cuj equção é obtid d equção d ret onde é substituído por : A ret g é chmd gertri d superfície e o ponto O, que sepr s dus folhs é o vértice d superfície. Um superfície cônic mis gerl, denomind superfície cônic elíptic é representd pel equção chmd form cnônic d superfície cônic o longo do b eio O. As outrs forms são: e que representm superfícies c b c cônics elíptics o longo dos eios e, respectivmente. Eemplo : se ret =, =, do plno é gird em torno de, superfície de revolução resultnte é superfície cônic circulr de vértice n origem e eio coincidindo com, e cuj equção se obtém de = substituindo por : ou Observção: no cso dos hiperbolóides, prbolóides e superfícies cônics de centro ou vértice no ponto (h, k, l) e eio prlelo um eio coordendo, de form nálog o que foi feito pr o elipsoide, s equções serão obtids ds correspondentes forms cnônics substituindo-se por h, por k e por l. 9. SUPERFÍCIES CILÍNDRICAS Sej C um curv pln (diretri) e r um ret fi não-prlel o plno de C. Um superfície cilíndric é superfície gerd por um ret g (gertri) que se move prlelmente à ret fi r em contto permnente com curv pln C. est superfície pode ser vist como um conjunto de infinits rets prlels que são s infinits posições d gertri. 6

62 Nos nossos estudos considerremos pens superfícies cilíndrics cuj diretri é um curv que se encontr num dos plnos coordendos e gertri é um ret prlel o eio perpendiculr o plno d diretri. Eemplo : Consideremos prábol no plno dd por,. Como gertri é um ret prlel o eio, superfície cilíndric está o longo deste eio, como mostr figur bio. É importnte observr que se tomrmos um ponto d diretri, por eemplo A(,,), todo ponto do tipo (,,), pr rel qulquer, tmbém stisf equção d prábol pois est pode ser vist como, ou sej, superfície contem o ponto A e tod ret por A é prlel o eio. Isto signific que o vlor de não influi no fto de um ponto P(,,) pertencer ou não à superfície. Então, como pr o ponto só interessm s vriáveis e, própri equção d diretri é equção d superfície cilíndric. A figur bio represent um superfície cilíndric prbólic o longo do eio. Assim, equção represent um superfície cilíndric elíptic ( diretri é 9 um elipse) o longo do eio ( é vriável usente). 6

63 List de Eercícios - Superfícies Quádrics - Resolv os eercícios 5 e 9 d list de eercícios d pág. 5, do livro Vetores e Geometri Anlític, Pulo Winterle, Editor Mkron Books.. MATRIZES MATRIZES E DETERMINANTES Operndo com mtries estmos utilindo um form compct de fermos operções com vários números simultnemente. Definição: Um mtri A, m n (m por n), é um tbel de mn números dispostos em m linhs e n coluns. Representmos est mtri de m linhs e n coluns por: A mn = m m n n mn = [ ij ] mn A ordem de um mtri é determind pelo número de linhs e coluns, por eemplo: ) se o número de linhs for igul o número de coluns (n), diemos que est mtri é de ordem n ou chmmos mtri n n ( n por n); b) se o número de linhs for m e o número de coluns for n, diemos que est mtri é de ordem m n (lê-se: m por n) ou simplesmente m n. Usremos letrs miúsculs pr denotr mtries e qundo quisermos especificr ordem de um mtri A (o número de linhs e coluns) escreveremos A mn. Pr loclir um elemento de um mtri, diemos linh e colun (nest ordem) em que ele está. Os elementos d mtri A são indicdos por ij, em que: i {,,,..., m} e j {,,,..., n}. O primeiro índice (i) do elemento ij indic posição d linh e o segundo (j) indic posição d colun. Assim, temos: (lê-se: dois um) elemento loclido n linh e colun. (lê-se: três qutro) elemento loclido n linh e colun. Dus mtries são iguis se els têm o mesmo número de linhs e coluns e todos os seus elementos correspondentes são iguis. Tipos de Mtries Considermos um mtri com m linhs e n coluns que denotmos por A mn : ) Mtri Qudrd é quel cujo número de linhs é igul o número de coluns (m=n). E:. 6

64 ) Mtri Nul é quel em que ij =, pr todo i e j. E.:. ) Mtri Colun é quel que possui um únic colun (n=). E.:. ) Mtri Linh é quel que possui um únic linh (m = ). E.:. 5)Mtri Digonl é um mtri qudrd (m = n) onde os elementos que não estão n digonl são nulos, isto é, ij =, pr i j. E.:. 7 Observção: Isso não impede que lguns elementos d digonl principl sejm iguis ero. Ms, cuiddo, se todos os elementos (i = j) forem nulos, teremos um mtri nul o invés de um mtri digonl. 6) Mtri Identidde Qudrd (I) é quel em que ii = e ij =, pr i j. E.:. 7) Mtri Tringulr Superior é um mtri qudrd onde todos os elementos bio d digonl principl são nulos, isto é, m = n e ij =, pr i j. E.:. 8) Mtri Tringulr Inferior é um mtri qudrd em que todos os elementos cim d digonl principl são nulos, isto é, m = n e ij =, pr i j. E.: ) Mtri Simétric é quel onde m = n e ij = ji. E.:. 5 Operções com Mtries ) Adição: A som de dus mtries de mesm ordem A mn =[ ij ] e B mn =[b ij ] é um mtri mn, que denotremos A + B, cujos elementos são soms dos elementos correspondentes de A e B, isto é, A + B = [ ij + b ij ] mn. E.: A dição de mtries tem s mesms proprieddes dos números reis: ) A + B = B + A (comuttividde) b) A + (B + C) = (A + B) + C (ssocitividde) 6

65 c) A + = A, onde denot mtri nul mn. ) Multiplicção por Esclr: Sej A = [ ij ] mn e k um número, então definimos um nov mtri k. A = [k ij ] mn. E.:.. 6 Dds s mtries A e B de mesm ordem mn e os números k, k e k, temos s seguintes proprieddes: ) k (A + B) = ka + kb b) (k + k ) A = k A + k A c). A = [], isto é, se multiplicrmos por ero qulquer mtri A, obteremos mtri nul. d) k (k A) = (k k )A ) Trnsposição: Dd um mtri A = [ ij ] mn, podemos obter um outr mtri A t = [b ij ] mn, cujs linhs são s coluns de A, ou sej, b ij = ij. A t (tmbém denotd A ) é denomind trnspost de A. E.: A Proprieddes: e A' =. ) Um mtri é simétric se, e somente se el é igul su trnspost, ou sej se, e somente se A=A t. b) (A t ) t = A, ou sej, trnspost d trnspost de um mtri é el mesm. c) (A + B) t = A t + B t. d) (ka) t = ka t, onde k é qulquer esclr. ) Multiplicção: Sejm A = [ ij ] mn e B = [b ij ] np. Definimos AB = [c uv ] mp, onde n uk kv u v un nv k c uv = b b... b. Ess operção pode ser melhor entendid n equção mtricil seguir Obs.: Só podemos efetur o produto de dus mtries A m p e B q n se o número de coluns d primeir for igul o número de linhs d segund (p=q =r). A mtri C = AB será de ordem m n, isto é: 65

66 O elemento d linh i e colun j d mtri A.B (c ij ) é obtido multiplicndo-se os elementos d linh i de A pelos elementos correspondentes n colun j d mtri B e somndo-se todos os resultdos. Eemplo: Sejm s mtries Solução: A e B clcule, se possível, AB. 5 6 A é um mtri e B é um mtri, logo o produto AB eiste, pois o numero de coluns de A é igul o numero de linhs de B e mtri de resultdo C e de ordem. Pr encontrr o resultdo de c, multiplicmos os elementos correspondentes d linh de A e d colun de B, somndo os resultdos:.( ).( ) O elemento c é obtido multiplicndo-se os elementos correspondentes d linh de A e d colun de B, somndo-se os resultdos: 7.( ) O elemento c é obtido multiplicndo-se os elementos correspondentes d linh de A e d colun de B, somndo-se os resultdos: ( ).6 Assim, seguindo o mesmo processo cim o produto completo é :.( ).( ) ( ).6 7..( ).( ) ( ) ( ).( ) 5( ).6 9 Proprieddes: ) Em gerl AB BA (podendo mesmo um deles estr definido e o outro não). b) AI = IA = A c) A(B + C) = AB +AC (distributividde à esquerd d multiplicção, em relção à som) d) (A + B)C = AC + BC (distributividde à direit d multiplicção, em relção à som) e) (AB)C = A(BC) (ssocitividde) 66

67 f) (AB) t = B t A t (Nest ordem) g). A = e A. = List de Eercícios : ) Pr encontrr cluster (um grupmento de objetos que tenhm lgum relção)de págins d web (A, B, C, D e E), um estudnte trvés de lgum fórmul encontrou o seguinte gru de similridde entre els, conforme tbel bio: A B C D E A,,,, B,,7,,6 C,,7,,8 D,,, E,,6,8 ) Represente por um mtri (W) os ddos cim. b) Considerndo os tipos de mtries descrits nteriormente você clssificri como? Por quê? ) Sejm A =, B =, C = e D = [ -]. Clcule: ) A + B b) A.C c) C.D d) A + B e) -A ) Sej A =. Se At = A, então qul o vlor de? ) Se A é um mtri tringulr superior, então A t é. 5) Mrque V ou F, justificndo su respost: ) ( ) (-A) t = -(A t ) b) ( ) (A+B) t = B t +A t c) ( ) Se AB =, então A = ou B =. d) ( ) (-A) (-B) = -(AB) e) ( ) Se A.B =, então B.A =. f) ( ) Se podemos efetur o produto A.A, então A é um mtri qudrd. 6) Se A =A.A, Clcule ) Dds A = 5, B = 5 e C = : 5 ) Mostre que AB = BA =, AC = A e CA = C. b) Use os resultdos de ) pr mostrr que ACB = CBA e A - B = (A - B) (A + B). 67

68 8) Abio é presentd um tbel com s quntiddes por itens que qutro consumidores (C, C, C, C ) desejm comprr e outr contendo o preço por unidde de cd item nos três supermercdos d cidde (S, S, S ). Quntidde desejd por item Preço por unidde no supermercdo(r$) C C C C S S S Btt,8,7,8 Pst de dente,55,,55 Chicletes,5,,7 Crne moíd,65,7, Alfce,5,7, ) Clcule o qunto cd consumidor gstrá em cd supermercdo. b) Qul supermercdo cd consumidor gstri menor qunti? Resposts: ) ),,,, ) ),,,,7,,7,,,,6,8 5,,6,8 b) Mtri simétric, pois possui mesmo n o de linhs e coluns e ij = ji. b) 5 c) 8 d) 7 e) 7 ) =. ) Tringulr inferior. 5) ) V b) V c) F d) F e) F g)v 6) 7 7 7) Mostrr. 8) ) b) C no S, C no S, C no S e C no S S S S C 6,5 6,7 6,5 C,95 5,5,7 C 5, 5, 5,8 C,8,,. DETERMINANTES Chmmos determinnte o número ssocido um mtri qudrd A=[ ij ] e escreveremos det A ou A ou det[ ij ]. Cálculo do Determinnte: 68

69 .. Mtri : det[]=.. Mtri : det.. Mtri : det Método de Srrus: Clcul-se o determinnte repetindo-se s dus primeirs coluns d mtri. det ( ) Eemplo: Clcule o determinnte de A pelo método de Srrus, onde - A = det 6 = 6 = (-) + (-)..(-) - (-)..(-) +.6.(-) Pr definir o determinnte de mtries qudrds de ordem superior ou igul, precismos definir o que são os menores de um mtri. 69

70 Dd um mtri A = ( ij ) nn, o menor do elemento ij, denotdo por Ãij, ou simplesmente Aij é submtri (n ) (n ) de A obtid eliminndo-se i- ésim linh e j- ésim colun de A, conforme o esquem mostrdo n figur bio: Eemplo: Pr um mtri A = ( ij ), mtri menor de à é obtid eliminndo-se segund linh e terceir colun d mtri originl, ou de form mis mnemônic eliminndo linh e colun que contenh o elemento d mtri originl. Assim, mtri que rest pós est eliminção é mtri menor de A pr i= e j=, como fcilmente vemos bio. Método de Lplce: Podemos escrever ess som como: ( - ) - ( - ) + ( - ), ou ind:, ou sej, det A = A - A + A, onde A ij é submtri d inicil, de onde i-ésim linh e j-ésim colun form retirds. Além disso, se chmrmos ij =(-) i+j A ij obtemos epressão det A = + +. Eemplo: Clcule o determinnte d mtri bio utilindo o método de Lplce. - A = Solução: - det A = A = Pr clculr o, devemos escolher um linh ou um colun e usr formul definid pr o método de Lplce. No cso, sem perd de generlidde vmos escolher linh, 7

71 poderi ser escolhid qulquer outr linh ou colun e o resultdo seri igul o que iremos obter (você pode verificr isso escolhendo outr linh ou colun e clculndo o determinnte). Assim, o vlor de i e j pr uso n fórmul são i= e j {,,}, isto é: j= j= i+ j ij ij ij ij i=, j= i=, j= det(a) = A (-) A = (-) A + (-) A + (-) A = Procedendo determinção d submtri de A e os pivôs ij, seguindo fórmul epost cim temos: Os vlores nos qudrdos uis são os pivôs etrídos d linh, que escolhemos priori. Esse pivô n mtri originl é usdo pr ecluir respectiv linh e colun que o contem n mtri originl, gerndo dess form mtries menores d mtri originl (linh e colun em vermelho n figur), isto é: = (-) + (-) + (-)(-) = Agor, clculndo os determinntes resultntes do processo cim, utilindo o definição de determinnte pr mtries tem-se: = (. - (-).6) - (. - (-).6) - (.(-) - (-).) = = = - 7 O vlor -7 é, portnto, o vlor do determinnte d mtri originl A... Mtri nn (n linhs e n coluns) A propriedde cim continu sendo válid pr mtries de ordem n, isto é, A nn = n n n n nn. Assim podemos epressr det A nn = i i in in = ij ij. O número ij (que é o determinnte fetdo pelo sinl (-) i+j d submtri A ij, obtid retirndo-se i-ésim e j-ésim colun) é chmdo de coftor ou complemento lgébrico do elemento ij. O desenvolvimento cim foi obtido prtir d i-ésim linh. Um form nálog tmbém é válid pr j-ésim colun. n j Eemplo: Clcule o determinnte de Solução Primeirmente, devemos escolher linh ou colun com mior quntidde de eros, no cso em questão ª colun contém eros, o que deve fcilitr os cálculos pr encontrr o determinnte. 7

72 A seguir, usmos os coftores pr cd um dos elementos d ª colun, como pode ser visto seguir: Cd mtri entre brrs cim é um submtri d mtri originl e é obtid eliminndo respectiv linh e colun epress nos índices dests submtries, isto é, pr submtri A eliminmos linh e colun. Pr submtri A eliminmos linh e colun, pr submtri A eliminmos linh e colun e por fim pr submtri A, eliminmos linh e colun, conforme s linhs vermelhs indicm n epressão bio. Perceb que o retirr linh e colun indicd sobrm pens s demis componentes d mtri originl, que gor formm respectiv submtri. Note que pr os vlores eros, escolhidos d segund colun d mtri originl, s respectivs prcel se nulm ficndo pens segund e últim prcel, restndo clculr o determinnte ds dus mtries dests prcels. Assim, escolhendo s melhores linhs de cd um dels podemos utilir LAPLACE novmente, ou se preferirmos poderemos usr SARRUS, pois tods s mtries são. Continuremos usndo LAPLACE pr entende-lo melhor. No cso, pr primeir mtri usremos primeir linh e pr segund mtri usremos segund linh (poderímos usr qulquer linh ou colun), pr obter os pivôs e s respectivs submtries, como pode ser visto n epressão bio: Após ter todos os pivôs e submtries determinds, pssmos o clculo dos determinntes dests submtries e posterior cálculo do determinnte originl, como pode ser visto n epressão bio. 7

73 7..5 Proprieddes do Determinnte ) det A = det A t E: ) ( 6 det ) ( 6 det t t A A A A ) det (A+B) det A + det B. E.: 6 6 det det ) det( 6 6 det det 6 det det 6 ) det( B A B A B A B A B A B A ) det (AB) = det A. det B. E.: 7 7.det det ) det( 7.7.det det 7 det det 7 ) det( B A AB B A B A AB AB B A ) Se um linh (ou colun) é igul ero, o determinnte é igul ero. E.: det A 5) Se dus linhs (ou coluns) são proporcionis, o determinnte é igul ero.

74 7 E.: det det B A 6) Se um linh (ou colun) pode ser obtid como um combinção de linhs (somds ou subtríds), o determinnte é igul ero. E.: ) (9 6 det A 7) Ao trocr dus linhs (ou coluns) de um determinnte o sinl dele troc. E.: 5 ) ( det 5 ) ( det B A 8) Ao multiplicr um linh (ou colun) por um constnte, o determinnte fic multiplicdo por ess constnte. E.: det 5 det B A 9) Ao multiplicr um linh (ou colun) por um constnte e somr este produto os elementos correspondentes de outr linh (ou colun) o determinnte será igul o d mtri originl. E.: 9) (7 98 ) 5.( det ) ( 8 det A B. MATRIZ ADJUNTA Dd um mtri A, podemos obter outr mtri prtir dos coftores de A, ou sej, A =[ ij ]. Chmmos de mtri djunt de um mtri qudrd A à mtri trnspost d mtri dos coftores de A, ou sej, dj A = A t. A Coftores: 6 ) ( ) ( 5 ) ( 8 ) ( ) ( ) ( ) ( 5 ) ( ) ( linh+linh colun+5.colun

75 ) ( t A dja A Propriedde: A. A t = (deta)i n.. MATRIZ INVERSA Dd um mtri qudrd A de ordem n, chmmos de invers de A um mtri B tl que A.B = B.A = I n, onde I n é mtri identidde de ordem n. Escreveremos A - pr mtri invers de A. Eemplo: Sej A =. Então A - = , pois A.A - =I e A -.A=I. Eemplo: Observções: ) Se A e B são mtries qudrds de mesm ordem, mbs inversíveis (ou sej, é possível encontrr A - e B - ), então A.B é inversível e (AB) - = B -.A -. b) Se A é um mtri qudrd e eiste um mtri B tl que BA = I, então A é inversível, ou sej A - eiste e, lém disso, B = A -. Isso signific que bst verificr um ds condições pr invers de um mtri e est será únic. c) Nem tod mtri tem invers. Um mtri qudrd dmite invers se, e somente se det A. Neste cso, A - pode ser determindo por: dja A A. det. E.: det dja A A dja A List de Eercícios 5: ) Dds s mtries A = e B =, clcule:

76 ) det A + det B b) det (A + B) ) Dds s mtries A = 5 ) det (AB) b) det (BA) e B =, clcule: 6 ) Clcule det 7 ) por Srrus b) em relção à segund colun, usndo o desenvolvimento de Lplce. ) Use quisquer ds proprieddes pr simplificr e clculr os determinntes bio, conforme o eemplo: Usndo propriedde 8 temos: 5 8? 5 8.() 5.().() 5.().() 5.( ).5.5.() ) b) c) ) Mrque V ou F, justificndo sus resposts: ) ( ) det(ab) = det(ba) b) ( ) det A t = det A c) ( ) det (A) = det A d) ( ) det A = (det A) e) ( ) Se A é mtri tringulr, então det A = nn (ou sej, som dos elementos d digonl principl) f)( ) Se A é mtri tringulr, então det A = nn (ou sej, produto dos elementos d digonl principl) 76

77 77 6) Dd A = 5, clcule: ) A b) A c) d) det A 7) Dd mtri A = 5, clcule: ) dj A b) det A c) A - 8) Encontre A -, onde: ) A = b) A = 7 9) Clcule o vlor do determinnte ds mtries bio pelo método que chr mis conveniente. ) 5 8 b) c) ) Encontre, se possível, A - : ) 6 6 b) c) 6 9 d) 6 ) Use quisquer ds proprieddes pr simplificr e clculr os determinntes bio: ) b) c)

78 Resposts: ) ) b) ) ) det(ab) = b) det(ba) = - ) ) ) (propr.5) b) (propr.5) c) (propr.8) 5) ) F b) V c) F d) V e) F f) V ) ) b) 6 c) 6 d) 7) ) 5 b) det A = 5 c) ) ) Não tem invers. b) 6 9) ) b) 6 c) 55 ) ) 5 5 b) 5 ) ) (propr.) b) 6 (propr.8) c) (propr.5) 5 c) Não tem invers d) Não tem invers 6.5 OPERAÇÕES ELEMENTARES São três s operções elementres sobre s linhs de um mtri. Permut ds i-ésim linh e j-ésim linhs. (L i L j ) E.: L L Multiplicção d i-ésim linh por um esclr não nulo K. (L i kl i ) E.: L -L Substituição d i-ésim linh pel i-ésim linh mis k vees j-ésim linh. (L i L i +kl j ) E.: L L + L Se A e B são mtries mn, diemos que B é linh equivlente A, se B for obtid de A trvés de um número finito de operções elementres sobre s linhs de A. Notções: AB ou A B. 78

79 .6 FORMA ESCADA REDUZIDA POR LINHAS Um mtri mn é linh reduid à form escd se: ) O primeiro elemento não nulo de um linh não nul é. b) Cd colun que contém o primeiro elemento não nulo de lgum linh tem todos os seus elementos iguis ero. c) Tod linh nul ocorre bio de tods s linhs não nuls (isto é, dquels que possuem pelo menos um elemento não nulo). d) Se s linhs,..., r são linhs não nuls, e se o primeiro elemento não nulo d linh i ocorre n colun k i, então k <k <...<k. Est últim condição impõe form escd à mtri, ou sej, o número de eros precedendo o primeiro elemento não nulo d um linh ument cd linh, té que sobrem somente linhs nuls, se houver. E.:..7 INVERSÃO DE MATRIZES UTILIZANDO MATRIZES ELEMENTARES O cálculo d invers de um mtri usndo determinnte ou multiplicção de mtries, envolve um número muito grnde de operções. O processo prático de inversão bsedo ns operções com s linhs de um mtri é, em termos de cálculos, mis vntjoso. Aplicr um operção elementr ns linhs de um mtri é o mesmo que plicr ess operção elementr n mtri identidde e, em seguid, multiplicr est nov mtri por A. E.: Se tomrmos mtri identidde I e trocrmos primeir e terceir linh, obteremos mtri. Se multiplicrmos est mtri pel mtri A=, teremos. =, que é o mesmo que troc d primeir e terceir linh d mtri A. Um mtri elementr é um mtri obtid prtir d identidde, trvés d plicção de um operção elementr com linhs. Um mtri elementr E é inversível e su invers é mtri elementr E, que corresponde à operção com linhs invers d operção efetud em E. 79

80 8.8 PROCEDIMENTO PARA INVERSÃO DE MATRIZES Se um mtri A pode ser reduid à mtri identidde, por um seqüênci de operções elementres com linhs, então A é inversível e mtri invers de A é obtid prtir d mtri identidde, plicndo-se mesm seqüênci de operções com linhs. N prátic, opermos simultnemente com s mtries A e I, trvés de operções elementres, té chegrmos à mtri I n posição correspondente mtri A. A mtri obtid no lugr correspondente à mtri I será invers de A. E.: Sej A =. Coloquemos mtri junto com mtri identidde e pliquemos s operções com linhs, pr reduir prte esquerd (que corresponde à mtri A) à form escd reduid por linh, não esquecendo de efetur cd operção n direit tmbém L L L.L L L.L L L L L L L L.L L L L L L L L L L L L.L L L L L Finlmente, obtemos identidde à esquerd e invers de A à direit. Portnto, A - = List de Eercícios 6: ) Utilindo s operções elementres sobre linhs, encontre A -, onde:

81 8 ) A = 5 b) A = 7 c) A = 5 ) Determine o vlor de k pr que mtri k A sej inversível. ) Redu s mtries à form escd reduid por linhs: ) b) 6 c) ) Escrev tods s possíveis mtries que estão n form escd reduid por linhs. 5) Em que condições um mtri digonl de ordem é inversível? Qul su invers? E se mtri fosse de ordem n? 6) Clcule A -, onde: ) A b) A Resposts: ) ) b) 6 c) 8 5 ) 7 k ) ) b) c) ) k, pr todoesclr e,, k 5) Qundo todos os elementos d digonl principl são diferentes de ero. A invers de um mtri digonl de ordem n é quel que present os elementos d digonl inversos o d mtri originl.

82 6) ) A b) A SISTEMAS LINEARES. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Um sistem de equções com m equções e n incógnits é um conjunto de equções do tipo:... nn b... nn b * com ij, i m, j n, números reis (ou compleos). m m... mnn bm Um solução do sistem (*) é um n-upl de números (,,..., n ) que stisfç simultnemente ests m equções. Dois sistems de equções lineres são equivlentes se, e somente se tod solução de qulquer um dos sistems tmbém é solução do outro.. SISTEMAS E MATRIZES Podemos escrever o sistem (*) num form mtricil: n b n b. ou A. X = B onde A = m m mn n bm m b X = mtri ds incógnits e B = n b m n mn mtri dos teremos independentes. é mtri dos coeficientes, Um outr mtri que podemos ssocir o sistem é: n b n b, que é chmd mtri mplid do sistem. Cd linh dest mtri é b m m mn m um representção brevid d equção correspondente no sistem. 8

83 Eemplo: No sistem 5 temos form mtricil 5. 5 de mtries mplids, temos Em termos 5. MÉTODO DE GAUSS OU ESCALONAMENTO O método de Guss ou esclonmento pr resolução de sistems é um dos mis utilidos qundo se f uso do computdor, devido o menor número de operções que envolve. Ele consiste em reduir mtri mplid do sistem, utilindo operções elementres ns linhs à um mtri que só é diferente d form escd reduid por linh n condição b) que pss ser: Cd colun que contém o primeiro elemento não nulo de lgum linh, tem todos os elementos bio dess linh iguis ero. As outrs condições, c e d são idêntics. Após o esclonmento d mtri mplid, solução finl do sistem é obtid por substituição.. POSTO E NULIDADE DE UMA MATRIZ - GRAU DE LIBERDADE DE UM SISTEMA Mtri Esclond Pr os conceitos bio utilie sempre mtri esclond. N p (posto) n - p Número de Coluns Número de linhs não Nulidde nuls Sistem Número de Incógnits PC e PA Gru de Liberdde ou N de vriáveis livres PC (Posto d mtri dos Coeficientes): é o número de linhs não nuls d mtri dos coeficientes pós o esclonmento; PA (Posto d mtri Amplid): é o número de linhs não nuls d mtri mplid pós o esclonmento..5 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Se tivermos um sistem de um equção e um incógnit = b eistirão três possibiliddes: ). Neste cso equção tem um únic solução = b. b) = e b =. Então temos = e qulquer número rel será solução d equção. c) = e b. Temos = b. Não eiste solução pr est equção. 8

84 .5. Sistems de dus equções e dus incógnits Eemplo : Ddo o sistem liner 5. 6 O conjunto de pontos (, ) IR IR, que stisf cd equção deste sistem, represent um ret no plno. Pr resolver este sistem devemos então encontrr os pontos comuns ests dus 5 rets. Deste modo (,) é únic solução. A mtri mplid do sistem é. 6 Trnsformndo- em mtri esclond, obtemos, que é mtri mplid do sistem equivlente o sistem inicil. O sistem tem um únic solução = e =-. Note que est solução é mesm solução obtid por eliminção de Guss-Jordn, porém com menos operções elementres. Como o posto d mtri umentd (PA, que corresponde o n de linhs não nuls) é igul o Posto d mtri de coeficientes (PC, que é o n de linhs não nuls d mtri de coeficientes) e nulidde do sistem (n-p = ) podemos firmr que o sistem tem solução únic. Neste cso diemos que o sistem é possível (comptível) e determindo. PC = PA e nulidde é ero (n-p) =. Grficmente, est situção é representd por dus rets concorrentes. Eemplo : Ddo o sistem liner As dus rets que formm este sistem são coincidentes. Neste cso, qulquer ponto de um ds 5 rets é solução deste sistem. A mtri mplid do sistem e mtri esclond são: Portnto segund equção é verddeir pr quisquer números e. O conjunto de soluções será ddo tribuindo-se vlores rbitrários pr e substituindo-o n equção. Logo, esse sistem dmite infinits soluções. Neste cso, PC = PA = e o gru de liberdde - =, ou sej, o sistem present um vriável livre. Grficmente, isto é representdo por 8

85 r =r Eemplo : Ddo o sistem liner 5. 6 Geometricmente, temos dus rets no plno que não possuem nenhum ponto em comum, pois são prlels, portnto o sistem não tem solução. A mtri mplid 5 é equivlente mtri 6 esclond. Não eiste vlor de ou cp de stisfer segund equção ( + = ). Logo, o sistem não tem solução. Podemos observr que o posto d mtri dos coeficientes (PC) do sistem inicil é e o posto d mtri mplid (PA) é. r r.5. Cso Gerl: Sistem de m equções e n incógnits,..., n... nn b Sej cujos coeficientes ij e termos constntes b i são números reis (ou m m... mnn bm compleos). Este sistem poderá ter: ) um únic solução = k,..., n = k n. Neste cso o sistem é possível (comptível) e determindo. b) infinits soluções. Neste cso o sistem é possível e indetermindo. c) nenhum solução. Neste cso o sistem é impossível (incomptível). Consideremos mtri mplid do sistem e su mtri esclond; 85

86 n b b m mn m m ( n ) Observções: e c c k ck c m m ( n ). Um sistem de m equções e n incógnits dmite solução se, e somente se o posto d mtri mplid (PA) é igul o posto d mtri dos coeficientes (PC): ) Se s dus mtries têm o mesmo posto p e o gru de liberdde ero, solução será únic. b) Se s dus mtries têm o mesmo posto p e o gru de liberdde é mior que ero, dmite infinits soluções. Eemplo: Resolver o sistem 6 Solução: Trnsformndo o sistem cim n su form mtricil, tem-se 6.. Em termos de mtri mplid, temos 6. Procedendo s etps de um Eliminção Gusssin tem-se: L L L L L L L L 5 L L 7 7 L

87 Como PC= e PA= o sistem tem solução únic e el pode ser obtid por retro-substituição como segue: ª. Equção: ª. Equção: ª. Equção: Logo, o sistem tem um únic solução (, -, ). List de Eercícios 7: )Resolv os sistems bio, indicndo os postos ds mtries dos coeficientes e ds mtries mplids e, se o sistem for possível, o gru de liberdde. ) 5 b) k )Determine os vlores de k pr os quis o sistem k, ns incógnits, e tenh: ) Solução únic. b) Nenhum solução. c) mis do que um solução. )Resolv os sistems bio, indicndo os postos ds mtries dos coeficientes e ds mtries mplids e, se o sistem for possível, o gru de liberdde. ). w 8 b) 6 ) Determine condição em, b e c pr que o sistem solução. b 5 8 c de incógnits, e tenh 87

88 Resposts: ) ) b) ) ) c) ) ) b) Sistem Impossível (PC PA) ) 7 7 ; ; k k w - b ; ; PC PA ; c 5 PC PA ; ; PC GL PA ; GL b) k e k impossível, portnto, o sistem sempre terá solução GL.6 SISTEMA LINEAR HOMOGÊNEO Chmmos de sistem homogêneo de n equções e m incógnits quele sistem cujos termos independentes são todos nulos. Um sistem homogêneo dmite pelo menos um solução ( =, =,..., m = ), que é chmd trivil. Após o esclonmento d mtri mplid, Se m = n, então o sistem tem somente solução ero (ou trivil). Se n < m, então o sistem tem um solução não nul (ou diferente d trivil). Eemplo: Considere o sistem homogêneo, e su mtri mplid dd por. Utilindo o método de eliminção Gussin temos: 88

89 Podemos observr que PC= e n=, logo eiste somente solução trivil (, e ). Eemplo Ddo, e mtri mplid deste sistem é dd por. Aplicndo eliminção de Guss-Jordn, temos L L L L L L L L. L L. L L L L L L L L L Podemos observr que p=pc= e n=, logo eiste soluções lém d solução trivil (, e ) e como os grus de liberdde são ddos por (n-p), no cso prticulr deste eemplo ( n- p- ), tem-se um gru de liberdde, então s soluções podem ser dds em função de um vriável. Se firmos vriável =k (vriável livre), temos: ª. Equção: ª. Equção: ª. Equção: ( k) k ( k) k ( k) k k Logo, solução pretendid é dd por (-k,-k,k,k), onde k é um número rel qulquer. Assim, este sistem tem infinits soluções (um solução pr cd k que firmos). Ademis, se k= temos solução trivil..7 APLICAÇÃO Três pessos lnchrm d seguinte mneir: primeir tomou refrigernte, comeu pstéis e 5 bls, segund, refrigerntes, pstel e 6 bls e terceir, pstel e bls. Quis os preços do refrigernte, do pstel e d bl, se primeir gstou R$ 5,5; segund gstou R$,8 e terceir gstou R$ 5,6? 89

90 Solução: = preço do refrigernte = preço do pstel = preço d bl 5 5,5 mtri mplid do sistem 6,8 inicil 5,6 Após o esclonmento, encontr-se, por eemplo: 5 5, ,5,8 5,6 5 5,5 sistem d mtri mplid esclond 5,6 5,6,, Podemos observr que o sistem é possível (PC = PA = ) e determindo (GL = - = ). Resolvendo por substituição o sistem resultnte d mtri mplid esclond, teremos: preço do refrigernte () igul R$,; preço do pstel () igul R$ 5, e preço d bl () igul R$,. List de Eercícios 8:. Determine se cd sistem tem solução não-nul: w 5 ) 7 w b) 7 5 w. Suponh que você vi fer um lnche, constndo de iogurte, pstel e chocolte e que tem R$,8 disponível. Segundo os nutricionists, um lnche deve conter 5 cloris e 66 grms de proteíns. Pr cd g dos limentos cim, temos: g Cloris Proteíns (g) Custo (R$) Iogurte 5, Chocolte 6,6 Pstel 8,8 Quis s quntiddes de cd limento? 6. Ddo o sistem, clcule o posto d mtri dos coeficientes, o posto d mtri mplid e descrev solução desse sistem. 9

91 9. Determine condição em, b e c pr que o sistem c b de incógnits, e tenh solução. Resposts: ) ) sim, o sistem tem solução diferente d trivil. PC = PA = GL = vriável livre: w 5/6 /6 5 6 / w b) sim, o sistem tem solução diferente d trivil. PC = PA = GL = vriável livre: = 9 = - ) pstel : 5 g chocolte : g iogurte : g ) PC = PA = Sistem Possível GL = infinits soluções sistem possível e indetermindo Vriável Livre : = - = + ) Pr um sistem ter solução é necessário que PC = PA, e pr PC ser igul PA não import o vlor de, b ou c. ESPAÇOS VETORIAIS Um conjunto V munido com dus operções M+N=..., r.m=... M,N V, r IR é chmdo de ESPAÇO VETORIAL REAL, e usmos notção (V, +,.), se vlem: V M IR s r M s r M s r V M IR s r M s M r M s r V N M IR r N r M r N M V M M M V M IR r V M r O M M V V M V M M O M V O V P N M P M N P N M V N M M N N M V N M V N M V, ), ), r 9) 8) 7) - que tl M - eiste Pr cd 6) que tl 5),, ), ), ) )

92 Observção: Se (V, +,.) é um Espço Vetoril Rel, então: ) os elementos de V são ditos VETORES; b) o elemento O é dito VETOR ZERO; c) Se n definição cim, o invés de termos como esclres, números reis, tivermos números compleos, V será um ESPAÇO VETORIAL COMPLEXO. Eemplo : (R, +,.), onde + e. são som e multiplicção usuis em IR, é um espço vetoril. Eemplo : (M (R), +,.), onde + e. são s operções usuis em mtries, é um espço vetoril onde b b O e M c d se M c d e f e f Eemplo : Prove que V = IR com s operções: M+N = (+u, b+w) e r.m = (r, rb) é um espço vetoril. Solução: Pr os vetores M, N, P e esclr r, devemos verificr se s proprieddes cim são válids. ) IR, pois (,) IR Sejm M = (, b), N = (u, w), P = ( c, d) IR e r IR. ) M N ( u, b w) IR, pois u IR e b w IR ) M N ( u, b w) ( u, w b) ( u, w) (, b) N M ) M N 7) r. M 8).M.(, b) P ( u, b w) ( c, d) ( u c, b w d) (, b) ( u c, w d) M ( N P) 5) M O (, b) (,) (, b) M 6) M ( M ) (, b) (, b) (, b b) (,) O r.(, b) ( r., r. b) IR (, b M, pois r. IR sendo O (,) r. b IR 9)r.(M N) r.( u,b w) (r.( u),r.(b w)) (r ru,rb rw) r(, b) r(u, w) r.m r.n )(r s).m (r s).(,b) ((r s).,(r s).b) (r s,rb sb) r.(, b) s.(,b) r.m s.m e (r, rb) (r, rb) (ru, rw) (s,sb) )(r.s).m (r.s).(,b) ((r.s).,(r.s).b) (r.s., r.s.b) (r.(s.),r.(s.b)) r.(s.(,b)) r.(s.m) Logo, IR com s operções cim é um espço vetoril.. SUBESPAÇOS VETORIAIS Sej (V, +,.) um espço vetoril e sej WV. Se (W, +,.) stisf: )W )A B W A,B W )r.a W r IR A W 9

93 então W é um SUBESPAÇO de V. Observção: Se (V, +,.) é um espço vetoril então: ) W = V é um subespço de V; b) W = {O} é um subespço de V. c) Eemplo : Prove que W = {(u,v)ir : u+v = }, ou sej, W = {(u,-u): uir} é um subespço de (IR, +,.). Solução: ) W, pois (, -) W. Sejm u = (, -), v = (, -) W e r IR: ) u+v = (,-)+(, -) = (+,--) = ( (+),-(+)) W ) r.a = r.(, -) = (r, -r) = (r, -(r)) W Logo, W é subespço vetoril de (IR, +,.). COMBINAÇÃO LINEAR Sejm (V, +,.) um espço vetoril e sejm v,v,..., v n V. Qulquer vetor v V do formto v= v + v n v n (onde,,..., n IR) é dito COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores v,v,...,v n. Eemplo 5: Escrev o vetor v= (, -, 5) como combinção liner dos vetores v = (,, ), v = (,, ) e v = (, -, ). Solução: Queremos epressr v como v= v + v + v,, onde,, são esclres determinr. Sendo ssim, temos: (, -, 5) =.(,, ) +. (,, ) +.(, -, ) (, -, 5) = (,, ) + (,, ) + (, -, ) (, -, 5) = ( + +, + -, + + ) Igulndo os vetores, encontrmos o sistem: mtri mplid 5 Re solvendo o sistem, Portnto, v = -6v + v + v. 5 mtri mplid esclond por substituição, encontrdo depois do esclonmento, temos : 6,, 9

94 9 Eemplo 6: É possível escrever mtri E como combinção liner ds mtries, C e B A. Solução: E =.A +.B +.C Sistem impossível! Portnto, mtri E não pode ser escrit como combinção liner ds mtries A, B e C.. SUBESPAÇO GERADO E GERADORES O subespço gerdo por um subconjunto NÃO VAZIO S de um espço vetoril V (S V S ) é o conjunto de tods s combinções lineres em S. Eemplo 7: Mostre que os vetores u = (,, ), v = (,, ) e w = (,, ) germ R. Solução: Precismos mostrr que um vetor rbitrário (,, ) R é combinção liner de u, v e w. ) (,, ), (,.(,,) (,,)... ),, ( ),, ( (,,) ),, ( (,,). ),,.( (,,) w v u Igulndo os vetores, temos: ou esclond e mplid mtri

95 Podemos verificr que o sistem é possível e temos como solução: =, = - e = - +. Logo, os vetores u, v e w germ R.. DEPENDÊNCIA LINEAR Os vetores v,v,..., v n pertencentes o espço V, são ditos Linermente Dependente (L. D.) ou simplesmente Dependentes se eistir esclres,,..., n pertencentes os R, nem todos nulos, tis que:.v +.v n.v n = (combinção liner deles igul ero) Do contrário, qundo todos os esclres,,..., n são nulos, diemos que os vetores são Linermente Independentes (L. I.). Dic: Pr determinr os esclres,,..., n é necessário vlir um sistem homogêneo, ou sej, verificr se o sistem é: ) S.P.D. então os vetores v, v,..., v n são L. I. b) S.P.I. então os vetores v, v,..., v n são L. D. Eemplo 8: Determine se os vetores (, -, ), (,, -), (7, -,) R é linermente dependentes ou não. Solução: Fer um combinção liner dos vetores igul o vetor nulo, usndo incógnits esclres,,.,,,, 7,,,,,,,, 7,,,, 7,,,, mtri mplid mtri mplid e esclond PC PA Sistem Possível e Indetermindo (S.P.I.) GL - Logo, os vetores (, -, ), (,, -), (7, -,) R são LINEARMENTE DEPENDENTES. Eemplo 9: Sej V o espço vetoril ds mtries sobre R. Determine se s mtries A, B, C V são dependentes. Solução: Fer um combinção liner ds mtries A, B e C igul mtri nul, usndo incógnits esclres 95

96 ,,. `,, Como o sistem é Possível e Determindo (S.P. D.), As mtries A, B e C são LINEARMENTE INDEPENDENTES. Observções: ) O conjunto {v, v,...,v n } é chmd dependente ou independente se os vetores v, v,..., v n são dependentes ou independentes. Tmbém definimos que o conjunto vio é independente. b) Se dois dos vetores v, v,..., v n são iguis, digmos v = v, então os vetores são dependentes. Pois v - v + v v n = e o coeficiente de v não é ero. c) Dois vetores v e v são dependentes se, e somente se, um deles é múltiplo de outro. d) Um conjunto que contém um subconjunto dependente é tmbém dependente. Portnto, qulquer subconjunto independente é independente. e) No espço rel R dependênci de vetores pode ser descrit geometricmente como segue: dois vetores quisquer u e v são dependentes se, e somente se, estão n mesm ret pssndo pel origem. Três vetores quisquer u, v e w são dependentes se, e somente se, estão no mesmo plno pssndo pel origem. List de Eercícios 9: ) Escrev o vetor v = (, -5, ) em IR como combinção liner dos vetores v = (, -, ), v = (, -, -) e v = (, -5, 7). ) Pr qul vlor de k o vetor u = (, -, k) de IR, será combinção liner dos vetores v = (,, ) e w = (, -, -5)? ) Considere os vetores u = (,-,) e v = (, -,) em IR : ) Escrev (, 7, -) como combinção liner de u e v. b) Pr que vlores de k, o vetor (, k, 5) é um combinção liner de u e v? ) Mostre que (,, ), (,, ) e (,, -) germ IR, isto é, que qulquer vetor (,, ) é combinção liner dos vetores ddos. 5) Encontre condições em,, de modo que (,, ) R pertenç o espço gerdo por u = (,, ), v = (, -, ) e w = (,, -). 96

97 6) Qul dos conjuntos de vetores bio de IR são Linermente Dependentes? No cso dos vetores que forem L.D. escrev um dos vetores como um combinção liner dos restntes. ) v = (,,,), v = (,,,), v = (,6,8,6), v = (,,,) b) v = (,,,), v = (,,,), v = (,,,), v = (,,,) 7) Mostre que o plno W = {(,b,c)} em IR é gerdo por ) (,, ) e (,, -) b) (,, ), (,, ) e (,, ) 8) Determine se u e v são linermente dependentes onde: ) u = (,,), v = (,,-) b) u = t +t + v = t +t + 9) Determine se s mtries,,, são L.I. ou L.D. Resposts:. Não é possível. k = -. ) u + v b) k = = 6. ) L. D. V = V + V + V b) L. I. 7. ) b) não ger 8. ) não b) não 9. L.I.5 BASE Um bse de V é sequênci de vetores X={,,..., n } que são vetores Linermente Independentes (L.I.) e que germ V. Observções: ) Os vetores e =(, ) e e =(,) formm um bse pr IR, os vetores e = (,, ), e = (,, ) e e = (,, ) formm bse pr IR e, em gerl os vetores e, e,..., e n formm um bse pr IR n. Cd um desses conjuntos de vetores é chmdo de um bse nturl ou cnônic de IR, IR e IR n respectivmente. b) Embor um espço vetoril tenh muits bses, tods els têm um mesmo número de vetores. Eemplo : Determine se os vetores u = (,,), v = (,,) e w = (,-,) formm bse do espço IR. Solução: ) verificr se os vetores são gerdores 97

98 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Re solvendo mtri mplid por substituição, temos : mtri mplid e esclond Logo, como foi possível determinr os esclres, e, os vetores u, v e w germ R. ) Verificr se os vetores são L.I.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, mtri mplid Discussão do sistem : mtri mplid e esclond P. C. P. A. Sistem Possível e Determindo Linerment e Independentes G. L. Portnto, os vetores u = (,,), v = (,,) e w = (,-,) formm bse do espço IR..6 DIMENSÃO A dimensão de um espço vetoril V, denotdo dim V, é o número de elementos de um bse V. Por eemplo, dimensão de V pr o eemplo nterior é dim V =. Observções: ) A dimensão de IR é ; dimensão de IR é ; e, em gerl, dimensão de IR n é n. b) A dimensão de um polinômio do gru (P ) é ; dimensão de um polinômio do gru (P ) é ; e, em gerl, dimensão de um polinômio de gru n (P n ) é n +. c) A dimensão de A é ; dimensão de A é 6; dimensão de A 5 é 5; e, em gerl, dimensão de A mn é m n. Dic: Sej V um espço vetoril de dimensão n (dim V = n) e X={,,..., n } um conjunto de n vetores em V. pr verificr se os vetores de X formm um bse de V, bst verificr um d dus condições: ) se os vetores de X germ V; b) se os vetores de X são L. I. 98

99 Espço Linh n X,,,n Sej n X A,,, n um mtri m n. As linhs de A, m m mn X m m, m,, mn considerds como vetores em IR n, germ um subespço de IR n chmdo espço - linh de A. Observções: ) Se A e B são dus mtries mn equivlentes por linhs, então os espços - linh de A e B são iguis. b) Se esclonrmos um mtri A encontrndo um mtri equivlente B, então os espços - linh de A e B são iguis. c) Os vetores NÃO NULOS de um mtri n form esclond são um bse pr seu espço - linh. d) A dimensão do espço - linh de A é chmd de POSTO - LINHA de A. Eemplo : Sej V o espço ds mtries sobre os R e sej W o subespço gerdo por =, =, = e = Encontre um bse e dimensão de W. Solução: Como s mtries são gerdors do subespço W, pr encontrr um bse é preciso encontrr quis desss mtries são L.I. Pr isso, utiliremos o processo de espço - linh. Isto é, devemos ver cd mtri cim como um linh em um nov mtri, conforme esquem bio, pós o esclonmento o posto resultnte indicr o numero de vetores, ou no cso, mtries L.I. Posto - Linh = mtri mplid dim A = posto - linh = - 5 esclond / e é bse de W Eemplo : Encontre um bse pr R que contenh os vetores X = (,,, ) e X = (-,, -, ). Solução: X X e e e e mtri mplid esclond X X e e e e A bse pr R X, X, e e os vetores : e são 99

100 Observe que, lém dos vetores X e X, form inseridos os vetores unitários e, e, e e e. Após o processo de esclonmento s posições reltivs os vetores e, e form erds ficndo pens linhs reltivs os vetores X, X, e e e. Logo, um bse pr este espço vetoril é ddo pelo conjunto formdo destes vetores, isto é, {X, X, e, e }. List de Eercícios :. Quis dos seguintes conjuntos de vetores são bse de IR? ) (, ), (, -) b) (, ), (, ), (, ) c) (, ), (, -), (, ) d) (, ), (-, -6). Considere o seguinte subconjunto de P : (polinômio do gru) W ={t + t - t +, t +, t - t, t + t - t + }. Ache um bse pr o subespço W. Determine dimensão de W.. Ache um bse pr IR que contenh os vetores = (,,, ) e = (,, -, ).. Ache dimensão dos subespços de IR gerdos pelos vetores: ) (,,, ), (,,, ), (,,, ) e (,,, ) b) (, -,, ), (, -,, ) e (,,, ) c) (-,, 6, ), (,,, ), (-,,, ), (-,, 5, 6) e (-, -,, ) d) (,,, ), (-,,, ), (,,, ) e (,,, ) 5. Quis dos seguintes conjuntos de vetores são bses de P (polinômio do gru) ) t + t +t, t +, 6t + 8t + 6t + e t + t + t + b) t + t +, t - e t + t + t 6. Mostre que s mtries X, X, X e X formm um bse pr o espço vetoril de tods s mtries. 7. Sej X = {,,, } em que = (,, ), = (,, ), = (,, 7) e = (7, 6, ). Ache um bse pr o subespço W de IR. Qul dimensão de W? Resposts:.). X = {t + t - t +, t + } dim W =. X = {,, e, e }. ) dim W = b) dim W = c) dim W = d) dim W = 5. nenhum 7. X = {, } dim W = Sejm (V,+,.) e (U,+,.) espços vetoriis. TRANSFORMAÇÃO LINEAR se: Um função T : V U é dit um Trnsformção Liner ou Operdor Liner em V A T(A)

101 ) T(A+B) = T(A) + T(B) b) T(r.A) = r.t(a) A,B V e r R Em outrs plvrs, T: V U É LINEAR se "preserv" s dus operções básics de um espço vetoril, isto é, dição de vetores e multiplicção por esclr. Observção: Se substituirmos r pelo esclr ero (r = ) obtemos T() =. Isto é, tod trnsformção lev o vetor ero no vetor ero, ms nem tod trnsformção que lev o vetor ero no vetor ero é liner. Eemplo : Sej F: IR IR trnsformção "projeção" no plno : F(,, ) = (,,). Mostrremos que F é liner. Solução: Sej A = (,, ) e B = (,, ) IR ) F(A+B) = F( +, +, + ) = ( +, +, ) = (,, ) + (,, ) = F(A) + F(B) b) F(r.A) = F(r. (,, )) = F(r., r., r. ) = (r., r., ) = r.(,, ) = r.f(a), pr todo r IR. Logo, F é liner. Eemplo : Sej F: R R trnsformção "trnslção" definid por F(, ) = (+, +). Observe que F() = (,) = (,). Isto é, o vetor ero NÃO É trnsformdo no vetor ero. Portnto F NÃO É LINEAR. Eemplo : Sej F: V U trnsformção que ssoci o vetor (ero) U todo A V. Então pr qulquer A, B V e qulquer r IR, temos: ) F(A+B) = = + = F(A)+F(B) b) F(r.A) = = r.f(a) Assim, F é liner. Chmmos F trnsformção ero e, usulmente, notremos. Eemplo : Sej T: IR IR trnsformção liner pr qul T(,) = e T(,) = -. Encontre T(,). Solução: Escrever (,) como combinção liner de (,) e (,), usndo incógnits esclres e. (, ) = (, ) + (,) = (, ) + (, ) = (, + ) = e = - (, ) = (, ) + (-)(,) T(, ) = T[(, ) + (-)(,)] = T((, )) + T((-)(,)) = T(,) + (-)T(,) = () + ()(-) T(, ) = - + T(, ) = 5 - List de Eercícios : ) Mostre que s seguintes trnsformções são lineres: ) F: IR IR definid por F(,) = ( +, ) b) F: IR IR definid por F(,, ) = - +

102 ) Mostre que s seguintes trnsformções não são lineres: ) F: R R definid por F(, ) = b) F: R R definid por F(,) = ( +,, + ) ) Encontre T(,) onde T: R R é definid por T(,) = (,-, 5) e T(,) = (,, -). ) 5) Encontre T(,,) onde T: R R é definid por T(,,) =, T(,,-) = e T(,,) = -. Resposts: ) F(A + B) F(A) + F(B) b) F(,) = (,, ) (,, ) ) T(, ) = (- +, - +, 7 ) ) T(,, ) = 8. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Sej A um mtri m n, definimos: v A v R R T m n A : onde v é tomdo como vetor colun Logo, T A (v) = A. n = m. Utilindo operções com mtries temos: T A (u + v) = A(u + v) = Au + Av = T A (u) + T A (v) e T A (ku) = k(au) = kt A (u). Logo T A é um trnsformção liner. Eemplo 5: Sejm A = e L A : IR IR. =. Então, L A (, ) = (,, + ). n v

103 . TRANSFORMAÇÕES DO PLANO NO PLANO O que iremos presentr é um visão geométric ds trnsformções lineres, trblhndo com trnsformções do plno (R ) no plno (R n m TA : R R ), pois tods tem form, onde A é v A v v um mtri de ordem m n e v é o vetor colun. v n Eemplo 6: Dd função F: IR IR, IR v.v ) Epresse grficmente ess função qundo =, denomind Epnsão F: IR IR v.v, ou sej, T(,) = (,). Est função lev cd vetor do plno num vetor de mesm direção e sentido de v, ms de módulo mior. v F F(v) b) Epresse n form de vetores colun: v v v ou v v v v v = v v c) Verifique se F é um Trnsformção Liner. F A : IR IR v Como v v v Se tomássemos F: IR IR tl que F(,) = (,), F seri um contrção.

104 Eemplo 7: (outr solução pr o eemplo ) Sej T : R R trnsformção liner pr qul T(,) = e T(,) = -. Encontre T(,). Solução: (Mtricil) T(,) = [ b]. T(,) = [ b]. - +b = +b = - + b = 5 L L - L b = Pr um vetor qulquer [ 5 -]. [ 5 ] Logo, T(,)= (5-) usndo mtri de trnsformção [ b] trnsformção é dd por: Eemplo 8: Encontre um trnsformção liner T: R R tl que: T(, ) =(, ) e T(, ) = (, ). Solução : (Usndo lineridde) Escrevendo (,) como combinção liner de (, ) e (, ). Temos: (, ) = (, ) + ( )(, ). Deste modo, trnsformção T deve stisfer T(, ) = T((, ) + ( )(, )) = T(, ) + ( )T(, ) = (, ) + ( )(, ) = ( +, 5). Verific-se fcilmente que trnsformção T definid como cim, isto é, T(, ) =( +, 5). Solução : (Usndo mtries)

105 T(, ) =(, ) e T(, ) = (, ). T(,) = c + b = c + d = - b. d - T(,) = c +b = c +d = Juntndo s equções pr s mesms vriáveis temos: b. d + b = L L - L +b = logo, = e b = c + d = L L - L c +d = logo, c = -5 e d = Pr um vetor qulquer T(,)=. -5 usndo mtri de trnsformção c 5 Logo, T(,)= ( +, 5). b d -5 então, Observção: Perceb que mtri de coeficientes em mbos os sistems é igul, logo poderímos resolver esses sistems de um únic ve, isto é: - -5 L L - L e por fim submtri presente n mtri umentd únic. c b d -5, que é trnspost d List de Eercícios : ) Dd função F: IR IR (, ) (, -) ) Epresse grficmente ess refleão em torno do eio X. b) Epresse- n form de vetores-colun. c) Verifique se F é um trnsformção liner. ) Sej T: IR IR v -v, ou sej, T(, ) = (-, -). 5

106 ) Epresse grficmente ess refleão n origem. b) Epresse- n form de vetores-colun. d) Verifique se T é um trnsformção liner. ) Rotção em um ângulo (no sentido nti-horário) v R R (v) = r cos ( + ) = r cos cos - r sen sen Ms r cos = e r sen =. Então, = cos - sen. Anlogmente, sen( ) sen cos cos sen = r sen ( + ) = cos + sen. Logo, R (,) = ( cos - sen, cos + sen), ou n form mtricil: cos sen cos sen = cos sen sen cos Considere o cso prticulr = : ) Epresse grficmente ess rotção de 9 o no sentido nti-horário. b) Epresse- n form de vetores-colun. c) Verifique se R é um trnsformção liner. ) Sej T: IR IR T(,) = (+, +b) ) Epresse grficmente ess trnslção do plno segundo o vetor (, b). b) Epresse- n form mtricil. c) Mostre que T não é liner, menos que = b =. 6

107 5) Sej T: IR IR T(, ) = ( +, ) ) Epresse grficmente esse cislhmento horiontl b) Epresse- n form de vetores-colun. c) Verifique se T é um trnsformção liner. Resposts:. ) F b) [ ] [ ] = [ -] c) Como F : R R v v A trnsformção é liner.. ) T b) [ ] [ ] = [- -] c) Como T : R R v v A trnsformção é liner.. ) R b) [ ] [ ] = [- ] c) Como R : R R trnsformção é liner. v v A. ) T b) [ ] [ ] + [ b] = [+ +b] c) Como T(,) = (,b) (,) trnsformção não é liner. 5. ) T b) [ ] [ ] = [+ ] c) Como T : R R v v.a trnsformção é liner. 7

108 . NÚCLEO E IMAGEM DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Definição: Sejm V e W espços vetoriis e sej T: VW um trnsformção liner. (i) O núcleo de T, denotdo por Nu(T), é o conjunto de todos os vetores de V que têm imgem nul. Nu(T) = {v V; T(v) = } Observção: O núcleo de T é tmbém chmdo kernel de T ( ker(t) ). (ii) A imgem de T, denotd por Im(T), é o conjunto de todos os vetores ww que são imgem dos vetores de V. Im(T) = {w W; w = T(v) pr lgum vv}. Observção: Nu(T) nunc é vio, pois contém, pelo menos, o vetor nulo do espço domínio. De fto, T() =, pois T liner. Assim, Nu(T). Note que T( V ) = W, onde V e W indicm o vetor nulo de V e W, respectivmente. Proprieddes do Núcleo e d Imgem Se T: VW é um trnsformção liner então: Propriedde. Nu(T) é um subespço vetoril de V; Propriedde. Im(T) é um subespço vetoril de W. Eemplo 7: Núcleo e imgem d trnsformção nul, ) Núcleo de T: T:VW; T(v) =. Pel definição, os vetores que pertencem o núcleo de um trnsformção são os que têm o vetor nulo como imgem. Considerndo trnsformção T dd, qulquer vetor v V tem como imgem o vetor W. Dess form, Nu(T) = V b) Imgem de T: Se todos os vetores v V tem como imgem o vetor nulo, então ele é o único vetor que pertence à imgem de T. Assim, Im(T) = {}. Eemplo 8: Núcleo e imgem d trnsformção identidde T: VV; T(v) = v 8

109 ) Núcleo de T: A trnsformção identidde crcteri-se pelo fto de que imgem de cd vetor v V (domínio) é o próprio vetor v V (contrdomínio). Aind, como o núcleo contém todos os vetores de V cuj imgem é o vetor nulo, temos que o único vetor pertencente o núcleo de T é o vetor, ou sej b) Imgem de T: Nu(T) = {}; Como todo vetor v V é imgem de si mesmo, temos Im(T) = V. Eemplo 9: Núcleo e imgem do operdor projeção: T : R R ; T (, ) = (, ) * Nu(T ) = {(, ); R} * Im(T ) = {(, ); R} * Um bse do Nu(T ): = {(, )}, pois (, ) = (, ) * dim Nu(T ) = * dim Im(T ) = * Um bse d Im(T ): = {(, )}, pois (, ) = (, ) Observção: Outr propriedde, que não demonstrremos qui, ms que pode ser útil n conferênci de resultdos é seguinte: Se T: VW é um trnsformção liner então Confir esse resultdo nos eemplos nteriores. dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V 9

110 Eemplo : Sej L: IR IR. ) Im(L)? b) Im(L)? c) Encontre Im(L). d) Nu(L)? e) Encontre Nu(L). Solução: ) Temos como o vetor genérico de Im(L). Se Im(L), então pr lgum,,. Resolvendo equção obtemos Logo, Im(L) pois eiste v = R tl que L(v) =. b) Do mesmo modo, se Im(L), então Assim, Im(L) e L. c) O vetor genérico d Im(L) pode ser escrito ssim:. Portnto, Im(L) = [w, w, w ], onde e, w w w. Além disso, os vetores gerdores de Im(L) são l.i. (verifique) e, portnto,,, é um bse de Im(L). Sendo ess bse de Im(L) um conjunto de vetores l.i. do IR, temos que Im(L) = IR.

111 d) L L. Como L, concluímos que Nu(L). e) Sbendo que vnu(l) se e somente se L(v) =, temos que solução é o vetor. Assim, Nu(L) = {}., cuj únic Eemplo : Sej L: P P ; L(t + bt + c) = ( + b)t + (b + c). ) t + Im(L)? b) t t + Nu(L)? c) Encontre um bse pr Im(L); d) Encontre um bse pr Nu(L). Solução: ) t + Im(L) p(t) = t + bt + c tl que L[p(t)] = t + ( + b)t + (b + c) = t + b b c = c e b = c Portnto, t + Im(L), pois L(ct + ( c)t + c) = t +, c R. b) Devemos verificr se L(t t + ) =. L(t t + ) = ( )t + ( + ) = t + =, portnto t t + Nu(L). c) Sendo L[p(t)] = ( + b)t + (b + c), vmos ssocir o vetor ( + b, b + c) o polinômio L[p(t)]. Assim, o vetor genérico d imgem é ( + b, b + c) = (, ) + b(, ) + c(, ). Buscndo os vetores l.i. no conjunto gerdor {(, ), (, ), (, )} obtemos {(, ), (, )} como um conjunto gerdor l.i. Associndo, cd um desses vetores, um polinômio p(t), temos que = {t, }, é um bse de Im(L). Outr bse de Im(L) poderi ser, por eemplo, ' = {t, t + }. d) Sbemos que p(t) Nu(L) se e somente se L[p(t)] =. Dess form, L[p(t)] = L(t + bt + c) = ( + b)t + (b + c) =. Ou sej, ( + b)t + (b + c) = t + ; o c que nos permite escrever o sistem cuj solução é = b e c = b. b c Portnto, L( bt + bt b) =, br.

112 Pr obter um bse do Nu(L) ssocimos o polinômio p(t) = t + bt + c o vetor v = (, b, c). Então, v Nu(L) se e somente se v = ( b, b, b), que é o vetor genérico do subespço Nu(L) e, de ( b, b, b) = b(,, ) e podemos firmr que Nu(L) = [(,, )]. Como o conjunto gerdor é l.i, um bse de Nu(L) é = { t + t }. Eemplo : Sej L: M M trnsformção liner definid por c d c b L. Verifique que dim Nu(L) + dim Im(L) = dim M. Solução: Nu(L): Se A é um vetor do núcleo de L, temos L(A) =. Assim,. e L c c d c b Logo, o vetor genérico do subespço Nu(L) é d b A e dim Nu(L) =, pois d b,, com b e d não nulos, é um bse de Nu(L); Im(L): O vetor genérico do subespço Im(L) é c B e um bse pr Im(L) é c,, pr e c. Logo, dim Im(L) =. Assim, dim Nu(L) + dim Im(L) = + = = dim M. (Lembre que o espço vetoril M está em correspondênci com R ). List de Eercícios :. Sej T:R R trnsformção liner definid por T(, ) = (, ). ) (, ) Nu(T)? b) (, ) Nu(T)? c) (, ) Im(T)? d) (, ) Im(T)? e) Encontre Nu(T). f) Encontre Im(T).. Sej L:R R.

113 ) Nu(L)? b) Nu(L)? c) Im(L)? d) 6 Im(L)? e) Encontre Nu(L) e Im(L). f) Ache um bse pr Nu(L) e um bse pr Im(L). Verifique s dimensões..sej f: R R definid por f (,,, w) = ( +, + w, + ). ) Verifique se os vetores v = (,,, ), v = (,,, ), v = (,,, ) pertencem o núcleo de f. b) Encontre Nu(f ). c) Encontre dois vetores w e w pertencentes Im(f ). d) Verifique se dim Nu(f ) + dim Im(f ) = dim V.. Sej L: P P trnsformção liner definid por L(t + bt + ct + d) = ( b)t + (c d)t. ) t + t + t Nu(L)? b) t t + t Nu(L)? c) t t Im(L)? d) Encontre um bse pr Nu(L) e um bse pr Im(L). 5. Sej T: M M b b c d d b c b d Escrev o conjunto núcleo de T e dois vetores pertencentes à imgem de T. 6. Sej um trnsformção liner L: IR IR 6. ) Se fosse dim Nu(L) =, qunto seri dim Im(L)? b) Se fosse dim Im(L) =, qunto seri dim Nu(L)? 7.Encontre o subespço imgem d trnsformção liner T(,, ) = ( +, +, + ). Resposts: ) (, ) Nu(T) b) (, ) Nu(T) c) (, ) Im(T) d) (, ) Im(T) e) Nu(T) = {(, ); R} f) Im(T) = {(, ); R}. ) Nu(L) b) Nu(L) c) w Im(L) w d)

114 6 Logo, Im(L) 6. que é um sistem impossível, portnto Im(L). e) Núcleo: Nu(L) =. ; R Imgem:, ou sej, Im(L) =., b b Assim, b = b =. Im(L) =. ; R f) Um bse pr Nu(L): = e um bse pr Im(L): =.. ) v Nu(f ); v Nu(f ); v Nu(f ). b) Nu(f ) = {(w, w, w, w); w R} c) Im(f ) = [(,, ), (,, ), (,, )] = R ; w e w podem ser quisquer vetores do R. d) dim Nu(f ) = e dim Im(f ) =. Temos dim Nu(f ) + dim Im(f ) = + = = dim V.. ) L(t + t + t ) = (, )t + ( + )t = t t + t + t Nu(L) b) L(t t + t ) = ( + )t + ( + )t = t + t t t + t Nu(L) c) L(t + bt + ct + d) = t t ( b)t + (c d)t = t t d c b d c b t t Im(L). d) Núcleo: L(t + bt + ct + d) = ( b)t + (c d)t = d c b d c b Nu(L) = {bt + bt + dt + d; b, d R} e um bse pr Nu(L) é = {t + t, t + } Imgem: ( b)t + (c d)t = t + ( b)t + ct + ( d)t, ou sej, (,,, ) + b(,,, ) + c(,,, ) + d(,,, ). Assim, Im(L) = [(,,, ), (,,, ), (,,, ), (,,, )] e um bse pr Im(L) é = {t, t}. 5. Apens Nu(T). Escolh dois vetores quisquer de M e clcule sus imgens, trvés de T, pr encontrr dois vetores pertencentes à imgem de T. 6. ) dim Im(L) = b) dim Nu(L) = 7. Im(T) = R

115 AUTOVALOR E AUTOVETOR DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR Ddo um operdor liner T: V V, estremos interessdos, nesse cpítulo, em sber quis vetores são levdos em um múltiplo de si mesmo, isto é, procurremos um vetor v V e um esclr R tis que T(v) = v. ( I ) Neste cso T(v) será um vetor de mesm direção que v, ou melhor, T(v) e v estão sobre mesm ret suporte. Como v = stisf equção (I) pr todo, estremos interessdos em determinr v que stisfç condição cim. Tentremos elucidr o eposto trvés dos eemplos que seguem. Eemplo : I: IR IR (plicção identidde) (, ) (, ) Neste cso, todo v = (, ) IR é tl que I(v) =. v. Eemplo : T : IR IR (refleão no eio O) (, ) (, ) Aqui, u = (, ) é tl que T (u) =. u e v = (, ) é tl que T (v) =. v. Ou sej, vetores que possuem um componente nul são levdos em um múltiplo de si mesmo. Eemplo : T : IR IR / T (, ) = ( + 5, + ). ) T (5, ) = (, ) = 6(5, ) d) T (, ) = (6, ) = 6(,) b) T (, ) = (, 5) e) T ( 5/, ) = ( 5, 6) = 6( 5/, ) c) T ( 5, ) = (, ) = 6( 5, ) f) Quis vetores dos itens nteriores são levdos por T um múltiplo de si mesmo? (), (c), (d) e (e). A fim de encontrrmos os vetores v V e os esclres R citdos em ( I ), bem como denominá-los, seguimos com definição: Definição: Sej T: V V um operdor liner. Um vetor v V, v, é um utovetor de T se eiste R tl que T(v) = v. O número rel é denomindo utovlor de T ssocido o utovetor v. 5

116 Eemplo : No eemplo, desse cpítulo, um vetor do tipo u = (, ) é um utovetor de T ssocido o utovlor =, pois T (, ) =. (, ). Tmbém é verdde que v = (, ) é um utovetor de T ssocido o utovlor =, pois T (, ) =. (, ). Observção: Sempre que um vetor v é utovetor de um operdor liner T ssocido o utovlor, isto, é T(v) = v, o vetor kv, pr qulquer rel k, é tmbém um utovlor de T ssocido o mesmo. De fto: T(kv)= k T(v) = k. (v) = (kv). Isto pode ser visto, por eemplo, nos itens (), (c), (d) e (e) do eemplo. É comum tomrmos um representnte de cd conjunto de utovetores ssocidos um único vlor de. Por eemplo, se temos T(, ) =. (, ), isto é, u = (, ) é utovetor ssocido o utovlor =, tommos v = (, ), ou outro, pr representr o conjunto W, onde W = {(, ) R / = }. A interpretção geométric, em IR, de utovetores de um operdor liner T é dd seguir: u é utovetor de T pois IR / T(u) = u. v não é utovetor de T pois IR / T(v) = v.. DETERMINAÇÃO DOS AUTOVALORES E AUTOVETORES Pr determinr os utovlores e utovetores de um operdor liner T:V V usmos su representção mtricil. Sej A mtri cnônic de T, de form que T A (v) = Av. Então, utovlores de A e utovetores v de V são soluções d equção Av = v. Ou sej: Av = v Av Iv = (A I)v =, onde I é mtri identidde de mesm ordem que A. Observmos que últim equção, (A I)v =, represent um sistem homogêneo, que é sempre comptível, cuj solução desejd, conforme definição, é não-trivil, ou sej, v. Assim, devemos ter o sistem em questão como comptível e indetermindo, de form que det(a I) =. As ríes d equção det(a I) =, chmd equção crcterístic de A (ou de T), são os utovlores de A (ou de T). Pr cd utovlor, corresponde um conjunto W = {v V / Av = v} de utovetores, que é obtido pel solução d equção Av = v ou, equivlentemente, d equção (A I)v =. TEOREMA: Se A é um mtri nn, o sistem homogêneo 6

117 tem um solução não-trivil se e somente se A é singulr. A= (*) Demonstrção: Suponh que A sej invertível. Então, A eiste e multiplicndo mbos os ldos de (*) por A, temos A A= A = Portnto, únic solução pr (*) é =. A demonstrção d recíproc se A é singulr, então (*) tem um solução não-trivil é deid como eercício. Resumindo: Sendo A mtri cnônic que represent um operdor liner T, temos: utovlores de T ou de A: são s ríes d equção det(a I) =, utovetores v de T ou de A: pr cd, são s soluções d equção Av = v ou (A I)v =. Eemplo 5: Consideremos o operdor liner definido nteriormente: T: IR IR (, ) ( + 5, + ) 5 Autovlores de A, mtri cnônic de T. Resolvemos equção crcterístic det (A I) = : A I 5 5 det (A I) = ( ) ( ) 5 6 = = e = 6. Autovetores de A ou de T: Pr cd utovlor encontrdo, resolvemos o sistem liner (A I)v = : ; v ( ) 5 ( A I) v ( ) Então, v = (, ) sendo um de seus representntes o vetor v = (, ). 7

118 ) ( 6; I A v Então v = ( 5, ) sendo um de seus representntes o vetor v = ( 5, ). Observe que: T ) ( v = T(, ) =. (, ) e T ) ( v = T( 5, ) = 6. ( 5, ). Eemplo 6: Encontre os utovlores e utovetores pr A. Equção crcterístic: det(a I) =. ) ( i i Autovlores de A: os vlores i i e não são reis, e diemos que A não possui utovlores reis. Autovetores de A: segundo definição, os utovetores devem estr ssocidos utovlores reis. Diemos que A não possui utovetores. Observção: Se estivéssemos trblhndo com espços vetoriis compleos, e não somente em espços vetoriis reis como definimos no início de nosso estudo, todos os operdores terim utovlores e utovetores, um ve que todo polinômio sempre dmite ri. Eemplo 7: Encontre os utovlores e utovetores pr 5 A Equção crcterístic: det(a I) =. 5 I A Então,. ) ( ) (

119 Autovlores de A: = ; = ; =. Observe que um utovlor é duplo. Autovetores de A: ; v. ( A I) v 5 5. Dí,, e v (,, ) e dqui retirmos dois represent ntes v (,, ) e v, (,, ). = ; origin o utovetor v = (, - 5, ), sendo um de seus representntes o utovetor v = (, - 5, ). O conjunto dos utovetores {v, v, v } é l.i. e form um bse de IR. Eemplo 8: Encontre os utovlores e utovetores pr 5 A Equção crcterístic de A ou de T: 5 A I det( A I) ( 5 )(9 )( 7 ) 8 6 8(9 ) 5( 5 ) ( 7 ) Autovlores de A: são s ríes d equção =. Pr resolver tl equção e procurndo soluções inteirs, n epecttiv de que eistm, usmos um importnte teorem d álgebr que di: Se equção polinomil n + c n- n c + c =, com coeficientes inteiros e coeficiente do termo de mior gru vlendo, tem um ri inteir então ess ri é um divisor do termo independente c. N equção em questão, o coeficiente de é e os divisores do termo independente são. Verifiquemos, por Briot-Ruffini, se um desses vlores é solução d equção. Comecemos com =. 9

120 + + = = é um ds ríes e s outrs são ríes d equção + + =, que são = e =. Os vlores, e são os utovlores de A. Autovetores de A: = = = ; = (-/,-,). representnte podeser cujo com,,,. e ) ( 7 8 ) ( ) ( 5 ) (,,,, v v v I A R; Observemos que pens um vetor l.i. é encontrdo. Dess form, não é possível formr um bse de utovetores de A (ou de T) pr IR. Eemplo 9: Dd trnsformção T: IR IR liner / T(, b, c) = ( + c, + c, + b + c). Encontre os utovlores e utovetores pr mtri cnônic dest trnsformção. Mtri cnônic de T: A Equção crcterístic de A (ou de T): I A. ) ( ) )( ( ) det( A I Autovlores de A (ou de T): são s ríes d equção + =. Temos =, = e =. Autovetores de A (ou de T): pr cd, solução d equção (A I) v = fornece = ; v = (,, ); um deles: v = (,, ) = ; v = (,, ); um deles: v = (,, )

121 = ; v = (,, ); um deles: v = (,, ). Observmos que, tmbém nesse cso, é possível escrever um bse pr o R de utovetores de A (ou de T). Proprieddes de Autovlores e Autovetores Sej A um mtri nn. Se e μ são utovlores distintos de A com utovetores ssocidos e, respectivmente, então e são linermente independentes. A e A T têm os mesmos utovlores. Se A é um mtri digonl, tringulr superior ou inferior, então seus utovlores são os elementos d su digonl principl. Os utovlores de um mtri simétric são todos números reis. A é singulr se e somente se for um utovlor de A. Revisão: Eemplo : 6 6 A, u e v -5 - Sejm 5. Verifique se u e v são utovetores de A. Solução: 6 A.v A.u. -5 u 5 5 Assim, u é um utovetor ssocido o utovlor -, ms v não é utovetor de A, pois v.a não é múltiplo de v. Observção: Ao invés de utovlor e utovetor, podemos encontrr os termos vlor crcterístico e vetor crcterístico ou vlor próprio e vetor próprio, respectivmente, n litertur. Eemplo : Encontre utovlores e utovetores, não-nulos, e uto-espços ssocidos mtri A. v Solução: Procurmos um esclr e um vetor não-nulo, tis que, A.v =.v, ou sej, A.v. -.v = (A -.I).v =, onde I represent mtri identidde de mesm ordem de A. Psso : Escrever equção (A -.I).v = n form mtricil e encontrr o sistem ssocido.

122 .. ( ). ( ) Psso : Encontrr o esclr. Como o vetor v deve ser diferente de ero v, e o sistem ssocido é um sistem homogêneo, é necessário que encontremos um solução diferente d trivil, pr isso, bst igulr ero o determinnte d mtri A -.I (mtri crcterístic). ( ).( ) 6 ou polin6omio crcterístico Psso : Encontrr os utovetores ssocidos os utovlores encontrdos. Substitu os vlores de no sistem encontrdo no psso e determine os vlores de e. Pr = ( ) ou simplesmente ( ) v Assim, é um utovetor não-nulo pertencente o utovlor = (ou pertencente o uto-espço de ) e qulquer outro utovetor pertencente = é um múltiplo de v. Pr = - ( ) ou simplesmente ( ) v Assim, é um utovetor não-nulo pertencente o utovlor = - (ou pertencente o uto-espço de -) e qulquer outro utovetor pertencente = - é um múltiplo de v. Logo, os espços gerdos por todos os utovetores ssocidos os utovlores = e = -, chmdos uto-espços são: S (,) e S (-,) Eemplo : A 5 Encontre utovlores e utovetores, não-nulos, e uto-espços ssocidos mtri. v Solução: Procurmos um esclr e um vetor não-nulo, tis que, A.v =.v, ou sej A.v. -.v = (A -.I).v =, onde I represent mtri identidde de mesm ordem de A. Psso: Escrever equção (A -.I).v = n form mtricil e encontrr o sistem ssocido.

123 Psso : Encontrr o esclr. Como o vetor v deve ser diferente de ero v, e o sistem ssocido é um sistem homogêneo, é necessário que encontremos um solução diferente d trivil, pr isso, bst igulr ero o determinnte d mtri A -.I (mtri crcterístic). - DET ( 6 ).( 5 6 ) ( 6 )( )( ) ou ou 6 Psso : Encontrr os utovetores ssocidos os utovlores encontrdos. Substitu os vlores de no sistem encontrdo no psso e determine os vlores de e. Pr = ( ) ( 5 ) ( ) em form mtricil temos o mesmo sistem ddo por: , que usndo eliminção gussin torn-se - e Logo temos que -. v = = - Assim, v= é um utovetor não-nulo ssocido o utovlor = (ou pertencente o uto-espço de ) e qulquer outro utovetor pertencente = é um múltiplo de v. Pr = ( ) ( 5 ) ( ) em form mtricil temos o mesmo sistem ddo por:

124 , que usndo eliminção gussin torn-se Logo temos que e - - ( ) -. v = = Assim, v= é um utovetor não-nulo ssocido o utovlor = (ou pertencente o uto-espço de ) e qulquer outro utovetor pertencente = é um múltiplo de v. Pr = 6 ( 6) ( 5 6) ( 6) em form mtricil temos o mesmo sistem ddo por: , que usndo eliminção gussin torn-se e Logo temos que. - v = = - Assim, v= é um utovetor não-nulo ssocido o utovlor = 6 (ou pertencente o uto-espço de 6) e qulquer outro utovetor pertencente = 6 é um múltiplo de v. Logo, os espços gerdos por todos os utovetores ssocidos os utovlores =, = e = 6, chmdos uto-espços são: S (-,,), S (,,) 6 e S (,,). List de Eercícios :. Encontre trnsformção liner T: IR IR, tl que T tenh utovlores e ssocidos os utovetores (, ) e (, ) respectivmente.. Ache os utovlores e utovetores d trnsformção liner T: ) T: IR IR ; T(, ) = ( +, + );

125 5 b) T:P P ; T( + b + c) = + b + c; c) T:M M ; T(A) = A t.. Sej A. ) Ache os utovlores de A e de A - ; b) Quis são os utovetores correspondentes?. Considere s mtries A e B. ) Clcule AB e BA e observe que estes produtos são distintos. b) Encontre os utovlores e utovetores de AB e de BA e compre os resultdos obtidos. Solução:. Sbemos (pel definição) v = Av, onde = utovlor de A e v = utovetor ssocido. Se = e v = (, ), temos: 6 d c b d c b Se = e v = (, ), temos: 6 d c b d c b De e, concluímos que = ; b = 6; c = e d =. Logo, 6 T ou T(,)=(-6,-+)... ) A det(a I) = ( ) = = Pr : (A I)v = *,, R v Pr * ),, ( R v. b) c b c b T = = =,, v = (, b, c);, b, c R, não simultnemente nulos.,, ) ( t p = t + bt + c;, b, c R, não simultnemente nulos.

126 6 c) T d c b d b c d c b A mtri que represent T é M det(m I) = ( ) ( + ) = = = = ; =. Pr = = =, temos v = (, b, c, d) / d c b ] [v c b c b c b d c b d b b,, v ;, b, d R*, ou sej, em vetor,, M d b b A ;, b, d R*, com, b e c não simultnemente nulos. Pr =, temos: ) ( ) ( ) ( ) ( d c b d c b c b d c b c c v ; c R * ou vetor em M c c A ; c R*.. Pr A: = ; v = (, ); R* = ; v = (, ); R*. Pr A : = ; v = (, ); R* = ; v = (, ); R*.

127 . ) 7 AB ) b) Autovlores e respectivos utovetores: = ; v = (,, ); R* 7 = ; v,, ; R* 7 =, v,, ; R* BA b) Autovlores e respectivos utovetores: = ; v = ; v = (,, ); R* = (,, ); R* 5 =, v,, ; R* Eercícios Etrs: ) A figur bio é constituíd de 9 qudrdos congruentes. Pr cd um ds firmções bio, coloque V se el for verddeir ou F se el for fls. L M N E K P O F J I H G Figur ) AB OF ( ) g) JO // LD ( ) m) PN NB ( ) b) AM PH ( ) h) AJ // FG ( ) n) AM BL ( ) c) BC OP ( ) i) AC // HI ( ) o) AC FP ( ) d) BL MC ( ) j) CO // GI ( ) p) IF MF ( ) e) DE ED ( ) k) AB EG ( ) q) AJ AC ( ) f) AO MG ( ) l) PE EC ( ) r) AO NP ( ) Resposts ) V, b) V, c) F, d) V, e) V, f) V, g) F, h) V, i) V, j) F, k) V, l) F, m) V, n) V, o) V, p) V, q) F, r) V. ) A figur bio represent um prlelepípedo. Pr cd um ds firmções bio, coloque V se el for verddeir ou F se el for fls. A E H D Figur F Resposts ) V, b) F, c) V, d) V, e) V, f) F. B G C ) DH BF ( ) d) AF BC ( ) b) AB HG ( ) e) AC HF ( ) c) AB CG ( ) f) BG // ED ( ) 7

128 )Dd figur bio, determine: A B C D L M N E K P O F ) AC CN g) AK AN b) AB BD h) AO OE c) AC DC i) MO NP d) AC AK j) BC CB e) AC EO k) LP PN NF f) AM BL l) BL BN PB J I H G Figur Resposts: ) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l) List Etr: 8

129 9