A equação de Schrödinger independente do tempo

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1 A equção de Schrödinger independente do tempo 1 Estdos estcionários Até gor nós introduzimos função de ond d prtícul e discutimos su interpretção, interpretção probbilístic de Born pr função de ond e indicmos como, dd função de ond, podemos clculr váris quntiddes, como vlores médios de medids de vriáveis dinâmics e como resolver equção de Schrödinger dependente do tempo pr prtícul livre. Nesse ponto vmos discutir como resolver equção de Schrödinger dependente do tempo pr um potencil qulquer V (x), independente do tempo. Como no cso d prtícul livre, vmos resolver equção de Schrödinger pelo método d seprção de vriáveis, isto é, procurmos soluções que sejm um produto de um função de x e um função de t, Então i df [ F (t) dt (t) m Ψ (x, t) ψ (x) F (t). d ] ψ (x) + V (x) ψ (x) dx 1 ψ (x). Como o ldo esquerdo é um função só de t e o ldo direito só de x, mbos têm que ser iguis um constnte, E: i df F (t) dt (t) E d ψ (x) + V (x) ψ (x) Eψ (x) (1) m dx que reduz equção à derivds prciis à dus equções diferenciis ordináris. A solução pr F (t) é F (t) e i Et onde incorpormos um constnte n definição de ψ (x). A equção (1) é equção de Schrödinger independente do tempo e neste cpítulo vmos resolvê-l pr potenciis específicos. Antes disto, vmos enumerr proprieddes ds soluções sepráveis, 1) Els são estcionáris 1)Densidde de probbilidde independente do tempo Ψ (x, t) ψ (x) e i Et. Ψ (x, t) ψ (x) constnte no tempo. 1b)Vlores médios ds medids de qulquer vriável dinâmic é constnte no tempo Q (x, p) Ψ (x, t) Q (x, p) Ψ (x, t) ψ (x) Q (x, p) ψ (x). 1

2 Num estdo estcionário nd mud com o tempo! ) Soluções sepráveis tem energi definid Ddo o operdor hmiltonino Ĥ p m + V (x). equção de Schrödinger independente do tempo pode ser escrit como, onde E é energi do sistem. Ĥψ (x) Eψ (x). Clculo do vlor médio ds medids d energi d prtícul: H E Ψ (x, t) ĤΨ (x, t) dx ψ (x) Ĥψ (x) dx ψ (x) dx E ψ (x) Eψ (x) dx Clculo do vlor médio ds medids do qudrdo d energi d prtícul H Ψ (x, t) Ĥ Ψ (x, t) dx ψ (x) Ĥ ψ (x) dx E ψ (x) dx E ψ (x) E ψ (x) dx ) onde usmos Ĥ ψ (x) (Ĥψ Ĥ (x) EĤψ (x) E ψ (x). Clculndo o desvio pdrão ds medids d energi σ H H H 0. verificmos que ele é nulo. Significdo d dispersão nul: qulquer medid d energi sempre fornece o mesmo vlor. Estdos estcionários têm um energi bem definid. Note que qui temos um exemplo de um medid que não lter o estdo d prtícul. 3)Completez dos estdos estcionários. A solução gerl d equção de Schrödinger dependente do tempo é um combinção liner dos estdos estcionários. Soluções d equção de Schrödinger independente do tempo definem um coleção de soluções (possivelmente infinit) cd um ssocid um vlor diferente d energi (E 1, E,...). Como já mencionmos qulquer combinção liner de soluções d equção de Schrödinger dependente do tempo é tmbém um solução Ψ (x, t) n c n ψ n (x) e i Ent. Ess é solução mis gerl se qulquer função de ond do estdo inicil puder ser escrit como um combinção liner ds soluções d equção de Schrödinger independente do tempo,onde os c n são os coeficientes dess expnsão

3 Ψ (x, t 0 ) n c n ψ n (x) e i Ent0. Ess propriedde corresponde completez dos estdos estcionários. Exemplo 1: O poço qudrdo infinito V (x) { 0 0 x nos outros csos. Pr 0 x prtícul é livre e T.I.S.E. fic igul com E > 0. Fzendo trnsformção de vriável d ψ (x) Eψ (x) m dx equção pode ser escrit como : cuj solução gerl é d form k me d ψ dx (x) k ψ (x) ψ (x) A sin kx + B cos kx. As soluções d equção de Schrodinger devem stisfzer s seguintes condições de contorno: ) A função de ond é continu. b)a derivd d função de ond é continu, exceto nos pontos onde V(x) é singulr. Neste exemplo,precismos stisfzer pens continuidde d função de ond : ψ (x) 0 se x está for do intervlo [0, ] ψ (0) ψ () 0 ψ (0) 0 B 0 ψ () 0 A sin k + B cos k 0 Como A 0 pois ψ(x) não é identicmente nul, temos que cuj solução é, sin k 0 k nπ n 1,, 3,... onde eliminmos n 0 pois implic ψ (x) 0 e n negtivo cuj função de ond não difere d função de ond com n positivo. Desse modo, função de ond e os níveis de energi são ddos por: ψ n (x) A sin nπx E n n π m. 3

4 Energi d prtícul ssume vlores discretos. A é fixdo normlizndo ψ n (x) ψ n (x) dx A 0 A π sin nπx dx π A π π 0 1 cos nθ dθ A π π 0 sin nθdθ A 1 A. Logo ψ n (x) nπx sin E n n π m. ) O estdo fundmentl é o estdo de mis bix energi, no nosso cso o estdo com n1.os outros estdos com n 1 são os estdos excitdos cuj energi cresce como n. b) Os estdos são pres ou ímpres com respeito à reflexão em torno do centro do poço: x x ( ψ n ( x) sin nπ nπx ) ψ n (x) { ψ n ( x) ψ n ( x) sin nπx sin nπx se n pr se n ímpr se n pr (ímpr por reflexão) se n ímpr (pr por reflexão). c) Qundo energi cresce, cd estdo sucessivo gnh um nó (zero) n função de ond. d) Estdos com energis diferentes são ortogonis: ψ m (x) ψ n (x) dx 0 se m n. ψ m (x) ψ n (x) dx sin nπx mπx sin dx [ (m n) πx cos cos ] (m + n) πx dx 1 (m n) π sin (m n) π 1 sin (m + n) π (m + n) π 0. Combinndo ortogonlidde e normlizção ψ m (x) ψ n (x) dx δ mn onde δ mn { 1 se m n 0 se m n. 4

5 Nesse cso dizemos que os estdos estcionários ψ n (x) são ortonormis. e) Eles formm um conjunto completo. Qulquer função que se nul em x 0 e x pode ser expndid como Ψ (x, 0) n c n ψ n (x) (cso prticulr d expnsão de um função periódic num série de Fourier, i.e., qulquer função definid no intervlo [, ] com f () f ( ) pode ser expndid num série de Fourier). Usndo ortogonlidde dos estdos estcionários c n ψn (x) Ψ (x, 0) dx. Assim solução mis gerl d equção de Schrödinger dependente do tempo pr o poço qudrdo infinito pode ser escrit como Ψ (x, t) n n c n ψ n (x) e i Ent nπx c n sin n π e i m t. Estdos de esplhmento. Estdos ligdos Até gor encontrmos dois tipos de soluções d equção de Schrödinger independente do tempo. Soluções normlizds onde s energis ssumem vlores discretos (poço qudrdo infinito) e soluções não-normlizáveis pr os quis s energis estão num contínuo,prtícul livre. No primeiro cso os estdos estcionários representm possíveis estdos d prtícul, no segundo cso não representm, ms em mbos os csos, solução mis gerl d equção de Schrödinger dependente do tempo pode ser escrit como um combinção liner dos estdos estcionários. Qul é o significdo físico dess distinção? N Mecânic Clássic temos dois tipos de movimento dependendo do vlor de E. Se E < V (+ ) e E < V ( ) o movimento é limitdo. Se E > V ( ) e(ou) E > V ( ) > 0 o movimento é ilimitdo.n Mecânic Quântic se o movimento é limitdo clssicmente, isto é E < V ( ) e E < V ( ) os estdos estcionários são normlizáveis, s energi discrets. Estes estdos são chmdos de estdos ligdos. Por outro ldo se o movimento é ilimitdo clssicmente,isto é, E > V ( ) e (ou) E > V ( ), prtícul não fic confind no espço, s energis estão num contínuo e o estdo estcionário não é normlizável. Estes estdos são chmdos de estdos de esplhmento. Exemplo Como um exemplo vmos considerr o potencil de um poço qudrdo finito, trtivo { V 0 < x < V (x) 0 nos outros csos. ) E > 0. Estdos de esplhmento. Vmos dividir o espço em três regiões, I se x <, II se < x < e III se x > I) N região I o potencil é nulo e equção de Schrödinger se reduz à equção de Schrödinger de um prtícul livre d ψ (x) Eψ (x) m dx k me 5

6 I, d ψ dx (x) k ψ (x). II) Dentro do poço, equção de Schrödinger fic igul d ψ m dx (x) V 0ψ (x) Eψ (x) q m (E + V 0). d ψ dx (x) q ψ (x). III) N região III prtícul é livre e equção de Schrödinger é idêntic à equção de Schrödinger n região d ψ dx (x) k ψ (x). A solução gerl em cd região é d form, I) ψ I (x) Ae ikx + Be ikx com Ae ikx sendo ond incidente esquerd e Be ikx ond refletid esquerd, II) A função de ond dentro do poço fic igul III) A função de ond à direit do poço fic igul, ψ II (x) F sin qx + G cos qx. ψ III (x) Ce ikx + De ikx com Ce ikx sendo ond refletid direit e De ikx ond incidente direit. Vmos considerr condição de contorno de um ond incidente à esquerd,um ond refletid e um ond trnsmitid, o que impõe D0. Pr clculrmos s cinco constntes temos qutro condições de contorno pois ) ψ (x) é contínu. b) dψ dx (x) é contínu exceto nos pontos onde V (x) é infinito. Precismos de mis um equção pr tornr o sistem determindo e escolh,que cptur s condições experimentis,é supor conhecido o vlor de A, mplitude d ond incidente Continuidde d função de ond : Continuidde d derivd d função de ond: ψ I ( ) ψ II ( ), ψ II () ψ III (). dψ I dx ( ) dψ II dx ( ), dψ II dx () dψ III dx (). 6

7 Com isto temos 4 equções envolvendo s constntes: e Ae ik + Be ik F sin q + G cos q Ce ik F sin q + G cos q ikae ik ikbe ik qf cos q + qg sin q ikce ik qf cos q qg sin q. Resolvendo esss equções temos que C A kq e ik kq cos q i(k + q ) sin q B A i(q k ) sin q e ik kq cos q i(k + q ) sin q Dus quntiddes de interesse são os coeficientes de trnsmissão e reflexão definidos como R B A T C. No exemplo eles são iguis à: A T 4k q 4k q + (q k ) sin q e R (q k ) sin q 4k q + (q k ) sin q Note que o potencil fic trnsprente, T 1, qundo q nπ, n inteiro positivo.em termos dos níveis de energi, trnsprênci ocorre qundo E n n π m() V 0 que coincidem com os níveis de energi no poço qudrdo infinito de lrgur. Outr observção é que R+T1, como deveri, pel interpretção físic desss quntiddes. b) V 0 < E < 0. Estdos ligdos A equção de Schrodinger independente do tempo ns três regiões são dds por: I) d ψ I dx (x) k ψ I (x) II) III) onde definimos d ψ II dx d ψ III dx (x) q ψ II (x) (x) k ψ III (x) k m E q mv 0 k Em cd região, solução normlizável mis gerl é d form: I) ψ I (x) Ae kx x < 7

8 II) ψ II (x) C cos qx + D sin qx III) ψ III (x) Be kx x > < x < A hmiltonin é invrinte por reflexão em torno d origem.um consequênci dess invriânci é existênci de dus clsses de estdos ligdos,estdos pres e impres pel reflexão. Soluções pres: que no nosso cso requer que: ψ (x) ψ ( x) ψ III (x) ψ I ( x) ψ II (x) ψ II ( x) Então s soluções pres são d form: I) II) III) ψ I (x) Ae kx ψ II (x) B cos qx ψ III (x) Ae kx Soluções ímpres: que,como no cso nterior, requer que : ψ (x) ψ ( x) ψ III (x) ψ I ( x) ψ II (x) ψ II ( x) então, I) II) III) ψ I (x) Ae kx ψ II (x) B sin qx ψ III (x) Ae kx Vmos resolver seprdmente cd um dos csos.observe que, por cus d simetri,precismos considerr condição de contorno pens num dos pontos. Soluções pres Continuidde d função de ond e su derivd em x : ψ II () ψ III () que é igul : dψ II dx () dψ III dx () 8

9 Esss dus equções podem ser escrits como : Ae k B cos q kae k Bq sin q k q tn q B Ae k sec q Níveis de energi. A primeir dels só depende de E e determin os níveis de energi d prtícul.vmos chr os níveis de energi resolvendo equção trnscendentl y0 tn y y 1 onde introduzimos s quntiddes e y q y 0 mv 0 Um vez resolvid equção cim, os niveis de energi são iguis : E n m y n V 0 Proprieddes ds soluções pres. (i) Sempre existe um estdo ligdo. Figur 1: (ii) Número de estdos ligdos finito. Se (n 1)π < y 0 < nπ com n 1 existem n estdos ligdos. Dois csos limites são importntes: 9

10 1. Poço profundo e lrgo: y 0 1 Interseção ds dus curvs ocorre pr vlores de y próximos de n π, n ímpr. Nesse limite os níveis de energi são ddos por: E n n π m () V 0 que é igul energi num poço infinito, de lrgur, dos estdos pres por reflexão em torno do centro do poço.. Poço rso e estreito: y 0 1 A medid que y 0 diminui o número de estdos ligdos decresce té que rest pens um estdo ligdo. Soluções ímpres As dus equções são que podem ser escrits como: Ae k B sin q kae k Bq cos q cot q k q B Ae k csc q Nesse cso procedemos como no cso nterior onde os níveis de energi são determindos pel equção: y0 cot y 1. () y Proprieddes ds soluções ímpres. Figur : (i)nem sempre existe um estdo ligdo.o vlor crítico de y 0 sendo, y 0 π 10

11 (ii) Número de estdos ligdos finito.se (n 1) π < y 0 < (n + 1) π, existem n estdos ligdos. Dois csos limites são importntes 1. Poço profundo e lrgo: y 0 1 Interseção ds dus curvs ocorre pr vlores de y próximos de nπ. Nesse limite os níveis de energi são ddos por: E n (n) π m () V 0 que é igul energi num poço infinito de lrgur, dos estdos impres por reflexão em torno do centro do poço.. Poço rso e estreito: y 0 1 A medid que y 0 diminui o número de estdos ligdos decresce té que os estdos ligdos desprecem, qundo y 0 < π. Equção d continuidde Vínculos impostos pel equção d continuidde. A equção d continuidde pr densidde de probbilidde é dd por : com ρ j (x, t) + (x, t) 0 t x ρ(x, t) Ψ (x, t) Ψ (x)) j (x, t) m ImΨ (x, t) Ψ x (x, t) m Imψ (x) ψ x (x). Em estdos estcionários densidde de probbilidde e densidde de corrente de probbilidde são independentes do tempo. Alem disso,pel equção d continuidde, j x (x) 0, ssim densidde de corrente de probbilidde j (x) é constnte, isto é, não depende do tempo nem d posição. Clculndo corrente de probbilidde n região à esquerd do poço: de modo que ψ I (x) A e ikx + B e ikx, ψ I x (x) ik ( Ae ikx Be ikx) ψ I (x) ψ I x (x) ik ( A B + AB e ikx A Be ikx) j I k ( A B ) m De modo nálogo podemos clculr corrente de probbilidde à direit do poço: j III k m ( C D Pel equção d continuidde temos relção A B C D 11

12 3 Mtriz S Proprieddes geris dos estdos de esplhmento que independem d form específic do potencil serão gor discutids. Considere o esplhmento de um prtícul por um potencil de lcnce finito,ver figur Figur 3: Ns regiões I e III o potencil é nulo e equção de Schrödinger se reduz à equção de um prtícul livre cujs soluções são: ψ I (x) Ae ikx + Be ikx, ψ III (x) Ce ikx + De ikx. A continuidde d função de ond e d su derivd nos fornece dus equções envolvendo esss constntes o que nos permite determinr s mplitudes ds onds refletids (B, C) em termos ds mplitudes ds onds incidentes (A, D) ou ( B C ) ( S11 S 1 S 1 S ) ( A D ) B S 11 A + S 1 D C S 1 A + S D. Pel equção d continuidde corrente é um constnte e ssim temos A + D B + C. Vmos usr relção cim pr mostrr um propiedde importnte d mtrz S. Note que B S 11 A + S 1 D + S 11 S1AD + S11S 1 A D C S 1 A + S D + S 1 S AD + S 1S A D De A + D B + C, mostr-se fcilmente que: S 11S 11 + S 1S 1 1 S 11S 1 + S 1S 0 S 1S 11 + S S 1 0 S 1S 1 + S S 1 1

13 que pode ser escrit como ( S 11 S1 S1 S ) ( ) ( S11 S S 1 S 0 1 Se U é mtriz hermiten conjugd de U,então seus elementos estão relciondos,u jk U kj. Um mtriz cuj invers é igul su hermiten conjugd, é um mtriz unitári. O vinculo imposto pel equção d continuidde requer que S sej um mtriz unitári S S 1 ) 4 Estdos ligdos e mtriz S No cso de estdos ligdos energi é negtiv o que requer fzermos k complexo, k iκ, κ > 0 E κ m. Como no cso de estdos ligdos função de ond tem que ser normlizável vemos que os coeficientes D e A tem que se nulr com B e C diferentes de zero. I) A0 III) D0 D definição d mtriz S ( B C ψ I (x) Be κx. ψ III (x) Ce κx. ) ( S11 S 1 S 1 S ) ( A D podemos concluir que isto só é possível se os elementos d mtriz são singulres. Assim vemos que existe um correspondênci entre s energis dos estdos ligdos e singulriddes (pólos) de S no eixo imginário positivo qundo fzemos k iκ. ) 13